10-17Urok1

Урок 1. Определение комплексных чисел
План урока








Определение мнимой единицы и мнимых чисел.
Сложение и умножение комплексных чисел.
Противоположное комплексное число, вычитание комплексных чисел.
Деление комплексных чисел.
Сопряженные комплексные числа.
Свойства арифметических операций с комплексными числами.
Проверь себя. Определение комплексных чисел.
Домашнее задание
Цели урока
Определить понятие комплексного числа и арифметические операции на множестве комплексных чисел.
Определение мнимой единицы
Изучая квадратные уравнения, мы несколько раз отмечали, что действительных квадратных корней из отрицательного числа не существует.
Другими словами, уравнение x^2=b при b<0 не имеет решений среди действительных чисел. Однако, если рассматривать более широкое множество - множество комплексных чисел, то указанное уравнение будет иметь решение.
Множество комплексных чисел получается расширением множества действительных
чисел.
Сначала к действительным числам добавим новое число, которое называют мнимой единицей и обозначают буквой i.
Определение Числом i назовем такое число, для которого произведение числа i на число i
равно –1.
Сокращенно это равенство можно записать в виде i  i  i 2  1 .
Затем добавим числа вида 2i, (-5)i, i, и так далее, т.е. всевозможные произведения действительных чисел на мнимую единицу, которые назовем мнимыми числами. Будем по
определению считать, что мнимое число bi, где b - действительное число, равно произведению действительного числа b на мнимую единицу, то есть bi  b  i .
При этом также по определению полагаем, что
0i  0 ,
1 i  i .
Наконец, определим числа вида 1+3i, (–2)+7i, 5+(–4)i, и так далее, которые назовем комплексными числами. Будем по определению считать, что комплексное число a+bi, где a и
b действительные числа, равно сумме действительного числа a и мнимого числа bi.
Для удобства при записи комплексного числа a+bi с отрицательным a или отрицательным
b скобки опускают. Например, вместо (–5)+(–6)i можно написать –5–6i.
Множество всех комплексных чисел обозначается буквой C.
Определение. Два комплексных числа a1+b1i и a2+b2i равны тогда и только тогда, когда
одновременно a1=a2 и b1=b2.
Сложение и умножение комплексных чисел.
Арифметические операции над комплексными числами определяются так, чтобы сохранялись правила, которым подчиняются основные арифметические операции над действительными числами.
Сумму комплексных чисел определим так, чтобы можно было выполнять следующие
тождественные преобразования:
(a1+b1i)+(a2+b2i) = (a1+ a2)+(b1i+b2i) = (a1+ a2)+(b1i+b2 i) = (a1+ a2)+(b1+b2)i.
