Документ 899540

Данные о дисциплине
Алгебра и теория чисел
Семестр состоит из 15 учебных недель.
Место проведения: корпус № 3 по расписанию
Выписка из учебного плана:
Курс
1
Семестр Кредиты Лекции
1
1
15
Прак.
СРСП
занятие
15
15
СРС
45
Всего
90
Форма
контроля
экзамен
Введение
Цель курса: Формирование у студентов основных профессионально значимых
математических компетенций, представления о математике как части общечеловеческой
культуры.
Задачи курса.
- Развитие логического и алгоритмического мышления;
- Овладение основными методами исследования и решения математических задач;
- Овладение математическим моделированием как одним из способов познания и
изучения реального мира;
- Овладение алгоритмами основных численных методов математики и их простейшими
реализациями;
- Формирование самостоятельной познавательной деятельности обучающихся, умения
учиться на протяжении всей жизни.
Перереквезиты. Школьный курс математики.
Постреквезиты. Теория вероятностей и математическая статистика, дискретная
математика, методика преподавания математики, методические основы решения
математических задач.
Методология обучения. Обучение приводится в виде практических занятий, на которых
отражается содержание основного учебного материала и закрепляются практические
навыки. Контроль занятий студентов будет осуществляться в виде проверки выполнения
домашних заданий, контрольных работ посредством решения задач, устного опроса,
индивидуальных заданий.
График и содержание занятий
Лекции
№
Темы
часы
1
Введение. Понятие кольца, группы, поля. Понятие о системе линейных
уравнений. Элементарные системы.
1
Решение систем линейных уравнений путем последовательного исключения
переменных.
п- мерный вектор, понятие п- мерного векторного пространства. Линейная
3
зависимость и независимость системы векторов, их базис и ранг.
Векторная запись системы линейных уравнеий. Однородные системы
4
линейных уравнений, и условие существования не нулевого его решения.
Критерии совместимости системы линейных уравнений. Теорема Кропекер –
5
Капелли. Фундаментальные решения однородных систем.
Понятие матрицы. Операции над матрицами. Обратная матрица,
6
транспонированная матрица.
Элементарные матрицы, их свойства, применения. Вычисление обратной
7
матрицы с помощью элементарных преобразований.
Перестановки, их четность, инверсия. Определитель квадратной матрицы, их
8
свойства.
Миноры и алгебраические дополнения. Разложения определителя по столбцу
9
или строке. Вычисление определителя. Ранг матрицы.
Вычисление обратной матрицы с помощью определителя. Запись системы из
п линейных уравнений с п неизвестными и их решений с помощью матриц.
10
Применение правил Крамера. Условие существования не нулевого решения
системы из п линейных однородных уравнений с п неизвестными.
Построение простого трансцендентного расширения кольца. Понятие
11
многочлена. Степень. Деление на (х-а).( теорема Безу). Корни многочлена.
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Многочлены над полем. Теорема о делении с остатком. НОД многочленов.
12 Алгоритм Евклида. Неприводимые многочлены над полем.
1
Неприводимые кратные множители многочлена, кратные корни многочлена.
13 Основная теорема алгебры. Следствия.
1
Понятие комплексного числа. Алгебраическоя форма комплексного числа.
Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая
14
форма комплексного числа. Формулп Муавра.
1
Извлечение корня из комплексного числа. Сопряженные комплексные числа и
их свойства.
15
1
16 Всего
15
Практические занятия
№
Темы
1 Решение систем линейных уравнений с помощью элементарных
преобразований.
2 Решение задач на определение базиса и нахождение ранга систем векторов.
3 Фундаментальная система решений однородных систем линейных уравнений
4 Решение задач на операции над матрицами
5 Вычисление обратной матрицы, решение матричных уравнений
6 Перестановки, вычисление определителей
7 Вычисление обратной матрицы с помощью определителя
8 Решение задач на правило Крамера
9 Применеие алгебраических операций к многочленам. Теорема Безу. Решение
задач с применением схемы
часы
1
10 НОД и НОК многочленов.
11 Кратные корни многочлена. Выделение кратных множителей. Разложение
многочлена по степеням (х-а).
1
1
12 Операции над комлексными числами.
1
13 Применеие тригонометрической формы комплексного числа.
1
14 Решение задач на нахождения корня из комплексного числа.
15 Решение уравнений и систем уравнений над полем комплексных чисел
16 Всего
1
1
15
1
1
1
1
1
1
1
1
СРС
1. Метод математической индукции, решение задач
[9] 60-стр № 1. 2. 16(а-ж)
120-стр № 5.5.4 (а-2)
2. Линейное многообразие [1] 253 бет
[10] № 570, 572
3. Равенство столбцевого и строчечного рангов матрицы
Задачи: [1] №188- 191 стр
[10] № 620
4. Ступнечатые матрицы, приведенные матрицы, вычисление ранга матрицы, [1] 198стр, № 83
5. А,В – матрицы. Доказательство равенства +(А*В)=+В*+А.
6 Докозательство теоремы о существовании простого трансцендентного расширения
кольца [1] 461-462 стр.
7. Равенство многочленов. Свойства неприводимых многочленов над полем.
Разложение многочленоа на неприводимые множители. [1] [4]
8. Наибольшее число корней многочлена в области целостности. Равенство
многочленов как функциональное и алгебраическое.
9. Леммы необходимые для докозательства основной теоремы алгебры [1] [4]
График выполнения и сдачи СРСП
№
Сложение матриц.
Умножение матрицы
на число. Умножение
матриц.
Нахождение ранга
матрицы. Вычесление
обратной матрицы
методом окаймления.
Вычесление
определителей второго
и третьего порядка.
Вычесление
определителей
высших порядков.
Вычесление обратной
матрицы по формуле.
5
Сроки
выполнение
2-ая неделя
5
3-ая неделя
Устная защита выполненной
индивидуальной работы
10
4-я неделя
Письменная работа
5
5-ая неделя
Устная защита выполненной
индивидуальной работы
5
Решение систем
линейных уровнений
10
6-ая неделя
Устная защита выполненной
индивидуальной работы
6
Разложение
многочленов на
произведение не
преводимых
многочленов.
Решение задач на
нахождения целых и
рациональных корней
многочленов.
5
9-ая неделя
Письменная работа
5
10-ая неделя
Письменная работа
13
Операции над
комлексными
числами.
10
11-ая неделя
Письменная работа
14
Применеие
тригонометрической
формы комплексного
числа.
Решение задач на
нахождения корня из
5
12-ая неделя
Устная защита выполненной
работы
10
13-ая неделя
Письменная работа
1
2
3
4
7
15
Тема
балл
Форма контроля
Устная защита выполненной
индивидуальной работы
комплексного числа.
Содержание лекционных занятий
Тема: Введение. Понятие кольца, группы, поля. Понятие о системе линейных уравнений.
Элементарные системы.
Алгебраические структуры.
Определение. На множестве А определена алгебраическая операция, если
каждым двум элементам этого множества, взятым в определенном порядке, однозначным
образом поставлен в соответствие некоторый третий элемент из этого же множества.
Примерами алгебраических операций могут служить такие операции как сложение
и вычитание целых чисел, сложение и вычитание векторов, матриц, умножение
квадратных матриц, векторное умножение векторов и др.
Отметим, что скалярное произведение векторов не может считаться
алгебраической операцией, т.к. результатом скалярного произведения будет число, и
числа не относятся к множеству векторов, к которому относятся сомножители.
Определение. Множество А с определенной на нем алгебраической операцией
(например, умножением) называется группой, если выполнены следующие условия:
1) для любых трех элементов a, b, c  A выполняется свойство ассоциативности:
a(bc)  (ab)c
2) в множестве А существует такой элемент е, что для любого элемента а из этого
множества выполняется равенство:
ae  ea  a
3) для любого элемента а множества существует элемент а’ из этого же множества
такой, что
aa  aa  e
Различные множества могут являться группой относительно какой- либо операции
и не являться группой относительно другой операции.
Число элементов называется порядком группы.
Определение. Между элементами множеств M и N установлено взаимно
однозначное соответствие, если каждому элементу множества М поставлен в
соответствие определенный элемент множества N, причем различным элементам одного
множества соответсвуют различные элементы другого множества.
Определение. Две группы M и N называются изоморфными, если между их
элементами можно установить взаимно однозначное соответсвие, при котором для любых
двух элементов a, b M и соответствующим им элементам a’, b’ N элементу
с = ab будет соответствует элемент c’ = a’b’.
При этом отображение группы М на группу N называется гомоморфизмом.
Определение. Если операция, определенная в группе коммутативна, (т.е. для
любых элементов a и b группы верно соотношение ab=ba), то такая группа называется
коммутативной или абелевой группой.
Определение. Множество R с двумя определенными в нем алгебраическими
операциями, сложением и умножением, называется кольцом, если относительно
операции сложения оно является абелевой группой, а операция умножения
дистрибутивна, т.е. для любых элементов a, b и с  R справедливы равенства:
a(b  c)  ab  ac;
(b  c)a  ba  ca;
Если операция умножения, определенная в кольце коммутативна, то такое кольцо
называется коммутативным кольцом.
Определение. Полем называется коммутативное кольцо, в котором для любого
ненулевого элемента a 0 и любого элемента b существует единственный элемент х такой,
что ax = b.
Тема: Решение систем линейных уравнений путем последовательного исключения
переменных.
Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.
Рассмотрим систему линейных уравнений:
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

...............................................
a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm
Разделим обе части 1–го уравнения на a11  0, затем:
1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения
2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения
и т.д.
Получим:
 x1  d12 x 2  ...  d1n x n  d1
d x  d x  ...  d x  d
 22 2
23 3
2n n
2
, где d1j = a1j/a11, j = 2, 3, …, n+1.

