Действительный анализ - Основные образовательные программы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра математического анализа и теории функций
Т.Г. Латфуллин
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов
направления 01.03.01 Математика, профиль «Вещественный, комплексный и
функциональный анализ». Форма обучения очная
Тюменский государственный университет
2014
Т.Г. Латфуллин Действительный анализ. Учебно-методический комплекс. Рабочая
программа для студентов направления 01.03.01 Математика профиль «Вещественный,
комплексный и функциональный анализ». Форма обучения очная, Тюмень, 2014, 16 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с ФГОС ВО с учетом рекомендаций
и ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Действительный
анализ [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории функций.
Утверждено директором Института математики и компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Хохлов А.Г., к.ф.-м.н., доцент, заведующий кафедрой
математического анализа и теории функций
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Т.Г. Латфуллин, 2014.
1. Пояснительная записка:
1.1. Цели и задачи дисциплины.
1. Целью изучения действительного анализа является овладение основными
теоретическими и практическими знаниями и умениями данного раздела
математики. Ядро курса составляют определения и теоремы, связанные с мерои и
интегралои Лебега. Основные задачи дисциплины состоят в следующем:
2. показать, что, применение схемы Лебега к построению интеграла значительно
увеличивает возможности интеграла при это естественно возникает понятие
счетно-аддитивной меры
3. указать возможность применения результатов действительного анализа к тонких
свойств функций и совокупностей функций:
4. выявить и продемонстрировать существующую связь между собой ряда теорем
классического математического анализа, отобразив их на основные принципы
действительного анализа.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Учебная дисциплина «Действительный анализ» входит в математический и
естественнонаучный цикл (вариативная часть). Требования к входным знаниям и
умениям студента – знание курсов алгебры и математического анализа.
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
№
п/п
1.
Наименование
обеспечиваемых
(последующих)
дисциплин
Философия
Темы
дисциплины
необходимые
для
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
7
Линейная размерность
пространства,
обобщенные функции.
2.
Численные методы
Нормированные пространства
функций, линейные операторы
3
Физика
Изоморфизм евклидовых
пространств, нормированные
пространства, интегральные
уравнения
4
Р-адический анализ
Нормированные пространства
функций, линейные операторы
изучения
8
Пространства
Соболева
5
Нормированные пространства
функций, линейные операторы,
Теорема Хана-Банаха
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими компетенциями:
 способностью математически корректно ставить естественнонаучные задачи, знание
постановок классических задач математики (ПК-2);
 способностью публично представлять собственные и известные научные результаты
(ПК-4)
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать: основные понятия и методы действительного анализа, основные
определения и свойства объектов действительного анализа, формулировки и доказательства
утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их связи и приложения в других
областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.
Уметь: доказывать утверждения действительного анализа, решать задачи
действительного анализа, использовать математические методы и модели для решения
прикладных задач, использовать программные и аппаратные средства персонального
компьютера.
Владеть: аппаратом действительного анализа, методами доказательства
утверждений, навыками применения этого в других областях математического знания и
дисциплинах естественнонаучного содержания, методами количественного анализа
процессов обработки, поиска и передачи информации.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 4. Форма промежуточной аттестации – контрольная работа, зачет. Общая
трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы, 108 академических часов, из них
74,6 часов, выделены на контактную работу с преподавателем, 33,4 часа – на
самостоятельную работу.
Таблица 2.
Вид учебной работы
Всего
часов
Семестры
74,6
4
74,6
72
72
Лекции
36
36
Практические занятия (ПЗ)
36
36
Контактная работа:
Аудиторные занятия (всего)
1
2
3
В том числе:
Семинары (С)
Лабораторные занятия (ЛЗ)
Иные виды работ:
2,6
2,6
Самостоятельная работа (всего):
33,4
33.4
3
3
108
108
зачет
зачет
Общая трудоемкость
зач. ед.
час
Вид промежуточной
(зачет, экзамен)
аттестации
3. Тематический план.
Таблица 3.
4 СЕМЕСТР
Практические
занятия
Самостоятельная
работа
Итого часов по теме
Из них в интерактивной
форме
Итого количество баллов
3
1-5
1-2
4
5
6
7
8
9
1.1
4
4
6
14
0-8
1.2
Измеримые множества и их
свойства.
Продолжение меры с
полукольца.
