f(x)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ФИЛИАЛ
государственного образовательного учреждения высшего профессионального
образования
«Дальневосточный государственный технический университет
(ДВПИ имени В.В. Куйбышева)» в г. Петропавловске-Камчатском
Кафедра ЕНИД
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ
Алгебра и геометрия
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ФИЛИАЛ
государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Дальневосточный государственный технический университет
(ДВПИ имени В.В.Куйбышева)» в г. Петропавловске-Камчатском
Рабочая учебная программа
Алгебра и геометрия
Образовательная программа 080801 Прикладная информатика
Кафедра Естественнонаучных и информационных дисциплин
Петропавловск-Камчатский, 2009
2
Выписка и ГОС
ЕН.Ф.01
МАТЕМАТИКА
Алгебра
и
геометрия:
алгебраические
структуры,
векторные
пространства, линейные отображения; аналитическая геометрия,
многомерная геометрия кривых и поверхностей;
Математический анализ: дифференциальное и интегральное исчисления;
экстремумы функций; аналитическая геометрия и линейная алгебра;
последовательности и ряды; векторный анализ и элементы теории поля;
дифференциальные уравнения; численные методы.
Дискретная математика: логические исчисления, графы, комбинаторика.
Элементы теории нечетких множеств. Нечеткие алгоритмы. Теория
неопределенности.
Введение
Дисциплина
«Алгебра
и
геометрия»
относится
к
циклу
естественнонаучных дисциплин. Изучение данной дисциплины базируется на
знаниях студентами курса «Математика» в объеме средней школы.
Настоящая рабочая программа устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных
занятий и отчетности.
1. Цели и задачи дисциплины
Задачей дисциплины является изучение фундаментальных разделов
высшей математики, которые составляют основу математических знаний
студентов.
Целью является:
- развитие у студентов логического и алгебраического мышления;
- формирование у студентов математических знаний для успешного
овладения общенаучными и специальными дисциплинами на необходимом
научном уровне;
-
выработка
математические
у
знания
студентов
и
умения
проводить
3
самостоятельно
математический
расширять
анализ
задач,
возникающих в процессе изучения профильных дисциплин и дальнейшей
профессиональной деятельности
2. Начальные требования к освоению содержания дисциплины
В
результате
изучения
дисциплины
студент
должен
иметь
представление:
- о месте и роли математики в современном мире;
- о методах математического моделирования и их использование при
решении прикладных задач.
При изучении дисциплины необходимо постоянно обращать внимание
на ее прикладной характер, показывать где и когда изучаемые теоретические
положения и практические навыки могут быть использованы в будущей
практической деятельности.
3. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
В результате теоретического изучения дисциплины студент должен:
- ознакомиться с элементами линейной алгебры и аналитической геометрии;
- овладеть основными методами дифференциального и интегрального
исчисления;
- знать основные понятия и методы теории вероятностей и математической
статистики.
Раздел 1. Глава 1. Теория пределов функции
В результате теоретического изучения студент должен знать:
- определение предела функции;
- теоремы о пределах;
- условиях существования пределов;
- о бесконечно малых и бесконечно больших величинах;
- два «замечательных» предела.
4
При практическом изучении уметь:
- вычислять простые пределы.
Глава 2. Дифференциальное исчисление.
Знать:
- определение производной функции;
- физический и геометрический смысл производной;
- правила дифференцирования и производные наиболее распространенных
функций.
Уметь:
- находить с помощью производной промежутки монотонности и ее
экстремумы;
- дифференцировать простые функции.
Глава 3. Интегральное исчисление.
Студент должен иметь представление:
- о табличных интегралах;
- о вычислении геометр, физических, механических величин с помощью
интегрального исчисления;
- о дифференциальных уравнениях.
Знать:
- символику и определение интеграла;
- свойства определенного и неопределенного интеграла;
- методы интегрирования;
- геометрический смысл определенного интеграла.
Уметь:
- решать простейшие интегральные уравнения
Раздел 2. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.
Знать:
- определение декартовой и полярной системы координат;
- действия над векторами и матрицами (сложение, умножение, вычитание);
- общее уравнений плоскости и прямой в пространстве;
5
- геометрические свойства линий и поверхностей второго порядка.
В результате практического изучения студент должен уметь:
- находить координаты точек в декартовой и полярной системах координат;
- определять координаты векторов, их длин и углов между ними;
- решать системы линейных уравнений различными способами;
- решать задачи координатным способом.
Раздел 3. Теория вероятностей и математическая статистика.
Студент должен иметь представление:
- о случайных событиях;
- о функциях распределения случайных величин;
- о задачах математической статистики;
- о случайных выборках;
- о функции выборки;
- о методах оценки параметров распределения;
- о некоторых важнейших распределениях
Знать:
- правила вычисления среднего значения и дисперсии;
- свойства математического ожидания.
Уметь:
- вычислять математическое ожидание и дисперсию;
- находить вероятность данного события.
4. Объем дисциплины и виды учебной работы
4.1 Очная форма обучения
Вид учебной работы
Всего часов
1 семестр
Общая трудоемкость дисциплины
200
Лекции
54
Практические занятия
36
6
Всего самостоятельная работа
110
Вид итогового контроля (экзамен, зачет)
экзамен
5. Содержание дисциплины
5.1 Распределение учебного материала по видам занятий
Очная форма обучения
№
Наименование раздела дисциплины
Распределение по видам
п/п
(час)
Лек
ПЗ
СРС
1.
Тема 1. Элементы векторной алгебры на плоскости
и в пространстве.
6
4
12
2.
Тема 2. Прямая линия на плоскости, плоскость и
прямая в пространстве.
6
4
12
3.
Тема 3. Общая теория кривых второго порядка.
6
4
12
4.
Тема 4. Комплексные числа и операции над ними.
6
4
12
Итого:
24
16
48
5.
Тема 5. Многочлены.
6
4
14
6.
Тема 6. Матрицы и
Определитель матрицы.
8
4
20
7.
Тема 7. Ранг матрицы.
8
6
14
8.
Тема 8. Система линейных уравнений.
8
6
14
Итого:
54
36
110
операции
над
ними.
5.2 Содержание лекционного курса
Тема 1. Элементы векторной алгебры на плоскости и в пространстве.
7
Алгебраические структуры. Определение вектора. Коллинеарные и компланарные
векторы. Сложение векторов и его свойства. Умножение вектора на число и его свойства.
Базис векторного пространства. Координаты вектора относительно данного базиса.
Операции над векторами, заданными своими координатами. Определение скалярного
произведения векторов и его свойства. Вычисление скалярного произведения. Длина
вектора. Угол между векторами. Векторное произведение и его свойства. Вычисление
векторного произведения. Площадь параллелограмма. Смешанное произведение и его
свойства. Вычисление смешанного произведения. Объем параллелепипеда.
Тема 2. Прямая линия на плоскости, плоскость и прямая в пространстве.
Аналитическая геометрия. Различные виды уравнений прямой линии на плоскости.
Расстояние от точки до прямой линии. Угол между двумя прямыми на плоскости. Общее
уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями.
Канонические и параметрические уравнения прямой линии в пространстве. Взаимное
расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми линиями в
пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и
плоскостью. Многомерная геометрия кривых и поверхностей.
Тема 3. Общая теория кривых второго порядка.
Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. Исследование свойств линий
второго порядка по их каноническим уравнениям. Директриальное и фокальные свойства.
Классификация линий второго порядка. Приведение линии второго порядка к
каноническому виду.
Тема 4. Комплексные числа и операции над ними.
Комплексные числа, их сложение и умножение. Изображение комплексных чисел на
плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма
комплексного числа. Теорема Муавра-Лапласа. Формула Эйлера. Корни из комплексных
чисел.
Тема 5. Многочлены.
Определение многочленов, действия с многочленами. Разложение многочленов на
множители, деление многочленов с остатком, теорема Безу о виде остатка. Основная
теорема высшей алгебры.
Тема 6. Матрицы и операции над ними. Определитель матрицы.
Матрицы. Линейные операции над ними. Умножение матриц. Определители матриц и их
свойства. Разложение определителя по строке (столбцу). Обратная матрица.
Тема 7. Ранг матрицы.
Приведение матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.
Ранг матрицы. Базисный минор. Теорема о базисном миноре и ее следствия. Способы
вычисления ранга матрицы.
Тема 8. Система линейных уравнений.
Система линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных.
Линейные отображения. Формулы Крамера. Теорема Кронекера-Капелли о
совместности системы. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
Структура множества решений системы. Система линейных однородных уравнений,
фундаментальная система решений, общее решение.
5.3 Содержание практических занятий
№
Наименование практического занятия
пп
Количество
часов
8
1.
Основные элементарные функции. Область определения. Свойства 1
графики.
2.
Бесконечно малые последовательности, их свойства. Предел числовой 1
последовательности.
3.
Предел функции в точке и на бесконечности. Теоремы о пределах. 1
Первый и второй замечательный пределы
4.
Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций. Точки 1
разрыва
5.
Производная.
Дифференцирование
производные
тригонометрической
сложной
функции
функции,
обратной, 1
показательной
и
логарифмической
6.
Логарифмическая
производная.
Дифференцирование
неявных
Дифференциал
функций,
и
функции. 1
функций,
заданных
параметрически
7.
Раскрытие неопределенностей Правило Лопиталя
8.
Общая
схема
исследования
функции.
1
Асимптоты.
Выпуклость, 1
вогнутость
9.
Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование, замена, 1
по частям
10. Интегрирование тригонометрических функций, интегрирование дробно- 1
рациональных функций
11. Определенный интеграл. Приложение определенного интеграла к 1
вычислению площадей, объемов тел фигур. Несобственные интегралы
12. Частные производные и дифференциалы высших порядков функций двух 1
переменных
13. Экстремумы функций двух переменных. Определение max, min; 1
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функций двух
переменных
14. Вычисление
определителей
второго,
третьего
порядка.
Свойства 1
определителей
15. Системы линейных уравнений с «n» неизвестными. Правило Крамера
1
16. Однородные системы уравнений. Метод Гаусса
1
17. Матрицы. Действия над матрицами. Обратная матрица
1
18. Линейные операторы. Линейное пространство. Матричная запись 1
9
решения линейных уравнений и систем уравнений
19. Собственные значения и собственные векторы
1
20. Векторы. Линейные комбинации векторов. Скалярное, векторное и 1
смешанное произведение векторов. Вычисление. Геометрия. Смысл
21. Прямая и плоскость в пространстве. Уравнения прямых и плоскостей.
1
Решение задач на взаимное расположение прямых и плоскостей в
пространстве
22. Кривые второго порядка
1
23. Системы линейных неравенств. Область решений систем неравенств с 1
двумя переменными
24. Основные определения и задачи линейного программирования. Решение 1
задач линейного программирования. Симплексный метод
25. Понятие события. Непосредственный подсчет вероятностей теоремы 1
сложения, умножения
26. Полная вероятность. Формула Байеса
1
27. Последовательность независимых событий. Формула Бернулли
1
28. Предельные теоремы Пуассона, Муавра, Лапласа. Интегральная теорема 1
Лапласа
29. Числовые характеристики дискретных случайных величин
30. Числовые
характеристики
непрерывных
1
случайных
величин. 1
Распределение непрерывных случайных величин
31. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма
1
32. Точечные оценки параметров распределения
1
33. Статистическая проверка гипотез
2
34. Биноминальное, равномерное, показательное распределение случайных 2
величин
6. Курсовое проектирование не предусмотрено
7. График изучения дисциплины
Виды учебных
занятий
№ недели
1
2
3
4
5
6
7
8
10
9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Лекции I и II
0
1
2
3
4
5
6
7
8
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
ПЗ I сем.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ПЗ II сем.
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
сем.
8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
8.1Основная литература
1.
Балдин К.В., Башлыков В.Н., Рукосуев А.В. Математика / Учебное пособие. – М:
ЮНИТИ-ДАНА, 2008. – 543 с.
2.
Березина Н.А. Высшая математика. Конспект лекций. – М.: Эсмо, 2008. – 160 с.
3.
Горюшкин А.П., В.А. Горюшкин. Введение в математику. Краткий курс алгебры и
теории чисел / Учебное пособие. - Петропавловск-Камчатский, издательство ДВГТУ /
ДВПИ им.В.В. Куйбышева (филиал в г. Петропавловске-Камчатском) , 2009. – 280 с.
4.
Данко П.Е., Попов А.Г.. Кожевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах в 2 ч. Ч.1 / Учебное пособие. – М.: изд-во «ОНИКС», 2009. – 386 с.
5.
Данко П.Е., Попов А.Г.. Кожевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах в 2 ч. Ч.2 / Учебное пособие. – М.: изд-во «ОНИКС», 2009. – 479 с.
6.
Кочетков Г.А. Краткий курс высшей математики / Учебное пособие. 7-е изд. – М:
МГИУ, 2009. – 192 с.
7.
Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математики / Учебное пособие. 7-е изд.
– СПб.: Изд-во «Лань», 2008. – 240 с.
8.
http://window.edu.ru/resource/241/59241 - Брылевская Л.И., Лапин И.А., Ратафьева
Л.С. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: Учебное пособие / Под общей
редакцией Л.С. Ратафьевой. - СПб.: СПбГУ ИТМО, 2008. - 146 с.
9.
http://window.edu.ru/resource/875/46875 - Кулагина И.В., Панов А.Н. Методы
решения задач по курсу "Линейная алгебра и геометрия": Учебное пособие. - Самара:
Изд-во "Самарский университет", 2006. - 54 с.
10.
http://window.edu.ru/resource/328/65328 - Просветов Г.И. Линейная алгебра и
аналитическая геометрия: задачи и решения: учебное пособие. - М.: БИНОМ.
Лаборатория знаний, 2008. - 192 с.
11
8.2 Дополнительная литература
1. Андронов А.М., Е.А. Копытов, Л.Я. Гринглаз. Теория вероятностей и математическая
статистика. Учебник для вузов. - СПб.: Питер, 2004. – 461 с.
2. Гусак А.А., Бричикова Е.А. Теория вероятностей. Справочное пособие к решению. –
Минск: ТетраСистемс, 2000. – 288 с.
3. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. Учебник для вузов.- 2-е изд.
– СПб.: Питер. 2006. – 364 с.
4. Рябушко А.П.. Бархатов В.В., В.В. Державец, И.Е. Юруть. Индивидуальные задания по
высшей математике В 4 ч. -Минск: Высшая школа, 2007
5. Фикс И.И., Терехина Л.И. Вероятность и элементы статистики. Учебное пособие.Томск: Изд-во ТПУ, 2008. -124 с.
6. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Учебное пособие. –
М.: ЛКИ, 2008.-240с.
9. Контрольные задания и методические рекомендации по
изучению дисциплины (для студентов заочной формы обучения)
Методические рекомендации
1. Элементы линейной алгебры
1) Определение 1. Определителем 2-го порядка называется число, записанное
в виде квадратной таблицы, состоящей из 4-х чисел, вычисляемое по
формуле:

