Благодарим Яковлева В.Д., старшего преподавателя кафедры

Муниципальное образовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №6 г. Коряжма»
3
2x 

0

3
x
Иррациональные
уравнения
и неравенства
Учебное пособие
для учеников старших классов школ
Коряжма 2010
2
Благодарим Яковлева В.Д.,
старшего преподавателя кафедры математического анализа СГУ,
за помощь в создании учебного пособия
Благодарим учащихся 9-11 классов
МОУ «СОШ №6 г. Коряжма»
за помощь в создании учебного пособия:
Андросова Артема,
Голованову Екатерину,
Гребневу Юлию,
Ефремову Марию,
Колеватову Викторию,
Суханова Александра,
Червочкину Галину,
Юркова Сергея,
Вяткина Дмитрия,
Гомзякова Михаила,
Епифанова Дениса,
Кузнецова Владислава,
Козицыну Евгению,
Трубачеву Юлию,
Чупрова Юрия
Составители:
Пантелеева Наталья Витальевна,
учитель математики высшей квалификационной категории,
Заслуженный учитель России, МОУ «СОШ №6 г. Коряжма»,
Губкина Ольга Валерьевна,
учитель информатики второй квалификационной категории,
МОУ «СОШ №6 г. Коряжма»,
Некрасова Анна, ученица 11 класса МОУ «СОШ №6 г. Коряжма»
Рецензенты:
Митянина Наталья Владимировна,
учитель математики первой квалификационной категории,
МОУ «СОШ №6 г. Коряжма»,
Сушков Владислав Викторович,
кандидат ф.м.н., доцент, преподаватель ГОУ ВПО КФ ПГУ,
Коваленко Светлана Валерьевна,
аспирант ГОУ ВПО ПГУ, преподаватель ГОУ ВПО КФ ПГУ
3
Содержание:
§1. Простейшие иррациональные уравнения
§2. Замена переменной
§3. Нестандартные методы решения иррациональных
уравнений
1. Метод сопряжённых чисел
2. Сведение уравнения к системе
3. Свойство монотонности функций
4. Формула
A  A2  B
A  A2  B
A B 

2
2
5. Тригонометрическая подстановка
6. Векторный метод
§4. Системы уравнений
§5. Иррациональные уравнения с параметрами
§6. Иррациональные неравенства
§7. Решение нелинейных уравнений с помощью
численных методов
Итерационные численные методы нахождения корня
заданной функции
Метод деления пополам
§8. Контрольные работы
Ответы
4
5
8
10
10
11
12
13
14
16
18
20
21
26
26
28
§1. Простейшие иррациональные уравнения
Уравнения, содержащие неизвестные под знаком радикала
(корня), называются иррациональными. Отметим следующее:
1. Все корни четной степени, входящие в уравнения,
являются
арифметическими.
Следовательно,
если
подкоренное выражение отрицательное, то корень не
определен; если подкоренное выражение равно нулю, то
корень тоже равен нулю; если подкоренное выражение
положительно, то и значение корня положительно.
2. Все корни нечетной степени, входящие в уравнение,
определены
при
любом
значении
подкоренного
выражения. При этом корень отрицателен, если
подкоренное выражение отрицательно; равен нулю, если
подкоренное выражение равно нулю; положителен, если
подкоренное выражение положительно.
2n
2 n 1
x являются возрастающими
3. Функции y  x , y 
функциями на своей области определения для всех n  N .
Используя эти свойства, в некоторых случаях можно решить
уравнения, не прибегая к преобразованиям.
Пример 1. Решите уравнение: x  x  9  2
Решение. Найдем ОДЗ уравнения, т.е. множество тех x, для
которых определена функция y  x  x  9 . Ясно, что
x  0; .
Но при x  0 x  9  9 , следовательно,
y
x  x 9  0 9  3  2.
Таким образом, уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.
Решите уравнения:
4. 4  x  x  6  2
1. x  x  3  3
2. 2 x  3  x  3  0
3
5.  1  x  x  5
3. x  2  x  1  2
5
Напомним, что уравнение f x   g x  , n  N , является
следствием
уравнения
f(x)=g(x).
Поэтому,
если
над
иррациональным уравнением проводится преобразование,
заключающееся в возведении обеих его частей в чётную степень,
то каждый из найденных корней полученного уравнения должен
быть проверен: является ли он корнем исходного уравнения или
нет.
Проверка осуществляется непосредственной подстановкой в
исходное уравнение каждого из корней полученного уравнения.
Если подставляемое число превращает исходное уравнение в
верное числовое равенство, то число удовлетворяет исходному
уравнению, т.е. является его решением (корнем); в противном
случае говорят, что это число не является решением уравнения.
2n
2n
Пример 2. Решите уравнение: 4 x  6  x  1 .
Решение. Возведём обе части уравнения в квадрат. Получим:
16x  6  x 2  2 x  1 , т.е. уравнение x 2  14 x  95  0 , являющееся
следствием исходного. Решениями последнего уравнения будут
числа x1  5 , x2  19 .
Проверим, удовлетворяют ли эти корни исходному
уравнению. Пусть x1  5 ; тогда получим 4  5  6  5  1 , т.е.
4  1  4 . Поскольку 4  4 , то x1  5 не является решением
исходного уравнения. При x2  19 исходное уравнение
превращается в верное числовое равенство 4  5  19  1. Итак,
x  19 – единственное решение исходного уравнения.
Ответ: 19.
Решите уравнения:
6. 2 x  7 x  52
7.
2
9. x  5  x  1
4 x  6  54  x
10.
3 x 1  x  5  6
8. x  8  2x  1
При возведении обеих частей иррационального уравнения в
степень, позволяющую избавиться от радикалов, появление
посторонних корней исходного уравнения происходит, как
правило, по следующим причинам:
2
6
а) за счет расширения ОДЗ исходного уравнения;
б) за счет возведения в четную степень его левой и правой
частей, которые равны по абсолютной величине, но одна из них
положительная, а другая отрицательная.
Чтобы избежать появления посторонних корней и потери
корней, целесообразно решать иррациональное уравнение
методом равносильного перехода, т.е. решать уравнение только
на его ОДЗ, заменяя уравнение равносильным. Если желаемое
преобразование уравнения или его членов на всей ОДЗ сделать
нельзя. То надо разбить ОДЗ уравнения на части и решать
уравнение на каждой из частей. Затем, объединяя множества
решений уравнения на всех частях ОДЗ уравнения, получим
множество всех решений уравнения. Такой метод решения
позволяет избежать громоздких вычислений в случае
непосредственной подстановки каждого из найденных корней
последнего в исходное.
Пример 3. Решите уравнение: 22  х  10  х  2 .
Решение. ОДЗ:
22  х  0

