МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Алтайский государственный университет»
Рубцовский институт (филиал)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Специальность – 230101.65 Вычислительные машины, комплексы,
системы и сети
Форма обучения – очная
Кафедра – Математики и прикладной информатики
Рубцовск – 2011
2
СОДЕРЖАНИЕ
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА .................... Error! Bookmark not defined.
2. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН .............................. Error! Bookmark not defined.
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ....................................................................7
4. МАТЕРИАЛЫ К ПРОМЕЖУТОЧНОМУ И ИТОГОВОМУ КОНТРОЛЮ
...............................................................................................................................10
5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОСВОЕНИЮ УЧЕБНОГО
МАТЕРИАЛА ....................................................................................................144
6. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ...15
7. СПИСОК ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ,
ДРУГИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ ..........................................155
3
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Численные методы являются мощным математическим средством
решения современных прикладных задач. Это связано с невозможностью в
большинстве случаев получить точное аналитическое решение. Необходимо
понимание существа основных численных методов и алгоритмов, поскольку
зачастую интерпретация результатов расчетов нетривиальна и требует
специальных знаний особенностей применяемых методов.
Цели освоения дисциплины:
Изучение численных методов решения задач алгебры, математического
анализа и дифференциальных уравнений, а также освоение методологических
подходов разработки численных вычислений и изучение основных методов для
решения задач исследовательского и прикладного характера.
Задачи дисциплины:
Освоение численных методов решения нелинейных уравнений и систем,
систем линейных уравнений, теории интерполирования, численного
дифференцирования и интегрирования, использование численных методов для
обработки экспериментальных данных, численных методов решения
обыкновенных дифференциальных уравнений в постановке задач Коши и
краевых задач, численных методов решения уравнений с частными
производными.
Дисциплина «Численные методы» относится к циклу ЕН.В.01 Цикл
общих математических и естественнонаучных дисциплин. Дисциплина по
выбору студентов.
Перечень дисциплин, усвоение которых студентами необходимо для
изучения данного курса:
«Алгебра и геометрия», «Математический анализ», «Информатика».
Программа предусматривает различные формы работы со студентами:
проведение лекционных занятий и лабораторных работ.
4
2. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
(распределение часов курса по разделам и видам работ)
Очная форма обучения
Наименование тем
Максимальная нагрузка
студентов, час.
Лекции
Семинары
Лабораторны
е работы
Самостоятельная работа
студентов, час.
1
2
3
4
5
6
7
1. Понятие линейного
нормированного
пространства.
6
2
2. Методы численного
решения систем линейных
алгебраических уравнений.
22
4
6
12
3. Методы численного
решения уравнений и систем
нелинейных уравнений.
28
4
8
16
4. Среднеквадратичное
приближение функций.
34
10
10
14
ДЕ 1 Особенности математических вычислений, реализуемых на
ЭВМ. Теоретические основы численных методов.
Математические программные системы. (60 баллов)
Дидактические единицы
(ДЕ)
Количество
аудиторных часов
при очной форме
обучения
Промежуточный контроль
4
Контрольная работа
5
ДЕ 2 Интерполяция функций. Численное интегрирование и
дифференцирование. Решение обыкновенных
дифференциальных уравнений. (40 баллов)
5. Интерполирование
функций.
18
4
4
10
6. Численное
дифференцирование.
18
4
4
10
7. Численное
интегрирование.
22
6
6
10
8. Численное решение
обыкновенных
дифференциальных
уравнений.
22
6
6
10
Промежуточный контроль
Контрольная работа
Итоговый контроль
Экзамен-40 баллов
Итого часов
170
6
40
44
86
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
(дидактические единицы)
3.1 Содержание разделов учебной дисциплины
ДЕ 1 Особенности математических вычислений, реализуемых на ЭВМ.
Теоретические основы численных методов.
Математические программные системы.
Тема 1. Погрешности вычислений. Устойчивость и сложность
алгоритма.
Аудиторное изучение: Погрешности вычислений. Устойчивость и
сложность алгоритма (по памяти, по времени). Понятие линейного
нормированного
пространства.
Примеры
линейных
нормированных
пространств. Сходимость последовательностей в линейных нормированных
пространствах.
Самостоятельное изучение: Сходимость последовательностей n-мерных
векторов и матриц. Сходимость последовательностей непрерывных функций.