а11
а12
а21 а22
Пример:
 а11а22  а12а21
1 2
3 4
 1  4  2  3  2
Определение 2. Определителем 3-го порядка называется число, записанное в
виде квадратной таблицы, состоящей из 9-ти чисел, вычисляемое по
следующей формуле:
а11
а12
а13
  а21
а22
а23  а11
а31
а32
а33
а22
а23
а32
а33
 а12
а21
а23
а31
а33
 а13
12
а21
а22
а31
а32
2 3
2
Пример: 1 2  3  2
3 4
1
2 3
4
1
3
1 3
3
1
2
1 2
3 4
 2 14  3 10  2   2  6
Для системы линейных уравнений с n неизвестными
а11 х1  а12 х2  .....  а1n xn  b1
a x  a x  .....  a x  b

2n n
2
(1)  21 1 22 2
.............................................
an1 x1  an 2 x2  .....  ann xn  bn
Введем обозначения:
a11 a12 .......a1n
  a21 a22 .......a2 n - определитель системы
an1 an 2 .......ann
 i - определитель, получаемый из определителя  заменой i-го столбца на
 b1 
 
b 
столбец свободных членов  2 
...
 
b 
 n
Правило Крамера
Система (1) называется совместной, если существует решение данной
системы.
Пусть (1) – совместная система линейных уравнений,   0 , тогда
х1 
1

; х
2

; ………; xn  n - решение системы (1)


Пример. Решить систему линейных уравнений, пользуясь правилом Крамера:
2 x1  3x2  2 x3  9

 x1  2 x2  3x1  14
3x  4 x  x  16
2
3
 1
Вычислим определитель системы:
2 3
2
  1 2  3  6
3 4
1
13
Так как   0 , то используя правило Крамера для решения системы, имеем:
9
2
2
2
9
2
2 3
9
1  14 3  3  12 ,  2  1 14  3  18 ,  3  1 2 14  12 ,
3 16 1
16 4 1
3 4 16
x1 
 12
 18
12
 2 , x2 
 3 , x3 
 2
6
6
6
2) Матрицы. Операции над матрицами. Обратная матрица
Определение 1. Прямоугольной матрицей размерности n*m называется
таблица чисел, расположенных в n столбцах и m строках:
A  aij mxn
 a11a12 .....a1n 


 a21a22 .....a2 n 

................. 


 a a .....a 
mn 
 m1 m 2
Определение 2. Две матрицы A  aij mxn и B  aij mxn одинаковой размерности
считаются равными, если все соответствующие их элементы равны aij  bij
Определение 3. Сложение и вычитание, а также умножение матрицы на
число определяются поэлементно:
A  B  aij  bij mxn , A  B  aij  bij mxn ,   A    aij mxn
Определение 4. Произведением A  B матрицы A  aij mxn на матрицу B  bij nxp
называется матрица C  cij mxp , каждый элемент cij которой равен сумме
попарных произведений элементов i–строки матрицы А на соответствующие
элементы j-го столбца матрицы В: cij  ai1  b1 j  ai 2b2 j  ......  ainbnj nj 
Произведение A  B существует, если число столбцов матрицы А равно числу
строк матрицы В. Например
 1 2   6 7   1  6  2  8 1  7  2  9   22 25 
 3  6  4  8 3  7  4  9    50 57 
3 4  
 


  8 9   
  5  6  6  8 5  7  6  9   78 89 
5 6 
Определение 5. Если матрица А имеет n строк и n столбцов, то она
называется квадратной матрицей порядка n.
Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель
отличен от нуля.
14
Определение 6. Матрица А-1 называется обратной для квадратной матрицы
А, если выполняется условие A  A1  A  A1  E , где Е – единичная матрица,
1

0
т.е. матрица вида: 
0

0

0 0...... 0 

1 0...... 0 
0 1...... 0 

0 0...... 1 
Всякая невырожденная матрица А имеет обратную, которая находится
следующим образом:
 A11 A21..... An1 


A
A
.....
A
1


12
22
n
2
A1  
, A - определитель квадратной матрицы
A .................. 


