Основания геометрии - Учебно

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра алгебры и математической логики
Шармин В.Г.
ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИЯ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов очной формы обучения
НАПРАВЛЕНИЕ 050100.62
"Педагогическое образование
профиль подготовки "Математическое образование".
Тюменский государственный университет
2013
"
Шармин В.Г. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИЯ. Учебно-методический
комплекс. Рабочая программа для студентов направления 050100.62
"Педагогическое образование ", профиль подготовки "Математическое
образование", форма обучения - очная. Тюмень, 2013, 19 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с
учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю
подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ:
«Основания геометрии»
[электронный ресурс] / Режим доступа:
http://www.umk3.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики.
Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного
университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: заведующий кафедрой алгебры и
математической логики доктор физико-математических наук, профессор
В.Н.Кутрунов
© Тюменский государственный университет, 2013.
© Шармин В.Г., 2013.
2
1. Пояснительная записка
1.1.
Цели и задачи дисциплины
Цели изучения дисциплины «Основания геометрии»
Формирование общекультурных и профессиональных компетенций студентов,
обучающихся по направлению «Педагогическое образование» на основе изучения
дисциплины.
Задачи изучения дисциплины «Основания геометрии»
 формирование у студентов системы представлений о понятиях и фактах
дисциплины «Основания геометрии»;
 формирование у студентов системы представлений о геометрических методах и
возможностях их применения;
 формирование представлений о важности (необходимости) изучения геометрии
(геометрических знаний, качественного геометрического образования) для
осуществления будущей профессиональной деятельности;
 воспитание профессионально значимых личностных качеств студентов;
 формирование у студентов понимания о возможностях геометрии для развития
универсальных учебных действий учащихся.
1.2. Место дисциплины в структуре ПрОП
Дисциплина «Основания геометрии» является дисциплиной цикла Б 3 –
Дисциплины профессионального цикла (вариативная часть, дисциплины по выбору).
Для изучения дисциплины «Основания геометрии» студент должен:
Знать
 определения и свойства геометрических фигур, изучаемых в школьном курсе
математики;
 основные формулы, используемые для преобразования алгебраических и
трансцендентных выражений;
 основные факты дисциплины «Геометрия»;
 различные методы доказательства математических утверждений.
Уметь
 работать с учебным математическим текстом (анализировать, извлекать
необходимую информацию),
 точно и грамотно выражать свои мысли с применением математической
терминологии и символики,
 решать задачи базового уровня сложности школьных курсов геометрии,
аналитической геометрии;
 проводить логические обоснования математических утверждений.
Владеть:
 навыками устных и письменных вычислений, преобразований алгебраических и
трансцендентных выражений.
 навыками представления информации;
 навыками интерпретации информации в различных формах ее представления.
Дисциплина «Основания геометрии» является предшествующей для изучения
следующих дисциплин подготовки бакалавра по направлению «Педагогическое
образование» (профиль «Математическое образование»):
 Методика обучения и воспитания (методика преподавания геометрии).
 Практикум по решению математических задач.
 Курсы по выбору студента.
