Математика - Университет Российской академии

УНИВЕРСИТЕТ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ОБРАЗОВАНИЯ
Красноярский филиал
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ
«МАТЕМАТИКА»
(для студентов, обучающихся по специальности
080301.65 «Коммерция (торговое дело)»)
Красноярск 2013
УНИВЕРСИТЕТ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ОБРАЗОВАНИЯ
Красноярский филиал
ФАКУЛЬТЕТ ЭКОНОМИКИ И БИЗНЕСА
КАФЕДРА ПСИХОЛОГИИ И ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ
«МАТЕМАТИКА»
(для студентов, обучающихся по специальности
080301.65 «Коммерция (торговое дело)»)
Утвержден
Согласовано:
решением
УМС
филиала
протокол № ___ от ___ ___ 2013
Первый проректор:
___________________
Директор филиала ___________
/Решетова Т.Я./
Фамилия, инициалы
/Дроздов Н.И./
Фамилия, инициалы
Красноярск 2013
2
УДК 51(073)
ББК 22.1я73
М 34
Печатается по решению Учебно-методического совета
Университета Российской академии образования
Красноярский филиал
Авторы-составители: кандидат физико-математических наук Матусов Л.Б.,
кандидат педагогических наук, доцент Шушерина О.А.
Матусов Л.Б., Шушерина О.А. Учебно-методический комплекс по дисциплине
"Математика" для специальности 080301.65 «Коммерция (торговое дело)» –
Красноярск: Издательство КФ УРАО, 2013. – 37 с.
УРАО, 2013.
3
1. Пояснительная записка
Программа разработана в соответствии с:
- государственными стандартами высшего профессионального образования
по специальности: 080301.65 «Коммерция (торговое дело)»;
-
учебными
планами
очной
формы
обучения
по
указанным
специальностям (со сроком обучения 5 лет), одобренными на заседании
Ученого Совета;
- учебной программой УРАО по данной дисциплине.
При подготовке учебно-методического комплекса обобщен опыт работы
профессорско-преподавательского состава кафедры.
Целью изучения дисциплины
является овладение теоретическими и
практическими основами высшей математики. Они состоят из следующих
разделов: 1) Элементы линейной алгебры; 2) Математический анализ;3)
Дифференциальные уравнения; 4) Теория вероятностей и математическая
статистика;.5) Экономико-математические методы
Большое внимание в данном курсе уделяется практическому овладению
материалом, чему способствует решение многих примеров и задач. В разделе
«Линейная
алгебра»
предлагаются
задачи,
способствующие
овладению
операциями над матрицами и решению систем линейных уравнений.
В разделе «Математический анализ» основным практическим материалом
являются задачи на определение пределов функций, вычисление производных
функций, а так же неопределённых и определённых интегралов.
При
прохождении
этого
курса
студенты
обязаны
овладеть
самостоятельными навыками использования операций предельного перехода и
др.
При усвоении теоретического материала наибольшее внимание уделяется
основным понятиям, таким как предел последовательности, предел функции,
производная, интеграл и т.д.
4
В разделе «Теория вероятностей и математическая статистика» основное
внимание уделяется усвоению таких понятий, как операция над случайными
событиями,
классическое
определение
вероятности,
аксиоматическое
определение вероятности и его следствиям, случайным величинам и их
характеристикам законам распределения случайных величин и т.д. При этом
большая часть учебного времени отводится для решения задач. Всё
вышеизложенное позволяет студентам применять полученные знания и навыки
при использовании математических методов в экономике
В разделе «Экономико-математические методы» акцент делается на
освоении методов теории исследования операций, применяемых в экономике,
таких как линейное и динамическое программирование, теория оптимального
управления и т.д.
2. Организационно - методический раздел
080301.65
Код
Код
«Коммерция
дисциплины
дисциплины по
(торговое дело)»
по ГОС
УП УРАО
Очная форма
ЕН.Ф.01.
Заочная форма
ЕН.Ф.01.
Всего
Аудит.
Сам.
часов
занятий
раб.
ЕН.Ф.01.
200
60
140
ЕН.Ф.01.
200
24
176
Изучается в 1 и 2 семестрах. Форма аттестации - экзамен – 2 семестр.
Цель
дисциплины - изучение основных понятий
линейной алгебры,
математического анализа, дифференциальных уравнений, теории вероятностей
и математической статистики, экономико-математических методов
Задачи дисциплины –научить студентов решать основные задачи из
указанных выше разделов.
Согласно ГОС дисциплина «Математика» для специальности 080301.65
- «Коммерция (торговое дело)» содержит следующие дидактические единицы:
- аналитическая геометрия и линейная алгебра;
5
- дифференциальное и интегральное исчисления;
- ряды;
- дифференциальные уравнения;
- элементы теории вероятностей;
- математические методы
программирование;
теория
в экономике: линейное и динамическое
массового
элементы теории графов.
6
обслуживания;
теория
игр;
3. Тематический план
Примерный тематический план
для очной/заочной формы обучения
№
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Темы
Раздел I. Введение в дискретную
математику. Тема 1.Элементы
теории множеств
Тема 2.Элементы математической
логики
Тема 3.Элементы комбинаторики
Раздел II. Элементы алгебры и
алгебраических методов
Раздел II. Элементы алгебры и
алгебраических методов. Тема 1.
Векторная алгебра и алгебра матриц
Раздел III.Элементы
функционального анализа. Тема
1.Понятия функции и способы ее
задания
Тема 2.Теория пределов
Тема 3.Дифференциальное
исчисление
Тема 4.Интегральное исчисление
Тема 5.Обыкновенные
дифференциальные уравнения
Раздел IV. Теория вероятности и
математической статистики. Тема
1.Теория вероятностей.
Тема 2.Статическое оценивание и
проверка гипотез. Параметрические
и непараметрические методы
Тема 3 .Методы дисперсионного
анализа
Тема 4.Статистические методы
обработки экспериментальных
данных
Итого
Всего
часов
Лекции
Семинары
СРС
12/14
2/1
2/1
10/12
12/14
2/1
2/1
10/12
12/14
2/1
2/1
10/12
12/14
2/1
2/1
10/12
12/14
2/1
2/1
10/12
12/14
2/1
2/1
10/12
12/14
2/1
2/1
10/12
12/14
2/1
2/1
10/12
12/14
2/1
2/1
10/12
12/14
2/1
2/1
10/12
12/14
2/1
2/1
10/12
12/14
2/1
2/1
10/12
14/12
2/-
2/-
10/12
18/20
4/-
4/-
10/20
200/200
30/12
30/12
140/176

