УНИВЕРСИТЕТ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ОБРАЗОВАНИЯ РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

УНИВЕРСИТЕТ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ОБРАЗОВАНИЯ
РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
ДИСЦИПЛИНЫ
«МАТЕМАТИКА»
Старший преподаватель Легович С.И.
Дубна 2011
Основное содержание учебного курса
Тема 1. Аналитическая геометрия.
Система координат. Уравнения плоских кривых.
Литература: [1]
Тема 2. Линейная алгебра. Матрицы и определители.
Операции над матрицами. Определители матриц и их свойства.
Литература: [1, 4]
Тема 3. Введение в математический анализ.
Множества, операции над множествами. Множество действительных чисел. Точные
верхняя и нижняя грани множества. Теорема Вейерштрасса. Функция одной переменной,
способы задания функции. Определения сложной функции, обратной функции,
функции,. заданной параметрически.
Литература: [1, 3, 4].
Тема 5. Предел числовой последовательности.
Числовые последовательности, ограниченные, монотонные. Предел числовой
последовательности.
Сходящиеся
последовательности.
Необходимое
условие
сходимости. Единственность предела. Бесконечно малые последовательности и их
свойства. Необходимое и достаточное условие существования предела. Критерий Коши
сходимости последовательности. Бесконечно большие последовательности, их свойства
и связь с бесконечно малыми.
Литература: [1, 3, 4].
Тема 6. Предел функции.
Определения предела функции по Коши и по Гейне. Единственность предела
и
ограниченность функции. Критерий Коши существования предела. Арифметические
свойства пределов и свойства пределов, связанные с неравенствами. Бесконечно малые
функции и их свойства. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
Односторонние пределы. Необходимое и достаточное условие существования предела
функции. Предел сложной функции. Первый замечательный предел и следствия из него.
2
Второй замечательный предел и следствия из него. Сравнения функций. Эквивалентные
функции и их свойства.
Литература: [1, 3, 4].
Тема 7. Производная функции.
Определение производной функции одной переменной. Примеры. Таблица
производных. Геометрический смысл производной, уравнения касательной и нормали к
кривой.
Механический
смысл
производной.
Дифференцируемость
функции.
Необходимое условие дифференцируемости .
Литература: [1, 3, 4].
Тема 8. Свойства дифференцируемых функций.
Основные
правила
дифференцирования.
Производная
сложной
функции.
Инвариантность формы записи первого дифференциала. Свойства дифференциалов.
Производная обратной функции и функции, заданной параметрически, производная
неявной функции.
Производные и дифференциалы высших порядков. Формула
Лейбница.
Литература: [1, 3, 4].
Тема 10. Приложение производной к исследованию функций.
Достаточные условия монотонности функции. Экстремумы функции. Необходимое
условие экстремума. Достаточное условие экстремума (с первой производной и с
производными высших порядков). Наибольшее и наименьшее значение функции на
отрезке. Выпуклость и вогнутость графика функции. Достаточные условия выпуклости и
вогнутости. Точки перегиба графика функции. Необходимое условие точки перегиба.
Достаточные условия точки перегиба. Асимптоты графика функции. План исследования
функции и построение графика функции.
Литература: [1, 3, 4].
Второй семестр
Тема 11. Неопределенный интеграл и его свойства.
Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица
интегралов. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по
частям. Литература: [1, 3, 4].
3
Тема 12. Методы интегрирования различных функций.
Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование иррациональных функций.
Интегрирование тригонометрических функций. Тригонометрические подстановки.
«Неберущиеся» интегралы.
Литература: [1, 3, 4].
Тема 13. Определенный интеграл и его свойства.
Задача
о
площади
криволинейной
трапеции.
Определение
определенного
интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Необходимое условие
интегрируемости. Верхняя и нижняя суммы Дарбу. Необходимое и достаточное условие
интегрируемости. Достаточные условия интегрируемости. Свойства определенного
интеграла.
Литература: [1, 3].
Тема 14. Функции нескольких переменных.
Понятие евклидова n-мерного пространства. Области в n-мерном пространстве.
Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции
нескольких переменных.
Литература: [1, 3, 4].
Тема 15. Дифференциальное исчисление функций
нескольких переменных.
Частные производные функции. Дифференцируемость функции нескольких
переменных
и
дифференциал.
Связь
дифференцируемости
с
непрерывностью.
Достаточные условия дифференцируемости. Дифференцирование сложной функции.
Инвариантность формы первого дифференциала. Геометрический смысл частных
производных и дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Частные
производные
и
дифференциалы
высших
порядков.
Производная
по
направлению. Градиент функции. Дифференцирование функций, заданных неявно.
Формула Тейлора.
Литература: [1, 4].
4
Тема 16. Двойные интегралы.
Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла. Определение двойного
интеграла. Условия существования двойного интеграла. Свойства двойных интегралов.
Вычисление
двойных
интегралов.
Преобразование
плоских
областей,
якобиан
преобразования и его геометрический смысл. Замена переменных в двойном интеграле,
переход к полярным координатам. Геометрические и механические приложения
двойных интегралов.
Литература: [1,5].
Тема 17.Функции комплексного переменного.
Определение комплексного числа (поле комплексных чисел). Алгебраическая,
тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел. Действия над
комплексными числами в различных формах: сложение, вычитание, умножение,
деление, возведение в степень и извлечение корня. Решение квадратных уравнений с
действительными коэффициентами и с отрицательным дискриминантом.
Функции
комплексного переменного и их свойства.
Литература: [2 ].
Тема 18. Введение в теорию обыкновенных дифференциальных
уравнений (ОДУ).
Основные определения (порядок ОДУ, линейность и нелинейность, общее и
частное решения, общий и частный интеграл). Задачи, приводящие к ОДУ. Задачи Коши
для ОДУ 1-го порядка ее геометрический смысл, изоклины
Литература: [1, 2,]
Тема 19. Введение в теорию вероятностей.
Случайные события. Операции над случайными событиями. Классическое
определение вероятности.
Литература: [11]
Тема 20. Комбинаторика и вероятность.
Перестановки.
Размещения.
Сочетания.
Треугольник
Паскаля.
Свойства
биномиальных коэффициентов. Определение вероятности случайных событий в
комбинаторных задачах. Литература: [11]
5
Тематика и содержание практических занятий.
Практическое занятие 1. Аналитическая геометрия. Система координат.
Уравнения плоских кривых.
Практическое
занятие
2.
Введение
линейную
алгебру.
Матрицы
и
определители. Операции над матрицами. Вычисление определителей матриц различных
размерностей.
Практическое занятие 3. Обратная матрица. Вычисление ранга матрицы.
Определение матрицы обратной к заданной
Практическое занятие 4. Системы
линейных уравнений. Решение системы
линейных уравнений методом обратной матрицы. Решение системы
линейных
уравнений методом Крамера. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
Практическое занятие 5. Предел числовой последовательности. Определение
предела числовой последовательности. Вычисление пределов последовательностей.
.
Практическое занятие 6. Предел функции. Определение предела функции по Коши
и по Гейне, использование их при нахождении пределов. Раскрытие неопределенностей
 
