Алгебраические методы в решении

Муниципальное Общеобразовательное Учреждение
ГИМНАЗИЯ № 8 имени Л.М.Марасиновой
ХII научно – практическая конференция Рыбинской Гимназической
Академии Наук,
посвященной памяти В.Н.Кондратьева.
Решение планиметрических задач
с помощью дополнительных
построений и вспомогательных
фигур.
Работу выполнила
Передбогова Екатерина
Ученица 9 «В» класса.
Научный руководитель
Селезнева Наталья
Николаевна.
Рыбинск 2006.
Содержание:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Введение.
Углы, связанные с окружностью.
Метод вспомогательной окружности.
Решение задач с помощью построения вспомогательной окружности.
Метод построения дополнительного треугольника.
Решение задач с помощью построения дополнительного треугольника.
Заключение.
В 9 классе мы заканчиваем изучение курса планиметрии. В
этом курсе очень много разнообразных задач и многие из них
решать довольно сложно.
Существуют различные методы решения планиметрических
задач.
В своей работе я обобщила и систематизировала свои
знания по геометрии. В решении планиметрических задач
выделила несколько методов:
метод вспомогательной окружности;
алгебраический метод;
геометрический метод;
тригонометрический метод;
метод непосредственных вычислений;
метод построения дополнительного треугольника;
и т.д.
В своей работе я подробно рассмотрела методы построения
дополнительного треугольника и вспомогательной окружности.
Очень часто решения геометрических задач применяется метод
вспомогательных построений. С их помощью решаемую задачу
обычно удается свести к элементарным задачам, решения
которых известны или легко могут быть получены.
Вспомогательные построения иногда напрашиваются сами
собой. Например, если в задаче говорится о прямой,
касающейся окружности, то естестве нно провести радиус в
точку касания и воспользоваться тем, что он перпендикулярен
касательной. При решении же нестандартных задач найти
удачное решение не так - то просто. Требуется большой опыт,
изобретательность, геометрическая интуиция, чтобы догадаться ,
какие дополнительные линии следует провести. Помочь делу
может умение применить геометрические преобразования,
которые приводят к построению вспомогательных фигур. Здесь
приведены 2 метода решения.
В курсе геометрии 8 класса мы рассматриваем углы,
связанные с окружностью. Мы знаем:
Центральным углом по отношению к
заданной окружности мы будем называть любой
угол с вершиной в центре этой окружности.
Любому центральному углу соответствует дуга
окружности.
Вписанным углом окружности мы
будем
называть
угол,
вершина
которого
расположена
на
окружности,
а
стороны
пересекают окружность. Любой вписанный угол
измеряется половиной дуги, на которую он
опирается.
В любой окружности вписанный угол,
опирающийся на диаметр, равен 90.
Угол с вершиной внутри круга измеряется
полусуммой двух дуг, одна из которых расположена
внутри этого угла, а другая – внутри угла, вертикального
к данному.
Угол, вершина которого расположена вне круга, а
каждая из сторон пересекает окружность в двух точках,
измеряется полуразностью дуг, заключенных внутри
угла.
Угол между касательной и хордой, проведенной
через точку касания, измеряется половиной дуги,
заключенной внутри этого угла.
Через три любые точки плоскости, не лежащие на одной прямой,
можно провести единственную окружность.
Окружность, проходящая через вершины
треугольника, называется описанной около этого
треугольника.
У любого треугольника существует и притом единственная
описанная окружность.
При решении некоторых задач может оказаться полезной
следующая теорема:
Если для четырех точек плоскости А, В, М и К выполняется одно
из следующих условий:
а) точки М и К расположены по одну сторону от
прямой АВ и при этом АМВ = АКВ;
в) точки М и К расположены по разные стороны
от прямой АВ и при этом АМВ + АКВ = 180
то точки А, В, М и К лежат на одной окружности.
