Высшая математика 2015-2016

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины "Высшая математика" для направления 41.03.05 «Международные отношения»
подготовки бакалавра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Ф а ку л ь т е т М и р о во й э ко но м и ки и по л ит ик и
Программа дисциплины
Высшая математика
для направления 41.03.05 «Международные отношения»
подготовки бакалавра
Автор программы:
Богатая С.И., к.ф.-м.н., доцент, sbogataya@hse.ru,
Егорова Л.Г., преподаватель, legorova@hse.ru
Одобрена на заседании кафедры высшей математики на факультете экономики 2015г.
Зав. кафедрой
Алескеров Ф.Т.
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г.
Председатель
________________________ [подпись]
Утверждена УС факультета [Введите название факультета] «___»_____________20 г.
Ученый секретарь
________________________ [подпись]
Москва, 2015
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины "Высшая математика" для направления 41.03.05 «Международные отношения»
подготовки бакалавра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и
отчетности.
Учебная дисциплина «Высшая математика» (факультет мировой экономики и мировой политики, образовательная программа «Международные отношения», 1 курс) не
требует предварительных знаний, выходящих за рамки программы общеобразовательной
средней школы.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину,
учебных ассистентов и студентов направления 41.03.05 «Международные отношения»
подготовки бакалавра.
Программа разработана в соответствии с:
 образовательным стандартом федерального государственного автономного
образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «Высшая школа
экономики» по направлению подготовки 41.03.05 Международные отношения, утвержденным в 2014г.;
 рабочим учебным планом университета подготовки бакалавров по направлению 41.03.05 «Международные отношения», утвержденным в 2015г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Высшая математика» являются:
 овладение основными методами классического математического анализа (дифференциального и интегрального исчисления), линейной алгебры и аналитической геометрии;
 умение использовать эти знания при постановке прикладных задач, содержательно интерпретировать получаемые количественные результаты анализа;
 развитие логического мышления и формирование навыков работы с абстрактными понятиями математики;
 ясное понимание роли математических знаний в общей подготовке специалиста
в области экономики и политики.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 знать фундаментальные основы математики, информатики;
 уметь создавать базы данных и использовать ресурсы Интернет, применять
знания и навыки в этой области для решения профессиональных задач;
 владеть навыками использования программных средств и навыками работы
в компьютерных сетях.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины "Высшая математика" для направления 41.03.05 «Международные отношения»
подготовки бакалавра
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
Универсальные
Код по
ФГОС /
НИУ
СК-Б3
Универсальные
СК-Б4
Универсальные
СК-Б10
Профессиональные
СК-Б2
Профессиональные
СК-Б6
4
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Способен выявлять научную
сущность проблем в профессиональной области.
Способен решать проблемы в
профессиональной деятельности на основе анализа и синтеза
Способен критически оценивать и переосмыслять накопленный опыт (собственный и
чужой), рефлексировать профессиональную и социальную
деятельность
Способен научно интерпретировать данные отечественной и зарубежной статистики о социально-экономических и политических процессах и явлениях
Способен предвидеть возможные
проблемы и ограничения в планировании и разработке научного
исследования, предлагать варианты их устранения
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
Стандартные (лекционно-семинарские)
Стандартные (лекционно-семинарские)
Стандартные (лекционно-семинарские)
Стандартные (лекционно-семинарские)
Стандартные (лекционно-семинарские)
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин Б.Пр. «Профессиональный цикл (Major)» и блоку дисциплин Б.Пр.Б «Базовая часть». Курс предназначен для
студентов по направлению 41.03.05 «Международные отношения» подготовки бакалавра,
читается в течение первых двух модулей в рамках 1 курса. От слушателей не требуется
никаких предварительных знаний сверх программы средней школы. Программа соответствует требованиям ФГОС.
Сведения, полученные при изучении данного курса, будут использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
-экономическая теория;
-теория игр;
- экономическая и социальная статистика;
- методы принятия политических решений.
Программа предусматривает чтение лекций (32 часа) и проведение семинарских