Количество часов в примерном тематическом плане корректируется в соответствии с действующими
учебными планами
7
РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
ДИСЦИПЛИНЫ
«МАТЕМАТИКА»
(для студентов, обучающихся по специальности
0803301 «Коммерция (торговое дело)»)
8
Основное содержание учебного курса.
Тема 1. Аналитическая геометрия.
Плоские кривые.
Тема 2. Линейная алгебра. Матрицы и определители.
Операции над матрицами. Определители матриц и их свойства.
Тема 3. Обратная матрица.
Ранг матрицы.
Тема 4. Системы линейных алгебраических уравнений.
Тема 5. Введение в математический анализ.
Множества, операции над множествами. Множество действительных
чисел. Точные верхняя и нижняя грани множества. Теорема Вейерштрасса.
Функция одной переменной, способы задания функции. Определения сложной
функции, обратной функции, функции, заданной параметрически.
Тема 6. Предел числовой последовательности.
Числовые
последовательности,
ограниченные,
монотонные.
Предел
числовой последовательности. Сходящиеся последовательности. Необходимое
условие
сходимости.
Единственность
предела.
Бесконечно
малые
последовательности и их свойства. Необходимое и достаточное условие
существования предела. Критерий Коши сходимости последовательности.
Бесконечно большие последовательности, их свойства и связь с бесконечно
малыми.
9
Тема 7. Предел функции.
Определения предела функции по Коши и по Гейне. Единственность
предела и ограниченность функции. Критерий Коши существования предела.
Арифметические свойства пределов и свойства пределов, связанные с
неравенствами. Бесконечно малые функции и их свойства. Бесконечно большие
функции и их связь с бесконечно малыми. Односторонние пределы.
Необходимое и достаточное условие существования предела функции. Предел
сложной функции. Первый замечательный предел и следствия из него. Второй
замечательный предел и следствия из него. Сравнения функций. Эквивалентные
функции и их свойства.
Тема 8. Производная функции.
Определение производной функции одной переменной. Примеры. Таблица
производных. Геометрический смысл производной, уравнения касательной и
нормали к кривой. Механический смысл производной. Дифференцируемость
функции. Необходимое условие дифференцируемости .
Тема 9. Свойства дифференцируемых функций.
Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции.
Инвариантность
формы
записи
первого
дифференциала.
Свойства
дифференциалов. Производная обратной функции и функции, заданной
параметрически. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула
Лейбница.
Тема 10. Основные теоремы дифференциального исчисления.
Правило Лопиталя. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Следствия
из теоремы Лагранжа. Примеры.
10
Тема 11. Приложение производной к исследованию функций.
Достаточные условия монотонности функции. Экстремумы функции.
Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума (с первой
производной и с производными высших порядков). Наибольшее и наименьшее
значение функции на отрезке. Выпуклость и вогнутость графика функции.
Достаточные условия выпуклости и вогнутости. Точки перегиба графика
функции. Необходимое условие точки перегиба. Достаточные условия точки
перегиба. Асимптоты графика функции. План исследования функции и
построение графика функции.
Тема 12. Неопределенный интеграл и его свойства.
Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства.
Таблица интегралов. Замена переменной в неопределенном интеграле.
Интегрирование по частям.
Тема 13. Методы интегрирования различных функций.
Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование иррациональных
функций. Интегрирование тригонометрических функций. Тригонометрические
подстановки. «Неберущиеся» интегралы.
Тема 14. Определенный интеграл и его свойства.
Задача о площади криволинейной трапеции. Определение определенного
интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Необходимое
условие интегрируемости. Верхняя и нижняя суммы Дарбу. Необходимое и
достаточное условие интегрируемости. Достаточные условия интегрируемости.
Свойства определенного интеграла.
11
Тема 15. Числовые ряды.
Сходимость ряда. Достаточные признаки сходимости для рядов с
неотрицательными членами.
Тема 16. Знакопеременные ряды.
Знакопеременные числовые ряды, абсолютная и условная сходимость.
