2. тематический план - Рубцовский Институт филиал АлтГУ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Алтайский государственный университет»
Рубцовский институт (филиал)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
Специальность – 230101.65 Вычислительные машины, комплексы,
системы и сети
Форма обучения – очная
Кафедра – Математики и прикладной информатики
Рубцовск - 2011
2
СОДЕРЖАНИЕ
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА .................... Error! Bookmark not defined.
2. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН .............................. Error! Bookmark not defined.
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ....................................................................7
4. МАТЕРИАЛЫ К ПРОМЕЖУТОЧНОМУ И ИТОГОВОМУ КОНТРОЛЮ
...............................................................................................................................10
5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОСВОЕНИЮ УЧЕБНОГО
МАТЕРИАЛА ....................................................................................................144
6. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ...15
7. СПИСОК ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ,
ДРУГИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ ..........................................155
3
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Первый и главный этап математического моделирования – собственно
построение модели – очень часто опирается на некоторые имеющиеся исходные
данные. При этом широко применяются вычислительные методы обработки
данных: методы интерполяции, аппроксимации и др. Основная задача
моделирования различного рода процессов и систем с целью исследования
объектов, прогнозирования их поведения или поиска наилучших условий
функционирования сводится к расчету анализируемых показателей по
математической модели при тех или иных значениях (или функциях) входных
величин. Важное значение при этом приобретают вычислительные алгоритмы, с
помощью которых можно получить при моделировании решение конкретной
математической задачи.
Цели освоения дисциплины:
Знакомство с идеями и алгоритмами решения наиболее распространенных
задач вычислительной математики, применяющихся при математическом
моделировании и получение практических навыков их применения.
Задачи дисциплины:

Дать основы знаний по каждому разделу вычислительной
математике.

Привить общие навыки решения конкретных задач по основным
разделам вычислительной математики.

Получить общее представление о приложениях вычислительной
математики.

Соединить теоретические знания, полученные студентом при
осмыслении основ вычислительной математики, с конкретными их
приложениями в процессе выполнения практических работ на языке Турбо
Паскаль и в специализированных математических пакетах MatLab, MathCad.

Научить студента корректной постановке вычислительных задач и
правильному выбору методов их решения.