занятий (32 часа). Целью семинарских занятий является приобретение студентами прочных навыков математических расчетов и осмысление теоретического материала. Кроме
того, закрепление полученных знаний проводится посредством самостоятельной работы
студентов, формой контроля которой являются еженедельные домашние задания по всем
разделам курса.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины "Высшая математика" для направления 41.03.05 «Международные отношения»
подготовки бакалавра
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 математика в объеме средней школы.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:
 знаниями основных понятий и теорем математики в объеме средней школы;
 навыками решения типовых задач математики в объеме средней школы.
5
п/п
Тематический план учебной дисциплины
№
Название разделов и тем
Раздел I. Основы линейной алгебры
1
2
3
4
5
6
7
Матрицы и операции с ними. Определитель
квадратной
1
матрицы. Свойства определителей.
Обратная матрица. Элементарные преобразования матриц.
Система линейных уравнений. Матричная запись. Ранг матрицы. Критерий совместности
2
системы линейных уравнений. Решение квадратной системы. Правило Крамера. Метод обратной матрицы.
Метод Гаусса. Однородная система линейных
уравнений.
3
Ее фундаментальная система решений. Структура обшего решения неоднородной системы.
Раздел II. Векторы. Линейные преобразования векторного пространства
Векторы на плоскости и в пространстве. Операции
4
с ними. Скалярное произведение векторов. Прямоугольная система координат. Операции над векторами в координатной форме.
Пространство n-мерных векторов. Базис. Линейное преобразование n-мерного векторного
6
пространства. Его матрица. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования.
Раздел III. Элементы аналитической геометрии.
Уравнение прямой на плоскости. Нормаль к
7
прямой. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Уравнения плоскости в пространстве. Условия
параллельности
9
и перпендикулярности двух
плоскостей. Геометрическая интерпретация
системы линейных уравнений с тремя неиз-
Аудиторные часы
Самост. Всего
лексемивсего работа часов
ции
нары
8
8
16
12
28
2
2
4
4
8
4
4
8
4
12
2
2
4
4
8
4
4
8
8
16
2
2
4
4
8
2
2
4
4
8
4
4
8
8
16
2
2
4
4
8
2
2
4
4
8
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины "Высшая математика" для направления 41.03.05 «Международные отношения»
подготовки бакалавра
8
9
10
11
12
13
вестными.
Раздел IV. Основы математического анализа
Понятие множества. Функции. Свойства функций.
1 Графики элементарных функций. Обратные и сложные функции. Функции в экономических исследованиях.
Числовая последовательность и ее предел.
1
Предел и непрерывность функции. Теоремы о
пределах. Бесконечно малые функции.
Производная
1
функции и ее применение в экономическом анализе. Исследование функции.
Функции нескольких переменных. Предел и
непрерывность.
1
Частные производные. Градиент. Дифференциал. Экстремумы функций
двух переменных (локальный, условный).
Первообразная
1
и неопределенный интеграл.
Методы интегрирования.
Определенный
1
интеграл. Геометрические приложения определенного интеграла.
ВСЕГО ЧАСОВ
6
16
16
32
22
54
2
2
4
4
8
4
4
8
4
12
2
2
4
4
8
4
4
8
6
14
2
2
4
2
6
2
2
4
2
6
32
32
64
50
114
Формы контроля знаний студентов
При изучении дисциплины предусмотрены две промежуточные контрольные
работы. Экзамен проводится в конце второго модуля.
Тип контроля
1 год
Форма контроля
1
Текущий
(неделя)
Контрольные работы
Итоговый
Экзамен
2
*
(8)
Параметры
3
4
Письменная работа 80 минут
*
Письменная работа 80 минут
Критерии оценки знаний, навыков
Контроль знаний осуществляется в формах текущего и итогового контроля. Текущий контроль включает контрольную работу и проверочные работы. Проверочные работы
проводятся периодически на семинарских занятиях, их продолжительность составляет 10
минут. Продолжительность контрольной работы составляет 80 минут. Итоговый контроль
осуществляется в форме письменной экзаменационнной работы продолжительностью 80
минут.
Для прохождения контроля студент должен продемонстрировать знания основных
определений и формулировок теорем; умение решать стандартные задачи, предлагаемые в
типовых вариантах контрольных работ и разобранные на семинарских занятиях. Оценки
по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
6.1
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины "Высшая математика" для направления 41.03.05 «Международные отношения»
подготовки бакалавра
6.2
Порядок формирования оценок по дисциплине
Оценка всех форм контроля знаний осуществляется по 10-бальной шкале. Округле-
ние:
если дробная часть оценки находится в пределах [0; 0.3], то - в меньшую сторону;
если дробная часть оценки находится в пределах [0.7; 0.99], то - в большую сторону;