Критерий Коши сходимости числового ряда и теорема о сходимости ряда.
Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница и следствия из него.
Тема 17. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда.
Определение степенного ряда. Теорема Абеля. Круг и радиус сходимости
степенного ряда. Интервал и радиус сходимости для действительного ряда.
Свойства степенных рядов.
Тема 18. Ряд Тейлора.
Разложение функции в ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Разложение основных
элементарных функций в ряд Маклорена. Приложения степенных рядов к
приближенным вычислениям.
Тема 19. Введение в теорию обыкновенных дифференциальных
уравнений (ОДУ).
Основные определения (порядок ОДУ, линейность и нелинейность, общее
и частное решения, общий и частный интеграл). Задачи, приводящие к ОДУ.
Задачи Коши для ОДУ 1-го порядка ее геометрический смысл, изоклины
12
Тема 20. ОДУ 1-го порядка
ОДУ с разделяющимися переменными и приводящимися к ним,
однородные ОДУ и приводящиеся к ним, линейные ОДУ, ОДУ Бернулли, ОДУ
в
полных
дифференциалах.
Формулировка
теоремы
существования
и
единственности решения задачи Коши для ОДУ 1го порядка (геометрическая
интерпретация). ОДУ 1го порядка не разрешенные относительно производной,
теорема существования и единственности, особые решения. Уравнения
Лагранжа и Клеро.
Тема 21. Линейные ОДУ.
Однородные и неоднородные линейные ОДУ 2-го порядка.
Тема 22. Введение в теорию вероятностей.
Случайные события. Операции над случайными событиями. Классическое
определение вероятности.
Тема 23. Комбинаторика и вероятность.
Перестановки. Размещения. Сочетания. Треугольник Паскаля. Свойства
биномиальных коэффициентов. Определение вероятности случайных событий в
комбинаторных задачах.
Тема 24. Аксиоматическое определение вероятности.
Аксиомы теории вероятностей и их следствия. Вероятность суммы двух
случайных событий. Вероятность суммы нескольких случайных событий.
Тема 25 Условная вероятность события.
13
Понятие условной вероятности события.
Теорема о вероятности
произведения двух случайных событий. Теорема о вероятности произведения
нескольких случайных событий.
Тема 26. Теорема о полной вероятности случайного события.
Полная группа случайных событий. Теорема о полной вероятности
случайного события. Теорема Байеса.
Тема 27. Случайные величины.
Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные
величины. Законы распределения
и функции распределения вероятностей
случайных величин. Плотность распределения случайных величин.
Тема 28. Примеры законов распределения случайных величин.
Биномиальное
распределение.
Распределение
Пуассона.
Геометрическое
распределение. Равномерное распределение. Закон нормального распределения.
Тема 29. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
Математическое ожидание и дисперсия дискретных и непрерывных случайных
величин.
Тема 30. Закон больших чисел.
Неравенство Чебышева. Теорема Муавра-Лапласса.
Тема 31. Введение в экономико-математические методы. Линейное
программирование.
Графический
метод
и
симплекс-метод
программирования.
14
решения
задач
линейного
Тема 32. Динамическое программирование.
Уравнение Беллмана. Принцип максимума Понтрягина.
Тема 33. Плоские графы.
Эйлеровы графы; гамильтоновы графы; Орграфы;
Тематика и содержание практических занятий
Практическое занятие 1.Аналитическая геометрия.
Составление уравнений плоских кривых.
Практическое занятие 2.Введение линейную алгебру.
Матрицы и определители. Операции над матрицами. Вычисление
определителей матриц различных размерностей.
Практическое занятие 3. Обратная матрица.
Вычисление ранга матрицы. Определение матрицы обратной к заданной
Практическое занятие 4. Системы линейных уравнений.
Решение системы
линейных уравнений методом обратной матрицы.
Решение системы линейных уравнений методом Крамера. Решение системы
линейных уравнений методом Гаусса.
Практическое занятие 5. Введение в математический анализ.
Построение графиков функций с помощью сдвигов и деформаций. Целая,
дробная часть действительного числа, знак числа.
15
Практическое занятие 6. Предел числовой последовательности.
Определение предела числовой последовательности. Вычисление пределов
последовательностей.
Практическое занятие 7. Предел функции.
Определение предела функции по Коши и по Гейне, использование их при
нахождении пределов. Раскрытие неопределенностей
 
