СУЩНОСТЬ ОПТИМИЗАЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ НА УРОВНЕ ПРЕДПРИЯТИЯ

СУЩНОСТЬ ОПТИМИЗАЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ НА
УРОВНЕ ПРЕДПРИЯТИЯ
ИВАЩЕНКО Е.С., магистрант, г. Астана, КазАТУ им. С.Сейфуллина
МУТАЛЛЯПОВА Ш.Е., к.э.н., доцент, КазАТУ им. С.Сейфуллина
Перевод экономики на рыночные отношения требует дальнейшего
совершенствования планирования и управления сельскохозяйственным
производством на более качественной основе. Одним из важных путей
совершенствования планирования и управления сельскохозяйственным
производством является использование экономико-математических
моделей.
Термин "модель" широко используется в различных сферах
человеческой деятельности и имеет немало смысловых значений.
Соответственно этому, существует значительное число различных
определений данного понятия.
На основе сопоставления существующих взглядов и мнений понятие
"модель" представляет собой упрощенную конструкцию некоторого
объекта, предназначенную для разъяснения реальности, воздействия на нее
и управление ею [1].
С понятием "модель" тесно связано понятие "моделирование",
которое подразумевает процесс построения и изучения моделей объектов
познания.
Необходимость использования метода моделирования определяется
тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам)
непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это
исследование требует слишком высоких затрат времени и средств.
Очевидно, что все существующие модели могут быть условно
разделены на два класса - модели материальные, т.е. объективно
существующие (которые можно "потрогать руками"), и модели
абстрактные, существующие в сознании человека. Одним из подклассов
абстрактных моделей являются модели математические.
Применение математических методов существенно расширяет
возможности экономического анализа, позволяет сформулировать новые
постановки экономических задач, повышает качество принимаемых
управленческих решений.
Математические модели экономики, отражая с помощью
математических соотношений основные свойства экономических
процессов и явлений, представляют собой эффективный инструмент
исследования сложных экономических проблем.
В современной научно-технической деятельности математические
модели являются важнейшей формой моделирования, а в экономических
исследованиях и практике планирования и управления – доминирующей
формой.
Математические модели экономических процессов и явлений
называют экономико-математическими моделями (ЭММ) [2].
С помощью экономико-математических моделей (методов линейного
и нелинейного программирования и т. д.) решается проблема
оптимального распределения ресурсов. Оптимальное распределение
ресурсов - такое распределение ресурсов, которое обеспечивает
наилучшее, наиболее эффективное их использование. Основой
оптимального распределения ресурсов является их ограниченность, что
требует их использования (соответственно распределения) с учетом
критерия оптимальности. При этом все экономико-математические модели
направлены на то, чтобы обеспечить минимум затрат либо максимум
эффекта при ограничениях по объему ресурсов и потребности в них [2].
Для решения самых разнообразных задач оптимизации необходимо
иметь соответствующую математическую модель. В большинстве
ситуаций самые различные по содержанию задачи оказываются частными
случаями одной задачи оптимизации.
Если не рассматривать детально составление математической модели
на конкретных примерах, как это делается в большинстве посвященных
этой проблеме работ [3, 4], а перейти к общему случаю, то задача
оптимизации в общем случае, включающая три компоненты (целевую
функцию F, ограничения 𝑔𝑖 и граничные условия), имеет следующую
математическую постановку:
𝐹 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2,…, 𝑥𝑛 ) → max(𝑚𝑖𝑛) ;
𝑔𝑖 (𝑥1 , 𝑥2,…, 𝑥𝑛 ){≤, = , ≥} 𝑑𝑖 ;
……………………………………….
(1)
𝑔𝑖 (𝑥1 , 𝑥2,…, 𝑥𝑛 ){≤, = , ≥} 𝑑𝑖 ;
……………………………………….
𝑔𝑚 (𝑥1 , 𝑥2,…, 𝑥𝑛 ){≤, = , ≥} 𝑑𝑚 ;
𝑎𝑗 ≤ 𝑥𝑗 ≤ 𝑏𝑗 ; 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚; 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛, }
где 𝑎𝑗 и 𝑏𝑗 - нижнее и верхнее предельно допустимые значения 𝑥𝑗 [2].