 A A ..... A 
1
n
2
n
nn


где Aij - алгебраическое дополнение к элементу aij матрицы А, то есть
определитель, составленный из определителя матрицы А вычеркиванием iстроки и j-столбца, взятый со знаком «+» если i+j – число четное, со знаком
«-», если i+j – число нечетное.
Пример:
 1 3  3


A  0 1 4 
5 1
2 

Матрица
невырождена,
т.к.
определитель
отличается от нуля.
1
3
3
A  0 1
5
1
4  39
2
Следовательно, она имеет обратную, для нахождения которой необходимо
найти алгебраические дополнения всех элементов:
A11 
1 4
1
A12  
A13 
2
0 4
5 2
0 1
5
1
 6 , A21  
 20 , A22 
 5 , A23  
2 3
1
2
1 3
 7 , A31 
3
1
4
 17 , A32  
5
2
1 2
 9 , A33 
5 1
2
1
1 3
0
4
2
 1
0 1
Тогда обратная матрица имеет вид:
15
5
 4
 6

  6  7 5   39

1 
20
A1   20 17  4   
 39
39 
9  1   5
 5

 39
7
39
17
39
9
39

5 

39 
4
 
39 
1 
 
39 
3) Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
Если
для
системы
n
линейных
уравнений
с
n
неизвестными
a11x1  a12 x2  .....  a1n xn  b1

...........................................
a x  a x  .....  a x  b
n2 2
nn n
n
 n1 1
Ввести
обозначения
 a11a12a13.....a1n 


A   .................... 
 a a .......a 
nn 
 n1 n 2
-
матрица,
составленная
из
коэффициентов системы.
 b1 
 
b 
B   2  - матрица – столбец из свободных членов
...
 
b 
 n
 x1 
 
x 
X   2  - матрица – столбец из неизвестных
...
 
x 
 n
То систему можно записать в виде матричного уравнения А  Х  В . Если
матрица А невырожденная, то она имеет обратную А-1. При умножении
обеих частей равенства на
А-1 слева получиться A1   A  X   A1  B или E  X  A1  B , или X  A1  B - это и
есть формула по которой находится решение матричного уравнения, при
условии, что матрица А невырожденная.
Пример: Решить систему линейных уравнений матричным способом:
2 х1  3х2  2 х3  9

 х1  2 х2  3х3  14
3х  4 х  х  16
2
3
 1
16
2 3 2 


A   1 2  3
3 4 1 


2 3
9
 
B  14 
16 
 
5  15 
 14

1
A     10  4 8  ,
6
1
1 
 2
2
1
A  1 2  3  6  0 ,
3 4
 x1 
 
X   x2 
x 
 3
1
5  15 
 14


Тогда матричное решение системы имеет вид: X  A  B    10  4 8 
 2
1
1 

1
Следовательно, х1=2, х2=3, х3=-2
4) Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Определение.
Две
совместные
системы
уравнений
называются
равносильными, если каждое решение одной из них является решением
другой.
Следующие преобразования переводят систему уравнений в равносильную
ей:
1. перемена местами двух уравнений;
2. умножение обеих частей одного из уравнений на произвольное число,
отличное от нуля
3.
прибавление
к
обеим
частям
одного
из
уравнений
системы
соответствующих частей другого уравнения умноженных на любое
действительное число.
Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения
неизвестных, основан на применении указанных преобразованиях.
 х1  2 х2  4 х3  х4  1
Пример. Решить методом Гаусса систему уравнений:  х1  х2  х3  2 х4  0
2 х  х  х  5 х  1
2
3
4
 1
Решение: Исключим неизвестное х2 из второго и третьего уравнений. Для
этого умножим обе части первого уравнения на (-1), сложим его со вторым,
затем, умножив обе части первого уравнения на (-2), сложим его с третьим.
Первое уравнение записывается в систему без изменения:
17
 х1  2 х2  4 х3  х4  1  х1  2 х2  4 х3  х4  1


-х2  3х  х4  1

 х2  3х3  х4  1

  3х  9 х  3х  3

 х2  3х3  х4  1
2
3
4


Т.к. второе и третье уравнения равносильны, то переходим к системе:
 х1  2 х2  4 х3  х4  1

  х2  3х3  х4  1
Из которой последовательно выражаютсяХ1 и Х2 через Х3 и Х4.
Поскольку все проведенные операции меняют только коэффициенты при
неизвестных и свободные члены, удобнее и короче всю цепочку
преобразований выполнить не над системой, а над расширенной матрицей
 4  1  1 1 2
 4  1  1 1 2
 4  1  1
1 2 -4  1  1 1 2
 
 
 

~ 
A  1 1  1  2 0    0  1 3
1 1    0 1 3
1 1   
1 3
1 1 
2 1 1
 5 1   0  3 9
 3 3   0  1 3
 1 1  
0
0
0
0 

последняя матрица определяет систему:
 x1  2 x2  4 x3  x4  1

  x2  3x3  x4  1
~
Ч (А)=2 и Ч ( А )=2, то система совместима, а т.к. число неизвестных будет 2 и
получаем:
1 0
 х1  2 х3  3х4  1
, придавая х3 и х4 различные значения или
получим

