DOC, 124 Кб - Высшая школа экономики

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Мера и интеграл» для направления 010100.62 «Математика» подготовки
бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины спецкурс
«Мера и интеграл»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
для направления 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
Автор программы: Пирковский А.Ю., pirkosha@gmail.com
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2014 г.
Председатель С.М. Хорошкин ____________________
Утверждена УС факультета математики
«___»_____________ 2014 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман _____________________
Москва, 2014
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Мера и интеграл» для направления 010100.62 «Математика» подготовки
бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
1 Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления
010100.68 «Математика» подготовки магистра
Программа разработана в соответствии с:
ОС НИУ ВШЭ;
Рабочим учебным планом университета по направлению 010100.62 «Математика»
подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра, специализации
Математика, утвержденным в 2014 г
2 Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Мера и интеграл» являются:
Формирование у слушателей ясного представления о базисных понятиях и основных
методах теории меры и интеграла;
 Знакомство с феноменами, отличающими меру и интеграл Лебега от более элементарных
понятий меры Жордана и интеграла Римана;
 Углублённое изучение различных свойств меры и интеграла Лебега в n-мерном евклидовом
пространстве; углублённое изучение комплексных мер.
 Изучение общих принципов применения теории меры и интеграла в анализе.

3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:




Получить общее представление о предмете «Мера и интеграл», изучить базисные понятия и
основные методы;
Изучить основные методы, принципы и математические структуры, используемые в теории
меры и интеграла;
Ознакомиться с применениями теории меры и интеграла в различных разделах анализа;
Быть готовым использовать основные принципы и методы теории меры и интеграла в
последующей профессиональной деятельности в качестве научных сотрудников,
преподавателей вузов.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
Код по
ФГОС/
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Мера и интеграл» для направления 010100.62 «Математика» подготовки
бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
Компетенция
Код по
ФГОС/
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Правильно воспроизводит чужие
результаты
умение
формулировать результат
умение строго доказать
утверждение
ПК-3
Правильно формулирует
собственные результаты
Воспроизводит доказательства
стандартных результатов,
услышанных на лекциях
ПК-4
Оценивает строгость и
корректность научных текстов по
теории меры и интеграла
Владеет профессиональной
лексикой в области теории меры и
интеграла
умение грамотно
пользоваться языком
предметной области
ПК-7
понимание корректности
постановок задач
ПК-10
выделение главных
смысловых аспектов в
доказательствах
ПК-16
Распознает и воспроизводит
названия основных
математических структур,
возникающих при изучении данной
дисциплины, умеет корректно
формулировать утверждения и их
доказательства
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Компетенция формируется в
любом сегменте учебного
процесса
Формируется в процессе
активных занятий (участие в
семинарах, выполнение
курсовых и дипломных
работ).
Изучение базового курса
За счет повышения общефизической и
математической культуры в
процессе обучения
Продумывание и повторение
услышанного на семинарах и
лекциях. Беседы с
преподавателями во время
консультаций.
Компетенция достигается в
процессе накопления опыта
работы по данной теме и
общения с преподавателями.
Понимает постановки проблем
Продумывание базовых
понятий курса
Адекватно оценивает корректность
использования тех или иных
математических методов,
применяемых при формулировке и
решении задач
Понимает и воспроизводит
ключевые идеи, методы и
конструкции теории меры и
интеграла
Обосновывает и оценивает
мотивировки и логические ходы
доказательств основных
результатов теории меры и
интеграла
Вырабатывается в процессе
решения задач,
самостоятельного чтения,
работы над курсовыми
заданиями
Продумывание ключевых
моментов лекций
Вырабатывается путем
активного решения задач,
самообразования, общения с
преподавателем
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Мера и интеграл» для направления 010100.62 «Математика» подготовки
бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
4 Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественнонаучных дисциплин
и блоку дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра и магистра направления подготовки
«Математика»
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:

базовые курсы алгебры и математического анализа (1 год бакалавриата);