0
   и  0  при вычислении пределов отношения многочленов на бесконечности и при
x  a . Вычисление пределов с иррациональностями. Первый замечательный предел и
следствия из него. Второй замечательный предел и следствия из него. Эквивалентные
функции и использование их при вычислении пределов. Односторонние пределы.
.
Практическое занятие 7. Производная функции одной действительной
переменной,
дифференциал. Определение производной функции и вычисление
некоторых производных по определению. Таблица производных, производные суммы,
произведения и частного двух функций. Табличное дифференцирование. Вычисление
производной
сложной
функции,
логарифмической
производной,
производной
показательно-степенной функции, производной функции, заданной параметрически,
обратной функции. Формула Лейбница. Дифференциалы первого и высших порядков.
6
Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Геометрический смысл
производной. Уравнения касательной и нормали к кривой. Угол между кривыми.
Практическое занятие 8. Исследование функций с помощью производных и
построение графиков функций. Исследование функций на возрастание и убывание.
Нахождение экстремумов функций, наибольших и наименьших значений на отрезке.
Исследование функции на выпуклость и вогнутость, нахождение точек перегиба,
асимптот графика функции. Построение графиков функций.
Практическое
интегрирование.
занятие
Вычисление
№9.
Неопределенный
неопределенных
интегралов
интеграл.
с
Табличное
помощью
замены
переменной и интегрирования по частям.
Практическое занятие №10. Методы интегрирования некоторых функций.
Интегрирование рациональных дробей. Метод неопределенных коэффициентов.
Метод Остроградского. Интегрирование иррациональных функций. Интеграл от
дифференциального
бинома.
Интегрирование
тригонометрических
функций.
Тригонометрические и гиперболические подстановки.
Практическое
занятие
№
11.
Определенный
интеграл.
Вычисление
определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница. Замена переменной в
определенном интеграле и интегрирование по частям.
Практическое занятие 12. Двойные интегралы. Вычисление повторных
интегралов. Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле. Вычисление
двойных
интегралов
в
декартовых
и
полярных
координатах.
Геометрические
приложения двойных интегралов: вычисление площади плоской фигуры, объема
цилиндрического тела, площади части поверхности. Приложения двойных интегралов к
механике: вычисление массы плоской пластины, координат центра тяжести, статических
моментов и моментов инерции плоской фигуры.
Практическое занятие 13. Векторный анализ и элементы теории поля.
Вычисление градиента функции. Векторное поле. Вычисление работы векторного поля и
ротора векторного поля. потенциальности векторного поля. Нахождение потенциального
векторного поля, потока векторного поля и дивергенции.
7
Практическое занятие 14. Функции комплексного переменного. Определение
комплексного числа (поле комплексных чисел). Действия над комплексными числами в
различных формах: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и
извлечение корня. Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами
и с отрицательным дискриминантом. Свойства функций комплекского переменного и
их свойства.
Практическое
занятие
15.
Введение
в
теорию
обыкновенных
дифференциальных уравнений (ОДУ). Определение основных понятий, относящихся
к ОДУ (порядок ОДУ, линейность и нелинейность, общее и частное решения, общий и
частный интеграл). Задачи Коши для ОДУ 1-го порядка ее геометрический смысл,
изоклины
Практическое занятие 16. ОДУ 1-го порядка. Решение ОДУ с разделяющимися
переменными. Решение однородных и линейных ОДУ, ОДУ Бернулли и ОДУ в полных
дифференциалах. Формулировка теоремы существования и единственности решения
задачи Коши для ОДУ 1го порядка (геометрическая интерпретация).
Варианты типовых расчетных работ.
Раздел 1. Линейная алгебра.
Тема 1. Матрицы и определители. Решение систем линейных уравнений.
Вариант типовой расчетной работы №1 (I семестр).
1 2
 0 5
 ; B  

