Министерство Образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет

Министерство Образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Белорусский государственный педагогический университет
имени Максима Танка»
физический факультет
Кафедра математики
Методика изучения правильных многоугольников в
курсе планиметрии
Курсовая работа по методике преподавания математики
студентки 511 группы
физического факультета
Смирновой Милены Владимировны
Научный руководитель:
доцент, кандидат педагогических наук
Кузнецова Елена Павловна
Минск, 2008
Содержание
Введение ............................................................................................................................... 3
1 Анализ методической литературы по теме .................................................................. 4
1.1 Анализ содержания учебных пособий и методические особенности
преподавания темы «Правильные многоугольники»................................................... 4
1.2 Сравнительная таблица для учебных пособий разных авторов по теме
«Правильные многоугольники» ................................................................................... 11
2 Материалы для проверки усвоения темы «Правильные многоугольники»............. 14
2.1 Проверочные тесты для учеников.......................................................................... 14
2.2 Тесты для студентов по теме «Правильные многоугольники» .......................... 16
2.3. План-конспект урока 1: «Правильные многоугольники» ................................ 17
2.4 План-конспект урока 2 «Правильные многоугольники.
Математический диктант» ............................................................................................ 21
2.5 Статья «Решетки и правильные многоугольники» .............................................. 23
2.6 Динамические модели ............................................................................................ 24
2.7 Исторические сведения для учеников и студентов по теме
«Правильные многоугольники» ................................................................................... 26
Заключение ........................................................................................................................ 27
Список использованных источников .............................................................................. 28
2
Введение
В окружающем мире прекрасное сложно и многообразно. Восприятие
красоты
предполагает
знакомство
с
её
простейшими,
первичными
элементами. Изучение правильных многоугольников в планиметрии
позволит ликвидировать кажущийся отрыв математики от реальности,
поможет учащимся понять, что законы математики взяты из природы и
объясняют природу.
Курс изучения правильных многоугольников предполагает:
- изложение общих вопросов о правильных многоугольниках
(определение, теоремы, исторические сведения);
- доказательство теоремы о вписанной и описанной окружностях;
-
вывод
формулы
для
нахождения
элементов
правильного
многоугольника через радиус вписанной или описанной окружности;
- построение некоторых правильных многоугольников, вписанных в
окружность.
Кроме учебной цели достигаются и другие:
– воспитание эстетического вкуса, развитие элементов творчества.
- систематизация знаний учащихся о симметрии, знакомство с
различными видами симметрии живой и неживой природы, применением
симметрии.
- знакомство учащихся с делением отрезка в отношении золотого
сечения и его использованием в архитектуре, скульптуре, музыке,
живописи.
К данной теме существует большое количество дополнительной
литературы, публикуются статьи в периодических изданиях, имеется очень
много информации в Интернет-ресурсах. В данной курсовой работе
приводятся ссылки на эти материалы.
3
1 Анализ методической литературы по теме
1.1
Анализ содержания учебных пособий и методические
особенности преподавания темы «Правильные многоугольники»
В данной курсовой работе проводится анализ темы «Правильные
многоугольники» на примере учебных пособий разных авторов, в
частности:
1. «Геометрия», В.В.Шлыков, учебное пособие для 10 класса
учреждений, обеспечивающих получение общего среднего образования, с
русским языком обучения с 12-летним сроком обучения, 2-е издание, 2007.
2. «Геометрия, 10 кл», Н.В.Гвоздович, Т.П. Кубеко, учебное пособие
для 10 класса учреждений, обеспечивающих получение общего среднего
образования,
с
русским
языком
обучения
с
12-летним
сроком
обучения(базовый и повышенный уровни), 2006.
3. «Геометрия, 10», Н.М Рогановский, 2007(для 12-летки), а также
«Геометрия, 7-9»,1997(для 11-летки).
4. «Математика. Алгебра и геометрия», Г.Н. Солтан, 2006 год, учебное
пособие для 10 класса учреждений, обеспечивающих получение общего
среднего образования с 12-летним сроком обучения(базовый и повышенный
уровень).
Дополнительно:
1. «Геометрия», 7-9 классы, Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев
С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И.
2. «Геометрия», 7-9 классы, Шарыгин И.Ф.
Шлыков в учебном пособии для 10 класса выделил третью главу
«Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга.
Координатный метод», где посвятил весь первый параграф изучению
правильных многоугольников. Гвоздович также в главе под тем же
названием, как и у Шлыкова отдает этой теме отдельный параграф.