базовый курс общей и метрической топологии (1 год бакалавриата).
Для освоения учебной дисциплины студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
- свободное владение основными понятиями математического анализа, линейной алгебры и
общей топологии;
- дифференцирование и интегрирование функций одной и нескольких переменных
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении
следующих дисциплин:
Функциональный анализ;
Введение в теорию вероятностей;
Уравнения в частных производных;
Прикладные методы анализа;
Динамические системы и эргодическая теория;
Введение в случайные процессы и финансовые приложения;
Введение в теорию эллиптических операторов;
Введение в эргодическую теорию;
Многомерный комплексный анализ;
Введение в нелинейный анализ и стохастику;
C*-алгебры и компактные квантовые группы
5 Тематический план учебной дисциплины
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Название раздела
Измеримые пространства и измеримые
отображения.
Меры. Внешние меры. Теорема Каратеодори.
Мера Лебега в R^n.
Интеграл Лебега.
Сходимость измеримых функций.
Пространства L^p.
Произведения мер. Теоремы Фубини и
Тонелли.
Замена переменной в интеграле Лебега в R^n.
Комплексные меры. Разложения Хана и
Жордана. Теорема Лебега-Радона-Никодима.
Всего
часов
Аудиторные часы
Практиче
Лекци Семин
ские
и
ары
занятия
Самостоятельная
работа
6
2
4
16
12
16
6
6
6
6
4
6
2
2
2
10
8
10
4
4
4
6
10
2
4
4
6
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Мера и интеграл» для направления 010100.62 «Математика» подготовки
бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
10
Функции ограниченной вариации и меры
Стилтьеса. Абсолютно непрерывные
функции.
Итого:
6
2
4
90
32
58
6 Формы контроля знаний студентов
Тип
контроля
Итоговый
Текущий
(неделя)
Форма контроля
Параметры **
1 2 3 4
Экзамен
Контрольная
работа
Письменный экзамен 180 мин
X
8
Письменная работа 80 минут
1 экзамен
1 контрольная работа
Критерии оценки знаний, навыков
На экзамене студент должен продемонстрировать хорошее умение применять знания,
полученные в курсе, к задачам, связанным с использованием техники теории меры и интеграла
Лебега.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
.
Порядок формирования оценок по дисциплине
Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему
контролю следующим образом:
Онакопленная= Отекущий = Оконтр.работа
Результирующая оценка за дисциплину рассчитывается следующим образом:
Орезульт = 0.2* Онакопл +0.8 *·Озач
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме
зачета: в пользу студента.
7 Образовательные технологии
На лекции обсуждаются ключевые понятия и технические выкладки разбираемой темы,
даются необходимые определения, разбираются поучительные примеры. Студентам на дом даются
задачи для самостоятельного разбора, содержащие как упражнения для усвоения пройденного
материала, так и нестандартные задачи, позволяющие проверить уровень общего понимания
предмета и требующие изучения дополнительного материала. Некоторые задачи предваряют
(продолжают) тематику лекций.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Мера и интеграл» для направления 010100.62 «Математика» подготовки
бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
8 Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
8.1 Тематика заданий текущего контроля
Примерный список задач.
Построить пример меры, не являющейся σ-аддитивной.
Доказать лемму Бореля-Кантелли.
Доказать критерий σ-аддитивности в терминах компактных классов.
Найти функцию распределения конкретных мер на прямой.
Вычислить хаусдорфову размерность канторова множества.
Доказать измеримость множества точек существования предела последовательности
измеримых функций.
7. Доказать, что если последовательности измеримых функций (f_n) и (g_n) сходятся по
мере к функциям f и g соответственно, то (f_n+g_n) сходится по мере к f+g, а (f_n g_n)
(в предположении конечности меры) – к fg.
8. Доказать, что если интеграл функции на прямой по каждому отрезку равен нулю, то
функция равна нулю почти всюду.
9. Вычислить интеграл функции f(x)=x по отрезку [0,1] по мере Стильтеса, порожденной
"канторовой лестницей".
10. Построить пример последовательности борелевских функций на отрезке, сходящейся
