раздел: «Элементы теории дифференциальных уравнений

Примеры экзаменационных задач
Обыкновенные дифференциальные уравнения .
1. Решить уравнения с разделяющимися переменными и построить интегральные кривые
xý + y = y
y(1)=0.5
xx΄ + t = 1
Составить и решить дифференциальные уравнения 1-го порядка.
2. В экперименте по голоданию масса испытуемого уменьшилась за 30 дней со 100 кг до
85 кг. Ежедневные потери массы, согласно наблюдениям, были пропорциональны массе
испытуемого. Какому дифференциальному уравнению удовлетворяет масса испытуемого
как функция времени? Найти массу испытуемого после 15 дней голодания.
3. Популяция бактерий растет так. что скорость ее роста в момент t (время выражено в
часах) равна размеру популяции, поделенному на 10. Описать процесс роста
дифференциальным уравнением, найти решение и построить интегральную кривую.
Начальный размер популяции N(t=0)=1000.
4. Глюкоза вводится в кровь с постоянной скоростью Q (г/мин). В тоже время глюкоза
разлагается и удаляется из кровеносной системы со скоростью , пропорциональной
имеющемуся количеству глюкозы x(t). Составить дифференциальное уравнение
описывающее процесс и найти решение. Начальное количество глюкозы в крови X(0)=C0
3. В электрической цепи , содержащей ключ, конденсатор емкости С, и резистор
сопротивления R
, конденсатор заряжен разностью потенциалов U
.
Определите заряд на обкладках конденсатора спустя время τ после замыкания ключа.
Решить линейные дифференциальные уравнения
4. y(4) - y = 0
5.
y(3) + 8y = 0
6.
y΄΄ - 2y΄ + y = 0
y(2) = 1 , y(2) = -2
7. y΄΄ - 8y΄ + 20y = 5xe4x + sin2x
8. Найти напряжение на сопротивлении R в цепи , содержащей индуктивность L и
сопротивление R, если к клеммам цепи приложено переменное напряжение U(t) = Uocosωt
9. Исследовать колебания маятника - шарика радиуса R, масссы m, на пружине жесткости
k , в жидкой среде вязкости q, под действием периодической силы f(t) =f0sinωt.
10. Найти с помощью уравнения Пуассона электрическое поле между заряженными
обкладками конденсатора , находящимися на расстоянии L , если
а) на обкладках поддерживаются потенциалы φ1 и φ2 .
б) на обкладках находятся одинаковые разноименные заряды с поверхностной
плотностью σ1 и σ2 .
11. Вывести уравнение неразрывности (диффузии ).
12. Используя основную теорему электростатики (Гаусса) получить уравнение
Пуассона.
13. Решить систему ДУ ЛДУ первого порядка:
a)
Модель межвидовой конкуренции
X(t) = 2X(t) – Y(t)
X(0)=200 , Y(0)= 100
Y(t) = - X(t) + 2Y(t)
b) Модель хищник-жертва
X(t) = X(t) + Y(t)
X(0)= Y(0)= 1000
Y(t) = - X(t) +Y(t)
20. Процесс роста биологической популяции регулируется двумя процессами, в которых
средняя скорость роста пропорциональна размеру популяции -N(t) с коэффициентом
пропорциональности а, средняя скорость смертности пропорциональна квадрату размера
популяции с коэффициентом в. Найти размер популяции в момент времени t
(логистическая кривая), если в начальный момент размер популяции был равен N.
Составить и решить дифференциальное уравнение