Метод вспомогательной окружности

МОУ «СОШ п. Опытный»
Руководитель работы:
Григорьева Клавдия Ивановна.
Работу представляет: ученица
9«а»класса СОШ п.Опытный
Сушкова Татьяна.
2007.
Содержание:
1)Введение.
2)Обзор литературы.
3)Методика исследования.
4)Результат исследования.
5)Выводы.
6)Список использованной литературы.
Цель:
Систематизация знаний, умения навыков о методе вспомогательной окружности.
Приобретение знаний и умений по применению метода вспомогательной
окружности.
Задачи:
1) Изучить метод вспомогательной окружности.
2) Примененить метод вспомогательной окружности при решении
геометрических задач олимпиадного уровня.
3) Подобрать задачи на метод вспомогательной окружности.
4)Показать эффективные пути решения.
1.Введение.
Характерным для решения нестандартных геометрических задач является
применение вспомогательных построений. С их помощью решаемую задачу
обычно удаётся свести к элементарным задачам, решения которых известны
или легко могут быть получены.
Вспомогательные построения иногда напрашиваются сами собой.
Например, если в задаче говорится о прямой, касающейся окружности, то
естественно провести радиус в точку касания и воспользоваться тем, что он
перпендикулярен касательной. При решении же нестандартных задач найти
удачное вспомогательное построение не так – то просто. Требуется большой
опыт, изобретательность, геометрическая интуиция, чтобы догадаться, какие
дополнительные линии следует провести. Помочь делу может умение
применять геометрические преобразования, которые приводят к построению
вспомогательных фигур. Так, ключ к решению ряда задач даёт
вспомогательная окружность.
2.Обзор литературы.
При решении планиметрических задач, когда требуется установить
равенство некоторых углов, нередко полезно около треугольника или
четырёхугольника описать окружность. Это позволяет использовать теорему
о вписанном угле и её следствия.
Как известно, около всякого треугольника можно описать окружность, и
притом только одну. При определённом условии окружность можно описать
и около четырёхугольника. Если четырёхугольник ABCD вписан в
окружность, то сумма его противоположных углов равна 180*, а углы ABD
и ACD, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Верно и обратное
предположение.
D
С
А
В
Вспомогательные построения позволяют сократить и упростить вычисления.
Всегда интересно задачу на построение решить геометрически, придумать
подходящее вспомогательное построение. В случае неудачи стоит перейти к
вычислениям, выразить через данные элементы некоторые другие элементы
треугольника и посмотреть, что подскажут полученные формулы.
Свойства дополнительных треугольников позволяют весьма просто решить
некоторые геометрические задачи. Например, задачи на вычисление элементов
треугольника, когда легче найти зависимость между элементами дополнительного
треугольника, а также задачи на построение, если известны элементы треугольника,
дополнительного к искомому.
3.Методика исследования.
Рассмотрела и изучила нестандартные геометрические задачи.
Для решения таких задач используются геометрические преобразования, которые
приводят к построению вспомогательных фигур. Это может быть вспомогательная
окружность, которую можно вписать и описать около треугольника,
четырёхугольника или многоугольника.
При решении задач воспользовалась следующими утверждениями:
1)Около всякого треугольника можно описать окружность, и притом только одну.
2)ABCD-выпуклый четырёхугольник и сумма его противоположных углов равна
180о, то ABCD можно вписать в окружность.
3)Точки В и С лежат по одну сторону от прямой AD и <ABD=<ACD.
4.Результат исследования.
8) В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АР, BQ и CR. Доказать,
что <BAP = <BQR.
Решение. Пусть Н-точка пересечения высот треугольника АВС. Т.к. <ARH =
<AQH=90о, то около четырёхугольника ARHQ можно описать окружность, приняв
отрезок АН за диаметр. Построив её, замечаем, что <BAP = <BQR как вписанные
углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.
A
R
Q
H
B
P
C
9) Из вершины А квадрата ABCD проведены лучи, образующие между собой угол
45о. Один из них пересекает диагональ BD в точке М, другой - сторону ВС в точке N.