3
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
(модуля):
В результате изучения дисциплины «Основания геометрии» базового цикла
(вариативная часть, курсы по выбору) по направлению подготовки 050100.62
"Педагогическое образование " профиль подготовки "Математическое образование» с
квалификацией (степенью) “бакалавр” в соответствии с целями основной образовательной
программы и задачами профессиональной деятельности, указанными в ФГОС ВПО,
должен обладать следующими компетенциями:
4
КАРТА КОМПЕТЕНЦИЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ»
НАПРАВЛЕНИЕ 050100.62 – ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
код
профиль подготовки: «Математическое образование»
Формулировка
компетенции
Результат обучения в
целом
ОК-1
Знает методы и приемы
работы с различными
источниками
информации
владеет культурой
мышления,
способен к
обобщению,
анализу,
восприятию
информации,
постановке цели и
выбору путей её
достижения
Умеет находить
необходимую
информацию и
применять ее для
решения задач
Владеет методами и
приемами работы с
различными
источниками
информации
Результаты обучения по уровням освоения материала
минимальный
базовый
повышенный
Знает методы и
приемы работы с
учебником
Знает методы и
приемы работы с
различными
печатными
источниками
информации
Умеет находить
необходимую
информацию
Умеет находить
необходимую
информацию и
применять ее для
решения стандартных
задач
Владеет методами и
приемами работы с
учебником
по
вузовскому
курсу
геометрии
5
Знает методы и
приемы работы с
различными
источниками
информации
Умеет находить
необходимую
информацию и
применять ее для
решения любых задач,
обосновывать и
пояснять выбор
Владеет методами и Владеет
приемами работы с самостоятельно
различными
использует общие и
печатными
самостоятельно
источниками
созданные методы и
информации
приемы работы с
различными
источниками
информации
Виды
занятий
Лекции,
практическ
ие занятия
Лекции,
практическ
ие занятия
Лекции,
практическ
ие занятия
Оценочн
ые
средства
Доклад
на
семинар
е,
контрол
ьная
работа
Доклад
на
семинар
е,
контрол
ьная
работа
Доклад
на
семинар
е,
контрол
ьная
работа
ОК-6
Знает словесную и
символическую запись
геометрических
понятий и утверждений
способен
осуществлять
логически верно
устную и
письменную речь
Умеет сообщать идеи,
проблемы и решения
задач, как
специалистам, так и
неспециалистам
Владеет методами и
приемами письменных
и устных сообщений об
основных понятиях
геометрии,
доказательствах
утверждений и
решениях
алгоритмических задач
Знает основные
понятия геометрии и
запоминает их в
словесной форме
Знает и запоминает
словесную и символическую запись геометрических понятий и
утверждений
Знает , запоминает и
воспроизводит словесную и символическую запись геометрических понятий
и утверждений
Умеет сообщать идеи,
проблемы и решения
простейших задач,
как специалистам, так
и неспециалистам
Умеет сообщать идеи,
проблемы и решения
стандартных задач,
как специалистам, так
и неспециалистам,
используя диапазон
качественной и
количественной
информации
Умеет сообщать идеи,
проблемы и решения,
как специалистам, так
и неспециалистам,
используя диапазон
качественной и
количественной
информации
Владеет методами и
приемами
письменных и устных
сообщений об основных понятиях
геометрии, доказательствах простейших утверждений
и решениях алгоритмических задач
Владеет методами и
приемами
письменных и устных
сообщений о
понятиях геометрии,
доказательствах
утверждений и
решениях
стандартных задач
Владеет методами и
приемами
письменных и устных
сообщений о
понятиях геометрии,
доказательствах
утверждений и
решениях задач
повышенной
сложности
6
Лекции,
практическ
ие занятия
Доклад
на
семинар
е,
контрол
ьная
работа
Лекции,
практическ
ие занятия
Доклад
на
семинар
е,
контрол
ьная
работа
Лекции,
практическ
ие занятия
Доклад
на
семинар
е,
контрол
ьная
работа
ОПК -2
Знает об использовании
практических и
теоретических знаний
по геометрии в
практической
деятельности
способен
использовать
систематизированн
ые теоретические и
практические
знания
гуманитарных,
социальных и
экономических
наук при решении
социальных и
профессиональных
задач
Умеет использовать
умения и ключевые
компетенции для
выполнения задач,
когда действия
регламентированы
четкими правилами,
описывающими
