Решение - Северо-Кавказский горно

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ И МЕТОДЫ
ОПТИМИЗАЦИИ
часть I
Методические указания
к выполнению типового расчёта
Для направления подготовки 230700.62
«Прикладная информатика в экономике»
Квалификация (степень) выпускника – бакалавр
Составители
Л. М. Гуриева, А. А. Дедегкаева
Владикавказ 2013
Министерство образования и науки РФ
Северо-Кавказский горно-металлургический институт
(государственный технологический университет)
Кафедра «Информационные системы в экономике»
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ И МЕТОДЫ
ОПТИМИЗАЦИИ
часть I
Методические указания
к выполнению типового расчёта
Для направления подготовки 230700.62
«Прикладная информатика в экономике»
Квалификация (степень) выпускника – бакалавр
Составители
Л. М. Гуриева, А. А. Дедегкаева
Допущено редакционно-издательским советом
Северо-Кавказского горно-металлургического института
(государственного технологического университета).
ВЛАДИКАВКАЗ 2013
-1-
УДК 681.3.07
ББК 32.973.26 – 018.2.75
Г95
Рецензент: кандидат технических наук
профессор, Хатагов А.Ч.
Г95 Исследование операций и методы оптимизации. Часть I:
Методические указания к выполнению типового расчёта / Сост.
Л. М. Гуриева, А. А. Дедегкаева; Северо-Кавказский горнометаллургический институт (государственный технологический университет). – Владикавказ: Северо-Кавказский горнометаллургический институт (государственный технологический университет). Изд-во «Терек», 2013. 77 с.
Методические указания предназначены для ознакомления студентов
с методами исследования операций. Данное руководство содержит задачи по линейному программированию.
Рекомендовано для студентов направления 230700.62 «Прикладная
информатика в экономике». В методическом указании использованы
задания, разработанные Степановым М.Л.
УДК 681.3.07
ББК 32.973.26 – 018.2.75
Редактор: Иванченко Н. К.
Компьютерная верстка Гугкаевой Р. А.
 Составление. Северо-Кавказский горно-металлургический институт
(государственный технологический университет), 2013
 Гуриева Л.М., Дедегкаева А.А., составление, 2013
Подписано в печать 11.04.13. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура
«Таймс». Печать на ризографе. Усл. п. л. 4,5. Тираж 20 экз. Заказ №_____.
Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет). Изд-во «Терек»
Отпечатано в отделе оперативной полиграфии СКГМИ (ГТУ).
362021, Владикавказ, ул. Николаева, 44.
-2-
Введение
Линейное программирование является одним из направлений
исследования операций. Линейное программирование получило
широкое развитие в связи с тем, что ряд задач сферы планирования
и управления может быть сформулирован в виде задач линейного
программирования, для решения которых имеются эффективные
методы. По оценкам специалистов примерно 80 – 85 % всех решаемых на практике задач оптимизации относится к задачам линейного программирования.
Созданный математический аппарат в сочетании с компьютерными программами, производящими сложные математические
расчёты, позволяет широко использовать модели линейного программирования как в экономической науке, так и в хозяйственной
деятельности.
Целью выполнения типового расчета по линейному программированию является ориентация студентов на приобретение навыков применения методов прикладной математики при решении
учебных, учебно-исследовательских, инженерных и научноисследовательских экономических задач.
Данное руководство содержит задачи по следующим темам:
линейные неравенства; метод Жордана; решение задачи линейного
программирования графическим методом, решение задачи линейного программирования симплекс методом; транспортная задача.
При выполнении расчёта необходимо изучить следующие
теоретические вопросы:
1. Общие сведения о математическом аппарате исследования
операций.
2. Прикладные аспекты исследования операций.
3. Классификация задач математического программирования.
4. Линейное программирование. Общие понятия.
5. Алгебра симплекс-метода.
6. Проблема зацикливания в симплекс-методе.
7. Двойственная задача линейного программирования.
8. Транспортная задача.
9. Методы поиска опорных решений.
10.Распределительный метод решения транспортной задачи.
11.Применение метода потенциалов для решения транспортной задачи.
-3-
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Пример 1. Построить систему неравенств, определяющую
четырёхугольник ABCD, где 𝐴(4; 0), 𝐵(1,5; 1), 𝐶(3; 4), 𝐷(6; 3).
Решение
Строим четырёхугольник ABCD (рис.1)
y
C
D
B
0
A
x
Рисунок 1.
Находим уравнения прямых образующих четырёхугольник по формуле прямой, проходящей через две заданные точки:
𝑥 − 𝑥1
𝑦 − 𝑦1
=
.
𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1
Для AB
𝑥 − 𝑥𝐴
𝑦 − 𝑦𝐴
𝑥−4
𝑦−0
𝑥−4
=

=

=
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴
1,5 − 4 1 − 0
−2,5
𝑦
=  𝑥 − 4 = −2,5𝑦 
1
𝑥 + 2,5 − 4 = 0  2𝑥 + 5𝑦 − 8 = 0.
-4-
Точка О(0,0) не принадлежит полуплоскости, содержащей
четырёхугольник ABCD (т. е. неравенство для 𝑥О = 0, 𝑦О = 0
должно быть неверным 2 ∙ 0 + 5 ∙ 0 − 8 ≥ 0), поэтому первое
неравенство:
2𝑥 + 5𝑦 − 8 ≥ 0.
Для BC
𝑥 − 𝑥𝐵
𝑦 − 𝑦𝐵
𝑥 − 1,5 𝑦 − 1
𝑥 − 1,5 𝑦 − 1
=

=

=

𝑥𝐶 − 𝑥𝐵 𝑦𝐶 − 𝑦𝐵
3 − 1,5 4 − 1
1,5
3

3𝑥 − 4,5 = 1,5𝑦 − 1,5 
2𝑥 − 𝑦 − 2 = 0.
Точка О(0,0) не принадлежит полуплоскости, содержащей
четырёхугольник ABCD (т. е. неравенство для 𝑥О = 0, 𝑦О = 0
должно быть неверным (2 ∙ 0 − 0 − 2 ≥ 0), поэтому второе неравенство:
2𝑥 − 𝑦 − 2 ≥ 0.
Для CD
𝑥 − 𝑥𝐶
𝑦 − 𝑦𝐶
𝑥−3 𝑦−4
𝑥−3 𝑦−4
=

=

=

𝑥𝐷 − 𝑥𝐶 𝑦𝐷 − 𝑦𝐶
6−3 3−4
3
−1
 −𝑥 + 3 = 3𝑦 − 12 𝑥 + 3𝑦 − 15 = 0.
Точка О(0,0) принадлежит полуплоскости, содержащей четырёхугольник ABCD (т.е. неравенство для 𝑥О = 0, 𝑦О = 0 должно быть верным 1 ∙ 0 + 3 ∙ 0 − 15 ≤ 0), поэтому третье неравенство:
𝑥 + 3𝑦 − 15 ≤ 0.
Для DA
𝑥 − 𝑥𝐴
𝑦 − 𝑦𝐴
𝑥−4 𝑦−0
𝑥−4 𝑦
=