Нормы векторов и матриц. Погрешности вычислений; устойчивость и
сложность алгоритма (по памяти, по времени).
Тема 2. Численные методы линейной алгебры.
Аудиторное изучение: Методы численного решения систем линейных
алгебраических уравнений. Метод Гаусса. Метод итераций.
Самостоятельное изучение: Метод прогонки. Итерационные методы
решения систем линейных алгебраических уравнений.
Тема 3. Решение нелинейных уравнений и систем.
Аудиторное изучение: Методы численного решения уравнений и систем
нелинейных уравнений. Отделение корней. Метод половинного деления. Метод
итераций для одного уравнения с одним неизвестным. Метод итераций для
системы двух нелинейных уравнений.
Самостоятельное изучение: Метод Ньютона. Метод секущих.
Тема 4. Методы приближения и аппроксимации функций.
Преобразование Фурье. Равномерное приближение функций.
Аудиторное изучение: Среднеквадратичное приближение функций.
Интегральное среднеквадратичное приближение функций обобщенными
многочленами.
Среднеквадратичное
приближение
функций
тригонометрическими
многочленами.
Точечное
среднеквадратичное
7
приближение функций ортогональными многочленами. Ортогональными
многочлены Чебышева. Метод наименьших квадратов.
Самостоятельное изучение: Среднеквадратичное приближение функций
тригонометрическими многочленами. Выравнивание экспериментальных
данных (преобразования переменных).
ДЕ 2 Интерполяция функций.
Численное интегрирование и дифференцирование.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
Тема 5. Интерполирование функций.
Аудиторное изучение: Интерполяция. Интерполяционная формула
Лагранжа.
Самостоятельное изучение: Интерполирование функций кубическими
сплайнами.
Тема 6. Численное дифференцирование.
Аудиторное изучение: Вычисление производной по ее определению.
Конечно-разностные аппроксимации производных.
Самостоятельное
изучение:
Использование
интерполяционных
многочленов Лагранжа для формул численного дифференцирования.
Тема 7. Численное интегрирование.
Аудиторное изучение: Квадратурные формулы прямоугольников,
трапеций и Симпсона. Квадратурные формулы Гаусса.
Самостоятельное изучение: Приближенное вычисление несобственных
интегралов с бесконечными пределами.
Тема 8. Численное решение обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Аудиторное изучение: Понятие о численном решении задачи Коши.
Метод Эйлера. Метод Рунге-Кутта.
Самостоятельное
изучение:
Численное
решение
систем
дифференциальных уравнений.
3.2 Содержание лабораторных занятий (практических занятий)
Лабораторная работа №1. Численное решение уравнений. Метод
половинного деления.
Лабораторная работа №2. Численное решение уравнений. Метод
итераций.
Лабораторная работа №3. Численное решение систем уравнений. Метод
итераций для системы двух нелинейных уравнений.
8
Лабораторная работа №4. Среднеквадратичное приближение функций
тригонометрическими многочленами. Построение тригонометрического
многочлена, аппроксимирующего заданную функцию.
Лабораторная работа №5. Точечное среднеквадратичное приближение
функций ортогональными многочленами. Вычисление ортогональных
многочленов Чебышева на заданном множестве точек.
Лабораторная работа №6. Вычисление многочленов наилучшего
среднеквадратичного приближения функций ортогональными многочленами.
Лабораторная работа №7. Метод наименьших квадратов. Определение
параметров эмпирической формулы с двумя параметрами методом наименьших
квадратов.
Лабораторная работа №8. Интерполирование функций. Построение
интерполяционного многочлена Лагранжа.
Лабораторная работа №9. Вычисление производной по ее определению.
Лабораторная работа №10. Вычисление производных первого и второго
порядков.
Лабораторная работа №11. Вычисление определенного интеграла по
квадратурным формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона.
Лабораторная работа №12. Вычисление определенного интеграла
методом двойного по формуле Гаусса с тремя узлами.
Лабораторная работа №13. Численное решение задачи Коши для
дифференциального уравнения первого порядка методами Эйлера, ЭйлераКоши и Рунге-Кутта.