  
и
0
 0 
при
вычислении пределов отношения многочленов на бесконечности и при x  a .
Вычисление пределов с иррациональностями. Первый замечательный предел и
следствия из него. Второй замечательный предел и следствия из него.
Эквивалентные функции и использование их при вычислении пределов.
Односторонние пределы.
Практическое занятие 8. Непрерывность функции, точки разрыва,
их классификация.
Определение непрерывной функции и доказательство непрерывности
функций. Нахождение точек разрыва функции и определение их характера.
Практическое занятие 9. Производная функции одной действительной
переменной, дифференциал.
Определение производной функции и вычисление некоторых производных
по определению. Таблица производных, производные суммы, произведения и
частного
двух
функций.
Табличное
дифференцирование.
Вычисление
производной сложной функции, логарифмической производной, производной
показательно-степенной
функции,
производной
функции,
заданной
параметрически, обратной функции. Формула Лейбница. Дифференциалы
16
первого и высших порядков. Приближенные вычисления с помощью
дифференциала. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и
нормали к кривой. Угол между кривыми.
Практическое занятие 10. Правило Лопиталя.
Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя.
Практическое занятие 11. Исследование функций с помощью производных
и построение графиков функций.
Исследование
функций
на
возрастание
и
убывание.
Нахождение
экстремумов функций, наибольших и наименьших значений на отрезке.
Исследование функции на выпуклость и вогнутость, нахождение точек
перегиба, асимптот графика функции. Построение графиков функций.
Практическое занятие №12. Неопределенный интеграл.
Табличное интегрирование. Вычисление неопределенных интегралов с
помощью замены переменной и интегрирования по частям.
Практическое занятие №13. Методы интегрирования некоторых функций.
Интегрирование
рациональных
дробей.
Метод
неопределенных
коэффициентов. Метод Остроградского. Интегрирование иррациональных
функций.
Интеграл
тригонометрических
от
дифференциального
функций.
бинома.
Тригонометрические
и
Интегрирование
гиперболические
подстановки.
Практическое занятие №14. Определенный интеграл.
Вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница.
Замена переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.
17
Практическое занятие15. Сходимость числовых рядов.
Числовые ряды с неотрицательными членами.
Исследование сходимости числового ряда с помощью необходимого
признака. Сходимость ряда с неотрицательными членами: интегральный
признак сходимости, признаки сравнения, признаки Даламбера и Коши.
Практическое занятие 16. Сходимость знакопеременных рядов.
Исследование знакопеременных рядов на абсолютную и условную
сходимость. Исследование знакочередующихся рядов на сходимость с
помощью признака Лейбница.
Практическое занятие 17. Степенные ряды.
Область сходимости степенного ряда.
Определение степенного ряда. Теорема Абеля. Круг и радиус сходимости
степенного ряда. Интервал и радиус сходимости для действительного ряда.
Свойства степенных рядов.
Практическое занятие 18. Ряд Тейлора.
Разложение функции в ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Разложение основных
элементарных функций в ряд Маклорена. Приложения степенных рядов к
приближенным вычислениям.
Практическое занятие 19. Введение в теорию обыкновенных
дифференциальных уравнений (ОДУ).
Определение основных понятий, относящихся к ОДУ
(порядок ОДУ,
линейность и нелинейность, общее и частное решения, общий и частный
интеграл). Задачи Коши для ОДУ 1-го порядка ее геометрический смысл,
изоклины
18
Практическое занятие 20. ОДУ 1-го порядка.
Решение ОДУ с разделяющимися переменными. Решение однородных и
линейных ОДУ, ОДУ Бернулли и ОДУ в полных дифференциалах.
Формулировка теоремы существования и единственности
решения задачи
Коши для ОДУ 1го порядка (геометрическая интерпретация).
Практическое занятие 21. Линейные ОДУ и системы линейных ОДУ.
Решение однородных и неоднородных линейных ОДУ, нормальных систем
линейных ОДУ n-го порядка. Решение однородные системы линейных ОДУ.
Решение примеров.
Практическое занятие 22. Введение в теорию вероятностей.
Определение случайных событий и операций над случайными событиями.
Определение вероятности случайного события.
Практическое занятие 23. Комбинаторика и вероятность.
Определение перестановок, размещений и сочетаний. Определение
вероятности случайных событий в комбинаторных задачах.
Практическое занятие 24. Аксиоматическое определение вероятности.
Использование аксиом теории вероятностей для определения вероятности
суммы двух и более случайных событий.
Практическое занятие 25. Условная вероятность события.
Применение понятия условной вероятности события к вычислению
вероятности произведения двух и более случайных событий.
19
Практическое занятие 26. Теорема о полной вероятности случайного
события.
Использование теорем о полной вероятности случайного события и для
определения вероятности случайного события и апостериорной вероятности.
Практическое занятие 27. Случайные величины.
Дискретные и непрерывные случайные величины. Определение законов
распределения
и функции распределения вероятностей для дискретных и
непрерывных случайных величин. Вычисление плотности распределения
случайных величин.
Практическое занятие 28. Примеры законов распределения
случайных величин.
Изучение свойств биномиального распределения. распределения Пуассона,
геометрического распределения и нормального распределения.
Практическое занятие 29. Математическое ожидание и дисперсия
случайной величины.
Вычисление математического ожидания и дисперсии дискретных и
непрерывных случайных величин.
Практическое занятие 30. Закон больших чисел.
Использование закона больших чисел для оценки математического ожидания
суммы случайных событий.
Практическое занятие 31. Введение в экономико-математические методы.
Линейное программирование.
20
Решение задач линейного программирования графическим методом и
симплекс-методом.
Практическое занятие 32. Динамическое программирование.
Использование уравнения Беллмана для решения задачи динамического
программирования. Использование принципа Понтрягина для решения задачи
оптимального управления.
Практическое занятие 33. Плоские графы.
Изучение свойств плоских графов. Эйлеровы и гамильтоновы графы.
Варианты типовых расчетных работ
Раздел 1. Линейная алгебра.
Тема 1. Матрицы и определители. Решение систем линейных уравнений.
Вариант типовой расчетной работы №1 (I семестр).
1 2
 0 5
 ; B  