..............................................
d m 2 x 2  d m3  ...  d mn x n  d m
dij = aij – ai1d1j
i = 2, 3, … , n;
j = 2, 3, … , n+1.
Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для
третьего и т.д.
Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
2 x1  x 2  x3  5

 x1  2 x2  3x3  3
7 x  x  x  10
2
3
 1
Составим расширенную матрицу системы.
3
 3  1  2 3  3 
 2 1  1 5   1  2 3  3  1  2

 
 
 

А* =  1  2 3  3  ~  2 1  1 5  ~  0 5
 7 11  ~  0 5  7 11 
 7 1  1 10   7 1  1 10   0 15  22 31   0 0  1  2 

 
 
 

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
 x1  2 x2  3x3  3

, откуда получаем: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.
5 x 2  7 x3  11
 x  2
 3
Пример. Решить систему методом Гаусса.
5 x  y  z  0

 x  2 y  3z  14
4 x  3 y  2 z  16

Составим расширенную матрицу системы.
3
14   1 2
3
14 
 5  1  1 0   1 2 3 14   1 2

 
 
 

 1 2 3 14  ~  4 3 2 16  ~  0  5  10  40  ~  0  5  10  40 
 4 3 2 16   5  1  1 0   0  11  16  70   0 0
6
18 

 
 
 
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
 x  2 y  3z  14

 5 y  10 z  40 , откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.
6 z  18

Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом
Крамера и матричным методом.
Для самостоятельного решения:
 x1  x 2  x3  x 4  4
2 x  x  3 x  2 x  1
 1
2
3
4
Ответ: {1, 2, 3, 4}.

 x1  x3  2 x 4  6
3x1  x 2  x3  x 4  0
Тема: п- мерный вектор, понятие п- мерного векторного пространства. Линейная
зависимость и независимость системы векторов, их базис и ранг.
Линейное (векторное) пространство.
Как известно, линейные операции (сложение, вычитание, умножение на число)
определены по-своему для каждого множества (числа, многочлены, направленные
отрезки, матрицы). Сами операции различны, но их свойства одинаковы.
Эта общность свойств позволяет обобщить понятие линейных операций для любых
множеств вне зависимости от того, что это за множества (числа, матрицы и т.д.).
Для того, чтобы дать определение линейного (векторного) пространства
рассмотрим некоторое множество L действительных элементов, для которых определены
операции сложения и умножения на число.
Эти операции обладают свойствами:
1) Коммутативность x + y = y + x
2) Ассоциативность ( x + y ) + z = x + ( y + z )
3)Существует такой нулевой вектор O , что O + x = x для  x  L
4) Для  x  L существует вектор y = - x , такой, что x + y = O
5)1 x = x
6) ( x ) = () x
7) Распределительный закон ( + ) x =  x +  x
8) ( x + y ) =  x +  y
Определение: Множество L, элементы которого обладают перечисленными выше
свойствами, называется линейным (векторным) пространством, а его элементы
называются векторами.
Важно не путать понятие вектора, приведенное выше с понятием вектора как
направленного отрезка на плоскости или в пространстве. Направленные отрезки являются
всего лишь частным случаем элементов линейного (векторного) пространства. Линейное
(векторное) пространство – понятие более широкое. Примерами таких пространств могут
служить множество действительных чисел, множество векторов на плоскости и в
пространстве, матрицы и т.д.
Если операции сложения и умножения на число определены для действительных
элементов, то линейное (векторное) пространство является вещественным пространством,
если для комплексных элементов – комплексным пространством.
Свойства линейных пространств.
1) В каждом линейном пространстве существует только один нулевой элемент.
2) Для каждого элемента существует только один противоположный элемент.
3) Для каждого x  L верно 0 x = 0
4) Для каждого   R и O  L верно  O = O
5) Если  x = O , то  = 0 или x = O
6) (-1) x = - x
Определение.
1) Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в
определенном порядке.
2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в
определенном порядке.
3)Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.
Определение. Если e1 , e2 , e3 - базис в пространстве и a   e1   e2   e3 , то

числа ,  и  - называются компонентами или координатами вектора a в этом базисе.
В связи с этим можно записать следующие свойства:
-
равные векторы имеют одинаковые координаты,
-
при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число,
 a   ( e1   e2   e3 ) = ( )e1  ( ) e2  ( ) e3 .
-
при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты.
a  1 e1   2 e2   3 e3 ;
b  1 e1   2 e2   3 e3 ;


a + b = (1  1 )e1  ( 2   2 )e2  ( 3   3 )e3 .
Линейная зависимость векторов.
Определение. Векторы a1 ,..., a n
называются линейно зависимыми, если
существует такая линейная комбинация 1 a1   2 a 2  ...   n an  0 , при не равных нулю
одновременно i , т.е.  12   22  ...   n2  0 .
Если же только при i = 0 выполняется 1 a1   2 a 2  ...   n an  0 , то векторы называются
линейно независимыми.
Свойство 1. Если среди векторов a i есть нулевой вектор, то эти векторы линейно
зависимы.
Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или
несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.
Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один
из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.
Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот,
любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.
Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот,
любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.
Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.



Пример. Даны векторы a (1; 2; 3), b (-1; 0; 3), с (2; 1; -1) и d (3; 2; 2) в некотором базисе.
 

Показать, что векторы a , b и с образуют базис и найти координаты вектора d в этом
базисе.
Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если
уравнения, входящие в систему:
    2  0

линейно независимы.
2  0      0
3  3    0

Тогда d   a   b   c .
Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.
1 1 2
2
3
1 1
2
3
0
3
1 0
1
2
0 1
2 1
2 0

2
 3  (2  3)  12  4  0
1 
1 1 3 1
3 3
1
a1  b1  c1  d1

a 2  b2  c2  d 2
a  b  c  d
3
3
3
 3
Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.
3 1
d1
b1
c1
1 = d 2
b2
b3
c2  2
c3 2
d3
0
3
0
3
2
0 1
2 1
2 0
1 3

2
 3(3)  (2  2)  12  1.
3 1 2 1
2 3
1
1
 1 / 4 ;

a1 d1 c1 1 3 2
2 = a 2 d 2 c2  2 2 1  (2  2)  3(2  3)  2(4  6)  4  15  4  7;
a 3 d 3 c3 3 2  1

2
 7 / 4;

a1 b1 d1 1  1 3
a b2 d 2  2 0 2  6  (4  6)  18  10;
3 = 2
a3 b3 d 3 3 3 2

3
 5 / 2;

  
Итого, координаты вектора d в базисе a , b , с : d { -1/4, 7/4, 5/2}.
 
Тема: Векторная запись системы линейных уравнеий. Однородные системы
линейных уравнений, и условие существования не нулевого его решения.
Тема: Критерии совместимости системы линейных уравнений. Теорема Кропекер –
Капелли. Фундаментальные решения однородных систем.
Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается
следующим образом:
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2
,

..........
..........
..........
..........
.......

a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm
где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые
при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.
Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется
совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.
Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно
решение и неопределенной, если более одного.
Определение. Для системы линейных уравнений матрица
 a11

a
А =  21
...

a
 m1
 a11

a
А*=  21
...

a
 m1
...
am2
... a1n 

... a 2 n 
называется матрицей системы, а матрица
... ... 

... a mn 
a12
a 22
... a1n
... a 2 n
...
am2
... ...
... a mn
a12
a 22
b1 

b2 
называется расширенной матрицей системы
... 

bm 
Определение. Если b1, b2, …,bm = 0, то система называется однородной.
однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.
Элементарные преобразования систем.
К элементарным преобразованиям относятся:
1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого,
умноженных на одно и то же число, не равное нулю.
2)Перестановка уравнений местами.
3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.
Теорема Кронекера – Капелли.
(условие совместности системы)
(Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик)
Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только
тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
RgA = RgA*.
Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:
 a12 
 a1n   b1 
 a11 



  


a 21 
 a 22 
 a 2 n   b2 

x1 
+ x2 
+ … + xn 

... 
...   ... 
... 