4
Аналогично поступает и Солтан. Рогановский в издании 2007 года для 12летний школы поступает иначе. А именно, в третьем разделе под названием
«Правильные многоугольники. Длина окружности. Площадь круга» он
выделил отдельные параграфы:
16
Определение
правильного
многоугольника.
Сумма
углов
многоугольника.
17 Центр правильного многоугольника.
18 Построение некоторых правильных многоугольников, вписанных в
окружность.
19 Выражение элементов правильного многоугольника через радиус
вписанной или описанной окружности.
Далее в этом разделе приводятся параграфы, связанные с длинной
окружности и площадью круга. В издании Рогановского 1997 года для 11летки, автор выделил отдельную десятую главу под названием «Правильные
многоугольники».
В конце учебного пособия за 2007 год в части
«Дополнительный материал» автор приводит раздел «Практические
применения теории правильных многоугольников».
Атанасян выделяет в главе «Длина окружности и площадь круга»
раздел «Правильные многоугольники», куда помещает 3 пункта:
- правильный многоугольник;
- окружность, описанная около правильного многоугольника;
- формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его
стороны и радиуса вписанной окружности.
Шарыгин поступает аналогично Шлыкову.
В учебном
пособии Шлыкова дано опрделение правильного
многоугольника в седующей формулировке: правильным многоугольником
называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все
стороны равны.
У Рогановского похожее определение: выпуклый многоугольник
называется правильным, если у него все стороны и все углы равны.
5
Гвоздович поступает так же как и Шлыков, только он не выделяет в
своем пособии эту формулировку именно как определение. Это слово у
него не присутствует. Это можно назвать недостатком, т.к. ученики лучше
реагируют на такого рода «якоря».
У Солтана аналогичная другим
учебным пособиям формулировка и он дает ее в самом начале параграфа
как «определение», выделенное другим шрифтом.
После определения Шлыков советует вспомнить ранее пройденный
материал, где была доказана теорема о том, что
сумма углов любого
выпуклого n-угольника равна 180°(n-2). Автор замечает, что каждый угол
правильного n-угольника равен
n 
180(n  2)
n
И дальше приводит пример:
для правильного шестиугольника  6 
180(6  2)
 120 ;
6
для правильного восьмиугольника  8 
180(8  2)
 135 .
8
Рогановский же выделяет два утвержения в следствия из теоремы о
сумме углов треугольника. И ниже доказывает одно из них, а второе
предлагает доказать самостоятельно. Гвоздович так же как и Шлыков
приводит эти утверждения в тексте не выделяя для них отдельного
следствия.
Таким образом, все авторы, кроме Солтана, дают этот материал. У
Солтана в теоретической части это не присутствует, но в конце параграфа в
списке задач он предлагает вывести формулу для вычисления угла
правильного многоугольника в зависимости от числа его сторон (задача
№288). Так же у него есть такие задачи, как № 296: найдите углы
правильного семиугольника.
Шлыков второй пункт посвящает окружности, описанной около
правильного многоугольника и дает определение: окружность называется
описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой
6
окружности. При этом многоугольник называется вписанным в окружность.
Далее формулирует теорему, которой дает название – об окружности,
описанной около правильного многоугольника. Формулировка такая: около
любого правильного многоугольника можно описать окружность и притом
только одну. Нужно отметить, что для учеников очень полезно давать
названия для теорем, а не просто присваивать им номера. Так им будет
проще ориентироваться в материале и запоминать его. Далее идет
доказательство этой теоремы.
Третий пункт посвящен окружности, вписанной в правильный
многоугольник. Так же формулируетя теорема, которая носит название – об
окружности, вписанной в правильный многоугольник: в любой правильный
многоугольник можно вписать окружность и притом только одну. И
теоремы и их названия выделены разными шрифтами, что очень полезно.
В учебном пособии Рогановского, автор приводит теорему и выделяет
в ней два пункта: 1. Около правильного многоугольника можно описать
окружность.
2. В правильный многоугольник можно вписать окружность.
И доказывает эти, фактически, две теоремы.
Отрицательным в таком виде подачи материала является то, что нет
названий к теоремам.
Гвоздович дает, так же как и Шлыков, две отдельные теоремы для
описанной и вписанной окружности и говорит их названия. Солтан
приводит формулировки и первой и второй, но доказывает только теорему о
описанную окружность. Теорему о вписанной окружности предлагает
доказать самостоятельно. И у него нет названий теорем.