Развить у студента навыки самостоятельной работы при решении
вычислительных задач.
Дисциплина «Вычислительная математика» относится к циклу ЕН.Ф.1.5
Цикл общих математических и естественнонаучных дисциплин. Федеральный
компонент.
Перечень дисциплин, усвоение которых студентами необходимо для
изучения данного курса: «Алгебра и геометрия», «Математический анализ»,
«Информатика».
Программа предусматривает различные формы работы со студентами:
проведение лекционных и семинарских занятий.
4
2. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
(распределение часов курса по разделам и видам работ)
Очная форма обучения
Наименование тем
Максимальная нагрузка
студентов, час.
Лекции
Семинары
Лабораторны
е работы
Самостоятельная работа
студентов, час.
1
2
3
4
5
6
7
1. Понятие линейного
нормированного
пространства.
4
2
2. Методы численного
решения систем линейных
алгебраических уравнений.
20
4
6
10
3. Методы численного
решения уравнений и систем
нелинейных уравнений.
24
4
6
14
4. Среднеквадратичное
приближение функций.
30
8
10
12
ДЕ 1 Особенности математических вычислений, реализуемых на
ЭВМ. Теоретические основы численных методов.
Математические программные системы. (60 баллов)
Дидактические единицы
(ДЕ)
Количество
аудиторных часов
при очной форме
обучения
Промежуточный контроль
2
Контрольная работа
5
ДЕ 2 Интерполяция функций. Численное интегрирование и
дифференцирование. Решение обыкновенных
дифференциальных уравнений. (40 баллов)
5. Интерполирование
функций.
16
4
4
8
6. Численное
дифференцирование.
12
2
2
8
7. Численное
интегрирование.
16
4
4
8
8. Численное решение
обыкновенных
дифференциальных
уравнений.
18
6
4
8
Промежуточный контроль
Контрольная работа
Итоговый контроль
Зачет
Итого часов
140
6
34
36
70
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
(дидактические единицы)
3.1 Обязательный минимум содержания образовательной
программы (выписка из ГОС)
Особенности математических вычислений, реализуемых на ЭВМ:
теоретические основы численных методов: погрешности вычислений;
устойчивость и сложность алгоритма (по памяти, по времени); численные
методы линейной алгебры; решение нелинейных уравнений и систем;
интерполяция функций; численное интегрирование и дифференцирование;
решение обыкновенных дифференциальных уравнений; методы приближения и
аппроксимации функций; преобразование Фурье; равномерное приближение
функций; математические программные системы.
3.2 Содержание разделов учебной дисциплины
ДЕ 1 Особенности математических вычислений, реализуемых на ЭВМ.
Теоретические основы численных методов.
Математические программные системы.
Тема 1. Погрешности вычислений. Устойчивость и сложность
алгоритма.
Аудиторное изучение: Погрешности вычислений. Устойчивость и
сложность алгоритма (по памяти, по времени). Понятие линейного
нормированного
пространства.
Примеры
линейных
нормированных
пространств. Сходимость последовательностей в линейных нормированных
пространствах.
Самостоятельное изучение: Сходимость последовательностей n-мерных
векторов и матриц. Сходимость последовательностей непрерывных функций.
Нормы векторов и матриц. Погрешности вычислений; устойчивость и
сложность алгоритма (по памяти, по времени).
Тема 2. Численные методы линейной алгебры.
Аудиторное изучение: Методы численного решения систем линейных
алгебраических уравнений. Метод Гаусса. Метод итераций.
Самостоятельное изучение: Метод прогонки. Итерационные методы
решения систем линейных алгебраических уравнений.
Тема 3. Решение нелинейных уравнений и систем.
Аудиторное изучение: Методы численного решения уравнений и систем
нелинейных уравнений. Отделение корней. Метод половинного деления. Метод
7
итераций для одного уравнения с одним неизвестным. Метод итераций для
системы двух нелинейных уравнений.
Самостоятельное изучение: Метод Ньютона. Метод секущих.
Тема 4. Методы приближения и аппроксимации функций.
Преобразование Фурье. Равномерное приближение функций.
Аудиторное изучение: Среднеквадратичное приближение функций.
Интегральное среднеквадратичное приближение функций обобщенными
многочленами.
Среднеквадратичное
приближение
функций
тригонометрическими
многочленами.
Точечное
среднеквадратичное
приближение функций ортогональными многочленами. Ортогональными
многочлены Чебышева. Метод наименьших квадратов.
Самостоятельное изучение: Среднеквадратичное приближение функций
тригонометрическими многочленами. Выравнивание экспериментальных
данных (преобразования переменных).
ДЕ 2 Интерполяция функций.
Численное интегрирование и дифференцирование.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
Тема 5. Интерполирование функций.
Аудиторное изучение: Интерполяция. Интерполяционная формула
Лагранжа.
Самостоятельное изучение: Интерполирование функций кубическими
сплайнами.
Тема 6. Численное дифференцирование.
Аудиторное изучение: Вычисление производной по ее определению.
Конечно-разностные аппроксимации производных.
Самостоятельное
изучение:
Использование
интерполяционных
многочленов Лагранжа для формул численного дифференцирования.
Тема 7. Численное интегрирование.
Аудиторное изучение: Квадратурные формулы прямоугольников,
трапеций и Симпсона. Квадратурные формулы Гаусса.
Самостоятельное изучение: Приближенное вычисление несобственных
интегралов с бесконечными пределами.
Тема 8. Численное решение обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Аудиторное изучение: Понятие о численном решении задачи Коши.
Метод Эйлера. Метод Рунге-Кутта.
Самостоятельное
изучение:
Численное
решение
систем
дифференциальных уравнений.
8
3.3 Содержание практических занятий (лабораторных занятий)
Практическая работа №1. Численное решение уравнений. Метод
половинного деления.
Практическая работа №2. Численное решение уравнений. Метод
итераций.
Практическая работа №3. Численное решение систем уравнений. Метод
итераций для системы двух нелинейных уравнений.
Практическая работа №4. Среднеквадратичное приближение функций
тригонометрическими многочленами. Построение тригонометрического
многочлена, аппроксимирующего заданную функцию.
Практическая работа №5. Точечное среднеквадратичное приближение
функций ортогональными многочленами. Вычисление ортогональных
многочленов Чебышева на заданном множестве точек.
Практическая работа №6. Вычисление многочленов наилучшего
среднеквадратичного приближения функций ортогональными многочленами.
Практическая работа №7. Метод наименьших квадратов. Определение
параметров эмпирической формулы с двумя параметрами методом наименьших
квадратов.
Практическая работа №8. Интерполирование функций. Построение
интерполяционного многочлена Лагранжа.
Практическая работа №9. Вычисление производной по ее определению.
Практическая работа №10. Вычисление производных первого и второго
порядков.
Практическая работа №11. Вычисление определенного интеграла по
квадратурным формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона.
Практическая работа №12. Вычисление определенного интеграла
методом двойного по формуле Гаусса с тремя узлами.
Практическая работа №13. Численное решение задачи Коши для
дифференциального уравнения первого порядка методами Эйлера, ЭйлераКоши и Рунге-Кутта.
9
4. МАТЕРИАЛЫ К ПРОМЕЖУТОЧНОМУ И ИТОГОВОМУ
КОНТРОЛЮ
Задача 1. Методом половинного деления с точностью =10-2 найти корень
уравнения
1. 4  e x  2 x 2  0 ( x  0) .
2.
x 4  3x  20  0 ( x  0) .
Задача 2. Методом итераций с указанной точностью найти корень
уравнения.
1. x  ln x  0 , =10-3.
2. 4  e x  2 x 2  0 ( x  0) , =10-2.
Задача 3. Найти с точностью =10-3 решения системы уравнений,
расположенные в первой четверти Ох1х2.
 x1 2 / 3  x 2 2 / 3  4