Задачу можно представить в еще более общей компактной форме
записи:
𝐹 = 𝑓(𝑥𝑗 ) → 𝑚𝑎𝑥(𝑚𝑖𝑛);
}
𝑔𝑖 (𝑥𝑗 ){≤, = , ≥} 𝑑𝑖 ;
𝑎𝑗 ≤ 𝑥𝑗 ≤ 𝑏𝑗 ; 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚; 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛
(2)
Граничные условия показывают предельно допустимые значения
искомых переменных, и в общем случае они могут быть двусторонними
типа 𝑎𝑗 ≤ 𝑥𝑗 ≤ 𝑏𝑗 .
Ограничения обычно выражают определенные зависимости между
переменными величинами, которые по своей сути могут быть
теоретическими (формульными) и статистическими. Теоретические
зависимости обычно справедливы при любых условиях и для их получения
не требуется никаких дополнительных измерений. Однако на практике
достаточно часто между параметрами модели нет известной
функциональной зависимости.
Значения переменных, удовлетворяющие заданным граничным
условиям и ограничениям, называют допустимым решением задачи.
Иногда случается, что в задачу включаются противоречивые по смыслу
требования, выполнить которые невозможно. Такая ситуация приводит к
несовместным
задачам,
которые
в
планировании
называют
несбалансированными планами (когда нет и не может быть допустимых
решений). Обычно же, если задача составлена правильно, то в общем
случае она имеет набор допустимых решений. Чтобы из данного набора
допустимых решений лицо, принимающее решение (ЛПР), могло выбрать
одно наилучшее, необходимо договориться, как и по какому признаку его
найти. Заметим, что наилучшего решения во всех смыслах быть не может,
оно может быть наилучшим (оптимальным) только в одном, строго
установленном смысле. ЛПР должно абсолютно точно представлять, в чем
заключается оптимальность принимаемого решения, т. е. по какому
критерию (от франц. kriterion - мерило, оценка, средство для суждения)
принимаемое решение должно быть оптимально.
Критерий часто называют целевой функцией, функцией цели, а в
математических работах - функционалом. Критерий в общем случае может
оценивать качественные свойства объекта, причем как желательные для
субъекта (обычно с максимальным уровнем или значением, например,
прибыль, производительность, надежность), так и нежелательные для него
(или минимальные - непроизводительные затраты, расход материала,
простои оборудования и др.). Если при принятии решения требуется
максимизировать
какое-то
свойство
(к
примеру,
прибыль,
производительность или надежность), то в результате решения задачи
критерий будет иметь наибольшее значение из всех допустимых решений.
Если же требуется минимизировать критерий (стоимость, расход
материала, время простоев оборудования), то в результате решения
критерий будет иметь наименьшее значение из всех допустимых [2].
Множество различных по смыслу задач оптимизации, окружающих
нас, нельзя эффективно решить без привлечения ЭВМ, без знаний
экономико-математических моделей, практических навыков составления
математических моделей решения задач и применения их в среде
существующего программного обеспечения (Таблица 1) [2].
Таблица 1 - Классификация задач оптимизации процессов и принятия
решений.
Область
применения
Управление
Производство,
образование,
культура,
бизнес,
экономика,
финансы,
искусство,
бытовая сфера,
принятие
решений
Различные
задачи
распределения
ресурсов
(материальных
финансовых
информационных)
Проектирование
Разработка
технологических
процессов
1.Оптимизация
1.
Оптимизация
параметров объекта маршрута изготовления
проектирования
изделия
2.Оптимизация
2.
Оптимизация
структуры объекта параметров
проектирования
технологического
3.Оптимизация
процесса
функционирования
3. Выбор режима работы,
обеспечения качества и
эффективности
Основные задачи управления деятельностью человека можно
отнести к классу задач распределения и оптимизации ресурсов. Любой
объект в процессе управления, проектирования или эксплуатации
характеризуется своим устройством и действием, причем устройство
определяется его структурой и параметрами, а действие - процессом
функционирования. Например, технологический процесс можно
определить как последовательность работ, которые обусловливают
превращение сырья в готовую продукцию; такую последовательность
работ называют маршрутом; каждую операцию, входящую в маршрут,
можно
охарактеризовать
определенными
режимами
обработки,
управления, контроля, функционирования. Заметим, что и процессы
функционирования объекта проектирования, и технологические процессы
характеризуются изменением некоторых параметров во времени, которые
подразделяются на непрерывные и дискретные (непрерывные процессы
протекают в металлургии, энергетике, химии и др., а дискретные - в
машиностроении, экономике, образовании и т. п.).