Четвертый пункт у Шлыкова называется «Выражение элементов
треугольника через радиус вписанной или описанной окружностей», где
автор выделяет пять пунктов с соответствующими формулировками:
7
1) Площадь
S
правильного
n-угольника,
описанного
около
окружности, можем найти через периметр P и радиус r вписанной
1
2
окружности по формуле S  Pr .
2) Сторона
a n правильного n-угольника выражается через радиус r
вписанной окружности по формуле a n  2rtg
3) Сторона
180
.
n
a n правильного n-угольника выражается через радиус R
описанной окружности по формуле a n  2 R sin
180
.
n
4) Площадь S правильного n-угольника можем найти по формуле
S
1 2
360
R n sin
.
2
n
5) Радиус r вписанной окружности выражается через радиус R
описанной окружности по формуле r  R cos
180
.
n
Все 5 пунктов доказываются.
У Рогоновского в параграфе с таким же названием, как и у Шлыкова,
выделены только 3 пункта, первый и третий пункты такие же как и третий и
четвертый у Шлыкова, а второй формулируется следующим образом:
периметр Pn правильного n-угольника, вписанного в окружность
радиуса R, находится по следующей формуле Pn  2 Rn sin
180
.
n
Далее предлагается самостоятельно доказать формулы для сторон,
периметра и площади правильного n-угольника, описанного около
окружности радиуса r:
8
a n  2rtg
180
180
180
, Pn  2rntg
, S  r 2 ntg
.
n
n
n
У Гвоздовича без выделения отдельных пунктов, непосредственно в
тексте выводятся формулы:
S
1
180
180
180
Pr , a n  2 R sin
, r  R cos
, a n  2rtg
.
2
n
n
n
Так же у этого автора выводятся формулы для сторон правильного
треугольника, квадрата и правильного шестиугольника.
Солтан в своем учебном пособии разбирает 2 задачи, которые
формулирует следующим образом:
1) Найти длину стороны правильного многоугольника, если радиус
окружности, описанной около него, равен R.
2) Найти длину стороны правильного многоугольника, если радиус
окружности, вписанной в него, равен r.
Так же он приводит формулы для площадей с указаниями для
доказательства.
Теперь
рассмотрим
вопрос
о
построении
правильных
многоугольников. В учебном пособии Шлыкова решаются задачи:
1) Постройте
правильный
треугольник,
вписанный
в
данную
окружность.
2) Постройте правильный шестиугольник, сторона которого равна
данному отрезку a.
К задачам приведены 6 иллюстраций с пошаговой демонстрацией
построений.
Рогановский рассматривает большее количество задач, одна из
которых такая же как первая у Шлыкова, а остальные:
1) Постройте правильный шестиугольник, вписанный в окружность.
2) Постройте правильные десятиугольник и пятиугольник, вписанные
в данную окружность.
9
Задачу о построении квадрата, вписанного в окружность и выражении
его сторон через радиус описанной окружности предлагается решить
самостоятельно. Также Рогановский выводит 3 следствия:
1) Сторона правильного вписанного шестиугольника равна радиусу
описанной окружности.
2) Сторона правильного треугольника выражается через радиус
описанной окружности следующим образом: a3  R 3 .
3) Стороны
правильных
десятиугольника
и
пятиугольника,
вписанных в окружность радиуса R, выражаются через радиус следующим
образом:
a10  R
5 5
5 1
, a5  R
.
2
2
Отрицательным является то, что у автора к 3 решенным задачам
только 4 иллюстрации.
Гвоздович
рассматривает
задачи
о
построении
правильного
шестиугольника, сторона которого равна данному отрезку и дает короткие
указания. Так же он приводит такую задачу с указаниями к решению: дан
правильный n-угольник. Постройте правильный 2n-угольник. У этого
автора только одна иллюстрация ко второй задаче.
Солтан вообще в теоретическом материале не предлагает задач на
построения, но он дает их для самостоятельного решения в списке
упражнений
после
параграфа(задача
№306:
постройте
правильный
шестиугольник по отрезку, равному его меньшей диагонали, №321:
постройте правильный двенадцатиугольник, №331: постройте правильный
пятиугольник со стороной а и найдите его площадь) .
В учебном пособии Рогановского так же присутствует раздел,
посвященный
интересным
фактам
из
истории
развития
проблемы
построения правильных многоугольников. Это всегда вызывает большой
интерес у школьников и делает материал более разнообразным.