3 4
 6 8
1. Даны матрицы A  
Найти их произведение АВ и ВА.
1 2
 .
2. Найти A 2 , где A  
3 4
3. Вычислить определитель .
1 1 1
A2
1
1
1
1
2
4. Найти матрицу, обратную к данной
1  1 1


A   2 1 1 .
 1 1 2


5.Найти ранг матрицы
21
6
2 5


4 1 5  .
 2  6  1


6. Решить систему уравнений
 x3  x 2  x3  3

2 x1  x 2  x 3  11 .
 x  x  2x  8
2
3
 1
а) методом обратной матрицы; б) по формуле Крамера
7. Методом Гаусса решить систему:
 2 x1  x 2  x3  x 4  5

 x1  2 x 2  2 x3  3x 4  6 .
 3x  x  x  2 x  1
2
3
4
 1
Раздел 2. Математический анализ
Тема 1. Пределы функций.
Вариант типовой расчетной работы №2 (I семестр).
Вычислить пределы функции:
1. lim
x2
5 x 2  3x  4
.
x 3  2x  1
3x 2  4 x 2  7 x  4
2. lim
.
x  9 x 5  x 3  2 x 2  5
3. lim
x 3
x 2  5x  6
.
x3
4. lim
x 2
5. lim
x 1 3
6. lim
x 
x2  6x
.
x2  4
x 2
x 1
.
x  x 1
3 x
;
22
7. lim
x 3
8. lim
x

