МАТЕМАТИКА 10 класс

МАТЕМАТИКА 10 класс
1. Если от третьего члена геометрической прогрессии отнять 4, то первые
три члена образуют арифметическую прогрессию с разностью 2. Найдите геометрическую прогрессию. (3 балла)
2. Сплав состоит из олова, меди и цинка. Если от этого сплава отделить
20 г и сплавить с 2 г олова, то во вновь полученном сплаве масса меди будет
равна массе олова. Если же отделить от первоначального сплава 30 г и прибавить сюда 9 г цинка, то в новом сплаве масса олова будет равна массе цинка.
Определите в процентах состав первоначального сплава. (3 балла)
3. Найдите модуль разности значений x , при которых функция
y  x2  3x  7 принимает наименьшее целое значение. (3 балла)
4. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями
функции y  2cos2 x  sin 2 x  2 . (3 балла)
x4
5. Найдите все значения a , при которых уравнение
x2  x  2
 a имеет
единственное решение. (7 баллов)
6. Решите уравнение x  1  x  1  x  3 x  1  1  6 . (7 баллов)



7. Решите систему уравнений
 x 2  y 2  2 x  12 y  37  0 ,
(5 баллов)
 2
y

2
x

8
y

10

0
.

8. Найдите наибольшее отрицательное решение уравнения
10sin x  sin 2 x  8,5  7 cos x . (7 баллов)
9. Найдите образ отрезка  1; 4 при отображении, заданном производ-
ной функции y  x3  3x2  1. (5 баллов)
10. Медиана AD и высота CE равнобедренного треугольника ABC
AB  BC  пересекаются в точке P . Найти площадь треугольника ABC , если
CP  5 , PE  2 . (7 баллов)
Физика 10 класс
1. На краю тележки массой m лежит тело массой 3m. В
тело попадает пуля массой m, горизонтально летевшая со скоростью 0 = 16 м/с, и застревает в нем.
Определить, на какое расстояние переместится тело с
пулей по тележке, если коэффициент трения скольжения между тележкой и телом 0,4. Трение между тележкой и горизонтальной плоскостью отсутствует. (15 баллов)
2. В точке А находится человек с пустым ведром, в точке В начинается пожар. В какую точку реки должен бежать человек, чтобы быстрее всего попасть в точку В, наполнив ведро водой?
Расстояния указаны на рисунке. (6 баллов)
3. К обоим концам вертикального стержня, который вращается с угловой скоростью ,
привязаны нитки. Свободные концы ниток привязаны к шарику массой 500 г. Шарик
вращается в горизонтальной плоскости. Во время вращения нитки образуют угол 90.
Длина верхней нитки а = 30 см, нижней – b = 40 см. Какая из ниток разорвется первой
и при какой угловой скорости, если предельная нагрузка, которую выдерживают нити
одинакова и составляет 12,6 Н? (10 баллов)
4. С катера, идущего со скоростью 18 км/ч, опускают в воду изогнутую под прямым углом трубку так, что опущенный в воду конец трубки горизонтален и обращен отверстием в сторону движения. Другой конец трубки, находящийся в воздухе, вертикален.
На какую высоту по отношению к уровню воды в озере поднимется вода в трубке?
Трением пренебречь. (8 баллов)
5. В сосуде под невесомым теплопроводящим поршнем содержится m граммов воздуха
при температуре Т0. Внешнее давление р0. На поршень кладут диск массой М, нагретый до некоторой температуры. После установления теплового равновесия объем, занимаемый газом, не изменился. Считать стенки сосуда и верхнюю поверхность диска
нетеплопроводными. Площадь поршня и диска S. Удельная теплоемкость воздуха с0,
материала диска с. Определить начальную температуру диска. (15 баллов)
6. Три моля идеального газа, находящегося при температуре
Т0 = 300 С, охлаждаются изохорически так, что давление падает в n
= 3 раза. Затем газ расширяется при постоянном давлении. В конечном состоянии его температура равна первоначальной. Определить совершенную газом работу. (10 баллов)
7. Какой из двух термометров (одинаковых по размеру) – ртутный или спиртовый - более инертный и почему? (8 баллов)
8. Электрическая цепь составлена из девяти проводников, которые образуют шестиугольник с диагоналями, выходящими из вершины А. Сопротивление каждого проводника 1 Ом. Определить сопротивление цепи между точками А и В (точка В является противоположной вершиной шестиугольника относительно точки А). (8 баллов)
9. Сколько витков никелевой проволоки ( = 0,4 Ом∙мм2/м) необходимо сделать на фарфоровом цилиндре диаметром d1 = 1,5 см, чтобы получился кипятильник, в котором за
10 минут закипит 120 г воды с начальной температурой 10 С? К.п.д. нагревателя
60%, диаметр проволоки d2 = 0,2 мм, напряжение 120 В, удельная теплоемкость воды
4200 Дж/(кг∙К). (15 баллов)
10. Плоское зеркало поворачивается на угол 27. На какой угол повернется отраженный
луч? (5 баллов)
МАТЕМАТИКА 11 класс
1. Три числа, из которых третье равно 6, образуют арифметическую прогрессию. Если взять 8 вместо 6, то эти числа будут составлять геометрическую
прогрессию. Найдите эти числа. (3 балла)
2. Цена бриллианта пропорциональна квадрату его массы. Бриллиант
массой p карат (1 карат=0,2 г) был разбит на две части, после чего его стоимость уменьшилась в k раз. Найдите массы этих частей и наибольшую потерю
стоимости. (3 балла)
3. Найдите модуль разности значений x , при которых функция
y   x2  3x  5 принимает наибольшее целое значение. (3 балла)
4. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями
функции y  3cos2 x  sin 2 x  3cos 2 x  3 . (3 балла)
5. Найдите все значения a , при которых уравнение
2x  4
x  2x  3
2
a
имеет единственное решение. (7 баллов)
6. Решите уравнение x  1  x  2  x  3 x  2  1  9 . (7 баллов)



