010400 Численные методы

1 Цели и задачи дисциплины
1.1. Цель, задачи дисциплины, ее место в подготовке бакалавра (с учетом квалификационных
требований ФГОС)
Дисциплина «Численные методы» входит в число базовой части цикла «Профессиональный цикл» ФГОС ВПО по направлению «Прикладная математика и информатика».
Цель преподавания дисциплины – создать базу знаний, необходимых для численного решения разнообразных прикладных задач.
Задачи дисциплины –приобретение студентами знаний и выработка навыков по следующим направлениям: точное представление о точных и приближенных числах, типах погрешностей, возникающих на разных этапах решения задачи, владение общиной терминологией в области численных методов, знание основных методов решения уравнений и систем алгебраических уравнений, проблем линейной алгебры, основы теории приближения
функций, численного дифференцирования и интегрирования, численных методов решения
дифференциальных уравнений.
1.2. Требования к уровню усвоения дисциплины
Обучающийся должен знать: основные понятия математического анализа, дифференциальных уравнений; линейной алгебры.
Обучающийся должен уметь грамотно употреблять математическую символику для выражения количественных и качественных отношений объектов; видов погрешностей, типов
округлений чисел. Иметь представление о предельных погрешностях различных математических операций, методах решений алгебраический уравнений и систем алгебраический
уравнений. Иметь представление о задачах интерполирования, численного дифференцирования и численного интегрирования..
Обучающийся должен иметь представление о численных методах как особом способе познания мира, общности ее понятий и представлений, широте области ее применения.
У обучающегося должны быть сформулированы следующие общекультурные компетенции (ОК) и профессиональные компетенции (ПК): ОК-16 – способность к интеллектуальному, культурному, нравственному, физическому и профессиональному саморазвитию,
стремление к повышению своей квалификации и мастерства; ПК –3 способность понимать
и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат; ПК-4 – способность в составе научно-исследовательского и производственного коллектива решать задачи профессиональной деятельности; ПК-5 – способность критически переосмысливать накопленный опыт, изменять при необходимости вид и характер
своей профессиональной деятельности; ПК-12 – способность составлять и контролировать
план выполняемой работы, планировать необходимые для выполнения работы ресурсы,
оценивать результаты собственной работы.
1.3. Связь с другими дисциплинами Учебного плана
Перечень действующих дисциплин с указанием
Перечень последующих дисциплин,
разделов (тем)
видов работ
1. Математический анализ.
1. Математическая теория риска.
2. Теория вероятностей и математическая стати- 2. Методы оптимизации.
стика.
3. Эконометрика.
3. Курсовое проектирование.
4. Дипломное проектирование.
4. Эконометрическое моделирование.
5. Математические методы управления запасами.
6. Теория игр.
2. Содержание дисциплины, способы и методы учебной деятельности преподавателя.
Методы обучения – система последовательных, взаимосвязанных действий, обеспечивающих усвоение содержания предмета, развитие способностей студентов, овладение ими средствами самообразования; обеспечивают цель обучения, способ усвоения и характер взаимодействия преподавателя и студента; направлены на приобретение знаний, умений, навыков и
их закрепление.
Монологический (изложение теоретического материала в форме монолога)
М
Показательный (изложение материала с приемами показа)
П
Диалогический (изложение материала в форме беседы с вопросами и ответами)
Д
Проблемное изложение (преподаватель ставит проблему и раскрывает доказаПБ
тельство пути ее решения)
Исследовательский (студенты самостоятельно добывают знания в процессе решеИ
ния проблемы, сравнивая различные варианты ее решения)
Программированный (организация аудиторной и самостоятельной работы студентов осуществляется в индивидуальном темпе и под контролем специальных тех- ПГ
нических средств)
19
10
12
2
34
2
56
2
78
2
2
Очная форма обучения
Пятый семестр
Лекции
Модуль1 «Приближенное решение уравнений и си- М,Д
стем уравнений»
Тема «Абсолютные и относительные погрешности».
Абсолютная и относительная погрешности. Предельные абсолютная и относительная погрешности. Десятичная запись приближённых чисел. Значащая цифра.
Число верных десятичных знаков. Правила округления. Погрешность дифференцируемой функции. Погрешность арифметических операций.
Тема «Приближённое решение уравнений, отделение
корней».
Первая теорема Больцано-Коши как теоретическое
обоснование существования корней уравнений. Отделение корней уравнений. Отрезки изоляции.
Тема «Метод половинного деления (бисекций), метод
хорд, метод касательных (Ньютона), их комбинация».
Схема метода бисекции, оценка погрешности. Вывод
формулы метода хорд, оценка погрешности. Метод
касательных, оценка погрешности.