если дробная часть оценки находится в пределах (0.3; 0.7), то – на усмотрение преподавателя в зависимости от посещения занятий, работы на семинарах и выполнения домашних
заданий.
Онакопленная = 0,4·КР1 +0,4·КР2 +0,2·ПР.
Итоговая оценка за зачет Оитоговый по 10-балльной шкале формируется как
взвешенная сумма
Оитоговый = 0,5·Оэкзамен + 0,5· Онакопленная.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой по учебной дисциплине.
По десятибалльной шкале
0-3
4-5
6-7
8-10
7
шкала при проведении зачета
не зачтено
удовлетворительно
хорошо
отлично
Содержание дисциплины
РАЗДЕЛ I. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Тема 1. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ С НИМИ. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. ([1], гл.1)
Матрицы и операции над ними. Основные свойства операций над матрицами.
Матричные уравнения. Применение матриц при решении экономических задач.
Определители квадратных матриц: определение и основные свойства. Миноры и
алгебраические дополнения. Обратимые матрицы. Формула для отыскания обратной матрицы.
Линейная зависимость строк (столбцов) матрицы. Элементарные преобразования
матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду. Вычисление ранга матриц.
Тема 2. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ.
РАНГ МАТРИЦЫ. КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОЙ СИСТЕМЫ. ПРАВИЛО КРАМЕРА. ([1],
гл.2)
Системы линейных уравнений: определение, примеры. Свойства систем уравнений:
совместность, несовместность, определенность, неопределенность.
Эквивалентность систем, элементарные преобразования, сохраняющие эквивалентность систем.
Теорема Кронекера-Капелли.
Решение квадратной неоднородной системы методом обратной матрицы и по формулам Крамера.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины "Высшая математика" для направления 41.03.05 «Международные отношения»
подготовки бакалавра
Тема 3. МЕТОД ГАУССА. ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ЕЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ. СТРУКТУРА ОБШЕГО РЕШЕНИЯ НЕОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ. ([1], гл.2)
Метод Гаусса. Базисные и свободные неизвестные.
Однородные и неоднородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений однородной системы.
Свойства множеств решений однородных и неоднородных систем. Структура общего решения неоднородной системы.
РАЗДЕЛ II. ВЕКТОРЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕКТОРНОГО
ПРОСТРАНСТВА.
Тема 4. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ. ОПЕРАЦИИ С
НИМИ. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ. ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ В КООРДИНАТНОЙ
ФОРМЕ. ([1], гл.3)
Векторы на плоскости и в пространстве. Линейные операции над векторами. Коллинеарные и компланарные векторы.
Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Координаты
вектора. Длина вектора. Угол между векторами. Скалярное произведение двух векторов.
Основные свойства.
Тема 5. ПРОСТРАНСТВО N-МЕРНЫХ ВЕКТОРОВ. БАЗИС. ЛИНЕЙНОЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ N-МЕРНОГО ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА. ЕГО МАТРИЦА. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ([1], гл.3)
Векторное (линейное) пространство. Линейная зависимость векторов. Базис векторного пространства. Линейное преобразование (оператор) векторного пространства. Его
матрица. Координаты образа.
Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования.
Модель международной торговли.
РАЗДЕЛ III. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.
Тема 6. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ. НОРМАЛЬ К ПРЯМОЙ.
УСЛОВИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ.
([1], гл.4)
Различные виды уравнения прямой на плоскости. Нормаль к прямой. Расстояние от
точки до прямой. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности
двух прямых. Точка пересечения прямых.
Тема 7. УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. УСЛОВИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С
ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ. ([1], гл.4)
Уравнение плоскости в пространстве. Нормальный вектор плоскости. Расстояние
от точки до плоскости. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
Различные случаи взаимного расположения трех плоскостей.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины "Высшая математика" для направления 41.03.05 «Международные отношения»
подготовки бакалавра
РАЗДЕЛ IV. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.
Тема 8. ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА. ФУНКЦИИ. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ.
ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ. ОБРАТНЫЕ И СЛОЖНЫЕ ФУНКЦИИ. ФУНКЦИИ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ. ([1], гл.5)
Понятие множества. Действительные числа, числовая прямая. Способы задания
функции действительного аргумента. График числовой функции. Монотонные, периодические, четные, нечетные функции.
Элементарные функции и их графики. Функции и графики в экономическом моделировании. Обратная функция. Сложная функция.
Тема 9. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ И ЕЕ ПРЕДЕЛ. ПРЕДЕЛ И
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ. БЕСКОНЕЧНО
МАЛЫЕ ФУНКЦИИ. ([1], гл.6)
Числовая последовательность. Ее предел. Теоремы о пределах. Монотонные
последовательности. Число e. Задача о непрерывном начислении процентов.
Понятие предела функции. Основные теоремы о пределах функций. Замечательные
пределы. Бесконечно малые функции. Основные свойства.
Непрерывные функции. Теоремы о непрерывности суммы, разности, произведения
и частного непрерывных функций. Непрерывность сложной функции. Непрерывность
элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность,
достижение наибольшего и наименьшего значений, промежуточного значения.
Точки разрыва. Их классификация.
Тема 10. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ. ([1], гл. 7,8,9)
Понятие производной. Дифференцируемость функции в точке и на множестве.
Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции.
Непрерывность дифференцируемой функции.
Экономический смысл производной. Общие, средние и предельные показатели в
экономике.
Производная суммы, разности, произведения, частного. Производные
элементарных функций. Производная сложной функции. Производная обратной функции.
Производные высших порядков. Дифференциал функции и его свойства.
Теоремы Ферма (необходимый признак экстремума), Ролля, Лагранжа, Коши.
Правило Лопиталя. Условия возрастания и убывания функции. Достаточные признаки
экстремума функции. Условия выпуклости и вогнутости функции. Применение
производной к приближенному решению уравнений. Формула Тейлора.
Тема 11.
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ПРЕДЕЛ И
НЕПРЕРЫВНОСТЬ.
ЧАСТНЫЕ
ПРОИЗВОДНЫЕ.
ГРАДИЕНТ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ.
ЭКСТРЕМУМЫ
ФУНКЦИЙ
ДВУХ
ПЕРЕМЕННЫХ
(ЛОКАЛЬНЫЙ, УСЛОВНЫЙ). ([1], гл. 15)
Понятие о многомерном пространстве. Понятие о функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
Частные производные и полный дифференциал функций нескольких переменных.
Необходимое условие экстремума. Производные высших порядков. Перестановочность частных производных по разным переменным. Достаточные условия локального
экстремума.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины "Высшая математика" для направления 41.03.05 «Международные отношения»
подготовки бакалавра
Экстремум в замкнутой ограниченной области. Производная по направлению, градиент. Задачи на условный экстремум. Метод Лагранжа решения задач на условный экстремум.
Тема 12. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОДЫ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ. ([1], гл. 10)
Первообразная: определение, примеры. Теорема об общем виде всех первообразных данной функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Первообразные простейших функций. Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Методы интегрирования некоторых классов элементарных функций.
Тема 13. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ([1], гл.11)
Определенный интеграл функции на отрезке как предел интегральных сумм. Геометрический смысл интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула НьютонаЛейбница. Приложения определенного интеграла. Несобственный интеграл.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины "Высшая математика" для направления 41.03.05 «Международные отношения»
подготовки бакалавра
8
Образовательные технологии
При реализации семинарских занятий используются активные и интерактивные
формы проведения занятий.
9
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
КР1. Матрицы, определители, системы линейных уравнений, векторы. Линейные
преобразования. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
КР2. Числовые последовательности. Дифференциальное исчисление функций одной переменной (нахождение пределов функций, вычисление производных, исследование
функций. Построение графиков функций). Интегральное исчисление функций одной переменной. Функции многих переменных.
Экзамен. Задачи по всему курсу.
9.1
Примеры заданий промежуточного /итогового контроля
Типовые задачи для подготовки к контрольной работе № 1.
 3 1 2
 1 2 4 
T
 и B  
1. Для матриц A  
 вычислите матрицу 3AB .
 3 0 5 
 5 4 7
2. Найдите общее решение и фундаментальную систему решений для системы уравнений:
 x1  2 x2  2 x3  3x4  0,