=

=

𝑥𝐷 − 𝑥𝐴 𝑦𝐷 − 𝑦𝐴
6−4 3−0
2
3

3𝑥 − 12 = 2𝑦
3𝑥 − 2𝑦 − 12 = 0.
Точка О(0,0) принадлежит полуплоскости, содержащей четырёхугольник ABCD (т.е. неравенство для 𝑥О = 0, 𝑦О = 0 должно быть верным 3 ∙ 0 − 2 ∙ 0 − 12 ≤ 0), поэтому четвертое неравенство:
3𝑥 − 2𝑦 − 12 ≤ 0.
-5-
Следовательно, четырёхугольник ABCD определяется следующей системой неравенств:
2𝑥 + 5𝑦 − 8 ≥ 0,
2𝑥 − 𝑦 − 2 ≥ 0,
{
𝑥 + 3𝑦 − 15 ≤ 0,
3𝑥 − 2𝑦 − 12 ≤ 0.
Пример 2. Построить многоугольник, определяемый системой неравенств (𝑥, 𝑦 ≥ 0):
4𝑥 + 5𝑦 − 51 ≤ 0,
𝑥 − 𝑦 + 3 ≥ 0,
{
𝑥 + 𝑦 − 5 ≥ 0,
2𝑥 − 5𝑦 − 3 ≤ 0.
Решение
Заменяем неравенства равенствами и находим по две точки,
принадлежащие соответствующим прямым заданного четырёхугольника (рис.2).
4𝑥 + 5𝑦 − 51 = 0,
𝑥 − 𝑦 + 3 = 0,
𝑥 + 𝑦 − 5 = 0,
{ 2𝑥 − 5𝑦 − 3 = 0.
𝐾(−1; 11)
𝐻(5; 8)
𝐿(5; 0)
𝐺(−1; −1)
𝑀(14; −1)
𝐹(0; 3)
𝐸(0; 5)
𝑁(14; 5)
Подставляем в неравенства координаты какой-либо точки,
например О(0,0). Первое, второе и четвёртое неравенства после
подстановки обращаются в верные неравенства (4 ∙ 0 + 5 ∙ 0 −
51 ≤ 0; 0 − 0 + 3 ≥ 0; 2 ∙ 0 − 5 ∙ 0 − 3 ≤ 0), поэтому для соответствующих прямых помечаем полуплоскости, содержащие
точку О(0,0). Третье неравенство после подстановки обращается
в верное неравенство (0 + 0 − 5 ≥ 0), поэтому помечаем полуплоскость, не содержащую точку О(0,0). Таким образом, система
неравенств определяет четырёхугольник ABCD (рис.2).
-6-
y
K
H
B
E
F
N
C
A
D
G
x
L
M
Рисунок 2.
Координаты вершин определяем как координаты точек пересечения соответствующих прямых.
Для А
4𝑥 + 5𝑦 − 51 = 0,
𝑥 = 9,
{
{
𝑦 = 3.
2𝑥 − 5𝑦 − 3 = 0.
A(9, 3)
Для B
𝑥 = 4,
4𝑥 + 5𝑦 − 51 = 0,
{
{
𝑥 − 𝑦 + 3 = 0.
𝑦 = 7.
B(4, 7)
Для C
𝑥 − 𝑦 + 3 = 0,
𝑥 = 1,
{
{
𝑦 = 4.
𝑥 + 𝑦 − 5 = 0.
C(1, 4)
Для D
𝑥 + 𝑦 − 5 = 0,
𝑥 = 4,
{𝑦 = 1.
{
2𝑥 − 5𝑦 − 3 = 0.
D(4, 1)
-7-
Пример 3. Построить многогранник, определяемый системой неравенств (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ≥ 0):
2𝑥1 − 7𝑥2 + 6𝑥3 − 7 ≤ 0,
−𝑥2 + 𝑥3 − 1 ≤ 0,
{
𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3
≤ 0,
3𝑥1 − 10𝑥2 + 8𝑥3 − 7 ≥ 0.
и найти его вершины методом Жордана.
Решение
Введением дополнительных переменных 𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 , 𝑦4 заменяем неравенства равенствами:
2𝑥1 − 7𝑥2 + 6𝑥3 + 𝑦1
= 7,
− 𝑥2 + 𝑥3
+ 𝑦2
= 1,
{
𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3
+ 𝑦3
=0,
−3𝑥1 + 10𝑥2 − 8𝑥3
+ 𝑦4 = −7.
Приводим систему к исходному виду:
𝑦1 = 7 − ( 2𝑥1 − 7𝑥2 + 6𝑥3 ),
𝑦2 = 1 − (0𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 ),
𝑦3 = 0 − (𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 ),
{ 𝑦4 = −7 − (−3𝑥1 + 10𝑥2 − 8𝑥3 ).
Заполняем табл. 1 и последовательно переводим 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 в
базис (табл. 1 – 4). Переход от таблицы к таблице осуществляется
следующим образом:
 базисную и свободную переменные меняем местами; разрешающий элемент меняем на обратное число;
 элементы разрешающей строки делим на разрешающий;
 элементы разрешающего столбца делим на разрешающий и
меняем знак на противоположный;
 остальные элементы вычисляем по правилу прямоугольника:
𝑟𝑘𝑡 ∙ 𝑎𝑖𝑗 − 𝑎𝑖𝑡 ∙ 𝑎𝑘𝑗
𝑎𝑖𝑗 =
,
𝑟𝑘𝑡
где 𝑟𝑘𝑡 – разрешающий элемент.
-8-
Таблица 1
x1
x2
2
-7
x3
6
𝑦1
1
7
𝑦2
1
0
-1
1
𝑦3
𝑦4
0
-7
1
-3
-2
10
1
-8
Таблица 3
1
𝑦3
x2
𝑦2
𝑦1
3
-2
1
-4
𝑥3
𝑥1
𝑦4
1
-1
-2
0
1
3
-1
-1
-1
1
-1
5
Таблица 2
𝑥1
𝑥2
2
-1
0
-1
𝑦2
-6
1
𝑦1
𝑥3
1
1
1
𝑦3
-1
1
-1
-1
𝑦4
1
-3
2
8
𝑥2
𝑥3
𝑥1
1
3
4
2
Таблица 4
𝑦3
𝑦1
-2
1
-2
1
-1
1
𝑦2
-4
-3
-5
𝑦4
1
1
1
1
Полученная после перевода 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 в базис таблица (таблица 4) соответствует одной из вершин многогранника. Далее последовательно заменяя 𝑦4 на 𝑦3 , 𝑦3 на 𝑦2 , 𝑦2 на 𝑦1 , получим таблицы 5 – 7, соответствующие остальным вершинам тетраэдра.
𝑥2
𝑥3
𝑥1
𝑦3
𝑥2
𝑥3
𝑥1
𝑦3
Таблица 5
1
𝑦4
5
2
6
2
3
1
1
1
Таблица 7
1
𝑦4
2
-1
3
-1
1
-1
1
1
𝑦1
3
3
2
𝑦2
-2
-1
-4
𝑥2
𝑥3
𝑥1
1
7
7
7
1
1
𝑦2
1
𝑦2
-5
-4
-6
1
𝑦3
-3
-3
-2
1
Таблица 6
𝑦4
𝑦1
4
5
3
4
5
6
1
1
𝑦3
2
1
4
1
По табл. 4 – 7, приравнивая свободные переменные к нулю, получаем координаты вершин тетраэдра:
А1 (𝑥1 = 2, 𝑥2 = 3, 𝑥3 = 4);
А3 (𝑥1 = 7, 𝑥2 = 7, 𝑥3 = 7);
А2 (𝑥1 = 3, 𝑥2 = 5, 𝑥3 = 6);
А4 (𝑥1 = 1, 𝑥2 = 2, 𝑥3 = 3).
-9-
Полученный таким образом тетраэдр показан на рис. 3.
𝑥3
А2 (3, 5, 6)
А3 (7, 7, 7)
𝑥2
А1 (2, 3, 4)
А4 (1, 2, 3)
𝑥1
Рисунок 3.
Пример 4. Решить задачу линейного программирования графическим методом (𝑥, 𝑦 ≥ 0):
4𝑥 + 5𝑦 − 51 ≤ 0,
𝑥 − 𝑦 + 3 ≥ 0,
3𝑥 − 𝑦 − 3 ≥ 0,
𝑥 + 𝑦 − 5 ≥ 0,
{2𝑥 − 5𝑦 − 3 ≤ 0,
(𝐴𝐵)
(𝐵𝐶)
(𝐶𝐷)
(𝐷𝐸)
(𝐸𝐴)
𝐹 = 𝑥 − 4𝑦 − 3 → 𝑚𝑖𝑛(𝑚𝑎𝑥).
Решение
Строим область допустимых решений ABCDE (рис. 4), как
описано в примере 2.
- 10 -
y
B(4,7)
C(3,6)
A(9,3)
D(2,3)
E(4,1)
x
0
Рисунок 4.
𝜕𝐹
Находим и строим вектор grad 𝐹 = (𝜕𝑥 ;
𝜕𝐹
𝜕𝑦
) = (1; −4). Пе-
ремещаем разрешающую прямую в направлении градиента. Она
заходит в область допустимых решений через точку B и выходит
из области через точку E. Следовательно:
𝑥𝑚𝑖𝑛 = 𝑥𝐵 = 4; 𝑦𝑚𝑖𝑛 = 𝑦𝐵 = 7; 𝐹𝑚𝑖𝑛 = 4 − 4 ∙ 7 − 3 = −27;
𝑥𝑚𝑎𝑥 = 𝑥𝐸 = 4; 𝑦𝑚𝑎𝑥 = 𝑦𝐸 = 1; 𝐹𝑚𝑎𝑥 = 4 − 4 ∙ 1 − 3 = −3.
Пример 5. Решить задачу линейного программирования
(𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0) симплекс-методом.
𝑥1 + 6𝑥2 − 42 ≤ 0,
{ 𝑥1 + 𝑥2 − 12 ≤ 0,
−𝑥1 + 8 ≥ 0.
𝐿 = 𝑥1 + 2𝑥2 → 𝑚𝑎𝑥.
Решение
Приводим задачу к основной. Для этого все неравенства сводим к неравенствам вида ≤ 0 (при умножении неравенства на -1,
знак неравенства меняется на противоположный):
- 11 -
𝑥1 + 6𝑥2 − 42 ≤ 0,
{ 𝑥1 + 𝑥2 − 12 ≤ 0,
𝑥1 − 8 ≤ 0.
Далее вводим три неотрицательные дополнительные переменные 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥5 и переходим к равенствам. Функцию 𝐿 заменяем
вспомогательной функцией 𝐿′ , равной – 𝐿 и стремящейся к минимуму. В результате получим:
𝑥1 + 6𝑥2 + 𝑥3 = 42,
{ 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥4 = 12,
𝑥1
+ 𝑥5 = 8.
′
𝐿 = −𝑥1 − 2𝑥2 → 𝑚𝑖𝑛.
Базисные переменные: 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥5 выразим через свободные:
𝑥1 , 𝑥2 , и перепишем систему в следующем виде:
𝑥3 = 42 − (𝑥1 + 6𝑥2 ),
{ 𝑥4 = 12 − (𝑥1 + 𝑥2 ),
𝑥5 = 8 − (𝑥1 + 0𝑥2 ).
′
𝐿 = 0 − (𝑥1 + 2𝑥2 ) → 𝑚𝑖𝑛.
Строим симплекс-таблицу:
′
𝐿
𝑥3
𝑥4
𝑥5
𝑥1
1
1
1
1
b
0
42
12
8
𝑥2
2
6
1
0
Так как в строке 𝐿′ есть положительные элементы, то исходный план можно улучшить.
Составляем отношения свободных членов к соответствующим коэффициентам и выбираем наименьшее из них (при этом
рассматриваются только положительные коэффициенты):
42 12 8 42 12
42
min { 1 ; 1 ; 1 ; 6 ; 1 } = 6 , следовательно, разрешающим элементом будет 6.
- 12 -
′
L
x3
x4
x5
x1
1
1
1
1
b
0
42
12
8
x2
2
6
1
0
Преобразуем таблицу по методу Жордана:
1. Разрешающий элемент меняем на обратное число;
2. Элементы разрешающей строки делим на разрешающий;
3. Элементы разрешающего столбца делим на разрешающий
и меняем знак на противоположный;
4. Остальные элементы вычисляем по правилу прямоугольника
𝑟𝑘𝑡 ∙ 𝑎𝑖𝑗 − 𝑎𝑖𝑡 ∙ 𝑎𝑘𝑗
𝑎𝑖𝑗 =
,
𝑟𝑘𝑡
где 𝑟𝑘𝑡 – разрешающий элемент.
В результате получим:
x1
4⁄
6
1⁄
6
5⁄
6
1
b
′
L
−16
x2
7
x4
5
x5
8
x3
−2⁄
6
1⁄
6
−1⁄
6
0
В столбце x1 в строке 𝐿′ , положительный элемент – составляем отношения свободных членов к соответствующим
коэффициентам этого столбца и находим наименьшее
7
5 8
5
𝑚𝑖𝑛 {1 ; 5⁄ ; 1} = 5⁄ , следовательно, разрешающий элемент 5⁄6.
⁄6
6
6
Преобразуя таблицу по методу Жордана, получаем:
𝑥4
−4⁄
5
−1⁄
5
6⁄
5
−6⁄
5
b
′
𝐿
−18
𝑥2
6
𝑥1
6
𝑥5
2
- 13 -
𝑥3
−1⁄
5
1⁄
5
−1⁄
5
1⁄
5
В строке 𝐿′ все значения отрицательны, следовательно, оптимальное решение найдено.
𝐿′𝑚𝑖𝑛 = −18  𝐿𝑚𝑎𝑥 = 18, 𝑥 ∗ = (6; 6; 0; 0; 2).
Пример 6. Найти опорную угловую точку методом искусственного базиса и решить задачу линейного программирования
(𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0) симплекс-методом.
x1 + 3x2 − 18 ≤ 0,
{ x1 − x2 − 2 ≤ 0,
3x1 + x2 − 14 ≥ 0.
L = −x1 + 2x2 + 1 → max.
Решение
Приводим задачу к основной. Для этого вводим три неотрицательные дополнительные переменные 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥5 и переходим к
ограничениям – равенствам и задаче на минимум. Одновременно
запишем систему ограничений и целевую функцию в исходном
виде:
𝑥3 = 18 − (x1 + 3x2 ),
{ 𝑥4 = 2 − (x1 − x2 ),
𝑥5 = −14 − (−3x1 − x2 ).
′
𝐿 = −1 − (−x1 + 2x2 ) → min.
Так как свободный член в третьей строке отрицателен, полученное решение (0, 0, 18, 2, −14) не является опорным (𝑥5 = −14
не удовлетворяет условию неотрицательности переменных).
Вводим искусственные переменные 𝑦𝑖 ≥ 0 и новую целевую
функцию 𝑓, равную их сумме. В данном случае достаточно одной
переменной 𝑦1 и тогда 𝑓 = 𝑦1 . Переменную 𝑦1 вводим в третье
уравнение, следующим образом. Переносим 𝑥5 в левую часть
уравнения умножаем всё на −1, затем правую часть приводим к
стандартному виду и приравниваем к 𝑦1 .
𝑥3 = 18 − (x1 + 3x2 ),
{ 𝑥4 = 2 − (x1 − x2 ),
𝑦1 = 14 − (3x1 + x2 − 𝑥5 ),
′
𝐿 = −1 − (−x1 + 2x2 ) → min,
𝑓 = 14 − (3x1 + x2 − 𝑥5 ) → min.
- 14 -
Строим симплекс-таблицу, в которой минимизируем 𝑓.
𝑓
𝐿′
𝑥3
𝑥4
𝑦1
b
14
−1
18
2
14
𝑥1
3
−1
1
1
3
𝑥2
1
2
3
−1
1
𝑥5
−1
0
0
0
−1
В строке 𝑓 два положительных коэффициента. Разрешающим
столбцом выбираем столбец x1 . Составляем отношения свободных членов к соответствующим коэффициентам и выбираем
18 2 14
2
минимальное из них: 𝑚𝑖𝑛 { ; ; } = . Следовательно, разре1 1 3
1
шающим элементом будет 1 в строке 𝑥4 . Делаем один шаг жордановых исключений.
𝑓
𝐿′
𝑥3
𝑥1
𝑦1
b
8
1
16
2
8
𝑥4
−3
1
−1
1
−3
𝑥2
4
1
4
−1
4
𝑥5
−1
0
0
0
−1
В строке 𝑓 один положительный коэффициент. Разрешающим столбцом выбираем столбец x2 . Составляем симплексные
16 2 8
8
соотношения min { 4 ; 1 ; 4} = 4. Следовательно, разрешающим
элементом будет 4 в строке 𝑦1 . Делаем ещё один шаг жордановых
исключений.
𝑓
𝐿′
𝑥3
𝑥1
b
0
−1
8
4
𝑥2
2
𝑥4
0
7⁄
4
2
1⁄
4
−3⁄
4
- 15 -
𝑦1
−1
−1⁄
4
−1
1⁄
4
1⁄
4
𝑥5
0
1⁄
4
1
−1⁄
4
−1⁄
4
Поскольку функция 𝑓 приняла нулевое значение, и все искусственные переменные оказались в числе свободных (наверху),
то полученный план (4, 2, 8, 0, 0) является опорным. Вычёркиваем из таблицы столбцы и строки, содержащие искусственные
переменные и функцию 𝑓, и продолжаем вычисления.
b
′
𝐿
𝑥3
−1
8
𝑥1
4
𝑥2
2
𝑥4
7⁄
4
2
1⁄
4
−3⁄
4
b
𝑥5
1⁄
4
1
−1⁄
4
−1⁄
4
′
𝐿
−8
𝑥4
4
𝑥1
3
𝑥2
5
𝑥3
−7⁄
8
2
−1⁄
8
3⁄
8
𝑥5
−5⁄
8
1⁄
2
−3⁄
8
1⁄
8
Поскольку в строке 𝐿′ нет положительных элементов, то
получен оптимальный план.
𝐿max = −𝐿′min = 8, 𝑥 ∗ = (3; 5; 0; 4; 0).
Пример 7. Найти опорный план транспортной задачи.
Таблица 8
Поставщик
А1
А2
А3
Потребность в
грузе
В1
4
3
2
20
Потребитель
В2
В3
5
1
4
7
6
9
25
30
Запасы
груза
В4
2
8
3
40
20
30
15
Существует два метода решения:
а) метод северо-западного угла;
б) метод наименьшей стоимости.
Решение
а) Вначале при составлении исходного плана перевозок по
методу «северо-западного угла», максимально возможное количество груза помещается в верхнюю левую клетку таблицы. В
нашем случае 𝑥11 = 20, что полностью закрывает первый столбец. Следовательно, дальше перемещаемся по строке. В сосед- 16 -
нюю клетку заносим 𝑥12 = 20. Запасы груза в пункте А1 исчерпаны и строка закрыта. Значит, заполняем нижнюю соседнюю
клетку 𝑥22 = 5. Второй столбец также закрыт. Смещаемся вправо, в пункте А2 осталось 15 единиц груза, поэтому 𝑥23 = 15.
Вторая строка закрыта. Переходим вниз, максимально возможное
количество груза 𝑥33 = 15. Третий столбец закрыт. В пункте А3
осталось 15 единиц груза, следовательно 𝑥34 = 15.
Итак, первоначальный план поставок выглядит так (табл. 9):
𝑥11 = 20, 𝑥12 = 20, 𝑥22 = 5, 𝑥23 = 15, 𝑥33 = 15, 𝑥34 = 15.
При этом плане значение целевой функции есть:
𝑓0 = 20 ∙ 4 + 20 ∙ 5 + 5 ∙ 4 + 15 ∙ 7 + 15 ∙ 9 + 15 ∙ 3 = 485.
Таблица 9
Поставщик
А1
А2
В1
4
𝑥11 = 20
3
2
А3
Потребность
в грузе
20
Потребитель
В2
В3
5
1
𝑥12 = 20
4
7
𝑥22 = 5
𝑥23 = 15
6
9
𝑥33 = 15
25
30
Запасы
груза
В4
2
8
3
𝑥34 = 15
40
20
30
15
Проверяем заполнение таблицы. Количество поставщиков
𝑚 = 3, количество покупателей 𝑛 = 4, 𝑚 + 𝑛 − 1 = 3 + 4 − 1 =
6. Число заполненных клеток также равно 6.
б) Сущность метода наименьшей стоимости состоит в том,
что на каждом шаге осуществляется максимально возможная
поставка в клетку с минимальным тарифом с𝑖𝑗 . Заполнение таблицы начинаем с клетки, которой соответствует наименьший
элемент с𝑖𝑗 из всей матрицы тарифов. Затем остаток по столбцу
или строке помещаем в клетку того же столбца или строки, которой соответствует следующее по величине значение с𝑖𝑗 и т. д.
Иными словами, последовательность заполняемых клеток опре-
- 17 -
деляется по величине с𝑖𝑗 , а помещаемые в этих клетках величины
𝑥𝑖𝑗 , как при решении по правилу «северо-западного угла».
Итак, найдём опорный план методом наименьшей стоимости
для нашего примера. Сначала выбираем наименьший тариф из
табл. 1. Наименьший тариф соответствует клетке (1, 3): с13 = 1.
Поместим максимально возможное количество груза в эту клетку: 𝑥13 = 30. Третий столбец закрыт. Остаток груза в строке
помещаем в клетку (1, 4), для которой тариф с14 = 2 является
минимальным из оставшихся в строке. Таким образом мы закрыли первую строку. Четвёртому потребителю ещё необходимо 5
единиц груза. Их помещаем в клетку (3, 4), имеющую минимальный тариф из оставшихся в четвёртом столбце. Четвёртый столбец закрыт. Смещаемся по третьей строке. В клетку (3, 1) помещаем максимально возможное количество груза: 20 единиц. Так
как третья строка ещё не закрыта, то оставшийся груз (5 ед. )
размещаем в клетке (3, 2), имеющей по сравнению с (3, 3) меньший тариф. Таким образом мы закрыли третью строку. Во втором
столбце наименьший тариф в клетке (2, 2), помещаем туда остаток груза в 20 ед.
В результате распределения получаем опорный план (таблица 10):
𝑥13 = 30, 𝑥14 = 10, 𝑥22 = 20, 𝑥31 = 20, 𝑥32 = 5, 𝑥34 = 5.
Проверяем заполнение таблицы. Количество поставщиков
𝑚 = 3, количество покупателей 𝑛 = 4, 𝑚 + 𝑛 − 1 = 3 + 4 − 1 = 6.
Число заполненных клеток также равно 6.
Замечание. Может оказаться, что при построении плана
занятых клеток будет меньше чем 𝑚 + 𝑛 − 1. В этом случае
задача называется вырожденной. Тогда в свободную клетку
(обычно в ту, которой соответствует наименьший тариф) заносится «базисный» ноль, и эта клетка считается занятой.
При этом плане значение целевой функции значительно
лучше:
𝑓0 = 30 ∙ 1 + 10 ∙ 2 + 20 ∙ 4 + 20 ∙ 2 + 5 ∙ 6 + 5 ∙ 3 = 215.
- 18 -
Поставщик
В1
4
В4
Таблица 10
Запасы
груза
𝑥13 = 30
2
𝑥14 = 10
40
4
𝑥22 = 20
7
8
6
9
Потребитель
В2
В3
5
А1
3
А2
2
А3
Потребность
в грузе
1
20
3
30
𝑥31 = 20
𝑥32 = 5
20
25
𝑥34 = 5
30
15
Пример 8. Найти опорный план транспортной задачи
(табл.8) методом Фогеля.
Решение
Сущность метода Фогеля состоит в следующем. По каждой
строке и каждому столбцу определяем разность между двумя
наименьшими тарифами и записываем ее. Из этих разностей
выбираем наибольшую и помечаем.
В строку или в столбец, где имеется наибольшая разность,
заносим в клетку с минимальным тарифом – максимально возможную поставку. После этого записываем остатки груза строкам
и столбцам. В строках и столбцах с нулевыми остатками груза
прочёркиваем все незанятые клетки. Занятые и прочёркнутые
клетки не учитываются на следующих этапах (ходах). Всё делается в одной таблице. Полученный план близок к оптимальному
(часто оптимальный). Решение примера приведено в табл. 11.
После хода 4 остался только один свободный столбец.
Очевидно, в клетку (2, 2) нужно поместить груз в количестве
𝑥22 = 20 единиц, а в клетку (3, 2) – 𝑥23 = 5 единиц. В результате
получаем опорный план
0
0 30 10
𝑋 = ( 0 20 0
0 ).
20 5
0
5
𝑓0 = 30 ∙ 1 + 10 ∙ 2 + 20 ∙ 4 + 20 ∙ 2 + 5 ∙ 6 + 5 ∙ 3 = 215.
- 19 -
Таблица 11
Потребитель
Поставщик
В1
В2
4
В3
5
А1
3
2
4
7
8
2
6
9
3
20
Потребность
в грузе
5
5
20
25
30
15
№1
1
1
6
1
№2
1
1

1
№3
1
2

5
№4
1
2


№1
№ хода
№2 №3
№4
40,
10,0
1
2


20
1
1
1
1
30, 25,
5
1
1
1
4
10
20
А3
№
хода
1
30
А2
Запасы
груза
В4
Пример 9. Решить транспортную задачу (табл. 12) распределительным методом.
Таблица 12
Поставщик
В1
А1
Потребитель
В2
4
5
Запасы груза
В3
1
10
А2
6
3
4
8
А3
1
2
4
12
Потребность в
грузе
6
14
10
Решение
Исходный опорный план получим, например, по правилу
«северо-западного угла» (табл. 13).
- 20 -
Таблица 13
4

6
5

4
6
3

4

8
1
1
+
2
+

4

2
10
6
14
10
10
8
12
𝑓0 = 6 ∙ 4 + 4 ∙ 5 + 8 ∙ 3 + 2 ∙ 2 + 10 ∙ 4 = 112.
Для каждой свободной клетки (1, 3); (2, 1); (2, 3); (3, 1)
строим цикл, помечая вершины цикла знаками «+», «» поочерёдно. Затем считаем оценки циклов, складывая тарифы «положительных» клеток и вычитая тарифы «отрицательных».
𝑠13 = 1 − 4 + 2 − 5 = −6;
𝑠21 = 6 − 4 + 5 − 3 = 4;
𝑠23 = 4 − 4 + 2 − 3 = −1;
𝑠31 = 1 − 4 + 5 − 2 = 0.
Так как среди оценок есть отрицательная, то план можно
улучшить за счёт загрузки клетки с наименьшей оценкой (1, 3).
Наименьшее количество груза в отрицательных вершинах цикла
(табл. 13) 𝑚𝑖𝑛{4; 10} = 4. К положительным вершинам цикла
прибавляем по 4 единицы, а от отрицательных отнимаем по 4
единицы груза. В результате равновесие плана не будет нарушено, т. е. итоги по строкам и столбцам не изменятся, однако получится новый план перевозок (табл. 14).
Таблица 14

4
5

6
6

4
3
4

8
1
+
1
+
2

4

6
6
6
14
10
𝑓1 = 6 ∙ 4 + 4 ∙ 1 + 8 ∙ 3 + 6 ∙ 2 + 6 ∙ 4 = 88.
- 21 -
10
8
12
Свободные клетки: (1, 2); (2, 1); (2, 3); (3, 1).
𝑠12 = 5 − 1 + 4 − 2 = 6;
𝑠21 = 6 − 4 + 1 − 4 + 2 − 3 = −2;
𝑠23 = 4 − 4 + 2 − 3 = −1;
𝑠31 = 1 − 4 + 1 − 4 = −6.
Загружая клетку (3, 1), план можно улучшить (табл.15).
Таблица 15
4

5

10
6

1
3
4

8
1
2
4
6
6

6
14
10
10
8
12
Число занятых клеток в табл. 15 не удовлетворяет условию 𝑟 = 𝑚 + 𝑛 − 1 = 3 + 3 − 1 = 5. Получен вырожденный
план. В одну из свободных клеток помещаем нуль, например в
клетку (2, 3). Далее проверяем план перевозок на оптимальность.
Свободные клетки: (1, 1); (1,2); (2, 1); (3, 3).
𝑠11 = 4 − 1 + 4 − 3 + 2 − 1 = 5;
𝑠12 = 5 − 1 + 4 − 3 = 5;
𝑠21 = 6 − 3 + 2 − 1 = 4;
𝑠33 = 4 − 2 + 3 − 4 = 1.
Так как все оценки положительны, получен оптимальный план:
0 0 10
𝑋 = (0 8 0 ),
6 6 0
Со значением целевой функции:
𝑓min = 1 ∙ 10 + 3 ∙ 8 + 4 ∙ 0 + 1 ∙ 6 + 2 ∙ 6 = 52.
- 22 -
Пример 10. Решить транспортную задачу (табл. 16) методом
потенциалов.
Таблица 16
Потребитель
Поставщик
В1
В2
В3
Запасы
груза
В4
А1
2
3
5
4
30
А2
3
2
4
1
40
А3
Потребность в
грузе
4
3
2
6
20
20
25
35
10
Решение
Исходный опорный план получим, например, по правилу
«наименьшей стоимости» (табл.17).
Таблица 17
𝑣𝑗
2
𝑢𝑖
0
1
1

15

−3
3 
2
+
5
3
0
5
2 +
4

15
4
1
25



20

20
25
35
10
5
1
10
2
4
30
40
20
Полученный план невырожденный. Число занятых клеток
равно 6, 𝑟 = 𝑚 + 𝑛 − 1 = 3 + 4 − 1 = 6.
Значение целевой функции
𝑓0 = 2 ∙ 15 + 5 ∙ 15 + 3 ∙ 5 + 2 ∙ 25 + 1 ∙ 10 + 2 ∙ 20 = 220.
Определяем потенциалы 𝑢𝑖 и 𝑣𝑗 :
𝑢1 + 𝑣1 = 2;
𝑢2 + 𝑣2 = 2;
𝑢1 + 𝑣3 = 5;
𝑢2 + 𝑣4 = 1;
- 23 -
𝑢2 + 𝑣1 = 3;
𝑢3 + 𝑣3 = 2.
Полагая, например, 𝑢1 = 0, находим остальные потенциалы
(верхняя строка, правый столбец таблицы 17):
𝑣1 = 2, 𝑣3 = 5, 𝑢2 = 1, 𝑣2 = 1, 𝑣4 = 0, 𝑢3 = −3.
Проверяем план на оптимальность: 𝑠𝑖𝑗 = 𝑐𝑖𝑗 − (𝑢𝑖 + 𝑣𝑗 ) ≥ 0.
𝑠12 = 3 − (0 + 1) = 2;
𝑠14 = 4 − (0 + 0) = 4;
𝑠23 = 4 − (1 + 5) = −2;
𝑠31 = 4 − (−3 + 2) = 5;
𝑠32 = 3 − (−3 + 1) = 5;
𝑠34 = 6 − (−3 + 0) = 9.
Оценка 𝑠23 меньше нуля, значит, план можно улучшить. Для
клетки (2, 3) строим цикл (табл.17). Загружая эту клетку
наименьшим количеством груза, стоящего в отрицательных
вершинах цикла, получим новый план (табл.18).
Таблица 18
𝑣𝑗
𝑢𝑖
0
−1
−3
2
3
2
5
3

