Обобщающий урок семинар по теме: «Интеграл». 11 класс. (два урока). Учитель математики МБОЙ СОШ № 3. Солдатова Л.В. 2013-2014 учебный год. 1 Тема урока: «Интеграл». Цель урока: привести в систему знания, полученные по данной теме; различать действия между собой нахождение производной и определение первообразной функции; развивать мышление при решении более сложных задач; учить математической грамотности при устном объяснении решения и письменном оформлении; продолжать воспитывать личностные качества: мотивацию к учебной деятельности, навыки сотрудничества в разных ситуациях, самооценке; продолжать работать над познавательной УУД: использовать общие приемы решения задач, ориентироваться в разнообразных способах решения задач, выбирать наиболее эффективные способы решения); План урока: I. II. III. IV. V. VI. самостоятельная работа на основные знания на два варианта. всех парная работа на два варианта; работа в четверках на один вариант; работа на индивидуальной доске; самостоятельная работа на два варианта с усложненными заданиями; домашняя работа. Текст всех заданий распечатан для каждого ученика. После каждого вида заданий раздаются решения для самопроверки или взаимопроверки. Оценивание идет по следующей таблице: Количество заданий оценка 15-16 11-14 7-10 1-6 5 4 3 2 2 Ход урока. I. Самостоятельная работа на основные знания на два варианта. Вариант 1. Вариант 2. 1. Докажите, что функция F является первообразной для функции f на R: cos 2𝑥 𝑥4 3 f(x) =sin2x+3, F(x) = + 3𝑥. F(x) =-𝑥 + 5, 𝐹(𝑥) = − + 5𝑥 + 2. 2 4 Решение: Решение: cos 2𝑥 / / / 1 𝑥4 / 4𝑥 3 / / F (𝑥) = ( − ) +(3x) = × F (x) =() +(5x) =+ 5 = −𝑥 3 + 5 = 2 2 4 4 2 sin 2𝑥 + 3 = sin 2𝑥 + 3=f(x). 𝑓(𝑥). 2.Является ли функция F первообразной для функции f на заданном промежутке: 1 1 𝑥2 F(x)= 2 − sin 𝑥, f(x)= - 3 − cos 𝑥 на R F(x)=𝑥 3 + 1, 𝑓(𝑥) = + 𝑥 на 𝑅. 𝑥 1 𝑥 −3 4 −2 F (x)=( 2 − sin 𝑥) =-2𝑥 − cos 𝑥 = 3 − F/(x)=(𝑥 3 + 1 )/=3𝑥 2 ≠ 𝑓(𝑥). 𝑥 𝑥 cos 𝑥 ≠ 𝑓(𝑥) 3.Для функции f найдите первообразную F, принимающую заданное значение в данной точке: 1 𝑥2 3 f(x ) = , F(6)=10. F(x) = − 2, F(3)=5. / / √𝑥−2 Решение: F(x)=2√𝑥 − 2+c; 2√6 − 2 + 𝑐 = 10; 4+c=10; C=6; F(x) =2√𝑥 − 2+6. 3 𝑥 Решение: F(x) = 33 9 𝑥3 9 3 + +c. 𝑥 3 + +c=5; 3 C=1. F(x)= 𝑥3 9 3 + +1. 𝑥 4.Найдите общий вид первообразной для функций: 2 1 f(x)=sin 3𝑥 − 2𝑥. f(x)=(4 − 5𝑥)3 − (2𝑥−1)3 cos 2 Решение: 1 𝑥 F(x)=- cos 3𝑥 − 4𝑡𝑞 + 𝑐 3 2 Решение: (4−5𝑥)4 F(x)= 4×(−5) − 1 4(2𝑥−1)2 + 𝑐. 5. Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через точку М: 𝜋 −1 f(x) = √2 cos 𝑥 ,M( ; 2). f(x) = , M(0;3). 4 √𝑥+1 Решение: Решение: F(x)=√2 sin 𝑥 + 𝑐; F(x)=-2√𝑥 + 1+c; 𝜋 √2 sin 4 + 𝑐 = 2; -2√0 + 1+c=3; -2+c=3; 1+c=2; C=5. F(x) =-2√𝑥 + 1+5. C=1. 