Доказать, что <AMN=90о.
Решение. Из вершин А и В квадрата отрезок MN виден под равными углами:<MAN
=<MBN =45о. Следовательно, около четырёхугольника ABNM можно описать
окружность. Т.к. сумма
противоположных углов четырёхугольника, вписанного в окружность, равна 180 о и
<ABN =90о, то и <AMN =90о. Кроме того, замечаем, что отрезки АМ и MN равны как
хорды, стягивающие равные дуги окружности. Таким образом,
устанавливаем, что треугольник AMN не только прямоугольный, но и
равнобедренный.
Построение вспомогательной
окружности и в более сложных
случаях иногда очень быстро
приводит к цели.
D
C
M
N
A
B
10) Медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины внутри его,
различны и образуют равные углы со сторонами, выходящими из той же вершины.
Доказать, что треугольник прямоугольный.
Решение. Пусть высота СН и медиана СМ треугольника АВС образуют со
сторонами АС и ВС равные углы. Опишем около треугольника АВС окружность.
Достаточно доказать, что АВ – её диаметр. Продолжим медиану СМ до пересечения с
окружностью в точке D и рассмотрим треугольники АСН и BCD. Так как <ACH =
<BCM по условию и <A=<D как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу,
то <ACH=<CBD=90о. Следовательно, CD- диаметр окружности.
m
Центр окружности лежит на диаметре
C
CD и на перпендикуляре m к стороне
AB в её середине М. Т.к. согласно
условию медиана CD не является
В
высотой, то прямые m и CD имеют
A
B
H
M
только одну общую точку М, которая
и является центром описанной
окружности. Следовательно, AB – диаметр
D
о
окружности и <ACB=90 .
D
Полученный результат позволяет устно решить следующую очень известную
задачу: найти углы треугольника, в котором медиана и высота, проведённые из одной
вершины, делят на три равные части.
Ясно, что угол, из вершины которого проведены высота и медиана, прямой и он
делится ими на три угла по 30о. Отсюда следует, что острые углы данного
треугольника содержат 30ои 60о.
При решении некоторых задач на вычисление углов можно пользоваться
следующими свойствами.
Пусть около треугольника АВС описана окружность с центром О. Если точки О и С
лежат по одну сторону от прямой AB, то согласно свойству вписанного и
центрального углов <ACB= ½ <AOB;если же эти точки лежат по разные стороны от
АВ, то <ACB + ½ <AOB = 180о.
6)Условие: четырёхугольник ABCD вписан в окружность; О1, О2, О3, О4 – центры
окружностей, вписанных в треугольники ABC, BCD, CDA и DAB. Докажите, что О1,
О2, О3,О4-прямоугольник.
Подсказка: пусть К – точка на продолжении отрезка ВО, за точку О1. Применив
метод вспомогательной окружности, докажите, что <O4O1K=<O4AB.
Решение: поскольку АО1 и ВО1 – биссектрисы треугольника АВС, то <AO1B =90о+ ½
<ACB.
Аналогично
<AO4B = 90о+ ½ <ADB,
А т.к. <ADB = <ACB, то <AO4B = <AO1B. Поэтому точки А, О4, О1 и В лежат на
одной окружности.
Пусть К-точка на продолжении отрезка ВО1 за точку О1. Тогда
<O4O1K=180о- <O4O1B = <O4AB = ½ <BAD.
(т.к. луч АО4-биссектриса угла BAD). Аналогично
<KO1O2 =180о- <O2O1B = <O2CB = ½ <BCD,
А т.к. <BAD +<BCD = 180о(противоположные углы вписанного четырёхугольника),
то
<O4O1O2 = <O4O1K + <O2O1K = ½ <BAD + ½ <BCD = 90о.
Аналогично для остальных углов четырёхугольника О1,О2,О3,О4.
А
O4
K
D
O1
В
O3
O2
С
11) Дан треугольник АВС, угол А которого в два раза больше угла В. Найти сторону AB,
если BC =а и AC =b.
