Производная и дифференциал». 10 класс

Шошина Людмила Ивановна, учитель математики высшей квалификационной
категории школы № 887 ЗАО
Урок-лекция с использованием компьютерных технологий по
теме «Производная и дифференциал». 10 класс
.
Цель урока: Познакомить учащихся с теоретической основой производной и
дифференциала и практической направленностью этой темы.
Оборудование урока: компьютер, медиапроектор, экран, авторская презентация
(слайды) к уроку, сделанная в программе Power Point. Лекция сопровождается
демонстрацией слайдов на экране.
Продолжительность урока: 45 минут.
Эта тема в математике занимает важное место, именно здесь
закладываются
основы
аналитического
мышления,
формируется
соответствующая интуиция, развивается логика и культура использования
функциональных обозначений и методов.
I. Историческая справка.
Предметом изучения математического анализа являются количественные
соотношения действительного мира. Эти соотношения выражаются с помощью
числовых величин, в арифметике это постоянные величины, а в анализе
переменные величины. В основу изучения зависимости между переменными
величинами кладут понятия функции и предела.
Методы математического анализа получили своё развитие в XVII веке. На
рубеже XVII – XVIII веков Ньютон и Лейбниц, в общем и целом, завершили
создание дифференциального и интегрального исчисления, а также положили
основу учения о рядах и дифференциальных уравнениях. В XVIII веке Эйлер
разработал последние два раздела и заложил основу других дисциплин
математического анализа. К концу XVIII века накопился огромный
фактический материал, но он был недостаточно разработан в логическом
отношении. Этот недостаток был устранён усилиями крупнейших учёных XIX
века, таких как Коши во Франции, Лобачевского в России, Абеля в Норвегии,
Римана в Германии и других.
1
II. Приращение функции.
Определение:
Разность
xa
называется приращением аргумента при
переходе от a к x , а разность f ( x)  f (a) – приращением
функции f при этом переходе.
y
где x  a  h
f(x)
f ( x )  f ( a  h)
f(x)-f(a)
f(a)
0
a
x
x
h
Чтобы найти приращение функции f при переходе от a к a+h надо:
а) найти значение функции f в точке a;
б) найти значение функции f в точке a+h;
в) из второго значения вычесть первое.
Пример 1.
Найти приращение функции y  x 2 при переходе от a к a  h .
Решение.
f (a)  a 2
f (a  h)  (a  h)2  a 2  2ah  h2
f (a  h)  f (a)  a 2  2ah  h2  a 2  2ah  h2
Ответ: f (a  h)  f (a)  2ah  h2 .
2
III. Дифференцируемые функции.
Имеем график функции y  x 2 .
Если мы будем рассматривать достаточно малые промежутки, то график
этой функции будет почти совпадать с прямой, то есть мы будем говорить об
этой функции, что она дифференцируема (то есть линейна в малом).
Определение: Функция f называется дифференцируемой в точке а, если её
приращение при переходе от a к a  h можно представить в
виде:
f (a  h)  f (a)  (k   )h,
где k – число, а функция α бесконечно мала при h→0.
lim   0
h 0
Линейная функция дифференцируема при любых значениях х.
3
Пример 2.
Докажем, что функция y  x 2 дифференцируема при любых
значениях х.
Решение.
В примере 1 приращение функции x 2 имеет вид f (a  h)  f (a)  (2a  h)h
Если положить 2a  k ; h  a, то правая часть равенства примет вид (k  a)h,
  0.
причём lim
h 0
Тем самым доказано, что функция y  x 2 дифференцируема при всех х.
Следующий пример выполняется учащимися самостоятельно в классе.
Пример 3.
Докажем, что функция y  x3 дифференцируема при любых
значениях х.
Решение.
f ( x)  x 3
f ( x  h)  ( x  h)3  x3  3x 2h  3xh2  h3
f ( x  h)  f ( x)  x3  3x 2h  3xh2  h3  x3  3x 2h  3xh2  h3  (3x 2  3xh  h2 )h
k  3x 2 ;
  3xh  h 2 ;
lim (3xh  h 2 )  0
h 0
f ( x  h)  f ( x )  ( k   ) h
То есть функция y=x3 дифференцируема при любых значениях х.
4
IV. Производная.
Если функция дифференцируема, то её приращение можно записать в виде:
f ( x  h)  f ( x )  ( k   ) h
Выразим из этого равенства k:
f ( x  h)  f ( x )
 k  ,
h
Но α→0 при h→0, следовательно, lim
h 0
f ( x  h)  f ( x )
k.
h
Справедливо и обратное утверждение.
Итак, мы доказали теорему:
Теорема:
Функция f дифференцируема в точке х в том и только в том
случае, когда существует предел k  lim
h 0
f ( x  h)  f ( x )
h
(1)
  0.
В этом случае f ( x  h)  f ( x)  (k   )h , где lim
h 0
Значение k, даваемое формулой (1), зависит от выбора х. Поэтому, если
функция f
дифференцируема во всех точках промежутка Х, то каждому
значению х из Х соответствует своё значение k. Этим определяется новая
функция на Х, которую называют производной от функции f и обозначают f′.
Определение: Производной функции
f
называется функция f′, значение
которой в точке х выражается формулой f ( x)  lim
h 0
f ( x  h)  f ( x )
.
h
Значение производной от функции f в точке х равно пределу отношения
приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента
стремится к нулю.
5
Пример 4.
1
x
Найти производную функции f ( x)  .
Решение.
f ( x  h)  f ( x ) 
f ( x  h)  f ( x )