к нулю в среднем, но не сходящейся ни в одной точке.
11. Построить пример последовательности борелевских функций на отрезке, сходящейся
к нулю в поточечно, но не сходящейся в среднем.
12. Доказать, что на пространстве измеримых функций на отрезке не существует
топологии, сходимость по которой совпадала бы со сходимостью почти всюду.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
8.2 Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов.
1. Алгебры, σ-алгебры и полуалгебры множеств. Борелевская σ-алгебра. Измеримые
пространства и измеримые отображения, борелевские отображения. Прямой образ σалгебры и критерий измеримости отображения.
2. Произведения измеримых пространств. Борелевская σ-алгебра произведения
топологических пространств. Основные свойства измеримых отображений.
3. Меры. Примеры мер. Мера Лебега на полуалгебре стандартных параллелепипедов в
Rn. Продолжение меры с полуалгебры на порожденную ей алгебру. Свойства мер и
критерии σ-аддитивности. σ-аддитивность меры Лебега.
4. Внешние меры. Внешняя мера, порожденная мерой на алгебре множеств.
Измеримость множеств по Каратеодори. Теорема Каратеодори о продолжении мер.
Теорема Фреше о единственности продолжения меры. Эквивалентные определения
измеримых множеств для случая конечных мер.
5. Мера Лебега в Rn. Регулярность меры Лебега. Сохранение измеримости множества
при локально липшицевом отображении. Характеристическое свойство меры Лебега инвариантность относительно сдвигов и конечность на компактах. Инвариантность
меры Лебега относительно движений. Поведение меры Лебега при линейных
преобразованиях.
6. Простые функции. Аппроксимация измеримых функций простыми. Пополнение
пространства с мерой и связь с конструкцией Каратеодори. Связь между
измеримостью функции относительно исходной и пополненной σ-алгебр. Интеграл
для простых функций и его основные свойства.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Мера и интеграл» для направления 010100.62 «Математика» подготовки
бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
7. Интеграл для неотрицательных функций. Теорема о монотонной сходимости. Лемма
Фату. σ-аддитивность интеграла. Интеграл для функций со значениями в R и C.
Линейность интеграла. Полунормированное пространство интегрируемых функций.
Роль множеств меры 0 в теории интегрирования.
8. Теорема Лебега о мажорированной сходимости. Связь интеграла Лебега с интегралом
Римана (собственным и несобственным). Сходимость в L1 и сходимость по мере.
9. Теорема Рисса о связи сходимости по мере и сходимости почти всюду. Теорема
Егорова. Пространства Lp(X,μ).
10. Произведения мер. Теоремы Фубини и Тонелли.
11. Комплексные меры. Вариация комплексной меры. Разложения Хана и Жордана
действительной меры. Теорема Лебега-Радона-Никодима и ее следствия.
12. Функции ограниченной вариации и их основные свойства. Меры Стилтьеса на
прямой. Дифференцируемость функций ограниченной вариации почти всюду.
13. Абсолютно непрерывные функции. Производная интеграла Лебега по верхнему
пределу. Формула Ньютона-Лейбница для абсолютно непрерывных функций.
9 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
9.1 Базовые учебники
1. В. И. Богачёв, О. Г. Смолянов. Действительный и функциональный анализ. РХД, 2009.
2. Б. М. Макаров, А. Н. Подкорытов. Лекции по вещественному анализу. БХВ--Петербург,
2011.
3. D. L. Cohn. Measure theory. Birkhäuser, 2013.
4. G. B. Folland. Real analysis. Wiley, 1999.
9.2 Дополнительная литература
1. В. И. Богачёв. Основы теории меры. РХД, 2003.
2. М. С. Вербицкий. Теория меры. http://verbit.ru
3. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа.
Наука, 1989.
4. А. А. Кириллов, А. Д. Гвишиани. Теоремы и задачи функционального анализа. Наука, 1988.
5. С. М. Львовский. Лекции по математическому анализу. МЦНМО, 2013.
6. С. Сакс. Теория интеграла. ИЛ, 1949.
7. П. Л. Ульянов, А. Н. Бахвалов, М. И. Дьяченко, К. С. Казарян, П. Сифуэнтес.
Действительный анализ в задачах. Физматлит, 2005.
8. П. Халмош. Теория меры. ИЛ, 1953.
9. D. H. Fremlin. Measure theory. Torres Fremlin, 2001--2009.
10. S. Lang. Real and functional analysis. Springer, 1993.
11. W. Rudin. Real and complex analysis. McGraw-Hill, 1986.
.