Инвар. и представ. клас. групп

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский университет
«Высшая школа экономики»
Факультет Математики
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Автор программы: Городенцев А.А., к.ф.-м.н., профессор, gorodentsev@hse.ru
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2012 г.
Председатель С.М. Хорошкин
Утверждена УС факультета математики_____________________
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и
направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.
Программа разработана в соответствии с:
 ГОС ВПО;
 Образовательной программой 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и образовательной программой 010100.68 «Математика» подготовки магистра.
 Рабочим учебным планом университета по направлению 010100.62 «Математика»
подготовки бакалавра и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра
специальности «математика», утвержденным в 2011 г
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Инварианты и представления классических групп» являются изучение строения групп, порождённых отражениями, и классических матричных групп
и алгебр Ли, изучение рациональных представлений и полиномиальных инвариантов классических групп и алгебр Ли, а также применение этой техники к решению конкретных задач из различных областей математики и математической физики.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Изучить классификацию систем корней и групп, порождённых отражениями.
 Овладеть классификационными результатами о представлениях классических
комплексных групп Ли GL, SL, SO, Sp и их алгебр Ли, изучить строение этих групп и
алгебр.
 Изучить основные теоремы о полиномиальных и рациональных инвариантах систем
векторов в линейных представлениях классических групп.
 На примере классических групп получить представление об общей структурной теории
алгебраических групп, групп Ли и алгебр Ли, а также о решении задач об описании
орбит регулярных действий алгебраических групп на алгебраических многообразиях.
 Приобрести опыт применения техники теории представлений и теории инвариантов
классических групп и групп, порождённых отражениями в различных областях
математики и математической физики.
Компетенция
Код по
ФГОС/
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения, способствующие
формированию и развитию компетенции
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
Компетенция
умение
формулировать результат
умение строго доказать
утверждение
умение грамотно пользоваться языком предметной
области
понимание корректности
постановок задач
выделение главных смысловых аспектов в доказательствах
Код по
ФГОС/
НИУ
ПК-3
ПК-4
ПК-7
ПК-10
ПК-16
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Правильно воспроизводит чужие
результаты.
Правильно формулирует собственные результаты.
Воспроизводит доказательства
стандартных результатов, услышанных на лекциях.
Оценивает строгость и корректность учебных текстов по инвариантам и представлениям классических групп.
Распознает и воспроизводит названия основных объектов и математических структур, возникающих в
теории инвариантов и представлениий классических групп и её применениях.
Владеет и свободно использует
профессиональную лексику, относящуюся к инвариантам и представлениям классических групп.
Понимание постановки фундаментальных проблем теории инвариантов и представлений классических групп и структуры ответов,
решающих эти проблемы.
Понимание зависимости результатов факторизации по действию алгебраических групп на многообразиях от выборов дополнительных
геометрических данных: линеаризации действия, данных стабильности и т. п., а также геометрический
смысл факторизации: неотделимость полустабильных орбит и т.п.
Понимает и воспроизводит ключевые физические принципы и математические приемы базовых
рассуждений и построений теории
инвариантов и представлений классических групп
Обосновывает и оценивает мотивировки и логические ходы при
построении произвольных задач с
применениями теории инвариантов и представлений классических
групп и алгебр Ли
Формы и методы обучения, способствующие
формированию и развитию компетенции
Компетенция формируется в любом сегменте
учебного процесса.
Формируется в процессе
сдачи домашних задач из
листков.
Изучение базового курса
За счет повышения общефизической и математической культуры в процессе обучения
Продумывание и повторение услышанного на
семинарах и лекциях.
Беседы с преподавателями во время консультаций и сдачи домашних
задач.
Продумывание базовых
понятий курса
Вырабатывается в процессе освоения курса и
решения задач
Продумывание ключевых
моментов лекций
Вырабатывается путем
активного решения задач,
самообразования, общения с преподавателями.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
4
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу общие профессиональные дисциплины и блоку основных дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавров и магистрантов.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
владение курсом алгебры в объёме первых двух курсов;
владение курсом геометрии в объёме первого курса;
владение курсом комплексного анализа.
Желательно также владение и/или параллельное изучение основ алгебраической геометрии и
анализа на многообразиях.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении
следующих дисциплин: алгебры Ли и группы Ли, алгебраические группы, а также любых курсов, в которых изучаются пространства модулей и факторы по действию классических групп и
алгебр Ли.