10
Таким образом, в разделе о построениях положительным является:
наличие большого количества иллюстраций с пошаговой демонстрацией
построений, выделение основных следствий из решенных задач, наличие
интересных исторических сведений.
1.2 Сравнительная таблица для учебных пособий разных авторов
по теме «Правильные многоугольники»
Наличие
В.В.
Н.В.
Н.М.
Г.Н.
Шлыков
Гвоздович
Рогановский
Солтан
отдельного
параграфа, пункта
+
+
+
+
+
_
+
+
+
+
+
_
+
+
+
_
Формулировка
«правильный
многоугольник»
Наличие формулы для
суммы
выпуклого
углов
n-
угольника
Наличие формулы для
угла правильного nугольника
Приводятся
ли
11
названия теорем об
описанной
и
вписанной
окружностях
+
+
-
-
+
+
+
-
+
+
+
+
+ +
+ +
- -
+
Доказательство
теоремы
об
описанной
окружности
Доказательство
теоремы о вписанной
окружности
1
2
Наличие S  Pr
доказательство
и
Наличие
a n  2rtg
180
и
n
доказательство
+ +
+ +
+ -
+
+
Наличие
a n  2 R sin
180
и
n
доказательство
+ +
+ +
+ +
+
+
Наличие
S
1 2
360
и
R n sin
2
n
доказательство
+ +
- -
+ +
+
-
12
Наличие
r  R cos
180
и
n
доказательство
+ +
+ +
- -
- -
- -
- -
+ +
- -
+
-
+
-
+
+
-
-
+ +
- -
-
Наличие
Pn  2 Rn sin
180
и
n
доказательство
Построение
правильного
треугольника
вписанного в данную
окружность
Построение
правильного
шестиугольника
по
стороне
Построение
правильных
угольника
угольника
10и
5-
-
-
13
2 Материалы для проверки усвоения темы «Правильные
многоугольники»
2.1 Проверочные тесты для учеников
Первый вариант.
1. Закончить фразу.
Многоугольник называется правильным, если …
2. Какие
из
перечисленных
многоугольников
являются
правильными? Выбрать и подчеркнуть.
а) равнобедренный треугольник;
б) квадрат;
в) ромб;
г) прямоугольник
3. Поставить знак «+» рядом с верным утверждением.
а) Окружность, вписанная в выпуклый многоугольник, и окружность,
описанная около него, имеют один и тот же центр.
б) Вписанная и описанная окружности, правильного многоугольника
имеют один и тот же центр.
4. Какая из предложенных формул выражает радиус вписанной в
многоугольник окружности:
а) R 
a
180 
2 sin
n
б) R 
a
180 
2tg
n
5. Точка О является центром правильного треугольника ABC. Чему
равна его сторона, если радиус описанной окружности равен 6 см?
а) 6 3 см;
б) 12 3 см;
в) 2 3 см;
г) 6 2 см.
6. В окружность вписан правильный шестиугольник с периметром 18
14
см. Найти радиус окружности.
а) 3 3 см;
б) 3 см;
в) 6 см;
г) 3 2 см.
Второй вариант.
1. Какие из предложенных многоугольников являются правильными?
Выбрать и подчеркнуть:
а) равносторонний треугольник;
б) параллелограмм;
в) равнобокая трапеция;
г) прямоугольник.
2. Закончить фразу.
Многоугольник называется описанным около окружности, если …
3. Поставить знак «+» рядом с верным утверждением.
а) Выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и
описанным около окружности.
б) Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в
окружность и описанным около окружности.
4. Какая из предложенных формул выражает радиус описанной
окружности:
а) R 
a
180 
2 sin
n
5. Треугольник
б) R 
DBC
a
180 
2tg
n
–
правильный.
Чему
равна
треугольника, если радиус вписанной окружности равен 5 см?
15
сторона
а) 5 3 см;
б) 10 3 см;
в) 10 см;
г)
10
3
см.
6. Окружность вписана в правильный шестиугольник с периметром
183 см. Найти радиус окружности.
а) 4,5 см;
б) 9 см;
в) 6 см;
г) 3 3 см.
2.2 Тесты для студентов по теме «Правильные многоугольники»
Вариант 1.
1. Закончить
предложения:
а)
«Правильным
многоугольником
называется …»
б) «Угол правильного шестиугольника равен…»
2. Перечислите все известные вам формулы для сторон и площади
правильного n-угольника.