 x 2 ( x1  1)  1  0
( x1  0) .
1.  2
. 2.  2
2

 x1  2 x 2  0
 x1  x 2  1  0
1,  1  x  0
. Представить
 x, 0  x  1
Задача 4. Найти ряд Фурье для функции f ( x)  
графически приближение этой функции с помощью тригонометрических
многочленов степеней n1=1, n2=3. Оценить погрешность среднеквадратичного
приближения d ( f , Q3 ) .
 x, 0  x  1
разложить в ряд Фурье по
2  x, 1  x  2
Задача 5. Функцию f ( x)  
синусам. Представить графически приближения этой функции с помощью
тригонометрических многочленов степеней n1=1, n2=5. Оценить погрешности
среднеквадратичного приближения d ( f , Q5 ) и d ( f , Q5 ) .
Задача 6. На множестве двух точек 0; 1 определить ортогональные
многочлены Чебышева и вычислить их нормы.
Задача 7. Функция y  f (x) определена таблицей. Требуется
аппроксимировать функцию
алгебраическими многочленами
y  f (x)
наилучшего среднеквадратичного приближения Q0 ( x), Q1 ( x), Q2 ( x), Q3 ( x) и
оценить
погрешности
каждого
приближения
Изобразить
графики
функций
d ( f , Q0 ), d ( f , Q1 ), d ( f , Q2 ), d ( f , Q3 ).
Q0 ( x), Q1 ( x), Q2 ( x), Q3 ( x) и отметить экспериментальные точки в той же системе
координат.
10
i
xi
yi
Задача 8. Установить
1
2
0
1
4
0
вид эмпирической
3
3
1
формулы
4
4
2
y  f (x ) используя
аппроксимирующие зависимости с двумя параметрами  и  .
xi
1
2
3
4
5
yi 7,1 27, 8 62,1 110 161
Задача 9. Найти интерполяционный многочлен Лагранжа для функции,
заданной таблицей:
x
-1
0
1
2
3
y
17
7
5
11
49
1
Задача 10. Найти приближенные значения интеграла
e
x2
dx с помощью
0
квадратурных формул прямоугольников, трапеций и парабол, если отрезок
интегрирования разбит на n=2; 4; 10 равных частей. Оценить величину
погрешности полученных результатов в каждом случае.
Задача 11. Вычислить заданный интеграл по формулам прямоугольников,
трапеций и парабол, если отрезок интегрирования разбит на n=2 и n=4 равные
части. Оценить погрешность результата и сравнить приближенные значения
интеграла с точным.
1
dx 


    0,785  .