5
№
1
2
3
4
5
6
7
Тематический план учебной дисциплины
Название раздела
Классификация групп, порождёных отражениями и систем корней. Инварианты
групп, порождённых отражениями.
Представления симметрической и полной
линейной группы. Двойственность ШураВейля.
Элементы теории алгебраических групп и
их алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль.
Полиномиальные инварианты систем векторов в линейных представлениях классических групп.
Построение факторов регулярных действий классических групп на алгебраических многообразиях. Критерий стабильности Гильберта-Мамфорда.
Теория представлений симплектических
групп
Теория представлений ортогональных
групп, алгебры Клиффорда и спиноры.
Итого
Всего
часов
Аудиторные часы
СамостояПрактичетельная
ЛекСемиские заняработа
ции
нары
тия
30
10
20
30
10
20
36
12
24
30
10
20
30
10
20
24
8
16
36
12
24
216
72
144
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
Формы контроля знаний студентов
6
Тип контроля
Текущий
(неделя)
Форма контроля
1 год
Параметры **
1 2 3 4
Контрольная 8
8
работа
Домашние
1, 1, 1, 1,
задачи.
3, 3, 3, 3,
5, 5, 5, 5,
7 7 7, 7,
9 9
Промежу- Экзамен
точный
Итоговый Экзамен
v
v
Письменная работа
90 минут
Выдаваемый на дом
листок с задачами, которые надо письменно
решить и сдать преподавателю в течение
текущего модуля
Письменный экзамен
240 минут
Письменный экзамен
240 минут
Критерии оценки знаний, навыков
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Главная форма текущего контроля - сдача задач из выдаваемых на дом раз в две недели
листочков с задачами (в общей сложности 10-15 задач по каждой теме).
В конце 1-го и 3-го модулей проводится письменная классная контрольная работа, на которой студент должен продемонстрировать умение пользоваться основными техническими
(вычислительными) приемами, изученными в течение модуля. Предлагается 3-4 вычислительных задачи на 90 минут.
Экзамен проводится после второго модуля (промежуточный) и после 4-го модуля (итоговый) и представляет собой письменную работу продолжительностью 240 минут, в течение
которых надо решить 5-6 задач, требующих хорошего понимания происходящего в курсе. Как
правило, решение каждой задачи предполагает владение сразу несколькими разделами курса.
6.1
Содержание дисциплины
7
Раздел 1. Классификация групп, порождёных отражениями и систем корней. Инварианты
групп, порождённых отражениями.
№ Тема
1.
2.
Группы, порождённые отражениями
и системы корней, положительные и
простые корни, образующие и
соотношения.
Классификация
связных
графов
Кокстера,
групп
порождённых
отражениями и групп Вейля.
Самосто
ятельная
работа
Литература
2
4
[4] §1
2
4
[2] гл.4,§2
[4] §2
[11] ч.III
Всего
часов
Лекции
6
6
Семинар
ы
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
гл. V
3.
4.
5.
Геометрия систем корней A, B, C, D,
E.
Классификация
правильных
многогранников
в
евклидовых
пространствах.
Теорема
Гильберта
о
базисе.
Оператор Рейнольдса на конечной
группе.
Инварианты
групп,
порожденных отражениями: теорема
Шевалле и характеризация групп,
порождённых
отражениями
в
терминах инвариантов.
В задачах: отыскание степеней базисных инвариантов, использование
производящих функций.
Инварианты бинарных групп многогранников.
В задачах: инварианты конечных
подгрупп в SL(2,C) и бинар,
вычисление инвариантных форм
Клейна для конечных подгрупп
SL(2,C) и соотношений между ними.
Итого:
6
2
4
[2] гл.4,§2
[4] §2
[11] ч.III
гл. V
6
2
4
[4] §3
6
2
4
[6] п.0.13,
[7] гл. 2
30
10
20
Раздел 2. Представления симметрической и полной линейной группы. Двойственность
Шура-Вейля.
№ Тема
1
Кольцо симметрических функций:
стандартные базисы и переходы
между ними, функции Шура,
формулы
Пьери.
Исчисление
массивов, таблиц и диаграмм Юнга.
Формула Якоби-Труди. Правило
Литтлвуда-Ричардсона.
2Теория представлений симметрических
групп.
Симметризаторы
Юнга.
Модули таблойдов. Модули Шпехта.