1)В Δ - ке АВС <В=60о, АА1, СС1- биссектрисы пересекаются в т.О.
Док-те, что ОА1=ОС1.
Дано:
Решение:
ΔАВС,
В
<В=60*
АА1-бисек.
СС1-бисек.
С1
А1
ОА1=ОС1
A
C
2)В остроугольном Δ - ке АВС проведены высоты АР, BQ,СR. Доказать, что
угол<РАВ=<BQR.
В
Дано:
ΔАВС,
R
P
АP,BQ,
O
CR-высоты
<РАВ=<BQR
A
C
Q
3)Из произвольной т. и катета ВС, прямоугольного Δ -ка АВС опущена гипотенуза
АВ перпендикулярную МН. Док-те, что <МАН=<МСН.
Дано:
Решение: С
Т.А, С, М, Н Є одной
ΔАВС,
окружности и опираются
ВС - катет,
на одну и ту же дугу,
АВ - гип.
M
следовательно <MAH=<МСН.
АВ┴МН
<MAH=<MCH
A
H
B
4)Внутри угла равного α , с вершиною О, внутри угла взята точка М.
Проекция угла на сторону угла А и В. Найдите длину АВ.
Решение:
Прямые угла есть, ищут окружность. Метод
вспомогательной окружности в последнюю
А
очередь. AB/sin α = 2r.
М МВ Є одной окружности диаметра ОМ.
AB=2r*sin α. AB=OМsin α =4*sinα.
О α
В
5) Докажите, что высота остроугольного Δ – ка принадлежит в одной точке. Решение:
Используем метод вспомогательной окружности.
Соединим Н1 и Н2. А, Н1, Н2, С – четырёхугольник Є одной
В
окружности, 1и 2 опираются на одну и ту же дугу.
Проведём 3-ю высоту т. О, Н2, В, Н1Є одной
окружности.
Н2
Н1
А, Н1, Н2, С – принадлежат одной окружности.
О
Н2, В, Н1, О – принадлежат одной окружности.
Δ А, Н1, С и Δ Н3, В, С=> <1=<3.
А
Н3
С
Решение. Треугольник AB` С, дополнительный
к треугольнику АВС, равнобедренный;
поскольку <C`= <A- <B и <A=2<B, то
<C`= <B`и с`= b.
Применив формулу с*с`=а2-b2,
получим: с = а2-b2/b.
C
B`
A D
B
12) Доказать, что сторона правильного девятиугольника равна разности между
большей и меньшей его диагоналями.
Решение. Пусть А1А2…А9-правильный девятиугольник. Вершины девятиугольника
делят описанную около него окружность на девять дуг по 40о. Поэтому хорды А1А5 и
А2А4 параллельны и углы А1 и А5 трапеции А1А2А4А5 равны по 60о.
Отложим на большей диагонали А1А5 отрезок А1В, равный
стороне А1А2 девятиугольника. Тогда А1А2В А1
равносторонний треугольник, <A1BA2=
А9
А2
<A1A5A4=60о, значит, А2В||А4А5 и
А2А4А5В – параллелограмм. Поэтому ВА5=
А2А4.
Итак, А1А5=А1А2+А2А4, откуда и
вытекает доказываемое утверждение.
А8
А3
В
А7
А4
Вспомогательное построение можно несколько
А6
А5
C
изменить: на продолжении меньшей диагонали А2А4
отложить отрезок А4С, равный стороне А4А5. Затем таким же образом доказать, что
А1А2СА5-параллелограм и, следовательно, А1А5=А2А4+А4С.
5.Вывод.
1)Метод вспомогательной окружности при решении сложных нестандартных задач
по геометрии очень быстро приводит к цели, позволяет решаемую задачу свести к
элементарным задачам решения которых известны или легко могут быть получены.
2)При выполнении работ мною было подобран и разобран нестандартные задачи
олимпиадного уровня.
6.Список использованной литературы.
1)Р.Г.Готман: задачи по планиметрии и методы их решения.
2)Л.С.Атанасьян: учебник геометрии 7-9кл. средней школы.