Окончательный результат принимают за определение суммы комплексных чисел.
Определение: Суммой комплексных чисел a1+b1i и a2+b2i называется число (a1+
a2)+(b1+b2)i.
Вопрос. Чему равна сумма чисел 2–3i и 3i–2?
(Ответ: 0.)
Произведение комплексных чисел определим так, чтобы можно было выполнять следующие тождественные преобразования:
(a1+b1i)(a2+b2i) =a1(a2+b2i)+(b1i)(a2+b2i) = a1a2+ a1(b2i)+(b1i)a2+(b1i)(b2i)=
= a1a2+(a1b2)i+(b1a2)i +(b1b2)i2=
=a1a2+(b1 b2)(–1)+ (a1b2+b1 a2)i= (a1a2–b1b2)+ (a1b2+b1a2)i.
Окончательный результат принимают за определение произведения комплексных чисел.
Определение: Произведением комплексных чисел a1+b1i и a2+b2i называется число
(a1a2–b1b2)+ (a1b2+b1a2)i.
Вопрос. Чему равно произведение чисел 3+4i и 3–4i?
(Ответ: 25)
В множестве C комплексных чисел число 0 имеет такие же свойства, как и в множестве
действительных чисел. На самом деле, пусть z = a+bi – произвольное комплексное число.
Тогда
z  0  (a  bi)  (0  0  i)  (a  0)  (b  0)i  a  bi  z ;
z  0  (a  bi )(0  0  i )  (a  0 - b  0)  (a  0  b  0)i  0  0  i  0 .
Противоположное комплексное число, вычитание комплексных чисел.
Пусть z=a+bi – произвольное комплексное число. Число –a–bi называется противоположным числу z и обозначается (–z). Числа z и –z являются взаимно противоположными, так
как число, противоположное числу (–z), равно z.
Свойство: Сумма двух взаимно противоположных комплексных чисел всегда равна нулю.
Пусть z = a1+b1i, u = a2+b2i.
Определение: Разностью z – u этих комплексных чисел называется корень t уравнения
z = u + t.
Нетрудно проверить, что t = z + (–u) является корнем.
Действительно, z   u    a1  b1i    a2  b2i    a1  a2   b1  b2  i
Отсюда u   z   u     a2  b2i     a1  a2   b1  b2  i  
  a2  a1  a2    b2  b1  b2  i  a1  b1i  z .
Следовательно, z  u  z  (u ).
Вопрос. Чему равна разность (–3+5i)–(7–5i)?
(Ответ: –10+10i.)
Деление комплексных чисел.
В множестве C комплексных чисел деление на ненулевое число определяется аналогично
тому, как это было сделано для действительных чисел.
Определение. Частным от деления комплексного числа z на ненулевое комплексное число
u называется корень t уравнения ut=z.
z
или z : u.
u
Один из способов вычисления частного непосредственно основан на его определении.
Частное от деления числа z на число u обозначается
Пример 1. Найти
3  2i
.
4 - 3i
Решение. Обозначим неизвестное частное t в виде x+yi, где x, y – действительные числа.
По определению выполняется равенство
(4–3i)(x+yi)=3+2i.
Записывая произведение чисел, стоящих в левой части, приходим к равенству
(4x+3y)+(4y–3x)i = 3+2i.
Приравнивая действительные части и мнимые части, получаем систему
4 x  3 y  3,