3. Перечислите главные методические проблемы при изложении темы
«Правильные многоугольники»
4. Отметить важные отличия при изложении материала «Выражение
элементов
треугольника
через
радиус
вписанной
или
описанной
окружностей» разными авторами.
Вариант 2.
1. Закончить предложения: а) «Выпуклый многоугольник называется
правильным, если… »
б) «Угол правильного восьмиугольника равен…»
16
2. Перечислите все известные вам формулы для периметра и радиуса
вписанной окружности правильного n-угольника.
3. Перечислите главные методические проблемы при изложении темы
«Правильные многоугольники»
4. Отметить важные отличия при изложении материала «Построение
правильных многоугольников» разными авторами.
2.3. План-конспект урока 1: «Правильные многоугольники»
Класс: 10
Учебное пособие: Н.В.Гвоздович, Т.П.Кубеко «Геометрия, 10»
Цели:
1. Знать определения правильных многоугольников, уметь строить
правильный четырёхугольник, шестиугольник, 2n-угольник.
2. Воспитывать
аккуратность,
эстетичность,
умение
оценивать
результаты своего труда и труда одноклассников.
Тип урока – комбинированный.
Оборудование:
плакат-правильные
многоугольники;
чертёжные
получившиеся
результате
принадлежности;
Ход урока.
1. Целеполагание.
На
доске
изображены
рисунки,
в
комбинаций правильных многоугольников. Какой, на ваш взгляд, самый
удачный рисунок? Где можно использовать на практике подобные
комбинации многогранников? (Мoжно оформить таким орнаментом
потолочную плитку или паркетный пол).
17
Возможно ли каждому из вас построить свой орнамент? Что для этого
нужно уметь делать? (Уметь строить правильные многоугольники).
Построение правильных многоугольников с целью создания своего
орнамента – цель нашей работы сегодня.
2. Актуализация знаний.
Что называется правильным треугольником, четырёхугольником, nугольником?
(многоугольник
с
равными
сторонами
и
углами
–
правильный).
Чему
равна
сумма
углов
в
правильном
треугольнике,
четырёхугольнике, шестиугольнике, n-угольнике? (180º; 360º; 720º; 180º (n2))
Чему равен каждый угол в правильном n-угольнике?
Как построить биссектрису угла, серединный перпендикуляр к
отрезку с помощью циркуля и линейки? (Повторить построение, работая у
доски, учащиеся – в тетрадях)
3. Изложение нового.
1) Можно около
правильного треугольника описать окружность.
Сделаем это. Центр окружности лежит в точке пересечения серединных
перпендикуляров к сторонам треугольника.
Соединим
точки пересечения серединных перпендикуляров с
окружностью?
Какой получился многоугольник? (правильный шестиугольник)
Докажем это.
C
B
D
А
E
18
∆ АВС = ∆ ЕDС (по стороне и двум прилежащим к ней углам: АС =
ЕС; В треугольниках АВС и ЕDС перпендикуляры – серединные, значит
они – равнобедренные и А = С, С = Е, а т. к . АВС= СDЕ (на них
опираются равные углы А и С в ∆ АСЕ), то равны и половины этих дуг, а
значит, ВС = СD, и А = Е.
2) Измерим сторону получившегося шестиугольника и радиус
окружности. Они приблизительно равны. Позднее мы докажем, что R=а .
3)
Построим
серединный
окружность,
перпендикуляр
к
проведём
нему.
диаметр
Соединим
АС,
точки
проведём
пересечения
перпендикуляра и окружности. Получившаяся фигура ABCD - квадрат.
Докажем это. (Углы, опирающиеся на диаметр - прямые, стороны равны в
силу равенства, например, 4-х прямоугольных
треугольников по
двум
катетам).
4)Как построить правильный восьмиугольник? (Провести серединные
перпендикуляры к сторонам квадрата и соединить их точки пересечения и
окружности)
4.Закрепление.
Что необходимо для создания орнамента?
- Построить правильные многоугольники, зная, что R=а ;
- Восьмиугольник строится с помощью серединных перпендикуляров
к сторонам квадрата, вписанного в окружность.
Построим вначале шаблоны правильных многоугольников и начнём
построение орнамента.
19
Пример орнамента:
5.Задание на дом.
Закончить построение орнамента.
№384(а,б).(Н.В.Гвоздович)
Анализ урока.