  


a 
 a  b 
a 
 m2 
 mn   m 
 m1 
Доказательство.
1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная
комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е.
переход АА* не изменяют ранга.
2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный
минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те
верна запись, приведенная выше.
Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:
 x1  3x2  5 x3  7 x4  9 x5  1

 x1  2 x2  3x3  4 x4  5 x5  2
2 x  11x  12 x  25 x  22 x  4
2
3
4
5
 1
9  1 3 5 7 9  1 3 5 7 9 
1 3 5 7

 
 

A =  1  2 3  4 5  ~  3 9 15 21 27  ~  1 3 5 7 9  ~
 2 11 12 25 22   2 11 12 25 22   2 11 12 25 22 

 
 

1 3
1 3 5 7 9 
 .
 1  6  5  0 RgA = 2.
~ 
2 11
 2 11 12 25 22 
9 1 1 3 5 7 9 1
1 3 5 7

 

A* =  1  2 3  4 5 2  ~  0 0 0 0 0 1 
RgA* = 3.
 2 11 12 25 22 4   2 11 12 25 22 4 

 

Система несовместна.
Пример. Определить совместность системы линейных уравнений.
 x1  4 x 2  1
3x  2 x  4
2
 1
7 x1  10 x 2  12
5 x  6 x  8
2
 1
3x1  16 x 2  5
1  4 


3 2 
1 4
А =  7 10  ;
= 2 + 12 = 14  0;

 3 2
5 6 
 3  16 


RgA = 2;
 1  4  1   1  4  1   1  4  1

 
 

2
4   0 14 7   0 2
1
3
 1  4  1

A* =  7 10 12  ~  0 38 19  ~  0 2
1  ~ 

 
 
 0 2
1 
6
8   0 26 13   0 2
1
5
 3  16  5   0  4  2   0 2
1 

 
 
1 4
 2  0.
RgA* = 2.
0 2
Система совместна. Решения: x1 = 1; x2 =1/2.
Тема: Понятие матрицы. Операции над матрицами. Обратная матрица,
транспонированная матрица.
Определение. Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число столбцов,
называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа
называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется
номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы
обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца.
 a11

a
А =  21
...

a
 m1
a12
a 22
...
a m3
... a1n 

... a 2 n 
... ... 

... a mn 
Основные действия над матрицами.
Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще
говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.
Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица
называется квадратной.
Определение. Матрица вида:
1

0
 ...

0

0 ... 0 

1 ... 0 
= E,
... ... ...

0 ... 1 
называется единичной матрицей.
Определение. Если amn = anm , то матрица называется симметрической.
Пример.
 2 1 5


 1 3 6  - симметрическая матрица
 5 6 4


Определение.
Квадратная
матрица
вида
 a11

 0
 ...

 0

0 

0 
... 0 

... a nn 
0 ...
a 22 ...
...
0
называется
диагональной матрицей.
Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их
элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены
только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции
сложения и вычитания матриц:
Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой
являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.
cij = aij  bij
С = А + В = В + А.
Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число
сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.
 a11 a12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2 n 
A  
...
...
...
... 


 a

 m1 a m 2 ... a mn 
 (А+В) =А  В
А() = А  А
 1 2 3


Пример. Даны матрицы А =  2 1 4  ; B =
 3 2 3


1 3 4


 5 7 8  , найти 2А + В.
1 2 4


 2 4 6


2А =  4 2 8  ,
 6 4 6


 3 7 10 


2А + В =  9 9 16  .
 7 6 10 


Операция умножения матриц.
Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой
могут быть вычислены по следующим формулам:
AB = C;
n
сij   aik  bkj .
k 1
Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена
только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.
Свойства операции умножения матриц.
1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ  ВА даже если определены оба
произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется,
то такие матрицы называются перестановочными.
Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая
является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.
Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же
порядка.
АЕ = ЕА = А
Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:
AO = O; OA = O,
где О – нулевая матрица.
2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены
произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:
(АВ)С=А(ВС).
3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е.
если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:
А(В + С) = АВ + АС
(А + В)С = АС + ВС.
4) Если произведение АВ определено, то для любого числа  верно соотношение:
(AB) = (A)B = A(B).
5) Если определено произведение АВ , то определено произведение ВТАТ и
выполняется равенство:
(АВ)Т = ВТАТ, где
индексом Т обозначается транспонированная матрица.
6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detAdetB.
Понятие det (определитель, детерминант) будет рассмотрено ниже.
Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход
от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том
же порядке в столбцы матрицы В.
 а11 a12 ... a1n 
 a11 a 21 ... a m1 




a
a 22 ... a m 2 
 a 21 a 22 ... a 2 n 
Т  12
А= 
;
В = А =
;
...
... ... ... 
... ... ... ... 




a

a

 m1 a m 2 ... a mn 
 1n a 2 n ... a mn 
другими словами, bji = aij.
В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что:
(ABC)T = CTBTAT,
при условии, что определено произведение матриц АВС.
Пример.
 1 0 3


Даны матрицы А =  2 4 1  , В =
 1  4 2


1
 
 3 , С =
 2
 
  1
 
 2  и число  = 2. Найти
1
 
АТВ+С.
1 2 1 


AT =  0 4  4  ;
3 1 2 


  2
 
C =  4  ;
 2 
 
 1 2 1   1   1 1  2  3  1 2   9 

   
  
ATB =  0 4  4    3  =  0  1  4  3  4  2  =  4  ;
 3 1 2   2   3  1  1  3  2  2  10 

   
  
 9    2  7 
     
АТВ+С =  4  +  4  =  8  .
10   2  12 
     
1
 
Пример. Найти произведение матриц А =  4  и В = 2 4 1 .
 3
 
1
 1 2 1 4 11   2 4 1 
 

 

АВ =  4   2 4 1 =  4  2 4  4 4  1   8 16 4  .
 3
 3  2 3  4 3  1  6 12 3 
 

 

1
 
ВА = 2 4 1   4  = 21 + 44 + 13 = 2 + 16 + 3 = 21.
 3
 
3 4

Пример. Найти произведение матриц А= 1 2 , В = 
5 6
3 4
 = 3  10 4  12 = 13 16 .
АВ = 1 2  
5 6
Тема: Элементарные матрицы, их свойства, применения. Вычисление обратной
матрицы с помощью элементарных преобразований.
Обратная матрица.
Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.
Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка,
удовлетворяющие условию:
XA = AX = E,
где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х
называется обратной к матрице А и обозначается А-1.
Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную
матрицу и притом только одну.
Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.
Исходя из определения произведения матриц, можно записать:
n
AX = E   aik  x kj  eij , i=(1,n), j=(1,n),
k 1
eij = 0,
i  j,
eij = 1,
i=j.
Таким образом, получаем систему уравнений:
a11 x1 j  a12 x 2 j ... a1n x nj  0

................................................

a j1 x1 j  a j 2 x 2 j ... a jn x nj  1 ,

................................................
a n1 x1 j  a n2 x 2 j ... a nn x nj  0

Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.
 1 2
Пример. Дана матрица А = 
 , найти А-1.
 3 4
 a11 a12   x11

 
 a21 a22   x21
a11 x11  a12 x 21  e11  1
a x  a x  e  0
 11 12
12 22
12

a 21 x11  a 22 x 21  e21  0
a 21 x12  a 22 x 22  e22  1
x12   1 0
 
.
x22   0 1
 x11  2 x 21  1
x  2x  0
 12
22

3x11  4 x 21  0
3x12  4 x 22  1
 x11  2

 x12  1

 x21  3 / 2
 x22  1 / 2
1 
 2
Таким образом, А-1= 
.
 3 / 2  1 / 2
Тема: Перестановки, их четность, инверсия. Определитель квадратной матрицы, их
свойства.
Определители.( детерминанты).
 а11 a12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2 n 
Определение. Определителем квадратной матрицы А= 
... ... ... ... 


a

a
...
a
n2
nn 
 n1
называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:
n
det A =
 (1)
k 1
k 1
a1k M 1k ,
где
М1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k –
го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные
матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.
Предыдущая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой
строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:
n
det A =
 (1)
k 1
k 1
a k1 M k1
Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу
матрицы, т.е. справедлива формула:
n
detA =
 (1)
k 1
k i
aik M ik ,
i = 1,2,…,n.
Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.
Определитель единичной матрицы равен 1.
Для указанной матрицы А число М1к называется дополнительным минором
элемента матрицы a1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы
имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в
квадратных матрицах.
Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной
матрицы aij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой
строки и j-го столбца.
Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение:
det A = det AT;
Свойство 2.
det (AB) = detAdetB
Свойство 3. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки
(или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной
величине.
Свойство 4. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее
определитель умножается на это число.
Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если
существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные
нулю) решения.
Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее
определитель равен нулю.
Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее
определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель
можно именно по нулевой строке или столбцу.)
Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его
строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на
какое-либо число, не равное нулю.
Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно
соотношение: d = d1  d2 , e = e1  e2 , f = f1  f2 , то верно:
a b c
a b c
a b c
d
k
e f  d1
l m
k
e1
l
f1  d 2
m
k
e2
l
f2
m
 1 2 1