4 y - 3 x  2.
6
17
3  2i
6 17
 x  yi 
 i.
Решая систему, находим x  , y 
. Поэтому
25
25
4 - 3i
25 25
Вопрос. Как определить число, обратное ненулевому комплексному числу?
(Ответ: числом обратным к комплексному числу z называется решение уравнения z  t  1 .)
Сопряженные комплексные числа.
Для комплексного числа z = a+bi число a – bi называют комплексно–сопряженным числу z
и обозначают как z . Отметим, что число, комплексно–сопряженное числу z , равно z, а
поэтому числа a+bi и a – bi взаимно комплексно–сопряженные.
Вычисляя произведение z  z , получаем неотрицательное действительное число:
zz  (a  bi)(a  bi)  (a 2  b2 )  (ab  ab)i  a 2  b 2 .
Такое свойство удобно использовать при вычислении отношения двух комплексных чисел.
Пример 2. Найти
Решение.
1  2i
.
1 i
1  2i (1  2i)(1  i) (1  2)  (1  2)i
1 3


 
i.
2
2
1 i
(1  i)(1  i)
1 1
2 2
3  4i
?
2  3i
3  4i  3  4i  2  3i  6  17i


(Ответ:
.)
2  3i  2  3i  2  3i 
13
Вопрос. Чему равно отношение
Свойства арифметических операций с комплексными числами.
Арифметические операции, определенные на множестве C комплексных чисел, имеют такие же свойства, как и арифметические операции над действительными числами. Напомним эти свойства, обозначая комплексные числа буквами.
1. z  u  u  z .
2. ( z  u )  v  z  (u  v).
3. z  0  z.
4. Для каждого z существует единственное число –z такое, что z  ( z )  0 .
5. z  u  u  z .
6. ( z  u )  v  z  (u  v).
7. z 1  z.
8. Для каждого z  0 существует единственное число
1
1
такое, что z   1 .
z
z
9. z  (u  v)  z  u  z  v .
Наличие указанных свойств означает, что многие тождества, которые раньше доказывались для действительных чисел, автоматически остаются верными и для комплексных чисел. Например,
z 2  2 zu  u 2  ( z  u )2 ;
z 3 - u 3  ( z - u)( z 2  zu  u 2 ) ;
1  z  ...  z n-1 
z n 1
, если z  1 .
z 1
Определяя для комплексных чисел операции сложения и умножения, мы ориентировались
на то, чтобы сохранить известные свойства этих операций. Однако, это не означает, что
появившиеся в итоге определения суммы и произведения комплексных чисел автоматически обеспечивают выполнение свойств, перечисленных в предыдущем пункте. Для завершения изучения свойств операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел все основные свойства необходимо доказать, используя определения.
Мини исследование Доказать свойство 9.
Подсказка: Расписать левую и правую часть равенства по определению и убедиться, что
полученные выражения равны.
Проверь себя. Определение комплексных чисел.
Задание 1.
Выбрать из предложенных вариантов ответов правильные. Правильных ответов может
быть несколько. В этом случае надо выбрать все правильные.
Выбрать из предложенных вариантов комплексные числа, записанные в стандартной форме.
1. 2  3i .
2. 2  3i .
3. 1  1i .
4. cos    sin   i .
Ответ: 1, 4.
Какие из предложенных произведений будут действительными числами?
1.  2  3i  2  3i  .
2.
3.
 2  3i  2  3i  .
 4  2i  2  i  .
1  2i  2  i  .
4.
Ответ: 1, 3, 4.
Какие из предложенных произведений будут мнимыми числами?
1. 0  5  3i  .
2.
3.
1  i 1  i  .
1  i 1  i  .
1  i 3i  3 .
4.
Ответ: 1, 2, 4.
Пусть z и z сопряженные комплексные числа. Какие из перечисленных ниже чисел будут действительными
1. z  z .
2. z  z .
3. z z .
4. z : z .
Ответ: 1, 3.
Задание 2.
Выбрать правильные ответы.
Вычислить произведение 1  2i  2  i  .
1. 3  4i .
2. 4  3i .
3. 3i .
4. 3 .
Ответ: 2.
Вычислить значение  2  i  .
1. 27.
2. 27i.
3. 9  40i .
4. 7  24i .
Ответ: 4.
4
Вычислить значение
1. 1+i.
2. 1  3i .
3. 53  5i .
4. 15  5i .
Ответ: 3.
1i
2 i
.
Выбрать число обратное к 1  2i .
1
2

i.
1.
3 3
2 1
 i.
2.
3 3
2 1
 i.
3.
3 3
2 1
i .
4.
3
3
Ответ: 3.
Домашнее задание
1. Выполните действия:
а) (1  2i)2 - (2 - 3i) 2 ; б) (3- 4i)3  (-3- 4i)3 ;
в) (1+3i)(1+2i)2 (1+i)3 ; г) (2  i)6 - (2 - i)6 .
2. Выполните действия:
7 - 2i
5i
5i
3 - 4i
а)
; б)
; в)
; г)
;
3  4i
6i
6i
2i - 5
1
2i - 4
1
1+i 3
д)
; е)
; ж)
; з)
.
3
i2
(1  i )4
(-1+i 3)
3+i
3. Найдите сумму 1  i  i 2  i 3   i1995 .
z z u
4. Докажите, что
.

u | u |2
Словарь терминов
Мнимой единицей называется число определенное таким образом, что i 2  1 .
Мнимыми числами называется число вида bi  b  i , где b – действительное число, а i –
мнимая единица.
Комплексным числом называют числа вида a  bi , где a и b – действительные числа, а
i – мнимая единица.