Тема «Решение уравнений методом итераций».
Теорема С. Банаха о неподвижной точке у оператора
М,Д
Реализуемые
компетенции
Вид занятия, тема и краткое содержание
Методы
в том числе в
интерактивной
форме, час.
Кол. час
Неделя
2.1 Аудиторные занятия (лекции, лабораторные, практические, семинарские).
ОК-16,
ПК-3,
ПК-4
ОК-16,
ПК-3,
ПК-4
М,Д, ОК-16,
И
ПК-3,
ПК-4
М,Д
ОК-16,
ПК-3,
ПК-4
М,Д
ОК-16,
ПК-3,
9- 2
10
2
11 8
18
11 2
12
13 2
14
2
сжатия в полном метрическом пространстве. Условие
Липшица. Сходимость. Решение нелинейных уравнений методом последовательных приближений.
Тема «Решение систем уравнений методом итера- М
ций».
Приближённое решение систем уравнений.
Модуль 2 «Интерполирование. Численное диффе- М,Д
ренцирование»
Тема «Интерполяция функций. Формула Лагранжа». М
Задачи интерполирования и экстраполирования. Шаг
интерполяции. Интерполяционная формула Лагранжа.
Тема «Интерполяционные многочлены Ньютона, М,Д
линейное интерполирование».
Конечные разности различных порядков. Горизонтальная и диагональная таблицы разностей. Первая
интерполяционная формула Ньютона. Линейное и
квадратичное интерполирование. Вывод формул линейного и обратного интерполирования. Оценка погрешности. Применение системы аналитических вычислений Maple, Excel , Maxima и др.
Тема «Метод наименьших квадратов».
М,Д
Методы обработки экспериментальных данных. Задача о среднеквадратичном приближении функций.
15 2
16
17 2
18
2
1- 10
10
2
ОК-16,
ПК-3,
ПК-4
ОК-16,
ПК-3,
ПК-5
ОК-16,
ПК-3,
ПК-5
ОК-16,
ПК-3,
ПК-5
ОК-16,
ПК-3,
ПК-5
Тема «Численное дифференцирование функций».
Постановка вопроса о приближённом дифференцировании. Формулы приближённого дифференцирования, основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона. Понятие о центральных формулах дифференцирования.
Очная форма обучения
Пятый семестр
Лабораторные занятия
Модуль1 «Приближенное решение уравнений и систем уравнений»
М,Д
ОК-16,
ПК-3,
ПК-5
Д,П
Г
ОК-16,
ПК-3,
ПК-4
ОК-16,
ПК-3,
ПК-4
ОК-16,
ПК-3,
ПК-4
12
2
Тема «Обзор используемых программных средств».
Основы работы с Maple, Excel и Maxima .
Д,П
Г
34
2
Д,П
Г
56
2
78
2
Тема «Метод половинного деления (бисекций), метод
хорд».
Применение системы аналитических вычислений
Maple, а также Excel , Maxima.
Тема «Метод касательных (Ньютона), комбинированный метод».
Применение системы аналитических вычислений
Maple, а также Excel , Maxima.
Тема «Решение уравнений методом итераций».
Решение нелинейных уравнений итераций. Применение системы аналитических вычислений Maple, а
также Excel , Maxima.
2
ПК-4
Д,П
Г
ОК-16,
ПК-3,
ПК-4
Д,П
Г
ОК-16,
ПК-3,
ПК-4
9- 2
10
11 8
18
11 2
12
2
2
13 2
14
15 2
16
17 2
18
19
9
1
2
2
2
3
2
4
2
4
2
Тема «Решение систем уравнений методом итераций».
Приближённое решение систем уравнений. Применение системы аналитических вычислений Maple
Модуль 2 «Интерполирование. Численное дифференцирование»
Д,П
Г
ОК-16,
ПК-3,
ПК-4
Д,П
Г
Тема «Интерполяция функций. Формула Лагранжа».
Интерполяционная формула Лагранжа. Применение
системы аналитических вычислений Maple, а также
Excel , Maxima.
Тема «Интерполяционные многочлены Ньютона,
линейное интерполирование».
Конечные разности различных порядков. Горизонтальная и диагональная таблицы разностей. Первая
интерполяционная формула Ньютона. Линейное и
квадратичное интерполирование. Применение системы аналитических вычислений Maple, а также Excel,
Maxima.
Тема «Метод наименьших квадратов».
Методы обработки экспериментальных данных. Задача о среднеквадратичном приближении функций.
Применение Excel.
Тема «Численное дифференцирование функций».