h
1
1 xxh
h
 

x  h x x ( x  h)
x ( x  h)

h
1
x ( x  h)

h
x ( x  h)


1 
1
1
   2 ;
   lim  
x
 x  h  0  x ( x  h) 

1
1
   2.
x
 x
Следующий пример выполняется учащимися самостоятельно в классе.
Пример 5.
Найти производную функции f ( x)  ax 2  bx  c .
Решение.
f ( x  h)  f ( x)  a( x  h)2  b( x  h)  c  ax 2  bx  c 
 ax 2  2ahx  ah 2  bx  bh  ax 2  bx  2axh  ah 2  bh
f ( x  h)  f ( x )
 2ax  ah  b
h
ax
2
ax
2

 bx  c   lim (2ax  ah  b)  2ax  b
h 0

 bx  c  2ax  b

6
V. Дифференциал.
f ( a  h)  f ( a )  ( k   ) h
(1)
Мы знаем теперь, что k  f (a) ,
поэтому формулу (1) мы можем переписать в виде
f (a  h)  f (a)  ( f (a)   )) h
lim   0
h0
f (a  h)  f (a)  ( f (a)   )h
f (a  h)  f (a)  f (a)h
(2)
Равенство (2) применяется для приближённого вычисления значений
функции f вблизи точки а.
Пример 6.
Найти значение функции y  x3 при x  2,014 с точностью до 0,003.
Решение.
x  2,
x3  8
Производная этой функции равна 3x 2 и следовательно её значение
3 x 2  3  22  12 .
Итак, если a  2, то f (a)  8; f (a)  12 и h  0,014
f (a  h)  (2  0,014)3  8  12  0,014  8,168
Погрешность полученного значения равна 3ah 2  h3 , то есть
3  2  0,0142  0,0143  6  0,022  0,023  0,003 , так как 0,014  0,02 .
Имеем: f (a  h)  f (a)  ( f (a)   )h ; f (a  h)  f (a)  f (a)h  h .
Приращение функции состоит из двух слагаемых.
Слагаемое h  0 , а слагаемое f (a)h называют дифференциалом функции и
обозначают df .
Таким образом, df  f (a)h
Домашнее задание:
№380 (1, 2); №390 (а); №392 (1, 2, 3); №397 (а, б).
7