9
4. МАТЕРИАЛЫ К ПРОМЕЖУТОЧНОМУ И ИТОГОВОМУ
КОНТРОЛЮ
Задача 1. Методом половинного деления с точностью =10-2 найти корень
уравнения
1. 4  e x  2 x 2  0 ( x  0) .
2. x 4  3x  20  0 ( x  0) .
Задача 2. Методом итераций с указанной точностью найти корень
уравнения.
1. x  ln x  0 , =10-3.
2. 4  e x  2 x 2  0 ( x  0) , =10-2.
Задача 3. Найти с точностью =10-3 решения системы уравнений,
расположенные в первой четверти Ох1х2.
1.

 x 2 ( x1  1)  1  0
.
 2
2

 x1  x 2  1  0
 x1 2 / 3  x 2 2 / 3  4
2. 
 x1 2  2 x 2  0
( x1  0) .
1,  1  x  0
Задача 4. Найти ряд Фурье для функции f ( x)  
. Представить
 x, 0  x  1
графически приближение этой функции с помощью тригонометрических
многочленов степеней n1=1, n2=3. Оценить погрешность среднеквадратичного
приближения d ( f , Q3 ) .
 x, 0  x  1
Задача 5. Функцию f ( x)  
разложить в ряд Фурье по
2  x , 1  x  2
синусам. Представить графически приближения этой функции с помощью
тригонометрических многочленов степеней n1=1, n2=5. Оценить погрешности
среднеквадратичного приближения d ( f , Q5 ) и d ( f , Q5 ) .
Задача 6. На множестве двух точек 0; 1 определить ортогональные
многочлены Чебышева и вычислить их нормы.
Задача 7. Функция y  f (x) определена таблицей. Требуется
аппроксимировать функцию
алгебраическими многочленами
y  f (x)
наилучшего среднеквадратичного приближения Q0 ( x), Q1 ( x), Q2 ( x), Q3 ( x) и
оценить
погрешности
каждого
приближения
Изобразить
графики
функций
d ( f , Q0 ), d ( f , Q1 ), d ( f , Q2 ), d ( f , Q3 ).
Q0 ( x), Q1 ( x), Q2 ( x), Q3 ( x) и отметить экспериментальные точки в той же
системе координат.
10
i
xi
yi
Задача 8. Установить
1
2
0
1
4
0
вид эмпирической
3
3
1
формулы
4
4
2
y  f ( x ) используя
аппроксимирующие зависимости с двумя параметрами  и  .
xi
1
2
3
4
5
yi 7,1 27, 8 62,1 110 161
Задача 9. Найти интерполяционный многочлен Лагранжа для функции,
заданной таблицей:
x
-1
0
1
2
3
y
17
7
5
11
49
1
Задача 10. Найти приближенные значения интеграла
e
x2
dx с помощью
0
квадратурных формул прямоугольников, трапеций и парабол, если отрезок
интегрирования разбит на n=2; 4; 10 равных частей. Оценить величину
погрешности полученных результатов в каждом случае.
Задача 11. Вычислить заданный интеграл по формулам прямоугольников,
трапеций и парабол, если отрезок интегрирования разбит на n=2 и n=4 равные
части. Оценить погрешность результата и сравнить приближенные значения
интеграла с точным.
1
dx 


    0,785  .

2
0 1
x 

4
1
Задача 12. Найти приближенное значение интеграла
e
x2
dx
по
0
квадратурной формуле Гаусса с тремя узлами для n=1.
Задача 13. Решить задачу Коши y   x  y, y x0  1 методом Эйлера и
методом Рунге-Кутта на отрезке [0; 0,4]. Найти решение на равномерной сетке с
шагом h=0.1 в четырех узловых точках. Аналитическое решение задачи имеет
вид  ( x)  2e x  x  1 .
Задача 14. Найти решение задачи Коши для дифференциального
уравнения первого порядка на равномерной сетке отрезка [a, b] один раз с
шагом h=0.2, другой – с шагом 0.1 методами Эйлера, Эйлера–Коши и методом
Рунге-Кутта. Оценить погрешность численного решения. Сравнить численное
решение с точным.
y 
1  xy
x
2
, y
x 1
0,
1 x  2 ,
11
 ( x) 
1
1
(x  )
2
x
Вопросы к экзамену:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Примеры линейных нормированных пространств.
Метод Гаусса.
Метод итераций.