Формулы приближённого дифференцирования, основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона. Центральные формулы дифференцирования
(формулы Стирлинга).
Применение системы аналитических вычислений
Maple, а также Excel , Maxima.
Очная форма обучения
Пятый семестр
Практические занятия
Модуль1 «Приближенное решение уравнений и систем уравнений»
Д,П
Г
ОК-16,
ПК-3,
ПК-5
ОК-16,
ПК-3,
ПК-5
Тема «Абсолютные и относительные погрешности».
Абсолютная и относительная погрешности. Предельные абсолютная и относительная погрешности. Десятичная запись приближённых чисел. Значащая цифра.
Число верных десятичных знаков. Правила округления.
Тема «Оценка точности приближенных векторов и
функций».
Абсолютная погрешность приближенных векторов,
абсолютная погрешность приближенных функций,
оценка остаточного члена, оценочная функция.
Тема «Погрешность дифференцируемой функции».
Погрешность дифференцируемой функции. Погрешность арифметических операций.
Тема «Приближённое решение уравнений, отделение
корней».
Д,П
Г
ОК-16,
ПК-3,
ПК-5
Д,П
Г
ОК-16,
ПК-3,
ПК-5
Д,П
Г
ОК-16,
ПК-3,
ПК-5
Д,
П,
ПБ
П,
ПБ
ОК-16,
ПК-3,
ПК-4
ОК-16,
ПК-3,
ПК-4
П,
ПБ
ОК-16,
ПК-3,
ПК-4
П,
ПБ
ОК-16,
ПК-3,
ПК-4
ОК-16,
ПК-3,
П,
ПБ
5
2
6
2
7
2
8
2
9
2
2
10 2
11 8
18
11 2
2
12 2
13 2
14 2
15 2
16 2
2
Первая теорема Больцано-Коши как теоретическое
обоснование существования корней уравнений. Отделение корней уравнений. Отрезки изоляции.
Тема «Метод половинного деления (бисекций), метод
хорд». Схема метода бисекции, оценка погрешности.
Вывод формулы метода хорд, оценка погрешности.
Тема « Метод касательных (Ньютона), комбинрованный метод».
Формула, оценка погрешности.
Тема «Решение уравнений методом итераций».
Решение нелинейных уравнений методом итераций.
преобразование уравнений, оценка погрешности.
Тема «Решение систем уравнений методом итераций».
Приближённое решение систем уравнений методом
итераций, преобразование системы уравнений, оценка погрешности..
Тема «Решение систем уравнений методом Зейделя».
Приближённое решение систем уравнений методом
Зейделя, оценка погрешности.
Тема «Нахождение собственных значений».
Метод Данилевского. Метод неопределенных коэффициентов. Нахождение наибольшего по модулю собственного значения.
Модуль 2 «Интерполирование. Численное дифференцирование»
Тема «Интерполяция функций. Формула Лагранжа».
Задачи интерполирования и экстраполирования. Шаг
интерполяции. Интерполяционная формула Лагранжа.
Тема «Первый интерполяционные многочлен Ньютона».
Конечные разности различных порядков. Горизонтальная и диагональная таблицы разностей. Первая
интерполяционная формула Ньютона.
Тема « Второй интерполяционный многочлен Ньютона».
Вторая интерполяционная формула Ньютона. Оценка
погрешности. Применение системы аналитических
вычислений Maple, Excel , Maxima и др.
Тема «Линейное и обратное интерполирование».
Линейное и квадратичное интерполирование. Вывод
формул линейного и обратного интерполирования.
Тема «Интерполирование функций двух переменных».
Интерполирование функций двух переменных. Частные конечные разности.
Тема «Метод наименьших квадратов».
Методы обработки экспериментальных данных. Задача о среднеквадратичном приближении функций.
Деловая игра. Необходимо построить по таблице с
ПК-4
П,
ПБ
Д,
П,
ПБ
П,
ПБ
П,
ПБ
ОК-16,
ПК-3,
ПК-4
ОК-16,
ПК-3,
ПК-4
ОК-16,
ПК-3,
ПК-4
ОК-16,
ПК-3,
ПК-4
П,
ПБ
ОК-16,
ПК-3,
ПК-4
П,
ПБ
ОК-16,
ПК-3,
ПК-4
П,
ПБ
ОК-16,
ПК-3,
ПК-5
ОК-16,
ПК-3,
ПК-5
ОК-16,
ПК-3,
ПК-5
П,
ПБ
П,
ПБ
П,
ПБ
П,
ПБ
П,
ПБ
ОК-16,
ПК-3,
ПК-5
ОК-16,
ПК-3,
ПК-5
ОК-16,
ПК-3,
ПК-5
ОК-16,
ПК-3,
ПК-5
данными о ценах акций формулу для прогнозирования этих цен с помощью одного из методов интерполирования или одной из формул метода наименьших
квадратов. Применение системы аналитических вычислений Maple, Excel , Maxima и др.