20
3

5
2
4

10
4
25
5

25
20
35
1

20
2
1
10
2
4

10
30
40
20
Он также невырожденный. Положим потенциал 𝑢1 = 0, и
находим остальные потенциалы (верхняя строка, правый столбец
таблицы 18).
Проверяем план на оптимальность:.
𝑠12 = 3 − (0 + 3) = 0;
𝑠14 = 4 − (0 + 2) = 2;
𝑠21 = 3 − (−1 + 2) = 2;
𝑠31 = 4 − (−3 + 2) = 5;
𝑠32 = 3 − (−3 + 3) = 3;
𝑠34 = 6 − (−3 + 2) = 7.
Все оценки неотрицательны, получен оптимальный план:
20 0 10 0
𝑋 = ( 0 25 5 10).
0
0 20 0
Транспортные расходы по оптимальному плану:
𝑓min = 2 ∙ 20 + 5 ∙ 10 + 2 ∙ 25 + 4 ∙ 5 + 1 ∙ 10 + 2 ∙ 20 = 210.
- 24 -
Пример 11. Решить транспортную задачу (табл.19) с открытой моделью методом потенциалов.
Поставщик
Потребитель
В2
В3
1
5
В1
А1
3
А2
4
6
А3
2
8
Потребность в грузе
9
20
Таблица 19
Запасы
груза
В4
2
25
7
3
25
4
5
15
16
25
65<70
Решение
Поскольку спрос потребителей превышает запасы поставщиков, то вводится фиктивный поставщик, запасы которого:
3
4
𝑎4 = ∑ 𝑏𝑗 − ∑ 𝑎𝑖 = 70 − 65 = 5.
𝑗=1
𝑖=1
Транспортная задача с введением фиктивного поставщика
А4 , для которого все тарифы равны нулю, приведена в табл. 20.
Поставщик
В1
Потребитель
В2
В3
1
5
А1
3
А2
4
6
А3
2
А4
0
Потребность в грузе
9
20
Таблица 20
Запасы
груза
В4
2
25
7
3
25
8
4
5
15
0
0
0
5
16
25
70=70
Опорный план перевозок получим, например, по правилу
«наименьшей стоимости». В первую очередь просматриваем
тарифы исходной задачи. Наименьший тариф имеет клетка
(1, 2). Начиная распределение груза из этой клетки, получим
опорный план (табл. 21). Число занятых клеток равно 7, 𝑟 = 𝑚 +
+𝑛 − 1 = 4 + 4 − 1 = 7. План невырожденный.
- 25 -
Определяем потенциалы непосредственно в таблице, полагая
потенциал первого поставщика 𝑢1 = 0. Остальные определяются
однозначно по формуле 𝑢𝑖 + 𝑣𝑗 = с𝑖𝑗 . Значения потенциалов:
𝑢1 = 0, 𝑢2 = 1, 𝑢3 = 1, 𝑢4 = −5, 𝑣1 = 3, 𝑣2 = 1, 𝑣3 = 5, 𝑣4 = 2.
Таблица 21
𝑣𝑗
𝑢𝑖
0
1
−1
−5
3
1
3

5
1
4
6

2
7
8
0
2
5


4
5

20
5
2
3
20
4
0
5

11
0
25
25
15
0


5

9
20
16
25
5
Проверяем план на оптимальность:
𝑠11 = 3 − (0 + 3) = 0;
𝑠22 = 6 − (1 + 1) = 4;
𝑠32 = 8 − (1 − 1) = 8;
𝑠41 = 0 − (3 − 5) = 2;
𝑠44 = 0 − (2 − 5) = 3.
𝑠13 = 5 − (0 + 5) = 0;
𝑠23 = 7 − (1 + 5) = 1;
𝑠34 = 5 − (2 − 1) = 4;
𝑠42 = 0 − (1 − 5) = 4;
Все оценки 𝑠𝑖𝑗 ≥ 0. Полученный план оптимален:
20 20 0
5
𝑋=(5
0
0 20).
4
0 11 0
Транспортные издержки составят:
𝑓𝑚𝑖𝑛 = 1 ∙ 20 + 2 ∙ 5 + 4 ∙ 5 + 3 ∙ 20 + 2 ∙ 4 + 4 ∙ 11 = 162.
По оптимальному плану спрос третьего потребителя не удовлетворяется на 𝑥43 = 5 единиц груза.
- 26 -
Пример 12. Пусть дана транспортная задача (табл.22), в которой с𝑖𝑗 – время (в сутках, часах, …), необходимое на перевозку
груза из i – го пункта отправления в j – й пункт назначения.
Потребитель
Поставщик
В1
А1
А2
Потребность в грузе
Таблица 22
Запасы
груза
В2
12
В3
5
𝑥11
𝑥12
9
8
𝑥13
7
𝑥21
15
𝑥22
15
10
𝑥23
15
20
25
45=45
Требуется найти оптимальный план перевозок, т. е. такие
неотрицательные числа 𝑥11 , … ,𝑥23 , при которых время доставки
всех необходимых грузов к пунктам назначения было бы минимально.
Решение
По методу северо-западного угла составляем опорный
план (табл. 23).
15