0
1
х

3
х

х
2
3
4

f1=(-3; -3; 1; 0) f2=(2; -1; 0; 1)
2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
1) Векторы.
Если заданы координаты двух точек М1 (x1, y1, z1) и M2(x2,y2,z2), то вектор
М 1М 2
имеет координаты (x2-x1; y2-y1; z2-z1), модуль вектора
М1 М 2
вычисляется по формуле М1 М 2  х2  х1 2   у2  у1 2  z2  z1 2 ; по этой же
формуле вычисляется расстояние между точками М1 и М2. Скалярное
произведение
а  b  a  b cos  ,
отсюда
определяется по формуле:
18
угол
между
векторами
aиb
cos  
a b
ab
Векторным
произведением
называется
a b
вектор
c,
обладающий
следующими свойствами:
1) a  b  a  b sin 
2) c перпендикулярен к плоскости параллелограмма, построенного на
векторах a и b , т.е. перпендикулярен a и b
3) векторы a, b и c в указанном порядке образуют правую тройку
Смешанным произведением a b c векторов a, b и c называется скалярное
произведение векторного произведения a  b  c  a  b  c   a  b  c .
Если заданы координаты векторов, то скалярное, векторное и смешанное
произведение
вычисляются
соответственно
по
формулам:
a  b  axbx  a y by  az bz
a  ax ; a y ; az 
b  bx ; by ; bz 
i
a  b  a  b  a x
j
k
ay
az
bx
by
bz
c  cx ; c y ; cz 
ax
ay
az
abc  bx
by
bz
cx
cy
cz
2) Прямая на плоскости.
а) Общее уравнение прямой Ах  В у  С  0 , где А, В и С – некоторые числа не
равные нулю. Вектор n называется нормальным вектором прямой n   A; B 
перпендикулярным этой прямой.
б) Каноническое уравнение прямой: S - направляющий вектор прямой, точка
М (х0; у0) лежит на прямой, тогда уравнение имеет вид:
S  m; n 
19
х  х0 y  y0

m
n
в) Уравнение прямой, проходящей через две точки: M 0 x0 ; y0 , M1 x1; y1  имеет
вид
х  х0
y  y0

x1  x0 y1  y0
г) Уравнение прямой в отрезках: x  y  1
a
a
д) Уравнение прямой с угловым коэффициентом y  kx  b . Пусть даны две
прямые общими уравнениями:
l1 : A1 x  B1 y  C1  0
l2 : A2 x  B2 y  C2  0
, тогда угол между прямыми
равен углу между их нормальными векторами: n1   A1 ; B1 ; n2   A2 ; B2  .
3) Прямая и плоскость в пространстве
Определение 1. Вектор, перпендикулярный к плоскости, называется
нормалью к этой плоскости.
Укажем основные уравнения плоскости в пространстве
1. Общее уравнений плоскости
Теорема. Всякое уравнение первой степени относительно координат точки
пространства Ах+Dy+Cz+D=0 является уравнением плоскости и, обратно,
всякая плоскость может быть задана уравнением первой степени.
Заметим, что вектор n   A, B, C  является нормалью к данной плоскости.
2.
Уравнение
перпендикулярно
плоскости,
вектору
проходящей
через
n   A, B, C 
M 0 x0 , y0 , z0  ,
точку
и
имеет
вид:
три
точки
Ax  x0   B y  y0   C z  z0   0
3.
Уравнение
плоскости,
проходящей
x  x1
M1 x1 , y1 , z1 , M 2 x2 , y2 , z2 , M 3 x3 , y3 , z3  имеет вид: x2  x1
x3  x1
через
y  y1
z  z1
y2  y1
z2  z1  0
y3  y1
z3  z z
Укажем основные уравнения прямой в пространстве.
1. Общее уравнение прямой
Прямая в пространстве может быть определена как пересечение двух
плоскостей, поэтому она задается совокупностью двух уравнений первой
степени:
20
 Ах  В у  C z  D  0
- общее уравнение прямой

 A1x  B1 y  C1z  D1  0
2. Каноническое уравнение прямой
Пусть прямая проходит через точку М 0 х0 , у0 , z0  параллельно вектору
l  m, n, p . Тогда уравнение данной прямой имеет вид:
x  x0 y  y0 z  z0


m
n
p
3. Уравнение прямой, проходящей через точки М1 х1, у1, z1  и М 2 х2 , у2 , z2 
имеет вид
х  х1
у  у1
z  z1


х2  х1 у2  у1 z 2  z1
Если плоскость в пространстве задана уравнением Ах  Dy  C z  D  0 , а прямая
уравнением
x  x0 y  y0 z  z0


, то угол между прямой и плоскостью
m
n
p
определяется по формуле:
sin  
nl
nl
или sin  
Am  Bn  C p
A2  B 2  C 2  m 2  n 2  p 2
где n   A, B, C  - нормаль плоскости, l  m, n, p - направляющий вектор
прямой.
Пример. Даны координаты вершин пирамиды А1(-2, 3, 1), А2(2, 0, -1), А3(0, 3, 2), А4(2, -2, 4). Найти: 1) длину ребра А1А3; 2) угол между ребрами А1А3; 3)
угол между ребром А1А3 и гранью А1А2А4; 4) площадь грани А1А2А4; 5)
объем пирамиды; 6) уравнение прямой А1А4; 7) уравнение плоскости А1А2А4;
8) уравнение высоты, опущенной из вершины А3 на грань А1А2А4
Решение. 1. Длина ребра находится по формуле расстояния между двумя
точками: А1 А3  0   22   3  32  2  12  41
2. Угол между ребрами А1А3 и А1А4 выражается через скалярное
произведение векторов А1 А3  2,6,1 и А1 А4  4,5,3
cos A1 A3 , A1 A4  
A1 A3  A1 A4
A1 A3  A1 A4