Стандартные
базисы.
Кольцо
представлений
симметрических
групп.
3 Полупростые
модули
над
ассоциативной алгеброй, теорема о
двойном централизаторе. Разложение
тензорной степени $V^{\otimes n}$
как
$S_n$-$\GL(V)$
бимодуля.
Двойственность Шура-Вейля.
Самосто
ятельная
работа
Литература
2
4
[9] гл.1,
§2;
[12] гл.6
6
2
4
[3] §4;
[12] гл.6
6
2
4
[3] §5;
[7] гл. 2.2;
[12] гл. 8
Всего
часов
Лекции
6
Семинар
ы
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
4
5
Неприводимые
представления
полной линейной группы и их
характеры.
Проективногеометрические примеры в малых
размерностях.
Разложение Жордана в алгебре матриц gl_n. Полиномиальные функции
на матрицах, инвариантные относительно сопряжения полной линейной
группой. Теорема Шевалле.
Итого:
6
2
4
6
2
4
30
10
20
[1] гл. 4;
[10] §5
[2] гл. 3 §2;
[13] §15
Раздел 3. Элементы теории алгебраических групп и их алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль.
№ Тема
1
2
3
4
5
Определения и простейшие свойства
аффинных алгебраических групп:
замкнутые подгруппы, замкнутость
коммутатора, замкнутость образа
регулярного
гомоморфизма,
регулярное
действие,
локальная
конечность представления в кольце
функций при регулярном действии на
аффинном
алгебраическом
многообразии. Теоремы Шевалле о
существовании
представлений,
согласованных с подгруппой.
Алгебра
Ли
аффинной
алгебраической
группы.
Присоединённые
действия.
Экспоненциальное
отображение.
Дифференциал
действия.
Связь
между регулярными линейными
представлениями групп и алгебр.
Разложение
Жордана
в
алгебраических
группах
и
их
алгебрах
Ли.
Коммутативные
унипотентные
группы.
Коммутативные
полупростые
группы. Рациональная структура на
алгебраическом торе.
Представления алгебр sl_2 и sl_3.
Полная приводимость. Описание
неприводимых
модулей.
Геометрические примеры в малых
размерностях.
Строение алгебр Ли классических
групп. Корневые разложения и sl_2-
Всего
часов
6
Лекции
2
Семинар
ы
Самосто
ятельная
работа
Литература
4
[2] гл.
3 §1;[13]
§7-8
6
2
4
[2] гл.
3 §3;[13]
§9-10
6
2
4
[2] гл. 3 §2;
[13] §15-16
6
2
4
[3] §11-13;
[11] ч.III
гл. IV
4
[2] гл.
4 §1;
[3] §14;[11]
6
2
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
6.
тройки. Формы Киллинга. Отражения. Действие sl_2-троек на весовые
пространства представлений. Полная
приводимость представлений полупростых алгебр Ли и классических
групп.
Группы Ли и их алгебры Ли. Алгебраичность компактных вещественных групп Ли.
Итого:
ч.I гл. VII
6
2
4
36
12
24
[2] гл. 1 §2
и гл. 3 §4
Раздел 4. Полиномиальные инварианты систем векторов в линейных представлениях
классических групп.
№ Тема
1
2
3
4
5
Оператор Рейнольдса для линейноредуктивной
группы.
Конечная
порождённость алгебры инвариантов
регулярного
действия
линейноредуктивной алгебраической группы
на
аффинном
алгебраическом
многообразии.
Поляризация
многочленов.
Символический метод описания
инвариантов. Полный набор типовых
инвариантных
форм
системы
векторов и ковекторов для групп GL
и SL
Критерий Игусы. Полные наборы
типовых инвариантных форм для
групп Sp и SO.
Соотношения
инвариантными
SL и GL.
Соотношения
инвариантными
Sp и SO.
между
типовыми
формами для групп
Самосто
ятельная
работа
Литература
2
4
[6] §3.3
2
4
[1] гл. 2
§§6,8;
[6] §9.1-9.3
Всего
часов
Лекции
6
6
Семинар
ы
6
2
4
6
2
4
между
типовыми
формами для групп
6
2
4
Итого:
30
10
20
[1], гл. 2
§§9,11-13;
[6] §§4.5,
9.3
[1] гл. 2
§14-16;
[6] §9.4-9.5
[1] гл. 2
§17;
[6] §9.4-9.5
Раздел 5. Построение факторов регулярных действий классических групп на алгебраических многообразиях. Критерий стабильности Гильберта-Мамфорда.