𝐹(𝑥) = √2 sin 𝑥 + 1. 3 II. Парная работа на два варианта. Вариант 1. Вариант 2. 1.Изобразите криволинейную трапецию, ограниченную данными линиями и найдите её площадь: 𝜋 У=(х − 1)2 , у=0, х=3. Решение: У=sin х, у=0, х = . 6 Решение: у у 1 0 (𝑥−1)3 F(x) = 3 3 𝜋 2 𝜋 6 х х F(x) =− cos 𝑥 + 𝐶. + 𝑐. 8 8 𝜋 2 𝜋 F( ) = − cos = − 6 6 F(0)=cos 0 = 1; S=F(3)-F(1)= − 0 = = 2 . 3 3 3 Второй способ через интеграл. 𝜋 S=F( ) − 𝐹(0)=6 √3 2 √3 ; 2 + 1= 2−√3 . 2 2.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией: У=cos х , у = 1, х − 𝜋 2 𝜋 Y=𝑥 2 , 𝑦 = 3𝑥. ,х = . 2 y у У=1 −𝜋 2 𝜋 2 0 х 𝜋 2 𝜋 − 2 Sф = Sпр - S кр.т=𝜋 × 1 − ∫ cos х𝑑𝑥 = 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 + sin 𝑥= + sin − sin (− )=𝜋 + 2. 2 2 2 Второй способ: 𝜋 𝜋 2 𝜋 − 2 2 ∫ (1 − cos 𝑥)𝑑𝑥 = (𝑥 + sin 𝑥) | 𝜋 = − 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 2 0 3 x Найдем абсциссы точек пересечения двух графиков, для чего решим уравнение:𝑥 2 = 3х; х(х − 3) = 0; х = 0 и х = 3. 3 3𝑥 2 𝑥3 3 Sф =∫0 (3𝑥 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = ( − ) | = 2 3 0 3 3×9 3 27 27 18 − )−0= −9= − = ( 9 2 2 3 2 2 2 = 4,5. + sin + − sin (− )=𝜋 + 2. 2 2 2 2 4 III. Работа в четверках на один вариант. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями. 2 У= 2, у=2𝑥 2 , х = 2. 𝑥 Найдем абсциссы точек пересечения двух графиков: 2 𝑥2 =2𝑥 2 , 𝑥 4 = 1; х = −1 и х = 1. −1 2 𝑆ф = ∫−2 𝑥2 0 𝑑𝑥 + ∫−1 2𝑥 2 𝑑𝑥 = −2 𝑥 | 2 2 −1 2 3 0 + 𝑥 | =(2-1)+ = 1 . 3 3 −2 3 −1 y Y=2𝑥 2 2 Y= 2 𝑥 = -2 IV. -1 0 x 1 Задания, выполняемые всем классом самостоятельно (один ученик на индивидуальной доске). Вычислите интеграл: 83 1.∫1 √𝑥 2 𝑑𝑥= 8 −2 2.∫1 𝑥 3 𝑑𝑥= 9 𝑑𝑥 3.∫1 𝜋 3 𝜋 4 √𝑥 = 1 4.∫ (𝑥 − 2 ) 𝑑𝑥 cos 𝑥 33 3 3 3 93 8 33 √𝑥 5 | = √85 − √15 = × 25 − = × 31 = = 5 5 5 5 5 5 1 5 18,6. 1 1 8 3𝑥 3 | = 3 × 83 − 3 × 1 = 3 × 2 − 3 = 3. 1 9 2√𝑥 | = 2 × 3 − 2 = 4. 1 33 𝜋 𝑥2 1= 1 5.∫−1(4 − 𝑥 2 )𝑑𝑥= 𝜋2 𝜋2 𝜋2 𝜋2 ( 2 − 𝑡𝑞𝑥) |𝜋3 = (18 − √3) − (32 − 1) = 18 − 32 − √3 + 7𝜋2 288 4 − √3 + 1. 𝑥3 1 1 1 2 1 = (4 − ) — (−4 + ) = 8 − = 7 (4𝑥 − ) | 3 −1 3 3 3 3 5 V. Самостоятельная работа на два варианта с усложненными заданиями. Вариант 1. Вариант 2. 1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: У=𝑥 2 + 4х + 6, у = 1, х = 1, х = 3. У=3 − 2х − 𝑥 2 , у = 0, х = 0, х = −2. у у 2 -2 1 Найдем хв = − 3 в 2а х 3 = −2 и ув = 2 Sф=∫1 (𝑥 2 + 4х + 6)𝑑𝑥 − 𝑆пр= 𝑥3 27 3 ( 3 + 2𝑥 2 + 6х) | − 2 × 1 = 3 + 1 1 18 + 18 − − 2 − 6 − 2 = 9 + 36 − 1 3 2 3 3 10 = 34 . -2 -3 Найдем хв = − 0 3 𝑥2 10 F(x)= − sin 2𝑥 + 𝑐 = − 2 2 2 5 sin 2𝑥 + 𝑐 3.Найдите интеграл функции: в 2а 1 х = −1 и ув = 4 Sф=∫−2(3 − 2х − 𝑥 2 )𝑑𝑥= 8𝑥 2 𝑥3 0 = (3х − 4𝑥 2 − (3х − 2 − 3 ) | −2 𝑥3 8 0 | = 0 − (−6 − 16 + ) = 6 + ) 3 3 −2 8 1 16 − = 21 . 