10  х  0
х  10
22  x  2  10  x
22  x  4  4 10  x  10  x
10  x  2
10  x  4
4 10  x  8
x6
Так как 6<10 (проверка ОДЗ), то x=6 является корнем
уравнения.
Ответ: 6.
Решите уравнения:
11.
14. x  1  9  x  2x  6
x  5  2x  8  7
15. 2x  1   x  11  2  x 
12. 26  5x  19  5x  3
13. 5x  7  2 x  3  3x  4
Пример 4. Решите уравнение: 5х  7  2 х  3  3х  4 .
Решение. Найдём ОДЗ уравнения:
7
5 х  7  0

2 х  3  0
3 х  4  0

х  3,5;
Возведём обе части уравнения в квадрат. Имеем:
5 x  7  2 x  3  2 2 x  3 3x  4  3x  4
2 (2 х  3)(3х  4)  14
(2 х  3)(3х  4)  7
Левая часть всегда принимает неотрицательные значения, а
правая часть меньше нуля. Следовательно, данное уравнение не
имеет решений.
Ответ: решений нет.
Решите уравнения:
16. 34 x  135  4 x  3 2 x  1
17. 7 x  1  3x  18  2 x  7
18.
x  2  x  7  x  5  x  10
19.
x  1  x  4  2x  1  2x  6
20. 8x  1  3x  5  7 x  4  2 x  2
2
2
Пример 5. Решите уравнение: 2 х  8 х  6  х  1  2( х  1) .
Решение. Найдём ОДЗ уравнения:
2

2 x  8 x  6  0
 2

x  1  0
2

x  4x  3  0
 2

x  1
x   ;3   1  1; 
Обратим внимание на то, что левая часть уравнения
неотрицательна, поэтому решения уравнения удовлетворяют
условию x  1 .
x=-1 – корень уравнения (0=0 – верно).
Пусть x  1. Сокращая обе части уравнения на x  1  0 , имеем
уравнение 2 x  6  x  1  2 x  1 , равносильное исходному.
Возведём обе части уравнения в квадрат. Получим:
2 x  6  2 2 x  6  x  1  x  1  4x  1
8
или 2 2 x  6  x  1  x  1.
Так как по условию x≥1, то данное уравнение равносильно
уравнению 42 x  6x  1  x  12 , корнями которого будут числа
25
x1  1, x 2   .
7
Поскольку x2<1, то решением исходного уравнения будет
только x=1.
Объединив решения, получим, что x1  1, x2  1 .
Ответ: ±1
Решите уравнения:
2
2
21. 2 x  21x  11  2x  9x  4  3 2x  1
22.
x 2  3x  2  x 2  8x  7  x 2  24 x  23
2
2
2
23. 4 x  9 x  5  2 x  x  1  x  1
2
2
2
24. 2x  3x  2  8x  2 x  1  18x  5x  7
25*
x2 1  x2  x  2  2 x 1
§2. Замена переменной
2
2
Пример 6. Решите уравнение: 2  х  х  х  х  1  1 .
Решение. При y  x  x уравнение примет вид 2  y  y  1  1 .
Последнее уравнение определено при y  1;2. Поскольку правая
часть уравнения положительна, то уравнение имеет решения
только при 2  y  y  1 , т.е. y<1,5.
Возведём при y  1;1,5 обе части уравнения в квадрат. В
результате получим равносильное исходному уравнение вида
2
2  y  2 2  y  y  1  y  1  1 или 2 2  y  y  1  0 .
Корнями последнего уравнения будут числа y1  1 , y2  2 , из
которых условию y  1;1,5 удовлетворяет лишь y1  1 .
2
2
Итак, y=1. Тогда x  x  1 или x  x  1  0 и
корни первоначального уравнения.
9
x1, 2 
1 5
2
–
1 5
2
Ответ:
.
Замечание. При решении уравнений с помощью замены переменной полезно сначала сделать эту замену и только после
этого находить ОДЗ получившегося уравнения. В этом случае отпадает необходимость поиска ОДЗ первоначального уравнения.
Решите уравнения:
x  16  x  9  7
2
26.
2
27.
2
2
29. x  3  3x  22  x  3x  7
28. x  2 x  8x  12  4 x  6
2
30.
2
2 x 2  3x  5 
Пример
20
20
1 
1  6
x
x
2 x 2  3x  5  3x
7.
Решите
уравнение:
x  4 x  4  x  3  2 x  4  1.
2
Решение. Пусть y  x  4 , тогда y  0 и y  x  4 .
2
Подставляя x  y  4 в первоначальное уравнение, получим
y2  4  4 y  y2 1 2 y  1
 y  22   y  12  1
y  2  y 1  1
Учитывая, что 1  2  y  y 1  2  y  y 1 , получим, что
числа 2  y и y  1 имеют одинаковый знак, т.е. 2  y    y  1  0 .
Решая последнее неравенство, получаем, что y  1;2.
2
Следовательно, x  5;8 , т.к. x  y  4 .
Ответ: x  5;8
Замечание. Обратите внимание на то, что исходное уравнение
имеет бесконечно много корней и проверить их в данном случае
невозможно.
Решите уравнения:
31.
x  2  2x  5  x  2  3 2x  5  7 2
10
32.
x  3  4 x 1  x  8  6 x 1  1
33.
x  6x  9  x  6x  9  6
34.
2 x  3  x  1  16  3x  2
x  12x  3
35. 10  x  6 x  1  5  x  2 4  x  7
2
Пример 8. Решите уравнение: x  x x  1  2x  1
y  x 1
Решение. Замена
приводит данное уравнение к
2
2
однородному уравнению вида x  xy  2y , где y  0 . Решая
последнее уравнение относительно х, получим x=y или x=-2y.
2
Пусть x  x  1 . Тогда x  0 и x  x  1  0 . Следовательно,
x
1 5
2 .
Если же x  2 x  1 , то x   1;0 и x  4 x  4  0 , т.е.
x  2  2 2 . Итак, корнями исходного уравнения будут числа
2
x1  2  2 2 ,
x2 
1 5
2
Ответ: 2  2 2 ,
.
1 5
2
.
Решите уравнения:
2
36. 4 x  5 x x  5  44x  5