7. Найдите сумму целочисленных решений неравенства
log12 x 2  8 x  12  1 . (5 баллов)


8. Найдите (в градусах) наибольшее отрицательное решение уравнения
2  3sin x 

cos x

2
 4cos 2 x . (7 баллов)
9. Рассматриваются прямые линии, каждая из которых касается графика
функции y  6 x3  12 x2  7 x  2 в точке с отрицательной абсциссой. Среди этих
прямых линий выбрана та, которая пересекает ось OY в точке с наименьшей
ординатой. Найдите эту ординату. (7 баллов)
10. Окружность с центром в точке O проходит через вершину C ромба
ABCD и касается лучей DC и DA . Найдите площадь ромба, если OA  4 ,
OD  5 . (5 баллов)
Физика
11 класс
1. Частица массой m, движущаяся со скоростью , налетает на покоящуюся частицу массой m/2 и после упругого удара отскакивает под углом 30 к направлению своего первоначального движения. С какой скоростью начнут двигаться обе частицы? (10 баллов)
2. К вращающемуся горизонтальному диску на расстоянии 10 см от оси вращения привязана нить длиной 60 см с грузиком на конце. При вращении диска нить составляет
угол 45 с вертикалью. На каком расстоянии от оси вращения диска может удержаться
небольшое тело, положенное на него, если коэффициент трения скольжения между
телом и поверхностью диска 0,25? (10 баллов)
3. На платформе, движущейся со скоростью 110 км/ч, находится математический маятник, длина нити которого 40 см. Сколько колебаний совершит маятник от начала торможения платформы до ее полной остановки, если движение происходит на горизонтальном участке с постоянным замедлением, а путь, пройденный платформой при
торможении, 50 м? (10 баллов)
4. Насос имеет объем засасывающей камеры v = 0,5 л. За сколько циклов работы насоса
можно откачать объем V = 10 л от давления р0 = 105 Па до давления р = 104 Па? Температуру считать постоянной. (15 баллов)
5. Какой из двух термометров (одинаковых по размеру) – ртутный или спиртовый - более инертный и почему? (5 баллов)
6. Узкий пучок электронов в вакууме проходит между двумя плоскими параллельными
пластинами и дает свечение на флуоресцирующем экране, отстоящем от пластин на
расстоянии l = 15 см. Когда на пластины подают напряжение 50 В, пятно смещается
на расстояние s = 21 мм. Расстояние между пластинами d = 18 мм, длина пластин b =
6 см. С какой скоростью попадают электроны в пространство между пластинами? (15
баллов)
7. Двум плоским одинаковым конденсаторам, соединенным параллельно, сообщен общий заряд Q. В начальный момент времени расстояние между пластинами первого
конденсатора начинает равномерно увеличиваться по закону d1 = d0 + t, а расстояние
между пластинами второго конденсатора равномерно уменьшаться по закону d2 = d0 t, где d0 – начальное расстояние между пластинами конденсатора,  - скорость движения пластин, t – время движения пластин. Пренебрегая сопротивлением подводящих проводов, найти силу тока в цепи во время движения пластин.
(15 баллов)
8. В схеме, изображенной на рисунке, известны сопротивления 1 Ом, 2 Ом и 3 Ом. Оба источника имеют одинаковую э.д.с., но разные внутренние сопротивления.
Определить разность внутренних сопротивлений источников, если разность потенциалов на зажимах одного из
источников будет равна нулю.
(9 баллов)
9. Внутри катушки индуктивностью 0,25 Гн находится плоский виток, сопротивление
которого 10 Ом. Плоскость витка перпендикулярна оси катушки. Ток в катушке равномерно изменяют от 2 А до 10 А. Какой заряд пройдет при этом через поперечное
сечение витка? (6 баллов)
10. Длина волны красных лучей в воздухе 700 нм. Какова длина волны этих лучей в воде
с коэффициентом преломления 1,33? (5 баллов)