Интегральное среднеквадратичное приближение функций обобщенными
многочленами.
Среднеквадратичное
приближение
функций
тригонометрическими
многочленами.
Точечное среднеквадратичное приближение функций ортогональными
многочленами.
Ортогональными многочлены Чебышева.
Метод наименьших квадратов.
Интерполяционная формула Лагранжа.
Вычисление производной по ее определению.
Конечно-разностные аппроксимации производных.
Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.
Квадратурные формулы Гаусса.
Полиномом какой степени является интерполяционный полином Лагранжа
при n+1 узлах?
Может ли метод Лагранжа применяться для экстраполяции?
Что влияет на точность интерполяции в методе Лагранжа?
Можно ли добавлять новые узлы интерполяции при использовании метода
Лагранжа?
Можно ли располагать узлы интерполяции произвольно при использовании
метода?
К
какому
классу
функций
относится
функция,
задаваемая
интерполяционной формулой Лагранжа?
20. Как повлияет дополнительная n  1 точка исходных данных внутри отрезка
x 0 , x n  на точность интерполяции?
Как определить погрешность интерполяции в узле?
Как влияет количество узлов интерполяции на точность интерполяции?
Каким путем в общем случае можно повысить точность интерполяции?
В чем заключается геометрический смысл метода половинного деления?
Всегда ли позволяет метод половинного деления вычислить отделенный
корень уравнения с заданной погрешностью?
26. Как выбираются концы отрезка следующего интервала в методе
половинного деления?
21.
22.
23.
24.
25.
12
27. Какими свойствами должна обладать функция f(x), чтобы методом
половинного деления можно было гарантированно решить уравнение
f(x)=0?
28. Что необходимо для нахождения хотя бы одного действительного корня
уравнения f(x)=0 методом половинного деления?
29. Можно ли найти корень методом половинного деления, если он находится
на границе интервала?
30. В чем основное отличие точных и приближенных методов решения систем
линейных уравнений?
31. Каким методом лучше всего решать систему уравнений невысокого
порядка, например третьего?
32. В каких случаях предпочтительны итерационные методы решения систем
линейных уравнений?
33. От чего зависит скорость сходимости метода итераций?
34. Что является решением дифференциального уравнения?
35. Необходим ли поиск начальных условий в методе Эйлера?
36. К какой группе относится модифицированный метод Эйлера?
37. Метод Рунге — Кутта
38. Как можно оценить погрешность решения дифференциального уравнения
при использовании метода Рунге — Кутта?
13
5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОСВОЕНИЮ
УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
Дисциплина «Численные методы» изучается в течение одного семестра на
первом курсе специальности «Вычислительные машины, комплексы, системы и
сети».
Вся дисциплина разбита на две ДЕ, по итогам каждой
имеется
промежуточная аттестация. Итоговой контрольной точкой является экзамен.
Освоение материала дисциплины предполагает изучение его
теоретической части и лабораторное выполнение практических задач. Причем
для допуска к экзамену студенту необходимо выполнить все лабораторные
работы, назначенные преподавателем. Лабораторные работы, как правило,
представляют собой решение конкретных задач по численным методам. Сдача
лабораторной работы (решения задачи) подразумевает представление ее
решения и его объяснение.
Немаловажную
часть
в
изучении
дисциплины
представляет
самостоятельная
работа
студентов.
Под
ней
подразумевается
самостоятельное изучение теоретического материала – чтение основной и
дополнительной литературы, работа с источниками в электронном виде,
размещенными на файл-сервере института, поиск и изучение материалов в сети
Интернет, а так же выполнение лабораторных работ дома или в компьютерных
классах свободного доступа, подготовка отчетов по выполненным работам.
Балльно-рейтинговая схема предполагает, что студент для получения
удовлетворительной оценки за экзамен по данной дисциплине должен сдать все
лабораторные работы, назначенные преподавателем, не иметь пропусков
занятий без уважительной причины и набрать от 61 до 75 баллов. Для
получения оценки «хорошо» необходимо набрать от 76 до 90 баллов. Для
получения оценки «отлично» необходимо набрать 91 балл и выше.
Баллы набираются главным образом за прохождение промежуточного
контроля освоения дидактических единиц. Дополнительно баллы можно
получить за успехи при выполнении лабораторных работ. Баллы могут быть
сняты за пропуски занятий без уважительной причины.