2  4   6   5  1  3
22   6  12  42   5  32
2
2
21

41
 0,82  0,9055
41  50
3. Угол  между ребром А1А3 и гранью А1А2А4 находится по формуле
sin  
nl
nl
, где n направляющий вектор прямой А1А3 l – нормальность
А1А2А4. В качестве направляющего вектора прямой А1А3 можно взять
n  A1 A3  2,6,1 .
Для нахождения нормального вектора плоскости А1А2А4
нужно составить уравнение этой плоскости. Оно имеет вид:
x  x1
y  y1
z  z1
x2  x1
y2  y1
z2  z1  0 ,
x3  x1
y3  y1
z3  z1
или
sin  
y 3
22
03
z 1
11  0 ,
2 2 23
 19x  2  20 y  3  8z  1  0 ,
нормальный
x2
вектор
плоскости
2 19   6  20  1  8
22   6  12 192  202  82
2
4 1
 19 x  20 y  8 z  30  0 ,
или
А1А2А4
или
следовательно,
l=(19;20;8).
Тогда
 0,4024
4. Площадь грани А1А2А4 равна половине модуля векторного произведения
векторов
и
А1 А2
А1 А4 :
i
j
k
1
S  A1 A2  A1 A4 , A1 A2  4;3;2, A1 A4  4;5;3, A1 A2  A1 A4  4  3  2  19i  20 j  8k ,
2
4 5 3
A1 A2  A1 A4 
 192   202   82
Тогда площадь грани S 
1
2
 825
825
5. Объем пирамиды можно вычислить с помощью смешанного произведения
векторов А1 А2 , А1 А3 и А1 А4 : V  1 A1 A2  A1 A3  A1 A4 ; А1 А2 =(4; -3; -2), А1 А3 =(2; -6;
6
1), А1 А4 =(4; -5; 2)
4 3 2
A1 A2  A1 A  A1 A4  2  6
4 5
1  74
3
Тогда объем пирамиды V  1 74  12 1
6
3
22
6. Уравнение прямой, проходящей через данные точки А1 и А4 имеет вид:
x  x1
y  y1
z  z1


или x  2  y  3  z  1 или x  2  y  3  z  1
x2  x1 y2  y1 z 2  z1
2  2  2  3 4 1
4
5
3
7. Уравнение плоскости А1А2А4 получено из п.3: -19х-20у-8z-30=0
8. Нормаль к плоскости А1А2А4 n   19;20;8 является направляющим
вектором высоты, поэтому уравнение высоты имеет вид:
x0 y3 z 2


 19  20
8
или x  y  3  z  2
19
20
8
3. Пределы, непрерывность, производная
1) Предел функции
Пусть какая-либо выколотая окрестность точки а лежит в области
определения функции y=f(x).
Определение 1. Число В называется пределом функции y=f(x) в точке а, если
для любого   0 существует   0 такое, что x  a  и x  a  f x  B 
f x   B
Обозначение предела: lim
x a
Сформулируем основные теоремы теории пределов.
Теорема 1. Если в точке а существуют пределы функций f(x) и g(x), то в этой
точке существует и предел суммы f(x)+ g(x), причем
lim  f x   g x   lim f x   lim g x 
xa
x a
x a
Теорема 2. Пусть f(x)=C, тогда в любой точке а существует предел f(x),
C C
причем lim
x a
Теорема 3. Пусть в точке а существуют пределы функций f(x) и g(x), причем
lim f x   B, lim g x   C , тогда функция f x   g x  также имеет в точке а предел,
x a
x a
 f x   g x   B  C
причем lim
x a
Следствие 4. Если в точке а существует предел функции f(x), то в этой точке
C  f x   C  lim f x 
существует и предел функции С  f x , причем lim
x a
x a
23
Теорема 5. Пусть в точке а существуют пределы функций f(x) и g(x), причем
lim f x   B, lim g x   C , C  0 , тогда функция
x a
x a
причем lim
xa
f x 
также имеет в точке а предел,
g x 
f x  B

g x  C
Перейдем к вычислению некоторого класса пределов, связанных с
тригонометрическими, показательными и логарифмическими функциями.
Теорема 6. (первый замечательный предел) lim sin x  1
x0
x
Примеры.
1. lim
x0
sin ax ax  y 
sin y
sin y

 lim
a
a

y

0
x
y/a
y
 y  0
1
arcsin x  y 
lim
arcsin x 
y
1
  x  sin y   lim
 lim
 y0
1
2. lim
x0
x

0
y

0
x
sin y
 sin y  lim sin y

 y0
 y  0 
y
 y 
1/ x

1  x  e
Теорема 7. (второй замечательный предел) lim
x0
Примеры.
 ex 1  y 
e 1 
y
ln 1  y 

lim
  x  ln 1  y   lim
 1 : lim
1
x0
y

0
y

0
x
ln 1  y 
y
 y0 


x
2) Непрерывность функции
Определение 1. Пусть f(x) определена в окрестности точки а. Функция f(x)
f  x   f a 
называется непрерывной в точке а, если lim
x a
Если f(x) не является непрерывной в точке а, то говорят, что она разрывна в
этой точке.
Определение 2. а) Функция f(x) непрерывна на множестве Х, если она
непрерывна в каждой точке этого множества; б) f(x) непрерывна, если она
непрерывна в каждой точке области определения функции f(x); в) f(x) всюду
непрерывна, если f(x) определена и непрерывна на всей вещественной оси.
24
Теорема 1. Если f(x) и g(x), непрерывны в точке а, то f(x)+ g(x), f x  g x
также непрерывны в этой точке. Если кроме того g a  0 , то f x  g x
непрерывна в точке а.
Теорема 2. (теорема о сложной функции). Пусть y=f(x), z=g(y), f(x)
непрерывна в точке y0  f x0 , тогда функция z  g  f x непрерывна в точке
х0.
Теорема 3. (Больцано-Коши). Пусть f(x) определена и непрерывна на
промежутке [а; b] и на концах промежутка f(x) принимает значения разных
знаков, то есть f a f b0 . Тогда существует точка c  a; b такая, что f c  0
Теорема 4. (вторая теорема Больцано-Коши). Пусть f(x) определена и
непрерывна на промежутке [а; b] и f a  A, f b  B причем АВ. Тогда для
любого С, АСВ, существует точка с  а; b , что f c  C
Терема 5. (Вайерштрасса). Пусть f(x) определена и непрерывна в замкнутом
промежутке [а; b]. Тогда существуют числа m и М такие, что для любого
x  a; b m  f x  M
Теорема 6. (Вейерштрасса). Пусть f(x) определена и непрерывна в замкнутом
промежутке [а; b]. Тогда она достигает на этом промежутке свои наименьшее
и наибольшее значения.
3) Производная функции
Определение 1. Пусть функция y  f x определена и непрерывна на
промежутке [а; b], точка x0  a; b и приращение x выбираются таким
образом, чтобы x0  x  a; b . Производной функции f(x) в точке х0 –
обозначение f x , или
df
x0  ,
dx
или
dy
x0 
dx
- называется предел приращения
функции к приращению аргумента x при стремлении к 0, то есть
f x0   lim
x0
f  x0  x   f  x0 
f  x 
 lim
x0 x
x
Учитывая равенство y  f x, часто вместо f x0  пишут просто y .
25
Теорема 1. 1) Если существуют производные f x и g x в точке х, то
существует  f x   g x  и  f x   g x   f x   g x 
2) Если существуют производные f x и g x в точке х, то существует
 f x   g x  и  f x   g x   f x   g x   f x   g x  , в частности k  f x   k  f x 
3) если существуют f x и g x в точке Х, причем g x  0 ,то существует