№ Тема
Всего
часов
Лекции
Семинар
ы
Самосто
ятельная
работа
Литература
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
1
2
3
4
5
Геометрические
свойства
орбит
регулярного действия аффинной
алгебраической группы на аффинном
алгебраическом
многообразии.
Геометрический фактор (в категории
окольцованных
топологических
пространств) и препятствия к его
существоанию
в
категории
алгебраических
многообразий.
Достаточные условия существования
геометричекого фактора в категории
алгебраических многообразий.
Существование
и
свойства
категорного фактора (в категории
алгебраических многообразий) для
действия аффинной алгебраической
группы на аффинном алгебраическом
многообразии.
Критерий
Гильберта-Мамфорда
нестабильности
орбиты
алгебраического тора. Полярное
разложение и разложение Картана
для класических групп. Критерий
Гильберта-Мамфорда
для
класических групп.
Обзор (без подробных доказательств)
технологии Мамфорда построения
факторов проективных многообразий
по действию редуктивной группы.
Примеры факторов: линейные операторы и квадратичные формы, модули
гиперэллиптических кривых, тернарные кубические формы, модули Кронеккера.
Итого:
6
6
6
2
2
2
4
[6] §4.14.2;
[8] гл.II
§§2, 3
4
[6] §4.34.4;
[8] гл.II
§§3, 4
4
[6] §5.35.4;
[8] гл.III
§2;
[16] гл.2
6
2
4
[6] §4.6;
[8] гл.III
§2;
[17] гл.1
6
2
4
[6] §0;
[8] гл.I
30
10
20
Раздел 6. Теория представлений симплектических групп.
№ Тема
1
2
Описание
неприводимых
представлений
группы
Sp.
Геометрические примеры в малых
размерностях. Формула Вейля для
характеров.
Свёртка
и
умножение
на
симплектическую
форму.
Разложение
внешней
алгебры
Самосто
ятельная
работа
Литература
4
8
[3] §§1617, 24-25
4
8
[3] §§1617, 24-25
Всего
часов
Лекции
12
12
Семинар
ы
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
тавтологического представления на
неприводимые
представления.
Симплектические
грассманианы.
Двойственность Шура-Вейля для
симплектической группы.
Итого:
24
16
8
Раздел 7. Теория представлений ортогональных групп,
алгебры Клиффорда и спиноры.
№ Тема
1
2
3
Описание
неприводимых
представлений
группы
SO.
Геометрические примеры в малых
размерностях. Формула Вейля для
характеров.
Свёртка
и
умножение
на
квадратичную форму. Разложение
симметричексой
алгебры
тавтологического представления на
неприводимые
представления.
Двойственность Шура-Вейля для
специальной ортогональной группы.
Алгебра Клиффорда комплексной
невырожденной
квадратичной
формы. Спинорные модули и
спинорные
группы.
Спинорные
представления
специальной
ортогональной группы. Изотропные
грассманианы.
Итого:
Всего
часов
12
12
Лекции
4
4
Семинар
ы
Самосто
ятельная
работа
Литература
8
[1] гл.V
§§6,7;
[3] §§1819, 24-25
8
[1] гл.V
§§6,7;
[3] §§1819, 24-25
[1] гл.V
§§8,9;
[3] §20;
[16] гл. IIIV
12
4
8
36
12
24
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
8
Образовательные технологии
На лекции даются все необходимые определения, доказываются ключевые теоремы курса,обсуждаются логические и неформальные связи между ними, а также связи с другими разделами математики и математической физики. Кроме того, приводятся примеры использования
этих результатов для решения конкретных задач.
После этого студентам выдаётся листок с задачами для самостоятельного решения, содержащий
как рутинные упражнения для усвоения стандартных вычислительных приёмов, так и теоремы
для самостоятельного доказательства (или прочтения в учебнике), которые будут существенно
использоваться в дальнейшем. Задачи должны решаться дома, после чего индивидуально сдаваться (устно или письменно) преподавателям в их присутственные часы и/или во время математических практикумов.
Задачи вызывающие значительные затруднения, коллективно обсуждаются в классе. Студенты,
испытывающие затруднения при решении некоторых задач иногда соединяются в группы для
совместной работы над не получающейся задачей, возможно, под чьим-нибудь руководством
(преподавателя или уже разобравшего задачу студента). Однако, разобранные таким образом
задачи всё равно должны сдаваться каждым студентом индивидуально.