2
37. x  12 x  4  6 x x  2

2
38. 2 x  1  x 6 x  2 x  3 39. 3x  x  1  x  x  1
2

2
4
2
40. 19  x  2 x  45x  133  6 7  2 x
§3. Нестандартные методы решения
иррациональных уравнений
1. Метод сопряжённых чисел
Выражения
вида
называются
A B ,
A B
сопряженными. Если A и B – рациональные выражения, то
11



A  B  A  B  A  B – также рациональное выражение.
Это обстоятельство часто используется при решении
иррациональных уравнений.
Пример 9. Решите уравнение:
2
x


x4

1 1 x  .
Решение. Найдём ОДЗ уравнения: x  1. Далее, уравнение
имеет смысл при x  4 . Рассмотрим уравнение на множестве
x  4; .
Воспользовавшись методом сопряжённых чисел, имеем:



x 1 1 x
x  4  
 1 1 x 1 1 x



 x 1 1 x
x  4  
 1  1  x 



 
 x1  1  x  

x4
2
 x 1 1 x 

x4  
 12  1  x 2 


2
 1 1  x







 x 1 1 x
x  4  
x






2


2


x  4   1 1 x
2
2
x  4  1 x  2 1 x 1
x4
2
2 1 x  6
 1 x 
2
1 x  3
 1  x  1
 32
x = 8 принадлежит промежутку x  4; .
Следовательно, x = 8 – корень уравнения.
Ответ: 8.
1 x  9
Решите уравнения:
41. x  4 1  x  1 1  x  1
x
x

1
1 x 1
42. 1  x  1
x  x 2  16 
43.
44.
40
x  16
1
1
4 3


1 x 1
1  x 1
1 x
x
2
45.
12
x 1  x 1
x 1

1
x  1  x 1 x  x2 1
2. Сведение уравнения к системе
6 x  10  5x  84  5 .
Пример 10. Решите уравнение:
Решение. Введём новые неизвестные u  6 x  10
v  5 x  84 , тогда u, v  0 . Получаем систему уравнений:
6 x  10  u 2

5 x  84  v 2

u  v  5
30 x  50  5u 2

30 x  504  6v 2

u  v  5
5u 2  6v 2  554

u  v  5
u  v  5
 2
2
5u  6v  554
u  v  5

2
2
5v  5  6v  554
u  v  5
 2
v  50v  429  0
u  v  5

v  11v  39  0
u  v  5

v1  11
v  39
 2
5 x  84  121

6 x  10  256
5 x  84  1521

6 x  10  1936
 x  41
 x  321

v  11

u  16
v  39

u  44







5 x  84  11
6 x  10  16
5 x  84  39
6 x  10  44
Ответ: 41; 321.
Замечание.
Данное уравнение можно было решить обычным путём.
Решите уравнения:
3
3
46. 8  x  8  x  4
47.
48.
3
2  x  x 1  1
3
2x  6  2  x  1
49.
4
97  x  4 x  5
50. 1  x  1  x  1  x  1  x  x
3. Свойство монотонности функций
Пример 11. Решите уравнение: 2 x  1  x  1  5
13
и
Решение. Найдём ОДЗ уравнения:
x  1; . На этом
множестве функции y  2 x  1 и y  x  1 строго возрастают,
следовательно, и
y  2x  1  x  1
– строго возрастающая
y

5
функция. Функция же
– постоянна на множестве 1; .
Поэтому, если данное уравнение имеет решение, то оно только
одно (графики функций y  5 и y  2 x  1  x  1 пересекаются в
одной точке).
Легко далее подобрать, что решением является x  5 .
Ответ: 5.
1  1  1  x  x 1
Пример 12. Решите уравнение:
.
Решение. Перепишем уравнение в виде:
1 1 1 1 x  x
. Пусть f  x   1  x , тогда
f  f  x   1  1  x , f  f  f  x   1  1  1  x
f  f  f  f x   1  1  1  1  x
. Так как функция f x 
монотонно возрастает на множестве x  0; , то
первоначальное уравнение равносильно уравнению f x   x .
Итак, имеем: 1  x  x при x  0 . Решим данное уравнение:
x  0

1  x  x
x  0

 x  1
 x  x  1

x  0

 x  x 1
x  1

2
 x   x  1
x  1
 2
 x  3x  1  0
3 5
x
2 .
Ответ:
14
x  1

 x  3  5

2

 x  3  5

2
x  1

 x  x 1
x
3 5
2
Решите уравнения:
3
3
51. 2 x  1  x  7  3
52.
3
3  5x  x  1  2
3
x 1  x 
53.
7  3x  5  4 x  1  2 x  2
54.
3
55. x  6  7 7 x  6
3
3
x 1
4. Формула
A B 
A  A2  B