3 4
 6 8
1. Даны матрицы A  
Найти их произведение АВ и ВА.
1 2
 .
2. Найти A 2 , где A  
3 4
3. Вычислить определитель .
8
1 1 1
A2
1
1
1
1
2
4. Найти матрицу, обратную к данной
1  1 1


A   2 1 1 .
 1 1 2


5.Найти ранг матрицы
6
2 5


4 1 5  .
 2  6  1


6. Решить систему уравнений
 x3  x 2  x3  3

2 x1  x 2  x 3  11 .
 x  x  2x  8
2
3
 1
а) методом обратной матрицы; б) по формуле Крамера
7. Методом Гаусса решить систему:
 2 x1  x 2  x3  x 4  5

 x1  2 x 2  2 x3  3x 4  6 .
 3x  x  x  2 x  1
2
3
4
 1
Раздел 2. Математический анализ
Тема 1. Пределы функций.
Вариант типовой расчетной работы №2 (I семестр).
Вычислить пределы функции:
5 x 2  3x  4
.
x2 x 3  2 x  1
1. lim
3x 2  4 x 2  7 x  4
.
x  9 x 5  x 3  2 x 2  5
2. lim
3. lim
x 3
x 2  5x  6
.
x3
9
x2  6x
.
x2  4
4. lim
x 2
x 2
5. lim
x 1 3
x 1
x  x 1
6. lim
3 x
x 
7. lim
x 3
8. lim
x