Тема «Численное дифференцирование функций с
помощью первой интерполяционной формулы Ньютона».
Формулы приближённого дифференцирования, основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона.
Тема «Численное дифференцирование функций с
помощью формулы Стирлинга»
Центральные формулы дифференцирования (формулы Стирлинга).
17 2
18 2
19 10
26
19 2
20
2
21 2
22
23 2
24
2
25 2
26
27 2
28
29 8
36
29 2
30
2
Очная форма обучения
Шестой семестр
Лекции
Модуль 3 «Численное интегрирование и решение
дифференциальных уравнений»
Тема «Численное интегрирование по формулам прямоугольников и трапеций».
Понятие о квадратурных формулах. Формула прямоугольников. Формула трапеций. Остаточные члены
формул.
Тема «Численное интегрирование по формулам
Симпсона».
Формула. Остаточный член формулы. Принцип Рунге вычисления абсолютной погрешности параболической формулы.
Тема «Численное решение дифференциальных уравнений методом Эйлера и методом серединных точек»
Вывод формул. Оценка погрешности. Метод двойного пересчета.
Тема «Численное решение дифференциальных уравнений методами Рунге-Кутта»
Вывод формул. Оценка погрешности.
Тема «Численное решение дифференциальных уравнений с помощью многошаговых разностных методов»
Формулировка методов. Явный и неявный методы.
Погрешность аппроксимации многошаговых методов.
Устойчивость и сходимость разностных методов.
Модуль 4 «Равномерная аппроксимация, численная
оптимизация, метод Монте-Карло»
П,
ПБ
ОК-16,
ПК-3,
ПК-5
П,
ПБ
ОК-16,
ПК-3,
ПК-5
М,Д
ПК-3,
ПК-5,
ПК-12
ПК-3,
ПК-5,
ПК-12
М,Д
М,Д
ПК-3,
ПК-5,
ПК-12
М,Д
ПК-3,
ПК-5,
ПК-12
М,Д
ПК-3,
ПК-5,
ПК-12
ПК-3,
ПК-5,
ПК-12
М,Д
Тема « Аппроксимация функций тригонометричеМ,Д
скими полиномами».
Признак Дирихле-Жордана равномерной аппрокси-
ПК-4,
ПК-12
ПК-4,
ПК-12
31 2
32
33 2
34
35 2
36
2
19 10
26
19 2
20
2
21 2
22
23 2
24
25 2
26
27 8
28
2
29 2
36
2
мации функций тригонометрическими полиномами.
Алгоритм и реализация аппроксимации в математически ориентированных средах.
Тема «Численные методы оптимизации, методы
спуска».
Методы спуска, методы штрафа. Сведение многомерных задач к задачам меньшей размерности.
Тема «Метод Монте-Карло».
Идея метода Монте-Карло, случайные числа. Вычисление интегралов с помощью метода Монте-Карло.
Применение системы аналитических вычислений
Maple, Excel , Maxima и др.
Тема «Приближённые вычисления посредством рядов»
Приближённые вычисления сумм знакочередующихся рядов, формула для оценки. Применение программных средств.
Очная форма обучения
Шестой семестр
Лабораторные занятия
Модуль 3 «Численное интегрирование и решение
дифференциальных уравнений»
Тема «Численное интегрирование по формулам прямоугольников и трапеций».
Формула прямоугольников. Формула трапеций.
Остаточные члены формул. Применение системы
аналитических вычислений Maple, Excel.
Тема «Численное интегрирование по формулам
Симпсона».
Формула. Остаточный член формулы. Принцип Рунге вычисления абсолютной погрешности параболической формулы. Применение системы аналитических
вычислений Maple, Excel .
Тема «Численное решение дифференциальных уравнений методом Эйлера и методом серединных точек»
Формулы. Оценка погрешности. Применение системы аналитических вычислений Maple, Excel.
Тема «Численное решение дифференциальных уравнений методами Рунге-Кутта»
Формулы. Оценка погрешности. Применение системы аналитических вычислений Maple, Excel.
Тема «Численное решение дифференциальных уравнений с помощью многошаговых разностных методов»
Явный и неявный методы. Погрешность аппроксимации многошаговых методов. Устойчивость и сходимость разностных методов. Применение системы
аналитических вычислений Maple, Excel.
