Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Факультет Математики Программа дисциплины НИС «Алгебра и геометрия» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра Автор программы: Городенцев А.А., к.ф.-м.н., gorodentsev@hse.ru Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2012 г. Председатель С.М. Хорошкин Утверждена УС факультета математики_____________________ Москва, 2011 Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы. Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 1 Область применения и нормативные ссылки Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности. Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра. Программа разработана в соответствии с: ГОС ВПО; Образовательной программой 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра. Рабочим учебным планом университета по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, утвержденным в 2011 г 2 Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины «Инварианты и представления классических групп» является изучение дополнительных разделов алгебры и геометрии, не входящих в основные курсы, и приобретение участниками семинара опыта проведения самостоятельных исследований и представления результатов этих исследований в виде докладов и научных статей. 3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины В результате участия в семинаре студент должен: Самостоятельно изучить один или несколько вопросов, входящих в программу семинара и перечисленных ниже в разделах 5,6. Сделать по выбранным вопросам серию докладов на семинаре. Изложить свои результаты в виде научной математической заметки, поготовленной в системе ТеХ. Принимать активное участие в работе семинара, следя за результатами и докладами остальных участников и приобретая таким образом опыт академического общения. Компетенция умение формулировать результат Код по ФГОС/ НИУ ПК-3 Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата) Правильно воспроизводит чужие результаты. Правильно формулирует собственные результаты. Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции Компетенция формируется во всех сегментах учебного процесса. Формируется в процессе докладов и записи результатов. Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра Компетенция Код по ФГОС/ НИУ Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата) Воспроизводит доказательства стандартных результатов, услышанных на лекциях. умение строго доказать утверждение ПК-4 умение грамотно пользоваться языком предметной области ПК-7 понимание корректности постановок задач ПК-10 выделение главных смысловых аспектов в доказательствах 4 ПК-16 Оценивает строгость и корректность учебных текстов по инвариантам и представлениям классических групп. Распознает и воспроизводит названия основных объектов и математических структур, возникающих в алгебре и геометрии. Владеет и свободно использует профессиональную алгеброгеометрическую лексику. Умение переходить от геометрических моделей к алгебраическим и обратно, умение использовать единообразные алгебраические структуры и геометрические образы для описания и решения широкого круга конкретных задач из разных разделов математики. Понимает и воспроизводит основные принципы алгебраической геометрии и ключевые рассуждения, связывающие алгебраические и геометрические структуры. Понимает мотивировки абстрактных алгебраических конструкций в современной геометрии. Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции Участие в семинаре. Активное выслушивание докладов остальных участников семинара. Повышение собственной математической культуры и культуры академического общения в процессе обучения Продумывание услышанного на семинаре. Беседы с руководителями семинара и собственным научным руководителем в процессе подготовки своих докладов. Продумывание базовых фундаментальных концепций алгебры и геометрии. Вырабатывается в результате работы на семинаре и решения задач Продумывание ключевых моментов семинаров. Вырабатывается путем активного решения задач, самообразования, общения с преподавателями. Место дисциплины в структуре образовательной программы Настоящий НИС относится к циклу научно исследовательских семинаров для студентов младших курсов (просеминаров) и блоку специальных семинаров, обеспечивающих углублённую профессиональную подготовку бакалавров в избранном ими (самостоятельно при активном участии научного руководителя) направлении и призванных содействовать как можно более раннему вовлечению студентов в самостоятельную исследовательскую работу. Для участия в семинаре от студентов не требуется никакой дополнительной начальной подготовки, однако программа семинара специально рассчитана на активное взаимодействие с параллельно читаемыми основными обязательными курсами алгебры, геометрии, анализа и математической логики. Приобретённые на семинаре знания и опыт могут быть использованы для дальнейшего изучения различных специальных разделов алгебры, алгебраической и комбинаторной топологии, алгебраической геометрии, теории представлений, арифметики. Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 5 Тематический план учебной дисциплины № Всего часов Название раздела Введение в диофантовы приближения. Проективные коники. Введение в коммутативную алгебру. Теория пересечений плоских алгебраических кривых. 5 Введение в гомологическую алгебру. 6 Аффинная алгебраическая геометрия Итого 1 2 3 4 6 Аудиторные часы СамостояПрактичетельная ЛекСемиские заняработа ции нары тия 36 36 36 24 12 12 12 8 24 24 24 16 48 36 216 16 12 72 32 24 144 Формы контроля знаний студентов Тип контроля Форма контроля Домашние задачи. Промежу- Зачёт точный Итоговый Зачёт 1 год Параметры ** 1 2 3 4 1, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7 7 7, 7, 9 9 v v Выдаваемый на дом листок с задачами, которые надо письменно решить и сдать преподавателю в течение текущего модуля Зачёт по итогам работы семинара Зачёт по итогам работы семинара Критерии оценки знаний, навыков Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале. Главная форма текущего контроля — активное участие в работе семинара и сдача задач из выдаваемых на дом раз в две недели листочков с задачами. В конце 1-го и 3-го модулей участникам семинара выставляется зачётная оценка, отражающее участие в работе семинара, решение предложенных на семинаре домашних задач, выступления с докладами на семинаре и подготовленный текст. 6.1 Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра Содержание дисциплины 7 Раздел 1. Введение в диофантовы приближения. № Тема 1. Уравнение Пелля. 3. Терема Лагранжа о квадратичных иррациональностях. Цепочка Маркова и уравнение Маркова. Теорема Лиувилля о приближениях алгебраических чисел. Итого: 5. Самосто ятельная работа Литература 6 2 4 [9], [11] 6 2 4 [1], [2] 6 2 6 [6], [9], [15] 6 4 6 [4], [13] 6 2 4 [6], [9], [15] 36 12 24 Семинар ы Самосто ятельная работа Литература 9 3 6 [4] , [5], [10] 9 3 6 [4] , [5], [10], [16], [17] 9 3 6 [4] , [5] 9 3 6 [4] , [5], [13], [14] 36 12 24 Семинар ы Самосто ятельная Лекции Непрерывные дроби. 2. 4. Семинар ы Всего часов Раздел 2. Проективные коники. № Тема 1 2 Всего часов Лекции Пространство коник, коники и дробно линейные преобразования, теорема Паскаля. Поризм Понселе. 3 Цепочка Клиффорда. 4 Пучки коник. Итого: Раздел 3. Введение в коммутативную алгебру. № Тема Всего часов Лекции Литература Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра работа 1 2 3 4 Целые расширения колец. Лемма Гаусса. Нормальные кольца. Конечно порождённые алгебры над полем. Алгебраические расширения полей. Алгебраическое замыкание Степень трансцендентности. Теорема Нётер о нормализации. Теорема Гильберта о нулях и о базисе полиномиального идеала. Итого: 9 3 6 [2], [4], [10] 9 3 6 [2], [4], [10]. [12] 9 3 6 9 3 6 36 12 24 [2], [4], [8] [10], [12] [4], [10]. [12] Раздел 4. Теория пересечений плоских алгебраических кривых. № Тема 1 Алгебраическая замкнутость поля дробно степенных рядов. Разложение алгебраической иррациональности в ряд Пюизо. Результант, детерминант Сильвестра, исключение переменных. 3 Индекс пересечения плоских алгебраических кривых. Теорема Безу. Итого: 2 Семинар ы Самосто ятельная работа Литература 12 4 8 [2], [14] 6 2 4 [4], [8], [10] 8 2 4 [4], [10] 24 8 16 Семинар ы Самосто ятельная работа Литература 2 4 [3], [7] Всего часов Лекции Раздел 5. Введение в гомологическую алгебру. № Тема 1 Категории и функторы Симплициальные и полусимплициальные множества. Симплициальные цепные комплексы. Всего часов 6 Лекции Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 2 3 4 5 6 Диаграммный поиск, леммы о диаграммах, категория комплексов, длинная последовательность гомологий. Спектральные последовательности. Комплексы Кошуля и Де Рама. Гомологическая интерпретация индекса пересечения. Инъективные и проективные резольвенты, функторы Ext и Tor Квадратичная двойственность. Гомотопическая категория комплексов, циллиндр, конус, точные треугольники. Итого: 12 4 8 [3], [7] 6 2 4 [3], [7] 12 4 8 [3], [7] 6 2 4 [3] 6 2 4 [3] 48 16 32 Семинар ы Самосто ятельная работа Литература 12 4 8 [4], [8], [10] 12 4 8 12 4 8 36 12 24 Раздел 6. Аффинная алгебраическая геометрия. № Тема 1 2 3 Всего часов Антиэквивалентность категории аффинных алгебраических многообразий над алгебраически замкнутым полем k и категории конечно порождённых приведённых k-алгебр. Топология Зарисского. Неприводимые компоненты. Рациональные функции. Структурный пучок. Итого: Лекции [4], [8], [10], [14] [4], [8], [10], [12],[14] Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 8 Образовательные технологии В начале каждого модуля участникам семинара предлагаются на выбор различные темы для самостоятельного изучения при поддержке руководителей семинара и научного руководителя, а также задачи, решение которых участниками семинара приближается к самостоятельному научному исследованию и