3,
4
5
4
4
8
16
0-15
1.3
4
4
4
12
0-7
12
12
18
42
30-0
610
6
4
4
6
14
0-10
7,8
4
4
4
12
0-10
9,
10
4
4
6
14
0-10
12
12
16
40
40
2
2
4
8
0-6
2
2
6
10
0-10
4
4
6
14
0-8
4
4
4
12
0-6
3.3
Всего
Модуль 2. Измеримые
функции
Определения измеримых
функций.
Свойства измеримых
функций.
Последовательности
измеримых функций.
Всего
Модуль 3.
. Интеграл Лебега.
Интеграл Лебега и его
свойства.
Предельный переход под
интегралом.
Кратное интегрирование. .
3.4
Интеграл Лебега-Стилтьеса..
2.1
2.2
2.3
3.1
3.2
недели семестра
2
Модуль 1. Мера Лебега
Мера Лебега.
Тема
1
Виды учебной работы и
самостоятельная работа,
в час.
Лекции
№
1318
11,
12
13
14,
15
16,
18
Всего
Итого* (часов, баллов):
*с учетом иных видов работ
12
36
12
36
20
36
44
108
0-30
0 – 100
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 4.
4 СЕМЕСТР
Устный опрос
№ темы
Тема 1.1.
Тема 1.2.
Тема 1.3.
Всего
Тема 2.1.
Тема 2.2.
Тема 2.3.
Всего
Тема 3.1.
Тема 3.2.
Тема 3.3.
Всего
Итого
ответ на
семинаре
0-5
0-5
0-10
0-5
0-5
0-10
0-5
0-5
0-10
0-30
Письменные работы
контрольная
работа
реферат
Модуль 1
0-5
0-10
0-5
0-20
Модуль 2
0-5
0-10
0-5
0-20
Модуль 3
0-10
0-10
0-10
0-30
0-70
5. Содержание дисциплины.
4 СЕМЕСТР
Модуль 1. Мера Лебега
Тема 1.1. Мера Лебега
Подход Лебега к построению интеграла. Общее понятие меры.
Мера прямоугольников. Мера Элементарных множеств.
Внешняя мера. Мера Лебега.
Тема 1.2. Измеримые множества и их свойства.
Измеримые множества и их свойства.
Тема 1.3. Продолжение меры с полукольца.
Продолжение меры с полукольца.
Модуль 2. Измеримые функции
Тема 2.1. Определения измеримых функций.
Эквивалентные определения измеримых функций.
Тема 2.2. Свойства измеримых функций.
Арифметические свойства класса измеримых функций.
Тема 2.3. Последовательности измеримых функций.
Последовательности измеримых функций.
Теорема Егорова и следствия из нее.
Модуль 3. Интеграл Лебега
Тема 3.1. Интеграл Лебега и его свойства.
Интеграл Лебега от простых функций.
Свойства интеграла Лебега.
Итого количество
баллов
0-10
0-10
0-10
0-30
0-10
0-10
0-10
0-30
0-15
0-15
0-10
0-40
0 – 100
Тема 3.2. Предельный переход под интегралом.
Предельный переход под знаком интеграла.
Тема 3.3. Кратное интегрирование.
Связь интегралов Римана и Лебега.
Прямое произведение мер, теорема Фубини о кратном интегрировании.
Неравенства Гёльдера и Минковского, пространства Лебега интегрируемых функций.
Тема 3.4. Интеграл Лебега-Стилтьеса.
Интеграл Римана-Стилтьеса, интеграл Лебега-Стилтьеса.
Теорема Радона-Никодима.
6. Планы семинарских занятий.
4 СЕМЕСТР
Модуль 1. Мера Лебега
Тема 1.1. Мера Лебега
1. Метод характеристических функций в теории множеств. Доказательство тождеств и
включений.
2. Системы множеств, полукольцо, кольцо, алгебра, сигма-кольцо, сигма-алгебра.
Тема 1.2. Измеримые множества и их свойства.
3. Мера прямоугольников и элементарных множеств. Свойства меры.
4. Внешняя мера множеств. Задачи и примеры.
Тема 1.3. Продолжение меры с полукольца.
5. Мера Лебега, измеримые множества. Задачи и примеры.
6. Свойства системы измеримых множеств.
Модуль 2. Измеримые функции
Тема 2.1. Определения измеримых функций.