Данный урок является первым уроком по теме «Правильные
многоугольники»,
на нём вводятся термины, даётся их определения
(многоугольник, правильный многоугольник).
Цели урока:
1. Знать определения правильных многоугольников, уметь строить
правильный четырёхугольник, шестиугольник, 2n-угольник.
2. Воспитывать
аккуратность,
эстетичность,
умение
оценивать
результаты своего труда и труда одноклассников.
Структура
урока
–
традиционна.
На
этапе
целеполагания
мотивационной основой деятельности учащихся служит её практическая
направленность (научится строить правильные многоугольники, чтобы
создать красивый, оригинальный орнамент).
В устной работе первой части урока запланировано решение задач,
направленных на активизацию мысли ребят. Дети поставлены в условия, в
которых вынуждены анализировать, сравнивать, делать выводы. Эта часть
урока направлена на повторение знаний, необходимых для изучения нового
материала.
На этапе изложения нового материала
мотивационной основой
работы учащихся служит доступный уровень сложности, а также наличие
20
внутрипредметных связей (Построение серединного перпендикуляра к
отрезку, построение треугольника) и межпредметных связей (с черчением).
На всех этапах урока учитываются психологические особенности
познавательной деятельности учащихся. В связи с этим применяется
наглядный материал (плакат с изображением правильных многоугольников,
заготовленные орнаменты из правильных многоугольников, всё, что
выполняют
учащиеся
в
тетрадях,
демонстрируется
на
доске
с
параллельными комментариями хода действий). Учащиеся применяют свой
жизненный опыт, отвечая на вопрос, где используются комбинации
правильных многоугольников.
Результатом работы на данном уроке явились сделанные картонные
модели правильных многоугольников, необходимые для выполнения
домашней работы – сделать макет, например, паркета или потолочной
плитки.
2.4 План-конспект урока 2 «Правильные многоугольники.
Математический диктант»
Класс: 10
Учебное пособие: В.В. Шлыков
1. Проверка д/з.
2. Математический диктант (на листочках; 10 – 15 минут).
1) Могут ли стороны выпуклого шестиугольника иметь длины:
1, 2, 3, 4, 5 и 14 см [Да] | 1, 2, 3, 4, 5 и 16 см [Нет]
2) Найдите сумму углов выпуклого
32 – угольника [5400] | 17 – угольника [2700]
3) Найдите количество сторон выпуклого многоугольника, сумма
углов которого равна: 9000 [52] | 18000 [102]
4) Укажите общий вид выпуклых многоугольников, у которых все
внешние углы:
21
тупые [остроугольные треугольники] | прямые [прямоугольники]
5) Укажите общий вид выпуклых многоугольников, у которых сумма
внутренних углов
равна сумме внешних [четырехугольники] | меньше суммы внешних
[треугольники], взятых по одному при каждой вершине.
6) Существует ли выпуклый многоугольник, у которого:
три острых и один прямой угол? [Нет]| три прямых и один острый
угол? [Нет]
7) Существует ли выпуклый n – угольник, у
которого:
65 диагоналей? [Да, n = 13] | 27 диагоналей? [Да, n =
9]
3. Новый материал и устные упражнения.
Определение.
Многоугольник
называется
правильным, если у него равны все стороны и равны все углы.
1) Примеры? [квадрат; равносторонний треугольник]
Рис. 1
2) Существуют ли неправильные многоугольники с
равными а) сторонами; б) углами? [Да; а) ромб; б) прямоугольник]
3)
Каким
свойством
обладают
внешние
углы
правильных
многоугольников? [равны]
4) Дан правильный 2n – угольник (см. рис. 1). Докажите, что если его
вершины соединить через одну, то получится правильный n – угольник
[равенство треугольников].
5) Выведите формулы для вычисления величин внутреннего и
внешнего углов правильного n – угольника [n =
180  ( n  2)
360 
; n =
]
n
n
6) Является ли какая - либо из этих последовательностей прогрессией?
[Нет; вид формул]
7) Найдите количество сторон правильного n – угольника, если его
внешний угол равен: а) 15; б) 75 [а) 24; б) не существует]
22
8) Найдите количество вершин правильного n – угольника, если его
внутренний угол равен а) 172; б) 100 [а) 45; б) не существует]
9) Найдите количество углов правильного n – угольника, если сумма
его трех внешних и пяти внутренний углов равна 756 [5n + 3n = 756  n
= 5]
Домашнее задание: Выучите формулы n и n; докажите, что (n) –
возрастающая последовательность, а (n) – убывающая. Медиана АА1,
высота ВВ1 и биссектриса СС1 треугольника АВС пересекаются в одной
точке. Докажите, что длины a, b и c соответствующих сторон треугольника
удовлетворяют равенству: (а2 + b2 – c2)(a + b) = 2ab2.