процедуры и стратегии
Владеет навыками
решения проблемы,
используя
предоставленную
информацию
Знает базовые
понятия геометрии,
диапазон знаний
ограничен фактами и
базовыми идеями
Знает об
использовании
практических и
теоретических знаний
по геометрии в
практической
деятельности
Умеет использовать
умения и ключевые
компетенции для
выполнения задач,
когда действия
регламентированы
четкими правилами,
описывающими
процедуры и
стратегии с внешней
помощью
Умеет использовать
умения и ключевые
компетенции для
выполнения задач,
когда действия
регламентированы
четкими правилами,
описывающими
процедуры и
стратегии
Владеет навыками
решения проблемы,
используя
предоставленную
информацию
Владеет навыками
решения проблемы,
используя хорошо
известные источники
информации
7
Знает об
использовании
практических и
теоретических знаний
по геометрии в
практической и
теоретической
деятельности
Умеет использовать
диапазон умений в
области для
выполнения задач и
демонстрировать
личную
интерпретацию
посредством отбора и
адаптации методов,
инструментов и
материалов
Владеет навыками
решения проблемы,
используя хорошо
известные источники
информации,
принимая во
внимание социальные
аспекты
Лекции,
практическ
ие занятия
Доклад
на
семинар
е,
контрол
ьная
работа
Лекции,
практическ
ие занятия
Доклад
на
семинар
е,
контрол
ьная
работа
Лекции,
практическ
ие занятия
Доклад
на
семинар
е,
контрол
ьная
работа
ПК - 1
Знает необходимый
фактический материал
по геометрии для
реализации учебных
программ базовых и
элективных курсов
способен
реализовывать
учебные
программы
базовых и
элективных курсов
в различных
образовательных
учреждениях
Умеет решать задачи и
доказывать
утверждения по
геометрии для
реализации учебных
программ базовых и
элективных курсов
Владеет методами
решения задач и
способами
доказательства
утверждений для
реализации учебных
программ базовых и
элективных курсов
Знает необходимый
фактический материал
по геометрии для
реализации учебных
программ базовых и
элективных курсов в
непрофильных
классах
Знает необходимый
фактический материал
по геометрии для
реализации учебных
программ базовых и
элективных курсов в
средней школе
Умеет решать задачи
и доказывать
утверждения по
геометрии для
реализации учебных
программ базовых и
элективных курсов в
непрофильных
классах
Умеет решать задачи
и доказывать
утверждения по
геометрии для
реализации учебных
программ базовых и
элективных курсов в
средней школе
Владеет методами
решения задач и
способами
доказательства
утверждений для
реализации учебных
программ базовых и
элективных курсов в
непрофильных
классах
Владеет методами
решения задач и
способами
доказательства
утверждений для
реализации учебных
программ базовых и
элективных курсов в
средней школе
8
Знает необходимый
фактический материал
по геометрии для
реализации учебных
программ базовых и
элективных курсов в
различных
образовательных
учреждениях
Умеет решать задачи
и доказывать
утверждения материал
по геометрии для
реализации учебных
программ базовых и
элективных курсов в
различных
образовательных
учреждениях
Владеет методами
решения задач и
способами
доказательства
утверждений для
реализации учебных
программ базовых и
элективных курсов в
различных
образовательных
учреждениях
Лекции,
практическ
ие занятия
Доклад
на
семинар
е,
контрол
ьная
работа
Лекции,
практическ
ие занятия
Доклад
на
семинар
е,
контрол
ьная
работа
Лекции,
практическ
ие занятия
Доклад
на
семинар
е,
контрол
ьная
работа
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
 определения понятий и формулировки ключевых теорем каждого раздела
дисциплины;
 математические структуры и взаимосвязи между ними;
 различные способы построения математических теорий;
 типизацию задач по теме «Измерения величин» и различные методы их
решения;
 теоретические основы школьного курса геометрии;
 строение дисциплины «Основания геометрии» и связь между отдельными ее
разделами;
 межпредметные связи дисциплины «Основания геометрии».
Уметь:
 демонстрировать освоенные знания логично и последовательно;
 приводить примеры и контрпримеры в процессе изложения геометрических
вопросов (материала);
 аргументировать выбор метода доказательства математического факта или
метода решения задачи;
 применять геометрические знания к решению проблем, возникающих в реальной
жизни.