2
0 1
x 
4

1
Задача 12. Найти приближенное значение интеграла
e
x2
dx
по
0
квадратурной формуле Гаусса с тремя узлами для n=1.
Задача 13. Решить задачу Коши y   x  y, y x0  1 методом Эйлера и
методом Рунге-Кутта на отрезке [0; 0,4]. Найти решение на равномерной сетке с
шагом h=0.1 в четырех узловых точках. Аналитическое решение задачи имеет
вид  ( x)  2e x  x  1 .
Задача 14. Найти решение задачи Коши для дифференциального
уравнения первого порядка на равномерной сетке отрезка [a, b] один раз с
шагом h=0.2, другой – с шагом 0.1 методами Эйлера, Эйлера–Коши и методом
Рунге-Кутта. Оценить погрешность численного решения. Сравнить численное
решение с точным.
1
1
1  xy
 ( x)  ( x  )
1 x  2 ,
y   2 , y x1  0 ,
2
x
x
11
Вопросы к зачету:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Примеры линейных нормированных пространств.
Метод Гаусса.
Метод итераций.
Интегральное среднеквадратичное приближение функций обобщенными
многочленами.
Среднеквадратичное
приближение
функций
тригонометрическими
многочленами.
Точечное среднеквадратичное приближение функций ортогональными
многочленами.
Ортогональными многочлены Чебышева.
Метод наименьших квадратов.
Интерполяционная формула Лагранжа.
Вычисление производной по ее определению.
Конечно-разностные аппроксимации производных.
Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.
Квадратурные формулы Гаусса.
Полиномом какой степени является интерполяционный полином Лагранжа
при n+1 узлах?
Может ли метод Лагранжа применяться для экстраполяции?
Что влияет на точность интерполяции в методе Лагранжа?
Можно ли добавлять новые узлы интерполяции при использовании метода
Лагранжа?
Можно ли располагать узлы интерполяции произвольно при использовании
метода?
К
какому
классу
функций
относится
функция,
задаваемая
интерполяционной формулой Лагранжа?
20. Как повлияет дополнительная n  1 точка исходных данных внутри отрезка
x 0 , x n  на точность интерполяции?
Как определить погрешность интерполяции в узле?
Как влияет количество узлов интерполяции на точность интерполяции?
Каким путем в общем случае можно повысить точность интерполяции?
В чем заключается геометрический смысл метода половинного деления?
Всегда ли позволяет метод половинного деления вычислить отделенный
корень уравнения с заданной погрешностью?
26. Как выбираются концы отрезка следующего интервала в методе
половинного деления?
21.
22.
23.
24.
25.
12
27. Какими свойствами должна обладать функция f(x), чтобы методом
половинного деления можно было гарантированно решить уравнение
f(x)=0?
28. Что необходимо для нахождения хотя бы одного действительного корня
уравнения f(x)=0 методом половинного деления?
29. Можно ли найти корень методом половинного деления, если он находится
на границе интервала?
30. В чем основное отличие точных и приближенных методов решения систем
линейных уравнений?
31. Каким методом лучше всего решать систему уравнений невысокого
порядка, например третьего?
32. В каких случаях предпочтительны итерационные методы решения систем
линейных уравнений?
33. От чего зависит скорость сходимости метода итераций?
34. Что является решением дифференциального уравнения?
35. Необходим ли поиск начальных условий в методе Эйлера?
36. К какой группе относится модифицированный метод Эйлера?
37. Метод Рунге — Кутта
38. Как можно оценить погрешность решения дифференциального уравнения
при использовании метода Рунге — Кутта?
13
5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОСВОЕНИЮ
УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
Дисциплина «Вычислительная математика» изучается в течение одного
семестра на четвертом курсе специальности «Вычислительные машины,
комплексы, системы и сети».
Вся дисциплина разбита на две ДЕ, по итогам каждой имеется
промежуточная аттестация. Итоговой контрольной точкой является зачет.
Немаловажную
часть
в
изучении
дисциплины
представляет
самостоятельная
работа
студентов.
Под
ней
подразумевается
самостоятельное изучение теоретического материала – чтение основной и
дополнительной литературы, работа с источниками в электронном виде,
размещенными на файл-сервере института, поиск и изучение материалов в сети
Интернет, а так же выполнение лабораторных работ дома или в компьютерных
классах свободного доступа, подготовка отчетов по выполненным работам.