2.5 Статья «Решетки и правильные многоугольники»
К курсовой работе прилагается распечатанная статья из журнала
«Квант» №12, которая будет интересна для проведения факультативных
занятий по теме «Правильные многоугольники».
В этой статье разбираются три тесно связанные между собой вопроса.
1) Можно ли расположить правильный n-угольник на листе
линованной бумаги - в прямую или косую клетку – так, чтобы его вершины
попали в точки пересечения линий?
2) При каких углах α, соизмеримых с полным – то есть содержащих
целое или рациональное число градусов, значения синуса, косинуса или
тангенса α рациональны?
3) В какие положения может попасть центр правильного n-угольника,
который разрешается перекатывать по плоскости?
23
2.6 Динамические модели
Модель «Правильный многоугольник»
Модель
предназначена
для
изучения
симметрии
правильных
экране
появляется
правильный
многоугольников.
При
загрузке
многоугольник
модели
(8-угольник)
на
с
центром
в
точке
O,
разбитый
на
равнобедренные треугольники с острым углом φn, количество которых
равно числу вершин многоугольника. С помощью кнопок в нижней части
экрана можно выбирать количество вершин многоугольника. Один из
треугольников выделен серым цветом, вращая его курсором мыши вокруг
точки O, можно наглядно наблюдать, что исходный многоугольник состоит
из равнобедренных треугольников, получающихся из исходного поворотом
вокруг центра (точки O) на определённый угол, равный 360o/n.
Кнопка "Сброс" в правом нижнем углу окна возвращает модель в
исходное состояние.
Модель «Теорема о центре правильного многоугольника»
Модель предназначена для иллюстрации доказательства теоремы о
центре правильного многоугольника.
Теорема. Если все стороны многоугольника равны друг другу и все
его углы равны друг другу, то вокруг этого многоугольника можно описать
окружность и в него можно вписать окружность. Центры этих окружностей
совпадают.
24
Исходно в окне модели отображается правильный пятиугольник
ABCDE. Кнопки в нижней части экрана позволяют менять n- число вершин
многоугольника. Точки A, B - активны. "Клик" курсором мыши на этих
точках строит биссектрисы углов A и B, которые пересекутся в некоторой
точке O. Точка O также активна. "Клик" по этой точке соединяет ее
отрезками со всеми вершинами многоугольника ABCDE. Покажем, что эти
отрезки разобьют многоугольник на равные друг другу равнобедренные
треугольники. Треугольник OAB равнобедренный, так как его углы,
прилежащие к стороне AB равны (как половины равных углов A и B
многоугольника ABCDE). Треугольник OBC равен треугольнику OAB
(BC=BA, сторона OB - общая, и угол OBA равняется углу OBC, т.к. BO биссектриса угла B). Потому треугольник OBC тоже равнобедренный и
OB=OC, а угол OBC равен углу OCB. Значит угол OCB равен половине угла
C и луч OC - биссектриса угла C. Повторяя эти рассуждения, убеждаемся,
что треугольники OCD, ODE и OEA - равнобедренные треугольники,
равные треугольнику OAB. Поэтому окружность с центром в точке O и
радиусом OA описана вокруг многоугольника ABCDE, а окружность с
центром O и радиусом OH (OH - высота треугольника OAB) вписана в него.
После "клика" по точке O треугольник OAB выделяется цветом,
становится активным и способным вращаться вокруг своей вершины O.
"Цепляя" этот треугольник курсором мыши и последовательно совмещая с
другими
треугольниками,
можно
убедиться
в
его
равенстве
с
треугольниками: OBC, OCD и т.д. При этом в нижней части окна модели
появляются кнопки, с помощью которых можно отображать и скрывать
вписанную и описанную вокруг многоугольника окружности.
Кнопка "Сброс" в правом нижнем углу окна возвращает модель в
исходное состояние.
25
2.7 Исторические сведения для учеников и студентов по теме
«Правильные многоугольники»
Очень важной проблемой для учителя математики часто становится
проблема заинтересованности учениками предметом. Тема «Правильные
многоугольники» дает прекрасную возможность показать учащимся, что
математика – это не «сухая» наука. Очень много научной и художественной
литературы предлагают на своих страницах информацию из истории,
которая обязательно должна стать интересной детям и, возможно, дать
повод для дальнейшего углубленного изучения математики.