2
A  A2  B
2
Замечание. При решении некоторых уравнений с двойными
радикалами полезно воспользоваться данной известной
формулой.
Пример 13. Решите уравнение:
x3  1  x  x 2  1  x  x 2  1
Решение. Найдём ОДЗ уравнения: x  1. При этих х согласно
x  x 2  1  x  x 2  1  2x  1 .
формуле
имеем:
Следовательно, при x  1 исходное уравнение равносильно
уравнению
x 3  1  2x  1
.
Далее имеем: x  1  2x  1
x2  x  1  2
x  1x 2  x  1  2x  1
3
Ответ:
1
2
x2  x 1  0
1 5
1 5
x
x
2
2 , но т.к. x  1, то
5.
Решите уравнения:
56.
x  x 2  36
 2 x 6 5
2
57.
x  x2  4
 x  4 1
2
15
58.
12  6 x  4  6  3 8  x  6
59.
2x2  4x  2 2x2  4x 1  1  x2  1
60.
4 x  2  2 3x 2  2 x  8  3x  4  2
5. Тригонометрическая подстановка
1) Если область определения уравнения (неравенства) есть
отрезок [-1;1] или его подмножество, то можно в некоторых
случаях использовать подстановку x  cos t , t  0; .
2) Если область определения уравнения (неравенства): x  1,
то
можно
использовать
подстановку
1
    
x
, t  0;    ;   .
cos t
 2 2 
3) Если область определения уравнения (неравенства) есть
множество действительных чисел R, то можно использовать
  
подстановку x  tgt, t    ;  .
 2 2
Пример 14. Решите уравнение: 1  x  2 x 2  1  2 x 1  x 2 .
Решение. Найдём ОДЗ уравнения: x   1;1. Пусть x=cos t,
t  0;  ,
тогда
1  cos t  2 cos 2 t  1  2 cos t 1  cos 2 t
используя
формулы,
t  0;  ,
то
2 sin 2
sin t  0 ,
t
 cos 2t  2 cos t  sin t ,
2
t
 cos 2t  2 cos t sin 2 t . Т.к.
2
t
sin  0 .
Тогда
имеем:
2
t
 cos 2t  sin 2t ,
2
t
2
2
t


sin 
cos 2t 
sin 2t , sin  sin  2t   ,
2
2
2
2
4

6t  
10t  
t


cos
 0,
sin  sin  2t    0 , 2 sin
8
8
2
4


2 sin
2 sin
16
или,
 6t  
sin 8  0 ,

cos 10t    0

8
t
 6t  
,
 8  n, n  Z

10t      k , k  Z
 8
2
3 ,т.к.
t  0;  .

10
 4

t   6  3 n, n  Z ,

t  3  4 k , k  Z
 10 5
Следовательно, x  cos 3  .
10
Ответ: cos 3  .
10
Пример 15. Решите уравнение:
x2  1  x 
5
2 x2  1
.
Решение. Найдём ОДЗ уравнения: x  R .
 
Пусть x  tgt, t    ;  . Тогда получаем уравнение:

tg 2t  1  tgt 
1
2
 tgt 
cos t
2 2
5
1
 tgt 
cos 2 t
2 tg t  1
2
5
2
1
cos 2 t
  
5
 cos 2 t . Так как t    ;  , то cos t  0 .
2
 2 2
Тогда получаем:
1
sin t 5

 cos t
cos t cos t 2
2  2 sin t  5  5 sin t

cos t  0
2
2  2 sin t  5 cos 2 t

cos t  0
5 sin t  2 sin t  3  0

cos t  0
2
sin t  1


3
 sin t   ,
5

cos t  0
3
sin t   . Далее:
5
2
9
16 4
 3
cos t  1  sin 2 t  1      1 

 ,
25
25 5
 5
x  tgt 
sin t
3 4
3 5
3
  :       0,75
cos t
5 5
5 4
4
Ответ: -0,75
Задание*.
Используя
тригонометрическую
17
подстановку
(свойство 2), попробуйте решить следующее иррациональное
x
35

уравнение: x 
2
x  1 12
1 2
Ответ: 1 ; 1 .
4 3
6. Векторный метод
   
Применение неравенства треугольника: a  b  a  b .

   

Замечание.
т.е.
векторы
a  b  a  b  a  b ,

xa ya za a
сонаправлены и


 .
xb yb zb b
   
2) Применение неравенства: a  b  a  b .
   
   
Замечание. a  b  a  b  cos  , поэтому a  b  a  b , когда
1)
  0 , т.е. векторы сонаправлены.
Пример 16. Решите уравнение:
x  12  x  62  x  42  x  22  5
Решение. Найдём ОДЗ уравнения: x  R . Рассмотрим векторы


ax  1;6  x и b 4  x; x  2.
 
 
a  b x  1  4  x;6  x  x  2,
a  b 3;4 .
Тогда
т.е.
   
Воспользуемся неравенством a  b  a  b . По условию
 
   
a  b  5 . Т.к. в уравнении знак равенства, т.е. a  b  a  b ,


имеем a  b . Тогда должна выполняться система:
18
 x 1 6  x
 4  x  x  2
x  1x  2  6  x 4  x 


6  x x  2  0
6  x  0
 x  2
 x 2  3x  2  x 2  10 x  24 7 x  22
22
1
x
x3 .


7
7
 x  2;6
x  6x  2  0
Рассмотрим граничные случаи: если x=4 или x=2, то векторы


a и b не являются сонаправленными. Значит, x=4 или x=2 не
будут решениями первоначального уравнения.
1
Ответ: 3
7
Решите уравнения:
61.
62.
x  32  1  x  22  4  10
x  12   y  12  x  y 2  y 2  1
63. x  2 y 
x  32   y  42

11 5
5
Пример 17. Решите уравнение: 1  9 x 2  3 4  x 2 
2
.
x
Решение. Найдём ОДЗ уравнения: x    1 ;0    0; 1  . На
 3  
3
области определения данное уравнение будет равносильно
уравнению x 1  9 x 2  3x 4  x 2  2 . Рассмотрим векторы

 




a x; 1  4 x 2 и b 1  9 x 2 ;3x . Тогда a  x 2  4  x 2  4  2 и

b  1  9 x 2  9 x 2  1  1 . Воспользуемся неравенством
 
   
a  b  a  b По условию a b  2 (из равносильного уравнения).
   