 f x  
 f x  
f x   g x   f x   g x 
 

 и 
g 2 x 
 g x  
 g x  
Теорема 2. (о производной сложной функции). Пусть y  f x и z  g  y  ,
причем f(x) имеет производную в точке х0, а g  y  имеет производную в точке
y0  f x0 .
z  g  f x
Тогда
имеет
производную
в
точке
х0
и
zx0   g  f x0   f x0 
Теорема 3. Если функция f(x) имеет производную в точке х0, то она
непрерывна в этой точке.
Определение.
Дифференциалом
функции
f(x)
называется
выражение
df x  f x  dx , где dx  x . Аналогично таблице производных строится и
таблица дифференциалов. Приведем лишь некоторые примеры из этой
таблицы dC  0; dx 2  2 xdx; dtgx  dx2
cos x
4. Исследование функций с помощью производных
Определение 1. Функция f(x) называется возрастающей (убывающей) на
промежутке [а; b], если для любых x0 , x1  a; b имеет место:
x0  x1  f x0  f x1 
 f x0  f x1 
Теорема 1. Пусть f(x) имеет производную в каждой точке из [а; b]. Тогда f(x)
возрастает (убывает) на [а; b] в том и только в том случае, когда для любого
x  a; b f x0
 f x0
Определение 2. Точка х0 называется точкой максимума f(x), если существует
окрестность О , х0  такая, что f(x) определена в этой окрестности и для
любого х  О , х0 
26
f x0  f x 
Аналогично определяется точка минимума. Точка минимума или максимума
называется точкой экстремума.
Определение 3. Точка х0 называется критической точкой функции f(x), если
f x не определена в этой точке или f x0   0
Определение 3. а) функция f(x) называется выпуклой вверх на промежутке [а;
b], если для любого x a;b касательная, проведенная к графику y  f x в
точке х, лежит над графиком функции f(x); б) функция f(x) называется
выпуклой вниз на промежутке [а; b], если для любого x a;b касательная,
проведенная к графику y  f x в точке х, лежит под графиком функции f(x).
Теорема 3. Пусть функция f(x) имеет вторую производную в каждой точке
x a;b . Тогда:
а) f(x) выпуклая вниз на [а; b] тогда и только тогда, когда f x0 для любого
x a;b
б) f(x) выпуклая вверх на [а; b] тогда и только тогда, когда f x0 для любого
x a;b .
Определение 4. Прямая х=х0 называется вертикальной асимптотой функции
f(x), если она определена в выколотой окрестности точки х0, а левый или
правый пределы f(x) в этой точке равны .
Определение 5. Прямая у=kx+b называется правой (левой) наклонной
 f x   kx  b  0
асимптотой функции f(x), если имеет место xlim

 x 
Если прямая является одновременно и правой, и левой наклонной
асимптотой, то ее называют просто наклонной асимптотой. Если k=0, то
наклонную асимптоту иногда называют горизонтальной асимптотой.
Схема исследования функции y  f x
1. Область определения f(x)
2. Вертикальные асимптоты
3. Наклонные асимптоты
27
4. Исследование по первой производной
возрастания,
экстремумы.
Для
удобства
– промежутки
строится
убывания,
таблица
первой
производной.
5. Исследование по второй производной – промежутки выпуклости вверх и
вниз. Строится таблица второй производной.
6. Специальные свойства – четность, нечетность, периодичность.
Если какого-либо или нескольких свойств из перечисленных нет, то о них
упоминать не следует;
7. Исследование завершается построением графика функции
Пример. y 
x3
3  x2
1. Область определения: 3  x 2  0 или x   3
x3
 ,
2. lim
x 3 0 3  x 2
x3
lim
 , x1   3 - вертикальная асимптота;
x - 3 0 3  x 2
x3
x3


,
lim
 , x1  3 - вертикальная асимптота.
3 0 3  x 2
x  3 0 3  x 2
lim
x
f x 
x2
 lim
 1 ,
3. k1  lim
x
x 3  x 2
x
 x3

b1  lim  f x   k1 x   lim 
 x   0, x   y - правая асимптота;
2
x
x 3  x


f x 
x2
k2  lim
 lim
 1
x
x 3  x 2
x
 x3

b2  lim  f x   k2 x   lim 
 x   0, x   y - левая асимптота.
2
x
x 3  x



 x3 
x 2 3  x 3  x 


4. y  
2
2
2 
3 x 
x 3 x 3


Критические точки:

x1  3, x2   3, x3  0, x4  3, x5  3
Составляем таблицу первой производной:
х (; - -3
 3; 3 
 3

+
нет
+
3;0

0
0; 3 
0
+
3

3 ;3

3
(3; )
0
-
3)
у -
0
28
нет +
у убыв. 4,5
возр.
нет
возр.
0
возр.
нет возр. -4,5
min
Убыв.
max

 x3 
 2 x x 2  27

5. y  

, x   3;0; 3 - точки изменения знака второй
3
2 
x2  3
3 x 




производной.
Составляем таблицу второй производной:
х
у 
у
; 3 
 3

0
0; 3 
+
нет
-
0

нет

0
3;0

3

+
нет
-

нет

3; 

6. Функция нечетная, так как f  x   f x
7. Строим график
5) Функция нескольких переменных. Частные производные
Определение 1. Отображение f : R n  R называется функцией n переменных
и обозначается z  f x1 , x 2 ,.....xn  . В частности, f : R 2  R называется функцией
двух переменных и обозначается z  f x, y  .
29
Определение 2. Круг радиуса  с центром в точке M 0 x0 ; y0  называется
окрестностью точки М0 радиуса  и обозначается O ; M 0  .
Определение 3. Пусть функция z  f x; y  определена в окрестности O ; M 0  .

 

Частной производной f xM 0  называется число lim f x0  x, y0  f x0 , y0
x0
x
Аналогично определяется частная производная f xM 0  .