7. Измеримые функции. Примеры.
Тема 2.2. Свойства измеримых функций.
8. Свойства измеримых функций. Задачи и примеры.
Тема 2.3. Последовательности измеримых функций.
9. Последовательности измеримых функций. Различные виды сходимости.
10. Сходимость по мере.
11. Теорема Егорова. Примеры и задачи.
12. Следствия из теоремы Егорова. Примеры и задачи.
Модуль 3. Интеграл Лебега
Тема 3.1. Интеграл Лебега и его свойства.
13. Интеграл Лебега от простых функций.
14. Интеграл Лебега и его свойства.
Тема 3.2. Предельный переход под интегралом.
15. Предельный переход под знаком интеграла.
Тема 3.3. Кратное интегрирование.
16. Теорема Фубини о кратном интегрировании.
Тема 3.4. Интеграл Лебега-Стилтьеса.
17. Пространства Лебега интегрируемых функций.
18. Интеграл Римана-Стилтьеса, интеграл Лебега-Стилтьеса.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены учебным планом ОП.
8. Примерная тематика курсовых работ
Не предусмотрены учебным планом ОП.
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы
студентов.
Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и темы
Модуль 1
1.1 Метод
характеристическ
их функций.
1.2
Мера
элементарных
множеств
1.3
Мера Лебега
Виды СРС
обязательные
дополнительные
Подготовка к
ответам на семинаре.
Выполнение
домашнего задания.
Подготовка к
контрольной работе.
Выполнение
домашнего задания.
Подготовка к
контрольной работе.
Выполнение
домашнего задания.
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1 Измеримые
Подготовка к
функции.
ответам на семинаре,
написание
Выполнение
домашнего задания
2.2 Свойства
Подготовка к
измеримых
ответам на семинаре,
функций
к контрольной
работе. Выполнение
домашнего задания.
2.3 Последовательнос Подготовка к
ти измеримых
ответам на семинаре,
функций
к контрольной
работе. Выполнение
домашнего задания.
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1 Интеграл Лебега
Подготовка к
ответам на семинаре,
написание
Выполнение
домашнего задания
3.2 Предельный
Подготовка к
Написание и
Недел
я
семест
ра
Таблица 7.
Объе Колм
во
часов балло
в
1
2
0-5
2-3
3
0-5
4-6
5
0-20
10
0-30
8-9
3
0-5
10-11
3
0-10
5
0-15
11
0-30
13-15
4
0-10
16-18
4
0-10
переход под
интегралом.
3.3
Интеграл
Стилтьеса
Всего по модулю 3:
Иные виды работ:
ИТОГО:
ответам на семинаре, защита
к контрольной
реферата
работе. Выполнение
домашнего задания.
Подготовка к
ответам на семинаре,
к контрольной
работе. Выполнение
домашнего задания
4,4
0-20
12,4
2,6
36
0-40
0-100
Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Самостоятельная работа призвана закрепить теоретические знания и
практические навыки, полученные студентами на лекциях и практических занятиях,
развить поставленные компетенции. Кроме того, часть времени, отпущенного на
самостоятельную работу, должна быть использована на выполнение домашней работы.
Во время лекционных и практических занятий самостоятельная работа реализуется
в виде решения студентами индивидуальных заданий, изучения части теоретического
материала, предусмотренного учебным планом ОП.
Во внеаудиторное время студент изучает рекомендованную литературу, готовится к
лекционным и практическим занятиям, собеседованиям, устным опросам, коллоквиуму и
контрольным работам. При подготовке можно опираться на конспект лекций и
литературу, предложенную в соответствующем разделе данной рабочей программы. В нем
расположен список основной и дополнительной литературы, а также необходимые
интернет-ресурсы.
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе
освоения образовательной программы
ПК-2 - способность математически корректно ставить естественнонаучные задачи,
знание постановок классических задач математики.
ПК-4 - способность публично представлять собственные и известные научные
результаты.