Пример. Вычислить определитель матрицы А =  0  2 3 
 3 1 1


1 2 1
2 3
0 3
0 2
0  2 3  1
 2
 1
 (2  1  1  3)  2(0  1  3  3)  (0  1  3  2) 
1 1
3 1
3 1
3 1 1
= -5 + 18 + 6 = 19.
1 2
5 2
 , В = 
 . Найти det (AB).
Пример:. Даны матрицы А = 
3 4
1 3
1-й способ: det A = 4 – 6 = -2;
det B = 15 – 2 = 13;
det (AB) = det A det B = -26.
 1 5  2 1 1  2  2  3   7 8 
  
 ,
2- й способ: AB = 
 3  5  4  1 3  2  4  3  19 18 
– 152 = -26.
det (AB) = 718 - 819 = 126 –
Тема: Миноры и алгебраические дополнения. Разложения определителя по столбцу
или строке. Вычисление определителя. Ранг матрицы.
Элементарные преобразования матрицы.
Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие
преобразования:
1) умножение строки на число, отличное от нуля;
2) прибавление к элемнтам одной строки элементов другой строки;
3) перестановка строк;
4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);
5) транспонирование;
Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными
преобразованиями.
С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу
прибавить линейную комбинацию остальных строк ( столбцов ).
Миноры.
Выше было использовано понятие дополнительного минора матрицы. Дадим
определение минора матрицы.
Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и
столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов,
расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А.
Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.
Заметим, что вышесказанное применимо не только к квадратным матрицам, но и к
прямоугольным.
Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и
столбцы, то определитель полученной матрицы будет являться дополнительным минором.
Алгебраические дополнения.
Определение. Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его
дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и
номеров столбцов минора матрицы.
В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его
дополнительный минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки,
на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если
нечетное.
Теорема Лапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i1, … ,is, то
определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в
выбранных строках на их алгебраические дополнения.
1 0 3 4
2 1 1 2
Пример. Вычислить определитель
.
0
3 2 1
2
1
4 3
1 0 3 4
1 1 2
2 1 2
2 1 1
2 1 1 2
= -1 3 2 1  3  0 3 1  4  0 3 2
0
3 2 1
1 4 3
2 1 3
2 1 4
2 1 4 3
1 1 2
3
1
2 1 = -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.
4 3
2 1 2
0
2
3
1
2 1 1
0  2 1
1 = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.
1 = 0 3
2 1
3
3
0 2 3
0 3 2= 0 3
2 = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.
2 1 4 2 1
4
Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.
Ранг матрицы.
Как было сказано выше, минором матрицы порядка s называется определитель
матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении
каких - либо выбранных s строк и s столбцов.
Определение. В матрице порядка mn минор порядка r называется базисным,
если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют
вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.
Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются
базисными.
В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих
одинаковый порядок.
Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и
обозначается Rg А.
Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что
они не изменяют ранг матрицы.
Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования,
называются эквивалентными.
Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы - понятия
совершенно различные.
Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу
линейно независимых строк.
Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно
существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.
Пример. Определить ранг матрицы.
1 0 0 0 5 

 1 0 0 0 5  1 5 
  
 ,
 0 0 0 0 0   
 2 0 0 0 11  2 0 0 0 11  2 11


1 5
 11  10  1  0  RgA = 2.
2 11
Пример: Определить ранг матрицы.
3 5 7


1 2 3 
1 3 5


 4 8 12  1 2 3 

 
 1 2 3  1 2
 ,
 3  2  1  0  Rg = 2.
 1 2 3   1 2 3   
1
3
5
1
3


 1 3 5  1 3 5 

 

Пример. Определить ранг матрицы.
1 2 1 3 4

 1 2 1 3 4 1 2
 ,
 4  6  2  0.  Rg = 2.
 3 4 2 6 8   
3
4
2
6
8
 3 4
1 2 1 3 4 


Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу,
эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует
начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном
примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг
матрицы равен порядку этого минора.
Теорема о базисном миноре.
Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной
комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.
Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно
независимых строк (столбцов) в матрице.
Если А- квадратная матрица и detA = 0, то по крайней мере один из столбцов –
линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное
утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю.
Тема: Вычисление обратной матрицы с помощью определителя. Запись системы из
п линейных уравнений с п неизвестными и их решений с помощью матриц.
Применение правил Крамера. Условие существования не нулевого решения системы
из п линейных однородных уравнений с п неизвестными.
Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и
притом только одну.
При нахождении обратных матриц больших порядков, обычно применяют
следующую формулу:
xij 
1i  j M ji
det A
,
где Мji- дополнительный минор элемента аji матрицы А.
 1 2
Пример. Дана матрица А = 
 , найти А-1.
 3 4
det A = 4 - 6 = -2.
M11=4;
x11= -2;
M12= 3;
x12= 1;
M21= 2;
x21= 3/2;
M22=1
x22= -1/2
1 
 2
Таким образом, А-1= 
.
 3 / 2  1 / 2
Cвойства обратных матриц.
Укажем следующие свойства обратных матриц:
1) (A-1)-1 = A;
2) (AB)-1 = B-1A-1
3) (AT)-1 = (A-1)T.
3
Пример. Дана матрица А = 
1
 3 2   3 2  11
 
 = 
А2 = АА = 
1 4 1 4  7
2
 , найти А3.
4 
14 
;
18 
 3 2  11 14 
 
 =
A3 = 
 1 4   7 18 
 47 78 

 .
 39 86 
 3 2  11 14 
 и 
 являются перестановочными.
Отметим, что матрицы 
 1 4   7 18 
Матричный метод решения систем линейных уравнений.
Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений
равно числу неизвестных.
Метод удобен для решения систем невысокого порядка.
Метод основан на применении свойств умножения матриц.
Пусть дана система уравнений:
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

...............................................
a n1 x1  a n 2 x 2  ...  a nn x n  bn
 a11 a12 ... a1n 
 b1 


 
 a 21 a 22 ... a 2 n 
b 
Составим матрицы: A = 
;
B =  2 ;

... ... ... ...
...


 
a

b 
 n1 a n 2 ... a nn 
 n
Систему уравнений можно записать:
AX = B.
 x1 
 
x 
X=  2.
...
 
x 
 n
Сделаем следующее преобразование: A-1AX = A-1B,
т.к. А-1А = Е, то ЕХ = А-1В
Х = А-1В
Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что
может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого
порядка.
Пример. Решить систему уравнений:
5 x  y  z  0

 x  2 y  3z  14
4 x  3 y  2 z  16

 x
0
 5  1  1
 
 


Х =  y  , B = 14  , A =  1 2 3 
z
16 
4 3 2 
 
 


-1
Найдем обратную матрицу А .
5 1 1
 = det A = 1
4
2
3
3  5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.
2
M11 =
2 3
= -5;
3 2
M21 =
1 1
= 1;
3
2
M31 =
1 1
= -1;
2
3
M12 =
1 3
 10;
4 2
M22 =
5 1
 14;
4 2
M32 =
5 1
 16;
1 3
M13 =
1 2
 5;
4 3
M23 =
5 1
 19;
4 3
M33 =
5 1
 11;
1 2
5
;
30
10
 ;
30
5
 ;
30
a111 
1
a 21
1
a31
1
1
;
a131  ;
30
30
14
16
1
1
a 22
 ;
a 23
 ;
30
30
19
11
1
1
a32
 ;
a33
 ;
30
30
a121 
1
 1

30
 6
1
7

A-1 =  
 3
15
 1
19

30
 6
1 

30 
8 
;
15 
11 
 
30 
Cделаем проверку:
 5

 5  1  1 30

 10
AA-1 =  1 2 3  

 4 3 2  30

 5

 30
Находим матрицу Х.
1
30
14

30
19
30
1 

30 
 25  10  5 5  14  19 5  16  11 

16  1 
  5  20  15 1  28  57 1  32  33  =E.
30  30 

11 
 20  30  10 4  42  38 4  48  22 
 
30 
1
 1

30
 x
 6
 
1
7
-1

Х =  y = А В = 

 3
15
z
 1
19
 

30
 6
1 

30   0 
8   
 14  =
15   
11  16 
 
30 
14 16 
 1

 0

30 30   1 
 6
  1 0  98  128    2  .
 