Доказательство:
1)проведем окружность через точки А, В и М. Эта окружность
должна пройти через точку К. В самом деле, точка К не может
находиться внутри этой окружности, поскольку в этом случае, угол АКВ
измерялся бы половинной суммы дуги АВ и еще какой-то дуги, то есть
был больше угла АМВ.
Точка К не может располагаться и вне окружности, так как в этом
случае угол АКВ был бы меньше угла АМВ.
Итак, точка К обязательно должна лежать на окружности,
проходящей через точки А, В и М.
2)этот случай легко свести к первому. Для этого, проведя через
точки А, В и М окружность, возьмем на дуге, не содержащей точки М,
точку М . Сумма углов АМВ и АМ В измеряется половиной всей
окружности. Значит, АМВ + АМ В = 180. Теперь из 2 следует, что АМ
В = АКВ, и мы пришли к предыдущему случаю.
Особенно важную роль играет частный случай этой теоремы, который
мы даже запишем в виде:
Если АМВ = АКВ = 90, то точки А, В, и К
расположены на окружности с диаметром
АВ(рис ).
Как видите, в этой теореме два случая слились в один: точки М и К
могут быть располагаться как по одну, так и по разные стороны от прямой
АВ.
На основании этого легко решается следующая задача:
На плоскости даны две точки А и В. Найдите геометрическое место
точек М плоскости, расположенных по одну сторону от прямой АВ, и
таких, что угол АМВ = , где - заданный угол.
Решение: В соответствие с теоремой, которая
приведена выше, все нужные точки М должны
располагаться на дуге окружности, проходящей
через точки А и В.
Для построения этой дуги достаточно найти
хотя бы одну точку М, для которой
АМВ =
.Предположим такое построение(рис ).Построим
угол, равный углу , так, чтобы вершина угла была
в точке А, а одна из сторон угла была лучом АВ.
Пусть
ВАС = . Построим теперь серединный
перпендикуляр к АВ и прямую, перпендикулярную
АС и проходящую через А. Точка пересечения этих
перпендикуляров – точка О – и будет центром
искомой окружности.
Если же в условии задачи снять требование, чтобы точки М
располагались по одну сторону от АВ, то соответствующее геометрическое
место точек будет состоять из двух дуг – сами точки А и В – в
рассматриваемое геометрическое место не входят (рис ).
Все эти свойства вписанных углов позволяют решать некоторые
интересные геометрические задачи с помощью метода, который иногда
называют методом вспомогательной окружности.
Суть метода хорошо иллюстрирует следующая задача:
Через некоторую точку плоскости проведены три прямые так, что угол
между любыми двумя из них равен 60 . Докажите, что основания
перпендикуляров, опущенных из любой точки плоскости на эти прямые,
служат вершинами равностороннего треугольника.
Решение:
Пусть три данные прямые пересекаются в точке О; М – некоторая точка
плоскости; А, В, С – основания перпендикуляров, опущенных из точки М на
данные прямые.
Заметим, что точки О, М, А, В и С лежат на
одной окружности с диаметром ОМ.(рис
).
Теперь мы видим, что АВС = АОС, поскольку
оба они опираются на одну и ту же дугу. Значит,
АВС = 60. Точно так же АСВ = АОВ = 60. Из
этого следует, что все углы треугольника АВС
равны 60, то есть треугольник АВСравносторонний.
Докажем с помощью этого метода одну важную теорему планиметрии.
Мы приведем ее в качестве интересного примера, иллюстрирующего
рассматриваемый метод. Поэтому мы сформулируем ее даже не в виде
теоремы, а в виде задачи.
Докажите, что три высоты треугольника пересекаются в одной
точке.
Решение:
Рассмотрим
сначала
случай
остроугольного треугольника. Проведем в
таком треугольнике АВС высоты АА и СС и
обозначим через Н точку их пересечения(рис
), а через В - точку пересечения АС и ВН. Нам
надо доказать, что угол ВВ А- прямой.