15

15
15
5
10
15
Таблица 23
20
25
Проверяем число занятых клеток 𝑟 = 𝑚 + 𝑛 − 1 = 2 + 3 −
1 = 4. Из таблицы 23 следует, что базисными переменными
будут 𝑥11 , 𝑥12 , 𝑥22 , 𝑥23 , а свободными – 𝑥13 , 𝑥21 . В соответствии с
этим составляем систему ограничений:
𝑥11 + x12 = 20 − 𝑥13 ,
𝑥 + 𝑥23 = 25 − 𝑥21 ,
{ 22
𝑥11
= 15 − 𝑥21 ,
𝑥23
= 15 − 𝑥13 .
Разъединим переменные в левой части, преобразовывая системы так, чтобы базисное решение получилось допустимым
(свободные члены в правой части были положительны). Для
этого 𝑥11 из третьего уравнения подставляем в первое:
- 27 -
15 − 𝑥21 + 𝑥12 = 20 − 𝑥13  𝑥12 = 5 − 𝑥13 + 𝑥21 ,
𝑥23 из четвертого уравнения подставляем во второе:
𝑥22 + 15 − 𝑥13 = 25 − 𝑥21  𝑥22 = 10 + 𝑥13 − 𝑥21 .
Приводим систему ограничений к исходному виду:
𝑥11 = 20 − (𝑥21 ),
𝑥12 = 5 − (𝑥13 − 𝑥21 ),
𝑥22 = 10 − (−𝑥13 + 𝑥21 ),
{ 𝑥23 = 15 − (𝑥13 ).
Составляем симплекс-таблицу.
Таблица 24
𝑥11
𝑥12
𝑥22
𝑥23
𝑥13
0
1
−1
1
b
15
5
10
15
𝑥21
1
−1
1
0
Из базисных переменных выбираем ту, которой соответствует наибольшее время – это 𝑥11 (t=12).
В строке 𝑥11 положительный коэффициент только в столбце
𝑥21 . Составляем для этого столбца симплексные отношения и
15 10
определяем минимальное: min { 1 ; 1 } = 10. Следовательно,
разрешающим элементом будет единица в строке 𝑥22 (табл. 24).
Делаем один шаг жордановых исключений (табл. 25).
Таблица 25
𝑥13
1
0
−1
1
b
5
15
10
15
𝑥22
−1
1
1
0
𝑥11
𝑥12
𝑥21
𝑥23
В строке 𝑥11 есть положительный коэффициент в столбце 𝑥13 . Составляем для этого столбца симплексные отношения и
5 15
определяем минимальное: min {1 ; 1 } = 5. Следовательно, разрешающим элементом будет единица в строке 𝑥11 (табл. 25). Делаем один шаг жордановых исключений (табл. 26).
- 28 -
Таблица 26
b
𝑥11
𝑥22
𝑥13
5
1
−1
𝑥12
15
0
1
𝑥21
15
1
0
𝑥23
10
−1
1
Переменная 𝑥11 перешла в свободные, вычёркиваем соответствующий столбец (табл. 26). Из оставшихся базисных переменных
наибольшее время (t=10) соответствует переменной 𝑥23 . В строке
𝑥23 есть положительный коэффициент, следовательно время можно
улучшить. Составляем для этого столбца симплексные отношения и
15 10
определяем минимальное: min { 1 ; 1 } = 10. Следовательно, разрешающим элементом будет единица в строке 𝑥23 (табл. 26). Делаем один шаг жордановых исключений (табл. 27).
Таблица 27
b
𝑥23
𝑥13
15
1
𝑥12
5
−1
𝑥21
15
0
𝑥22
10
1
Переменная 𝑥23 перешла в свободные, вычёркиваем соответствующий столбец (табл. 27). Разрешающих столбцов
больше не осталось, т. е. улучшить решение нельзя. Максимальное время, соответствующее оставшимся базисным переменным
𝑚𝑎𝑥{8 ,5 ,9 ,7} = 9.
Ответ 𝑡опт = 9.
- 29 -
ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Задача 1. Построить систему неравенств, определяющую пятиугольник ABCDE (x, y≥0):
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20
1.21
1.22
1.23
1.24
1.25
1.26
1.27
1.28
1.29
A(2;4),
A(0;0),
A(1;3),
A(0;4),
A(0;5),
A(2;0),
A(1;4),
A(1;3),
A(0;3),
A(0;3),
A(0;4),
A(1;3),
A(1;4),
A(1;5),
A(2;4),
A(1;2),
A(3;1),
A(1;2),
A(1;3),
A(6;1),
A(6;3),
A(3;1),
A(4;4),
A(4;6),
A(4;6),
A(2;3),
A(4;1),
A(1;0),
A(3;4),
B(5;6),
B(1;5),
B(4;6),
B(5;5),
B(4;7),
B(1;2),
B(3;6),
B(3;5),
B(3;4),
B(2;5),
B(2;6),
B(2;5),
B(3;6),
B(4;6),
B(5;5),
B(1;4),
B(1;2),
B(1;3),
B(1;6),
B(4;2),
B(5;1),
B(2;2),
B(5;2),
B(5;2),
B(2;5),
B(4;2),
B(3;3),
B(1;2),
B(4;3),
C(6;3),
C(4;7),
C(6;5),
C(7;1),
C(5;5),
C(3;5),
C(6;3),
C(7;5),
C(7;1),
C(4;4),
C(6;7),
C(7;5),
C(6;3),
C(5;6),
C(5;3),
C(2;7),
C(1;4),
C(2;5),
C(3;7),
C(3;4),
C(2;2),
C(2;6),
C(3;1),
C(1;1),
C(4;1),
C(3;1),
C(4;5),
C(2;3),
C(3;2),
- 30 -
D(3;0),
D(6;3),
D(6;2),
D(4;0),
D(3;1),
D(7;3),
D(6;2),
D(6;2),
D(2;0),
D(5;3),
D(6;0),
D(6;2),
D(6;1),
D(4;3),
D(4;1),
D(5;4),
D(3;5),
D(5;4),
D(5;4),
D(3;6),
D(1;5),
D(4;5),
D(2;2),
D(1;5),
D(6;3),
D(2;1),
D(6;5),
D(3;3),
D(1;1),
E(1;0).
E(4;0).
E(2;1).
E(0;1).
E(0;3).
E(6;0).
E(3;1).
E(4;0).
E(0;2).
E(1;0).
E(2;1).
E(4;0).
E(2;2).
E(3;1).
E(2;2).
E(3;1).
E(6;1).
E(4;1).
E(3;1).
E(7;3).
E(5;5).
E(5;3).
E(2;5).
E(3;6).
E(6;6).
E(1;2).
E(7;3).
E(4;1).
E(1;3).
1.30
1.31
1.32
1.33
1.34
1.35
1.36
1.37
1.38
1.39
1.40
1.41
1.42
1.43
1.44
1.45
1.46
1.47
1.48
1.49
1.50
A(2;1),
A(3;5),
A(0;4),
A(0;2),
A(1;3),
A(1;4),
A(0;4),
A(0;4),
A(1;4),
A(1;3),
A(0;1),
A(1;2),
A(2;6),
A(0;1),
A(0;4),
A(0;4),
A(0;1),
A(0;3),
A(0;4),
A(1;1),
A(1;4),
B(1;4),
B(6;5),
B(1;8),
B(1;6),
B(2;5),
B(3;6),
B(3;5),
B(2;6),
B(4;5),
B(4;6),
B(3;6),
B(4;7),
B(6;5),
B(2;6),
B(2;6),
B(4;6),
B(3;6),
B(2;6),
B(2;6),
B(1;4),
B(6;4),
C(3;6),
C(7;2),
C(7;5),
C(5;5),
C(7;5),
C(6;3),
C(5;4),
C(6;7),
C(7;3),
C(6;5),
C(6;5),
C(5;5),
C(6;3),
C(6;5),
C(7;3),
C(5;6),
C(6;3),
C(6;6),
C(4;6),
C(4;6),
C(5;0),
D(5;4),
D(4;1),
D(6;2),
D(4;2),
D(6;2),
D(6;2),
D(6;3),
D(6;0),
D(5;1),
D(6;2),
D(6;1),
D(5;1),
D(6;1),
D(6;3),
D(7;1),
D(5;2),
D(6;1),
D(6;3),
D(7;4),
D(6;4),
D(2;1),
E(4;1).
E(1;3).
E(2;2).
E(3;1).
E(4;0).
E(2;1).
E(1;3).
E(2;1).
E(2;1).
E(2;1).
E(3;0).
E(3;0).
E(0;0).
E(3;0).
E(2;0).
E(1;0).
E(3;0).
E(5;1).
E(6;0).
E(5;0).
E(0;3).
Задача 2. Построить многоугольник, определяемый системой
неравенств (x, y≥0):
x − 6 ≤ 0,
x − 3y − 3 ≤ 0,
2.1 x + 3y − 3 ≥ 0,
5x − 3y + 3 ≥ 0,
{ x + y − 9 ≤ 0.
2x + 5y − 15 ≥ 0,
3x − 2y + 6 ≥ 0,
y − 6 ≤ 0,
2.3
x − 6 ≤ 0,
{ 2x − y − 9 ≤ 0.
2x − 3y + 10 ≥ 0,
x + y − 10 ≤ 0,
2.4 4x − y − 20 ≤ 0,
x + 4y − 5 ≥ 0,
{
x − 1 ≥ 0.
y − 6 ≤ 0,
2x + 3y − 26 ≤ 0,
2.2 4x − y − 24 ≤ 0,
2x + 3y − 12 ≥ 0,
{ x − y + 4 ≥ 0.
- 31 -
x − y + 3 ≥ 0,
y − 4 ≤ 0,
2.5 2x − y − 10 ≤ 0,
x + 3y − 5 ≥ 0,
{ x + y − 3 ≥ 0.
𝑥 − 3𝑦 + 14 ≥ 0,
𝑦 − 6 ≤ 0,
2.11 2𝑥 − 𝑦 − 5 ≤ 0,
2𝑥 + 𝑦 − 7 ≥ 0,
{ 3𝑥 − 𝑦 − 9 ≤ 0.
x + 2y − 16 ≤ 0,
x − 6 ≤ 0,
2.6 x − 4y + 2 ≤ 0,
2x + y − 5 ≥ 0,
{ x − y + 2 ≥ 0.
x − 3y + 10 ≥ 0,
2x − y − 7 ≤ 0,
2.12 x + 2y − 6 ≥ 0,
x − 2 ≥ 0,
{ x − 5 ≤ 0.
3x + 2y − 11 ≥ 0,
x − y + 3 ≥ 0,
x + y − 9 ≤ 0,
2.7
x − 6 ≤ 0,
{ x − 3y ≤ 0.
𝑥 − 1 ≥ 0,
𝑥 − 𝑦 + 2 ≥ 0,
𝑥 − 3 ≤ 0,
2.13
𝑥 + 𝑦 − 3 ≥ 0,
{2𝑥 − 𝑦 − 3 ≤ 0.
y − 5 ≤ 0,
3𝑥 − 𝑦 − 16 ≤ 0,
𝑥 − 𝑦 − 4 ≤ 0,
2.8
𝑥 + 𝑦 − 4 ≥ 0,
{ 𝑥 − 𝑦 + 2 ≥ 0.
4x − y + 2 ≥ 0,
x + 4y − 25 ≤ 0,
2.14 3x − y − 10 ≤ 0,
x − y − 2 ≤ 0,
{ x + 3y − 6 ≥ 0.
𝑥 − 6 ≤ 0,
𝑥 + 4𝑦 − 6 ≥ 0,
2.9 3𝑥 + 2𝑦 − 8 ≥ 0,
𝑥 − 𝑦 + 4 ≥ 0,
{𝑥 − 4𝑦 + 22 ≥ 0.
2𝑥 − 𝑦 + 1 ≥ 0,
𝑥 + 3𝑦 − 17 ≤ 0,
2.15 3𝑥 − 𝑦 − 11 ≤ 0,
𝑥 + 3𝑦 − 7 ≥ 0,
{ 𝑥 − 1 ≥ 0.
4x + y − 5 ≥ 0,
x − 4y + 20 ≥ 0,
2.10 3x + 2y − 24 ≤ 0,
x − 6 ≤ 0,
{ x + 5y − 6 ≥ 0.
x − 2y + 11 ≥ 0,
3x + 2y − 23 ≤ 0,
2.16 3x − 2y − 7 ≤ 0,
x − 1 ≥ 0,
{ x + y − 4 ≥ 0.
- 32 -
3𝑥 + 𝑦 − 8 ≥ 0,
𝑦 − 5 ≤ 0,
2.17 4𝑥 + 𝑦 − 29 ≤ 0,
𝑦 − 1 ≥ 0,
{ 𝑥 + 3𝑦 − 8 ≥ 0.
𝑦 − 2 ≥ 0,
3𝑥 + 𝑦 − 7 ≥ 0,
2.23 𝑥 − 3𝑦 + 13 ≥ 0,
3𝑥 + 2𝑦 − 27 ≤ 0,
{
𝑥 − 7 ≤ 0.
y − 5 ≤ 0,
x + 3y − 19 ≤ 0,
2.24 x − y − 3 ≤ 0,
x + y − 5 ≥ 0,
{ x − 2 ≥ 0.
−x − 2y + 5 ≤ 0,
x − 1 ≥ 0,
2.18 x − 2y + 7 ≥ 0,
4x + 3y − 27 ≤ 0,
y − 1 ≥ 0.
{
3x − y − 7 ≥ 0,
y − 5 ≤ 0,
2.25 x + 2y − 7 ≥ 0,
y − 1 ≥ 0,
{ x − 7 ≤ 0.
𝑥 + 2𝑦 − 6 ≥ 0,
𝑦 − 1 ≥ 0,
𝑥 − 6 ≤ 0,
2.19
𝑥 + 3𝑦 − 18 ≤ 0,
{ 3𝑥 − 𝑦 − 4 ≥ 0.
y − 6 ≤ 0,
x + 3y − 21 ≤ 0,
2.26 3x − y − 13 ≤ 0,
y − 2 ≥ 0,
{4x + y − 14 ≥ 0.
x − 2y + 8 ≥ 0,
2x + y − 9 ≥ 0,
2.20 x − y − 3 ≤ 0,
x − 6 ≤ 0,
{ y − 6 ≤ 0.
𝑥 − 2 ≥ 0,
𝑥 − 𝑦 + 2 ≥ 0,
𝑦 − 5 ≤ 0,
2.27
𝑥 + 2𝑦 − 14 ≤ 0,
{𝑥 − 6𝑦 + 10 ≤ 0.
4𝑥 + 𝑦 − 22 ≤ 0,
𝑥 − 4𝑦 + 3 ≤ 0,
𝑥 − 1 ≥ 0,
2.21
𝑥 − 2𝑦 + 9 ≥ 0,
{ 𝑦 − 6 ≤ 0.
𝑥 − 𝑦 + 3 ≥ 0,
𝑥 + 𝑦 − 9 ≤ 0,
𝑥 − 6 ≤ 0,
2.28
𝑥 − 4𝑦 + 2 ≤ 0,
{3𝑥 + 𝑦 − 7 ≥ 0.
2x + y − 12 ≤ 0,
x − 2y − 1 ≤ 0,
2.22 x + y − 4 ≥ 0,
x − 2 ≥ 0,
x
+
2y − 12 ≤ 0.
{
- 33 -
2𝑥 − 𝑦 + 1 ≥ 0,
𝑦 − 5 ≤ 0,
2.29 3𝑥 − 𝑦 − 16 ≤ 0,
𝑥 − 𝑦 − 4 ≤ 0,
{ 𝑥 + 𝑦 − 4 ≥ 0.
3𝑥 + 𝑦 − 7 ≥ 0,
𝑥 − 𝑦 + 3 ≥ 0,
2.35 𝑥 + 𝑦 − 9 ≤ 0,
3𝑥 − 𝑦 − 11 ≤ 0,
{ 𝑦 − 1 ≥ 0.
4𝑥 − 𝑦 + 2 ≥ 0,
𝑥 + 4𝑦 − 25 ≤ 0,
2.30 3𝑥 − 𝑦 − 10 ≤ 0,
𝑥 − 𝑦 − 2 ≤ 0,
{ 𝑥 + 3𝑦 − 6 ≥ 0.
𝑥 + 𝑦 − 7 ≤ 0,
𝑥 − 𝑦 − 1 ≤ 0,
2.36 𝑥 − 2𝑦 + 1 ≤ 0,
𝑥 − 1 ≥ 0,
{𝑥 − 2𝑦 + 5 ≥ 0.
𝑥 − 𝑦 + 3 ≥ 0,
𝑥 + 4𝑦 − 17 ≤ 0,
2.31 2𝑥 + 𝑦 − 13 ≤ 0,
𝑥 − 4𝑦 − 2 ≤ 0,
3𝑥
{ + 2𝑦 − 6 ≥ 0.
𝑥 − 1 ≥ 0,
𝑥 − 𝑦 + 1 ≥ 0,
𝑦 − 3 ≤ 0,
2.37
2𝑥 + 𝑦 − 9 ≤ 0,
{−𝑥 + 3𝑦 + 1 ≥ 0.
𝑥 + 𝑦 − 7 ≥ 0,
𝑥 − 𝑦 + 3 ≥ 0,
𝑦 − 6 ≤ 0,
2.32
3𝑥 − 𝑦 − 12 ≤ 0,
{ 𝑦 − 3 ≥ 0.
2𝑥 + 𝑦 − 9 ≥ 0,
2𝑥 − 𝑦 − 3 ≥ 0,
𝑦 − 5 ≤ 0,
2.38
2𝑥 + 𝑦 − 17 ≤ 0,
{2𝑥 − 3𝑦 − 5 ≤ 0.
2𝑥 + 𝑦 − 7 ≥ 0,
𝑥 − 𝑦 + 1 ≥ 0,
2.33 2𝑥 + 5𝑦 − 26 ≤ 0,
𝑥 − 8 ≤ 0,
𝑦 − 1 ≥ 0.
{
𝑥 + 2𝑦 − 8 ≤ 0,
𝑥 − 𝑦 − 2 ≤ 0,
𝑦 − 1 ≥ 0,
2.39
𝑥 + 𝑦 − 3 ≥ 0,
{ 𝑥 − 𝑦 + 1 ≥ 0.
𝑦 − 5 ≤ 0,
3𝑥 + 𝑦 − 23 ≤ 0,
2.34 𝑥 − 3𝑦 − 1 ≤ 0,
2𝑥 + 3𝑦 − 11 ≥ 0,
{ 2𝑥 − 2𝑦 + 4 ≥ 0.
2𝑥 + 𝑦 − 10 ≥ 0,
𝑦 − 3 ≥ 0,
2.40 3𝑥 + 4𝑦 − 33 ≤ 0,
2𝑥 − 𝑦 − 11 ≤ 0,
{ 𝑥 + 2𝑦 − 8 ≥ 0.
- 34 -
𝑦 − 6 ≤ 0,
5𝑥 + 3𝑦 − 48 ≤ 0,
𝑦 − 1 ≥ 0,
2.41
𝑥 + 𝑦 − 9 ≥ 0,
{ 3𝑥 + 𝑦 − 21 ≥ 0.
2𝑥 − 𝑦 − 9 ≤ 0,
𝑥 + 3𝑦 − 8 ≥ 0,
2.46 3𝑥 + 𝑦 − 8 ≥ 0,
𝑦 − 5 ≤ 0,
{2𝑥 + 𝑦 − 15 ≤ 0.
𝑥 + 𝑦 − 5 ≥ 0,
2𝑥 + 𝑦 − 7 ≥ 0,
𝑦 − 5 ≤ 0,
2.42
4𝑥 + 𝑦 − 25 ≤ 0,
{ 𝑦 − 1 ≥ 0.
𝑥 − 7 ≤ 0,
2𝑥 + 𝑦 − 17 ≤ 0,
𝑦 − 5 ≤ 0,
2.47
3𝑥 + 𝑦 − 14 ≥ 0,
{𝑥 + 3𝑦 − 10 ≥ 0.
𝑥 − 4𝑦 + 1 ≤ 0,
𝑥 + 2𝑦 − 5 ≥ 0,
𝑥 − 1 ≥ 0,
2.43
𝑦 − 6 ≤ 0,
{ 𝑥 + 𝑦 − 9 ≤ 0.
𝑥 − 3 ≥ 0,
3𝑥 − 𝑦 − 6 ≥ 0,
2.48 𝑥 + 𝑦 − 10 ≤ 0,
4𝑥 + 𝑦 − 25 ≤ 0,
{ 𝑦 − 1 ≥ 0.
𝑥 − 1 ≥ 0,
𝑥 − 𝑦 + 3 ≥ 0,
2.44 3𝑥 + 4𝑦 − 26 ≤ 0,
𝑥 − 𝑦 − 4 ≤ 0,
𝑦 − 1 ≥ 0.
{
𝑥 + 𝑦 − 4 ≥ 0,
𝑥 − 2 ≥ 0,
2.49 𝑥 + 2𝑦 − 14 ≤ 0,