3x1  5 x2  3x3  7 x4  0,
2 x  3x  x  4 x  0.
2
3
4
 1
3. Решите уравнение:
x2 4 9
( x)  x 2 3 =0
1 1 1
4. Решите матричное уравнение XA  B , где
 7 1
A
,
 8 3 
3

1
B
 1

5
4

2 
.
7

0
3x1  11x2  5x3  2 x4  1
5. Найдите общее решение системы уравнений 
2 x1  9 x2  5x3  2 x4  1
x3
5
 30 .
6. Решите неравенство:
2
4  x
7. Для матрицы
ку.
 5  5  3


A 4
2
1  найдите обратную матрицу A1 и сделайте провер 2
4
3 

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины "Высшая математика" для направления 41.03.05 «Международные отношения»
подготовки бакалавра
8. Решите систему линейных уравнений тремя методами:
а) методом обратной матрицы;
б) по формулам Крамера;
в) методом Гаусса.
 5 x  5 y  3 z  1,

 z  3,
 4 x  2 y
  2 x  4 y  3 z  1.

9. Найдите матрицу X из уравнения АX  2 A  B  3 X ,
1 3 
4 0 
где A  
, B  
.
 3 10 
 1 1
10. Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значений
параметров a, b, c:
 ax  y  z  1

 x  by  z  1
 x  y  cz  1

11. Найдите соотношения цен трех товаров, если стоимости наборов y1  (1, 2,5) ,
y2  (4,3,10) , y3  (2, 4,5) этих товаров относятся как 3:7:5.
3x  ax  1
6 x  4 y  b
12. Определите: при каких значениях a и b система уравнений 
1) имеет единственное решение;
2) не имеет решений;
3) имеет бесконечно много решений.
13. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей А. Найдите матрицу этого оператора в базисе из собственных векторов.
 8 6 
A
.
 18 13 
14. Найти собственные векторы и собственные значения линейного преобразования, заданного матрицей:
 1 2 0


A   1 4 0 
 1 1 3 

 стран S , S ,S имеет вид:
15. Структурная матрица торговли
трех
1
2
3
1
/
3
1
/
4
1
/
2




A  1 / 3 1 / 2 1 / 2 
1 / 3 1 / 4 0 


Найти соотношения национальных доходов стран для сбалансированной торговли.
19. Проверить, является ли отображение A : R 3  R 3 линейным оператором и, если является, найти его матрицу
Ax  (3x1  2 x2 , x1  2 x2  x3 ,4 x3  2 x1 ) .
20. Оператор A описывается своим действием на произвольный вектор x=(x1, x2, x3). Выясните, какие операторы являются линейными:
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины "Высшая математика" для направления 41.03.05 «Международные отношения»
подготовки бакалавра
а) Ax= (x1, x2, x23),
б) Ax= (x3, x1, x2),
в) Ax= (x3, x1, x2-1).
21. Найдите матрицу линейного отображения A : R 2  R 2 , если А – осевая симметрия относительно прямой y= -x.
22. Найдите матрицу оператора φ:
→
в базисе
, если
а) φ - оператор проектирования векторов на плоскость Oxy;
б) φ - оператор отражения (каждый вектор переходит в симметричный ему относительно плоскости) векторов относительно плоскости Oxy.
23. Даны уравнения сторон треугольника 3x-4y+24=0 (AB), 4x+3y+32=0 (BC), 2x-y-4=0
(AC). Составьте уравнения высоты, медианы и биссектрисы, проведенных из вершины B.
24. Найдите расстояние от точки E(4,3,0) до плоскости, проходящей через точки A(1,3,0),
B(4, -1,2) и C(3,0,1).
25. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку (-1,-1,2) и перпендикулярной к плоскостям x  2 y  z  4  0 и x  2 y  2 z  4  0 .
Типовые задачи для подготовки к контрольной работе № 2.
1. Вычислите пределы
 n 1 
a) lim 

