Изучение теории колебаний пружинных маятников.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебное пособие предназначено для студентов всех специаль ностей, выполняющих лабораторные работы по разделу “Колеба ния и волны” в рамках курса общей физики. В учебном пособии
представлены руководства к лабораторным работам, охватываю щим практически все части раздела: гармонические, затухающие и
вынужденные упругие колебания, гармонические и затухающие
электромагнитные колебания, сложение колебаний одного и двух
направлений. Кроме того, в некоторых работах возможно получе ние и изучение модулированного высокочастотного сигнала. Осо бое место занимают работы, посвященные распространению волн в
упругих средах, а также работа на изучение распространения по верхностных волн. Каждое руководство состоит из цели работы,
теоретических основ физических явлений, изучаемых в лабораторной работе, описания экспериментальной установки и подроб ного описания последовательности действий при проведении экс перимента. Кроме того, в каждой работе дано по 30 контрольных
вопросов, предназначенных для самоконтроля студентов. В Приложениях дана таблица коэффициентов Стьюдента, позволяющих
рассчитать полуширину доверительного интервала (абсолютную
погрешность) измеряемой величины. Также в Приложениях кратко
описана методика расчета погрешностей измерений.
Авторы выражают глубокую благодарность всем студентам уни верситета, принимавших участие в создании электронной версии
настоящего учебного пособия, особенно Никитину Игорю, Дроздовой Анне и Зайцевой Галине.
Особую благодарность авторы выражают инженеру Борису Вла димировичу Зверлову за работу по усовершенствованию экспери ментальных установок и созданию новых лабораторных работ.
3
Лабораторная работа №1
ИЗУЧЕНИЕ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ ПРУЖИННЫХ
МАЯТНИКОВ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Задачей данной работы является ознакомление с
простейшим случаем гармонических колебаний пружинного
маятника, которые в воздухе можно считать незатухаю щими. Работа складывается из двух разделов. Первый раз дел работы (упражнение 1-2) – изучение собственных
гармонических колебаний с одной степенью свободы
(рис.1.1,а). Второй раздел работы (упражнения 3 -4) – изучение системы двух связанных маятников (рис. 1.1, б, 1.1,в).
а
б
в
Рис. 1.1
ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
- набор пружин и грузов
- измерительная установка для отсчета отклонений грузов
- секундомер
4
МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
Пружинный маятник – это грузик, подвешенный на пружине. После отклонения от положения равновесия он будет
совершать вертикальные гармонические колебания, если
упругая пружина такова, что сила деформации пропорци ональна величине удлинения пружины ( F  k  l , где k –
коэффициент упругости).
Под действием силы тяжести грузика она растянется на
длину l0 (рис. 1.2) – это будет соответствовать условию,
что  сумма сил, действующих на масс у m , равна нулю
(  Fi  0 ), или условию минимума потенциальной энергии
системы:


dU
F   gradU или F  
dx
dU


 0 .
 условие минимума :
dx


f
Рис. 1.2
При отклонении от положения равновесия на величину x
появляется возвращающая сила f  kx (рис. 1.2); тело начинает колебаться.
Уравнение движения тела:
mx  f ;
5
mx  kx , т.е.
x 
k
x0
m
– уравнение собственных незатухающих колеб аний с
частотой
k
0 
.
m
Решением уравнения будет (при условии начального
максимального отклонения)
X  A  cos
k
t .
m
Период колебаний равен
T
2
0
, т.е. T  2
m
.
k
(1.1)
Из (1.1) видно, что с увеличением коэффициентов упругости ( k ) пружины растет частота колебаний и уменьшается
период колебаний.
Характер собственных колебаний пружинного маятника
не зависит от силы тяжести, а зависит только от перемен ной возвращающей силы.
Система двух пружин с разными коэффициентами упру гости, связанных друг с другом по схеме рис.1.1,б или 1.1,в
представляет собой связанную систему с двумя степенями
свободы. При колебаниях системы (рис.1.1, б) смещения у
разных пружин в один и тот же момент времени не будут
одинаковыми: X 1  X 2 . Во время колебаний будут изменяться одновременно две величины X 1 и X 2 , т.е. если мы
резким толчком выведем из положения равновесия только
нижнюю пружину, то возникшие колебания обязательно пе редадутся к верхней пружине. Поэтому при анализе коле 6
баний мы обязаны учитывать одновременное движение обе их пружин. Подобная система имеет две степени свободы.
Наблюдая колебания за некоторое сравнительно неболь шое время, когда еще не сказалось действие сил трения, мы
увидим, что колебания каждого из маятников негармонич ны. Это объясняется перекачкой энергии от одной пружины
к другой. Колебания будут носить характер биений. Время
 , за которое пружины обменялись энергией, называется
периодом биений. Механическая энергия будет полностью
переходить из одной пружины в другую, пока она не прев ратится в тепловую и колебания не прекратятся.
Характер биений в случае двух пружин во многом зави сит от масс пружин и их упругости (упругих свойств). Чем
меньше массы пружин, тем более гармоничными становятся
колебания. Если пренебречь массами пружин, то систему
пружинных маятников, изображенных на рис.1.1, б,в можно
представить как пружинный маятник с одн ой степенью свободы, обладающий некоторым эффективным коэффициен том упругости.
Формула эффективного коэффициента упругости для
схемы последовательного соединения пружин выводится из
предположения, что в точке соединения пружин силы упру гости обеих пружин одинаковы. Тогда, если мы обозначим
через X 1 удлинение пружины с коэффициентом упругости
K1 , а через X 2 удлинение пружины с коэффициентом упру гости K 2 , то можно записать
K1 X 1  K 2 X 2 .
(1.2)
Общее удлинение обеих пружин
X  X1  X 2 .
(1.3)
Тогда
p
K эф
 ( X1  X 2 )  K1 X1  K 2 X 2 .
(1.4)
7
K1 X 1
, получим выражение для
K2
эффективного коэффициента упругости:
Подставляя вместо X 2 
p
K эф
( X1 
K1  X 1
)  K1 X 1 ,
K2
откуда
p
K эф