Модуль 4 «Равномерная аппроксимация, численная
оптимизация, метод Монте-Карло»
М,Д
ПК-4,
ПК-12
М,Д
ПК-4,
ПК-12
М,Д
ПК-4,
ПК-12
ПГ,
Д
ПК-3,
ПК-5,
ПК-12
ПК-3,
ПК-5,
ПК-12
ПГ,
Д
ПГ,
Д
ПК-3,
ПК-5,
ПК-12
ПГ,
Д
ПК-3,
ПК-5,
ПК-12
ПГ,
Д
ПК-3,
ПК-5,
ПК-12
ПГ,
Д
ПК-3,
ПК-5,
ПК-12
ПГ
ПК-4,
ПК-12
29 2
30
31 2
32
2
33 2
34
35 2
36
19 10
26
19 2
20
2
21 2
22
23 2
24
25 2
26
27 2
28
29 8
2
2
Тема « Аппроксимация функций тригонометрическими полиномами».
Признак Дирихле-Жордана равномерной аппроксимации функций тригонометрическими полиномами.
Алгоритм и реализация аппроксимации в математически ориентированных средах. Применение системы аналитических вычислений Maple, Excel.
Тема «Численные методы оптимизации, методы
спуска».
Методы спуска, методы штрафа. Сведение многомерных задач к задачам меньшей размерности.
Применение системы аналитических вычислений
Maple, Excel.
Тема «Метод Монте-Карло».
Идея метода Монте-Карло, случайные числа. Вычисление интегралов с помощью метода Монте-Карло.
Применение данного метода к решению оптимизационных и других задач. Применение системы аналитических вычислений Maple, Excel.
Тема «Приближённые вычисления посредством рядов»
Приближённые вычисления сумм знакочередующихся рядов, формула для оценки. Применение программных средств.
Очная форма обучения
Шестой семестр
Практические занятия
Модуль 3 «Численное интегрирование и решение
дифференциальных уравнений»
ПГ,
Д
ПК-4,
ПК-12
ПГ,
Д
ПК-4,
ПК-12
ПГ,
Д
ПК-4,
ПК-12
ПГ,
Д
ПК-4,
ПК-12
М,Д, ПК-3,
ПБ
ПК-5,
ПК-12
Тема «Численное интегрирование по формулам пря- М,Д, ПК-3,
моугольников и трапеций».
ПБ
ПК-5,
Формула прямоугольников. Формула трапеций.
ПК-12
Остаточные члены формул.
Тема «Численное интегрирование по формулам
М,Д, ПК-3,
Симпсона».
ПБ
ПК-5,
Формула. Остаточный член формулы. Принцип РунПК-12
ге вычисления абсолютной погрешности параболической формулы.
Тема «Численное решение дифференциальных урав- М,Д, ПК-3,
нений методом Эйлера и методом серединных точек» ПБ
ПК-5,
Формулы. Оценка погрешности.
ПК-12
Тема «Численное решение дифференциальных урав- М,Д, ПК-3,
нений методами Рунге-Кутта»
ПБ
ПК-5,
Формулы. Оценка погрешности.
ПК-12
Тема «Численное решение дифференциальных урав- М,Д, ПК-3,
нений с помощью многошаговых разностных мето- ПБ
ПК-5,
дов»
ПК-12
Явный и неявный методы. Погрешность аппроксимации многошаговых методов. Устойчивость и сходимость разностных методов.
Модуль 4 «Равномерная аппроксимация, численная
ПК-4,
оптимизация, метод Монте-Карло»
36
29 2
30
Тема « Аппроксимация функций тригонометрическими полиномами».
Признак Дирихле-Жордана равномерной аппроксимации функций тригонометрическими полиномами.
Алгоритм и реализация аппроксимации в математически ориентированных средах.
Тема «Численные методы оптимизации, методы
спуска».
Методы спуска, методы штрафа. Сведение многомерных задач к задачам меньшей размерности.
Тема «Метод Монте-Карло».
Идея метода Монте-Карло, случайные числа. Вычисление интегралов с помощью метода Монте-Карло.
Применение системы аналитических вычислений
Maple, Excel , Maxima и др.
Тема «Приближённые вычисления посредством рядов»
Приближённые вычисления сумм знакочередующихся рядов, формула для оценки. Применение программных средств.
31 2
32
33 2
34
2
35 2
36
ПК-12
М,Д, ПК-4,
ПБ
ПК-12
М,Д, ПК-4,
ПБ
ПК-12
М,Д, ПК-4,
ПБ
ПК-12
М,Д, ПК-4,
ПБ
ПК-12
Темы, разделы, вынесенные на самостоятельную подготовку, вопросы
к практическим и лабораторным занятиям; тематика рефератной работы; курсовые работы и проекты, контрольные, рекомендации по использованию литературы и ЭВМ и др.