2𝑥 + 𝑦 − 13 ≤ 0,
{ 𝑥 − 𝑦 − 2 ≤ 0.
𝑥 + 2𝑦 − 5 ≥ 0,
2𝑥 + 𝑦 − 7 ≥ 0,
2.45
𝑥 − 2 ≥ 0,
𝑦 − 5 ≤ 0,
{ 𝑥 − 5 ≤ 0.
𝑦 − 1 ≥ 0,
𝑥 − 5 ≤ 0,
2.50 𝑥 + 2𝑦 − 15 ≤ 0,
3𝑥 − 𝑦 − 3 ≥ 0,
{ 2𝑥 + 𝑦 − 7 ≥ 0.
- 35 -
Задача 3. Построить многогранник, определяемый системой неравенств, и найти его вершины методом Жордана (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ≥ 0):
8𝑥1 + 4𝑥2 − 5𝑥3
≥ 0,
2𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 − 13 ≥ 0,
3.1{
11𝑥1 − 𝑥2 − 2𝑥3
≥ 0,
34𝑥1 + 4𝑥2 − 5𝑥3 − 52 ≤ 0.
3𝑥1 – 𝑥2 − 3𝑥3 + 4 ≥ 0,
16𝑥1 − 6𝑥2 − 17𝑥3 + 25 ≤ 0,
3.2
5𝑥1 − 2𝑥2 − 5𝑥3 + 7 ≤ 0,
{18𝑥1 − 7𝑥2 − 19𝑥3 + 29 ≥ 0.
9𝑥1 + 𝑥2 − 4𝑥3 − 8 ≥ 0,
−2𝑥2 − 𝑥3 + 7 ≤ 0,
3.3{
18𝑥1 + 11𝑥2 + 10𝑥3 − 115 ≤ 0,
9𝑥1 + 4𝑥2 + 11𝑥3 − 59 ≥ 0.
12𝑥1 + 8𝑥2 + 13𝑥3 − 85 ≥ 0,
3𝑥 + 2𝑥2 +
𝑥3 − 19 ≤ 0,
3.4{ 1
6𝑥1 + 𝑥2 + 5𝑥3 − 32 ≤ 0,
3𝑥1 + 5𝑥2 + 7𝑥3 − 43 ≤ 0.
𝑥1 + 7𝑥2 + 3𝑥3 − 28 ≤ 0,
−3𝑥2 − 𝑥3 + 9 ≤ 0,
3.5{
2𝑥2 + 𝑥3 − 7 ≥ 0,
𝑥1 − 13𝑥2 − 5𝑥3 + 40 ≥ 0.
10𝑥1 − 11𝑥2 − 3𝑥3 + 7 ≥ 0,
𝑥 −
𝑥2
− 1 ≤ 0,
3.6{ 1
4𝑥1 − 3𝑥2 − 4𝑥3 + 7 ≤ 0,
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3
≥ 0.
2𝑥1 − 6𝑥2 + 3𝑥3 + 4 ≥ 0,
3𝑥1 − 9𝑥2 + 10𝑥3 − 27 ≤ 0,
3.7{
5𝑥1 + 7𝑥2 + 2𝑥3 − 45 ≥ 0,
3𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 − 16 ≤ 0.
- 36 -
6𝑥1 + 3𝑥2 − 4𝑥3 + 1 ≥ 0,
9𝑥1 − 6𝑥2 + 𝑥3 + 5 ≥ 0,
3.8{
6𝑥1 + 3𝑥2 + 10𝑥3 − 55 ≥ 0,
15𝑥1 − 3𝑥2 + 4𝑥3 − 43 ≤ 0.
2𝑥1 − 𝑥2
≥ 0,
5𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 − 3 ≥ 0,
3.9{
4𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 − 5 ≥ 0,
11𝑥1 − 6𝑥2 + 2𝑥3 − 9 ≤ 0.
8𝑥1 + 17𝑥2 + 6𝑥3 − 151 ≤ 0,
9𝑥1 + 3𝑥2 − 4𝑥3 − 14 ≥ 0,
3.10{
4𝑥1 − 13𝑥2 + 3𝑥3 + 32 ≤ 0,
3𝑥1 + 𝑥2 + 13𝑥3 − 62 ≥ 0.
𝑥1 − 2𝑥2 − 𝑥3 + 6 ≤ 0,
4𝑥1 + 13𝑥2 + 10𝑥3 − 102 ≤ 0,
3.11{
4𝑥1 + 6𝑥2 + 3𝑥3 − 46 ≥ 0,
2𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 − 16 ≤ 0.
5𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 − 31 ≥ 0,
𝑥
− 𝑥3 − 2 ≤ 0,
3.12{ 1
𝑥1 − 3𝑥2 + 2𝑥3 − 8 ≤ 0,
𝑥2
− 3 ≤ 0.
4𝑥2 + 5𝑥3 − 33 ≥ 0,
10𝑥1 + 6𝑥2 + 5𝑥3 − 107 ≤ 0,
3.13{
6𝑥2 + 5𝑥3 − 47 ≤ 0,
10𝑥1 + 8𝑥1 + 5𝑥3 − 111 ≥ 0.
5𝑥1 − 𝑥2
− 29 ≤ 0,
25𝑥1 − 6𝑥2 + 5𝑥3 − 149 ≥ 0,
3.14{
5𝑥1 − 4𝑥2
− 23 ≥ 0,
5𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 − 29 ≤ 0.
- 37 -
7𝑥1 + 3𝑥2 + 6𝑥3 − 64 ≥ 0,
13𝑥1 + 5𝑥2 + 14𝑥3 − 132 ≤ 0,
3.15{
𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 − 6 ≥ 0,
5𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 − 42 ≤ 0.
4𝑥1 + 10𝑥2 + 13𝑥3 − 113 ≤ 0,
7𝑥 + 11𝑥2 + 13𝑥3 − 123 ≥ 0,
3.16{ 1
5𝑥1 + 6𝑥2 + 13𝑥3 − 99 ≥ 0,
8𝑥1 + 7𝑥2 + 13𝑥3 − 122 ≤ 0.
15𝑥1 + 6𝑥2 − 𝑥3 − 68 ≤ 0,
7𝑥 + 2𝑥2 − 𝑥3 − 24 ≥ 0,
3.17{ 1
3𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 − 12 ≥ 0,
5𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 − 28 ≥ 0.
2𝑥1 − 7𝑥2 − 6𝑥3 + 52 ≥ 0,
3𝑥 − 7𝑥2 − 9𝑥3 + 57 ≤ 0,
3.18{ 1
𝑥2 + 𝑥3 − 9 ≤ 0,
𝑥1 + 7𝑥2 + 4𝑥3 − 51 ≥ 0.
𝑥1 − 3𝑥2 + 3𝑥3 − 2 ≤ 0,
4𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 − 21 ≤ 0,
3.19{
16𝑥1 + 4𝑥2 + 9𝑥3 − 110 ≥ 0,
11𝑥1 + 6𝑥2 + 7𝑥3 − 100 ≤ 0.
14𝑥1 + 13𝑥2 − 8𝑥3 − 89 ≤ 0,
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 − 7 ≥ 0,
3.20{
31𝑥1 + 26𝑥2 − 𝑥3 − 211 ≥ 0,
8𝑥1 + 13𝑥2 + 𝑥3 − 101 ≤ 0.
6𝑥1 + 9𝑥2 + 7𝑥3 − 88 ≤ 0,
12𝑥1 − 15𝑥2 − 19𝑥3 + 22 ≤ 0,
3.21{
3𝑥1 − 12𝑥2 − 2𝑥3 + 11 ≤ 0,
12𝑥1 − 15𝑥2 − 8𝑥3 + 11 ≥ 0.
- 38 -
6𝑥1 − 𝑥2 + 7𝑥3 − 50 ≥ 0,
−5𝑥2 − 𝑥3 + 32 ≥ 0,
3.22{
−𝑥2 + 𝑥3 − 2 ≤ 0,
12𝑥1 − 17𝑥2 − 𝑥3 + 20 ≤ 0.
14𝑥1 − 9𝑥2 + 𝑥3 − 25 ≥ 0,
𝑥1 − 𝑥2
− 1 ≤ 0,
3.23{
2𝑥1 − 3𝑥2 − 5𝑥3 + 29 ≥ 0,
𝑥1
− 𝑥3 − 2 ≤ 0.
7𝑥1 − 𝑥2 − 2𝑥3 − 11 ≥ 0,
6𝑥1 − 3𝑥2 − 𝑥3 − 8 ≤ 0,
3.24{
19𝑥1 − 7𝑥2 + 𝑥3 − 47 ≥ 0,
8𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 − 49 ≤ 0.
𝑥2 − 𝑥3 − 2 ≤ 0,
8𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 − 42 ≥ 0,
3.25{
2𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3
≤ 0,
2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 − 16 ≤ 0.
7𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 − 57 ≤ 0,
4𝑥1 − 3𝑥2 − 3𝑥3 + 13 ≥ 0,
3.26{
𝑥1 − 8𝑥2 + 21𝑥3 − 62 ≥ 0,
2𝑥1 + 13𝑥2 − 16𝑥3 + 21 ≥ 0.
𝑥1 + 7𝑥2 + 5𝑥3 − 49 ≤ 0,
2𝑥 − 5𝑥2 + 10𝑥3 − 22 ≤ 0,
3.27{ 1
2𝑥1 − 5𝑥2 − 9𝑥3 + 35 ≤ 0,
8𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 − 12 ≥ 0.
25𝑥1 + 𝑥2 + 31𝑥3 − 244 ≤ 0,
2𝑥1 − 𝑥2 − 4𝑥3 + 1 ≤ 0,
3.28{
10𝑥1 − 5𝑥2 + 7𝑥3 − 49 ≥ 0,
𝑥1 + 13𝑥2 − 2𝑥3 − 13 ≥ 0.
15𝑥1 − 24𝑥2 + 10𝑥3 − 1 ≥ 0,
7𝑥1 − 3𝑥2 − 9𝑥3 + 5 ≤ 0,
3.29{
4𝑥1 + 10𝑥2 − 11𝑥3 − 3 ≥ 0,
12𝑥1 − 11𝑥2 + 8𝑥3 − 50 ≤ 0.
- 39 -
5𝑥1 − 7𝑥2 + 4𝑥3 − 4 ≤ 0,
2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 − 4 ≥ 0,
3.30{
2𝑥1 − 𝑥2 + 7𝑥3 − 16 ≥ 0,
𝑥1 − 5𝑥2 − 𝑥3 + 19 ≥ 0.
2𝑥1 − 5𝑥2 + 3𝑥3
≤ 0,
6𝑥 − 5𝑥2 + 4𝑥3 − 15 ≤ 0,
3.31{ 1
8𝑥1 − 5𝑥2 + 7𝑥3 − 30 ≥ 0,
3𝑥1 − 5𝑥2 + 2𝑥3 + 5 ≥ 0.
7𝑥1 + 𝑥2 + 5𝑥3 − 55 ≥ 0,
8𝑥1 + 6𝑥2 + 13𝑥3 − 126 ≤ 0,
3.32{
4𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 − 29 ≤ 0,
2𝑥1 + 10𝑥2 − 𝑥3 − 40 ≥ 0.
2𝑥1 − 2𝑥2 − 𝑥3 + 3 ≥ 0,
6𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 − 53 ≤ 0,
3.33{
10𝑥1 − 6𝑥2 − 9𝑥3 + 19 ≥ 0,
18𝑥1 − 22𝑥2 − 19𝑥3 + 65 ≤ 0.
8𝑥1 + 3𝑥2 − 5𝑥3 − 28 ≤ 0,
11𝑥1 + 21𝑥2 − 21𝑥3 − 52 ≥ 0,
3.34{
𝑥1 − 3𝑥2 − 4𝑥3 + 37 ≥ 0,
𝑥1 − 3𝑥2 + 5𝑥3 − 8 ≥ 0.
5𝑥1 − 8𝑥2 + 10𝑥3 − 47 ≤ 0,
𝑥1 + 5𝑥2 − 9𝑥3 − 17 ≤ 0,
3.35{
2𝑥1 + 10𝑥2 − 29𝑥3 + 100 ≥ 0,
2𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3 − 21 ≥ 0.
3𝑥1 − 4𝑥2 + 3𝑥3 ≥ 0,
𝑥1 + 𝑥3 − 8 ≤ 0,
3.36{
7𝑥1 − 16𝑥2 + 11𝑥3 + 12 ≤ 0,
5𝑥1 − 8𝑥2 + 𝑥3 + 12 ≤ 0.
- 40 -
𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 − 13 ≤ 0,
3𝑥 + 2𝑥2 + 6𝑥3 − 44 ≥ 0,
3.37{ 1
𝑥1
+ 𝑥3 − 8 ≥ 0,
2𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 − 25 ≤ 0.
8𝑥1 − 11𝑥2 + 4𝑥3 − 6 ≤ 0,
2𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 − 3 ≥ 0,
3.38{
4𝑥1 − 7𝑥2 + 4𝑥3 − 2 ≥ 0,
4𝑥1 − 5𝑥2 + 4𝑥3 − 14 ≤ 0.
3𝑥1 + 2𝑥3 − 20 ≤ 0,
6𝑥1 − 15𝑥2 − 𝑥3 + 55 ≥ 0,
3.39{
3𝑥1 − 15𝑥2 + 2𝑥3 + 55 ≥ 0,
6𝑥1 − 30𝑥2 − 𝑥3 + 115 ≤ 0.
5𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 − 38 ≤ 0,
2𝑥
+ 𝑥3 − 12 ≥ 0,
3.40{ 1
4𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 − 33 ≥ 0,
3𝑥1
+ 2𝑥3 − 21 ≤ 0.
𝑥1 − 2𝑥2 − 𝑥3 + 5 ≤ 0,
𝑥 − 2𝑥2
+ 2 ≥ 0,
3.41{ 1
−𝑥2 − 𝑥3 + 7 ≥ 0,
𝑥1 + 4𝑥2 + 3𝑥3 − 25 ≥ 0.
12𝑥1 + 9𝑥2 + 4𝑥3 − 131 ≤ 0,
5𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 − 28 ≤ 0,
3.42{
4𝑥1 + 3𝑥2 − 6𝑥3 − 7 ≥ 0,
9𝑥1 + 4𝑥2 + 3𝑥3 − 79 ≥ 0.
2𝑥1 − 𝑥2
+ 1 ≥ 0,
3𝑥1 − 19𝑥2 + 7𝑥3 + 47 ≤ 0,
3.43{
𝑥1 − 11𝑥2 + 7𝑥3 + 25 ≥ 0,
𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 − 3 ≤ 0.
- 41 -
3𝑥1 − 4𝑥2 + 𝑥3 − 5 ≤ 0,
4𝑥 − 14𝑥2 − 3𝑥3 + 41 ≤ 0,
3.44{ 1
11𝑥1 − 19𝑥2 − 5𝑥3 + 51 ≥ 0,
3𝑥1 − 17𝑥2 + 𝑥3 + 47 ≥ 0.
5𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 − 24 ≤ 0,
𝑥
− 𝑥3 + 3 ≥ 0,
3.45{ 1
5𝑥1 − 6𝑥2 + 7𝑥3 − 15 ≥ 0,
𝑥1 + 6𝑥2 − 4𝑥3 − 12 ≥ 0.
2𝑥1 + 4𝑥2 + 7𝑥3 − 49 ≥ 0,
7𝑥 − 𝑥2 + 2𝑥3 − 29 ≤ 0,
3.46{ 1
4𝑥1 + 8𝑥2 − 𝑥3 − 53 ≤ 0,
8𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 − 16 ≥ 0.
2𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 − 8 ≥ 0,
7𝑥 + 2𝑥2 − 3𝑥3 − 37 ≥ 0,
3.47{ 1
𝑥1 − 𝑥2 − 3𝑥3 + 5 ≤ 0,
8𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 − 59 ≤ 0.
2𝑥1 + 7𝑥2 + 4𝑥3 − 39 ≥ 0,
26𝑥1 − 5𝑥2 + 4𝑥3 − 171 ≤ 0,
3.48{
2𝑥1 + 𝑥2 − 8𝑥3 + 27 ≥ 0,
2𝑥1 − 5𝑥2 + 4𝑥3 − 3 ≤ 0.
5𝑥1 − 2𝑥2 − 10𝑥3 + 17 ≤ 0,
2𝑥 − 2𝑥2 − 𝑥3 + 2 ≥ 0,
3.49{ 1
𝑥1 − 𝑥2 − 5𝑥3 + 19 ≥ 0,
2𝑥1 + 𝑥2 − 4𝑥3 + 5 ≥ 0.
9𝑥1 + 17𝑥2 + 11𝑥3 − 150 ≤ 0,
12𝑥1 + 7𝑥2 − 𝑥3 − 59 ≥ 0,
3.50{
10𝑥1 − 2𝑥2 + 7𝑥3 − 57 ≤ 0,
7𝑥1 + 8𝑥2 + 19𝑥3 − 101 ≥ 0.
- 42 -
Задача 4. Решить задачу линейного программирования
(x,y≥0) графическим методом.
3𝑥 − 2𝑦 + 6 ≥ 0,
𝑥 + 4𝑦 − 26 ≤ 0,
4.1{
4𝑥 − 2𝑦 − 14 ≤ 0,
𝑥 + 4𝑦 − 8 ≥ 0.
F=x – 3y +5→min(max).
2𝑥 − 𝑦 − 1 ≥ 0,
𝑥 + 3𝑦 − 18 ≤ 0,
4.7{
4𝑥 − 𝑦 − 20 ≤ 0,
𝑥 + 3𝑦 − 4 ≥ 0.
F= -x – y – 10 → min(max).
𝑥 − 3𝑦 + 3 ≥ 0,
𝑥 + 2𝑦 − 15 ≤ 0,
4.2{
𝑥−5≤0
2𝑥 − 5𝑦 ≤ 0.
F= x + 3y – 4→min(max).
𝑥 − 2𝑦 + 10 ≥ 0,
2𝑥 + 3𝑦 − 29 ≤ 0,
4.8{
5𝑥 − 𝑦 − 30 ≤ 0,
5𝑥 + 2𝑦 − 10 ≥ 0.
F= -x – 4y + 1 → min(max).
𝑥 − 𝑦 + 3 ≥ 0,
𝑥 + 3𝑦 − 13 ≤ 0,
4.3{
3𝑥 − 𝑦 − 9 ≤ 0,
𝑥 + 3𝑦 − 3 ≥ 0.
F= x – 2y – 2→min(max).
4𝑥 − 𝑦 + 2 ≥ 0,
𝑥 + 4𝑦 − 25 ≤ 0,
4.9 3𝑥 − 𝑦 − 10 ≤ 0,
𝑥 − 𝑦 − 2 ≤ 0,
{ 𝑥 + 3𝑦 − 6 ≥ 0.
F= -x – 2y + 3 → min(max).
2𝑥 − 5𝑦 + 10 ≥ 0,
3𝑥 + 𝑦 − 19 ≤ 0,
4.4{
𝑥 − 3𝑦 − 3 ≤ 0,
𝑥 + 3𝑦 − 3 ≥ 0.
F= x +y – 7 → min(max).
𝑥 + 3𝑦 − 15 ≤ 0,
𝑥 + 𝑦 − 7 ≤ 0,
4.10{
2𝑥 − 𝑦 − 8 ≤ 0,
𝑥 + 4𝑦 − 4 ≥ 0.
F= -2x – y + 2 → min(max).
4𝑥 − 𝑦 + 4 ≥ 0,
𝑥 + 2𝑦 − 17 ≤ 0,
4.5 3𝑥 − 𝑦 − 16 ≤ 0,
𝑦 − 2 ≥ 0,
{ 𝑥 + 𝑦 − 4 ≥ 0.
F= 2x – y +3 → min(max).
𝑥 − 2𝑦 + 6 ≥ 0,
𝑥 + 2𝑦 − 10 ≤ 0,
4.11{
3𝑥 + 𝑦 − 15 ≤ 0,
2𝑥 + 𝑦 − 2 ≥ 0.
F= -x – y +5 → min(max).
2𝑥 − 𝑦 + 2 ≥ 0,
𝑥 − 4𝑦 + 22 ≥ 0,
4.12{
3𝑥 + 2𝑦 − 32 ≤ 0,
𝑥 − 2𝑦 ≤ 0.
F=2x + y – 1 → min(max).
𝑦 − 6 ≤ 0,
𝑥 + 2𝑦 − 13 ≤ 0,
4.6{
3𝑥 + 2𝑦 − 23 ≤ 0,
𝑥 − 7𝑦 ≤ 0.
F= -3x + y + 2 → min(max).
- 43 -
𝑥 − 𝑦 + 4 ≥ 0,
𝑥 − 4𝑦 + 22 ≥ 0,
𝑥 − 6 ≤ 0,
4.19
𝑥 − 4𝑦 − 6 ≥ 0,
{3𝑥 + 2𝑦 − 8 ≥ 0.
F=x – 2y + 5 → min(max).
𝑦 − 5 ≤ 0,
𝑥 + 2𝑦 − 12 ≤ 0,
4.13{
4𝑥 − 𝑦 − 12 ≤ 0,
𝑥 + 3𝑦 − 3 ≥ 0.
F= -x + y + 2 → min(max).
𝑥 − 4𝑦 + 20 ≥ 0,
𝑥 + 𝑦 − 10 ≤ 0,
4.14{
3𝑥 − 2𝑦 − 15 ≤ 0,
𝑥 + 5𝑦 − 5 ≥ 0.
F= -2x – y + 1 → min(max).
𝑥 + 𝑦 − 9 ≤ 0,
𝑥 − 5 ≤ 0,
4.20 𝑥 + 2𝑦 − 4 ≥ 0,
3𝑥 + 𝑦 − 7 ≥ 0,
{ 𝑥 − 1 ≥ 0.
F= x – 3y + 7 → min(max).
𝑥 + 3𝑦 − 21 ≤ 0,
3𝑥 + 𝑦 − 23 ≤ 0,
4.15{
2𝑥 − 𝑦 − 12 ≤ 0,
2𝑥 − 𝑦 ≥ 0.
F= -x – y + 7 → min(max).