Балльно-рейтинговая схема предполагает, что студент для получения
зачета по данной дисциплине должен набрать не менее 61 балла (максимум –
100 баллов), сдать все практические работы, назначенные преподавателем, и не
иметь пропусков занятий без уважительной причины.
Баллы набираются главным образом за прохождение промежуточного
контроля освоения дидактических единиц. Дополнительно баллы можно
получить за успехи при выполнении практических работ. Баллы могут быть
сняты за пропуски занятий без уважительной причины.
Студенты, сдавшие все практические работы, но набравшие от 50 до 60
баллов, допускаются во время зачетной недели к пересдаче одной
дидактической единицы. Студенты, сдавшие все практические работы, но
набравшие менее 50 баллов (или не набравшие 61 балл в результате пересдачи
дидактической единицы), сдают зачет в установленные сроки. Карточки к
зачету содержат два вопроса – по одному из каждой дидактической единицы.
Для получения зачета необходимо ответить на оба вопроса.
14
6. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ
Для преподавания дисциплины используются лекционные аудитории
и компьютерные классы (стационарные или мобильные на ноутбуках)
института. Кроме того, для самостоятельной работы студенты могут
воспользоваться компьютерными классами свободного доступа. Со всех
компьютеров локальной вычислительной сети института имеется доступ в
Интернет, Университетскую библиотеку On-line и электронно-библиотечную
систему издательства «Лань». Для выполнения лабораторного практикума по
дисциплине используется среда программирования Borland Pascal,
электронные таблицы MS Excel, демоверсии математических пакетов MatLab,
MathCad.
7. СПИСОК ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ,
ДРУГИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ
Основная литература
1. Волков, Е.А. Численные методы / Е.А. Волков – изд. 5-е – М.: Лань, 2008.
– 256 c.
2. Копченова, Н.В. Вычислительная математика в примерах и задачах / Н.В.
Копченова, И.А. Марон – изд. 3-е стер. – М.: Лань, 2009. – 368 c.
3. Рябенький, В.С. Введение в вычислительную математику / В.С.
Рябенький – изд. 3-е испр. и доп. – М.: Физматлит, 2008. – 288 c.
4. Ракитин, В.И. Руководство по методам вычислений и приложения
MATHCAD / В.И. Ракитин – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 264 с.
5. Срочко, В.А. Численные методы. Курс лекций / В.А. Срочко – изд. 1-е
стер. – М.: Лань, 2010. – 208 c.
Дополнительная литература
6. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М.
Кобельков – изд. 7-е – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2012. – 636 c.
7. Демидович, Б.П. Численные методы анализа. Приближение функций,
дифференциальные и интегральные уравнения / Б.П. Демидович, И.А.
Марон, Э.З. Шувалова – изд. 5-е стер. – М.: Лань, 2010. – 400 c.
8. Петров И.Б. Лекции по вычислительной математике: учеб. пособие / И.Б.
Петров, А.И. Лобанов. – М.: Интернет Университет Информационных
15
Технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний,2006. – 523 с. – (серия
«Основы информационных технологий»)
9. Ракитин В.И. Практическое руководство по методам вычислений с
приложением программ для персональных компьютеров: учеб. пособие /
В.И. Ракитин, В.Е. Первушин – М.: Высш. шк., 1998. – 383 с.
10. Турчак, Л.И. Основы численных методов / Л.И. Турчак – изд. 2-е перераб.
и доп. – М.: Лань, 2002. – 304 c.
11. Фаронов, В.В. Турбо Паскаль 7.0 Начальный курс: учеб. пособие / В.В.
Фаронов. – М.: Нолидж, 2000. – 576 с.
Базы данных, Интернет-ресурсы,
информационно-справочные и поисковые системы
12. Единое окно доступа к образовательным ресурсам. Электронная
библиотека [Электронный ресурс]: инф. система. – М.: ФГАУ ГНИИ ИТТ
"Информика", 2005-2012. – Режим доступа: //www. http://window.edu.ru,
свободный. – Загл. с экрана (дата обращения 11.04.2012)
13. Поисковые системы: Google, Yandex.
14. Университетская библиотека On-line [Электронный ресурс], М.:
Издательство
«Директ-Медиа»,
2001-2010.
Режим
доступа:
http://www.biblioclub.ru. – Загл. с экрана (дата обращения 27.10.2010).
15. Электронно-библиотечная система Издательство «Лань» [Электронный
ресурс],
СПб.:
Издательство
Лань,
2010.
Режим
доступа:
http://e.lanbook.com. – Загл. с экрана (дата обращения 27.10.2010).
16