n  n  3 
3 n 1
x  12  20  x
2  1  cos x
; в) lim
;
x4
sin 2 x
x 0
 2 cos x  1 
 sin 2 x  cos 2 x  1 
г) lim
x3  x  x3  x  1 д) lim 
.
 ; е) lim 
2
  1  tg x 
  sin x  cos x 
x
x
x
4
4
x
2. Найдите производные функций a) f ( x)  ln tg ; б) f ( x)  cos x 2  1 ;
2
5x
arcsin(e )  ln cos x
в) f ( x)  (cos x)sin x ; г) f ( x) 
.
x2  4
3. Найдите значение параметра а, при котором бесконечно малые функции a(e2x – 1) и
ln(1-4x) будут эквивалентными при x0 .

; б) lim
x 4

4. Составьте уравнение касательной к графику функции y  x ln x . В какой точке эта касательная
а) параллельна прямой y=2x-5;
б) перпендикулярна прямой y=x+3.
5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y на отрезке:
9
а) y 
 x, x  [1;7] ; б) y  e x ( x  1), x [1;1] .
x2
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины "Высшая математика" для направления 41.03.05 «Международные отношения»
подготовки бакалавра
6. Найдите точки экстремума и перегиба, промежутки монотонности; нарисуйте эскиз
1
графика функции: y  x 4  x 2 .
2
x2 1
7. Дана функция y 
. Найдите все асимптоты графика функции, точки экстремуx2
x2 1
ма и перегиба, промежутки монотонности. Нарисуйте эскиз графика функции y 
.
x2
x2 1
Напишите уравнение касательной к графику функции y 
, проходящей через точку
x2
(3;8).
x2  x 

8. Для функции y 
 a) найдите наклонные и вертикальные асимптоты;
3  x 1 
б) вычислите первую производную, укажите промежутки возрастания и убывания, определите локальные экстремумы и их характер; в) вычислите вторую производную, укажите
промежутки выпуклости вверх и вниз и точки перегиба; г) изобразите график функции.
2
9. Производитель реализует свою продукцию по цене 600 руб. за единицу продукции. Издержки производителя по изготовлению и реализации продукции (в рублях) определяются
зависимостью s( x )  240 x  0,02  x 3 , где x  количество изготовленной и реализованной
продукции. Найдите оптимальный объем выпускаемой продукции и соответствующую
ему прибыль производителя.
10. Найдите приближенное значение 4 1.002 с помощью первого дифференциала.
11. Используя теорему Лагранжа, докажите неравенство: |arctgx|≤|x| для любого xR.
12. На основе опытных данных установлены зависимости спроса q (количество покупаемого товара) и предложения s (количество предлагаемого на продажу товара) от цены
товара p:
p2  p
q  10 
; s  p  1.
4
Определите эластичность спроса по равновесной цене, изменение спроса при увеличении цены на 10% от равновесной.
13. Вычислите неопределенные интегралы
( x  3)dx
( x  5)dx
а) 
;
б) 
;
( x  2)( x  1)
x2  2x  3
г)

dx
;
x(1  x)
д)
e 2 x dx
 e4 x  4 ;
14. Вычислите определенные интегралы
е)
в)
3tgx dx
 cos2 x .
 sin
2
2 x cos3 2 xdx ;
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины "Высшая математика" для направления 41.03.05 «Международные отношения»
подготовки бакалавра

 /2
а)

0
e
sin x cos 2 x dx ; б)