Общее число решённых каждым студентом задач в течение каждого модуля учитывается, и оказывает заметное влияние на итоговую отметку за модуль (см. п. 10 ниже). Крайний срок сдачи
задач из листков, выдававшихся в каждом модуле – последняя лекция этого модуля.
8.1
Методические рекомендации преподавателю
Задачи вызывающие значительные затруднения, коллективно обсуждаются в классе.
9
9.1
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Примеры задач контрольных работ:
1. Найдите полиномиальные функции на плоскости, инвариантные относительно
группы симметрий правильного n-угольника.
2. Расклассифицируйте однородные кубические формы от двух переменных с
точностью до линейной замены переменных.
3. Найдите размерность неприводимого представления полной линейной группы,
заданного диаграммой Юнга.
Примеры заданий промежуточного /итогового контроля
Примеры экзаменационных задач:
1. Вычислите характер неприводимого представления группы Ли Sp(4), заданного диаграммой Юнга.
2. Разложите на неприводимые GL(4)-представлениене Sym^3(V\oplus \Lambda^2V).
3. Выпишите образующие кольца функций на кососимметрических матрицах 6x6, инвариантных относительно сопряжения ортогональными матрицами.
9.2
10 Порядок формирования оценок по дисциплине
Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется по 10-балльной
шкале. Студент имеет возможность по согласованию с учебной частью пересдать низкие результаты за контрольные и экзаменационные работы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
Преподаватель учитывает число решённых студентом домашних задач из листков, число
решённых задач из контрольных работ и число решённых задач из экзаменационных работ в
процентах от общего числа задач, выданных в каждом из видов контроля. Если студент решил L
процентов задач из листков, K процентов задач из контрольных и E процентов экзаменационных задач, то его итоговая оценка R вычисляется по формуле
R = min(L+K+E, 225) * 10 / 225
(и округляется до целого числа в соответствии со стандартными правилами). Таким образом,
для получения максимальной оценки «10» достаточно сдать 75% заданий в каждом из трёх видов контроля (или любые другие процентные доли с той же суммой).
При вычислении промежуточной оценки после второго модуля учитываются только результаты, полученные в течение первых двух модулей. При вычислении итоговой оценки после
4-го модуля учитываются результаты полученные за весь год.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей
оценкой по учебной дисциплине.
11 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
11.1 Базовые учебники
1. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления.– М.: УРСС, 2004.
2. Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. - М.:
«Наука», 1988
3. Fulton W., Harris J. Representation Theory, a first course. - Graduate Texts in Mathematics
129, 1991, Springer.
4. Humphreys J.E. Reflection groups and Coxeter groups. - CUP, 1990.
5. Записки лекций на сайте http://vyshka.math.ru/1213/InvAndRep.php
11.2 Основная литература
6. Винберг Э.Б., Попов В.Л. Теория инвариантов. - В кн. «Алгебраическая геометрия — 4»,
Итоги науки и техники, Современные проблемы математики, Фундаментальные
направления, Т.55, М.: ВИНИТИ, 1989, с.137 — 315.
7. Ф. Клейн. Лекции об икосаэдре и решении уравнений 5-й степени. М.: УРСС, 2004
8. Крафт Х. Геометрические методы в теории инвариантов. – М.: «Мир», 1987.
9. Макдональд И. Симметрические функции и многочлены Холла. – М.: «Мир», 1984.
10. Парамонова И.М., Шейнман О.К. Задачи семинара "Алгебры Ли и их приложения".– М.:
МЦНМО, 2004.
11. Серр Ж.П. Алгебры Ли и группы Ли.–М.: Мир, 1969.
12. Фултон У. Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и геометрии. - М.:
МЦНМО, 2006.
13. Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы.– М.: МЦНМО, 2003
11.3 Дополнительная литература
14. Спрингер Т. Теория инвариантов.– М.: Мир, 1981.
15. Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений.– М.: МЦНМО, 2003
16. Chevalley C. The algebraic theory of spinors and Clifford algebras. - In: Сollected works, vol.
2, Springer, 1997, p.206-207
17. Mumford D., Fogarty J., Kirwan F. Geometric invariant theory. - 3ed., Springer, 1994