𝑦 − 5 ≤ 0,
2𝑥 + 𝑦 − 15 ≤ 0,
4.21 3𝑥 − 𝑦 − 15 ≤ 0,
𝑥 + 3𝑦 − 5 ≥ 0,
{ 𝑥 + 𝑦 − 3 ≥ 0.
F= -x + 3y – 5 → min(max).
2𝑥 − 𝑦 + 1 ≥ 0,
𝑦 − 5 ≤ 0,
4.16 3𝑥 − 𝑦 − 16 ≤ 0,
𝑥 − 𝑦 − 4 ≥ 0,
{ 𝑥 + 𝑦 − 4 ≥ 0.
F= -x + 2y +4 → min(max).
𝑥 − 𝑦 + 3 ≥ 0,
𝑥 + 2𝑦 − 12 ≤ 0,
𝑥 − 6 ≤ 0,
4.22
𝑥 − 𝑦 − 4 ≤ 0,
{ 𝑥 − 3𝑦 − 2 ≤ 0.
F= -2x + y + 12 → min(max).
𝑥 − 𝑦 + 3 ≥ 0,
𝑥 + 𝑦 − 9 ≤ 0,
𝑥 − 6 ≤ 0,
4.17
𝑥 − 4𝑦 + 2 ≤ 0,
{3𝑥 + 𝑦 − 7 ≥ 0.
F=x – y + 1 → min(max).
𝑥 − 6𝑦 + 24 ≥ 0,
4𝑥 + 𝑦 − 29 ≤ 0,
4.23{
𝑥 − 5𝑦 − 2 ≤ 0,
𝑥 + 𝑦 − 2 ≥ 0.
F= x – y – 3 → min(max).
𝑥 − 3𝑦 + 12 ≥ 0,
𝑥 + 2𝑦 − 13 ≤ 0,
4.18 𝑥 + 𝑦 − 9 ≤ 0,
𝑦 − 3 ≥ 0,
{ 𝑥 + 𝑦 − 4 ≥ 0.
F= -2x + y – 1 → min(max).
𝑥 + 3𝑦 − 20 ≤ 0,
𝑥 − 5 ≤ 0,
4.24 3𝑥 − 𝑦 − 12 ≤ 0,
3𝑥 + 2𝑦 − 6 ≥ 0,
{3𝑥 − 2𝑦 + 6 ≥ 0.
F= -x + 2y – 8 → min(max).
- 44 -
𝑥 − 𝑦 + 4 ≥ 0,
3𝑥 + 5𝑦 − 36 ≤ 0,
𝑥 − 7 ≤ 0,
4.25
𝑥 − 5𝑦 − 2 ≥ 0,
{ 2𝑥 + 𝑦 − 4 ≥ 0.
F= -x – y + 4 → min(max).
𝑥 − 𝑦 + 2 ≥ 0,
𝑥 + 2𝑦 − 16 ≤ 0,
𝑥 − 6 ≤ 0,
4.30
𝑥 − 4𝑦 + 2 ≤ 0,
{ 2𝑥 + 𝑦 − 5 ≥ 0.
F= 2x – y + 7 → min(max).
𝑥 − 3𝑦 + 11 ≥ 0,
2𝑥 + 3𝑦 − 23 ≤ 0,
𝑥 − 𝑦 − 4 ≤ 0,
4.26
𝑦 − 1 ≥ 0,
3𝑥
+ 𝑦 − 7 ≥ 0.
{
F= 6x + 2y – 1 → min(max).
2𝑥 − 𝑦 + 3 ≥ 0,
2𝑥 − 3𝑦 + 13 ≥ 0,
4.31 2𝑥 + 𝑦 − 15 ≤ 0,
3𝑥 − 2𝑦 − 12 ≤ 0,
{3𝑥 − 4𝑦 − 12 ≥ 0.
F= -x + 2y + 5 → min(max).
3𝑥 − 𝑦 − 3 ≥ 0,
𝑥 + 4𝑦 − 27 ≤ 0,
4.27{
3𝑥 + 𝑦 − 26 ≤ 0.
𝑥 − 𝑦 − 6 ≤ 0.
F=5x + y – 3 → min(max).
𝑥 − 2 ≥ 0,
𝑥 − 𝑦 + 2 ≥ 0,
4.32 2𝑥 + 3𝑦 − 26 ≤ 0,
2𝑥 + 𝑦 − 18 ≤ 0,
{2𝑥 − 3𝑦 − 10 ≤ 0.
F= -3x – y +1 → min(max).
𝑥 − 2𝑦 + 10 ≥ 0,
2𝑥 + 𝑦 − 15 ≤ 0,
4.28{
2𝑥 − 𝑦 − 5 ≤ 0,
𝑥 + 3𝑦 − 6 ≥ 0.
F= x – y + 8 → min(max).
2𝑥 − 3𝑦 + 8 ≥ 0,
3𝑥 + 𝑦 − 21 ≤ 0,
4.33 2𝑥 − 𝑦 − 9 ≤ 0,
𝑥 − 2𝑦 − 3 ≤ 0,
{ 4𝑥 − 𝑦 − 4 ≥ 0.
F= x + y – 3 → min(max).
𝑥 − 5𝑦 + 20 ≥ 0,
𝑥 + 2𝑦 − 15 ≤ 0,
𝑥 − 7 ≤ 0,
4.29
𝑥 − 3𝑦 − 4 ≤ 0,
{ 𝑥 + 𝑦 − 1 ≥ 0.
F= 3x + y – 2 → min(max).
2𝑥 − 3𝑦 + 7 ≥ 0,
𝑦 − 5 ≤ 0,
𝑥 − 7 ≤ 0,
4.34
𝑥 − 𝑦 − 4 ≤ 0,
{ 𝑥 + 𝑦 − 4 ≥ 0.
F= 3x + y – 11 → min(max).
- 45 -
2𝑥 − 𝑦 + 1 ≥ 0,
𝑥 − 5𝑦 + 23 ≥ 0,
4.35 4𝑥 − 𝑦 − 22 ≤ 0,
𝑥 − 2𝑦 − 2 ≤ 0,
{2𝑥 + 3𝑦 − 11 ≥ 0.
F= 2x + y – 6 → min(max).
2𝑥 − 𝑦 + 4 ≥ 0,
𝑥 + 𝑦 − 7 ≤ 0,
4.40{
𝑥 − 3𝑦 − 3 ≤ 0,
𝑥 + 𝑦 − 2 ≥ 0.
F= 2x – 4y +1 → min(max).
5𝑥 − 2𝑦 + 2 ≥ 0,
𝑥 + 4 𝑦 − 26 ≤ 0,
𝑥 − 6 ≤ 0,
4.41
𝑥 − 𝑦 − 3 ≤ 0,
{ 𝑥 + 3𝑦 − 3 ≥ 0.
F= 2x – 6y +3 → min(max).
2𝑥 − 3𝑦 − 15 ≥ 0,
𝑦 − 7 ≤ 0,
4.36 4𝑥 − 𝑦 − 17 ≤ 0,
𝑥 − 𝑦 − 2 ≤ 0,
{ 2𝑥 + 3𝑦 − 9 ≥ 0.
F= -2x + y + 4 → min(max).
𝑥 − 2𝑦 + 8 ≥ 0,
𝑦 − 6 ≤ 0,
𝑥 − 5 ≤ 0,
4.42
𝑥 − 2𝑦 − 1 ≥ 0,
{4𝑥 + 𝑦 − 4 ≥ 0.
F= 2x – 4y + 3→ min(max).
𝑥 − 1 ≥ 0,
2𝑥 − 3𝑦 + 10 ≥ 0,
4.37 𝑥 + 𝑦 − 10 ≤ 0,
4𝑥 − 𝑦 − 20 ≤ 0,
{ 𝑥 + 4𝑦 − 5 ≥ 0.
F= 3x – y + 9 → min(max).
𝑦 − 6 ≤ 0,
𝑥 + 2𝑦 − 15 ≤ 0,
4.43 2𝑥 + 𝑦 − 15 ≤ 0,
𝑥 − 𝑦 − 3 ≤ 0,
{ 𝑥 + 3𝑦 − 3 ≥ 0.
F=2x – 3y +8 → min(max).
𝑥 − 𝑦 + 4 ≥ 0,
𝑥 + 𝑦 − 10 ≤ 0,
𝑥 − 5 ≤ 0,
4.38
𝑥 + 4𝑦 − 5 ≥ 0,
{3𝑥 + 𝑦 − 4 ≥ 0.
F= -2x – 2y + 7 →
min(max).
𝑦 − 8 ≤ 0,
𝑥 + 𝑦 − 12 ≤ 0,
3𝑥
− 2𝑦 − 6 ≤ 0,
4.44
𝑥 + 2𝑦 − 10 ≥ 0,
{ 𝑥 + 𝑦 − 6 ≥ 0.
F= x – 4y + 5 → min(max).
𝑦 − 5 ≤ 0,
𝑥 + 𝑦 − 11 ≤ 0,
2𝑥
− 𝑦 − 10 ≤ 0,
4.39
𝑥 + 3𝑦 − 5 ≥ 0,
{ 𝑥 + 𝑦 − 3 ≥ 0.
F= -5x – y + 2 → min(max).
5𝑥 − 2𝑦 + 4 ≥ 0,
𝑥 + 2𝑦 − 16 ≤ 0,
4.45{
𝑥 + 𝑦 − 10 ≤ 0,
4𝑥 + 𝑦 − 28 ≤ 0.
F= 2x – 3y + 8 → min(max).
- 46 -
3𝑥 − 2𝑦 + 8 ≥ 0,
𝑥 + 4𝑦 − 30 ≤ 0,
4.46{
2𝑥 + 𝑦 − 18 ≤ 0,
2𝑥 − 3𝑦 − 2 ≤ 0.
F= 3x + y – 4 → min(max).
5𝑥 − 3𝑦 + 3 ≥ 0,
𝑥 + 3𝑦 − 21 ≤ 0,
𝑥 − 6 ≤ 0,
4.50
𝑥 − 3𝑦 − 3 ≤ 0,
{ 𝑥 + 3𝑦 − 3 ≥ 0.
F= 4x + 3y – 5 → min(max).
𝑥 − 𝑦 + 4 ≥ 0,
𝑦 − 6 ≤ 0,
4.47 2𝑥 + 3𝑦 − 26 ≤ 0,
4𝑥 − 𝑦 − 24 ≤ 0,
{4𝑥 + 3𝑦 − 12 ≥ 0.
F= -3x + 2y +5 → min(max).
5𝑥 − 3𝑦 + 1 ≥ 0,
2𝑥 + 𝑦 − 15 ≤ 0,
𝑦 − 5 ≤ 0,
4.51
𝑥 − 2𝑦 − 3 ≤ 0,
{ 𝑥 + 𝑦 − 3 ≥ 0.
F= x + 2y – 9 → min(max).
𝑥 − 𝑦 + 5 ≥ 0,
2𝑥 + 5𝑦 + 32 ≤ 0,
𝑥 − 6 ≤ 0,
4.48
2𝑥 − 3𝑦 − 6 ≤ 0,
{ 𝑥 + 𝑦 − 3 ≥ 0.
F= x – 2y + 9 → min(max).
𝑥 + 3𝑦 − 20 ≤ 0,
2𝑥 + 𝑦 − 17 ≤ 0,
𝑥 − 6 ≤ 0,
4.52
𝑥 − 6𝑦 ≤ 0,
{ 3𝑥 − 𝑦 ≥ 0.
F= x + 2y – 10 → min(max).
3𝑥 − 3𝑦 + 6 ≥ 0,
𝑦 − 6 ≤ 0,
𝑥 − 6 ≤ 0,
4.49
2𝑥 − 𝑦 − 9 ≤ 0,
{ 𝑥 − 4𝑦 − 1 ≤ 0.
F= -x + y +6 → min(max).
Задача 5. Решить задачу линейного программирования (𝑥1 , 𝑥2 ≥
0) симплекс-методом.
𝑥1 − 6𝑥2 + 21 ≥ 0,
{2𝑥1 + 𝑥2 − 10 ≤ 0,
5.1.
4𝑥1 − 𝑥2 − 14 ≤ 0.
𝐹 = 2𝑥1 + 4𝑥2 − 5 → max.
- 47 -
𝑥1 + 3𝑥2 − 17 ≤ 0,
{4𝑥1 + 𝑥2 − 24 ≤ 0,
5.2.
3𝑥1 − 2𝑥2 + 4 ≥ 0.
𝐹 = 6𝑥1 − 12𝑥2 + 5 → min.
3𝑥1 − 4𝑥2 + 4 ≥ 0,
{ 𝑥1 + 𝑥2 − 8 ≤ 0,
5.3.
2𝑥1 + 𝑥2 − 14 ≤ 0.
𝐹 = −𝑥1 − 4𝑥2 + 5 → min.
2𝑥1 − 3𝑥2 + 3 ≥ 0,
{ 2𝑥1 + 𝑥2 − 9 ≤ 0,
5.4.
𝑥1 − 𝑥2 − 3 ≤ 0.
𝐹 = 3𝑥1 + 𝑥2 − 7 → max.
3𝑥1 + 2𝑥2 − 28 ≤ 0,
{ 𝑥1 − 2𝑥2 − 4 ≤ 0,
5.5.
2𝑥1 − 3𝑥2 + 3 ≥ 0.
𝐹 = 𝑥1 + 5𝑥2 − 10 → max.
3𝑥1 − 2𝑥2 + 2 ≥ 0,
{3𝑥1 + 𝑥2 − 10 ≤ 0,
5.6.
𝑥1 − 𝑥2 − 2 ≤ 0.
𝐹 = 𝑥1 − 3𝑥2 + 11 → min.
3𝑥1 − 5𝑥2 + 5 ≥ 0,
{2𝑥1 + 𝑥2 − 14 ≤ 0,
5.7.
2𝑥1 − 𝑥2 − 10 ≤ 0.
𝐹 = 4𝑥1 + 4𝑥2 − 1 → max.
2𝑥1 − 5𝑥2 + 5 ≥ 0,
{ 𝑥1 + 𝑥2 − 8 ≤ 0,
5.8.
𝑥1 − 2𝑥2 − 5 ≤ 0.
𝐹 = −5𝑥1 − 2𝑥2 + 3 → min.
x1 − x2 + 1 ≥ 0,
{2x1 + x2 − 10 ≤ 0,
5.9.
2x1 − 3x2 − 2 ≤ 0.
𝐹 = 8x1 + 7x2 − 4 → max.
- 48 -
5x1 − 6x2 + 6 ≥ 0,
{3x1 + 2x2 − 30 ≤ 0,
5.10.
3x1 + x2 − 27 ≤ 0.
𝐹 = −4x1 − 2x2 + 5 → min.
4x1 + x2 − 36 ≤ 0,
{ x1 − x2 + 1 ≥ 0,
5.11.
2x1 + 3x2 − 28 ≤ 0.
𝐹 = x1 − 2x2 + 7 → max.
4x1 + x2 − 34 ≤ 0,
{2x1 + x2 − 18 ≤ 0,
5.12.
5x1 − 6x2 + 6 ≥ 0.
𝐹 = −3x1 − 4x2 + 8 → min.
x1 − 2x2 + 2 ≥ 0,
{ x1 + x2 − 10 ≤ 0,
5.13.
3x1 + x2 − 24 ≤ 0.
𝐹 = 6x1 + 3x2 + 8 → max.
3x1 − 5x2 + 5 ≥ 0,
{2x1 + x2 − 14 ≤ 0,
5.14.
4x1 + x2 − 26 ≤ 0.
𝐹 = −3x1 − 2x2 + 9 → min.
2x1 + 5x2 − 40 ≤ 0,
{3x1 + 2x2 − 27 ≤ 0,
5.15.
3x1 − x2 − 18 ≤ 0.
𝐹 = 3x1 + 4x2 − 5 → max.
x1 + 7x2 − 56 ≤ 0,
{2x1 + x2 − 21 ≤ 0,
5.16.
x1 − x2 − 6 ≤ 0.
𝐹 = −2x1 + x2 − 4 → min.
x1 + 4x2 − 36 ≤ 0,
{4x1 + 3x2 − 40 ≤ 0,
5.17.
4x1 − x2 − 24 ≤ 0.
𝐹 = 5x1 − x2 − 6 → max.
- 49 -
x1 + x2 − 8 ≤ 0,
{3x1 + x2 − 18 ≤ 0,
5.18.
2x1 − 3x2 + 9 ≥ 0.
𝐹 = x1 − 3x2 + 5 → min.
4x1 − 6x2 + 15 ≥ 0,
{ x1 + x2 − 5 ≤ 0,
5.19.
4x1 − x2 − 10 ≤ 0.
𝐹 = 2x1 + x2 + 9 → max.
x1 − 4x2 + 10 ≥ 0,
{ x1 + x2 − 5 ≤ 0,
5.20.
4x1 − 3x2 − 6 ≤ 0.
𝐹 = −8x1 + 4x2 − 10 → min.
2𝑥1 + 3𝑥2 − 22 ≤ 0,
{ 2𝑥1 + 𝑥2 − 14 ≤ 0,
5.21.
𝑥1 − 𝑥2 + 4 ≥ 0.
𝐹 = −𝑥1 + 5𝑥2 + 2 → max.
3x1 + 2x2 − 23 ≤ 0,
{ 4x1 − x2 − 16 ≤ 0,
5.22.
2x1 − 3x2 + 15 ≥ 0.
𝐹 = x1 − 4x2 − 2 → min.
3x1 − 4x2 + 8 ≥ 0,
{3x1 + 4x2 − 20 ≤ 0,
5.23.
x1 − x2 − 2 ≤ 0.
𝐹 = 3x1 − 2x2 − 1 → max.
x1 + 6x2 − 21 ≤ 0,
{ 2x1 + x2 − 9 ≤ 0,
5.24.
x1 − x2 − 3 ≤ 0.
𝐹 = −6x1 + 4x2 − 5 → min.
2𝑥1 + 𝑥2 − 13 ≤ 0,
{3𝑥1 − 2𝑥2 − 9 ≤ 0,
5.25.
𝑥1 − 3𝑥2 + 18 ≥ 0.
𝐹 = −𝑥1 + 7𝑥2 + 2 → max.
- 50 -
3x1 − 4x2 + 10 ≥ 0,
{ 3x1 + x2 − 10 ≤ 0,
5.26.
2x1 − x2 − 5 ≤ 0.
𝐹 = −3x1 − 3x2 + 11 → min.
2x1 + 7x2 − 49 ≤ 0,
{3x1 + 2x2 − 31 ≤ 0,
5.27.
4x1 + x2 − 38 ≤ 0.
F = 4x1 + 4x2 − 3 → max.
3x1 + 7x2 − 56 ≤ 0,
{ x1 + x2 − 12 ≤ 0,
5.28.
3x1 + x2 − 30 ≤ 0.
F = −3x1 − 2x2 + 6 → min.
x1 + 6x2 − 48 ≤ 0,
{2x1 + x2 − 19 ≤ 0,
5.29.
6x1 + x2 − 51 ≤ 0.
F = 3x1 + x2 − 12 → max.
2x1 − x2 − 14 ≤ 0,
{3x1 + 2x2 − 28 ≤ 0,
5.30.
x1 + 6x2 − 36 ≤ 0.
F = −7x1 + 2x2 − 4 → min.
2x1 + 3x2 − 15 ≤ 0,
{ 2x1 + x2 − 9 ≤ 0,
5.31.
x1 − x2 − 3 ≤ 0.
F = 8x1 − 2x2 − 7 → max.
x1 + 5x2 − 20 ≤ 0,
{ x1 + x2 − 8 ≤ 0,
5.32.
x1 − 2x2 − 5 ≤ 0.
F = −5x1 + 6x2 + 1 → min.
x1 + x2 − 7 ≤ 0,
{2x1 + x2 − 10 ≤ 0,
5.33.
2x1 − 3x2 − 2 ≤ 0.
F = 8x1 + 2x2 − 3 → max.
- 51 -
x1 − 3x2 + 12 ≥ 0,
{3x1 + 2x2 − 19 ≤ 0,
5.34.
2x1 − x2 − 8 ≤ 0.
F = x1 − 4x2 + 10 → min.
x1 − 2x2 + 8 ≥ 0,
{ x1 + x2 − 7 ≤ 0,
5.35.
2x1 − x2 − 8 ≤ 0.
F = −x1 + 4x2 + 15 → max.
x1 − 4x2 + 16 ≥ 0,
{3x1 + 2x2 − 22 ≤ 0,
5.36.
2x1 − x2 − 10 ≤ 0.
F = x1 − 6x2 − 2 → min.
x1 + 3x2 − 24 ≤ 0,
{3x1 + 2x2 − 30 ≤ 0,
5.37.
3x1 + x2 − 27 ≤ 0.
F = x1 + x2 + 16 → max.
x1 + 5x2 − 35 ≤ 0,
{2x1 + 3x2 − 28 ≤ 0,
5.38.
4x1 + x2 − 36 ≤ 0.
F = −4x1 − 2x2 + 7 → min.
2x1 + 5x2 − 40 ≤ 0,
{ 3x1 + x2 − 27 ≤ 0,
5.39.
x1 + x2 − 11 ≤ 0.
F = 5x1 + 10x2 − 1 → max.
4x1 + x2 − 34 ≤ 0,
{x1 + 3x2 − 24 ≤ 0,
5.40.
2x1 + x2 − 18 ≤ 0.
F = −4x1 − 4x2 + 3 → min.
x1 + 2x2 − 14 ≤ 0,
{ x1 + x2 − 10 ≤ 0,
5.41.
3x1 + x2 − 24 ≤ 0.
F = 2x1 + x2 + 6 → max.
- 52 -
4x1 + 5x2 − 40 ≤ 0,
{ 2x1 + x2 − 14 ≤ 0,
5.42.
4x1 + x2 − 26 ≤ 0.
F = −9x1 − 6x2 + 7 → min.
x1 + 4x2 − 32 ≤ 0,
{ x1 + x2 − 11 ≤ 0,
5.43.
4x1 + x2 − 32 ≤ 0.
F = 6x1 + 3x2 − 4 → max.
x1 + 7x2 − 49 ≤ 0,
{ x1 + x2 − 13 ≤ 0,
5.44.
2x1 + x2 − 22 ≤ 0.
F = −x1 − 2x2 + 11 → min.
x1 + 4x2 − 20 ≤ 0,
{ x1 + x2 − 8 ≤ 0,
5.45.
2x1 + x2 − 14 ≤ 0.
F = 2x1 + 6x2 − 3 → max.
2x1 + 3x2 − 15 ≤ 0,
{ 2x1 + x2 − 9 ≤ 0,
5.46.
x1 − x2 − 3 ≤ 0.
F = −4x1 + 2x2 + 9 → min.
x1 + 6x2 − 36 ≤ 0,
{3x1 + 2x2 − 28 ≤ 0,
5.47.
x1 − 2x2 − 4 ≤ 0.
F = 6x1 − 6x2 + 5 → max.
x1 + x2 − 6 ≤ 0,
{3x1 + x2 − 10 ≤ 0,
5.48.
x1 − x2 − 2 ≤ 0.
F = −2x1 + x2 − 8 → min.
2x1 + 5x2 − 30 ≤ 0,
{ 2x1 + x2 − 14 ≤ 0,
5.49.
2x1 − x2 − 10 ≤ 0.
F = 7x1 + 7x2 + 8 → max.
x1 + 2x2 − 8 ≤ 0,
{ x1 + x2 − 5 ≤ 0,
5.50.
4x1 + x2 − 14 ≤ 0.
F = −8x1 − 4x2 + 1 → min.
- 53 -
Задача 6. Найти допустимое базисное решение и решить задачу линейного программирования (𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0) симплексметодом.
4𝑥1 − 𝑥2 − 2 ≥ 0,
{ 𝑥1 + 𝑥2 − 8 ≤ 0,
6.1.
𝑥1 + 6𝑥2 − 13 ≥ 0.
𝐹 = 𝑥1 − 3𝑥2 − 5 → 𝑚𝑎𝑥.
2𝑥1 − 𝑥2 + 2 ≥ 0,
{4𝑥1 + 𝑥2 − 14 ≤ 0,
6.2.
𝑥1 + 𝑥2 − 5 ≥ 0.
𝐹 = 2𝑥1 + 6𝑥2 + 1 → 𝑚𝑖𝑛.
𝑥1 − 2𝑥2 + 3 ≥ 0,
{2𝑥1 + 𝑥2 − 9 ≤ 0,
6.3.
𝑥1 + 3𝑥2 − 7 ≥ 0.
𝐹 = −2𝑥1 + 𝑥2 + 3 → 𝑚𝑎𝑥.
𝑥1 − 𝑥2 + 1 ≥ 0,
{2𝑥1 + 𝑥2 − 13 ≤ 0,
6.4.
𝑥1 + 5𝑥2 − 11 ≥ 0.