Владеть:
 терминологией предметной области «Основания геометрии»;
2.
Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр: пятый. Форма промежуточной аттестации - экзамен. Общая трудоемкость
дисциплины составляет четыре зачетных единицы; 144 часа.
Таблица 1.
Вид учебной работы
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа (всего)
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
Общая трудоемкость
час
зач. ед.
9
Всего
часов
68
5
семестр
68
34
34
34
34
76
76
экзамен
144
144
4
3.
Тематический план.
Таблица 2.
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в час.
Тема
1
2
Модуль 1
1.1. Общие вопросы
аксиоматики
1.2 Построение
евклидовой
геометрии по
Вейлю.
Исследование
аксиоматики
Г.Вейля
1.3 Аксиоматика
Д.Гильберта.
Исследование
аксиоматики
Д.Гильберта.
1.4 Обзор
аксиоматик
школьных
курсов
геометрии.
Всего
Модуль 2
2.1. Исторический
очерк
обоснования
геометрии.
2.2. Основные
факты
геометрии
Лобачевского.
2.3 Модели
планиметрии
Лобачевского.
Всего
недели семестра
№
Лекц
ии*
В том
числе
в интерактивной
форме
Итого
количество
баллов
7
8
9
8
2
0-6
3
4
Семинарские
(практические)
занятия*
5
1-2
4
4
3-4
4
4
10
18
6
0-10
5-6
4
4
6
14
4
0-6
7
2
2
16
20
4
0-12
14
14
32
60
16
0-34
8
2
2
4
8
4
0-6
9-10
4
4
8
16
6
0-13
11-12
4
4
8
16
6
0-13
10
10
20
40
16
0-32
10
Самостоятельная
работа
Итого
часов
по
теме
6
Модуль 3
3.1. Длины,
площади,
объемы.
3.2 Теория величин
Всего
Итого (часов,
баллов):
В том числе в
интерактивной
форме
13-16
8
8
20
36
12
0-30
17
2
10
34
2
10
34
4
24
76
8
44
144
4
16
8
0-4
0-34
0-100
10
12
26
48
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 3.
№ темы
Устный опрос
коллоквиумы
ответ на семинаре
Доклад с
презентацией
контрольная
работа
Итого количество
баллов
Модуль 1
1.1
0-4
0-2
0-6
1.2
0-8
0-2
0-10
1.3
0-4
0-2
0-6
1.4
0-2
0-10
0-12
Всего
Модуль 2
2.1
0-16
0-8
0-10
0-34
0-2
0-2
0-2
0-6
2.2
0-7
0-2
0-4
0-13
2.3
0-7
0-2
0-4
0-13
Всего
Модуль 3
3.1
0-16
0-6
0-10
0-32
0-6
0-24
0-30
3.2
0-2
0-2
0-4
Всего
0-8
0-26
0-34
0-26
0-100
Итого
0-32
0-22
0-20
11
Планирование самостоятельной работы студентов
Таблица 4.
№
Модули и темы
Модуль 1
1.1 Общие вопросы
.
аксиоматики
Виды СРС
обязательные
Домашние
задания
1.2
Построение
евклидовой
геометрии по Вейлю.
Исследование
аксиоматики
Г.Вейля
Домашние
задания
1.3
Аксиоматика
Д.Гильберта.
Исследование
аксиоматики
Д.Гильберта.
Домашние
задания
1.4
Обзор аксиоматик
школьных курсов
геометрии.
Подготовка
доклада
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1 Исторический очерк
.
обоснования
геометрии.
Подготовка
доклада.
Домашние
задания.
дополнительные
Чтение
дополнительной
литературы;
Знакомство с
содержанием
электронных
источников.
Чтение
дополнительной
литературы;
Знакомство с
содержанием
электронных
источников.
Чтение
дополнительной
литературы;
Знакомство с
содержанием
электронных
источников.
Чтение
дополнительной
литературы;
Знакомство с
содержанием
электронных
источников.