В любых математических моделях можно выделить следующие
элементы: исходные данные, зависимости, описывающие целевую
функцию, и ограничения (Рисунок 1) [2].
Для экономических систем наиболее характерны задачи
оптимизации и распределения ресурсов, решаемые методом линейного
программирования, для которого разработаны надежные алгоритмы,
реализованные в поставляемом с ЭВМ программном обеспечении; более
сложные задачи (целочисленные, нелинейные) оптимизации можно свести
к задачам линейного программирования. Большинство задач оптимизации,
присущих техническим системам, как правило, относится к задачам
нелинейного программирования. В целом методы математического
программирования являются частью науки, традиционно называемой
исследованием операций.
ЭЛЕМЕНТЫ МОДЕЛИ
Исходные данные
Искомые переменные
Зависимости
Детерминированные
Непрерывные
Линейные
Случайные
Дискретные
Нелинейные
Рисунок 1 - Разновидности элементов математической модели
Методы оптимизации и распределения ресурсов на основе задачи
линейного программирования широко применимы в производстве,
транспорте, организации процессов, в обучении, руководстве персоналом и
др. К числу наиболее известных задач, решаемых этим методом, относятся
задача оптимального планирования производства.
Оптимизационная модель задачи является достаточно универсальной
моделью, описывающей множество задач распределения однородных
ресурсов - работ, назначений, материальных и трудовых ресурсов,
распределения инвестиций, финансовых средств и др., которые можно
успешно решить, если знать ответы на вопросы:
 В каком смысле распределение средств должно быть наилучшим?
 Какой вклад дает каждый объект (субъект) в целевую функцию?
Любая правильно составленная задача планирования имеет
бесчисленное множество допустимых решений. Какое же из них выбрать?
Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо прежде всего сформулировать
задачу оптимизации, при решении которой возможна лишь одна из двух
взаимоисключаемых постановок: либо при заданных ресурсах
максимизировать получаемый результат, либо при заданном результате
минимизировать используемые ресурсы.
Если через Q обозначить ресурсы, через R - результат их
применения, то при заданных зависимостях результата и потребных
ресурсов от количества выпускаемой продукции R =𝑓(𝑥𝑗 ); Q = 𝑓(𝑥𝑗 ) две
постановки задачи распределения ресурсов можно записать следующим
образом:
для первой постановки:
𝐹1 = 𝑅 → 𝑚𝑎𝑥; 𝑄 ≤ 𝑄3 ;
(3а)
для второй постановки:
𝐹2 = 𝑄 → 𝑚𝑖𝑛; 𝑅 ≥ 𝑅3 .
(3б)
Значит, поставить ее можно в одном из двух следующих вариантов:
либо максимизировать выпуск продукции с заданного оборудования, либо
минимизировать количество оборудования, используемого при выпуске
заданного объема продукции.
В общем случае математическая модель задачи распределения
ресурсов с числом переменных n и ограничений m имеет следующий вид:
𝑛
𝐹 = ∑ 𝑐𝑗 𝑥𝑗 → max(𝑚𝑖𝑛);
𝑗=1
𝑛
∑ 𝑎𝑖𝑗 ∙ 𝑥𝑗 ≤ 𝑏𝑗 ;
(4)
𝑗=1
𝑑𝑗 ≤ 𝑥𝑗 ≤ 𝐷𝑗 ; 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚; 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛,}
где 𝑐𝑗 - коэффициенты в целевой функции; 𝑎𝑖𝑗 - норма расхода i-го ресурса
для выпуска единицы j-й продукции; 𝑏𝑗 - имеющийся ресурс; 𝑑𝑗 и 𝐷𝑗 минимальное и максимальное допустимые значения 𝑥𝑗 [2].
Так как в эту модель все переменные входят в первой степени, т. е.
