РП Математика и мат методам в биологии
реклама
Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Волгоградский государственный медицинский университет» Министерства здравоохранения и социального развития Российской Федерации «УТВЕРЖДАЮ» Проректор по учебной работе, профессор _______________ В.Б. Мандриков «____»____________2011 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В БИОЛОГИИ Для специальности: 020400 «Биология» Квалификация (степень) выпускника Бакалавр Факультет: медико-биологический факультет Кафедра: математики и информатики Курс – 1, 2 Семестр – 1, 2, 3, 4 Форма обучения - очная Лекции - 54 часов (1, 2, 3 семестры) Практические занятия 96 часов (1, 2, 3, 4 семестры) Самостоятельная внеаудиторная работа 66 (час.) Экзамен 36часов (4 семестр) Всего часов 252 ( Волгоград, 2011 Разработчики программы: заведующий кафедрой математики и информатики к.ф-м.н. доцент Филимонова З.А. ст. преподаватель кафедры математики и информатики к.б.н. Яицкий Ю.А. Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры математики и информатики протокол №_______ от «___»______________________ 201__ года Заведующий кафедрой математики и информатики Филимонова З.А. Рабочая программа согласована с учебно-методической комиссией биологического факультета протокол №_______ от «_____»______________________ 201_ года медико- Председатель УМК, декан медико-биологического факультета, д.б.н., профессор __________________Г.П. Дудченко Ответственный за направление подготовки 020400 «Биология» М.В. Букатин Внешняя рецензия дана профессором кафедры МЕН НОУ ВПО ВИБ, д.ф.-м.н., проф. Белоненко М.Б.. «__» __________ 2011 г. (прилагается) Рабочая программа согласована с научной фундаментальной библиотекой Заведующая библиотекой Долгова В.В. Рабочая программа утверждена на заседании Центрального методического совета протокол №_______ от «_____»______________________ 201_ года Председатель ЦМС профессор Мандриков В.Б. 2 I. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа для курса «Математика и математические методы в биологии» разработана в соответствии с ФГОС ФГОС ВПО -3 2009 г. Данный курс относится к базовой части математического и естественнонаучного цикла курсов в учебном плане подготовки бакалавра естественнонаучного образования - 020400 Биология (естественнонаучное образование), квалификация (степень) бакалавр, профиль Биохимия. Дисциплина «Математика и математические методы в биологии» является основой для изучения всех дисциплин естественно-научного направления, а также таких областей знаний как биохимия и генетика. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ Дисциплина относится к циклу «Математические и естественно-научные дисциплины» базовая часть 1.1. Цель дисциплины: познакомить студентов с идеями и понятиями высшей математики, с основными подходами к моделированию биологических процессов; подготовить к применению математики в анализе получаемой полевой и лабораторной биологической информации с использованием вычислительной техники; приучить к самостоятельному изучению тех разделов математики, которые могут потребоваться дополнительно в практической и исследовательской работе. 1. 1.2. Задачи курса: 1.2.1. Научить пользоваться терминологией и методами высшей математики в решении задач биологической теории и практики. 1.2.2. Научить применять модельный подход в прикладных исследованиях. 1.2.3. Научить использовать полученные знаний для освоения курсов профессионального цикла. 2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП. Дисциплина «Математика и математические методы в биологии» относится к циклу Б.2, естественно-математических дисциплин и входит в состав базовой части ООП. 2.1. Перечень дисциплин (курс средней школы ) с указанием разделов, усвоение которых студентами необходимо для изучения курса «Математика и математические методы в биологии». 3 № п/п 1.1 Модуль дисциплины Перечень дисциплин с указанием разделов, усвоение которых необходимо студентам для изучения математики и математических методов в биологии Геометрия: планиметрия и стереометрия, определения основных фигур на плоскости и в пространстве, их свойства и построение, аксиомы, Модуль 1. Аналитическая геометрия теоремы и следствия о свойствах фигур. и линейная алгебра. Алгебра: числа и операции над ними, координаты и графики, уравнения и неравенства, системы линейных уравнений. 1.2. Модуль 2. Дифференциальное исчисление. 1.3. Модуль 3. Интегральное исчисление. 1.4. 1.5 1.6 1.7 Алгебра: числа и последовательности, элементарных функции и их свойства, графики функций, сложная функция, понятие производной, основные преобразования алгебраических выражений. Алгебра: числа и последовательности, элементарных функции и их свойства, графики функций, сложная функция, понятие производной и интеграла, основные преобразования алгебраических выражений. Алгебра: числа и последовательности, элементарных функции и их свойства, графики Модуль 4. Методы математического анализа. функций, сложная функция, понятие производной и интеграла, основные преобразования алгебраических выражений. Алгебра: числа и последовательности, Модуль 5. Уравнения, элементарных функции и их свойства, графики аналитические и функций, сложная функция, понятие производной и численные методы их интеграла, основные преобразования решения алгебраических выражений. Геометрия: планиметрия, фигуры на плоскости Модуль 6. Дискретная математика в Алгебра: множества, числа, последовательности, биологических основные преобразования алгебраических приложениях выражений. Алгебра: числа и действия над ними, элементарных Модуль 7. Элементы функции и их свойства, графики функций, теории вероятностей основные преобразования алгебраических выражений. 4 № п/п 1.8 Модуль дисциплины Модуль 8. Математические методы в биологии Перечень дисциплин с указанием разделов, усвоение которых необходимо студентам для изучения математики и математических методов в биологии Алгебра: графики функций, сложная функция, понятие производной и интеграла, основные преобразования алгебраических выражений. 2.2. Разделы дисциплины и междисциплинарные обеспечивае-мыми (последующими) дисциплинами. № п/п Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин связи с № разделов данной дисциплины, необходимых для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин 1 2 3 4 5 6 7 8 + + + + 1 Дифференциальные уравнения + + + + 2 Теория вероятностей + + + + 3 Статистические методы обработки информации + + 5 Химия + + + + + + 6 Общая биология + + + + + + 7 Экспериментальные модели в биологии + + + + + + 8 Биология клетки (цитология, гистология, биофизика, биохимия, молекулярная биология) + + + + + + 9 Генетика и эволюция (генетика и селекция, теории эволюции) + + + + + + + 3. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ. Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц, 252 академических часа. Вид учебной работы Всего Часов 1 Семестры 2 3 4 5 Аудиторные занятия (всего) в том числе: в интерактивной форме не менее Лекции Практические занятия (ПЗ) Семинары (СЗ) Лабораторные работы (ЛЗ) Самостоятельная работа (всего) В том числе: Курсовой проект (работа) Расчетно-графические работы Реферат Другие виды самостоятельной работы Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен) Общая трудоемкость 252 часа 7 зач. ед 252 150 30 54 96 66 36 42 27 63 18 18 24 18 9 18 45 18 21 9 36 зачет зачет зачет экзаме н 4. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ. В результате освоения курса у студента должна быть сформирована универсальная компетенция: способность демонстрировать математическую грамотность. В результате освоения дисциплины формируются следующие компетенции: общекультурные компетенции (ОК): приобретает новые знания и формирует суждения по научным, социальным и другим проблемам, используя современные образовательные и информационные технологии (ОК-3); использует в познавательной и профессиональной деятельности базовые знания в области математики и естественных наук, применяет методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-6); профессиональные компетенции (ПК): научно-исследовательская деятельность: пользуется современными методами обработки, анализа и синтеза полевой и лабораторной биологической информации, демонстрирует знание принципов составления научно-технических проектов и отчетов (ПК-19). В результате освоения дисциплины (модуля) обучающийся должен: • Знать: основные понятия и методы математического анализа, линейной алгебры, дискретной математики; гармонический анализ, 6 дифференциальные уравнения; вероятность и статистику; случайные процессы; оценивание и проверку гипотез; математические методы в биологии; • Уметь: применять математические методы при решении типовых биологических задач. • Владеть: методами математического моделирования биологических процессов. 5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ В РАМКАХ ПРЕПОДАВАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ. Лекция-визуализация, регламентированная дискуссия, активизация творческой деятельности, ролевая учебная игра, метод малых групп, занятия с использованием тренажёров и имитаторов, использование компьютерных обучающих программ и интерактивных атласов, учебно-исследовательская работа студента, подготовка письменных аналитических работ, подготовка и защита рефератов. 6. ФОРМЫ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ Промежуточная аттестация по дисциплине проводится в соответствии с основной образовательной программой и учебным планом в форме зачёта и балльно-рейтинговой системы (приложение 1). II. УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ 1. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ. В естественных науках математика чаще всего применяется в двух направлениях: производится количественный анализ, и строятся математические модели. Биологу важно понимать, что многие эксперименты являются либо дорогостоящими, либо их пока невозможно провести. Поэтому в наши дни интенсивно развивается математическое моделирование процессов. .Использование математических знаний в биологии позволяет поновому взглянуть на многие традиционные проблемы этой науки, способствует единому естественнонаучному взгляду на мир, необходимому современному специалисту. Программа состоит из разделов, расположенных в соответствии с логикой изложения основных вопросов математики и математических методов в биологии. Содержание программы отражает процесс 7 формирования понимания основных возможностей применения математики в биологии. 1.1. Содержание разделов дисциплины Модули курса: Модуль 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра Модуль 2. Дифференциальное исчисление Модуль 3. Интегральное исчисление Модуль 4. Методы математического анализа Модуль 5.Уравнения, аналитические и численные методы их решения Модуль 6. Дискретная математика в биологических приложениях Модуль 7. Элементы теории вероятностей Модуль 8. Математические методы в биологии МОДУЛЬ 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Системы координат, декартовы и полярные координаты. Векторные и скалярные величины. Линейные операции над векторами. Аналитическая геометрия на плоскости. Прямая линия. Уравнение линии. Простейшие кривые второго порядка. Аналитическая геометрия в пространстве. Прямая и плоскость в пространстве, нормаль к плоскости, угол между прямой и плоскостью. Канонические уравнения прямой и плоскости. Взаимное расположение плоскостей в пространстве, углы между ними. Понятие nмерного векторного пространства. Системы линейных уравнений. Матрицы и определители, действия над ними. Правило Крамера. МОДУЛЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Понятие числа. Рациональные, вещественные и комплексные числа. Числовые последовательности. Сходящиеся последовательности. Функции действительного переменного. Предел функции. Основные свойства предела. Непрерывность функции. Определение производной. Геометрическое значение производной. Понятие скорости процесса. Дифференциал. Частные производные функции нескольких переменных и дифференциал. Производная по направлению, градиент, его инвариантность. Приближенное вычисление значения функции. Производные высших порядков. МОДУЛЬ 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования. Определенный интеграл, его свойства. Геометрические и физические приложения определенного интеграла. 8 Понятие о несобственных интегралах. Понятие числового ряда. Признаки сходимости рядов. Степенные ряды. Функциональный ряд. Представление функции в виде ряда. Ряды Тейлора и Маклорена. Ряд Фурье. Приближенное вычисление определенного интеграла. МОДУЛЬ 4. МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Исследование функций. Непрерывность, монотонность, выпуклость. Нахождение экстремумов и точек перегиба функции. Гармонический анализ. Функции комплексного переменного. МОДУЛЬ 5. УРАВНЕНИЯ, АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения второго порядка. Численные методы решения дифференциальных уравнений. МОДУЛЬ 6. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА В БИОЛОГИЧЕСКИХ ПРИЛОЖЕНИЯХ Понятие множества. Операции над множествами. Подмножества. Отображения. Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания. Размещения с повторениями. Перестановки с повторениями. Сочетания с повторениями. Инверсии Обратные перестановки. Комбинаторные схемы. Анализ биологических последовательностей. Основные понятия теории графов. Ориентированные и неориентированные графы. Двудольные графы. Паросочетания. Свойство связности. Диаметр, радиус и центр графа. Матрицы представления графов. Потоки в сетях. Сетевые модели взаимодействий. Сети метаболизма и генные сети. МОДУЛЬ 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Вероятность случайных событий. Операции над событиями. Случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Распределения случайных величин. Статистическое оценивание и проверка гипотез. Обработка данных эксперимента. МОДУЛЬ 8. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В БИОЛОГИИ Построение математических моделей биологических систем. Дискретные модели. Разностные уравнения, равновесие и его устойчивость. Выживание и вымирание видов. Непрерывные модели популяций, уравнения Лотки-Вольтерра. Неограниченный рост и автокатализ. Модели ограниченного роста, ограничения по субстрату. Фермент-субстратная 9 реакция Михаэлиса—Ментен. Брюсселятор. Колебания в гликолизе. Мультистационарные модели, генетический триггер. Детерминированный хаос. Автоволны и диссипативные структуры. 1.2. Перечень практических навыков (умений), которые необходимо освоить студенту. В результате освоения дисциплины обучающийся должен владеть математическими методами решения типовых задач обработки и анализа биологических данных, уметь применять математические методы для моделирования биологических процессов. 10 2. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ ЗАНЯТИЙ. Распределение учебного времени по разделам программы и видам занятий Число учебных часов Номер и наименование раздела программы Всего Аудиторные занятия 252 часа Всего Модуль 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра 32 часов 20 часов Модуль 2. Дифференциальное исчисление 42 часов 22часов Модуль 3. Интегральное исчисление 25 часов 13 часов Модуль 4. Методы математического анализа 23 часов 12 часов Модуль 5. Уравнения, аналитические и численные методы их решения 20 часов 12 часов СРС Лекции. Практич. 8 часов/ 12 часов/ 8 часов/ 4 лекции 5 занятий 4 темы 10 часа/ 12 часов/ 14 часов/ 5 лекции 5 занятия 5 тем 4 часов/ 9 часов/ 8 часов/ 2 лекции 7 занятий 2 темы 2 часов/ 10 часов/ 8 часов/ 1 лекции 4 занятия 3 темы 6 часа/ 10 часов/ 8 часов/ 3 лекции 4 занятия 3 темы Экзамен 4 часа 6 часа 4 часа 3 часа 2 часа Модуль 6. Дискретная математика в биологических приложениях 41 часов 25,5 часа Модуль 7. Элементы теории вероятностей 20 часов 11,5 часов Модуль 8. Математические методы в биологии 43 часа 30 часов 252 часа 150 часов ИТОГО: 8 часов/ 17,5 часов/ 10,5 часов/ 4 лекции 7 занятий 3 темы 4 часов/ 10 часов/ 5,5 часов/ 2 лекции 4 занятий 3 темы 12 часов/ 18 часов/ 4 часа/ 6 лекций 9 занятий 4 темы 54 часа 96 часов 66 часов 5 часов 3 часа 9 часов 36 часов 12 3. ЛЕКЦИОННЫЙ КУРС. № п/п Тема лекции Количество часов 1 Аналитическая геометрия на плоскости. Системы координат, 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 декартовы и полярные координаты. Векторные и скалярные величины. Линейные операции над векторами. Аналитическая геометрия на плоскости. Прямая линия. Уравнение линии. Простейшие кривые второго порядка. Аналитическая геометрия в пространстве. Аналитическая геометрия в пространстве. Прямая и плоскость в пространстве, нормаль к плоскости, угол между прямой и плоскостью. Канонические уравнения прямой и плоскости. Взаимное расположение плоскостей в пространстве, углы между ними. Понятие n-мерного векторного пространства. Матричная алгебра. Матрицы и операции над ними. Определители и их свойства. Вычисление определителя. Миноры. Преобразование матриц. Алгебраическое дополнение элемента матрицы. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений. Системы линейных уравнений. Правило Крамера. Решение систем линейных уравнений методом Крамера. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Матричный метод. Функции действительного переменного. Предел функции. Числовые последовательности. Понятие сходимости последовательности. Функции действительного переменного. Предел функции. Непрерывность функции. Производная функции и дифференциал. Определение производной. Геометрическое значение производной. Понятие скорости процесса. Операции с производными. Производные элементарных функций. Дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков. Частные производные функции нескольких переменных. Полный дифференциал. Частные производные первого порядка и их геометрическое истолкование. Полный дифференциал. Приближенное вычисление функции. Производная по направлению, градиент функции нескольких переменных. Градиент и производная по направлению. Локальный экстремум. Условный экстремум. Метод Лагранжа. Методы исследование функций действительного переменного. Непрерывность, монотонность, . Выпуклость и вогнутость, точки перегиба. Асимптоты графика функций. Построение графиков функций. Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11 12 13 14 15 16 17 18 Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов. Методы интегрирования.Метод непосредственного интегрированиия. Метод подстановки. Метод интегрирования по частям. Определенный интеграл и его приложения. Определенный интеграл, его свойства. Вычисление определенного интеграла. Теорема Ньютона–Лейбница Геометрические и физические приложения определенного интеграла. Понятие о несобственных интегралах. Числовые ряды. Представление функции в виде ряда. Приближенное вычисление определенного интеграла. Числовые ряды, признаки сходимости. Понятие и свойства числового ряда. Ряды Тейлора и Маклорена. Представление функции в виде ряда. Приближенное вычисление определенного интеграла. Дифференциальные уравнения. Понятие дифференциального уравнения. Решение дифференциального уравнения. Интегральная кривая. Общее и частное решение. Задача Коши для уравнений первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения. Уравнения второго порядка допускающие его понижение. Решение отдельных типов дифференциальных уравнений. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения. Решение неоднородного дифференциального уравнения методом Бернулли. Решение неоднородного дифференциального уравнения методом Лагранжа. Дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. Численные методы решения дифференциальных уравнений. Методы решения дифференциальных уравнений. Численные методы решения. Решение систем дифференциальных уравнений. Метод Эйлера. Методы Рунге-Кутты. Элементы теории множеств. Понятие множества. Операции над множествами. Подмножества. Диаграммы Эйлера-Венна. Отображения. Элементы комбинаторики, размещения, перестановки, сочетания. Отображения и их свойства. Композиция отображений и обратное отображение. Размещения. Перестановки. Сочетания.Размещения и сочетания с повторением.Перестановки с повторениями, мультимножества Основные понятия теории графов. Неориентированные графы. Способы задания графа. Матрицы смежности и инцидентности графа. Двудольные графы. Паросочетания. Степени вершин графа. Теорема Эйлера. Маршруты и пути графа. Свойство 2 2 2 2 2 2 2 2 14 19 20 21 22 23 24 25 26 связности. Аксиомы метрики на графе. Диаметр, радиус и центр графа. Задачи на применение теории графов. Потоки в сетях. сетевые модели взаимодействий. Ориентированные графы. Взвешенный граф. Понятие транспортной сети. Потоки в сетях. Мосты и точки сочленения. Алгоритм нахождения максимального потока Форда– Фалькерсона. Сетевые модели взаимодействий. Сети метаболизма и генные сети. Теория вероятностей случайных событий. Основные понятия. Предмет теории вероятностей. Достоверные, невозможные и случайные события. Классическое определение вероятности. Статистический подход к определению вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей случайных событий. Вероятность гипотез. Формула Бейеса. Схема Бернулли. Теория вероятностей случайных величин. Основные понятия. Дискретная случайная величина. Непрерывная случайная величина. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Функции распределения. Построение математических моделей биологических систем. Моделирование в биологическом исследовании. Свойства моделей. Классификация моделей. Математические модели биологических процессов. Виды математических моделей. Этапы и методы построения модели. Исследование моделей. Компьютерный эксперимент. Границы применимости выводов. Модели роста популяций. Неограниченный и ограниченный рост, автокатализ. Непрерывные модели: экспоненциальный рост, логистический рост, модели с наименьшей критической численностью. Модели с неперекрывающимися поколениями. Дискретное логистическое уравнение. Диаграмма и лестница Ламерея. Типы решений при разных значениях параметра: монотонные и затухающие решения, циклы, квазистохастическое поведение, вспышки численности. Модели взаимодействия двух видов. Гипотезы Вольтерра. Аналогии с химической кинетикой. Вольтерровские модели взаимодействий. Классификация типов взаимодействий Конкуренция. Хищник-жертва. Обобщенные модели взаимодействия видов. Модель Колмогорова. Модель взаимодействия двух видов насекомых Макартура. Параметрический и фазовые портреты системы Базыкина. Модели ограниченного роста. Фермент-субстратная реакция Михаэлиса—Ментен. История вопроса, Схема ферментативносубстратной реакции. Построение модели. Исследование поведения модели. Основная формулировка решения. Мультистационарные модели, генетический триггер. Фазовый портрет модели системы. Метод изоклин. Генетический триггер 2 2 2 2 2 2 2 2 15 27 Жакоба и Моно. Исследование модели в фазовой плоскости. Колебания в гликолизе. Циклы и колебательные процессы. Клеточные циклы. Схема 2 регуляции клеточного цикла. Модель клеточного цикла. Исследование поведения модели. Автоколебательные системы. Брюсселятор. Итого 54 часа 4. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ И СЕМИНАРСКИЕ ЗАНЯТИЯ. № п/п 1 2 3 4 5 6 7 Тема лабораторных и семинарских занятий Векторы. Системы координат, преобразования координат. Векторы, свойства векторов, операции над векторами, линейная комбинация векторов, базис, выражение вектора через вектора базиса, системы координат, преобразование координат фигуры при переходе из одной системы координат в другую. Построение фигур на плоскости. Общее уравнение линии, линия как геометрическое место точек обладающих общим свойством, уравнение прямой, свойства прямых, линия окружности, преобразование координат. Построения фигур в пространстве. Понятие линии и плоскости в аналитической форме, свойства плоскостей и линий в терминах координат, общее уравнение плоскости в пространстве, с угловым коэффициентом, в отрезках на осях и нормальное уравнение прямой, углы между плоскостями, между прямой и плоскостью, между двумя прямыми. Матрицы и определители. Матрица, виды матриц, размерность матрицы, операции, выполняемые над матрицами: сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, определитель квадратной матрицы. Порядок определителя, свойства определителей, минор. Алгебраическое дополнение. Решение систем линейных уравнений. Понятие обратной матрицы. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений матричным методом., элементарные преобразования матриц и слау, применение метода гаусса для решения СЛАУ. Функции и последовательности. Предел функции и непрерывность. Предел числовой последовательности. Предел функции. Свойства функций, имеющих конечный предел. Неопределённости. 1-й и 2-й замечательные пределы. Производная и дифференциал функции. Основные правила дифференцирования функции и производные основных Вид занятия Количество часов ПЗ 2,4 ПЗ 2,4 ПЗ 2,4 ПЗ 2,4 ПЗ 2,4 ПЗ 2,4 ПЗ 2,4 16 8 9 10 11 12 13 14 15 элементарных функций, дифференцирование сложной и неявной функций, дифференцирование логарифмической функции и использование логарифмирования при дифференцировании функций. Функции многих переменных. Понятие и примеры функций нескольких аргументов, полные и частные приращения функций двух и более аргументов, частные производные и дифференциалы, частные производные высших порядков, полный дифференциал второго порядка, приближённые вычисления. Производная по направлению, градиент, его инвариантность. Экстремумы функции. Условия возрастания и убывания функции многих переменных, понятие экстремума и условный экстремума функции многих переменных, градиент функции, физический смысл первой и второй частных производных, задачи биологии и химии, решаемые с помощью нахождения производных. Приложения производной и дифференциала в биологии. Физический смысл первой и второй производной, задачи биологии и биохимии, решаемые с помощью производной, правило лопиталя раскрытия неопределенностей при нахождении предела. Неопределенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию неопределенного интеграла, понятие первообразной функции и определение неопределенного интеграла, свойства неопределенного интеграла, таблица неопределенных интегралов, непосредственное интегрирование, метод замены переменной. Основные методы интегрирования. Понятие определенного интеграла, свойства определенного интеграла, приемы вычисления определенного интегрирования, метод замены переменной в определенном интеграле, метод интегрирования по частям в определенном интеграле. Определенный интеграл. Метод замены переменной (метод подстановки) в неопределенном интеграле, метод интегрирования по частям. Геометрические и физические приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур, нахождение статических моментов и координат центра тяжести простых фигур, вычисление работы переменной силы. Биологические приложения определенного интеграла. Вычисление численности популяции, вычисление биомассы популяции, вычисление средней длины пролета, вычисление работы переменной силы. ПЗ 2,4 ПЗ 2,4 ПЗ 2,4 ПЗ 2 ПЗ 2 ПЗ 2 ПЗ 2 ПЗ 1 17 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Ряды. Условия сходимости рядов. Понятие ряда, основные определения, сходимость рядов, свойства сходящихся рядов, необходимый признак сходимости ряда, достаточные признаки сходимости положительных рядов, признаки сравнения, знакочередующийся ряд, абсолютная и условная сходимость знакочередующихся рядов. Функциональные ряды. Понятие функционального ряда, степенной ряд, коэффициенты степенного ряда, интервал сходимости, область сходимости, радиус сходимости степенного ряда. Ряды Тейлора и Маклорена. Приближенные вычисления определенного интеграла. Ряд тейлора, определение и свойства, ряд маклорена, частный случай ряда тейлора, условия разложения функции в ряд маклорена, остаточный член ряда и оценка его величины. Ряды Фурье. Понятие тригонометрического ряда фурье, теорема сходимости, ряды фурье для четных и нечетных функций, ряд фурье для функций с периодом 2l , понятие о рядах фурье непериодических функций. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Понятие дифференциального уравнения, основные определения теории дифференциальных уравнений, дифференциальные уравнения 1-го порядка, дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка, однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Линейные дифференциальные уравнения. Метод Бернулли. Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка, метод бернулли для решения неоднородного линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Численные методы решения дифференциальных уравнений. Методы Рунге-Кутта. Приближенное решение дифференциальных уравнений методом эйлера, приближенное решение дифференциальных уравнений методом рунге-кутты 4го порядка, приближенное решение систем дифференциальных уравнений. Множества. Операции над множествами. Множества, свойства множеств свойства плоскостей и линий в терминах координат, операции над множествами, диаграммы эйлеравенна. Операции комбинаторики. Сочетания и перестановки. Размещения. Назначение комбинаторики, комбинации элементов, размещения, перестановки, сочетания, операции над ПЗ 2,5 ПЗ 2,5 ПЗ 2,5 ПЗ 2,5 ПЗ 2,5 ПЗ 2,5 ПЗ 2,5 ПЗ 2,5 ПЗ 2,5 ПЗ 2,5 18 26 27 28 29 30 31 32 33 34 комбинациями. Комбинации элементов с повторениями. Схема определения вида комбинации. Понятие комбинаторики, способы перебора возможных вариантов сочетаний, правила умножения и сложения. Графы и их свойства. Понятие графа и способы его задания, матрицы представления графа, характеристики вершин графа, связанность в графе, метрика определенная на графе, радиус, диаметр и центр графа. Орграфы. Понятие ориентированного графа и способы его задания, матрицы представления орграфа, характеристики вершин орграфа, связанность в графе, метрика на орграфе. Функциональные сети. Сети взаимодействий, графы со случайными связями, безмасштабные сети, сети метаболических реакций, циклы в метаболических сетях. Потоки в сетях. Понятие нагруженного графа способы его задания, матрицы представления нагруженного графа,, понятие потока в сети, алгоритм Форда—Фалькерсона. Теория вероятностей случайных событий. Понятие случайного события, основные виды случайных событий, примеры, классическое и статистическое определения вероятности случайного события, понятие о сумме событий, теорема сложения вероятностей совместных и несовместных случайных событий, понятие о произведении событий, теорема умножения вероятностей независимых и зависимых случайных событий, понятие о полной системе (группе) событий. Теория вероятностей случайных величин. Дискретные случайные величины. Понятие случайной величины, закон распределения случайной величины, числовые характеристики дискретной случайной величины и их свойства, функция распределения, случайная непрерывная величина (числовые характеристики и их свойства, интегральная функция, плотность распределения и их свойства). Непрерывные случайные величины. Распределения случайных величин. Случайная непрерывная величина, числовые характеристики случайной величины (математическое ожидание, дисперсия) и их свойства, интегральная функция распределения непрерывной случайной величины, плотность распределения и их свойства, нормальное распределение. Этапы построения математической модели биологических процессов. Принципы математического моделирования, основные этапы построения математической модели биологического процесса, способы реализация модели на компьютере. ПЗ 2,5 ПЗ 2,5 ПЗ 2,5 ПЗ 2,5 ПЗ 2,5 ПЗ 2,5 ПЗ 2,5 ПЗ 2,5 ПЗ 2 19 35 36 37 38 39 40 41 42 Модели выживания и вымирания видов. Описание динамики численности популяций, анализ решения дифференциального уравнения описывающего динамику, реализация модели динамики численности популяций на к омпьютере. Модели неограниченного и ограниченного роста популяций. Приближенное решение дифференциальных уравнений методом Эйлера, приближенное решение дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты 4го порядка, реализация модели неограниченного и ограниченного роста приближенными методами. Модели межвидовой конкуренции Лотки – Вольтерра, "Хищник-жертва". Математическая модель конкурентной динамики системы "Хищник-жертва", уравнения ЛоткаВольтерра, реализация модели с помощью приближенных методов решения систем дифференциальных уравнений. Модели межвидовой конкуренции Лотки – Вольтерра «Паразит-хозяин». Математическая модель конкурентной динамики системы "Паразит-хозяин", уравнения ЛоткаВольтерра, реализация модели с помощью приближенных методов решения систем дифференциальных уравнений. Модели с ограничениями по субстрату. Составление модели ферментативной реакции, усложнение модели ограничением накладываемым на субстрат, установка параметров модели и ее редукция, анализ решения – уравнение Михаэлиса-Ментен, расчет максимальной скорости реакции по известным начальным данным. Мультистационарные модели, генетический триггер. Особенности мультистационарных моделей, модель генетического триггера, компьютерная реализация модели, анализ поведения модели генетического триггера. Колебания и ритмы в биологических системах. Клеточные циклы, схема регуляции клеточного цикла, модель клеточного цикла. Исследование поведения модели. Автоволны и диссипативные структуры. Исследование модели автоколебательной системы. Брюсселятор ПЗ 2 ПЗ 2 ПЗ 2 ПЗ 2 ПЗ 2 ПЗ 2 ПЗ 2 ПЗ 2 Итого 96 часов . 20 III РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН) Учебно-тематический план дисциплины (в академических часах) и матрица компетенций* ИГА Экзамен работа занятия курсовая практические клинические занятия, лабораторные практические практикумы Самосто ятельна я работа студента Итого часов Используемые образовательны е технологии, способы и методы обучения Формы текущего и рубежного контроля успеваемо сти Л, ЛВ, Т, АТД, МГ Пр, ЗС, КР, КЗ, С, Л, ЛВ, Т, АТД, МГ Л, ЛВ, Т, АТД, МГ Пр, ЗС, КР, КЗ, С Пр, ЗС, КР, КЗ, С ПК-19 МОДУЛЬ 2. Дифференциальное исчисление Числа, последовательности, функции Производная и дифференциал Частные производные функции нескольких переменных. Полный дифференциал. Формируемые компетенции ОК-6 Линейная алгебра Всего часов на аудито рную работу ОК-3 МОДУЛЬ1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра Аналитическая геометрия семинары Наименование разделов дисциплины (модулей) и тем лекции Аудиторные занятия 8 12 20 8 4 32 + + + 4 7,2 11,2 6 2 19,2 + + + 4 4,8 8,8 2 2 12,8 + + + 10 12 22 14 6 42 + + + Л, ЛВ, Т, АТД, МГ, Тр Пр, ЗС, КР, КЗ, С, 2 2,4 4,4 3 1 8,4 + + + Л, ЛВ, Т, АТД, МГ Пр, ЗС, КР, КЗ, С, 2 2,4 4,4 3 2 9,4 + + + Л, ЛВ, Т, АТД, МГ Пр, ЗС, КР, КЗ, С, 2 2,4 4,4 3 1 8,4 + + + Л, ЛВ, Т, АТД, МГ Пр, ЗС, КР, КЗ, С, Методы исследование функций МОДУЛЬ 3.. Интегральное исчисление МОДУЛЬ 5. Методы математического анализа МОДУЛЬ 6. Уравнения, аналитические и численные методы их решения МОДУЛЬ 7. Дискретная математика в биологических приложениях Элементы теории множества и комбинаторики Элементы теории графов и сетей МОДУЛЬ 8. Элементы теории вероятностей Математические методы в биологии ИТОГО: 4 4,8 8,8 5 2 15,8 + + + Л, ЛВ, Т, АТД, МГ Пр, ЗС, КР, КЗ, С, 4 9 13 8 4 25 + + + Л, ЛВ, Т, МК, АТД, МГ Пр, ЗС, КР, КЗ, С, 2 10 12 8 