МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ________________________________________________________________ Институт Кафедра - кибернетики ИПС Лабораторная работа №5 Методы последовательной оптимизации по дисциплине «Теория принятия решений» Вариант №14 Выполнил: Студент группы 8в83 _______________________ Мин И.В. Проверил: _______________________ Синюкова Е.А. Томск 2012 Цель В данной лабораторной работе студент должен научиться использовать методы последовательной оптимизации (метод последовательных уступок и метод главного критерия) для решения задач векторной оптимизации. Задание D={ x12 x22 4 } F1 ( x1 , x2 ) ( x1 2) 2 ( x2 1) 2 1; F2 ( x1 , x2 ) ( x1 1) 2 x2 2 1; F3 ( x1 , x2 ) ( x1 2) 2 ( x2 1) 2 10. Ход работы 1. Определим весовые коэффициенты для ранжирования частных критериев (формальный метод): Находим экстремумы для частных критериев: 2 2 F1 ( x1 x2) ( x1 2) ( x2 1) 1 2 2 F2 ( x1 x2) ( x1 1) x2 1 2 2 F3 ( x1 x2) ( x1 2) ( x2 1) 10 x11 1 x22 1 Для критерия F1: 2 Given 2 2 x11 x22 4 1.788 0.896 F1max Maximize ( F1 x11 x22) Given 2 2 x11 x22 4 1.789 0.894 F1min Minimize ( F1 x11 x22) maxF1 F1 F1max0 F1max1 18.944 minF1 F1 F1min0 F1min1 1.056 Для критерия F2: Given 2 2 x11 x22 4 3 7.917 10 F2max Maximize ( F2 x11 x22) Given 2 2 2 x11 x22 4 1 0 F2min Minimize ( F2 x11 x22) maxF2 F2 F2max0 F2max1 10 minF2 F2 F2min0 F2min1 1 Для критерия F3: 3 Given 2 2 x11 x22 4 1.788 0.896 F3max Maximize ( F3 x11 x22) Given 2 2 x11 x22 4 1.789 0.894 F3min Minimize ( F3 x11 x22) maxF3 F3 F3max0 F3max1 7.944 minF3 F3 F3min0 F3min1 9.944 Определяем коэффициент относительного разброса по формуле: Fi Fi i 1 Fi Fi Fi , где Fi min Fi ( X ), Fi max Fi ( X ) , который определяет максимально X D X D возможное отклонение по i -му частному критерию. 1 1 minF1 0.944 maxF1 2 1 minF2 0.9 maxF2 3 1 minF3 2.252 maxF3 Весовые коэффициенты λi получают наибольшее значение для тех критериев, относительный разброс которых в области оценок наиболее значителен i i (i 1,...,m) . m k k 1 1 1 1 2 3 0.231 2 2 1 2 3 0.22 3 3 1 2 3 0.55 Таким образом, получили, что критерий F3 является наиболее важным, а наименее важным критерием является F2. 4 Метод последовательных уступок 1) Найдем оптимальное решение, используя метод последовательных уступок: Для этого минимизируем первый по важности критерий F3 и определим его наименьшее значение F3min: Given 2 2 x11 x22 4 1.789 0.894 F3min Minimize ( F3 x11 x22) minF3 F3 F3min0 F3min1 9.944 Обозначим величину уступки для критерия F3: 3 minF3 0.1 0.994 Найдем наименьшее значение критерия F1 при условии, что значение F3 должно быть не больше, чем F3min+3: Given 2 2 x11 x22 4 F3 ( x11 x22) minF3 3 1.789 0.894 F1min Minimize ( F1 x11 x22) minF1 F1 F1min0 F1min1 1.056 Обозначим величину уступки для критерия F1: 1 minF1 0.1 0.106 Найдем наименьшее значение критерия F2 при условии, что значение F3 должно быть не больше, чем F3min+3, F1 должно быть не больше, чем F1min+1: 5 Given 2 2 x11 x22 4 F3 ( x11 x22) minF3 3 F1 ( x11 x22) minF1 1 1.716 0.716 F2min Minimize ( F2 x11 x22) minF2 F2 F2min0 F2min1 2.025 1.789 0.894 Таким образом, мы определили оптимальное решение: 1 0 X Y minF2 F2 F2min F2min 1.789 0 0.894 1 2.025 1.789 0.894 1.716 0.716 X1opt, X2opt, X3opt, Xopt: Построим области точки minF2 1 F2 10 2.025 F2min0YF2min X 1.789 0.894 1.789 0.894 1 1.716 X 1.789 1.716 Ограничение F3 ( x11 x22) minF3 3 X22 ( X1) 1 1 ( X1 2) Ограничение 0 0.716 Y 0.894 0.716 2 : X23 ( X1) 1 1 ( X1 2) F1 ( x11 x22) minF1 1 2 : 1.716 2 x11 x22) 2 F2min Minimize ( F2 X11 ( X1) 1 0.162 ( X1 2) X12 ( X1) 1 0.162 ( X1 2) 0.716 Given Область определения 2 2 x11 x22 4 2 X2 ( X1) 4 X1 : 2 X3 ( X1) 4 X1 6 Метод главного критерия В первом пункте мы выяснили, что наиболее важным критерием является F3. Найдем оптимальное решение, используя главный критерий и установленные ограничения на критерии F1 и F2: 1 minF1 0.5 0.528 2 minF2 0.5 0.5 Установим начальное приближение: x11 1 x22 1 Минимизируем главный критерий F3: 7 Given 2 2 x11 x22 4 F1 ( x11 x22) minF1 1 F2 ( x11 x22) minF2 2 1.5 0.5 F3min Minimize ( F3 x11 x22) minF3 F3 F3min0 F3min1 9.5 То есть оптимальное решение равно -9.5. Построим оптимальную точку: X 1.5 Y 0.5 Область определения D: 2 X2 ( X1) 4 X1 Ограничение F1 ( x11 x22) minF1 1 2 X21 ( X1) 1 1 ( X1 2) 0.416 Ограничение 2 X3 ( X1) 4 X1 2 X22 ( X1) 1 1 ( X1 2) 0.416 F2 ( x11 x22) minF2 2 X33 ( X1) 0.5 ( X1 1) 2 : : X32 ( X1) 0.5 ( X1 1) 2 8 Вывод В данной лабораторной работе мы освоили два метода последовательной оптимизации: метод последовательных уступок и метод главного критерия. Метод главного критерия является наиболее часто применяемым, его идея заключается в том, что частные критерии обычно неравнозначны между собой (одни из них более важны, чем другие) и это позволяет выделить главный критерий, а остальные рассматривать как дополнительные, сопутствующие. Метод последовательных уступок целесообразно применять для решения тех инженерных задач, в которых все частные критерии упорядочены по степени важности, и разница в важности критериев не слишком велика. Недостатком метода являются трудности с назначением и согласованием величин уступок. 9