ПК-2
+
ПК-4
+
* - дисциплины базовой части
+
+
+
+
Объектно-ориентированное программирование
Дифференциальная геометрия и топология*
+
+
+
+
+
Базы данных
Уравнения в частных производных
Системы компьютерной математики
Нестандартный анализ
Ряды и интегралы Фурье
Теория вероятностей*
Действительный анализ
3
семестр
Иностранный язык в профессиональной сфере
(английский)
Дифференциальная геометрия и топология*
+
Объектно-ориентированное программирование
Иностранный язык в профессиональной сфере
(английский)
Дискретная математика*
2 семестр
Аналитическая геометрия*
Индекс компетенции
1 семестр
Циклы, дисциплины
(модули) учебного плана
ОП
Избранные вопросы математики
Выдержка из МАТРИЦЫ
соответствия компетенции и составных частей ООП
Таблица 5
Б.1. Дисциплины (модули)
4 семестр
5 семестр
+
+
+
+
+
+
+
ПК-4
* - дисциплины базовой части
Системы компьютерной математики
Непрерывные группы
Функции с ограниченной вариацией
Теоретико-множественная топология
Теоретическая механика*
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Р-адический анализ
Граничные свойства аналитических функций
Б.1. Дисциплины (модули)
7 семестр
+
+
+
+
+
Выпускная квалификационная работа
История развития математической науки
Пространства непрерывных функций
Теория обобщенных функций
Теория категорий
6 семестр
Физика
Циклы, дисциплины (модули)
учебного плана ОП
Концепции современного естествознания
Уравнения в частных производных
ПК-2
Математическая статистика
Индекс компетенции
Теоретическая механика*
Таблица 5 - продолжение
Б.3.
ГИА
8 семестр
+
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 9.
Карта критериев оценивания компетенций
Код компетенции
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
ПК-2
ПК-4
пороговый
(удовл.)
повышенный
базовый (хор.)
(отл.)
76-90 баллов
Виды
занятий
Оценочные
средства
91-100 баллов
61-75 баллов
Знает: основные понятия, определения и
свойства действительного анализа;
постановки классических задач
Знает: методы исследования свойств
действительного анализа в
математически формализованных
задачах
Умеет: пользоваться основными
определениями и понятиями
Умеет: решать задачи действительного
анализа
Владеет: методами решения
простейших задач на исследование
свойств действительного анализа
Знает: общие сведения о представлении
собственных и известных научных
результатов в рамках изучаемой
дисциплины
Умеет: с помощью справочных
материалов или под руководством
преподавателя публично представлять
известные научные результаты
Владеет: навыками интерпретации
результатов исследования свойств
действительного анализа
Знает: алгоритмы и методы публичного
представления собственных и известных
научных результатов в рамках
изучаемой дисциплины
Умеет: демонстрировать собственные и
известные научные результаты на
уровне не выше студенческих
конференций
Владеет: способами и методами
представления известных научных
результатов в рамках изучаемой
дисциплины
Владеет: методами представления
собственных и известных научных
результатов, решений математических
задач и проблем из различных областей
математики
Знает связи и приложения
действительного анализа в других
областях математического знания и
дисциплинах естественнонаучного
содержания
Умеет: самостоятельно анализировать
свойства действительного анализа
Владеет: навыками самостоятельной
постановки задач действительного
анализа
Знает: алгоритмы и методы публичного
представления собственных и известных
научных результатов для любой
профессиональной аудитории
Умеет: публично представлять
собственные и известные научные
результаты проблемы и их решения в
терминах, понятных для любой
профессиональной аудитории
Владеет: методами представления
собственных и известных научных
результатов, математических задач и
проблем из различных областей
математики, которые требуют некоторой
оригинальности мышления
лекции,
практические
занятия
Опрос
лекции,
практические
занятия
лекции,
практические
занятия
лекции,
практические
занятия
Контрольная
работа
лекции,
практические
занятия
Опрос,
контрольная
работа
лекции,
практические
занятия
Контрольная
работа,
реферат
Контрольная
работа,
реферат
Опрос,
контрольная
работа
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Контрольная работа 1.
1. Доказать равенство (A  B)\  (A  B)=A  B.
2. Найти условия, при которых выполнено равенство A \ (B  C)=(A \ B)  (A \ C).
3. Найти меру множества A в пространстве R2,
A={(x,y) R2: |x|<1, |y|<1$ и не менее, чем одна из координат точки (x, y) рациональна}.
4. Найти меру множества A в пространстве R. A – подмножество отрезка [0,1],состоящее
из точек, десятичное представление которых не содержит цифры 4.
5. Доказать, что любое подмножество множества меры ноль измеримо.
Контрольная работа 2.