Чтение
дополнительной
литературы;
Знакомство с
содержанием
электронных
источников.
12
Неделя
семестра
Объем
часов
1-2
Колво
баллов
0-6
3-4
10
0-10
5-6
6
0-6
7
16
0-12
32
0-34
4
0-6
8
2.2
.
Основные факты
геометрии
Лобачевского.
Подготовка
доклада.
Домашние
задания.
2.3
Модели
планиметрии
Лобачевского.
Подготовка
доклада.
Домашние
задания.
Всего
Модуль 3
3.1 Длины, площади,
.
объемы.
3.2
Теория величин
Чтение
дополнительной
литературы;
Знакомство с
содержанием
электронных
источников.
Чтение
дополнительной
литературы;
Знакомство с
содержанием
электронных
источников.
Чтение
дополнительной
литературы;
Знакомство с
содержанием
электронных
источников.
Чтение
дополнительной
литературы;
Знакомство с
содержанием
электронных
источников.
Домашние
задания
Домашние
задания
9-10
8
0-13
11-12
8
0-13
20
0-32
0-6
20
0-30
0-12
4
0-4
24
76
0-30
0-100
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
4.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
п/п
1.
2.
3.
Наименование обеспечиваемых (последующих)
дисциплин
Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.1
и +
Методика обучения
воспитания.
Практикум по решению
математических задач.
Курсы
по
выбору +
студента.
1.2
+
1.3
+
1.4
+
+
+
+
+
+
+
13
2.1
+
2.2
2.3
3.1
+
3.2
+
+
+
+
+
Содержание дисциплины.
Модуль 1.
1.1.Общие вопросы аксиоматики
Род структур. Основные математические структуры курса геометрии. Теория рода
структур. Эквивалентность теорий. Модель системы аксиом. Основные свойства системы
аксиом (непротиворечивость, минимальность, полнота).
1.2. Построение евклидовой геометрии по Вейлю. Исследование аксиоматики Г.Вейля
Система аксиом Г.Вейля. Определение геометрических понятий в схеме Вейля.
Доказательство теорем с помощью в системе аксиом Г.Вейля. Векторный метод решения
на плоскости и в пространстве. Исследование системы аксиом Г.Вейля.
1.3. Аксиоматика Д.Гильберта. Исследование аксиоматики Д.Гильберта.
Система аксиом Д.Гильберта. Абсолютная геометрия. Следствия из аксиом. Исследование
системы аксиом Д.Гильберта. Эквивалентность систем аксиом Г.Вейля и Д.Гильберта.
1.4. Обзор аксиоматик школьных курсов геометрии.
Аксиоматика учебника Л.С. Атанасяна и др. Аксиоматика в учебнике А.В. Погорелова.
Аксиоматика в учебнике
А.Н. Колмогорова.
Аксиоматика в учебнике
А. Д.
Александрова.
Модуль 2.
2.1. Исторический очерк обоснования геометрии.
Основные этапы истории развития геометрии. «Начала» Евклида. История пятого
постулата. Эквиваленты пятого постулата Евклида. Открытие неевклидовой геометрии.
Работы Б.Римана. Работы Д.Гильберта по обоснованию геометрии.
2.2. Основные факты геометрии Лобачевского.
Взаимное расположение прямых в плоскости Лобачевского. Параллельные прямые.
Признак параллельности прямых. Существование параллельных прямых. Свойства
параллельных на плоскости Лобачевского. Секущая равного наклона. Расходящиеся
прямые, их общий перпендикуляр. Треугольники и четырехугольники в плоскости
Лобачевского. Угол параллельности, функция Лобачевского. Окружность, эквидистанта,
орицикл.
2.3. Модели планиметрии Лобачевского.
Различные модели плоскости Лобачевского. Интерпретация некоторых фактов
планиметрии Лобачевского в одной из моделей. Непротиворечивость планиметрии
Лобачевского. Независимость пятого постулата.
Модуль 3.
3.1. Длины, площади, объемы.