3 23 + + + Л, ЛВ, Т, АТД, МГ Пр, ЗС, КР, КЗ, С, 6 10 16 8 2 26 + + + Л, ЛВ, Т, АТД, МГ Пр, ЗС, КР, КЗ, С, 8 17,5 25,5 10,5 5 41 + + + Л, ЛВ, Т, АТД, МГ Пр, ЗС, КР, КЗ, С, 4 7,5 11,5 4,5 2 18 + + + 4 10 14 6 3 23 + + + 4 7,5 11,5 5,5 3 20 + + + 12 18 30 4 9 43 + + + Л, ЛВ, Т, АТД, МГ, КОП Л, ЛВ, Т, АТД, МГ, Тр, КОП Пр, ЗС, КР, КЗ, С, Пр, ЗС, КР, КЗ, С, 150 66 36 54 0 0 96 0 0 252 Список сокращений: _______________________________________________________________________________________________________________________ * - Примечание. Трудоёмкость в учебно-тематическом плане указывается в академических часах. Примеры образовательных технологий, способов и методов обучения (с сокращениями): традиционная лекция (Л), лекция-визуализация (ЛВ), проблемная лекция (ПЛ), лекция – пресс-конференция (ЛПК), занятие – конференция (ЗК), тренинг (Т), дебаты (Д), мозговой штурм (МШ), мастер-класс (МК), «круглый стол» (КС), активизация творческой деятельности (АТД), регламентированная 22 дискуссия (РД), дискуссия типа форум (Ф), деловая и ролевая учебная игра (ДИ, РИ), метод малых групп (МГ), занятия с использованием тренажёров, имитаторов (Тр), компьютерная симуляция (КС), разбор клинических случаев (КС), подготовка и защита истории болезни (ИБ), использование компьютерных обучающих программ (КОП), интерактивных атласов (ИА), посещение врачебных конференции, консилиумов (ВК), участие в научно-практических конференциях (НПК), съездах, симпозиумах (Сим), учебно-исследовательская работа студента (УИРС), проведение предметных олимпиад (О), подготовка письменных аналитических работ (АР), подготовка и защита рефератов (Р), проектная технология (ПТ), экскурсии (Э), подготовка и защита курсовых работ (Курс), дистанционные образовательные технологии (ДОТ). Примерные формы текущего и рубежного контроля успеваемости (с сокращениями): Т – тестирование, Пр – оценка освоения практических навыков (умений), ЗС – решение ситуационных задач, КР – контрольная работа, КЗ – контрольное задание, ИБ – написание и защита истории болезни, КЛ – написание и защита кураторского листа, Р – написание и защита реферата, С – собеседование по контрольным вопросам, Д – подготовка доклада и др. 23 IV. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ И ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ КОНТРОЛЯ УРОВНЯ СФОРМИРОВАННОСТИ КОМПЕТЕНЦИЙ. 4.1. Формы организации обучения и виды контроля: Программа обучения по дисциплине «Математика и математические методы в биологии» для студентов, обучающихся по специальности - 020400 Биология (естественнонаучное образование), квалификация (степень) бакалавр, профиль Биохимия - включает в себя теоретическую (лекционный курс) и практическую подготовку (практические занятия). Обучение проводится в течение первого, второго, третьего и четвертого семестра и включает в себя 27 лекций (54 часа), 96 часов аудиторной практической подготовки, 66 часов внеаудиторной самостоятельной работы и 36 часов подготовки к экзамену(всего 252 часа). Текущий контроль знаний осуществляется на каждом занятии в виде: проверки выполнения домашнего задания, устного опроса и проверки выполненной самостоятельной практической работы по теме занятия. Промежуточный контроль проводится в форме зачетов, итоговый контроль – в форме экзамена. Текущий контроль качества освоения отдельных тем и модулей дисциплины осуществляется на основе рейтинговой системы ( Приложение №1). Этот контроль осуществляется ежемесячно в течение семестра и качество усвоения материала (выполнения задания) оценивается в баллах, в соответствии с рейтинг-планом. Примеры тестовых заданий для текущего контроля успеваемости Выберите один (или несколько) правильных ответов. 001. ФУНКЦИЯ, КОТОРАЯ ПУТЕМ ПОДСТАНОВКИ УДОВЛЕТВОРЯЕТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ xy'=2y: 1) y=5x2 2) y=x3 3) y=x2 4) y=x5 5) y=2x 002. УРАВНЕНИЕМ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ ЯВЛЯЕТСЯ: 1) xy'=y2+1 2) e−ydx+(2y−xe−y)dy=0 3) (x2+xy)dy+(y2−xy)dx=0 4) y’=x/y+y/x2 2. Оценочные средства для промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (экзамен или зачёт) Учебным планом предусмотрено 3 зачета: за 1, 2 и 3 семестр. Экзамен проводится по завершению 4 семестра. Проведение экзамена может быть выполнено в устной (в билете 2 теоретических вопроса и 2 практических задания) или в письменной форме ( в билете 5 заданий: одно теоретическое и 4 практических с правом выбора). В зачетную книжку выставляются зачеты по семестрам и итоговая оценка за экзамен. Вопросы к экзамену по дисциплине 1. Векторы на плоскости и в пространстве. Размерность и базис векторного пространства. Системы координат. 2. Понятие уравнения линии. Прямая на плоскости. Различные виды уравнения прямой. 3. Общее уравнение кривой второго порядка. Канонические уравнения окружность, эллипса, гиперболы и параболы. Их свойства. 4. Прямая в пространстве. Различные виды уравнения прямой. 5. Плоскости в пространстве. Нормаль к плоскости, углы между плоскостями. 6. Матрицы и действия над ними. Определители и их основные свойства. Обратная матрица. Ранг матрицы. 7. Системы линейных уравнений. Матричная запись и матричная форма решения систем линейных уравнений. Метод Гаусса. 8. Множества и операции над ними (с примерами). 9. Понятие функции. Основные свойства функций (четность, нечетность, периодичность, монотонность, ограниченность, с примерами). 10. Свойства и график функции y x n , n N . 11. Свойства и график функции y a x , a 0, a 1. 12. Свойства и график функции y log a x, a 0, a 1 . 13. Свойства и график функции y sin x . 14. Свойства и график функции y cos x . 15. Понятие числовой последовательности. Свойства числовых последовательностей (с примерами). 16. Предел числовой последовательности. Свойства пределов последовательностей (с примерами). 17. Пределы функций слева и справа. Предел функции в точке (с примерами). 25 18. Пределы суммы, разности, произведения и частного (с примерами). 19. Понятие непрерывности функции (с примерами). 20. Классификация точек разрыва (с примерами). 21. Определение производной. Примеры вычисления производной по определению. 22. Геометрический смысл производной (задача о касательной). 23. Механический смысл производной (задача о движении). 24. Производная суммы двух функций (с доказательством и примерами). 25. Производная произведения двух и нескольких функций (с примерами). 26. Производная частного двух функций (с примерами). 27. Производная сложной функции (с примерами). 28. Производная логарифмической функции (с примерами). 29. Производная показательной функции (с примерами). 30. Производная степенной функции (с примерами). 31. Производная функции y sin x (с примерами). 32. Производная функции y cos x (с примерами). 33. Понятие производных высших порядков (с примерами). 34. Предельные величины в экономике (с примерами). 35. Достаточные условия возрастания и убывания функции. 36. Понятие экстремума функции. Необходимое и достаточное условие экстремума (с примерами). 37. Выпуклость функции и точки перегиба (с примерами). 