 3
15 15   
1
266 176   3 

 0

30
30 
6
Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.
Метод Крамера.
(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)
Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где
число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести
ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно
независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.
Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.
det A  0;
Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация
остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой,
умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить
нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.
Теорема. (Правило Крамера):
Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

...............................................
a n1 x1  a n 2 x 2  ...  a nn x n  bn
в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное
решение и это решение находится по формулам:
xi = i/, где
 = det A, а i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой
столбца i столбцом свободных членов bi.
a11...a1i 1
i =
Пример.
a 21...a 2i i
b1
b2
a1i 1 ...a1n
a 2i 1 ...a 2 n
...
a n1 ...a ni1
...
bn
...
a ni1 ...a nn
a11 x1  a12 x 2  a13 x3  b1

a 21 x1  a 22 x 2  a 23 x3  b2
a x  a x  a x  b
32 2
33 3
3
 31 1
 a11 a12

A =  a 21 a 22
a
 31 a32
a13 
b1

a 23  ; 1= b2
a33 
b3
a12
a13
a 22
a32
a 23 ; 2= a 21 b2
a33
a31 b3
x1 = 1/detA;
a11
b1
x2 = 2/detA;
a13
a11
a12
b1
a 23 ; 3= a 21
a33
a31
a 22
a32
b2 ;
b3
x3 = 3/detA;
Пример. Найти решение системы уравнений:
5 x  y  z  0

 x  2 y  3z  14
4 x  3 y  2 z  16

5 1 1
 = 1 2 3 = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;
4
3
2
0
1 1
1 = 14
3 = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.
2
2
3
16
x1 = 1/ = 1;
5
0
2 = 1 14
1
4 16
3 = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.
2
5 1
0
x2 = 2/ = 2;
3 = 1
4
2
3
14 = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.
16
x3 = 3/ = 3.
Как видно, результат совпадает с результатом, полученным выше матричным
методом.
Если система однородна, т.е. bi = 0, то при 0 система имеет единственное
нулевое решение x1 = x2 = … = xn = 0.
При  = 0 система имеет бесконечное множество решений.
Для самостоятельного решения:
 x  3 y  6 z  12

3x  2 y  5 z  10 ;
2 x  5 y  3z  6

Ответ: x = 0; y = 0; z = -2.
Тема: Построение простого трансцендентного расширения кольца. Понятие
многочлена. Степень. Деление на (х-а).( теорема Безу). Корни многочлена.
Разложение многочлена на множители.
Определение. Функция
рациональной функцией от х.
вида f(x)  A0 x n  A1 x n 1  ...  An
называется целой
Теорема Безу. (Этьенн Безу (1730 – 1783) – французский математик)
При делении многочлена f(x) на разность x – a получается остаток, равный f(a).
Доказательство. При делении многочлена f(x) на разность x – a частным будет
многочлен f1(x) степени на единицу меньшей, чем f(x), а остатком – постоянное число R.
f ( x)  f1 ( x)( x  a)  R
Переходя к пределу при х  a, получаем f(a) = R.
Следствие. Если, а – корень многочлена, т.е. f(a) = 0, то многочлен f(x) делится на
(х – а) без остатка.
Определение. Если уравнение имеет вид Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен степени n,
то это уравнение называется алгебраическим уравнением степени n.
Тема: Многочлены над полем. Теорема о делении с остатком. НОД многочленов.
Алгоритм Евклида. Неприводимые многочлены над полем.
Тема: Неприводимые кратные множители многочлена, кратные корни многочлена.
Основная теорема алгебры. Следствия.
Если среди корней многочлена встречаются кратные корни, то разложение на
множители имеет вид:
f ( x)  A0 ( x  a1 ) k1 ( x  a 2 ) k2 ...( x  a m ) km .
k1  k 2  ...  k m  n
ki - кратность соответствующего корня.
Отсюда следует, что любой многочлен n – ой степени имеет ровно n корней
(действительных или комплексных).
Это свойство имеет большое значение для решения алгебраических уравнений,
дифференциальных уравнений и играет важную роль в анализе функций.
Теорема. (Основная теорема алгебры) Всякая целая рациональная функция f(x) имеет, по
крайней мере, один корень, действительный или комплексный.
Теорема. Всякий многочлен n – ой степени разлагается на n линейных
множителей вида (x – a) и множитель, равный коэффициенту при xn.
Теорема. Если два многочлена тождественно равны друг другу, то
коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого
Тема: Понятие комплексного числа. Алгебраическоя форма комплексного числа.
Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма
комплексного числа. Формулп Муавра.
Комплексные числа.
Определение. Комплексным числом z называется выражение z  a  ib , где a и b
– действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:
i 2  1;
i   1.
При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а bмнимой частью (b = Im z).
Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z
будет действительным.
Определение.
сопряженными.
Числа
z  a  ib
и
z  a  ib называются
комплексно
–
Определение. Два комплексных числа z1  a1  ib1 и z 2  a2  ib2 называются
равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:
a1  a2 ;
b1  b2 ;
Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю
действительная и мнимая части.
a  b  0.
Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество
комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет
включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества
чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные,
действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.
Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде
точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости,
координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части
комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной
числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.
у
A(a, b)
r
b

0
a
x
Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY –
чисто мнимые.
С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа
в так называемой тригонометрической форме.
Тригонометрическая форма числа.
Из геометрических соображений видно, что
комплексное число можно представить в виде:
a  r cos ; b  r sin  . Тогда
z  a  ib  r cos   ir sin   r (cos   i sin )
Такая форма записи называется тригонометрической формой записи
комплексного числа.
При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона  аргументом комплексного числа.
r  z;
  Arg z .
Из геометрических соображений видно:
b
r  a  ib  a 2  b 2 ;   Arg z  arctg ;
a
Очевидно, что комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и
противоположные аргументы.
z  z;
Arg z   Arg z.
Действия с комплексными числами.
Основные действия с комплексными
многочленами.
числами
вытекают
1) Сложение и вычитание.
z  z1  z 2  (a1  ib1 )  (a2  ib2 )  (a1  a2 )  i(b1  b2 )
из
действий
с
z  (a1  a2 ) 2  (b1  b2 ) 2
2) Умножение.
z  z1 z 2  (a1  ib1 )( a2  ib2 )  a1a2  ia1b2  ib1a2  i 2 b1b2
z  z1 z 2  (a1a2  b1b2 )  i(a1b2  b1a2 )
В тригонометрической форме:
z1  r1 (cos 1  i sin 1 ) , z 2  r2 (cos 2  i sin 2 ).
z  z1 z 2  r1r2 (cos(1  2 )  i sin( 1  2 ))
С случае комплексно – сопряженных чисел:
2
2
zz  (a  ib )( a  ib )  a 2  b 2  z  z .
3) Деление.
z1 a1  ib1

 x  iy
z 2 a2  ib2
(a  ib1 )(a2  ib2 ) (a1a2  b1b2 )  i(a2 b1  a1b2 )
z 1

(a2  ib2 )( a2  ib2 )
a22  b22
z
z
a1a2  b1b2
a b a b
 i 2 21 12 2
2
2
a2  b2
a2  b2
В тригонометрической форме:
z
r
z  1  1 (cos( 1   2 )  i sin( 1   2 ))
z 2 r2
4) Возведение в степень.
Из операции умножения комплексных чисел следует, что
z 2  zz  r 2 (cos 2  i sin 2)
В общем случае получим:
z n  r n (cos n  i sin n) ,
где n – целое положительное число.
Это выражение называется формулой Муавра.
(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)
Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических
функций двойного, тройного и т.д. углов.
Пример. Найти формулы sin2 и cos2.
Рассмотрим некоторое комплексное число z  r (cos   i sin ).
Тогда с одной стороны z 2  r 2 (cos 2   2i cos  sin   sin 2 ) .
По формуле Муавра: z 2  r 2 (cos 2  i sin 2)
Приравнивая, получим cos 2  i sin 2  cos 2   sin 2   2i cos  sin 
Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то
cos 2  cos 2   sin 2 
sin 2  2 sin  cos 
Получили известные формулы двойного угла.
Тема: Извлечение корня из комплексного числа. Сопряженные комплексные числа
и их свойства.
Извлечение корня из комплексного числа.
z  n r (cos   i sin )  (cos   i sin )
Возводя в степень, получим:
 n (cos n  i sin n)  r (cos   i sin )
n
Отсюда:   n r ;
n    2k ;
n
k  Z.
  2k
  2k 

z  n r (cos   i sin )  n r  cos
 i sin

n
n 

Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных
значений.
Показательная форма комплексного числа.
Рассмотрим показательную функцию w  e z ;
z  x  iy.
Можно показать, что функция w может быть записана в виде:
w  e x iy  e x (cos y  i sin y)
Данное равенство называется уравнением Эйлера. Вывод этого уравнения будет
рассмотрен позднее. (См. ).
Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:
1) e z1  z2  e z1 e z2 ;
e z1
 z2 ;
2) e
e
z m
3) (e )  e mz ; где m – целое число.
z1  z 2
Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0),
то получаем:
e iy  cos y  i sin y
Для комплексно – сопряженного числа получаем:
e iy  cos y  i sin y
Из этих двух уравнений получаем:

e iy  e iy
cos
y


2

iy
iy
sin y  e  e

2i
Этими
формулами
пользуются для
нахождения
тригонометрических функций через функции кратных углов.
значений
степеней
Если представить комплексное число в тригонометрической форме:
z  r (cos   i sin )
и воспользуемся формулой Эйлера: e i  cos   i sin 
z  re i
Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.
Рассмотрим несколько примеров действий с комплексными числами.
7
Пример. Даны два комплексных числа z1  1  i; z 2  7  2i . Требуется а) найти
2
4
7 