Аксиоматическое определение длины отрезка. Теорема существования и единственности
длины отрезка. Аксиоматическое определение площади многоугольной фигуры. Теорема
существования и единственности площади многоугольника. Аксиоматическое
определение объема многогранных тел. Теорема существования и единственности
объема многогранного тела. Равновеликость и равносоставленность.
3.2. Теория величин
Понятие скалярной величины. Измерение величин. Операции со скалярными величинами.
5.
Планы семинарских занятий.
Модуль 1.
Занятие 1. Требования, предъявляемые к системе аксиом.
Занятие 2. Доказательство простейших следствий в схеме Вейля.
Занятие 3. Векторный способ решения элементарных задач.
6.
14
Занятие 4. Доказательство следствий в одной из аксиоматик школьного курса.
Занятие 5. Доклады. Различные системы аксиом элементарной геометрии.
Занятие 6. Доклады. Различные системы аксиом элементарной геометрии.
Занятие 7. Коллоквиум.
Модуль 2.
Занятие 8. Доказательство теорем и решение задач в планиметрии Лобачевского.
Занятие 9. Доклады. Великие геометры.
Занятие 10. Доклады. Различные факты геометрии Лобачевского.
Занятие 11. Доклады. Модели плоскости Лобачевского.
Занятие 12. Коллоквиум.
Модуль 3.
Занятие 13. Площади геометрических фигур.
Занятие 14. Площади геометрических фигур.
Занятие 15. Объемы геометрических тел.
Занятие 16. Объемы геометрических тел.
Занятие 17. Контрольная работа.
7.
Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены.
8.
Примерная тематика докладов.
ТЕМА 1. Различные системы аксиом элементарной геометрии.
Примерное содержание: В докладе рассматривается одна из систем аксиом
элементарной геометрии. Определяются основные понятия. Доказываются некоторые
теоремы. Доклад готовится несколькими студентами. К докладу прилагается
презентация.
ТЕМА 2. Различные факты геометрии Лобачевского.
Примерное содержание: В докладе рассматривается доказательство одного или
нескольких фактов планиметрии или стереометрии Лобачевского. Доказываются
некоторые теоремы. Доклад готовится одним студентом. К докладу прилагается
презентация.
ТЕМА 3. Модели плоскости Лобачевского.
Примерное содержание: В докладе рассматривается доказательство и интерпретация
одного или нескольких фактов планиметрии Лобачевского в одной из моделей. Доклад
готовится одним студентом. К докладу прилагается презентация.
ТЕМА 4. Великие геометры.
Примерное содержание: В докладе рассматривается биография и результаты одного из
великих геометров. Доклад готовится одним студентом. К докладу прилагается
презентация.
9.
Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
Текущая аттестация:
Коллоквиумы: В пятом семестре проводятся коллоквиумы (на семинарах).
Контрольные работы: В пятом семестре проводится контрольная работа (на семинаре).
Промежуточная аттестация:
15
Экзамен (письменно-устная форма). Экзамены оцениваются по системе:
неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо, отлично.
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины
осуществляется в рамках рейтинговой (100-балльной) и традиционной (4-балльной)
систем оценок.
Темы коллоквиумов.
Аксиоматическое построение геометрии
1. Род структур. Основные математические структуры курса геометрии. Теория рода
структур.
2. Эквивалентность теорий.
3. Модель системы аксиом.
4. Основные свойства системы аксиом (непротиворечивость, минимальность, полнота).
5. Система аксиом Г.Вейля. Определение геометрических понятий в схеме Вейля..
Непротиворечивость системы аксиом Г.Вейля.
6. Независимость системы аксиом Г.Вейля.
7. Исследование системы аксиом Г.Вейля.
8. Система аксиом Д.Гильберта. Абсолютная геометрия. Следствия из аксиом.
9. Исследование системы аксиом Д.Гильберта.
10. Эквивалентность систем аксиом Г.Вейля и Д.Гильберта.