4
3  2x  3
;
x2  9
1  ctgx
cos( x 

4
;
)
 2x 2  1 
9. lim  2 
x   2 x  3 
x 2 3
;
10.Найти точки разрыва функции и определить их характер:
y
x 1
;
x2 1
Тема 2. Производная функции.
Вариант типовой расчетной работы №3 (1 семестр).
Найти производную функции:
1
х
у = 5х3 - 4х2 + 7х - x   3 ;
y  e x  sin x; y  ln x  arcsin x; y  tgx  arctgx;
y
cos x
x 2  3x  4
ex  x
; y x
;
; y
ln x
arccos x
e  x
y  etgx; у=ctg х ; у= ln x .
y  x 2  ln 2 cos x  ;
x2
1
y  ;
 x
2. Найти интервалы возрастания и убывания функций
у = х2-7х + 12; у =
1 3 5 2
х - х +6х – 7.
3
2
3. Найти экстремумы функции.
у=
1 3 7 2
х - х +10х – 4.
3
2
4. Найти интервалы выпуклости функции
23
у = х(х - 1)3.
5. Написать уравнения касательной и нормали к графику функции
y  2 x 4  x 3  x 2  1 , в точке с абсциссой x0  1 ;
6. Исследовать функцию и построить график:
у = 1 ln 2 x .
y  x2 
2
;
x
Тема 3. Неопределенный и определенный интегралы.
Варианты типовой расчетной работы №4 (I семестр).
Вычислить интегралы:
1.
 (7 х
2.
(
3.
 tg5 x dx;
4.
3x 3  7 x 2  2 x  x  1
dx;

x
5.
 xe
6.
 sin
4
 5 х 3  2 х 2  4 х  3)dx ;
х
x2
tg
5
1
) dx;
х2
dx;
x cos xdx ;
1
x dx ;
7.

8.

9.
 x sin xdx ;
x2
cos x
dx ;
x
10.  x 2 cos xdx ;
11.  xex dx ;
24
12.  ln xdx ;
13. 
dx
;
sin x
14. 
8 x
dx ;
x  4 x  13
15. 
2
dx
;
x 3 x
2
16.  x 2 ln xdx ;
1

17.  x sin xdx ;
0
4
18. 
3
dx
.
x  3x  2
2
Тема 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Варианты типовой расчетной работы №5 (2 семестр).
1.
Найти
общий
интеграл
дифференциального
уравнения
с
разделяющимися переменными.
2. Найти общий интеграл однородного дифференциального уравнения.
3. Найти решение задачи Коши (общее решение найти двумя методами –
методом Бернулли и методом Лагранжа).
4. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
25
5.
Найти
общий
интеграл
дифференциального
уравнения
с
разделяющимися переменными.
6. Найти общий интеграл однородного дифференциального уравнения.
7. Найти решение задачи Коши (общее решение найти двумя методами –
методом Бернулли и методом Лагранжа).
8. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
Тема 5. Числовые ряды.
Варианты типовой расчетной работы №6 (2 семестр).
1. Исследовать числовой ряд на абсолютную и условную сходимость:
 1n


 1  e  1



;

2
ln n
n2
n
2. Найти область сходимости степенного ряда:


n 1
 1n1 x  1n ;
2n  n  1
3. Вычислить интеграл с заданной степенью точности  :
ln 1  x 
dx ;
x
0
0.1