Т.к. в уравнении знак равенства, т.е. a  b  a  b , имеем


a  b . Тогда должна выполняться система уравнений:
19
x

2

 1  9x2

2
 4 x
 3 x  2
x
4  x2  6x
4  x 2  36 x 2
37 x 2  4
x2 
4
37
2 37
4
2
2 37
. С учётом ОДЗ x 


37
37
37
37
2 37
37
Решите уравнения:
64. x  1  2 x  3  50  3x  12
Ответ:
65. 2 x  1 2 x  1  x  1 4 x  1  2 x 2
§4. Системы уравнений

Пример 18. Решите систему уравнений: 4 x  y  2 .
y  x  6
Решение. Найдём ОДЗ: x  0 . При данных х сложим уравнения
2
системы, имеем: 4 x  x  4 , x  4 x  4  0 ,  x  2   0 , x  2 ,
х=4>0. Из второго уравнения системы следует, что y  x  6 ;
значит y  4  6  10 . Получаем, что решением системы будет
пара чисел x=4; y=10.
Ответ: (4;10).
Решите системы уравнений:

 x  y  2  2 y  1
66. 

 x  y 1  1

68. 



70. 


x  y 1  1
x 1  y  1
y  7 x  y  2x  5
y  2x  x  y  1
20
 x  y  5  11  2 x
67. 
 x  y  5  3

 2y  x  3 x  y
69. 

 5 y  x  2x

 x  2 y  x 1  1
71. 

 5  2y  2  x  2y
 x y  y x  6
Пример 19. Решите систему уравнений: 
.
 x 2 y  xy2  20
Решение. Найдём ОДЗ системы: x, y  0 .
Преобразуем первое уравнение системы: x y  y x  6
x

2
x 2 y  2 xy xy  xy2  36
y  y x  62
x 2 y  xy2  2 xy  36 20  2
3
xy3  8
xy3  64
xy3  36
2
xy3  16
xy3  43
xy  4 .
Далее, преобразуем второе уравнение системы: x 2 y  xy2  20 ,
x  y  5.
xyx  y   20
4x  y   20
Таким образом, получаем равносильную систему уравнений:
 xy  4
.

x  y  5
Решениями данной (учитывая ОДЗ) системы будут пары
чисел: x  1; y  4 и x  4; y  1 .
Ответ: (1;4), (4;1).
Замечание. Система уравнений, которая при перестановке
переменных (x и y меняются местами) не изменяется, называется
симметричной. Пример 19 – симметричная система.
Решите системы уравнений:
1
4
 1



y 3
72.  x
 xy  9

 x
y
3



x
2
74.  y

 x  y  1 2
2

 x  y xy  420
73. 
2

 y  x xy  280
3 x  3 y  3
75. 
3 x 2  3 xy  3 y 2  3
21



4 2
2

 5 x y  6 x  6 y x y  100
76. 
4 2
2

 13x y  6 x  6 y x y  356
 x  y x  y 2 x  y 2  65
78. 
 x  y x  y 2 x  y 2  185
 x  y x  y 24
x  y  x  y  5

80. 
4
 x y  1 
 x 2
x 9 x y




4 x  4 y  1
77. 
 x  y  5
 x 2  4 y  2 y  x
79. 
 x x 2  y 2  2 x  1

§5. Иррациональные уравнения с параметрами
Пример 20. Решите уравнение: 2 x 2  2ax  1  x  1 .
Решение. Возведём обе части уравнения в квадрат, имеем:
2
или
откуда
x 2  2ax  2 x  0 ,
2 x  2ax  1  x 2  2 x  1
x1  0, x2  2a  2 . Подставим найденные решения в исходное
уравнение. Получаем, что x=0 – посторонний корень ( 1  1 –
неверно).
Если же x  2a  2 , то получаем следующее уравнение:
22a  2  2a2a  2  1  2a  2  1 ,
2
8a  1  4aa  1  1  2a  3 ,
2
4a 2  12a  9  2a  3 ,
2a  32  2a  3 ,
2a  3  2a  3
Последнее равенство справедливо только при a  1,5
Ответ: при a   ;1,5 решений нет; при a  1,5; ,
x  2a  1 .
y  1 x
Пример 21. При каких а система уравнений 
имеет
y  a  x
единственное решение?
22
Решение. Рассмотрим первое уравнение
y  1  x , тогда
y  0 , y 1  x .
2
Выразим х
y  a 1  y2 .
x  1  y 2 и подставим во второе уравнение:
 y2  y  a 1  0
Рассмотрим систему 
y  0
2
y  y  a  1  0 (*)
D  1  4a  4  5  4a
2
5
1
1
1

y2  y   0  y    0 y   0
а) D = 0, тогда a 
4
4
2
2

Квадратное уравнение (*) имеет одно положительное
решение, тогда и система имеет 1 решение.
5
б) D > 0, a  . Уравнение (*) должно иметь корни разных
4
знаков: y1  y2  a  1  0, a  1.
a  1,25
a  1.

a  1
При a  1 первоначальная система имеет 1 решение.
в) a  1  0 a  1
y  0 или y  1 – 2 решения.
y2  y  0
y y  1  0
Выполните упражнение:
y  x  0
При каких a  0 система 
имеет единственное
y