 1 i 
2  в алгебраической форме, б) для числа z  2  2 3i найти
значение выражения 
  7  2i 




тригонометрическую форму, найти z20, найти корни уравнения w 3  z  0.
a) Очевидно, справедливо следующее преобразование:
7 

 1 i 
2 

  7  2i 




4
 2  7i 


  14  4i 
4
4
  14  4i 
  7  2i 

  16

 2  7i 
 2  7i 
4
Далее производим деление двух комплексных чисел:
 7  2i (7  2i )( 2  7i)  14  49i  4i  14  53i



 i.
2  7i
(2  7i )( 2  7i)
4  49
53
Получаем значение заданного выражения: 16(-i)4 = 16i4 =16.
б) Число z  2  2 3i представим в виде z  r (cos   i sin ) , где
r  z  4  12  4;
  arctg


b
 arctg  3  60 0
a
Тогда z  4(cos 60 0  i sin 60 0 ) .
Для нахождения z 20 воспльзуемся формулой Муавра.
z 20  4 20 (cos 1200 0  i sin 1200 0 )  4 20 (cos(3  2  120 0 )  i sin( 3  2  120 0 )) 
1
3 
 4 20 (cos 120 0  i sin 120 0 )  4 20  
i .
2 2 
Если w 3  z  0 , то w  3 z
3
  2k
  2k  3

z  3 r  cos
 i sin

3
3 


 60 0  2k
 60 0  2k 
; k  Z .
4  cos
 i sin
3
3


.
Индивидуальные контрольные задания
Задание 1.
1) Для заданного определителя найти миноры и алгебраические дополнения элементов
ai 2 , a3 j .
2) Вычислить определитель  :
а) разложив его по элементам i-ой строки;
б) разложив его по элементам j-о столбца;
в) получив предварительно нули в i-ой строке.
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
1 1 2
3 6 2
1.1.
1 0 6
0
5
4
2 3
1
5
2 0 1 3
6 3 9 0
1.2.
0 2 1 3
4 2
i=4, j=1
2
0
1
4
3
4
1.6. 1
0
j4
1 8 2
3 6 2
1.9.
1 0 6
0
7
4
2 3
1
0
5
4
2
1
i  2,
1
0
2
4 5
3 2
1.4
5
3
4 2
2
i=4, j=1
i=1, j=3
1 2
7
3 4
1
1.7. 1  2 2
0 1 2
j2
0
9
i=4, j=3
i  2,
0
j3
5 1  3
i=4, j=2
2 0 5
1 8
3 5
1
3 4
0  2 3 1.15. 1  2
1 3
4
0 1
i  3,
j2
1  5
8
2
1
3
0 5 1  3
6
8
2
7 5
1
0
2 4 3
1 1.8. 1  2 2
4
5 1 2
2
0
1
3
4
i  4,
2 0 1 5
2 7 2
1
4
6 3 9 0
1 1 1 0
3
1.10.
1.11.
1.12
0 2 1 3
3 4 0 10
5
3 2
3
1 1
7
2 1 1.14. 1
2 3
0
j4
2 0 5
3 5 0
0 2 3
1 3
4
i  1,
i=2, j=2
3
2
1.13. 1
5
6
i=3, j=3
3 5
3
2 4
1
1.5. 1  2 2
5 1 2
i  2,
0
2 7 2
1 1 1
1.3.
3 4 0
i  2,
2
j 1
1 5
8 2
1 1
5
2
3
4 6 8
i=3, j=2
7 2
7 0
1
1 0
2
4 3
2 1 1.16. 1  2 2
2 4
5
1 2
j2
i  3,
j 1
2
0
1
3
3 5 3 2
3
2 4 1 1
7
1.17. 1 2 2 1 1.18. 1
5 1 2 3
0
i  2,
j3
2 5 5
1 8
3 5
1
3 4
0  2 3 1.19. 1  2
1 3
9
0 1
i  1,
j2
i  2,
7 2
7 0
1
2
1 0
2
4 3 0
2 1 1.20. 1  2 2 1
2 4
5
1  2 13
j2
i  3,
j 1
Задание 2.
Даны две матрицы А и В.
Найти: а) АВ, б) ВА, в) А 1 ,
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
2.1
 1 0 5
3 0 5




А= 4 2 1 , В= 4 2  1




 5 3 1
 5 1 1 
2.3
г) А1 А ,
д) АА1 , е) 3А-2 В Т
2.2
 1 6  5
3 7 5




А= 0 2 1 , В= 4 2  1




 5 3 1 
 5 1 8 
2.4
5 7 5
 1 6  5




А= 6 0 1 , В= 4 2  1




 5 1  7
 5 3 1 
5 5
1
3 9 5




А= 4  2 1 , В= 4 2  1




 5 3 1
 5 1 1 
2.5
2.6
3 7 5
 1 6  5



А= 10 2 1 , В= 4
2  1



 5 11 8 
 5 3 1 
 1 0 5
 3 10 5 



А= 4 2 1 , В= 4
2  1



 5 3 10
 5 1 1 
2.7
 1 0 5
 13 0 5 


А= 4
2 1 , В=  4 2  1

 15 3 1
 5 1 1 
2.9
 1 0 5
 3 0 15 




А= 4 21 1 , В= 4 2  1




 5 3 1
 5 1 1 
2.8
 1 6  5
3 7 5



А= 0 12 1 , В= 4
2  1



 5 3 1 
 5 12 8 
2.10
3 7 5 
 1 6  5




А= 0 2 13 , В= 4 2  11




 5 1 8 
 5 3 1 
2.11
2.12
 1 16  5
 3 17 5 


А= 0
2 1  , В=  4 2  1

 5 3 1 
 5 1 8 
0 5
1
3 0 5


А= 4  12 1 , В=  4
2  1



 5 3 1
 5 12 1 
2.13
2.14
 1  6 5
1 0 5


А= 4
2 1 , В=   1 2  1

 5 3 1
 5 10 1 
2.15
 1 6  5
3 7 5




А= 0 11 1 , В= 10 2  1




 5 3 1 
 5 1 8 
2.16
 1 0 5
 30 0 5 




А= 24 2 1 , В= 4 2  1




 5 3 1
 5 1 1 
2.17
 1 18  5
 3 7 5


А= 0
2 1  , В=  4 2  1

 5 3 1 
 4 1 8 
2.18
 1 0 5
3 0 5



А= 19 2 1 , В= 4
2  1



 5 3 1
 5 15 1 
2.19
3 7 5
 1 6  50


А= 0 2
1  , В=  4 25  1

 5 1 8 
 5 0
1 
2.20
 1 0 5
3 0 5



А= 4 2 15 , В= 4
2  1



 5 3 1 
 5 10 1 
 12 6  5
3 7 5 




А= 0 2 1 , В= 4 2  1




 5 3 1 
5 1 18 
Задание 3.
заданную систему линейных уравнений матричным способом
Решить
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
№ варианта
3.1
Система
x1-x2+2x3 =2
3x1+x2-x3 =3
4x1-x2-5x3 =-2
№ варианта
3.11
3.2
x1+8x2-5x3=-7
3x1+2x2+x3=1
2x1-3x2+2x3=9
3.12
Система
6x1+6x2+2x3=-11
11x1+9x2+2x3=-22
4x1+5x2+2x3=-5
12x1+6x2+x3=5
19x1+16x2+7x3=256
x1+ x2
=-2
3.3
3x1-3x2-4x3=-1
6x1-6x2+x3=0
4x1-9x2-2x3=-3
3.13
4x1+3x2+2x3=1
4x1+5x2+2x3=3
3x1+2x2+3x3=5
3.4
3x1+4x2+7x3=1
-2x1+5x2-3x3=1
5x1-6x2+11x3=-3
3.14
6x1+9x2+4x3=-8
-x1-x2+x3=2
10x1+16x2+7x3=-15
3.5
2x1-x2-x3=4
3x1+4x2-2x3=11
3x1-2x2+4x3=11
3.15
x1+x2+x3=-1
3x1+4x2+3x3=-6
9x1+8x2+5x3=-10
3.6
2x1+x2-x3=-1
2x1-x2+2x3=-4
4x1+x2+4x3=-2
3.16
-x1+3x2-2x3=2
2x1-x2+3x3=1
2x1-3x2+4x3=-1
3.7
x1+2x2-2x3=-3
2x1+x2-2x3=0
3x1+x2+4x3=6
3.17
3x1+2x2+2x3=-1
2x1+5x2+3x3=-6
3x1+4x2+4x3=-5
3.8
x1+2x2+3x3=5
x1+3x2+2x3=1
3x1+x2+2x3=11
3.18
2x1+4x2+3x3=0
x1+5x2+4x3=-3
-3x1+5x2+3x3=-11
3.9
4x1+x2+2x3=-2
-x1+2x2+3x3=5
-2x1+3x2+x3=8
3.19
2x1+2x2+x3=2
3x1+3x2+x3=1
2x1-x2
=8
3.10
4x1+2x2+x3=31
2x1+x2+5x3=29
x1-x2+3x3=10
3.20
x1+3x2+5x3=-8
x1+4x2+8x3=-15
x1+2x2+6x3=-13
Задание 4.
Определить ранг матрицы.
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
4.1
4.2
3
1 0

