Реконструируемость малых турниров

реклама
РЕКОНСТРУИРУЕМОСТЬ МАЛЫХ ТУРНИРОВ
А.А.Долгов
Саратовский государственный университет, Саратов, Россия
Турниром называется полный направленный граф без петель. Турнир
называется сильным, если любые две его вершины взаимно достижимы.
Здесь и далее определения даются по работе [1].
Говорят, что граф является реконструируемым, если он может быть
однозначно с точностью до изоморфизма восстановлен по списку своих
максимальных подграфов.
Для неориентированных графов известная гипотеза Келли-Улама
(1945 г.) утверждает, что если два графа G и H с числом вершин большим
двух имеют одинаковые максимальные подграфы, то G и H изоморфны.
Для малых графов гипотеза проверена с помощью компьютерного поиска
(см. [2]).
Для ориентированных графов гипотеза в общем виде не верна. Особый интерес представляют результаты, полученные в 70-80-х годах Стокмейером. В обобщающей работе [3] приводится схема построения пар
сильных n-вершинных турниров, имеющих одинаковые списки максимальных подграфов, то есть являющихся исключением из гипотезы КеллиУлама, для n = 2m + 2k, 0 ≤ m < k (3, 5, 6, 9, 10, 12, 17, 18, 20, 24, ...). Реконструируемость несильных турниров была доказана Харари и Палмером в
работе [4]. С помощью компьютерных вычислений Стокмейер проверил
все турниры с числом вершин до 8 в поиске нереконструируемых турниров.
Была разработана система распределенных вычислений для поиска
нереконструируемых турниров. Разработав ряд алгоритмов, позволяющих
сократить и ускорить перебор, при помощи системы удалось получить все
турниры с числом вершин до 10, а затем, используя их проверить реконструируемость турниров с числом вершин до 11. Таким образом, были перепроверены результаты Стокмейера для турниров с числом вершин до 8, а
также было проведено более глубокое исследование реконструируемости
турниров.
Некоторые результаты исследований были ранее представлены в работе [5]. На рисунке изображены нереконструируемые 10-вершинные турниры, обнаруженные в ходе вычислений. Для найденных турниров получено аналитическое доказательство их нереконструируемости.
Рис. 10-вершинные нереконструируемые графы
Результаты были получены с помощью расчетов, осуществлявшихся
в течение 25 суток на 8 компьютерах Intel Pentium IV 2.4 ГГц.
Список литературы
1. Богомолов А.М., Салий В.Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука. 1997. С. 368
2. McKay B. D., Small graphs are reconstructible // Australasian J. Combinatorics, 1997. Vol. 15. P. 123-126.
3. Stockmeyer P.B. My quest for non-reconstructable graphs // Congressus
Numerantium, 1988. Vol. 63. P.188-200.
4. Harary F., Palmer E. M. On the Problem of Reconstructing a Tournament from Subtournaments // Monatsh. Math, 1967. Vol. 71. P. 14-23.
5. Абросимов М.Б., Долгов А.А. Гипотеза Келли-Улама и малые турниры // Актуальные проблемы математики, механики, информатики: матер. Междунар. науч.-метод. конф., посвященной 90-летию высшего математического образования на Урале (Пермь, 9-15 окт. 2006 г.). Пермь: ПГУ,
2006. 300 с. С. 33-34.
Скачать