Реализуемые
компетенции
Кол. час
Неделя
2.2. Самостоятельная работа студента
Самостоятельное изучение отдельных тем
Очная форма обучения. Пятый семестр.
1-3
1
4-7
2
8-9
1
11-15
2
17-18
1
Сравнение точности приближенных чисел, округление до верных
цифр, нахождение предельных погрешностей.
ОК-16,
ПК-3,
ПК-4
Отделение корней, уточнение методами половинного деления, Ньютона, хорд, простых итераций.
ОК-16,
ПК-3,
ПК-4
Приближенное решение систем линейных уравнений
ОК-16,
ПК-3,
ПК-4
ОК-16,
Интерполирование
ПК-3,
ПК-5
ОК-16,
Численное дифференцирование
ПК-3,
ПК-5
ОК-16,
ПК-3,
Усвоение текущего материала.
ПК-4,
ПК-5
Темы и вопросы, определяемые преподавателем с учетом интересов ОК-16,
студента.
ПК-3,
Интерполирование с помощью сплайнов
ПК-5
ОК-16,
ПК-3,
Курсовая работа
ПК-4,
ПК-5
Очная форма обучения. Шестой семестр.
ПК-3,
Численное интегрирование
ПК-5,
ПК-12
ПК-3,
Численное решение дифференциальных уравнений
ПК-5,
ПК-12
1-18
4
1-18
1
1-18
8
19-22
2
23-28
2
29-30
2
Аппроксимация функций тригонометрическими полиномами
33-34
2
Метод Монте-Карло
19-36
6
Усвоение текущего материала.
19-36
2
Темы и вопросы, определяемые преподавателем с учетом интересов
ПК-4,
студента.
ПК-12
Численное решение уравнений в частных производных
ПК-4,
ПК-12
ПК-4,
ПК-12
ПК-3,
ПК-4,
ПК-5,
ПК-12
2.3. Интерактивные технологии и инновационные методы, используемые в образовательном
процессе, основаны на использовании современных достижений науки и информационных
технологий, направлены на повышение качества подготовки путем развития у студентов
творческих способностей и самостоятельности (методы проблемного обучения, исследовательские методы, тренинговые формы, рейтинговые системы обучения и контроля знаний и
др.). Нацелены на активизацию творческого потенциала и самостоятельности студентов и
могут реализоваться на базе инновационных структур (научных лабораторий, центров предприятий и организаций и др.).
№
Наименование основных форм
Компьютерные
симуляции
Разбор
конкретных ситуаций
Краткое описание и примеры, использования в модулях темах, место
проведения
Тема «Решение систем уравнений
методом итераций» в модуле 1 на
лекции; тема «Метод касательных
(Ньютона), комбинированный метод» в модуле 1 на лабораторном
занятии.
Темы «Оценка точности приближенных векторов и функций» и
Часы
4
20
«Решение уравнений методом итераций» в модуле 1 на практическом
занятии; тема «Численное дифференцирование функций» в модуле 2
на лекции; тема «Интерполяция
функций. Формула Лагранжа» в
модуле 2 на лабораторном занятии;
тема «Численное решение дифференциальных уравнений методом
Эйлера и методом серединных точек» в модуле 3 на лекции; тема
«Численное решение дифференциальных уравнений с помощью многошаговых разностных методов» в
модуле 3 на лабораторном занятии;
тема «Численное решение дифференциальных уравнений методами
Рунге-Кутта» в модуле 3 на практическом занятии; тема «Приближённые вычисления посредством рядов» в модуле 4 на лекции; тема
«Численные методы оптимизации,
методы спуска» в модуле 4 на лабораторном занятии; тема «Метод
Монте-Карло» в модуле 4 на практическом занятии.
.
Деловые
и ролевые игры
Учебная деловая игра по теме 2
«Метод наименьших квадратов» в
модуле 2 на практическом занятии
Ориентация
содержания на лучшие Содержание дисциплины ориентиотечественные аналоги образователь- руется на образовательную проных программ
грамму Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.
3.Средства обучения
3.1.Информационно-методические
№
Перечень основной и дополнительной литературы, методических
разработок;
с указанием наличия в библиотеке
Основная литература:
1.
2.