4
.
;
3  2x  3
;
x2  9
1  ctgx
cos( x 

4
;
)
 2x 2  1 

9. lim  2
x   2 x  3 
x 2 3
;
10.Найти точки разрыва функции и определить их характер:
y
x 1
;
x2 1
Тема 2. Производная функции.
Вариант типовой расчетной работы №3 (1 семестр).
Найти производную функции:
у = 5х3 - 4х2 + 7х -
x
1
3;
х
y  e x  sin x; y  ln x  arcsin x; y  tgx  arctgx;
y
cos x
ex  x
x 2  3x  4
; y x
;
; y
ln x
arccos x
e  x
y  etgx; у=ctg х ; у= ln x .
y
x 2  ln 2 cos x  ;
x2
1
y  ;
 x
2. Найти интервалы возрастания и убывания функций
10
у = х2-7х + 12; у =
1 3 5 2
х - х +6х – 7.
3
2
3. Найти экстремумы функции.
у=
1 3 7 2
х - х +10х – 4.
3
2
4. Найти интервалы выпуклости функции
у = х(х - 1)3.
5. Написать уравнения касательной и нормали к графику функции
y  2 x 4  x 3  x 2  1 , в точке с абсциссой x0  1 ;
6. Исследовать функцию и построить график:
у = 1 ln 2 x .
y  x2 
2
;
x
Тема 3. Неопределенный и определенный интегралы.
Варианты типовой расчетной работы №4 (1 семестр).
Вычислить интегралы:
1.
 (7 х
2.
(
3.
 tg5 x dx;
4
 5 х 3  2 х 2  4 х  3)dx ;
х
1
) dx;
х2
3x 3  7 x 2  2 x  x  1
4. 
dx;
x
5.
 xe
6.
 sin
x2
7.

8.

tg
5
dx;
x cos xdx ;
1
x dx ;
x2
cos x
dx ;
x
11
9.
 x sin xdx ;
10.  x 2 cos xdx ;
11.  xex dx ;
12.  ln xdx ;
13. 
dx
;
sin x
14. 
8 x
dx ;
x  4 x  13
15. 
2
dx
;
x 3 x
2
16.  x 2 ln xdx ;
1

17.  x sin xdx ;
0
4
18. 
3
dx
.
x  3x  2
2
Тема 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Варианты типовой расчетной работы №5 (II семестр).
1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения с разделяющимися
переменными.
2. Найти общий интеграл однородного дифференциального уравнения.
3. Найти решение задачи Коши (общее решение найти двумя методами –методом
Бернулли и методом Лагранжа).
12
4. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
5. Найти общий интеграл дифференциального уравнения с разделяющимися
переменными.
6. Найти общий интеграл однородного дифференциального уравнения.
7. Найти решение задачи Коши (общее решение найти двумя методами –методом
Бернулли и методом Лагранжа).
8. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
Тема 5. Числовые ряды, численные методы и элементы теории поля.
Варианты типовой расчетной работы №6 (II семестр).
1. Исследовать числовой ряд на абсолютную и условную сходимость:



1


ln 2 n

 1n  e n  1
n2
;
2. Найти область сходимости степенного ряда:


n 1
 1n1 x  1n ;
2n  n  1
3. Вычислить интеграл с заданной степенью точности  :
ln 1  x 
dx ;
x
0
0.1