Дополнительный материал, который можно использовать как на
уроках математики, так и на дополнительных занятиях, приведен в
приложении к курсовой работе. Так же будет очень эффективной
организация
уроков
математики
совместно
с
уроками
мировой
художественной культуры, литературы, музыки и истории. Материал может
быть полезен для проведения школьных конференций, олимпиад, конкурсов
и праздников.
26
Заключение
Таким образом, в курсовой работе проведен анализ учебных пособий
разных
авторов,
в
частности:
В.В.Шлыков,
Н.В.Гвоздович,
Н.М
Рогановский, Г.Н. Солтан. Существуют следующие методические проблемы
при изучении данной темы:
1) проблема наглядности, т.е. данная тема требует большого
количества
иллюстраций,
демонстраций
графических
построений,
динамических моделей преобразований;
2) проблема рассмотрения большого количества разных типов задач в
условиях ограниченности учебного времени и возможностей учебного
пособия;
3) проблема заинтересованности учеников темой. Имеется очень
много дополнительной литературы и интересных исторических сведений по
теме, которые, если авторы не предлагают их в своих учебных пособиях,
учитель должен преподносить на уроке , по возможности, в начале либо в
процессе изучения темы.
4) проблема развития эстетического вкуса и творческого мышления.
Также приведена подборка интересной исторической информации о
правильных многоугольниках, которую можно предлагать ученикам
на
уроке и использовать в качестве пособия для проведения факультативных
занятий.
Предлагаются примеры планов-конспектов уроков и самостоятельных
работ, которые могут быть использованы студентами во время практики в
школе.
К курсовой работе прилагается диск с разработанными презентацией
и flash-программами по теме, с помощью которой можно проводить очень
интересные уроки, соответствующие современным требованиям.
27
Список использованных источников
1. Шлыков, В. В. Геометрия : учеб. пособие для 10-го кл. учреждений,
обеспечивающих получение общ. сред. образования, с рус. яз.
обучения с 12-летним сроком обучения (базовый и повышенный уровни) /
В. В. Шлыков. — 2-е изд. — Минск :Нар. асвета, 2007. — 174 с. : ил.
2. Гвоздович Н.В. Геометрия: учебное пособие для 10 класса
учреждений, обеспечивающих получение общего среднего образования, с
русским языком обучения с 12-летним сроком обучения(базовый и
повышенный уровни)/Н.В. Гвоздович, Т.П.Кубеко.-Мн.: Нар. асвета, 2006.125с. : ил.
3.Геометрия:
учреждений
с
учеб.пособие
бел.яз.
обучения(углубл.уровень)
для
10-го
кл.общеобразовательных
обученияс
/
12-летним
Н.М.Рогоновкий,
А.М.
сроком
Рогоновкая,
Е.И.Тавгень; пер. с рус. яз. Л.Э. Гораниной. – Минск: Нар. асвета, 2007. –
335 с.: ил.
4. Рогановский Н.М. Геометрия: Учебник для 7-9-х кл. общеобразоват.
шк. с углубл. изучением математики.-2-е изд.,перераб.-Мн.: Нар.асвета,
1997.-574 с.: ил.
5. Солтан Г. Н.Математика : Алгебра и геометрия : учеб. пособ. для
10-го кл.
учреждений, обеспечивающих получение общ. сред. образования, с
рус. яз. обучения с 12-летним сроком обучения (базовый и повыш. уровни) /
Г. Н. Солтан, А. Е. Солтан; под ред.Н. А. Лиходеда. — Минск : Нар. асвета,
2006. — 303 с. : ил.
6. Геометрия: учебник для
Бутузов,
С.Б.
Кадомцев,
Э.Г
7-9-х кл./ Л.С Атанасян,
Позняк,
И.И.
Юдина.-
15-е
В.Ф
изд.,
М.:"Просвещение", 2005.-340с.
7
Шарыгин
И.Ф.
Геометрия:
учебник
для
7-9-ч
общеобразоват.шк./И.Ф.Шарыгин.-8-е изд.-М.: Дрофа, 2007.-197с.: ил.
28
кл.
8. Журнал «Квант», 1973, № 8.
9. Журнал «Квант», 1974, №12.
10. Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Выш. школа, 1989.
29