Пирумов, Ульян Гайкович. Численные методы: теория и практика [Текст] :
учеб. пособие для бакалавров : учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по напр. подготовки "Математика. Приклад. математика" / У. Г. Пирумов ;
Моск. авиац. ин-т. 5-е изд., перераб. и доп. - М. : Юрайт, 2012. - 421 с
Зализняк, Виктор Евгеньевич. Численные методы. Основы научных вычислений [Текст] : учеб. пособие для бакалавров : учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по спец. (напр.) подготовки ВПО 010501 (010500.62) "При-
20
20
Перечень основной и дополнительной литературы, методических
разработок;
с указанием наличия в библиотеке
№
3.
4.
5.
клад. математика и информатика" / В. Е. Зализняк ; Сиб. федер. ун-т. 2-е изд.,
перераб. и доп. - М. : Юрайт, 2012. - 356 с
Гримайло В.И. Численные методы, учебное пособие. Ростов н/Д, изд РГЭУ
(«РИНХ»), 2004., -83 с.
Ракитин, Валентин Иванович. Руководство по методам вычислений и приложения MATHCAD [Текст] : учеб. пособие для вузов / В. И. Ракитин. - М. :
ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 264 с.
Богачев В.А., Богачев Т.В. Использование специализированных программных
средств при изучении математических дисциплин: Методические указания. –
Ростов-на-Дону: РГЭУ(«РИНХ»), 2004, -117 с.
20
20
25
Дополнительная литература:
Исаков, Валерьян Николаевич. Элементы численных методов [Текст] : учеб. 2
1. пособие для вузов / В. Н. Исаков. - М. : Академия, 2003. - 192 с.
Демидович Б.П. Марон И.А. Основы вычислительной математики. –М. Наука, 2
2. 1966.-664 с.
3. Г.Н.Воробьева, А.Н.Данилова
Практикум по численным методам. М., 1990..-208с.
2
3.2.Материально-технические
№ ауд.
Основное оборудование, специально оборудоОсновное назначение (опытное,
ванные кабинеты и аудитории: компьютерные
обучающее, контролирующее) и
классы, лингафонные кабинеты, аудитории, обо- краткая характеристика испольрудованные мультимедийными средствами обузования при изучении явлений
чения, обеспечивающие проведение лаборатори процессов, выполнении расных и практических занятий, научночетов.
исследовательской работы студентов.
201,203 Компьютерная техника с выходом в сеть Интер- ППП MS Excel, Maple 10.
нет
307
Телевизионная техника.
4.Текущий контроль успеваемости и промежуточная аттестация
№ Тесты (демонстрационный вариант), темы курсовых работ/проектов, вопросы и задания для текущего контроля, для подготовки к зачету, экзамену
4.1. Текущий контроль успеваемости
4.1.1.Индивидуальные задания
1.
2.
Mодуль 1
Пусть в выражении d  1,063  5,40 все числа приближенные и записаны с верными цифрами. Нужно найти значение и определить абсолютную и относительную погрешность.
Mодуль 3
Выяснить, на сколько частей нужно разбить отрезок 0; 0,5, чтобы вычислить инте0,5
грал
2
x
 e dx методами трапеций и Симпсона с точностью до 0,001 .
0
4.1.2. Лабораторные работы
1. Mодуль 1
Найти комбинированным методом хорд и касательных наибольший из корней
уравнения
5  3x  x3  0
точностью до 0,001.
Mодуль 2
2.
По данным в таблице
0,1 0,999444
0,3 0,995004
0,5 0,986143
0,7 0,972901
найти многочлены 1-й и 2-й степени, являющиеся наилучшими приближениями табличной функции по методу наименьших квадратов. Найти среднеквадратичное уклонение.
3.
Mодуль 3
Дано уравнение y  a  b  2x  a  1y и начальное условие y0  0 .
Найти методами Эйлера , Эйлера-Коши и Рунге-Кутта Численное решение задачи
Коши на отрезке 0,2 с шагом 0,4. (аb - порядковый номер в журнале).
Mодуль 4
Найти с точностью 0,00001 и 0,000001 сумму числового ряда
2
4.
( 1 )n1 3n1 ( 2n  3 )
.
( n  3 )!
n 1


4.1.3 Контрольные работы
1.
Mодуль 2
Дана таблица значений функции
x
f ( x )  sin . Вычислить f ( 0 ,4 ) с по2
мощью первого интерполяционного многочлена Ньютона второй степени, многочлена Лагранжа и определить абсолютную погрешность.
0,1
0,3
0,5
0,7
0,049979
0,149438
0,247404
0,342898
4.1.4 Задания для самостоятельной работы
Модуль 4
Подготовить краткие конспекты по самостоятельному изучению следующих тем:
1. Полиномы Чебышева
2. Применение метода Монте-Карло к решению оптимизационных задач.
3. Численная оптимизация при решении прикладных задач.