Заметим, что точки А, С, А и С лежат
на
окружности
с
диаметром
АС(!).
Следовательно, А С С = А АС, поскольку в
этой вспомогательной окружности они
опираются на одну дугу.
Теперь заметим, что точки В, Н,А и С лежат на одной окружности с
диаметром ВН. Следовательно, А ВН = А С Н . Итак, получаем, что в
треугольниках САА и СВВ один угол общий и САА = СВВ .
Следовательно, равны и оставшиеся углы: ВВ С = АА С = 90, что и
требовалось доказать.
Рисунок
иллюстрирует случай, когда в
треугольнике АВС один угол (угол В) является
тупым. Рассуждение остается точно таким же.
Просто точки В и Н как бы меняются местами. В
этом случае точка пересечения высот оказывается
расположенной вне треугольника.
Для прямоугольного треугольника точкой пересечения высот является
вершина прямого угла.
Рассмотрим теперь задачи, в которых фигурируют окружности и
касающиеся их прямые. Решение подобного рода задач очень часто может
быть основано на очень простом факте: касательные к окружности,
выходящие из одной точки, равны.
В качестве примера рассмотрим случай, изображенный на рисунке :
две непересекающиеся окружности касаются сторон угла с вершиной А в
указанных на рисунке точках, третья прямая также касается этих
окружностей и пересекает стороны угла в точках В и С.
Заметим, что стороны угла являются общими внешними
касательными к окружности, а прямая ВС – общей внутренней
касательной к окружности. Есть еще одна общая внутренняя касательная к
этим окружностям, но на рисунке она не изображена.
В некоторых случаях под общими внешними касательными мы будем
понимать отрезки этих касательных между точками касания. Так,
утверждение, что общие внешние касательные к двум окружностям равны
между собой, означает равенство соответствующих отрезков. В наших
обозначениях это означает равенство С С = В В .
Обозначим стороны и периметр треугольника АВС как обычно:
ВС = а, СА = , АВ = с, 2 = а + + с
А теперь сформулируем задачу:
Рассмотрим всевозможные отрезки с концами в точках касания,
расположенные на проведенных прямых. Выразить эти отрезки через
стороны треугольника АВС.
В подобных задачах полезно сначала обозначить каждый из
рассматриваемых отрезков одной маленькой буквой. Тогда возникающие в
процессе решения преобразования и формулы будут менее громоздкими и
боле наглядными. При этом для обозначения неизвестных обычно
используют буквы: x , y , z , … .
Решение:
Пусть АВ = АС =x. Тогда СА = СВ = b - x , ВА = ВС = c - x . Из
равенства СА + ВА = а получим (c – x) + ( b – x) = a, откуда x = ( b + c –
a)/2=p – a.
Для нахождения АВ и АС заметим, что эти отрезки, как касательные,
равны между собой и АВ + АС = ( АС + СВ ) + ( АВ + ВС ) = ( АС + СА ) +
( АВ + ВА ) = АС + АВ + ВС = 2р. Значит, АВ = АС = р.
Точно так же находятся другие отрезки.
ВА = ВС = СА = СВ = р – в , СА = СВ = ВА = ВС = р – с, С С = В
В =а,АА = в–c
Окружность,
касающиеся
сторон
треугольника АВС, называется вписанной
окружностью этого треугольника.
У каждого треугольника существует
единственная вписанная окружность.
Доказательство: Рассмотрим треугольник
АВС.
Геометрическое
место
центров
окружностей, вписанных в угол ВАС, есть
биссектриса
этого
угла.
Це5нтр любой
окружности, вписанной в угол АВС, лежит на его
биссектрисе.
Две
указанные
биссектрисы
пересекаются в точке Р, которая равноудалена от
сторон треугольника АВС и является центром
вписанной окружности.
Рассмотрим еще один метод решения геометрических задач
определенного вида, метод вспомогательного треугольника. Сущность
приема легко принять на конкретной задаче.