при благоприятном стечении обстоятельств может послужить началом полноценной самостоятельной научной работы. По мере того, как участники семинара продвигаются в изучении своих тем, они делают на семинаре доклады о своих продвижениях и пишут тексты, если написание таковых предусмотрено их учебным планом (например, составляет часть курсовой работы). Кроме того, примерно раз в две недели студентам выдаётся листок с задачами для самостоятельного решения, позволяющие лучше освоить обсуждаемые на семинаре вопросы и приобрести опыт практического использования представленных докладчиками результатов в различных смежных математических дисциплинах. Задачи должны решаться дома, после чего индивидуально сдаваться (устно или письменно) преподавателям в их присутственные часы и/или во время математических практикумов. Задачи, вызывающие значительные затруднения, коллективно обсуждаются на семинаре. Студенты, испытывающие затруднения при решении некоторых задач или изучении выбранных ими тем, могут соединяться в группы для совместной работы, возможно, под чьим-нибудь руководством (преподавателя или уже разобравшего эту задачу ранее студента старшего курса). 8.1 Методические рекомендации преподавателю Задачи вызывающие значительные затруднения, коллективно обсуждаются в классе. Во время докладов студентов следует уделять особое внимание ясности изложения и умению докладчика поддерживать контакт с аудиторией. Следует стимулировать конструктивное академечиское обсуждение докладов, воспитывать умение слушать собеседника и задавать содержательные вопросы. 9 Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента Основной задачей семинара является вовлечение студентов в самостоятельные математические исследования и воспитание математического вкуса и культуры академического общения. В соответствии с этим, основным оценочным критерием является активность, с которой студент принимает участие в работе семинара и качество его докладов и текстов. Для студентов, которые так и не осмеливаются сделать самостоятельный доклад и/или написать работу, имеется возможность получения зачёта по сумме решённых ими задач из листков. Студент имеет возможность по согласованию с учебной частью пересдать низкие результаты за решённые задачи путём досдачи последних в специально отведённый для этого день. 10 Порядок формирования оценок по дисциплине Оценка промежуточного и итогового зачётов выставляется по 10-балльной шкале. Сделанный студентом доклад оценивается по 100 бальной шкале числом D, написанная работа оценивается по 100 бальной шкале числом T, активность на семинаре и качество задаваемых вопросов оценивается по 100 бальной шкале числом A, количество решённых домашних задач Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра оценивается по 100 бальной шкале числом P, равным процентной доле от общего числа выданных задач. Итоговая зачётная оценка R вычисляется по формуле R = min(D+0.8 T+0.5 A+ 0,6 P, 120) * 10 / 120 (и округляется до целого числа в соответствии со стандартными правилами). При вычислении промежуточной оценки после второго модуля учитываются только результаты, полученные в течение первых двух модулей. При вычислении итоговой оценки после 4-го модуля учитываются результаты полученные за весь год. В диплом ставится оценка за итоговый контроль, полученная в коне 4-го модуля. 11 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины 11.1 Основная литература 1. Айерлэнд, Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: «Мир», 1987 2. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. - М.: «Наука», 1983 3. Гельфанд С.И., Манин Ю.И. Методы гомологической алгебры. Том 1. Введение в когомологии и производные категории. - М.: «Наука», 1988 4. Городенцев А.Л. Геометрическое введение в алгебраиескую геометрию. http://gorod.bogomolov-lab.ru/ps/stud/giag_ru/giag.pdf 5. Городенцев А.Л. Курс геометрии 2011-2012 года.http://vyshka.math.ru/1112/geometry.html 6. Касселс Дж.В.С. Введение в теорию диофантовых приближений. 7. Маклейн С. Категории для работающего математика. - М.: ФМЛ, 2004 8. Рид М. Алгебраическая геометрия для всех. - М.: «Мир», 1991 9. Хинчин А.Я. Цепные дроби. 10. Gorodentsev A.L. Algebraic geometry: start up course. - М.: МЦНМО, 2011 11.2 Дополнительная литература 11. Арнольд В.И. Цепные дроби. 12. Данилов В.И. Алгебраические многообразия и схемы. - В кн. «Алгебраическая геометрия — 1», Итоги науки и техники, Современные проблемы математики, Фундаментальные направления, М.: ВИНИТИ, 1989 13. Клеменс Д. Мозаика теории комплексных кривых. - М.: «Мир», 1984 14. Шафаревич И. Основы алгебраической геометрии. Том 1. Алгебраические многообразия в проективном пространстве. - 2е изд., М.: «Наука», 1988 15. Gruber P.M., Lekkerkerker C.G. Geometry of numbers - 2ed., NH, 1987 16. Semple J.G., Kneebone G.T. Algebraic projective geometry. - Oxford, 1952 17. Semple J.G., Roth L. Introduction to algebraic geometry. - Oxford, 1949