ax

a

решение?
Ответ: a  0; a  0,5
Решите уравнения:
81.
x  a  x 1
82.
x 2  ax  1  x
83.
x 2  ax  3a  2  x
84.
x 2 1  a  x
85.
x2  x  a  x
86. a  x  a  x  ax ax
23
87.
x 1  x 1  a
88.
x  a 1 x  a  2
89.
a2
 2a  x  a  x
ax
90.
x  4a  16  x  2 x  2a  4
§6. Иррациональные неравенства
Основным методом решения иррациональных неравенств
является метод сведения исходного неравенства к равносильной
системе рациональных неравенств или совокупности таких
систем.
Чтобы избежать ошибок при решении иррациональных
неравенств, следует рассматривать только те значения
переменной, при которых все входящие в неравенство функции
определены, то есть найти ОДЗ этого неравенства, а затем
обоснованно осуществлять равносильный переход на всей ОДЗ
или её частях.
Пример 22. Решите неравенство: x  2  x .
Решение. Найдём ОДЗ неравенства: x   2; . Разобьём ОДЗ
на две части:  2;0 и 0; .
Пусть x   2;0 . Тогда в правой части неравенства –
отрицательное число, а в левой его части – число
неотрицательное. Следовательно, каждое x   2;0 является
решением исходного неравенства.
Рассмотрим далее x  0 . Возведя при этих х обе части
неравенства в квадрат, получим неравенство x  2  x 2 ,
равносильное исходному. Решая последнее неравенство, имеем
x   1;2 . Учитывая, что x  0 , получаем, x  0;2 .
Остаётся объединить полученные решения: x   2;2 .
Ответ: x   2;2 .
Символически это решение выглядит следующим образом:
24
x2  x
 x  2

 x2  x
 x   2;0 
 x  0;2 

x   2;2
  x   2;0 

 x  2  x

  x  0; 
 x  2  x

 x   2;0 

 x  0
 x  2  x 2

 x   2;0

 x  0

 x   1;2
Замечание. Данное неравенство можно решать и графически,
то есть построить графики функций y  x  2 и y  x на ОДЗ
неравенства и далее найти те х, при которых график функции
y  x  2 лежит выше графика функции y  x .
Пример 23. Решите неравенство:
Решение.
x  46  x  4 .
 x  46
 x  4
 x  46

x  46  x  4 
 2
 x  4
 x  7 x  30  0
 x  46  x  4 
2
 x  46  x  8 x  16
 x  4

x  10x  3  0
Ответ: x  3;
 x  4

 x   ;10  3;
Решите неравенства:
91. x  14  x  2
93.
7  3x  x  1
95.
x 2  x 5  3
92.
x  27  x  3
94. 2 xx  1  x 2  x  1
Пример 24. Решите неравенство:
Решение.
x  3;
x 5  9 x 1
25
x  5  9  x  1.
 x  5;9

 x 5  9  x 1
 x  5;9

x  5  2 x  5 9  x  9  x  1
 x  5;9

2 x  5 9  x  3
 x  5;9
 2
4 x  56 x  189  0
 x  5;9

 2 x  5 9  x  3
 x  5;9

2
4  x  14 x  45  9


 x  5;9


7 
7
 
 x    ;7  2   7  2 ; 
 

 

7 
x  7 
;9
2



7 
;9 .
Ответ: x  7 
2


Решите неравенства:
96. 2 x  1  x  1  1
98. 3x  11  x  3  2 x  4
100.
97. 2 x  1  x  2  5 x  10
99. x  1  4 x  13  3x  2
7 x 2  69 x  170  5x  26
Пример 25. Решите неравенство: x  1 4  x 2  0 .
Решение. Найдём ОДЗ неравенства: x   2;2 .
Заметим, что при x  2 неравенство верно (0=0 – истина), то
есть x  2 является решением данного неравенства.
Выражение
4  x 2  0 для всех x   2;2 . Тогда, чтобы
первоначальное неравенство было меньше либо равно нулю,
нужно x  1  0, x  1 . Учитывая, что x   2;2 , получаем
x   2;1.
Объединяя полученные решения, имеем: x   2;1  2
Ответ: x   2;1  2
Пример 26. Решите неравенство: x 2  5 x  6 x  1  0 .
Решение.
26
 x  1
 x  1
 2
 2
 x  5 x  6 x  1  0 x  5x  6  0
 x  1
 x  1
x   1;2  3;


x  2x  3  0
 x   ;2  3;
Пояснение. x  1 не является решением, так как при данном
значении аргумента неравенство неверно (0>0).
Ответ: x   1;2  3;.
x
2

 5x  6 x  1  0


Решите неравенства:
2
101. x  3x  5 x  10 x  24  0
x2
0
102. xx  1
103. x  3x  5 x  4  0
1 x
x2
104. 6  x  2  2 x 6  x  x  0

105. 
106*.


x  3  x  3 5  4 x  x  4  0
x  1  2 x  3  50  3x  12 (векторный метод)
Пример 27. Решите неравенство:
Решение.
c2  x2  2  c
1) Пусть с=2, тогда 4  x 2  0 .
Неравенство верно при условии 4  x 2  0 . x 2  4 , x  2 ,
x   2;2 .
2) Пусть 2  c  0 . Тогда с > 2. Неравенство верно при условии
2
c  x 2  0 . x 2  c 2 , x  c , x   c; c .
3) Пусть 2  c  0 . Тогда с < 2.
2
Неравенство верно при условии: c 2  x 2  2  c  .
c 2  x 2  4  4c  c 2  x 2  4  4c  x 2  41  c  x 2  4c  1 .
Если c  1 0 , то решения нет.
27
Если c  1 0 , 1  c  2 , то рассмотрим 2 случая:
а) с=1
б) 1  c  2
2
x 0
x  2 c 1
х=0
Ответ: Если с<1, то решений нет.
Если с=1, то х=0.
Если 1  c  2 , то x   2 c  1;2 c  1 .
Если с=2, то x   2;2 .
Если с>2, то x   c; c .