Приведенная ниже задача может быть решена различными
способами. Всегда интересно задачу на построение решить геометрически,
придумать подходящее вспомогательное построение. В случае неудачи
стоит перейти к вычислениям, выразить через данные элементы некоторые
другие элементы треугольника и посмотреть, что подскажут полученные
формулы.
1.Построить треугольник АВС, разность углов А и В которого
равна 90 , если даны стороны СА и ВС.
Решение: Поскольку известны две стороны искомого треугольника
АВС (будем считать, что ВС = а и АС = b ),
а противолежащие им углы связаны соотношением А = 90 + В, то
удобно воспользоваться теоремой синусов:
Sin B
Sin(90 +B)
b
a
Учитывая, что Sin (90 + B) = Cos B, получим:
Sin B
Cos B
b
a , то есть
tg B =b/a.
Мы получили очень простую формулу,
из которой следует, что угол В искомого
треугольника
равен
острому
углу
прямоугольного треугольника с катетами а и
b.Присоединим
такой
прямоугольный
треугольник к треугольнику АВС так, чтобы
получился равнобедренный треугольник
ВСВ
(рис
). Тем самым мы нашли
вспомогательное построение, ведущее к
решению задачи.
Из приведенного анализа видно, как построить искомый
треугольник. Сначала построим вспомогательный прямоугольный
треугольник АВ С по двум катетам : В С = а и АС =b . Затем треугольник
АВ С дополним до равнобедренного: радиусом СВ проведем окружность
с центром С, которая вторично пересечет прямую АВ в искомой точке В.
По смыслу задачи а > b , поэтому точка А будет лежать между точками В
и В.
Полученный треугольник АВС удовлетворяет условию задачи.
Действительно, ВСВ - равнобедренный треугольник, ВС = В С, В = В .
По свойству внешнего угла треугольника ВАС = 90 + В . Таким
образом, ВС = а, АС = b, А = 90 + В, значит, треугольник АВС
искомый.
После того как найдено удачное вспомогательное построение, следует
присмотреться к решенной задаче и постараться выяснить, почему те или
иные вспомогательные линии приводят к цели. Нельзя ли найденный прием
использовать при решении некоторых других задач?
Рассмотрим равнобедренный
треугольник ВСВ , который отрезком АС
разбивается на два треугольника АВС АВ С
( рис ). Назовем треугольник АВ С
дополнительным к треугольнику АВС.
Установим некоторые зависимости между
элементами этих треугольников.
Пусть а, b, с – стороны треугольника АВС, R – радиус описанной
около него окружности. Треугольник АВ С иногда будем обозначать через
А В С , теми же буквами А , В , С – его углы, а противолежащие им
стороны соответственно через а , b , с .
Очевидно, а = а, b = b , причем а > b, B = B, A = 180 - A, C =
180 - В - А = 180 - В – (180 - А) = 180 - В + 180 + А = A - B.
Докажем, что c*c = a - b .
Пусть СD – высота треугольника ВСВ . Тогда ВD = В D. По теореме
Пифагора находим:
СD = a - BD ,
CD = b - AD ,
Откуда ВD - AD = a - b , или
( BD + AD ) (BD – AD) = a - b .
один из сомножителей в левой части равенства равен с , а другой – с ,
следовательно,
с*с =а -b.
Из формулы b = a - c * c следует, что в равнобедренном
треугольнике квадрат отрезка, соединяющего вершину треугольника с
какой-либо точкой основания, равен разности между произведением
боковых сторон и произведением отрезков основания. В разностороннем
треугольнике подобным свойством обладает лишь биссектриса треугольника.
Треугольники АВС и АВ С имеют общую высоту СD. Радиусы
окружностей, описанных около них, равны:
b
R=R=
2 sin B
Рассмотренные свойства дополнительных треугольников позволяют
весьма просто решить некоторые геометрические задачи. Например, задачи
на вычисление элементов треугольника, когда легче найти зависимость
между элементами дополнительного треугольника, а также задачи на
построение, если известны элементы треугольника, дополнительного к
искомому.