K1 K 2
.
K1  K 2
Период колебаний такого маятника равен T  2
T  2
(1.5)
m
p
K эф
m  ( K1  K 2 )
.
K1  K 2
, или
(1.6)
Формула эффективного коэффициента упругости маят ника, составленного из двух параллельно со единенных пружин, получается из предположения, что если груз подвешен
к точке, относительно которой моменты сил упругости и
весов частей планки, разделенной точкой подвеса равны, то
вращения нет. Cледовательно,
p
p
X  K эф
 K1 X 1  K 2 X 2 , K эф
 K1  K 2 .
(1.7)
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
УПРАЖНЕНИЕ 1
Определение коэффициента жесткости пружины
статическим методом
1. Собрать установку по схеме рис.1.1, а.
2. Для данной пружины определяется mg  f ( xi ) – зави8
симость, где xi – отклонение от ненагруженной пружины до
положения равновесия пружины, нагруженной массой mi
(см. рис. 1.3).
mi


xi
Рис. 1.3
3. Данные занести в таблицу 1. График выполнить на мил лиметровке. Построить на миллиметровке график mi  B  xi .
№ пружины
Таблица 1
№
п/п
mi , кг xi , м mi xi
 mi   xi   mi xi 
B
(tg )
B  K 
gB
K
1
2
1 3
4
5
1
2
2 3
4
5
9
4. По методу наименьших квадратов (МНК) (см. приложение 2) определить коэффициент B в зависимости
mi  B  xi и его ошибку B .
5. Вычислить коэффициенты жесткости обеих пружин
K  Bg , где g  9,80 м/с 2 и их погрешности K  gB
*
Допускается вычислять коэффициенты жесткости как тангенс угла наклона прямой mi  B  xi , не прибегая к МНК. Для
этого на графике прямую проводим так, чтобы минимизиро вать отклонения точек от прямой (см. рис.1.4). В этом случае
в таблице 1 не заполняем столбцы  mi  ,  xi  ,  mi xi  . В
mg
графу “ mi xi ” можно записать значения K i  i ; погрешность
xi
K определить через среднюю квадратичную ошибку.
Результаты
N
 K  g  tg и K 
 ( K   K i ) 2
i 1
записать в соответствующие графы.
Рис. 1.4
10
N ( N  1)
 t N ,
УПРАЖНЕНИЕ 2
Исследование зависимости периода собственных колебаний
пружинного маятника от массы подвешенного груза
1. Эксперименты проводятся по схеме рис.1.1, а.
2. Измерения периода колебаний T для массы m проводятся при числе колебаний не менее n  20 .
3. Величина периода колебаний вычисляется по формуле
T
t
,
n
где t – время n колебаний.
4. Данные занести в таблицу 2.
5. Для определенной пружины строится зависимость пе риода колебаний от массы груза T 2  f ( m) . График строить
на миллиметровой бумаге.
6. Выполнить статистическую обработку результатов из мерений.
7. Определить по МНК коэффициент C в зависимости
T 2  Cm , его ошибку C и относительную ошибку
EC 
C
.
C
8. Вычислить среднее значение коэффициента упругости
4 2
 K 
C
и его абсолютную ошибку
K  EC   K  ,
результат округлить, сравнить с полученным в упражнении 1.
11
№ пружины
Таблица 2
№
п/п
1
2
1
3
4
5
1
2
2
3
4
5
Среднее
значение
mi , кг
ti , c
Ti , c
 m 
Ti 2
 T 2 
C  tg 
K
C 
K 
Ti 2 mi
m i2
 T 2 m   m 2 
Допускается определение  K  по тангенсу угла наклона
прямой
4 2
2
T  tg  m ;  K 
.
tg
УПРАЖНЕНИЕ 3
Исследование зависимости коэффициента жесткости
пружины от периода собственных колебаний пружинного
маятника
1. Опыты проводятся по схеме рис.1.1,а.
12
2. Измерить период собственных колебаний T для всех
имеющихся пружин по методике упражнения 2(пп.2,3) при
одном и том же грузе ( 30  50 г.).
3. Полученные данные занести в таблицу 3.
№ пружины
Таблица 3
№
п/п
ti , c
Ti , c
T
T 
K
EK
K
1
2
13
4
5
1
2
23
4
5
4. Рассчитать среднее значение для каждой пружины и
абсолютную ошибку T (см. Приложение).
5. Рассчитать относительную ошибку
2
EK
2
 m 
 T 
 