все зависимости являются линейными, то данную модель называют
задачей линейного программирования. С помощью этих задач можно
решать достаточно большой класс задач распределения ресурсов не только
в планировании и управлении производством и экономическими
объектами, но и в проектировании изделий и технологических процессов.
Если сравнить систему (4) с общей постановкой задачи оптимизации
(2), то можно утверждать, что задача линейного программирования
представляет собой частный случай задачи оптимизации в общем виде.
В современных условиях рыночных отношений при дефиците
материальных
и
финансовых
ресурсов,
несбалансированности
производственных планов по номенклатуре, нормам расходов материалов
и сырья возникают договорные, производственные, финансовые и прочие
нарушения, корректировки планов, приписки и др.
Сбалансированность планов по номенклатуре, заданным показателям
и ресурсам можно оперативно проверить с помощью моделирования на
ЭВМ не спустя какое-то время, когда обнаружатся ошибки и просчеты и
когда изменить что-либо уже трудно, а сразу же при решении задачи. При
этом необходимо опираться на достоверную нормативную базу, в
частности, на нормы расхода ресурсов на единицу выпускаемой
продукции.
Именно математические модели позволяют проанализировать
причины несбалансированности планов и выявлять недостоверность
исходных данных.
Решая задачу распределения ресурсов на ЭВМ, до получения
окончательного результата неизвестно, сбалансирована она или нет.
Однако, если существует подозрение, что задача может оказаться
несбалансированной, то имеет смысл сразу же так составить
математическую модель, чтобы она учитывала возможную недостачу
ресурсов.
Если необходимо минимизировать дополнительные ресурсы 𝑦𝑖 - при
получении прибыли от производства и выпуска продукции, то целевую
функцию следует записать с учетом этого условия
𝐹1 = 𝑦1 + 𝑦2 + ⋯ + 𝑦𝑖 + ⋯ + 𝑦𝑚 → 𝑚𝑖𝑛,
а условие получения прибыли включить в состав ограничений [2].
Результаты решения подобных задач на ЭВМ позволяют
промоделировать возможные ситуации и определить, сколько и какие
ресурсы требуются и каким станет план, если полностью изыскать
необходимые дополнительные ресурсы. Конечно, ЭВМ не может заменить
недостающие ресурсы, но она позволяет при составлении полной и
корректно сформулированной математической модели показать, что
необходимо осуществить, чтобы выполнить несбалансированный план.
Польза от такого анализа несомненна в любых ситуациях.
Преодолеть несбалансированность производственного плана можно
или увеличением ресурсов при возможности их изыскания, а при
невозможности добавления дополнительных ресурсов путем уменьшения
нижнего предела выпуска продукции, или сокращения норм расходов
каждого ресурса на выпуск единицы продукции. Если удастся преодолеть
несбалансированность планов за счет увеличения ресурсов или снижения
выпуска продукции и расхода ресурсов, то план производства будет
обоснованным, и такие планы нужно выполнять.
Перспективы использования экономико-математических моделей и
ЭВМ в сельском хозяйстве огромны. Потому что в этой важной отрасли
народного хозяйства часто встречаются задачи выбора оптимального из
числа
вероятных
решений
по
использованию
ограниченных
производственных ресурсов. Задачи подобного типа приобретают еще
более важную роль в условиях рыночной экономики.
Важно использовать оптимизационные модели, приспособленные
для решения данной специфической задачи, и информационные
технологии, позволяющие автоматизировать процесс получения
оптимального решения при значительной размерности исходных данных в
приемлемые, с точки зрения менеджмента, сроки и с минимальными
затратами.
В
результате,
возникает
возможность
улучшения
экономической эффективности от деятельности предприятия.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Муталляпова
Ш.Е.
Экономико-математические
методы
и
компьютерные технологии оптимизации. Учебное пособие. - Астана,
КАТУ им. С.Сейфуллина, 2009. - 125 с.
2. Шелобаев С.И.
Математические методы и модели в экономике,
финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. - М.: ЮНИТИДАНА, 2001. - 367 с.
3. Смирнов К.А. Нормирование
и рациональное
использование
материальных ресурсов. Пособие для практических занятий. РГАТА. Кафедра экономики. - Рыбинск, 1998. - 42 с.
4. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и
задачах. М.: ИПУ РАН, 2000. - 58 с.