1) На основе определения доказать измеримость функции
f: R  R, f(x)=(x2-1)(x+3).
2) Доказать измеримость функции f: R  R, f(x)=[x] – целая часть числа.
3) Интегрируема ли функция f на множестве (0;1]?
f(x)=(-1) n(n+1), если x  (1/(n+1);1/n].

4) Найти интеграл Лебега
 fd
от функции
0
f ( x) 
1
, если
n (n  1)
2
x  [( n  1)n; n(n  1)), n  N .

5) Найти интеграл Лебега
 fd
от функции
0

x 5 , если число x рациональное,

f ( x )   x, если число x иррациональное алгебраическое,

x 5 , если число x трансцендентное.

Контрольная работа 3.
1) Принадлежит ли пространству V[0;1] функция
( 1) n
f ( x) 
, если x  (( n  1) 1/ 3 , n 1/ 3 ], f(0)=0?
n
2. Найти полное изменение функции f:[0;5]  R, f(x)={2x^2}, {a} – дробная часть числа a.
3. Найти полное изменение функции f:[-10;10]  R,
1
29
f ( x )  , x 5  x 3  100 x.
5
3
2
4. Вычислить интеграл Стилтьеса
 (x
2
 1)d [cos
0
6x

] , где [a] -- целая часть числа a.
10
5. Вычислить интеграл Стилтьеса
 xd (sign sin (x))
0
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
12.1 Основная литература:
1. Многомерные пространства [Электронный ресурс] : учебно-методическое пособие:
учебно-методическое пособие/ сост. М. Е. Деев; Горно-Алтайский гос. ун-т. Горно-Алтайск: Горно-Алтайский гос. ун-т, 2013. - 82 с.: ил. - Загл. из текста. Режим доступа: http://icdlib.nspu.ru/catalog/details/icdlib/644729/ (дата обращения:
13.10.2014).
2. Семенко, Е. В. Теория функций действительной переменной. Мера и интеграл
[Электронный ресурс] : учебно-методическое пособие / Е. В. Семенко, А. Ю.
Пугач: учебно-методическое пособие/ Е. В. Семенко, А. Ю. Пугач ; Новосиб. гос.
пед. ун-т. - Новосибирск: НГПУ, 2012. - 126 с.: ил, генеалогич.табл. - Загл. из
текста. - Режим доступа : http://icdlib.nspu.ru/catalog/details/icdlib/773/. - ISBN 978-585921-917-9. (дата обращения: 13.10.2014)
11.2. Дополнительная литература:
1. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа: [учеб.]/
А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин; Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова. - 7-е изд.. Москва: Физматлит, 2006. - 572 с.
2. Теория функций действительного переменного [Электронный ресурс]:
методические рекомендации для студентов / В.Ю.Бодряков.: Екатеринбург,
Уральский гос. пед. ун-т, 2007. - 40 с. – Режим доступа:
http://window.edu.ru/window_catalog/redir?id=67556&file=S06DPPMAT_MTR2007D0
0.pdf. (дата обращения: 13.10.2014).
12.3 Интернет-ресурсы:
1.
Методические рекомендации по написанию реферата.
http://www.hse.spb.ru/edu/recommendations/method-referat-2005.phtml
2.
Реферат (выбор темы, структура)
http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-24860/
3.
Единое окно доступа к образовательным ресурсам
http://window.edu.ru/window/library
4.
Сайт, посвященный математике и математикам http://math.ru
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости).
ПАКЕТЫ ПРИКЛАДНЫХ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ ПРОГРАММ (ПППП)
1. Microsoft Excel. Встроенные математические функции.
2. MathCAD. Встроенные функции, позволяющие проводить расчеты в матричной
форме.
В организации
учебного процесса
необходимыми
являются средства,
обеспечивающие аудиовизуальное восприятие учебного материала (специализированное
демонстрационное оборудование):
 доска и мел (или более современные аналоги),
 слайдопроекторы или мультимедийные проекторы,
 компьютеры (для передачи, поиска, изучения материала, для контроля знаний и
др.).
 микрофон и соответствующие установки (для работы в больших аудиториях с
многочисленными группами студентов).
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
Лекционные и практические занятия проводятся в специализированных аудиториях,
оснащённых мультимедийной техникой. Допускается использование интерактивной
доски.