  10 3
Раздел 3. Теория вероятностей.
Тема 5. Вероятность случайного события.
26
Варианты типовой расчетной работы №7 (2 семестр).
1. Бросаются две монеты. Какова вероятность выпадения двух «орлов»?
2. Бросается игральный кубик. Какова вероятность «1» или «3»?
3. Бросают два кубика. Какая вероятность получить в сумме 7 очков?
4. В книге 300 страниц. Какова вероятность раскрыть её на странице,
краткой числу 5?
5. В соревнованиях участвуют 15 спортсменов. 5 из них были призёрами
предыдущих соревнований. Во второй круг соревнований выходят три
спортсмена. Какова вероятность того, что во второй круг попадут три
призёра?
6. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания одного из них
0,7, второго 0,8. Какова вероятность попадания хотя бы одного из них при
одном выстреле?
7. В корзине 12 шаров - 5 зелёных и 7 красных. Последовательно выбирают
два шара. Какова вероятность того, что шары будут одного цвета? Какова
вероятность того, что шары будут разных цветов?
8. На заводе детали определённой продукции выпускают двумя автоматами.
Первый из них выпускает 70% продукции; второй -30%. Вероятность
брака на первом станке 0,2, на втором - 0,3 .На складе детали
перемешиваются и выбирается одна деталь. Какова вероятность, что она
бракованная?
9. Бросается кубик. Построить функцию распределения вероятностей
случайной величины х, равной количеству очков на выпавшей грани
кубика.
10.Вероятность появления события А в десяти независимых испытаниях
равна
1
. Построить закон распределения вероятности и функцию
3
27
распределения вероятности случайной величины х, равной количеству
появлений события А в этих испытаниях.
11.Функция плотности вероятности
 0прих  1

Р=  хпри1  х  2 ;
 0прих  2

Построить функцию распределения вероятности и определить вероятность
3
2
попадания случайной величины х в интервал [1; ].
12. Функция плотности вероятности
х0
 0 при