Планиметрия Лобачевского
1. Основные этапы истории развития геометрии. «Начала» Евклида.
2. История пятого постулата. Эквиваленты пятого постулата Евклида.
3. Открытие неевклидовой геометрии. Работы Б.Римана.
4. Взаимное расположение прямых в плоскости Лобачевского. Параллельные прямые.
5. Признак параллельности прямых. Существование параллельных прямых.
6. Свойства параллельных на плоскости Лобачевского
7. Расходящиеся прямые, их общий перпендикуляр.
8. Треугольники и четырехугольники в плоскости Лобачевского.
9. Угол параллельности, функция Лобачевского.
10. Окружность, эквидистанта, орицикл.
11. Различные модели плоскости Лобачевского.
12. Интерпретация некоторых фактов планиметрии Лобачевского в одной из моделей.
13. Непротиворечивость планиметрии Лобачевского.
14. Независимость пятого постулата.
Примерные задания для контрольной работы.
1. Найти площадь треугольника по двум сторонам и медиане, проходящей между
ними.
2. Найти площадь трапеции по четырем сторонам.
3. Площади двух диагональных сечений прямого параллелепипеда равны 48 см2 и
30 см2 . а боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь основания
параллелепипеда, если оно является ромбом.
4. Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна 4 см, а большая
диагональ призмы образует с основанием угол. равный 60°. Найдите объем
призмы.
16
5. АВСА1В1С1 — наклонная треугольная призма. Двугранный угол при ребре А
А1, равен 90о. Расстояния от ребра А А1 до ребер ВВ1 и СС1, равны
соответственно 4 см и 3 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы,
если ее высота равна 4 см и боковое ребро образует с основанием угол 60о.
6. Ребро куба равно а. построить сечение куба плоскостью, проходящей через
центр куба перпендикулярно его диагонали, и вычислить площадь сечения.
Вопросы к экзамену
1. Род структур. Основные математические структуры курса геометрии. Теория рода
структур.
2. Эквивалентность теорий.
3. Модель системы аксиом.
4. Основные свойства системы аксиом (непротиворечивость, минимальность, полнота).
5. Система аксиом Г.Вейля. Определение геометрических понятий в схеме Вейля..
Непротиворечивость системы аксиом Г.Вейля.
6. Независимость системы аксиом Г.Вейля.
7. Исследование системы аксиом Г.Вейля.
8. Система аксиом Д.Гильберта. Абсолютная геометрия. Следствия из аксиом.
9. Исследование системы аксиом Д.Гильберта.
10. Эквивалентность систем аксиом Г.Вейля и Д.Гильберта.
11. Основные этапы истории развития геометрии. «Начала» Евклида.
12. История пятого постулата. Эквиваленты пятого постулата Евклида.
13. Открытие неевклидовой геометрии. Работы Б.Римана.
14. Взаимное расположение прямых в плоскости Лобачевского. Параллельные прямые.
15. Признак параллельности прямых. Существование параллельных прямых.
16. Свойства параллельных на плоскости Лобачевского
17. Расходящиеся прямые, их общий перпендикуляр.
18. Треугольники и четырехугольники в плоскости Лобачевского.
19. Угол параллельности, функция Лобачевского.
20. Окружность, эквидистанта, орицикл.
21. Различные модели плоскости Лобачевского.
22. Интерпретация некоторых фактов планиметрии Лобачевского в одной из моделей.
23. Непротиворечивость планиметрии Лобачевского.
24. Независимость пятого постулата.
25. Аксиоматическое определение длины отрезка. Теорема существования и
единственности длины отрезка.
26. Аксиоматическое определение площади многоугольной фигуры. Теорема
существования и единственности площади многоугольника.
27. Аксиоматическое определение объема многогранных тел. Теорема существования и
единственности объема многогранного тела.
28. Равновеликость и равносоставленность.
29. Понятие скалярной величины. Измерение величин. Операции со скалярными
величинами.
10. Образовательные технологии.