𝐹 = −3𝑥1 − 4𝑥2 + 2 → 𝑚𝑖𝑛.
5𝑥1 + 𝑥2 − 42 ≤ 0,
{ 𝑥1 + 2𝑥2 − 12 ≥ 0,
6.5.
2𝑥1 − 5𝑥2 + 21 ≥ 0.
𝐹 = 2𝑥1 − 3𝑥2 − 4 → 𝑚𝑎𝑥.
𝑥1 + 𝑥2 − 6 ≤ 0,
{3𝑥1 + 𝑥2 − 8 ≥ 0,
6.6.
𝑥1 + 3𝑥2 − 8 ≥ 0.
𝐹 = 5𝑥1 + 5𝑥2 − 6 → 𝑚𝑖𝑛.
𝑥1 − 2𝑥2 + 3 ≥ 0,
{ 2𝑥1 − 𝑥2 − 6 ≤ 0,
6.7.
2𝑥1 + 5𝑥2 − 12 ≥ 0.
𝐹 = −3𝑥1 + 𝑥2 − 7 → 𝑚𝑎𝑥.
- 54 -
𝑥1 − 2𝑥2 + 4 ≥ 0,
{ 3𝑥1 − 𝑥2 − 8 ≤ 0,
6.8.
3𝑥1 + 4𝑥2 − 13 ≥ 0.
𝐹 = −6𝑥1 − 5𝑥2 + 1 → 𝑚𝑖𝑛.
2x1 − x2 − 5 ≤ 0,
{ 2x1 + x2 − 7 ≥ 0,
6.9.
2x1 − 7x2 + 25 ≥ 0.
F = 4x1 − x2 − 8 → max.
3x1 + 4x2 − 38 ≥ 0,
{5x1 + 2x2 − 14 ≥ 0,
6.10.
x1 − 10x2 + 44 ≥ 0.
F = 2x1 + 3x2 + 9 → min.
2x1 + 5x2 − 12 ≥ 0,
{ x1 − 2x2 + 3 ≥ 0,
6.11.
2x1 − x2 + 6 ≤ 0.
F = −2x1 + 8x2 + 3 → max.
2x1 + 5x2 − 28 ≤ 0,
{ 3x1 − x2 − 8 ≤ 0,
6.12.
8x1 + 3x2 − 27 ≥ 0.
F = −6x1 − 4x2 + 5 → min.
2x1 − 3x2 + 5 ≥ 0,
{4x1 + 3x2 − 17 ≥ 0,
6.13.
8x1 − 3x2 − 25 ≤ 0.
F = x1 − 5x2 + 2 → max.
2x1 − 3x2 + 3 ≤ 0,
{2x1 + 9x2 − 57 ≤ 0,
6.14.
2x1 + x2 − 9 ≥ 0.
F = −4x1 + 3x2 − 4 → min.
2x1 − 5x2 + 5 ≤ 0,
{ 4x1 − x2 − 8 ≥ 0,
6.15.
x1 + 2x2 − 11 ≤ 0.
F = 3x1 + x2 − 6 → max.
- 55 -
4x1 − x2 − 14 ≥ 0,
{ x1 + 6x2 − 38 ≤ 0,
6.16.
7x1 − 4x2 − 13 ≤ 0.
F = 6x1 − 3x2 − 7 → min.
x1 + 2x2 − 14 ≤ 0,
{2x1 + x2 − 10 ≥ 0,
6.17.
x1 − 4x2 + 4 ≤ 0.
F = −x1 − 4x2 + 11 → max.
3x1 + x2 − 16 ≥ 0,
{4x1 + 5x2 − 47 ≤ 0,
6.18.
x1 + 4x2 − 20 ≥ 0.
F = x1 − x2 + 10 → min.
x1 + 2x2 − 11 ≤ 0,
{ x1 − 3x2 − 1 ≤ 0,
6.19.
3x1 + x2 − 13 ≥ 0.
F = 4x1 + 3x2 − 1 → max.
x1 + x2 − 6 ≥ 0,
{ 3x1 + x2 − 10 ≥ 0,
6.20.
5x1 + 3x2 − 26 ≤ 0.
F = −3x1 + 5x2 + 2 → min.
x1 − 3x2 + 10 ≥ 0,
{x1 + 4x2 − 18 ≥ 0,
6.21.
2x1 + x2 − 15 ≤ 0.
F = 2x1 − 2x2 − 3 → max.
2x1 − 3x2 + 11 ≥ 0,
{ 2x1 + x2 − 9 ≥ 0,
6.22.
6x1 − x2 − 23 ≤ 0.
F = −x1 − 2x2 + 6 → min.
2x1 − 5x2 + 1 ≤ 0,
{ x1 + x2 − 10 ≤ 0,
6.23.
4x1 − 3x2 − 5 ≥ 0.
F = −6x1 + x2 − 4 → max.
- 56 -
5x1 − 2x2 + 1 ≥ 0,
{3x1 + 2x2 − 25 ≤ 0,
6.24.
x1 − 2x2 + 5 ≤ 0.
F = 3x1 − 2x2 + 7 → min.
x1 − 5x2 + 4 ≤ 0,
{ 3x1 − x2 − 2 ≥ 0,
6.25.
x1 + 2x2 − 10 ≤ 0.
F = −x1 − 4x2 + 5 → max.
4x1 − x2 − 2 ≥ 0,
{ x1 + 2x2 − 5 ≥ 0,
6.26.
5x1 + x2 − 16 ≤ 0.
F = 2x1 − 5x2 + 8 → min.
x1 − x2 − 2 ≤ 0,
{ x1 + x2 − 4 ≥ 0,
6.27.
x1 − 5x2 + 14 ≥ 0.
F = 2x1 + 3x2 − 9 → max.
4x1 − x2 − 19 ≤ 0,
{ x1 + 2x2 − 7 ≥ 0,
6.28.
2x1 − 5x2 + 13 ≥ 0.
F = −x1 + 5x2 + 12 → min.
2x1 − 3x2 + 7 ≥ 0,
{3x1 + x2 − 17 ≤ 0,
6.29.
x1 + 4x2 − 13 ≥ 0.
F = 4x1 − 2x2 − 5 → max.
x1 + 4x2 − 17 ≤ 0,
{ x1 − x2 − 2 ≤ 0,
6.30.
3x1 + 2x2 − 11 ≥ 0.
F = −3x1 − 6x2 + 1 → min.
x1 − 3x2 + 14 ≥ 0,
{ 4x1 − x2 − 10 ≤ 0,
6.31.
3x1 + 2x2 − 13 ≥ 0.
F = −2x1 + x2 − 14 → max.
- 57 -
2x1 + x2 − 11 ≤ 0,
{ x1 + 4x2 − 9 ≥ 0,
6.32.
3x1 + 2x2 − 7 ≤ 0.
F = 6x1 + 2x2 + 3 → min.
x1 + 4x2 − 23 ≤ 0,
{2x1 − 5x2 + 6 ≤ 0,
6.33.
3x1 − x2 − 4 ≥ 0.
F = −3x1 − x2 + 2 → max.
x1 − 2x2 + 6 ≥ 0,
{4x1 − 3x2 − 6 ≤ 0,
6.34.
2x1 + x2 − 8 ≥ 0.
F = 3x1 − 2x2 + 4 → min.
2x1 − 3x2 + 8 ≥ 0,
{4x1 + x2 − 26 ≤ 0,
6.35.
x1 + 2x2 − 10 ≥ 0.
F = −3x1 + x2 + 6 → max.
x1 − x2 + 2 ≥ 0,
{5x1 − x2 − 14 ≤ 0,
6.36.
x1 + x2 − 4 ≥ 0.
F = 2x1 + 5x2 − 7 → min.
3x1 − 2x2 − 13 ≤ 0,
{2x1 + 3x2 − 13 ≥ 0,
6.37.
x1 − 5x2 + 13 ≥ 0.
F = x1 − x2 − 8 → max.
2x1 − x2 − 6 ≤ 0,
{3x1 + 2x2 − 16 ≥ 0,
6.38.
x1 − 4x2 + 18 ≥ 0.
F = −3x1 − 2x2 + 10 → min.
2x1 + 5x2 − 39 ≤ 0,
{ 3x1 + x2 − 13 ≥ 0,
6.39.
x1 − 4x2 + 13 ≤ 0.
F = x1 + 4x2 + 9 → max.
- 58 -
x1 + 4x2 − 27 ≤ 0,
{3x1 + 2x2 − 21 ≥ 0,
6.40.
x1 − x2 − 2 ≤ 0.
F = −2x1 + 6x2 − 11 → min.
3x1 + x2 − 12 ≥ 0,
{4x1 + 5x2 − 38 ≤ 0,
6.41.
x1 + 4x2 − 15 ≥ 0.
F = −3x1 − 4x2 + 12 → max.
2x1 + 3x2 − 23 ≤ 0,
{ 3x1 + x2 − 10 ≥ 0,
6.42.
x1 + 5x2 − 22 ≥ 0.
F = 5x1 − 3x2 − 2 → min.
x1 − 4x2 + 14 ≥ 0,
{4x1 − x2 − 19 ≤ 0,
6.43.
x1 + x2 − 6 ≥ 0.
F = −x1 + 7x2 − 3 → max.
3x1 + 5x2 − 41 ≤ 0,
{ 2x1 − 3x2 − 2 ≤ 0,
6.44.
5x1 + 2x2 − 24 ≥ 0.
F = 4x1 + x2 + 5 → min.
x1 + 2x2 − 14 ≤ 0,
{ x1 − x2 − 2 ≤ 0,
6.45.
2x1 + x2 − 10 ≥ 0.
F = 2x1 − 3x2 + 4 → max.
x1 − 3x2 + 10 ≥ 0,
{3x1 + x2 − 20 ≤ 0,
6.46.
x1 + 2x2 − 10 ≥ 0.
F = −x1 − 2x2 + 1 → min.
4x1 + x2 − 10 ≥ 0,
{x1 + 2x2 − 13 ≤ 0,
6.47.
x1 − 5x2 + 8 ≤ 0.
F = 6x1 + 2x2 − 5 → max.
- 59 -
x1 + x2 − 5 ≥ 0,
{x1 − 5x2 + 19 ≥ 0,
6.48.
2x1 − x2 − 7 ≤ 0.
F = −2x1 + 5x2 + 6 → min.
3x1 − 2x2 + 2 ≥ 0,
{2x1 + x2 − 15 ≤ 0,
6.49.
x1 + 4x2 − 18 ≥ 0.
F = 3x1 + x2 + 10 → max.
2x1 + 3x2 − 22 ≤ 0,
{ 3x1 − x2 − 11 ≤ 0,
6.50.
5x1 + 2x2 − 22 ≥ 0.
F = 4x1 − 3x2 − 9 → min.
Задача 7. Работают три экскаватора, имеющие плановые за3
дания 𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 (м ⁄смена). Пустая порода на грузовых автомобилях отвозится на пять отвалов со сменной приёмной способно3
стью 𝑉1 , 𝑉2 , 𝑉3 , 𝑉4 и 𝑉5 (м ⁄смена). Стоимость перевозки 1м3
задаётся матрицей тарифов. Составить такой план перевозок,
чтобы общая стоимость была минимальной.
Найти опорный план: а) методом «северо-западного угла»;
б) методом Фогеля.
Решить транспортную задачу распределительным методом.
- 60 -
Варианты заданий к задаче 7
№ Сменный план
(тыс. м3 )
Приёмная способность
отвала (тыс. м3 )
Матрица дальности перевозок [𝑙𝑖𝑗 ]
𝑞1
𝑞2
𝑞3
𝑉1
𝑉2
𝑉3
𝑉4
𝑉5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2,0
1,5
1,5
0,9
1,0
0,7
1,3
1,2
1,1 (1,4
1,9
1,5
0,8
1,6
2,1
1,5
2,6
1,4
1,1
1,2
1,7
2,1)
2,0
2
3,0
2,8
2,2
1,8
1,4
1,9
1,2
1,2
1,7 (1,3
1,9
2,1
1,5
2,6
0,9
1,1
1,2
1,0
1,3
1,7
1,6
2,1)
2,0
3
2,5
2,0
1,5
1,8
1,2
1,2
0,9 1,05 1,05 (1,3
1,9
0,8
0,4
1,6
2,1
1,5
2,6
1,0
1,3
1,7
1,5
2,1)
2,0
4
4,0
2,5
3,5
2,0
1,7
1,3
2,3 2,25 1,75 (1,4
2,0
0,9
0,5
1,7
0,5
1,2
1,3
1,1
1,4
1,8
1,7
2,2)
2,1
5
1,5
2,0
1,5
1,6
0,7
0,9
0,8
0,8
1,0 (0,4
1,5
2,0
1,4
2,2
0,7
1,2
1,1
1,1
1,5
1,2
1,6
1,7)
1,9
6
2,8
3,0
2,2
1,7
1,2
1,9
1,4
2,8
1,8 (3,5
3,0
1,2
1,4
1,6
0,7
1,2
1,1
1,8
1,5
2,5
0,7
0,3)
1,5
7
1,5
2,5
2,0
1,8
1,2
1,4
0,9 1,05 1,05 (1,7
1,5
0,6
1,0
1,1
0,4
0,9
0,6
0,9
1,1
1,3
0,4
0,5)
0,8
8
2,5
4,0
3,5
3,0
1,6
2,2
0,9
1,4 (1,5
1,6
1,5
3,5
1,9
3,5
1,2
4,0
2,0
1,1
1,5
0,7
0,6)
2,5
1,8
- 61 -
10
Продолжение
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1,5
1,5
2,0
1,0
0,7
1,3
1,1
2,0
0,9 (1,4
2,5
0,3
1,0
1,1
0,9
1,2
1,6
1,5
2,0
1,9
3,5
4,6)
4,8
10
2,8
2,2
3,0
1,9
1,4
1,8
1,2
0,7
1,7 (0,3
1,5
0,3
1,0
1,1
0,9
1,2
1,6
1,5
2,0
1,9
3,5
4,6)
4,8
11
2,0
2,5
1,5
1,2
0,9
1,8 1,05 0,9 1,05 (1,3
0,6
0,6
0,4
0,7
1,7
0,9
1,4
1,1
0,5
1,0
0,8
0,7)
0,6
12
3,5
4,0
2,5 1,75 2,25 2,3
0,5
2,0 (0,6
2,4
1,3
1,0
2,1
1,8
1,5
0,9
1,7
0,6
1,6
0,8
0,3)
1,7
13
2,5
2,5
2,0
1,2
1,3
1,1 0,85 1,95 1,9 (2,0
0,2
0,7
0,9
1,4
1,6
0,6
0,7
0,4
1,0
1,3
1,1
0,9)
0,6
14
2,5
1,8
2,7
1,6
1,2
1,0
1,5
1,4
1,7 (0,6
0,7
1,1
0,5
1,9
0,9
1,4
1,1
1,3
0,4
0,6
1,8
1,4)
1,3
15
3,5
3,0
3,5
1,6
1,6
1,8
2,2
0,6
2,8 (1,7
1,2
1,1
0,6
0,8
1,0
0,4
1,9
1,4
1,1
1,0
1,8
0,9)
1,3
16
2,5
3,5
3,0
1,5
1,7
1,9
2,1
0,7
1,8 (1,3
1,9
0,9
1,2
1,5
1,6
1,8
1,0
1,0
1,2
1,3
1,6
2,0)
1,3
17
2,2
4,0
2,8
1,6
1,8
1,7
2,0
2,0
1,9 (0,6
0,3
1,7
1,0
0,7
1,3
0,9
1,3
0,2
1,4
1,6
1,7
1,5)
2,3
1,7
- 62 -
9
Продолжение
10
1
2
3
4
5
6
7
8
18
1,6
4,0
2,4
1,7
1,9
1,4
1,8
0,6
1,2 (2,5
1,1
1,3
1,4
0,4
1,4
0,7
1,0
1,8
0,5
1,8
1,4
1,6)
0,9
19
3,0
3,3
3,7
1,9
1,5
2,4
2,0
1,2
2,2 (2,1
1,9
0,5
1,0
1,0
1,6
0,8
0,4
0,8
1,5
0,9
1,1
2,3)
1,7
20
3,0
3,2
2,8
1,7
1,6
1,9
2,0
1,4
1,8 (1,5
1,3
0,7
1,1
1,8
0,8
0,6
1,0
1,4
1,7
1,2
0,9
1,1)
2,2
21
1,2
1,8
2,0
1,0
0,7
1,3
1,1
1,7
0,9 (1,4
1,4
0,3
1,0
1,1
0,6
0,2
0,5
1,2
1,0
0,8
3,2
3,6)
3,7
22
3,0
2,0
3,5
2,2
1,7
2,1
1,5
1,0
2,0 (1,3
2,6
1,2
2,2
2,7
2,4
4,9
3,5
5,0
6,6
6,7
4,2
3,2)
6,3
23
1,5
2,0
1,0
0,9
1,5
1,5 0,75 0,6 0,75 (1,7
1,3
2,3
1,3
2,1
2,8
1,4
2,4
1,9
1,2
1,6
1,7
2,0)
1,2
24
3,0
3,5
2,0 1,45 1,95 2,0
1,8
1,7 (1,6
4,5
3,1
2,5
3,0
3,5
2,1
2,5
2,5
0,9
3,3
1,3
0,9)
4,1
25
3,0
3,0
2,5
1,5
2,0
1,4 1,15 2,25 2,2 (2,9
0,6
2,3
1,5
1,1
2,0
1,6
1,0
1,5
1,9
0,9
2,4
2,9)
0,8
26
3,0
2,3
3,2
1,9
1,5
2,5
2,0 (1,1
2,6
2,0
1,9
3,0
2,2
1,8
1,7
3,1
1,8
1,9
3,2
2,0)
2,0
1,3
1,4
1,8
- 63 -
9
Продолжение
10
1
2
3
4
5
6
7
8
27
3,0
2,5
3,0
1,3
1,3
1,5
1,9
1,7
2,5 (2,3
2,0
2,1
1,0
2,7
2,4
1,5
2,9
3,2
2,0
2,3
2,4
2,6)
2,5
28
2,0
3,0
2,5
1,2
1,4
1,6
1,8
1,6
1,5 (2,5
3,4
2,5
3,0
2,5
2,6
3,0
2,3
2,6
3,2
2,6
2,3
3,3)
3,2
29
2,7
4,5
3,3
1,9
2,1
2,0
2,3
3,7
2,2 (1,6
1,0
3,0
1,9
2,0
1,5
1,3
1,9
1,9
1,9
2,9
3,7
2,1)
2,6
30
2,1
4,5
2,9
2,0
2,2
1,7
2,1
1,9
1,5 (3,9
1,5
2,7
2,1
1,4
3,2
1,2
2,8
3,2
2,1
2,7
2,0
4,1)
2,0
31
1,1
1,8
2,2
1,1
0,9
0,8
0,9
2,4
1,5 (0,8
1,6
0,9
3,1
1,3
1,3
2,9
2,4
1,7
1,6
3,3
2,5
0,9)
3,8
32
2,5
2,7
1,3
0,9
1,5
1,6
1,2
1,7
1,3 (2,2
3,6
2,4
2,9
1,1
2,1
1,7
0,8
1,2
0,8
3,1
0,9
1,6)
4,0
33
1,7
1,8
2,1
1,1
1,3
0,9
1,0
2,1
1,3 (0,8
3,5
3,2
1,9
2,3
1,6
2,8
3,2
0,9
3,6
2,8
1,7
1,4)
0,8
34
2,3
1,4
2,6
1,2
1,7
1,4
0,8
2,2
1,2 (1,4
2,5
2,9
1,7
3,1
3,2
0,9
0,8
4,0
3,1
4,0
1,2
2,6)
2,8
35
2,9
2,0
1,5
2,5
0,9
1,3
0,8
0,8
0,9 (1,7
2,5
1,6
2,9
3,0
3,2
3,6
2,7
4,0
2,5
1,4
2,9
0,9)
0,8
- 64 -
9
Продолжение
10
1
2
3
4
5
6
7
8
36
2,7
1,9
2,2
0,8
1,7
1,9
2,1
2,5
1,3 (0,9
1,4
1,7
1,1
2,5
2,4
2,3
2,7
3,5
3,4
3,8
4,0
0,8)
2,6
37
1,3
2,7
1,0
1,2
1,1
0,8
1,0
2,2
0,9 (2,3
0,8
3,1
1,7
2,1
2,5
0,9
3,6
4,0
2,6
2,7
1,4
2,5)
3,3
38
2,4
1,6
1,3
0,8
1,0
1,1
0,9
3,3
1,5 (2,1
1,6
2,5
3,4
2,7
1,8
0,9
0,8
0,9
2,2
3,6
2,4
1,8)
2,5
39
2,2
2,0
1,9
1,1
1,8
1,4
1,0
2,6
0,8 (1,4
2,2
2,3
0,9
3,4
1,8
