ф На коллоквиуме студент получает два вопроса из этого вопросника по выбору преподавателя. Студент должен знать определения и формулировать утверждения. Воспроизводить доказательства не требуется. 1. Дайте определение поточечно сходящейся функциональной последовательности на множестве E и предельной функции. Дайте определение множества сходимости функциональной последовательности. Найдите множество сходимости и предел последовательности f n ( x) x n , n 1, 2,... . 2. Дайте определение поточечно сходящегося функционального ряда на множестве E и его суммы. Дайте определение множества сходимости функционального ряда. Найдите множество сходимости и суму ряда xk . k 0 3. Дайте определение равномерно сходящейся функциональной последовательности и приведите соответствующую геометрическую интерпретацию. Сформулируйте условия равномерной сходимости функциональной последовательности. Приведите пример показывающий, что из поточечной сходимости не следует равномерная. 4. Дайте определение равномерно сходящегося функционального ряда. Сформулируйте достаточный и необходимый признаки равномерной сходимости такого ряда. 5. Как связаны между собой задачи о сходимости (в т.ч. равномерной) функциональных последовательностей и функциональных рядов? Если f n C ( I ) и f n f на промежутке I , что можно сказать о функции f ( x) ? Приведите аналогичное утверждение для равномерно сходящегося ряда g n ( x) n 1 с gn C ( I ) . Сформулируйте соответствующий необходимый признак равномерной сходимости. 6. Сформулируйте утверждения об интегрировании (в смысле определённого интеграла и в смысле перехода к первообразным) функциональных последовательностей и рядов. 7. Сформулируйте утверждения о дифференцировании функциональных последовательностей и рядов. 8. Дайте определение степенного ряда. Сформулируйте первую теорему Абеля и теорему о множестве сходимости степенного ряда и его равномерной сходимости. Приведите две формулы для радиуса сходимости. 9. Сформулируйте вторую теорему Абеля. Сформулируйте теорему о радиусе сходимости продифференцированного и проинтегрированного степенного ряда. 10. Что можно сказать о возможности почленного интегрирования и дифференцирования степенного ряда? Каким общим свойством обладает сумма степенного ряда? 11. Дайте определение ряда Тейлора и ряда Маклорена. Сформулируйте теорему о коэффициентах Тейлора суммы степенного ряда. Сформулируйте достаточное условие сходимости ряда Тейлора к начальной функции. 12. Разложите в ряд Тейлора функции e x , sin x, cos x и укажите интервалы сходимости. 13. Разложите в ряд Тейлора функции ln(1 x), (1 x) и укажите интервалы сходимости. 14. Разложите в ряд Тейлора функции (1 x)-1, arctg x и укажите интервалы сходимости. 15. Используя ряды Тейлора для функций e x и sin x , представьте величины 1 x2 0 e dx и sin x dx в виде числовых рядов и объясните, почему эти ряды сходятся. x 16. Расскажите о гармонических колебаниях, их физических характеристиках и эквивалентной форме. Когда сумма конечного числа таких колебаний будет периодической функцией и каков этот период? Приведите пример. Сформулируйте задачу о разложении периодических функций в ряд Фурье. Что такое тригонометрический многочлен? 17. Дайте определение линейного векторного пространства. Дайте определение евклидова пространства. Приведите примеры таких пространств. Напишите неравенство Коши–Буняковского и поясните его геометрический смысл. Введите понятие ортогональности векторов. Расскажите о свойствах нормы в евклидовом пространстве. Определите линейную независимость векторов. 18. Определите пространство C2 ([ , ]) , указав его элементы и скалярное 1 0 произведение в нём. Выпишите явно формулы для нормы и расстояния в C2 ([ , ]) . Дайте определение среднеквадратичной сходимости в пространстве C2 ([ , ]) . Как связаны между собой равномерная, среднеквадратичная и поточечная сходимости? 19. Дайте определение сходящегося ряда в пространстве C2 ([ , ]) . Дайте определение плотного множества и полной ортонормированной системы векторов в этом пространстве. Покажите, что тригонометрическая система 1 1 1 { , cos nx, sin nx; n 1, 2,...} 2 образует ортонормированную систему в пространстве C2 ([ , ]) . 20. Сформулируйте теорему Вейерштрасса о равномерном приближении тригонометрическими полиномами и объясните, как из неё следует полнота тригонометрической системы в C2 ([ , ]) . Сформулируйте теорему о разложении в ряд Фурье по полной ортонормированной системе в пространстве C2 ([ , ]) . Напишите равенство Парсеваля.