38. Понятие асимптоты графика функции. (с примерами). 39. Понятие дифференциала функции (с примерами). 40. Применение дифференциала в биологии. 41. Понятие функции нескольких переменных. Область определения функции двух переменных (c примерами). 42. Понятие частных производных первого и второго порядка (с примерами). 43. Понятие градиента функции двух переменных (с примерами). 44. Понятия первообразной и неопределенного интеграла (с примерами). 45. Свойства неопределенного интеграла. 46. Табличные интегралы: (с примерами). 47. Метод замены переменных для вычисления неопределенного интеграла (с примерами). 48. Метод интегрирования по частям для вычисления неопределенного интеграла (с примерами). 49. Понятие определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла (с примерами). 50. Свойства определенного интеграла. 51. Вычисление площадей плоских фигур (с примерами). 52. Понятие дифференциального уравнения, общего и частного решения, интегральной кривой 26 53. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (с примерами). 54. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка (с примерами). 55. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка (с примерами). 56. Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Свойства сходящихся рядов (с примерами). 57. Необходимый признак сходимости ряда (с примерами). 58. Признак Даламбера сходимости числового ряда (с примерами). 59. Признак Коши сходимости числового ряда (с примерами). 60. Интегральный признак сходимости числового ряда (с примерами). 61. Признак сравнения сходимости числового ряда (с примерами). 62. Признак Лейбница сходимости числового ряда (с примерами). 63. Понятие степенного ряда и области его сходимости (с примерами). 64. Понятие радиуса и интервала сходимости степенного ряда (с примерами). 65. Ряд Тейлора и ряд Маклорена (с примерами). 66. Ряд Фурье.. 67. Элементы гармонического анализа. 68. Функции комплексного переменного. 69. Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания. 70. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона. 71. Размещения с повторениями. Перестановки с повторениями. Сочетания с повторениями. 72. Анализ биологических последовательностей. 73. Понятия теории графов. Ориентированные и неориентированные графы. Свойство связности. 74. Диаметр, радиус и центр графа (с примерами). 75. Вероятность случайных событий. Операции над событиями. 76. Сложение вероятностей, умножение вероятностей (с примерами). 77. Математические модели биологических систем (с примерами). 78. Дискретные модели биологических систем (с примерами). 79. Понятие равновесия и его устойчивость. 80. Непрерывные модели популяций, уравнения Лотки-Вольтерра. 81. Неограниченный рост и автокатализ. 82. Фермент-субстратная реакция Михаэлиса—Ментен. 83. Брюсселятор. Колебания в гликолизе. 84. Мультистационарные модели, генетический триггер. 85. Детерминированный хаос. Диссипативные структуры. Типовые задачи к экзамену по дисциплине 27 1. Найти обратную матрицу к данной . 2. Исследовать на четность-нечетность функции 3 2 3 2 а) f ( x) 3x 1 1 3x б) f ( x) x 3x 7 x 3x 7 3. Элементарными преобразованиями построить графики функций: а) f ( x ) cos x 3 б) f (x) 1 x 3 г) f (x) sin x 1 4. Вычислить пределы: 1) 2) 3) 4) 5) 7x 2x 4 x 4 x 4 3 x 2 1 3x 2 lim x 1 ; x 3 1 x2 9 lim x 3 x 2 7 x 12 1 x x 1 lim x 0 3x 2x 8 1 lim 3 x2 x 2 x 8 lim 6) lim(1 3 / x) x 7) x 5 lim x x 1 x x 5. Вычислить производные функций: 8 5 5 x x x3 6 1) y x 7 2x5 5 2) y 2 x 2 5 2 x 4 x 7 log 2 x ln 2; cos x y 2 3 sin x 3) y ln( x x 2 4 ) 4) 1 y xx 5) 8. Найти интервалы монотонности и экстремумы функций: x ln x 1) y 2) y (2 x 1)e x 2 28 y 3) x3 1 x2 9. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y f (x) на отрезке [a, b]: а) f ( x) x 3 3x 2 ; [-1;4] б) f ( x) 2 x 0,5 x ; [1;2] 10. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функций: а) y 4 x 3 2 x 4 б) y x x2 1 в) y ln x x2 г) y ( x 1)arctgx . 11. Найти асимптоты графиков функций: а) f ( x) x 2 3x 2 x 2 б) y x 2 4 x 4 12. Исследовать функцию и построить ее график: а) f ( x) x3 3x 2 2 б) y 2x 1 x2 13. Изообразить на координатной плоскости область определения функции а) z 3 x 2 y 2 16 log 0,5 (3 x 2 y 2 ) 14. Найти частные производные первого и второго порядка функций: а) z ln( 1 x 2 y) б) z cos(2 x 3 y) в) z xy 5x 7 y г) z 1 x 2 y д) z e xy ( x 2 y 2 ) 15. Найти дифференциалы функций: x y а) z sin б) z x y y x 29 Методические указания для самостоятельной работы студента Самостоятельную работу студентов (СРС) можно разделить на текущую и творческую. Текущая СРС – направлена на углубление и закрепление знаний студента, развитие практических умений и включает в себя работу с учебной литературой, подготовку к практическим и лабораторным занятиям, составление конспекта тем, выносимых на самостоятельную работу, подготовка к экзаменам. Объем этой работы соответствует часам учебного времени, отводимым на самостоятельную работу в каждом семестре. Текущая самостоятельная работа студента включает следующие виды работ: • знакомство с рабочей программой дисциплины; • работа с лекционным материалом; • работа с учебниками и учебными пособиями по дисциплине; • работа с учебно-методическими материалами, размещёнными в сети WEB, на персональном сайте кафедры; • работа с математической справочной литературой; • работа с тестами текущего контроля; • работа с обязательной и дополнительной литературой, включенной в планы семинарских занятий; • выполнение домашних заданий; • подготовка к контрольным работам, тестированию, экзамену. Творческая проблемно-ориентированная самостоятельная работа (ТСР) направлена на развитие интеллектуальных умений, развитие общекультурных и профессиональных компетенций, развитие личностного творческого потенциала личности студента. ТСР предполагает следующие виды работ: • поиск, анализ, структурирование информации по определенной «математической» теме; • выполнение индивидуального творческого задания; • написание реферата; • выполнение учебного или научного проекта. 30 Содержание самостоятельной работы студентов А) Примерные темы индивидуальных творческих заданий (ИДЗ) 1) Применение аппарата дифференциальных уравнений в моделях биологических систем. 2) Использование комбинаторики и теории вероятностей для оценки времени разделения видов. 3) Использование модели с ограничениями по субстрату для колонии бактериальных клеток. Б) Темы, выносимые на самостоятельное изучение студентов 1) Приложения производной и дифференциала в биологии. 2) Приближенное вычисление определенного интеграла. 3) Использование матриц представления графов. 4) Автоволны в моделировании биологических процессов. В) Примерные темы работ поисково-исследовательского характера 1) Представление сетей метаболизма с помощью графов. 2) Генетический триггер при моделировании метаболизма бактериальной клетки. 3) Математические модели циркадных ритмов в биологических системах. Для самостоятельной работы студенты могут использовать МУ для практических занятий для специальностей «Медицинская биохимия», имеющие гриф УМО, а также Интернет-ресурсы, ссылки на которые расположенные на «Книжной полке» сайта кафедры V. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ КУРСА а). Основная литература: 1. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика.–: 3-е изд., перераб. и доп. . - М. : Проспект : Изд-во Моск. ун-та , 2011г 2. Сударев Ю.Н., Першикова Т.В., Радославова Т.В., Основы линейной алгебры и математического анализа. – М., изд. «Академия», 2009г 3. Мятлев В.Д., Панченко Л.А., Ризниченко Г.Ю., Терехин А.Т. Теория вероятностей и математическая статистика. Математические модели. – М.: изд. «Академия», 2009г б). Дополнительная литература: 31 1. Данко П.Е., Кожевникова Т.Я., Попов А. Г., Высшая математика в упражнениях и задачах с решениями: ч. 1- М.:, 2006г. 2. Данко П.Е., Кожевникова Т.Я., Попов А. Г., Высшая математика в упражнениях и задачах с решениями: ч. 2, - М.: 2002г. 3. Статистические методы анализа в здравоохранении. [Электронный ресурс]: курс лекций, авт. коллектив: Леонов С.А., Вайсман Д.Ш., Моравская С.В, Мирсков Ю.А. - М.: ИД "Менеджер здравоохранения", 2011г Режим доступа: http://studmedlib.ru 4. Тестовые задания по математике [Электронный ресурс]:учебнометодич. пос. под ред. З.А. Филимоновой/ (гриф УМО в 2008г.), Волгоград, ВолГМУ, 2009г Режим доступа: http://matinfo.volgmed.ru 5. Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики [Электронный ресурс]: учебник/ И.В. Павлушков и другие. М: ГЭОТАР-Медиа, 2008 Режим доступа: http://www.studmedlib.ruв. Программное обеспечение и Интернет-ресурсы: 1. Редактор электронных таблиц Microsoft Excel;] 2. Пакет программ компьютерной математики Maple; г) информационно-справочные и поисковые системы, 1. Официальный портал комитета по образованию и науки Администрации Волгоградской области – URL: http://www.volganet.ru/irj/avo.html?guest_user=guest_edu 2. Математический образовательный портал Exponenta.ru. – URL: http://www.exponenta.ru/; 3. Общероссийский математический портал Math-Net.Ru. – URL: http://www.mathnet.ru/ VI. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) Для проведения учебных занятий по дисциплине «математика и математические методы в биологии» необходимо следующее материальнотехническое обеспечение: - учебные аудитории для проведения лекционных занятий, оснащенные учебной мебелью, аудиторной доской, стационарным или переносным комплексом мультимедийного презентационного оборудования, имеющего доступ к Интернет и локальной сети; 32 - компьютерный класс для выполнения практических вычислительных работ обучаемых с возможностью централизованного хранения данных и выхода в Интернет; - аудиовизуальные средства, презентации к лекциям, таблицы, схемы. 33 Приложение к рабочей программе 1. Утверждено На заседании кафедры______________ Зав.каф.математики и информатики З.А.Филимонова ПОЛОЖЕНИЕ о балльно-рейтинговой системе оценки успеваемости на кафедре математики и информатики ВолгГМУ по учебной дисциплине МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В БИОЛОГИИ специальности 020400 БИОЛОГИЯ Основные цели введения балльно-рейтинговой системы: - стимулирование повседневной систематической работы студентов; - снижение роли случайностей при сдаче экзаменов и/или зачетов; - повышение состязательности в учебе, заменяющее усреднение категории отличников, хорошистов, троечников и т.д. оценкой реального места, которое занимает студент среди сокурсников в соответствии со своими успехами; - исключение возможности протежирования не очень способных и не очень прилежных студентов; - обеспечение участия ВолГМУ в Болонском процессе с целью повышения академической мобильности обучающихся и обеспечение конкурентоспособности его выпускников на международном рынке образовательных услуг. Виды и формы рейтинга: I. Рейтинг по дисциплине в семестре (Рд). Формируется на кафедре в соответствии с внутрикафедральным положением о рейтинге студента по дисциплине. Максимальное количество баллов, которое может получить студент по дисциплине в семестре – 100. Минимальное количество баллов, при котором дисциплина должна быть зачтена – 61. Для данной дисциплины и специальности используется модель №2 начисления баллов по дисциплине. 2 модель основана на использовании среднего балла в качестве характеристики текущей работы студента в семестре. При этой модели: результат работы на каждом практическом занятии оценивается с помощью тестового контроля или другого вида опроса, в конце семестра 34 высчитывается средний балл каждого студента, который переводится в балл по 100-балльной системе (см. таблица). Допуск к зачету и экзамену получают студенты, набравшие от 61 до 100 баллов. Помимо среднего балла учитываются показатели, дающие штрафы и бонусы. Баллы, которые получает студент по дисциплине в четырех семестрах, вычисляются по формуле: Рдс = балл за текущую работу в семестре + бонусы – штрафы - где: Рдс – баллы за работу в семестре; Т.к. дисциплина заканчивается экзаменом в семестре итоговая оценка, которую преподаватель ставит в зачетную книжку, рассчитывается по формуле и переводится в 5-балльную в соответствии с таблицей Рд = ((Рдс1+Рдс2+Рдс3+Рдс4)/4+балл за ответ на экзамене))/2 средний балл по балл по 100-балль- средний балл по 5-балльной системе ной системе 5-балльной системе 5.0 100 4.0 4.9 98-99 3.9 4.8 96-97 3.8 4.7 94-95 3.7 4.6 92-93 3.6 4.5 91 3.5 4.4 89-90 3.4 4.3 87-88 3.3 4.2 85-86 3.2 4.1 83-84 3.1 3.0 балл по 100-балль- средний балл по балл по 100-балльной системе 5-балльной системе ной системе 81-82 2.9 57-60 80 2.8 53-56 79 2.7 49-52 78 2.6 45-48 77 2.5 41-44 76 2.4 36-40 73-74-75 2.3 31-35 70-71-72 2.2 21-30 67-68-69 2.1 11-20 64-65-66 2.0 0-10 61-62-63 Таблица . Перевод среднего балла в 100-балльную систему. Ответ на экзамене оценивается в соответствии с «Критериями оценки ответа студента при 100-балльной системе» (см. Приложение 1.) Если студент получает на экзамене неудовлетворительную оценку, то рейтинг по дисциплине в семестре равен Рд = Рэ. Баллы при повторной сдаче экзамена – от 61 до 75 независимо от оценки. II. Итоговый рейтинг по дисциплине (Рдис). Формируется на кафедре в соответствии с внутрикафедральным положением о рейтинге студента по дисциплине. Рассчитывается по формуле: Рдис = Рд 35 Максимальное количество баллов, которые студент может набрать по дисциплине в целом – 100. 36 Приложение к рабочей программе 2. МЕЖКАФЕДРАЛЬНЫЙ ПРОТОКОЛ СОГЛАСОВАНИЯ Рабочей программы по дисциплине Математика и математические методы в биологии. Кафедра математики и информатики Специальность 020400 Биология (бакалавриат) Дисциплина, изучение которой опирается на учебный материал данной дисциплины Дифференциальные уравнения Кафедра Вопросы согласования Математики и информатики Теория вероятностей Математики и информатики Формируемая компетенция (ОК-3,ОК-6) Формируемая компетенция (ОК-3,ОК-6) Формируемая компетенция (ОК-3,ОК-6) Статистические методы обработки информации Химия Общая биология Математики и информатики Химии Биологии Дата согласования протокол №______ Формируемая компетенция (ОК-3,ОК-6) Формируемая компетенция (ОК-3,ОК-6) 37