Пример 28. Решите неравенство:
13  3 x 
x  3x  2
5 x
1
Решение.
ОДЗ: x  3x  2  0; x  5 ; x   ;2  3; \ 5
1) Пусть 5  x  0 , x  5 . Тогда 13  3x 
x  3x  2  5  x
x2  x  6  2x  8
а) Если 2x  8  0 , x  4 , тогда  x   ;2  3;
Ответ: а) x   ;2  3;4
x  4
4 x5
б) Если 2x  8  0 , x  4 , тогда 
2
 x  x  6  2 x  8
Ответ: x  4;5
Ответ случая 1: x   ;2  3;5
2) Пусть 5  x  0 , x  5 . Тогда 13  3x 
2
4  x  5

  1 
 x   3 3 ;7 

 
x  4;5
x  3x  2  5  x
x  3x  2  2x  8
Заметим, что при x  5 правая часть всегда положительная.
2
Тогда x  3x  2  2 x  8 . 3x 2  31x  70  0 ,
x  5


1
 x  3 3 или x  7
x  5
 2
3x  31x  70  0
28
x  7;
Ответ: x  7;
Ответ: x   ;2  3;5  7;
Пример 29. Решите неравенство:
Решение.
6  x  x2
6  x  x2

2x  5
x4
1 
 1
6  x  x2 

0
 2x  5 x  4 
x  4  2x  5
6  x  x2 
0
x  42 x  5
 x 1
6  x  x2 
0
x  42 x  5
x 1
6  x  x2 
0
x  42 x  5
1) 6  x  x 2  0
x2  x  6  0
x1  3 ; x2  2
6  x  x 2  0

2) 
x 1
 x  42 x  5  0

 x   2;3

 x   ;4   2,5;1
x   2;1
Ответ: x   2;1 3
§7. Решение нелинейных уравнений
с помощью численных методов
Итерационные численные методы
нахождения корня заданной функции
29
Алгоритм нахождения корня уравнения с помощью
итерационного метода состоит из двух этапов:
а) отыскания приближенного значения корня до некоторой
заданной степени точности.
б) уточнения приближенного значения до некоторой заданной
степени точности.
Рассмотрим функцию f(x) удовлетворяющим условиям (1):
a) имеет на отрезке [a, b] непрерывную 2-ую производную;
b) f(x) строго возрастает (убывает) на [a, b],
т.е. f'(x)>0(f’(x)<0);
c) f(x) выпукла вниз (вверх) на [a, b], т.е. f ' x  0  f ' x  0 ;
d) f a  f b  0
В этом случае f(x) имеет на [a, b] единственный корень x0.
Найдем его. Для этого рассмотрим уравнение:
f(x) =0
(1.1)
Для решения уравнения (2.1) методом простой итерации
приведем его к равносильному виду:
x=φ(x)
(1.2)
Это всегда можно сделать. Например: x= f(x)+x≡φ(x).
Метод простой итерации заключается в последовательном
вычислении членов итерационной последовательности:
x1   x0 
x2   x1 
(1.3)

xi 1   xi , i  0, N
Итерационный
процесс
прекращается,
если
результаты
двух
последовательных итераций
близки: xi1  xi   .
Блок схема:
***
30
x0, ε
31
Метод деления пополам
Рассмотрим
функцию,
удовлетворяющую
тем же условиям
что и (1)
***
a, b, ε
нет
|b-a|>ε
Словесный
да
алгоритм:
1. Разделим
с: = (a - b) / 2
отрезок
(a;
b)
точкой c=(a+b)/2
да
нет
f (a)∙ f (b)<0
пополам;
2. Выберем ту
b: = c
a: = c
половину,
в
которой
содержаться корень
и обозначим её
x := (a - b) / 2
через
(a; b);
x
3. Если
то
ba  ,
***
вычисления
прекращаются, и за приближенное решение принимаем число
c=(a+b)/2, иначе вычисления вновь продолжаются с пункта 1.
Пример 30: Найти приближенное значение функции
f  x   22  x  10  x  2 (пример 3 из §1).
Решение.
Первая
производная
1 22  x  10  x
f ' x   
0
2
22  x  10  x
функции
на промежутке  ;10 . Значит функция возрастает на  ;10 .
Вторая производная f ' ' ( x)  0 – существует на  ;10 .
32
За точку а примем х=0, т.к. f 0  22  10  2  0 .
За точку b примем х=10, т.к. f 10  12  0  2  0 .
Реализация метода деления пополам на языке программирования Паскаль.
Program irrac_ur2;
Uses crt;
Var a,b,c,e,x: real; {описываем переменные,
обозначающие
концы
отрезка,
точность,
середину отрезка и корень}
Function f (z: real): real;{описываем функцию }
Begin
f:=sqrt(22-z)-sqrt(10-z)-2;
end;
begin
clrscr;
a:=0; b:=10; {константы концов отрезка}
write (‘e=’);
readln (e); {вводим значение точности}
while abs(b-a)>e do {пока расстояние между}
begin {концами отрезка больше точности,}
{будем делить его пополам}
c:=(a+b)/2; {середина отрезка}
if f(a)*f(c)< 0 then b:=c else a:=c;
{выбор отрезка, в котором содержится корень}
end;
x:=(a+b)/2; {вычисление корня}
writeln (‘x=’,x:3:4);
{вывод приближенного значения корня}
writeln (‘f(x)=’,f(x):3:4);
{вывод значения функции}
readln;
end.
Примечание: Как видно по результатам выполнения
программы решения разными способами совпали. А значит,
метод деления отрезка пополам тоже может иметь место.
33
Пример 31: Найти приближенное значение функции
f x   10 x  sin x  cos x
Решение.
За точку а примем х=0, т.к.
f 0  10  0  sin  0  cos 0   0  0  1  1  0 .
За точку b примем х=1, т.к. f 1  10 1  sin  1 cos 1   0 .
Реализация метода деления пополам на языке программирования Паскаль.
 