1,6
4,0
2,9
2,6
2,7
3,7
3,1)
1,5
40
1,4
1,0
2,9
0,9
1,2
1,0
1,3
0,9
0,9 (1,6
3,4
2,5
0,8
2,7
1,9
4,0
2,4
2,1
0,8
1,7
1,9
2,6)
3,7
41
2,4
1,2
1,8
2,0
0,8
0,8
0,9
2,1
0,9 (3,7
2,6
1,7
1,1
1,9
0,9
2,2
3,1
1,0
4,0
2,3
3,5
3,4)
1,5
42
1,7
1,9
2,5
0,9
2,2
1,1
0,8
3,3
1,1 (2,7
2,3
2,1
3,6
3,1
1,9
1,4
1,0
2,5
1,9
2,4
1,4
2,9)
1,2
43
1,3
1,6
2,8
1,2
0,9
1,5
1,1
1,1
1,0 (2,2
3,6
2,7
1,9
2,5
3,2
3,4
1,7
1,3
3,7
3,0
1,5
2,8)
2,1
44
2,7
2,9
1,1
1,3
2,1
0,8
0,9
2,1
1,6 (1,8
1,1
2,0
3,2
2,2
3,7
2,1
3,8
1,6
1,0
1,9
0,9
3,5)
3,6
- 65 -
9
Окончание
1
2
3
4
5
6
7
8
45
2,8
1,6
1,4
0,8
0,9
1,2
0,8
2,5
2,1 (2,9
1,8
0,9
1,3
3,2
1,6
0,8
1,0
1,3
1,1
2,2
3,5
2,5)
3,4
46
2,2
1,0
2,5
1,1
1,3
0,8
1,6
3,0
0,9 (2,7
1,3
0,9
3,3
2,5
1,6
1,1
4,0
2,4
2,6
1,4
3,7
3,0)
3,2
47
3,0
1,8
2,4
1,5
1,2
1,4
2,3
2,7
0,8 (4,0
3,7
1,2
1,1
1,3
1,0
3,6
1,8
2,5
1,3
1,2
2,9
2,1)
2,8
48
2,1
1,9
2,3
1,1
2,1
0,8
1,4
3,4
0,9 (1,0
1,8
1,2
3,1
2,2
2,8
0,9
1,5
1,9
2,4
2,3
3,5
3,1)
1,2
49
1,4
2,9
1,8
0,8
2,2
1,2
0,9
2,9
1,0 (1,3
3,5
1,1
2,7
1,0
2,1
1,1
2,2
3,7
2,8
1,7
2,5
3,0)
3,4
50
1,2
3,0
2,7
1,5
1,7
1,4
1,1
3,1
1,2 (2,7
1,1
1,8
1,6
1,4
1,9
2,4
0,8
2,1
3,0
1,3
3,3
2,5)
1,9
- 66 -
9
10
Задача 8. Груз с трёх станций А1 , А2 , А3 доставляется по четырём предприятиям В1 , В2 , В3 и В4. Запасы груза составляют
а1 , а2 , а3 . Потребности предприятий соответственно равны
𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 и 𝑏4 . Стоимость перевозки единицы груза известна и
задаётся матрицей тарифов. Составить для открытой модели
такой план перевозок, чтобы общая стоимость перевозок была
минимальной.
а) найти опорный план по методу наименьшей стоимости,
б) решить транспортную задачу методом потенциалов.
Варианты заданий к задаче 8
1
Запасы на
складах
А𝟏 А𝟐
А𝟑
2
3
4
Потребности предприятий
В𝟏
В𝟐
В𝟑
В𝟒
5
6
7
8
1
3,0
2,3
3,2
1,9
1,5
1,3
2
3,0
2,5
3,0
1,3
1,3
1,5
2,1 2,7 1,7 3,0
1,9 (1,8 2,9 2,2 2,5)
1,6 1,9 2,8 1,4
3
2,0
3,0
2,5
1,2
1,4
1,6
1,7 2,3 2,1 2,3
1,8 (2,8 2,0 3,1 3,0)
1,5 1,9 2,3 2,5
4
2,7
4,5
3,3
1,9
2,1
2,0
1,8 3,2 3,0 2,2
2,3 (2,4 1,9 2,1 3,0)
1,5 2,5 2,8 1,6
№
Матрица стоимости перевозок [𝒄𝒊𝒋 ]
9
2,0 2,2 3,1 2,7
1,8 (2,8 1,9 2,1 3,0)
2,5 1,5 1,8 2,4
5
2,1
4,5
2,9
2,0
2,2
1,7
2,1 3,0 1,9 1,7
2,1 (1,8 2,4 2,2 3,0)
2,6 1,8 2,8 2,3
6
1,1
1,8
2,2
1,1
0,9
0,8
1,8 3,0 3,1 2,5
0,9 (1,9 2,4 2,7 3,0)
2,1 2,6 1,7 2,2
- 67 -
Продолжение
1
2
3
4
5
6
7
7
2,5
2,7
1,3
0,9
1,5
1,6
9
1,9 2,5 1,8 2,6
1,2 (2,1 1,7 2,2 3,1)
1,5 1,9 2,5 1,7
8
8
1,7
1,8
2,1
1,1
1,3
0,9
2,3 2,4 2,9 1,7
1,0 (2,7 1,8 2,4 2,8)
2,1 1,6 2,3 1,6
9
2,3
1,4
2,6
1,2
1,7
1,4
1,2 1,3 1,9 2,7
0,8 (1,5 1,4 2,1 2,6)
1,8 1,6 2,2 2,1
10
2,9
2,0
1,5
2,5
0,9
1,3
2,1 2,3 2,9 3,2
0,8 (2,7 2,4 3,4 3,0)
2,8 2,6 2,2 3,1
11
2,7
1,9
2,2
0,8
1,7
1,9
1,3 2,3 1,9 2,7
2,1 (1,7 1,4 2,4 3,0)
1,8 1,6 2,2 3,1
12
1,3
2,7
1,0
1,2
1,1
0,8
2,1 3,0 1,9 1,7
1,0 (1,8 2,4 2,2 3,0)
2,6 1,8 2,8 2,3
13
2,4
1,6
1,3
0,8
1,0
1,1
2,3 3,0 2,9 1,7
0,9 (1,7 2,5 2,1 1,6)
2,6 3,1 2,8 3,0
14
2,2
2,0
1,9
1,1
1,8
1,4
1,4 1,6 1,9 1,3
1,0 (1,8 2,1 2,2 2,0)
2,6 2,2 3,1 2,3
15
1,4
1,0
2,9
0,9
1,2
1,0
2,0 3,0 2,5 2,9
1,3 (2,4 2,3 2,9 3,2)
2,6 2,8 3,0 2,3
- 68 -
Продолжение
1
2
3
4
5
6
7
16
2,4
1,2
1,8
2,0
0,8
0,8
9
1,2 2,1 2,3 1,8
0,9 (1,7 1,9 1,4 2,2)
2,1 1,6 2,3 2,6
8
17
1,7
1,9
2,5
0,9
2,2
1,1
3,3 2,2 2,9 2,7
0,8 (2,1 2,8 2,4 2,5)
2,4 2,6 1,9 2,8
18
1,3
1,6
2,8
1,2
0,9
1,5
1,8 2,6 1,9 1,7
1,1 (2,7 1,6 2,4 2,8)
2,2 1,5 2,3 1,6
19
2,7
2,9
1,1
1,3
2,1
0,8
1,8 2,3 2,5 2,3
0,9 (2,8 2,3 3,1 3,2)
1,6 1,9 2,7 2,6
20
2,8
1,6
1,4
0,8
0,9
1,2
2,5 2,2 1,8 1,7
0,8 (1,8 2,4 2,1 1,5)
3,1 1,6 2,3 1,6
21
2,2
1,0
2,5
1,1
1,3
0,8
2,2 2,7 2,3 1,8
1,6 (2,4 1,9 1,6 2,2)
2,5 1,7 2,3 2,9
22
3,0
1,8
2,4
1,5
1,2
1,4
2,9 2,2 2,8 1,9
2,3 (1,8 2,4 2,1 1,8)
3,1 3,0 2,3 1,6
23
2,1
1,9
2,3
1,1
2,1
0,8
1,7 2,4 2,1 2,5
1,4 (2,8 2,0 3,1 3,0)
1,9 1,8 3,3 2,5
24
1,4
2,9
1,8
0,8
2,2
1,2
2,5 2,3 1,8 1,7
0,9 (2,8 2,2 2,5 1,9)
3,0 2,3 2,3 1,3
- 69 -
Продолжение
1
2
3
4
5
6
7
25
1,2
3,0
2,7
1,5
1,7
1,4
9
1,8 2,3 2,2 1,6
1,1 (1,9 2,0 3,2 2,4)
1,5 1,9 2,7 2,5
8
26
2,0
1,5
1,5
0,9
1,0
0,7
1,4 2,2 1,9 2,5
1,3 (1,7 1,8 2,4 2,9)
1,6 1,5 2,2 3,0
27
3,0
2,8
2,2
1,8
1,4
1,9
2,3 3,2 1,9 2,1
1,2 (1,8 2,5 2,4 3,1)
2,6 1,6 2,8 2,3
28
2,5
2,0
1,5
1,8
1,2
0,9
2,0 3,1 2,9 1,4
1,05 (1,7 2,0 2,4 1,8)
2,5 2,1 2,8 3,0
29
4,0
2,5
3,5
2,0
1,7
2,3
1,7 1,6 1,4 1,3
2,25 (1,8 1,5 2,2 2,1)
2,7 2,2 2,5 2,3
30
1,5
2,0
1,5
1,6
0,7
0,9
1,8 2,0 2,5 1,9
0,8 (2,4 2,3 2,9 3,2)
2,6 2,7 3,0 2,3
31
2,8
3,0
2,2
1,7
1,2
1,9
2,8 3,3 3,1 2,5
1,4 (2,9 2,2 2,7 3,2)
2,1 2,6 1,9 2,2
32
1,5
2,5
2,0
1,8
1,2
0,9
1,7 2,3 2,8 1,6
1,05 (2,1 1,7 2,2 2,1)
1,5 3,0 2,5 1,7
33
2,5
4,0
3,5
3,0
1,6
2,2
3,3 2,5 2,9 1,7
1,8 (2,7 1,8 2,4 2,8)
3,1 2,6 2,3 1,9
- 70 -
Продолжение
1
2
3
4
5
6
7
34
1,5
1,5
2,0
1,0
0,7
1,3
9
1,3 1,4 1,7 2,7
1,1 (1,4 1,5 2,6 2,1)
1,8 1,7 2,3 2,1
8
35
2,8
2,2
3,0
1,9
1,4
1,8
2,4 2,3 2,9 3,2
1,2 (2,5 2,1 3,4 3,0)
2,8 2,6 2,8 3,1
36
2,0
2,5
1,5
1,2
1,8
1,05
1,2 2,7 2,4 1,8
0,9 (2,3 1,9 1,6 2,2)
2,1 1,7 2,3 1,9
37
3,5
4,0
2,5
1,75 2,25
2,3
2,8 2,3 2,4 1,8
1,7 (1,9 2,4 2,6 1,7)
3,1 3,0 2,3 1,6
38
2,5
2,5
2,0
1,2
1,1
3,7 2,4 2,2 2,5
0,85 1,95 (2,8 2,0 3,1 2,7)
2,9 1,8 3,3 2,8
39
2,5
1,8
2,7
1,6
1,2
1,0
1,5 2,2 1,8 1,7
1,5 (1,9 2,1 2,5 1,9)
2,0 2,3 2,4 1,3
40
3,5
3,0
3,5
1,6
1,6
1,8
2,8 1,7 2,2 2,6
2,2 (1,9 2,0 3,1 2,0)
2,5 1,9 2,7 2,5
41
2,5
3,5
3,0
1,5
1,7
1,9
1,4 2,1 2,2 1,8
2,1 (1,7 1,8 1,5 2,0)
2,1 1,6 2,3 2,4
1,7
3,1 2,2 1,9 2,7
2,0 (2,1 2,8 2,4 2,0)
2,5 2,6 3,3 2,8
42
2,2
4,0
2,8
1,6
1,8
- 71 -
Окончание
1
2
3
4
5
6
7
43
1,6
4,0
2,4
1,7
1,9
1,4
9
1,6 2,0 1,9 1,4
1,8 (2,7 1,6 2,4 1,8)
2,0 2,5 1,5 1,6
8
44
3,0
3,3
3,7
1,9
1,5
2,4
1,8 1,3 1,5 1,6
2,0 (2,0 1,9 2,1 2,2)
1,6 1,9 2,4 2,6
45
3,0
3,2
2,8
1,7
1,6
1,9
3,5 2,2 2,8 2,7
2,0 (2,0 2,6 2,1 2,5)
3,1 2,1 2,3 3,0
46
1,8
2,0
1,0
0,7
1,3
1,1
2,1 2,4 1,8 2,7
0,9 (2,3 1,9 2,1 3,0)
2,5 2,5 1,8 2,4
47
2,0
3,5
2,2
1,7
2,1
1,5
2,2 2,7 1,5 3,1
2,0 (1,9 2,9 2,2 2,5)
1,7 2,0 2,8 1,8
48
2,0
1,0
0,9
1,5
0,75
0,6
1,7 2,0 2,1 2,3
0,75 (2,8 2,3 3,2 3,0)
1,9 1,7 2,4 2,5
49
3,5
2,0
1,45 1,95
2,0
1,4
1,3 1,7 2,0 2,2
1,7 (2,4 1,9 2,1 2,4)
1,5 2,5 2,7 1,6
50
3,0
2,5
1,5
1,15 2,25
2,8 3,0 3,9 3,7
2,2 (2,5 2,4 2,6 3,0)
2,9 2,8 2,4 2,6
1,4
- 72 -
Задача 9. Найти опорный план методом северозападного угла и решить транспортную задачу по критерию
времени.
№
Матрица стоимости
Запасы на
Потребности предперевозок [𝒄𝒊𝒋 ]
складах
приятий
А𝟏
А𝟐
В𝟏
В𝟐
В𝟑
1
2
3
4
5
6
7
10 4 5
1
23
36
15
26
18
(
)
6 2 9
2
25
32
16
22
19
11 6
(
3 4
5
)
10
3
27
34
20
17
24
12 8
(
4 6
7
)
10
4
29
30
21
20
18
13 7
(
6 5
8
)
11
5
31
26
22
17
18
14 5
(
6 7
9
)
11
6
33
28
19
21
21
15 9
(
8 4
10
)
12
7
35
37
20
24
28
16 10 11
(
)
9
8 12
8
37
36
23
20
30
17 11 8
(
)
7
6 14
9
39
35
18
25
31
18 9
7
(
)
10 11 13
10
41
34
27
24
24
19 8 12
(
)
7 10 15
11
43
33
22
25
29
20 7
(
9 9
- 73 -
10
)
16
Продолжение
1
2
3
4
5
6
12
45
32
23
29
25
13
47
24
28
20
23
22 15 10
(
)
11 12 20
14
32
35
19
23
25
23 16 13
(
)
8
9 19
15
33
34
25
20
22
24 12 10
(
)
6 15 20
16
34
38
20
27
25
(
17
35
40
25
21
29
11 8
(
7 6
7
)
10
18
36
41
24
25
28
12 9
(
5 7
8
)
11
19
37
40
28
23
26
13 7
(
3 5
9
)
10
20
38
39
21
29
27
14 8
(
7 4
10
)
12
21
28
30
20
15
23
15 11 10
(
)
6
9 14
22
27
31
19
16
23
16 7
(
12 8
23
26
32
18
23
17
17 10 10
(
)
7 13 15
24
25
33
22
17
19
18 13 14
(
)
9
9 16
- 74 -
7
21 12 14
(
)
10 9 17
10
4
8 7
)
4 9
9
)
14
Продолжение
1
2
3
4
5
6
25
38
36
29
22
23
26
36
38
22
27
25
20 13 14
(
)
11 8 18
27
35
39
25
25
24
21 10 15
(
)
8 12 19
28
37
35
23
27
22
22 14 10
(
)
8 16 20
29
35
36
26
25
20
23 11 12
(
)
7 14 19
30
34
37
25
27
19
24 15 11
(
)
9
6 18
31
36
41
24
25
28
(
32
35
30
19
27
19
11 5
(
4 8
6
)
10
33
33
29
20
19
23
12 4
(
6 8
7
)
10
34
32
30
19
22
21
13 8
(
9 6
7
)
10
35
33
31
23
23
18
14 5
9
(
)
10 10 13
36
30
25
19
16
20
15 8 10
(
)
7 11 14
37
24
31
16
19
20
16 7
6
(
)
9 12 14
- 75 -
7
19 11 10
(
)
6
9 18
10
7
4 3
)
8 9
Окончание
1
2
3
4
5
6
7
17 12 14
(
)
13 9 15
38
29
24
18
19
16
39
26
29
16
18
21
18 15 9
(
)
11 12 17
40
25
26
15
17
19
19 13 12
(
)
10 9 16
41
45
43
28
29
31
20 12 10
(
)
16 15 19
42
24
25
15
14
20
21 14 7
(
)
4 12 18
43
44
44
29
32
27
25 11 17
(
)
7 16 20
44
26
25
20
17
14
23 10 8
(
)
15 7 20
45
46
43
30
31
28
22 7
(
8 5
9
)
13
Литература
1. Протасов И. Д. Теория игр и исследование операций /
И. Д. Протасов. 2006
2. Шикин Е.В. Исследования операций: Учеб. для вузов /
Е. В. Шикин, Г. Е. Шикина, 2006.
3. Чернигов Ю. Г. Системный анализ и исследование операций:
(Учебное пособие для вузов. Допущено УМО) 2006.
4. Федунец Н. И. Теория принятия решений М.: Издательство
московского горного института, 2005.
- 76 -
Содержание
Введение ........................................................................................... 3
Решение типовых задач................................................................... 4
Варианты индивидуальных заданий .............................................. 30
Литература ........................................................................................ 76
- 77 -