При чтении лекций применяются технологии объяснительно-иллюстративного и
проблемного обучения в сочетании с современными информационными технологиями
обучения
(различные
демонстрации
с
использованием
проекционного
мультимедийного оборудования).
17
При проведении практических занятий применяются технологии проблемного
обучения, дифференцированного обучения, репродуктивного обучения, а также
современные информационные технологии обучения (самостоятельное изучение
студентами учебных материалов в электронной форме, выполнение студентами
электронных практикумов, различные демонстрации с использованием проекционного
мультимедийного оборудования).
При организации самостоятельной работы применяются технологии проблемного
обучения, проблемно-исследовательского обучения (в частности, при самостоятельном
изучении части теоретического материала), дифференцированного обучения,
репродуктивного обучения, а также современные информационные технологии
обучения (системы поиска информации, работа с учебно-методическими материалами,
размещенными на сайте университета).
В процессе проведения аудиторных занятий используются следующие активные и
интерактивные методы и формы обучения: проблемная лекция, проблемное
практическое занятие, работа в малых группах, практические занятия в диалоговом
режиме, самостоятельная работа с учебными материалами, представленными в
электронной форме.
11.
11.1
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
Основная литература:
1. А. Д. Александров. Избранные труды. Т. 2: Выпуклые многогранники Новосибирск: Наука. - 2007. - 492 с.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия. 7-9 класс: учеб. для
общеобраз. учрежд. - 13-е изд. - Москва: Просвещение, 2003. - 384 с.
3. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия: учеб. для 10-11 кл.
общеобраз. учреждений . - 15-е изд., доп. - Москва: Просвещение, 2008. - 256 с.
4. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. - 3-е изд., стер.- Москва: КомКнига,
2007. - 296 с.
5. Киселев А. П., Глаголев Н.А. Геометрия: планиметрия, стереометрия. - Москва:
Физматлит, 2004. - 328 с.
6. Клейн Ф. Х. Неевклидова геометрия: пер. с нем. - 3-е изд.. - Москва: ЛКИ, 2007. 352 с.
7. Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и
топологии: учеб. для студ. вузов. - Москва: Физматлит, 2004. - 304 с.
8. Петров Ю. П. История и философия науки: математика, вычислительная техника,
информатика. - Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2005. - 448 с.
9. Погорелов А. В. Геометрия: учеб. для 10-11 кл. общеобраз. учреждений. - 6-е изд.,
дораб. - Москва: Просвещение, 2006. - 175 с.
10. Погорелов А. В.. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. общеобразов. учреждений. 6-е изд. Москва: Просвещение, 2005. - 224 с.
10.2. Дополнительная литература:
1. Александров А. Д. Основания геометрии. - Москва: Наука, 1987. - 288 с.
2. Атанасян, Л.С. Геометрия: часть 2 . - Москва: Просвещение, 1976. - 447 с.
3. Бахвалов С. В., Иваницкая В.П. Основания геометрии. Аксиоматическое
изложение геометрии Евклида: учеб. пособие для пед. ин-тов по спец.
"Математика». - Москва: Высшая школа, 1972. - 279 с.
18
4. Лелон-Ферран Жаклин. Основания геометрии. - Москва: Мир, 1989. - 311 с.
Атанасян Л.С. Геометрия: часть 1. - Москва: Просвещение, 1973. - 480 с.
5. Трайнин Я. Л. Основания геометрии. - Учпедгиз, 1961. - 326 с.
11.3. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:
1. www.math.ru - сайт посвящён Математике (и математикам. Этот сайт — для
школьников, студентов, учителей и для всех, кто интересуется математикой.
2. www.exponenta.ru - образовательный математический сайт
3. www.matematicus.ru - учебный материал по различным математическим курсам
4. www.geometry.ru – материалы по элементарной геометрии
5. www.edu. ru - федеральный образовательный портал
6. www.xplusy.isnet.ru - математика для студентов
1. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий.
19