  10 3
13
Перечень вопросов к итоговому контролю (экзамену)
I семестр.
1.
Матрицы и определители.
2.
Операции над матрицами.
3.
Определители матриц и их свойства.
4.
Обратная матрица. Ранг матрицы.
5.
Системы линейных алгебраических уравнений и их решения.
6.
Действительные числа (свойства).
7.
Точные верхние и нижние грани множества. Теорема Вейерштрасса.
8.
Предел последовательности. Геометрическая интерпретация. Критерий
9.
Необходимое условие сходимости последовательности. Единственность предела.
10.
Бесконечно малые последовательности и их свойства.
11.
Бесконечно большие последовательности. Их связь с бесконечно малыми.
12.
Арифметические операции над сходящимися последовательностями.
13.
Теоремы о переходе к переделу в неравенствах.
14.
Теорема о монотонности ограниченной последовательности.
15.
Число ℮.
16.
Предел функции по Коши и Гейне.
17.
Единственность предела функции и ограниченность функции, имеющей предел.
Коши.
Критерий Коши.
18.
Арифметические свойства предела функции.
19.
Свойства пределов, связанные с неравенствами.
20.
Бесконечно малые функции и их свойства.
21.
Бесконечно большие функции, их связь с бесконечно малыми.
22.
Односторонние пределы. Необходимое и достаточное условие существования
предела.
23.
Предел сложной функции.
24.
Первый замечательный предел. Свойства.
25.
Второй замечательный предел. Свойства.
26.
Непрерывность функции.
14
27.
Точки разрыва функции.
28.
Свойства функций, непрерывных в точке.
29.
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
30.
Непрерывность обратной функции.
31.
Производная функции. Определение. Примеры.
32.
Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к кривой.
33.
Механический смысл производной.
34.
Дифференцируемость
функции.
Необходимое
и
достаточное
дифференцируемости. Дифференциал.
35.
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
36.
Основные правила дифференцирования.
37.
Производная сложной функции. Инвариантность первого дифференциала.
38.
Производная обратной функции и функции, заданной параметрически.
39.
Таблица производных.
40.
Производные высших порядков.
41.
Дифференциалы высших порядков.
42.
Теорема Ферма.
43.
Теорема Роля.
44.
Теорема Лагранжа.
45.
Теорема Коши.
46.
Правило Лопиталя.
47.
Монотонные функции. Достаточные условия монотонности.
48.
Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума.
49.
Достаточное условие экстремума (с первой и второй производной).
50.
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
51.
Выпуклость и вогнутость графика функции. Достаточные условия.
52.
Точки перегиба. Необходимое условие точки перегиба
53.
Достаточные условия точек перегиба.
54.
Асимптоты графика функции.
55.
Исследование функции с помощью производных и построение графиков.
15
условие
Второй семестр
56.
Первообразная функция. Неопределенный интеграл, его свойства.
57.
Таблица интегралов.
58.
Замена переменной в неопределенном интеграле.
59.
Интегрирование по частям.
60.
Интегрирование рациональных дробей.
61.
Интегрирование тригонометрических выражений.
62.
Интегрирование некоторых иррациональных выражений.
Тригонометрические
подстановки.
63.
Определенный интеграл. Определение и условия существования.
64.
Свойства определенного интеграла.
65.
Интеграл с переменным верхним пределом.
66.
Формула Ньютона-Лейбница.
67.
Замена переменной в определенном интеграле.
68.
Интегрирование по частям в определенном интеграле.
69.
Вычисление площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла.
70.
Функции нескольких переменных (основные определения).
71.
Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
72.
Частные производные функции.
73.
Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия.
74.
Достаточные условия экстремума функции нескольких переменных.
75.
Понятие об условном экстремуме. Метод множителей Лагранжа.
76.
Задача об объеме цилиндрического тела. Определение двойного интеграла.
77.
Условия существования двойного интеграла.
78.
Свойства двойных интегралов.
79.
Вычисление двойного интеграла (сведение к повторному интегралу).
80.
Преобразование плоских областей. Геометрический смысл якобиана отображения.
81.
Замена переменных в двойном интеграле. Полярная система координат.
16
82.
Геометрические приложения двойных интегралов
83. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ).
84. Основные определения (порядок ОДУ, линейность и нелинейность, общее и
частное решения, общий и частный интеграл).
17
Список рекомендуемой учебной литературы
Список основной учебной литературы:
1. Крамер Н.Ш.,Путко Б.Н. и др. Высшая математика для экономистов. Под редакцией
Н.Ш. Крамера М., Наука, 2007 г.
2. Бугров Я. С., Никольский С.М.Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы.
Ряды. Функции комплексного переменного. М., Наука, 1981 г.
3. Демидович Б.П.Сборник задач и упражнений по математическому анализуМ., Изд-во
МГУ, 1997 г.
4. Кудрявцев Д.Л.Математический анализ, том 1,М., Высшая школа, 1973 г.
5. Кудрявцев Д.Л.Математический анализ, том 2 ,М., Высшая школа, 1973 г.
Список дополнительной учебной литературы:
6. Рудин У.Основы математического анализа, М., Мир, 1966 г.
7. Сборник задач по математике для ВТУЗов под ред. Ефимова А.В. и Демидовича Б.П.,
часть 1,М., Наука, 1986 г.
8. Сборник задач по математике для ВТУЗов под ред. Ефимова А.В. и Демидовича Б.П.,
часть 2,М., Наука, 1986 г.
9. Фихтенгольц Г.М.,Основы математического анализа, том 1,М., Наука, 1970 г.
10. Фихтенгольц Г.М.,Основы математического анализа, том 2М., Наука, 1970г.
11. Гмурман. В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Москва; Высшая
школа, 2003 г.
12. Канторович Л.В.,Акилов А.Н. Функциональный анализ, М., Наука, 1970 г.
13. Березин Н.К., Жидков А.П. Численные методы. М., Наука, 1971 г.
18