Предоставим решение некоторых из таких задач:
1.
Дан треугольник АВС, угол А которого в два раза больше угла В.
Найти сторону АВ, если ВС = а и АС = b.
Решение:
1)Построим АВ С дополнительный к
АВС.
2)Рассмотрим АВ С: С = А - В. Так
как А = 2 В, то С = 2 В - В = В, тогда с =
b, АВ С – равнобедренный.
3) в В СВ с*с = а - b , так как с = b ,
то получаем с * b = a – b
a -b
а - b
c=
, АВ =
b
b
2. Построить треугольник АВС, если известны разность углов
сторона ВС = а и радиус R описанной окружности.
1)построим окр.(О;R);
2)впишем в окружность угол ;
3)на пересечении с окружностью обозначим
точкой В и точкой А;
4)хорда АВ - сторона дополнительного
треугольника АВ С;
5)на окружности найдем точку С, В С = а;
6)проведем В С и АС;
7)полученный треугольник В СА дополним до
равнобедренного треугольника В СВ:
проведем В А
проведем окружность (С; а) до
пересечения с лучом В А, получим точку В;
8) треугольник АВС – искомый.
= А–В,
3. Постройте треугольник АВС, если даны стороны ВС и АС и угол
В.
Построение:
= А–
1)построим вспомогательный треугольник
АВ С по двум сторонам и углу между
ними.
2)дополним треугольник АВ С до
равнобедренного треугольника ВСВ .
Таким образом получаем искомый
треугольник АВС.
4. Дан треугольник АВС, угол А которого в два раза больше угла В. Найдите
сторону ВС, если АС = 4, АВ = 5.
Решение:
1)треугольник АВ С – дополнительный к
треугольнику АВС, АВ С –
равнобедренный, значит АВ = АС = 4;
2)равнобедренные треугольники АВ С и
ВСВ имеют угол В при основаниях, значит
треугольник АВ С подобен треугольнику
ВСВ .
3)пусть ВС = а, тогда можно пропорцию
а / 4 = 9 / а , откуда а = 6.
Ответ : ВС = 6.
5. На прямой даны три точки А, В и Н. Постройте треугольник АВС так,
чтобы его угол А был вдвое больше угла В, а точка Н служила основанием
высоты СН треугольника.
Построение:
1)пусть треугольник АВ С – дополнительный к
АВС;
2)чтобы А = 2 В :
В Н = ВН
АС = АВ
АВ С - равнобедренный
3)Таким образом, получим план построения:
1) проведем прямую т ВН
2) отложим на прямой т от точки Н
расстояние равное ВН, получим точку В ;
3)проведем окружность (А; АВ ) до
пересечения с т, получим точку С.
Таким образом, треугольник АВС –
искомый.
Итак, мы рассмотрели методы решения планиметрических задач.
Работая над своим рефератом, я усовершенствовала и углубила свои
знания и умения в решении планиметрических задач, улучшила умение
анализировать, сравнивать и обобщать данные в задаче, делать
правильные выводы. Вообще решение геометрических задач развивает у
человека интуицию, математическую зоркость, сообразительность,
любознательность.
Навыки в решении задач могут пригодиться нам при подготовке к
олимпиадам, при дополнительных занятиях, математических кружках и в
игре «Кенгуру», при сдаче экзаменов и при дальнейшем продолжении
учебы в вузе.
Используемая литература:
1.
2.
3.
4.
Э.Г. Готман «Задачи по планиметрии и методы их решения».
И.Ф. Шарыгин «Геометрия 7 – 9 »
Б.Г. Зив «Задачи к урокам геометрии 7 – 9 класса»
Л.О. Денижева и др. «ЕГЭ 2004 – 2005».