Студенты, сдавшие все лабораторные работы, но набравшие от 50 до 60
баллов, допускаются во время зачетной недели к пересдаче одной
дидактической единицы. Студенты, сдавшие все лабораторные работы, но
набравшие менее 50 баллов (или не набравшие 61 балл в результате пересдачи
дидактической единицы), сдают экзамен в установленные сроки. Билеты к
экзамену содержат два вопроса и задачу. Ответ на экзамене дает студенту от 0
до 40 баллов. Для получения удовлетворительной оценки необходимо дать
ответ на один вопрос и решить задачу.
14
6. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ
Для преподавания дисциплины используются лекционные аудитории
и компьютерные классы (стационарные или мобильные на ноутбуках)
института. Кроме того, для самостоятельной работы студенты могут
воспользоваться компьютерными классами свободного доступа. Со всех
компьютеров локальной вычислительной сети института имеется доступ в
Интернет, Университетскую библиотеку On-line и электронно-библиотечную
систему издательства «Лань». Для выполнения лабораторного практикума по
дисциплине используется среда программирования Borland Pascal,
электронные таблицы MS Excel, демоверсии математических пакетов MatLab,
MathCad.
7. СПИСОК ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ,
ДРУГИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ
Основная литература
1. Волков, Е.А. Численные методы / Е.А. Волков – изд. 5-е – М.: Лань, 2008.
– 256 c.
2. Копченова, Н.В. Вычислительная математика в примерах и задачах / Н.В.
Копченова, И.А. Марон – изд. 3-е стер. – М.: Лань, 2009. – 368 c.
3. Рябенький, В.С. Введение в вычислительную математику / В.С.
Рябенький – изд. 3-е испр. и доп. – М.: Физматлит, 2008. – 288 c.
4. Ракитин, В.И. Руководство по методам вычислений и приложения
MATHCAD / В.И. Ракитин – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 264 с.
5. Срочко, В.А. Численные методы. Курс лекций / В.А. Срочко – изд. 1-е
стер. – М.: Лань, 2010. – 208 c.
Дополнительная литература
6. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М.
Кобельков – изд. 7-е – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2012. – 636 c.
7. Демидович, Б.П. Численные методы анализа. Приближение функций,
дифференциальные и интегральные уравнения / Б.П. Демидович, И.А.
Марон, Э.З. Шувалова – изд. 5-е стер. – М.: Лань, 2010. – 400 c.
8. Петров И.Б. Лекции по вычислительной математике: учеб. пособие / И.Б.
Петров, А.И. Лобанов. – М.: Интернет Университет Информационных
15
Технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний,2006. – 523 с. – (серия
«Основы информационных технологий»)
9. Ракитин В.И. Практическое руководство по методам вычислений с
приложением программ для персональных компьютеров: учеб. пособие /
В.И. Ракитин, В.Е. Первушин – М.: Высш. шк., 1998. – 383 с.
10. Турчак, Л.И. Основы численных методов / Л.И. Турчак – изд. 2-е перераб.
и доп. – М.: Лань, 2002. – 304 c.
11. Фаронов, В.В. Турбо Паскаль 7.0 Начальный курс: учеб. пособие / В.В.
Фаронов. – М.: Нолидж, 2000. – 576 с.
Базы данных, Интернет-ресурсы,
информационно-справочные и поисковые системы
12. Единое окно доступа к образовательным ресурсам. Электронная
библиотека [Электронный ресурс]: инф. система. – М.: ФГАУ ГНИИ ИТТ
"Информика", 2005-2012. – Режим доступа: //www. http://window.edu.ru,
свободный. – Загл. с экрана (дата обращения 11.04.2012)
13. Поисковые системы: Google, Yandex.
14. Университетская библиотека On-line [Электронный ресурс], М.:
Издательство
«Директ-Медиа»,
2001-2010.
Режим
доступа:
http://www.biblioclub.ru. – Загл. с экрана (дата обращения 27.10.2010).
15. Электронно-библиотечная система Издательство «Лань» [Электронный
ресурс],
СПб.:
Издательство
Лань,
2010.
Режим
доступа:
http://e.lanbook.com. – Загл. с экрана (дата обращения 27.10.2010).
16