2 1 2
3 3
2

0 5  2

3 8 

4 2 
5  2

6 4 
4.4
3
3
8 
1 0


2
2 
2 1 2
3 3
2  2  2


0 5  2 6

4


4.7
1 0

2 1
3 3

0 5

4.3
2 3 6 

4 4 2 
 3 5  2

 2 6 4 
4.5
0
1 0

2 1 0
3 3
2

0 5  2

4.8
3
1 0

2 1 2
3 3
2

2 1  2

3 8 

4 2 
5  2

4 4 
4.6
3 8 

4 2 
5  2

6 4 
3
1 0

2 1 2
3 3
2

0 0  2

4.9
3 8 

4 2 
5  2

0 4 
3
1 0

2 1 2
3 3
2

0 5  2

0 8

4 2
0  1

6 4 
0
 0

 2 1
 3
3

 5
5

2 3 6 

4 4 2 
 3 5  2

 2 6 4 
4.10
4.11
3
3
0 
1 0


2
1 
2 1 2
3 3
2  2  2


0 5  2 6

1


0
3
8 
1 0


4
2 
2 1 0
3 3
3  3  2


0 5  2 6

4


4.13
3
1 1

2 1 2
3 3
2

0 5  2

1 0

2 1
3 3

0 1

3 8 

4 2 
1  2

4 4 
4.12
4.14
3 3 

4 2 
5  2

6 4 
3
1 0

2 1 2
0 0
2

2 1  2

3
1 0

2 1 2
2 2
2

0 0  2

3 8 

4 2 
0  2

0 4 
4.15
2 3 6 

4 4 2 
 3 5  2

 2 1 0 
4
4 0

2 1 2
3 3
2

2 1  2

4 8 

4 2 
5  2

4 4 
Методические указания к выполнению индивидуальных контрольных заданий
ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Задание 1.
1) Для данного определителя
1
2

3
7
0
2
5 3
6 2
, ( i = 4, j = 1 )
1 4
2
5
0
0
найти миноры и алгебраические дополнения элементов ai 2 , a3 j .
2) Вычислить определитель  :
а) разложив его по элементам i-ой строки;
б) разложив его по элементам j-о столбца;
в) получив предварительно нули в i-ой строке.
1) M 42
1
 2
5
6
3
2 =1·6·4+5·2·3+(-2)·(-1)·3-[3·6·3+5·(-2)·4+(-1)·2·1]=24+30+6-(54-40-2)=48
1 4
3
A42  (1) 4 2 M 42 =48
M 31
7
 0
5 3
3
31 5
=(-2)·(5·2-3·6)=16;
6 2 =(-2)·  1
6 2
2 0 0
1
2
2) a)  
3
5
0·  1
43
1
A31  (1) 31 M 31 =16
7
0
2
5 3
7 5 3
1
5 3
6 2
4 1
4 2
=5·  1 0 6 2 +(-2)·  1  2 6 2 +
1 4
2 1 4
3 1 4
2 0 0
7 3
 2 0 2 +0·  1
3 2 4
4 4
1
7
5
2 0 6 =
3 2 1
-5[7∙6∙4+5∙2∙2+0∙(-1)∙3-(3∙6∙2+5∙0∙4-1∙2∙7)]-2[1∙6∙4+5∙2∙3+(-1)∙(-2)∙3-(3∙6∙3+5∙(-2)∙4+(-1)∙2∙1)]=
-5(168+20-36+14)-2(24+30+6-54+40+2)= -830-96= - 926
1
2
б)  
3
5
+3  1
31
7
0
2
5 3
0
6 2
7
5 3
6 2
11
2 1
= 1∙  1
2  1 4 +(-2)  1
2 1 4 +
1 4
2 0 0
2 0 0
2 0 0
7 5 3
5 3
2
3
31 6
31 5
4 1
+2(-2)  1
6 2 +5  1 0 6 2 =(-2)  1
1 4
1 4
2 1 4
2 0 0
7
0
+3(-2)  1
31
1
2
в)  
3
5 3
-5(168+20-36+14)= -2(24+2)-4(20+3)-6(10-18)= -52-92+48-830= -926
6 2
7
0
2
2
5
5 3
6 2
=(умножим элементы второго столбца на 2 и прибавим к
1 4
0
0
15
2
соответствующим элементам первого столбца)=
7
1
7
0
2
2
5 3
6 2
=
1 4
0
0
(умножим элементы первого столбца на 2 и прибавим к соответствующим элементам второго
столбца )
15 37 5 3
37 5 3
2 4 6 2
4 1
=
=1  1  4 6 2 =
7 16  1 4
16  1 4
1
0
0 0
(умножим элементы 3-го столбца на -4 и прибавим к соответствующим элементам первого
столбца)
25
= -  12
0
5
6
3
2=
1 4
(умножим элементы 2-ого столбца на 4 и прибавим к соответствующим элементам третьего
столбца)
25
= -  12
0
23
23
3 2 25
= -(25∙26+23∙12)= -926
26 = -(-1)  1
 12 26
1 0
Задание 2.
5
6
 3 1 2
0  1



Даны две матрицы А=  1 0 2 и В= 2 1



 1 2 1
3 7
Найти: а) АВ, б) ВА, в) А 1 , г) А1 А ,
2
1 .
1
д) АА1 , е) 3А-2 В Т
 3 1 2 0  1 2
а) АВ=  1 0 2 2 1 1 =



 1 2 1 3 7 1
3   1  1  1  2  7
3  2  11  2 1
 3  0  1 2  2  3
 1  0  0  2  2  3  1   1  0  1  2  7  1  2  0  1  2  1

 1  0  2  2  1  3
1   1  2  1  1  7
1 2  2 1  11
 8 12 9
 == 6 15 0
 

 7 8 5
0  1 2  3 1 2



б) ВА= 2 1 1  1 0 2 =



3 7 1  1 2 1
0  3  1  (1)  2  1 0  1  1  0  2  2 0  2  1  2  2  1
 2  3  1  (1)  1  1 2  1  1  0  1  2 2  2  1  2  1  1

3  3  7  (1)  1  1 3  1  7  0  1  2 3  2  7  2  1  1
 3 4 0 
 = 6 4 7 
 

 3 5 21
3 1 2
0 2
1 2
в) А   1 0 2 =0+2-4-0+1-12= -13 А11 
= -4, А12  
=3,
2 1
1 1
1 2 1
А21  
1 2
3 2
3 1
=3, А22 
=1, А23  
= -5,
2 1
1 1
1 2
 4 3
1 
А    3
1
13
 2  5
23 1
 4 3
1 
1
1  8  1 0
А А    3
13
 2  5 1   1 2
3 1
=1
А33 
1 0
г)
1
А31 
1 2
=2,
0 2
2
 8
1 
2
2 =
1
 4  3  3  (1)  2  1  4  1  3  0  2  2  4  2  3  2  2  1
1 

3  3  1  (1)  8  1
3 1  1 0  8  2
3  2  1 2  8 1
13 
  2  3  5  (1)  1  1  2  1  5  0  1  2  2  2  5  2  1  1
0  1 0 0
 13 0
1 

0  13 0  = 0 1 0

13
 0
0  13 0 0 1

=


А13 
А32  
1 0
= -2,
1 2
3 2
= -8,
1 2
д) АА 1
2
 3 1 2   4 3
1 
 1 0 2   3
1  8 =

13 
 1 2 1  2  5 1 
3  3  1  1  2  (5)
3  2  1  (8)  2  1
 3  (4)  1  3  2  (2)
1 

(1)  (4)  0  3  2  (2) (1)  3  0  1  2  (5)  1  2  0  (8)  2  1
13 
 1  (4)  2  3  1  (2)
1  3  2  1  1  (5)
1  2  2  (8)  1  1

=


0  1 0 0
 13 0
1 
=
 0  13 0  = 0 1 0
13 
 0
0  13 0 0 1
 9 3 6


е) 3А=  3 0 6 ,


 3 6 3
 0 2 3
 0 4 6


Т
В =  1 1 7 , -2 В =  2  2  14
 2 1 1
 4  2  2 
Т
 9 3 6  0  4  6   9  1 0 

 
 

3А-2 В Т =  3 0 6 + 2  2  14 =  1  2  8

 
 

 3 6 3  4  2  2   1 4
1 
Задание 3.
Решить систему линейных уравнений:
а) методом Крамера
б) матричным способом
в) методом Гаусса
2
1
а) Найдем главный определитель   1  2
7
1
1
3 = 4+21-1-14+1-6= 5
1
Найдем вспомогательные определители 1 ,  2 ,  3 , полученные путем замены первого, второго,
третьего столбцов соответственно в главном определителе.
5
1 1
1   3  2 3 =10+30+3-20-3-15=5,
10
2
1
1
1
5
 3  1  2  3 = -40-21+5+70-10+6=10
7 1 10
2 5 1
 2  1  3 3 =6+105-10-21+5-60=25
7 10
1
х1 
1

 1, х2  2  5,


2 1  1


б) А  1  2 3 ,


7 1  1
х3 
3
 2.