  4
 ,
 m 
T 
где m – систематическая ошибка в определении массы.
6. Рассчитать абсолютную ошибку K  K  E K и округлить результат  K  с нужной степенью точности. Записать
ответ в виде K  K  K .
13
УПРАЖНЕНИЕ 4
Определение эффективного коэффициента упругости
системы двух пружин, соединенных последовательно
1. Собрать схему (рис.1.1.б) из пружин №1,2.
2. Измерить t1 – время n  50 колебаний.
3. Опыт повторить 5 раз. Данные занести в таблицу 4. Выполнить статистическую обработку результатов измерений.
Результат представить в виде T  T  T .
4. Определить период T системы по формуле
T
t
.
n
5. Вычислить, используя формулу
m
T1  2
K 1эфф
где эффективный коэффициент упругости:
K 1эфф

4 2 m
T 
2
.
6. Рассчитать относительную ошибку
2
E K эфф
 m 
 T 
 
  4

 m 
T 
(как в упражнении 3) и найти
K 1эфф  K 1эфф  E K эфф .
7. Рассчитать
14
2
расч
K эфф

K1 K 2
,
K1  K 2
взяв значения жесткости пружин K1 и K 2 из упражнения 1.
8. Сравнить значения K (в пределах ошибок), полученные в п.5 и п.7.
Таблица 4.
параллельное последоват.
соединение соединение
№
п/п
ti , c
Ti , c
T 
T
EK
 K эфф 
K
расч
K эфф
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
m   
n  50
УПРАЖНЕНИЕ 5
Определение жесткости пружин, соединенных параллельно
1. Собрать схему по рис.1.1,в для тех же пружин K1 , K 2 .
2. Измерить t 2 – время n  50 колебаний.
3. Опыт повторить 5 раз. Данные занести в таблицу 4. Выполнить статистическую обработку результатов измерений
4. Определить период колебаний по формуле
15
T
t
.
n
5. Вычислить эффективный коэффициент упругости:
2
K эфф

4 2 m
T 
2
.
6. Рассчитать относительную ошибку
2
E K эфф
 m 
 T 
 
  4

 m 
T 
2
(как в упражнении 3) и найти
2
2
K эфф
 K эфф
 E K эфф .
7. Рассчитать
расч
K эфф
 K1  K 2 ,
взяв значения жесткости пружин K1 и K 2 из упражнения 1.
8. Сравнить значения K (в пределах ошибок), полученные в пп5,7.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Оцените относительную ошибку в определении K .
2. Сформулируйте основное предположение метода наи меньших квадратов (МНК), используйте МНК пр и построении графиков.
3. Оцените абсолютную погрешность при измерении вре мени.
16
4. Оцените абсолютную ошибку при измерении массы.
5. Оцените относительную ошибку при измерении массы.
6. Начертите график T 2  f (m) по МНК.
7. Оцените абсолютную ошибку в определении tg (наклона прямой).
8. Оцените относительную ошибку в определении tg
(наклона прямой).
9. Начертите график T 2  f (m) по МНК.
10. Найдите по графику среднее значение K .
11. Оцените, совпадают ли и с какой точностью значения
K i , полученные по графику и рассчитанные в упражнении 1.
12. Объясните, почему не рекомендуется брать большие
значения начальной амплитуды A0 ?
13. Оцените относительную погрешность измерения A0 и
A( f ) .
14. Оцените абсолютную погрешность определения пери ода (в упражнении 5) T 1,2 .
15. Оцените относительную погрешность определения пе риода (в упражнении 5) T 1,2 .
16. Выведите относительную ошибку K эфф , рассчитайте
её и абсолютную ошибку K эфф .
17. Рассчитайте абсолютную ошибку K эфф .
18. Выведите относительную ошибку в определении массы (упражнения 3,4).
19. Выведите абсолютную ошибку m .
20. Сформулируйте закон Гука.
21. Как закон Гука используется при выводе дифферен циального уравнения незатухающих колебаний?
22. Как связаны механическое напряж ение в материале и
относительное удлинение?
23. Выведите формулу для жесткости пружин, соединен ных последовательно.
24. Выведите формулу для жесткости пружин, соединен ных параллельно.
17
25. Выведите уравнение незатухающих колебаний. Опи шите его решение. Как определяется частота, период, ам плитуда, фаза и начальная фаза?
26. Что такое механическое напряжение в материале?
27. Что такое относительное удлинение?
28. Почему при расчете частоты колебаний мы пренебре гаем массой пружины?
29. Какими являются колебания в данной работе – затухающими или незатухающими?
30. Чем отличаются колебания пружинного маятника в го ризонтальной и вертикальной плоскости?
18