1
dx
x ln x  1
2
6
;
в)

e 2 x cos 3 xdx .
0
15. Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями xy  1 и
(I четверть).
x2  y 2  4
16. Исследуйте на экстремум функцию f ( x, y )  xy при условии x 2  y 2  2
17. Дана функция: z =x3+3xy2 -39x-36y+26.
а) Найдите zx, zy, zxx, zxy, zyy.
б) Напишите первый и второй дифференциалы функции z=f(x,y).
в) Постройте grad z|M,где M(0,1).
г) Найдите экстремумы функции z. Проверьте выполнение достаточных условий.
д) Найдите с помощью первого дифференциала приближенно z(0.01;1.02).
18. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
в замкнутой области D, ограниченной линиями x=4, y=-1, x-y=3 .
z= x2+y2-4x-2y+4
19. Используя метод Лагранжа, найти точки локального экстремума функции z=4+2x -3y
при
условии
x2-3y2 =9. Проверьте выполнение достаточных условий экстремума.
Постройте график кривой: x2-3y2 =9. Нарисуйте линии уровня функции z=4+2x -3y ,
проходящие через точки условного экстремума.
8. Пусть (x*,y*) – точка максимума функции полезности z= x1/2 y1/2 при условии
p1 x+ p2 y=I. Параметр p1 увеличился в 2 раза.
а) Во сколько раз надо увеличить I, чтобы максимальное значение z осталось тем же?
б) Во сколько раз надо уменьшить p2 , чтобы максимальное значение z осталось тем
же?
Типовые задачи для подготовки к экзаменационной работе (итоговой по курсу).
1. Найдите соотношения цен трех товаров, если стоимости наборов
y1  (5,3,9), y2  (1,7, 2), y3  (3, 2, 4) , этих товаров относятся как 9:7:5.
2. Найдите наибольшее значение функции ∆(x) на отрезке [-4, 4]:
1 1
1
( x)  1 1  x
1
1 1
2 x
3. Решите систему уравнений:
4 x1  2 x2  x3  1,

5 x1  3x2  2 x3  2,
3x  2 x  3x  0.
2
3
 1
4. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного
матрицей А. Найти косинус угла между линейно независимыми собственными векторами
матрицы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины "Высшая математика" для направления 41.03.05 «Международные отношения»
подготовки бакалавра
 2 2 
A