 х1 
Х   х 2  ,
 х3 
5
В   3 ,
 10 
 А  5
АХ=В,
А11 
2
1
А22 
2
7
3
= -1,
1
А12  
1
7
3
1 2
1 1
=22, А13 
=15, А21  
=0
1
1 1
7 1
1
2 1
1
=5, А23  
=5, А31 
1
2
7 1
1
2
=1, А32  
3
1
1
2 1
= -7, А33 
= -5
3
1 2
 1 0 1 
1
А   22 5  7 ,
5
15 5  5
1
 1 0 1   5 
  5  10
1
1
Х  А1 В   22 5  7  3 = 110  15  70
5
5
15 5  5  10 
 75  15  50
5

1
 = 25
 5
10

 1 
 = 5 
  
  2 
в)
 2 1 1 5 


Составим расширенную матрицу системы А* =  1  2 3  3 
 7 1  1 10 


Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
,
откуда получаем: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.
Задание 4.
Определить ранг матрицы.
 5

 2
 2

 3

7 1 2 0

1 1 3 2
 (поменяем местами первый и третий столбцы) 
0 4 4 1

6 2 5 7 
1

1
4

2

7 5 2 0

1 2 3 2

0  2 4 1

6 3 5 7 
(прибавим к элементам 2-ой строки соответствующие элементы 1ой строки, умножим элементы 1-ой строки на -4 и прибавим к соответствующим элементам 3-ей
строки, умножим элементы 1-ой строки на -2 и прибавим к соответствующим элементам 4-ой
7
5
2
1

8
7
5
0
строки) 
0  28  22  4

0  8  7
1

0

2
1

7 
( прибавим к элементам 4-ой строки соответствующие элементы 2-ой строки)
7
5
2
1

8
7
5
0
 0  28  22  4

0
0
0
6

0

2
(разделим элементы 4-ой строки на 3)
1

3 
7
5
2
1

8
7
5
0
 0  28  22  4

0
0
0
2

0

2
(переставим местами 2-ой и 5-ый столбцы)
1

1 
1

0
0

0

0
5
2
7 

2
7
5
8 
(переставим местами 2-ую и 4-ую строки)
1  22  4  28 

1
0
2
0 
1

0
0

0

0
5
2
7 

1
0
2
0 
(умножим элементы 2-ой строки на -1 и прибавим к
1  22  4  28 

2
7
5
8 
соответствующим элементам 3-ей строки, умножим элементы 2-ой строки на -2 и прибавим к
соответствующим элементам 4-ой строки )
1

0
0

0

0
5
2
7 

1
0
2
0 
(умножим элементы 4-ой строки на 3 и прибавим к соответствующим
0  22  6  28 

0
7
1
8 
2
7 
1 0 5


2
0 
0 1 0
элементам 3-ей строки) 
( умножим элементы 3-ей строки на 7 и
0 0 1  3  4


0 0 7
1
8 

прибавим к соответствующим элементам 4-ой строки)
1

0
0

0

0 5
1 0
0 1
0
0



,

 20  20 
2
2
3
7
0
4
матрицу привели к трапецивидному виду, на боковой грани расположены 4 неравные нулю
элемента, следовательно rang= 4.
Экзаменационные вопросы:
1. Основные понятия о системе линейных уравнений. Равносильные системы
линейных уравнений, элементарные преобразования системы и теоремы о них.
2. Решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения
переменных.
3. Векторная запись системы линейных уравнений. Условия существования не
нулевого решения однородной системы линейных уравнений. Свойства
решений системы линейных уравнений.
4. Критерий совместности системы линейных уравнений. Теорема КронеккерКопелли.
5. Фундаментальное решение однородной системы линейных уравнений.
6. Запись системы линейных уравнений и его решения в виде матрицы. Правило
Крамера.
7. n-мерный вектор, понятие n-мерного векторного пространства. Линейная
зависимость и независимость системы векторов, свойства.
8. Эквивалентные системы векторов. Базис и ранг системы векторов.
Элементарные преобразования над системой векторов.
9. Понятие векторного пространства и его свойства. Примеры.
10. Понятие группы. Запись, простейшие свойства. Примеры.
11. Понятие кольца и его простейшие свойства. Область целостности. Примеры.
12. Понятие матрицы. Операции. Доказательство одного свойства произведение
матриц.
13. Обратные матрицы. Теорема об их произведении. Транспортирование
матрицы.
14. Элементарные матрицы и их свойства.
15. Условие обратимости матрицы. Вычисления обратной матрицы с помощью
элементарных преобразований.
16. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы.
17. Вычисление обратной матрицы с помощью определимости.
18. Приведение матрицы к диагональному виду.
19. Миноры, алгебраические дополнения и леммы о них (одно с доказательством).
20. Подстановки. Четные и нечетные подстановки, инверсия. Понятие
транспозиции. Произведение перестановок. Определение определителя
квадратной матрицы.
21. Основные свойства определителя.
22. Разложение определителя.
23. Определитель произведения матриц.
24. Сопряженные комплексные числа. Модуль комплексного числа и его свойства.
Геометрическое изображение комплексного числа.
25. Тригонометрическое
форма комплексного числа. Умножение, деление,
возведение в степень комплексного числа заданного в тригонометрической
форме. Формула Муавра.
26. Извлечение корня из комплексного числа.
27. Понятие многочлена с одной неизвестной. Степень многочлена. Деление
многочлена на х-а (теорема Безу). Корни многочлена и их число.
28. Полиномы над полем. Теорема о делении с остатком.
29. НОД многочленов. Алгоритм Евклида.
30. Неприводимые над данным полем полиномы и его свойства. Разложение
полинома в произведение неприводимых множителей.
Список литературы:
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М; Наука, 1980.
2. Кострикин А.В. Введение в алгебру. Т.1. Основы алгебры. Т2 линейная алгебра. Т3
Основные алгебраические структуры. М; Физматгиз,2001.
3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.,Наука,1978.
4. Курош А.Г. курс высшей алгебры. М., Наука, 1978.
5. Фадеев Д.К., Соминский И.С., Сборник задач по высшей алгеебре. М., Наука 1982.
6. Сбоник задач по алгебре. Под редакцией А.И. Кострикина. М; Физматгиз,2002. Изд.3-е,
испр. и доп.
7. икрамов Х.Д., Задачник по линейной алгебре. М; Наука, 1975.
Дополнительная литература:
1.
2.
3.
4.
Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М; Наука, 1976.
Скорняков Л.А. Элементы алгебры. М; Наука,1978.
Мальцев А.И., Основы линейной алгебры. М; Наука,1970.
Хорн Р., Джонсон И. Матричный анализ. М; Наука,1989.
По курсу «Алгебра» будет использована следующая система оценок:
Курс заканчивается экзаменом , который будет охватывать все пройденные темы.
Освобождение от сдачи экзамена происходит при выполнений нижеследующих условий:
Рейтинговый контроль: 60%
Итоги экзамена: 40%
Политика оценивания знаний студента:
Обязательное посещение лекций- 10% от итоговой оценки
Обязательное посещение практических занятий и активное участие на них;
Выполнение СРС,СРСП- 20%
Контрольная работа-30%
По дисциплине «Алгебра» будет использована следующая система оценок:
Оценка по
буквенной системе
Цифровой
эквивалент баллов
А
АВ+
В
ВС+
С
4,0
3,67
3,33
3,0
2,67
2,33
2,0
Процентное
содержание
95-100
90-94
85-89
80-84
75-79
70-74
65-69
Оценка по
традиционной
системе
Отлично
Хорошо
Удовлетворительно
СD+
D
F
1,67
1,33
1,0
0
60-64
55-59
50-54
0-49
Итоговая оценка по курсу:
Итоговая оценка вычисляется по следующей формуле:
ИО=Р*0,6+Э*0,4
где
Р- цифровой эквивалент итогового рейтинга
Э- цифровой эквивалент оценки на экзамене
Неудовлетворительно