 
Program irrac_ur1;
Uses crt;
{описываем переменные обозначающие концы отрезка,}
{точность, середину отрезка и корень}
Var a, b, c, e, x: real;
{описываем функцию, для которой нужно найти корень}
Function f (z: real): real;
Begin
f:=10*z-sin(sqrt(z))-cos(sqrt(z));
end;
begin
clrscr;
a:=0; b:=1; {константы концов отрезка}
write (‘e=’);
readln (e); {вводим значение точности}
while abs(b-a)>e do
{пока расстояние между концами отрезка}
begin {больше точности, будем делить его пополам}
c:=(a+b)/2; {середина отрезка}
if f(a)*f(c)< 0 then b:=c else a:=c;
{выбор отрезка, в котором содержится корень}
end;
x:=(a+b)/2; {вычисление корня}
writeln (‘x=’, x:3:6);
{вывод приближенного значения корня}
writeln (‘f(x)=’,f(x):3:6);
{вывод значения функции }
readln;
end.
34
35
§8. Контрольные работы
Домашняя контрольная работа
по теме «Иррациональные уравнения и неравенства»
Вариант №1
I) Решить уравнения:
1) 2 x  3 x  3x  3
1
 20
x
2)
x  4  x 1  4x  5
3)
x 2  4 x  5  2 x  10  x 2  6 x  5
4)
1
3x  2

3
2 3x  2  3
3x  2  1
x  2  4 x  2  x 1 2 x  2  1
5)
6)
x 1
x 3
x2  2x  3

2
2 x  3 3x  2
6 x 2  13x  6
II) Решить неравенства:
1) x  1
2)
3)
4)
x4
0
x7
7  3x  1  2
x
x
3
4
2x  3
2x  3
x 2  4x  4 
3x
2
 5 x  1  1
2
5) 4 x  2  4  x  1
36
III) Сюжетная задача: Дана функция f x   4 x  x 2 .
1) Решите уравнение f x   x  2
2) Решите неравенство f x  x  5
3) Для каждого значения параметра а найдите число корней
уравнения f x   a .
Вариант №2
I) Решить уравнения:
1) 3x  3 x  2 x  5
1
5
x
2)
6  4x  x 2  4  x
3)
2x  3  x 1  x  2
2 4x 1 2 4x 1
4) 12  
 
x x4 x x4
x  3  4 x 1  x  3  2 x  2  4
5)
6)
4x  4
5x  2 5x  2
4

0
x2
x2
x 1
II) Решить неравенства:
1) x  3
2)
3) 4
4)
6 x
0
15  4 x
2x  3  2  1
2
3x  2
3 5
x
x
x 2  6x  9 
4x
2
 x  2  3
2
37
x 2  x 5  3
5)
III) Сюжетная задача: Дана функция f x   4 x  x 2 .
1) Решите уравнение f x   x  2
2) Решите неравенство f x  x  5
3) Для каждого значения параметра а найдите число корней
уравнения f x   a .
Оценки:
«3» – 5-6 заданий;
«4» – 7-8 заданий;
«5» – 9-10 заданий.
Ответы:
Вариант №1:
I) 1)  8 ; 2) 5;
3) -5;1; 4) 2;
II) 1)  ;7   4;1;
19
; 5) 2  x  3 ;
16
2   4 8

2)  2;    ;  ;
3   3 3


5  37 
4)   ;
  2;  ;
6 

6) -11;
3) 1,5;3 ;
5)  2;1 7;
III)  2  2
Вариант №2:
I) 1) 1;
2) 1;
3) -1;
II) 1)  3;3,75 ;

4) 1; 8;
5) 2; 5,84;
2)  3;2,5  0,5;0 ;

4)  2  7 ;2  4;5; 5) 2;3 6;
38
6) -20;
 1
3)  0;  ;
 11
III)  2  2
Ответы:
1) 3
21) 0,5; 5
41) 0
61) 8
42)  3
2
62) 1
63) (0,8; -0,4)
3
2)

22) -2; 1
3)
4)


23) -1; 5
24) 0,5; 2
43) 3
5)

25)  353 ;1; 161
45) 1
65) 0,5; 2,5
26)  5
27) 12
28) -2; 6
29) -3; 6
30) 4
31) 15
32) [5;10]
33) [1,5;3]
46) 0
47) 1; 2; 10
48) -1; 3; 35
49) 0
50) 16; 81
51) 1
52) -1
53) 2
66) (0,2; 1,5)
67) (5; 1)
68) (0; 0)
69) (1; 1)
70) (1; 2)
71) (5; 2)
72) (1;9), (9;1)
73) (18; 8)
44) 1
64
6) 8
7) 30
8) 1
9) 3
10) -1
11) 4
12) 2
13)  4
3
4
64) 3  x  50
2
3
64
14) 7; 8
15) -186
16) 4
17) 9
18) 11
34) 3
35) 0; 3
36) -4; 11
37) 6  4 2
38) 1;1  3
54) -1
55) -3; 1; 2
56) 6; 25; 10
57) 6
58) 8
74) (1;2), (2,1)
75) (8;1)
76) (1;4), (2;1)
77) (16;1)
78) (16;-3), (9;-4)
19) 5
20) 3
39) 2
40) 3
59)  2  6
60) 6
79) (-1;0), (-0,5;0,5)
80) 3,2 ,  22,5; 135 
2

81) Если a  0;1, то
 a 1

x  
 2a 
2
82) Если a   ;1  2; , то
83) Если
a   4;4 , то x 
4 
2
; если a   ;0  1; , то решений нет.
x
1
; если a  1;2, то решений нет.
2a
3a  4
; если a   ;4  4; , то решений нет.
a4
84) Если a   1;0  1; , то
x
a2 1
; если a   ;1  0;1 , то
2a
решений нет.
85) Если a   1;0,5  0; , то
x
a2
; при других а решений нет.
2a  1
39
86) Если а=0, то х=0; если а >1, то
x
a
; если a  1, a  0 , то решений нет.
a 1
a2  4
87) Если a  0;2, то x 
; при других а решений нет.
4a
4 a  8a  1
88) Если a  1,5 , то x 
; при других а решений нет.
4
89) Если а < 0, то х = -2а, если а = 0, то x  0; ; если а > 0, то решений нет.
90) Если a   ;0  8;, то
93)  2; 7 
 3 
94)  ;0  1;
95) 2;3  6;

96)  0,5;3  2 3
; если a  0;8 , то решений нет.
97)
9;
  
a2
4
2;
98) 4;
91) [-14; 2]
92)
x

99)

100)
103) 1;2  4 5;
104) (-3; 2)
105) 1
5,5;
101) 3;4  6

102)  2;1  0;
40
106) 1,5;16 2 

3 