6 9 
5. Найдите значение параметра a, при котором бесконечно малые функции (1-cosx) и
asin2x будут эквивалентными при 𝑥 →0.
6. Дана функция
y
x3  2
.
x2
а) Найдите все асимптоты графика функции.
б) Найдите точки экстремума и перегиба, промежутки монотонности и выпуклости вверх/вниз.
в) Нарисуйте эскиз графика функции: y 
x3  2
.
x2
x3  2
г) Напишите уравнение касательной к графику функции y 
, проходящей через точку (1;3).
x2
x3  2
д) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y 
и прямыми y=0, x=1,
x2
x=2.
7. Найти матрицу X из уравнения
XA  BC ,
где
 6 8
 1 3 
 5 4
A
, B  
,C  
.
 2 1
 1 4 
  2 0
8 . Доказать, что данные векторы линейно независимы:
x1  (2, 2, 2), x2  (2, 2, 2), x3  (2, 2, 2) .
9. Найти матрицу линейного отображения A : R 2  R 2 , если А – вращение по часовой стрелке на
180˚ относительно начала координат.
10. Вычислите пределы:
а) lim
x 0
3
x  4 1
; б) lim 1  5 x  x .
x 0
sin 2 x
11. Найдите интегралы: а)
 ( x  1) cos 3xdx ; б)
x 3 dx
 1  x8 .
12. Дана функция: z =x2-2xy +4y3 .
а) Вычислите dz|M при dx=∆x=-0.1, dy=∆y=0.1, M=(1,1).
Найдите с помощью первого дифференциала приближенно z(0.9; 1.1).
б) Найдите все стационарные точки функции z. Проверьте выполнение достаточных условий в
одной стационарной точке.
13. Используя метод Лагранжа, найти точки локального экстремума функции z=5-2x +3 y при
условии x2+4y2 =100. Проверьте выполнение достаточных условий в одной стационарной точке.
Постройте график условия.
На основе опытных данных установлены зависимости спроса q (количество покупаемого товара) и предложения s (количество предлагаемого на продажу товара) от цены товара p:
14.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины "Высшая математика" для направления 41.03.05 «Международные отношения»
подготовки бакалавра
q
p7
; s  p  1.
p 1
Определите эластичность спроса
по равновесной цене,
увеличении цены на 5% от равновесной.
изменение спроса при
15. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции z=1- x2-y2 в круге
(x-1)2 +(y-1)2≤1. Постройте линии уровня функции z, проходящие через точки, в которых
z принимает наибольшее и наименьшее значения в круге.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
[1]. Высшая математика для экономистов (под ред. проф. Кремера Н.Ш.). – М.: ЮНИТИ,
2001.
[2]. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах. Учебное пособие для для втузов. В 2-х частях. 5-е изд. М.: Высшая школа,
1997г.
10.2 Основная литература
[1]. Высшая математика для экономистов (под ред. проф. Кремера Н.Ш.). – М.: ЮНИТИ,
2001.
[2]. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах. Учебное пособие для для втузов. В 2-х частях. 5-е изд. М.: Высшая школа,
1997г.
[3]. Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Линейная алгебра с элементами аналитической
геометрии. – М.: Изд-во ГУ-ВШЭ,1998.
[4]. Самовол В.С., Агафонов В.Г., Куренкова Е.А. Математика. Часть I. Основы
математического анализа - М.: Изд-во РГГУ, 1997г.
[5]. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по
математическому анализу. Т.3. Функции нескольких переменных. М.: Физматлит. 2003.
[6]. Сборник задач по высшей математике для экономистов [Геворкян П.С., Богатая С.И.
и др.]; под ред. Геворкяна П.С. – М.: Экономика, 2011.
10.3 Дополнительная литература
1. Michael W. Klein. Mathematical methods for economics. - 2nd ed. p. cm.- AddisonWesley series in economics.
2. Багриновский К.А., Матюшок В.М. Экономико-математические методы и модели
(микроэкономика). Учебное пособие. –М.: Изд-во РУДН,1999г.
3. Вавилов В.В и др. Задачи по математике. Начала анализа. – М: Наука,1990г.
4. Волкова И.О., Крутицкая Н.Н., Шагин В.Л. Математический анализ (с
экономическими приложениями). – М: Изд-во ГУ-ВШЭ,1998г.
5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. –М.: Наука,1988г.
6. Грес П.В. Математика для гуманитариев: Учебное пособие. – М.: Юрайт, 2000г.
7. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.:
Наука, 1997.
8. Замков О.О., Черемных Ю.Н., Толстопятенко А.В. Математические методы в
экономике: Учебник - М.: "Дело и Сервис",1997г.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины "Высшая математика" для направления 41.03.05 «Международные отношения»
подготовки бакалавра
9. Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. Решебник. – М.:
Физматлит, 2000.
10. Ивашов-Мусатов О.С. Основы математического анализа. –М.: Наука,1988г.
11. Карпелевич Ф.И., Садовский Л.Е. Элементы линейной алгебры и линейного
программирования. – М.:Физматгиз,1963г.
12. Кук Д., Бейз Д. Компьютерная математика. –М.: Наука,1990г.
13. Курбатов В.И., Угольницкий Г.А. Математические методы социальных
технологий. Учебное пособие. –М.: Вузовская книга,1998г.
14. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. –М.: Гостехиздат,1985г.
15. Кустов Ю.А., Юмагулов М.Г. Математика. Основы математического анализа:
теория, примеры, задачи. Домашний репетитор для студентов. – М.: Рольф, Айриспресс, 1998.
16. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. –М.: Наука,1970г.
17. Мангейм Дж.Б., Рич Р.К. Политология. Методы исследования. –М.: "Весь
мир",1999г.
18. Письменный Д.Т. Высшая математика. 100 экзаменационных ответов.1 курс.
Домашний репетитор для студентов –М.: Рольф,Айрис-пресс,1999г.
19. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Лаборатория Базовых
Знаний, 2000.
20. Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. –М.: "Просвещение",1968г.
21. Томас Р. Количественные методы анализа хозяйственной деятельности. –М.: "Дело
и Сервис",1999г.
22. Шипачев В.С. Математический анализ. Учебное пособие для вузов. –М.: Высшая
школа,1999г.