4.2. Промежуточная аттестация
4.2.1 Примерные темы курсовых работ
1. Решение нелинейных уравнений комбинированным методом хорд и касательных.
2. Равномерная аппроксимация функций.
3. Приближённое нахождение сумм числовых рядов
4. Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных.
5. Нахождение границ действительных корней полиномов.
6. Вторая интерполяционная формула Ньютона. Обратное интерполирование.
7. Интерполирование с помощью сплайнов.
8. Метод Монте-Карло в решении экономических задач.
9. Численное решение систем дифференциальных уравнений.
10. Численное интегрирование с помощью математически ориентированных программ.
11. Метод Зейделя.
12. Приближенные вычисления коэффициентов ряда Фурье.
4.2.2 Вопросы к экзамену
1. Дайте определение абсолютной и относительной погрешностей.
2. Поясните, что такое предельные абсолютная и относительная погрешности.
3. Поясните, что такое десятичная запись приближённых чисел. Значащая цифра.
Число верных десятичных знаков.
4. Сформулируйте правила округления.
5. Сформулируйте теорему о погрешностях арифметических действий с приближенными
числами.
6. Охарактеризуйте основные источники погрешностей при численном решении задач. Неустранимые погрешности.
7. Сформулируйте теорему Больцано-Коши и поясните процесс отделения корней
уравнений.
8. Охарактеризуйте метод половинного деления (бисекций).
9. Охарактеризуйте метод касательных (Ньютона).
10. Сформулируйте условие Липшица. Решение нелинейных уравнений методом последовательных приближений.
11. Поясните, как применять принцип сжимающих отображений к решению систем
линейных и нелинейных уравнений.
12. Поясните, что такое задачи интерполирования и экстраполирования. Шаг интерполяции.
13. Поясните, что такое конечные разности различных порядков. Горизонтальная и
диагональная таблицы разностей.
14. Поясните, что такое интерполяционная формула Лагранжа.
15. Поясните, что такое первая интерполяционная формула Ньютона.
16. Охарактеризуйте линейное и квадратичное интерполирование.
17. Опишите методы обработки экспериментальных данных. Задача о среднеквадратичном приближении функций.
18. Поясните, что такое метод наименьших квадратов для линейной приближающей
функции.
19. Охарактеризуйте формулы приближённого дифференцирования, основанные на
первой интерполяционной формуле Ньютона.
20. Введите понятие о центральных формулах дифференцирования. Графическое
дифференцирование.
21. Поясните, что такое численное интегрирование.
22. Выведите формулы прямоугольников. Оцените остаточные члены формул.
23. Выведите формулу трапеций. Оцените остаточный член формулы.
24. Выведите формулу Симпсона. Оцените остаточный член формулы.
25. Поясните принцип Рунге вычисления абсолютной погрешности параболической
формулы.
26. Охарактеризуйте метод ломаных Эйлера приближённого решения обыкновенных
дифференциальных уравнений.
27. Охарактеризуйте методы Рунге-Кутта приближённого решения обыкновенных
дифференциальных уравнений.
28. Охарактеризуйте методы Милна приближённого решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
29. Введите понятие о численном решении дифференциальных уравнений с помощью
многошаговых разностных методов
30. Поясните, что такое признак Дирихле-Жордана равномерной аппроксимации
функций
31. Поясните, когда применяются методы численной оптимизации
32 . Раскройте суть метода спуска.
33. Охарактеризуйте методы штрафа.
34. Охарактеризуйте методы Монте-Карло.
35. Поясните схему нахождения интеграла методом Монте-Карло.
36 Расскажите, как приближенно вычислять суммы знакочередующихся рядов.
4.2.3 Образец экзаменационного билета
РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
(РИНХ)
Кафедра Фундаментальной и прикладной математики
Дисциплина Численные методы
БИЛЕТ № 1
1. Вывод формул для численное интегрирование дифференциальных уравнений методом
Эйлера.
2. Привести данное уравнение x ln x
 100
к виду, подходящему для применения простых
итераций.
3. Для десяти значений независимой переменной
зависимой переменной y :
x
1
y 0,2
2
1,1
3
2,1
4
3,1
5
4
x
6
4,9
экспериментально получены значения
7
6
8
7,1
9
7,9
10
9
Исходя из предположения о линейной зависимости между x и y , найти методом
наименьших квадратов соответствующую эмпирическую формулу. Изобразить графически
экспериментальные данные и найденную прямую линию.
Зав. кафедрой _________________ Экзаменатор _________________
14 ___ 201__ г.
5.Дополнения и изменения в рабочей программе на учебный год _____/______
Следующие записи относятся к п.п.
Автор
Зав. кафедрой