Некоторые задачи на турнирах А. А. Долгов Саратовский государственный университет, Саратов, Россия Турниром называется полный направленный граф без петель. Турнир называется сильным, если любые две его вершины взаимно достижимы. Здесь и далее основные определения даются по работе [1]. Говорят, что граф является реконструируемым, если он может быть с точностью до изоморфизма восстановлен по списку своих максимальных подграфов. Для неориентированных графов известная гипотеза Келли-Улама (1945 г.) утверждает, что если два графа G и H с числом вершин большим двух имеют одинаковые максимальные подграфы, то G и H изоморфны. Граф H называется точным k-расширением графа G, если G изоморфен каждому подграфу H, получающемуся путем удаления любых его k вершин. В 2005 году была спроектирована система распределенных вычислений для поиска нереконструируемых турниров. Разработав ряд алгоритмов, позволяющих сократить и ускорить перебор, при помощи системы удалось получить все турниры с числом вершин до 10 (собранная статистика по турнирам до 9 вершин подготовлена на депонирование), а затем, используя их, найти все нереконструируемые турниры с числом вершин до 11 (предварительные результаты по турнирам с числом вершин до 9 опубликованы в [2]). Таким образом, были перепроверены результаты Стокмейера для турниров с числом вершин до 8 [3], и исследована реконструируемость турниров с числом вершин 9-11. Последний полученный результат состоит в том, что все 11-вершинные турниры реконструируемы. Заметим, что турнир, колода которого содержит только изоморфные подтурниры, является точным 1-расширением. Это замечание позволяет использовать результаты, полученные при исследовании реконструируемости турниров, для задачи поиска точных 1-расширений турниров. Выделив турниры с упомянутой колодой, удалось получить все точные 1расширения турниров с числом вершин до 11 [4]. На основе полученных экспериментальных данных удалось предложить схемы построения трех бесконечных семейств точных 1-расширений турниров. 1) Полутранзитивные турниры. В работе [5] М.Б.Абросимовым было показано, что транзитивные турниры являются точными kрасширениями турниров при любом натуральном k. Семейство полутранзитивных турниров состоит из турниров с числом вершин кратным 3. Каждый элемент семейства строится на основе подходящего транзитивного турнира инвертированием части дуг. 2) Вершинно-симметрические турниры. Предлагается алгоритм, позволяющий построить все вершинно-симметрические турниры нечетной степени. 3) Семейство турниров степени 4n + 2. Полученные данные показывают, что не все результаты по точным kрасширениям для неориентированных графов можно перенести на ориентированные. В классе неориентированных графов встречаются графы, имеющие только точное 1-расширение, и графы, имеющие точное kрасширение при любом натуральном k. Среди турниров удалось найти два графа, которые имеют точное 1- и точное 2-расширение, однако не имеют точного 3-расширения. Список использованных источников 1. Богомолов А.М., Салий В.Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука. 1997. С. 368. 2. Абросимов М.Б., Долгов А.А. Гипотеза Келли-Улама и малые турниры // Актуальные проблемы математики, механики, информатики: матер. Междунар. науч.-метод. конф., посвященной 90-летию высшего математического образования на Урале (Пермь, 9-15 окт. 2006 г.). Пермь: ПГУ, 2006. 300 с. С. 33-34. 3. Stockmeyer P.B. My quest for non-reconstructable graphs // Congressus Numerantium, 1988. Vol. 63. P.188-200. 4. Абросимов М.Б., Долгов А.А. Точные расширения некоторых турниров // Вестник ТГУ, в печати. 5. Абросимов М.Б. Минимальные расширения транзитивных турниров // Вестник ТГУ. Приложение. 2006. № 17. С. 187-190.