Р= ах при 0  х  1 .
 0 при
х 1

Определить а и вычислить математическое ожидание и дисперсию
случайной величины х.
Перечень вопросов к итоговому контролю (экзамену)
I семестр.
1. Матрицы и определители.
2.Операции над матрицами.
3.Определители матриц и их свойства.
4.Обратная матрица. Ранг матрицы.
5. Системы линейных алгебраических уравнений и их решения.
6. Действительные числа (свойства).
7.Точные верхние и нижние грани множества. Теорема Вейерштрасса.
8.Предел
последовательности.
Геометрическая
интерпретация.
Критерий
Коши.
9.Необходимое условие сходимости последовательности. Единственность
предела.
28
10.Бесконечно малые последовательности и их свойства.
11.Бесконечно большие последовательности. Их связь с бесконечно малыми.
12.Арифметические операции над сходящимися последовательностями.
13.Теоремы о переходе к переделу в неравенствах.
14.Теорема о монотонности ограниченной последовательности.
15.Число ℮.
16.Предел функции по Коши и Гейне.
17.Единственность предела функции и ограниченность функции, имеющей
предел. Критерий Коши.
18.Арифметические свойства предела функции.
19.Свойства пределов, связанные с неравенствами.
20.Бесконечно малые функции и их свойства.
21.Бесконечно большие функции, их связь с бесконечно малыми.
22.Односторонние
пределы.
Необходимое
и
достаточное
условие
существования предела.
23.Предел сложной функции.
24.Первый замечательный предел. Свойства.
25.Второй замечательный предел. Свойства.
26.Непрерывность функции.
27.Точки разрыва функции.
28.Свойства функций, непрерывных в точке.
29.Свойства функций, непрерывных на отрезке.
30.Непрерывность обратной функции.
31.Производная функции. Определение. Примеры.
32.Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к
кривой.
33.Механический смысл производной.
29
34.Дифференцируемость функции. Необходимое и достаточное условие
дифференцируемости. Дифференциал.
35.Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
Основные правила дифференцирования.
36.Производная сложной функции. Инвариантность первого дифференциала.
37.Производная обратной функции и функции, заданной параметрически.
38.Таблица производных.
39.Производные высших порядков.
40.Дифференциалы высших порядков.
41.Теорема Ферма.
42.Теорема Роля.
43.Теорема Лагранжа.
44.Теорема Коши.
45.Правило Лопиталя.
46.Монотонные функции. Достаточные условия монотонности.
47.Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума.
48.Достаточное условие экстремума (с первой и второй производной).
49.Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
50.Выпуклость и вогнутость графика функции. Достаточные условия.
51.Точки перегиба. Необходимое условие точки перегиба
52.Достаточные условия точек перегиба.
53.Асимптоты графика функции.
54.Исследование функции с помощью производных и построение графиков.
55.Первообразная функция. Неопределенный интеграл, его свойства.
56.Таблица интегралов.
57.Замена переменной в неопределенном интеграле.
58.Интегрирование по частям.
59.Интегрирование рациональных дробей.
30
60.Интегрирование тригонометрических выражений.
61.Интегрирование
некоторых
иррациональных
выражений.
Тригонометрические подстановки.
62.Определенный интеграл. Определение и условия существования.
63.Свойства определенного интеграла.
64.Интеграл с переменным верхним пределом.
65.Формула Ньютона-Лейбница.
66.Замена переменной в определенном интеграле.
67.Интегрирование по частям в определенном интеграле.
68.Вычисление площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла.
II семестр.
1.Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ).
2.Основные определения (порядок ОДУ, линейность и нелинейность, общее и
частное решения, общий и частный интеграл).
3.ОДУ 1-го порядка
4.ОДУ с разделяющимися переменными и приводящимися к ним.
5. Однородные ОДУ и приводящиеся к ним.
6. Линейные ОДУ.
7.Формулировка теоремы существования и единственности
решения задачи
Коши для ОДУ 1го порядка.
8.Однородные и неоднородные линейные ОДУ.
9.Числовые ряды. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости ряда.
10.Свойства числовых рядов.
11.Интегральный признак сходимости ряда с положительными числами.
12.Исследование гармонического ряда на сходимость.
13.Признаки сравнения для рядов с положительными членами.
14.Признак Даламбера.
31
16.Признак Коши.
17.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
18.Критерий Коши сходимости числового ряда.
19.Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Следствие.
20.Степенные ряды. Теорема Абеля.
21.Круг
сходимости
степенного
ряда
(интервал
сходимости).
Радиус
сходимости.
22.Свойства степенных рядов.
23.Ряд Тейлора.
24.Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций.
25.Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям..
26.Случайные события. Операции над случайными событиями. Классическое
определение вероятности.
27. Комбинаторика и вероятность.
28.Перестановки.
Размещения.
Сочетания.
Определение
вероятности
случайных событий в комбинаторных задачах.
29. Аксиоматическое определение вероятности.
30.Вероятность
суммы
двух
случайных
событий.
Вероятность
суммы
нескольких случайных событий.
31. Условная вероятность события.
32 .Теорема о вероятности произведения двух случайных событий.
33 .Теорема о вероятности произведения нескольких случайных событий.
34.Теорема о полной вероятности случайного события. Полная группа
случайных событий.
35. Теорема Байеса.
36.Случайные величины. Понятие случайной величины. Дискретные и
непрерывные случайные величины.
32
37. Законы распределения и функции распределения вероятностей случайных
величин.
38. Плотность распределения случайных величин.
39. Примеры законов распределения случайных величин.
40.Биномиальное распределение.
41. Распределение Пуассона.
42. Геометрическое распределение.
43. Равномерное распределение.
44. Закон нормального распределения.
45. Математическое ожидание случайной величины.
46.Дисперсия дискретных и непрерывных случайных величин.
47.Закон больших чисел.
48.Графический метод решения задач линейного программирования.
49.Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
50.Уравнение Беллмана.
51.Принцип Понтрягина.
52. Плоские графы.
53.Эйлеровы графы.
54.Гамильтоновы графы.
33
Список рекомендуемой учебной литературы
Список основной учебной литературы:
1. Никольский
С.М. Элементы математического анализа: Учеб.
пособие для студ.- 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Дрофа, 2002. –
272 с. (Гриф).
2. Кочетков Е.С., Осокин А.В. Линейная алгебра: учебное пособие /
Е.С.Кочетков, А.В.Осокин. – М.: ФОРУМ, 2012. – 416с.
3. Куликов В.В. Дискретная математика: Учеб. пособие. – М.: РИОР,
2010. – 174 с. (Гриф).
4. Ковалев С.В. Экономическая математика: учебное пособие / С.В.
Ковалев. – М.: КНОРУС, 2010. – 248 с. (Гриф).
5. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономического
бакалавриата: Учебник. – М.: ИНФРА-М, 2012. 472 с. (Гриф).
6.
7. Список дополнительной учебной литературы:
8. Щипачев В.С. Высшая математика. Учебник для вузов. М.
Высш.школа. 1998.
9. Щипачев В.С. Задачник по высшей математике. М. Высш
шк.,1998.
10.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.
Учеб.пособие для вузов. М. Высш.шк.,2000. (Гриф).
11.Математика: Хрестоматия по истории, методологии, дидактике /
Сост. Г.Д.Глейзер. М.: УРАО. 2001.(Гриф).
12.Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. М.
1998.
13.Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. Для вузов и
втузов. М.1998.
34
14.А.С.Солодовников, В.А. Бабайцева, А.В.Браилов. Математика в
экономике: Учебник: В 2-х ч.Ч.1. – М.: Финансы и статистика,
2000. – 224 с. (Гриф).
35