3 2.Найдите общий вид первообразной для функции: f(x)=x-10cos 2𝑥 f(x)=sin 3𝑥 − 𝑥2 -1 1 2 cos2 . 𝑥 2 𝑥 F(x)=- cos 3𝑥 − 𝑡𝑞 +c. 3 2 4 = √2𝑥 + 1 | =3-√3. 3 √2х+1 √3х−4 1 3 2 (2+3𝑥) 1 1 1 2 (√5 − √2). (2 б) + 3𝑥) 𝑑𝑥 = | = ∫ 3 0 3 3 0 5 1 (1−2𝑥)4 5 3 3 (2+3𝑥) 1 б)∫−1(1 − 2𝑥) 𝑑𝑥 = − | = | = 13. 2 4 −1 9 0 4 (1−2𝑥) 5 − | = 1,5. 8 −1 3 а)∫2 𝑑𝑥 = 2√3𝑥−4 2 2 = √5 − √2= 3 3 4 а)∫1 𝑑𝑥 Подведение итогов урока: -оценить работу по таблице; -какую теорию использовали при выполнений заданий? -умение пользоваться справочным материалом. VI. Домашняя работа: учебник стр.205-206. 1.3)-г; 2.3)-а; 3.2)-б; 3.3)-а; 4.3)-б; 5.3)-в. 6 Распечатка материала для семинара. Самостоятельная работа на основные знания на два варианта Вариант 1 Вариант2 1. Докажите, что функция F является первообразной для функции f на R: cos 2𝑥 𝑥4 f(x)=sin2x+3, F(x)= + 3𝑥. F(x)=-𝑥 3 + 5, 𝐹(𝑥) = − + 5𝑥 + 2. 2 4 2.Является ли функция F первообразной для функции f на заданном промежутке: 1 1 𝑥2 F(x)= 2 − sin 𝑥, f(x)= - 3 − cos 𝑥 на R F(x)=𝑥 3 + 1, 𝑓(𝑥) = + 𝑥 на 𝑅. 𝑥 𝑥 4 3.Для функции f найдите первообразную F, принимающую заданное значение в данной точке: 1 𝑥2 3 f(x ) = , F(6)=10. F(x) = − 2, F(3)=5. √𝑥−2 3 𝑥 4.Найдите общий вид первообразных для функции: 2 1 f(x)=sin 3𝑥 − 2𝑥. f(x)=(4 − 5𝑥)3 − (2𝑥−1)3 cos 2 5. Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через точку М: 𝜋 −1 f(x)=√2 cos 𝑥 ,M( ; 2). f(x)= , M(0;3). 4 √𝑥+1 Парная работа на два варианта. Вариант 1. Вариант 2. 1.Изобразите криволинейную трапецию, ограниченную данными линиями и найдите её площадь. 𝜋 У=(х − 1)2 , у=0, х=3. У=sin х, у=0, х = . 6 2.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией: У=cos х , у = 1, х − 𝜋 2 𝜋 ,х = . 2 Y=𝑥 2 , 𝑦 = 3𝑥. Работа в четверках на один вариант. 7 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: 2 У= 2, у=2𝑥 2 , х = 2. 𝑥 Задания, выполняемые всем классом самостоятельно (один ученик на индивидуальной доске). Вычислите интеграл: 83 1.∫1 √𝑥 2 𝑑𝑥 −2 8 2.∫1 𝑥 3 𝑑𝑥 9 𝑑𝑥 3.∫1 𝜋 3 𝜋 4 √𝑥 1 4.∫ (𝑥 − 2 ) 𝑑𝑥 cos 𝑥 1 5.∫−1(4 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 Самостоятельная работа на два варианта с усложненными заданиями. Вариант 1. Вариант 2. 1.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: У=𝑥 2 + 4х + 6, у = 1, х = 1, х = 3. У=3 − 2х − 𝑥 2 , у = 0, х = 0, х = −2. 2.Найдите общий вид первообразной для функции: f(x)=x-10cos 2𝑥 f(x)=sin 3𝑥 − 2 cos2 . 𝑥 2 3.Найдите интеграл функции: 3 а)∫2 5 𝑑𝑥 ; √3х−4 б)∫−1(1 − 2𝑥)3 𝑑𝑥. 4 а)∫1 1 𝑑𝑥 ; √2х+1 б)∫0 (2 + 3𝑥)2 𝑑𝑥. Домашняя работа: учебник стр.205-206. 1.3) -г; 2.3)-а; 3.2)-б ; 3.3)-а ; 4.3)-б; 5.3)-в. 8