Пример. z  ln x  x 2  y 2 , M 1,2 ;

zx  ln x  x 2  y 2
z x M  
x


y

1
x x  y
2
2
x 
x2  y 2

x 
x2  y 2
  x 

x
1
x  y2
2
;
1
;
5

zy  ln x  x 2  y 2
z y M  

1
x  x2  y 2
y
y
x2  y 2
 x y
2
2
;
2
1 5 5


6) Экстремумы. Задачи на наибольшее и наименьшее значения
Определение 1. Точкой наибольшего (наименьшего) значения f(x) на
промежутке [а; b] называется такое x0  a; b , что f x0   f x  f x0   f x  для
любого x  a; b
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y 
1  x  x2
на
1  x  x2
промежутке [0; 1]
1. Вычисляем производную
y 
4x  2
1  x  x 
2 2
. Критическая точка
x
1
.
2
Критические точки, которые обращают в 0 знаменатель, для нас интереса не
представляют, т.к. у(х) в этих точках не определена.
1
3
2. y0  1, y   , y1  1
2
5
3
5
Ответ записывается так: max y  1 при х=0; 1; min
y  при x 
0;1
0;1
1
2
Аналогично определяются экстремумы нескольких переменных.
30
Определение 2. Точка М0 называется точкой максимума (минимума)
функции f, если существует окрестность О , М 0  такая, что для любых
М  О , М 0 
f M 0  f M   f M 0  f M 
Точки минимума или максимума называются точками экстремума функции f.
Определение 3. Точка М0 называется точкой наибольшего (наименьшего)
значения функции f на множестве D, если для любых M  D имеет место:
f M 0  f M   f M 0  f M  .
Точки наибольшего и наименьшего значений находятся по следующему
алгоритму:
1) находятся все критические точки внутри области D;
2) находятся все точки наибольшего и наименьшего значений на границе
области D;
3) из всех найденных точек выбираются те, в которых f принимает
наибольшее или наименьшее значения. Они и будут искомыми.
Пример.
Найти
наибольшее
значение
функции
z  4 x 2 y  x3 y  x 2 y
в
треугольнике, ограниченном прямыми х=0, у=0, х+у=6.
Решение. Точки О(0; 0), А(6; 0), В(0; 6) – вершины данного треугольника.
1. Найдем критические точки:
z  8xy  3x 2 y  2 xy, zy  4 x 2  x3  2 x 2 y .
 xy8  3x  2 y   0
Получаем систему: 


2
2
x 4  x  y  0
а) х=0, тогда у – любое из промежутка (0; 6), и эта задача относится к
граничной;
б) у=0, тогда х – любое из промежутка (0; 6), и эта задача относится к
граничной;
8  3х  2 у  0
в) 
4  х  у  0
2
, тогда х=0 (граничная задача) или х  3 , у  7
2
3 7
М1 ,   D
2 4
31
4
точка
Найдем наибольшее значение на каждом из трех отрезков границы области
D.
2. Промежуток ОА: y  0, x  0;6, тогда z=0, наибольших значений нет.
3. Промежуток АВ: y  6, x  0;6, тогда z=2x3-12x2, zx=6x2-24x, отсюда х=4,
у=2. Получаем еще одну подозрительную точку М2(4; 2).
4. Промежуток ВО: х  0, у  0;6, тогда z=0, критических точек нет.
3 7
5. Вычисляем значения функции z в точках О(0; 0), А(6; 0), В(0;6), М1  ,  ,
2 4
М2 (4; 2)
zO  0, z A  0, zB  0, zM1   189 / 64, zM 2   64 .
 189 / 64 при х  3 / 2, у  7 / 4, min z  64 при х  4, у  2 .
Ответ: max
D
D
4. Элементы интегрального исчисления
1) Основные определения. Таблица неопределенных интегралов.
Определение 1. Функция F(х) называется первообразной функции f(x), если

F x   f x  .
Определение 2. Пусть F(х) – первообразная для f(x) и С – символ константы,
тогда выражение F(х)+С называется неопределенным интегралом функции
f(x) и обозначается
 f x dx , то есть  f x dx  F x   C . В выражении  f x dx
функция f(x) называется подынтегральной функцией, а f xdx подынтегральным выражением.
Сформулируем ряд свойств неопределенных интегралов, необходимых при
их вычислении:
1. d  f x dx  f x dx
2.
 f xdx  f x
3.
 f x dx  f x   C
4.  df x   f x   C
5.  k  f x dx  k   f x dx  C
32
6.   f x   g x dx   f x dx   g x dx
7. Если
 f x dx  F x   C , то  f ax  bdx  a F ax  b  C
1
2) Основные приемы вычисления неопределенных интегралов
1. Метод интегрирования по частям
Этот метод основан на формуле
Пример 1.  x  e x dx 
Пример 2.  ln xdx 
 f x   g x dx  f x   g x    g x   f x dx
f x   x g x   e x
 x  e x   e x dx  x  e x  e x  C
x

f x   1 g x   e
f  x   ln x
1
f  x  
x
g  x   1
g x   x
 x  ln x   dx  x  ln x  x  C
2. Метод подстановки.
Теорема 1. Если
 f x dx  F x   C , то  f  x    x dx  F  x   C
3) Интегрирование дробно-рациональных функций
Обычно дробно-рациональные функции интегрируются с помощью
разложения на простейшие дроби. Проиллюстрируем этот метод
несложными примерами.
x2  x  2
dx
Пример 1. 
xx  1x  2
Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:
x2  x  2
A
B
C
 

xx  1x  2 x x  1 x  2
Найдем неизвестные коэффициенты А, В, С исходя из того, что после
приведения правой части к общему знаменателю коэффициенты при
одинаковых степенях левой и правой частей равенства должны совпадать:
A
B
C
Ax  1x  2  Bx x  2  Cxx  1 x 2  A  B  C   x A  2B  C    2 A  C 




x x 1 x  2
xx  1x  2
xx  1x  2
Получаем равенство: x 2  x  2  x 2  A  B  C   x A  2B  C    2 A  C  из
A  B  C  1
которого получаем систему уравнений:  A  2 B  C  1
 2 A  C  2

33
Решая эту линейную систему, получаем A  9 / 7, B  6 / 7, C  4 / 7 . Поэтому
x2  x  2
9 dx 6 dx 4 dx
9
6
4
 xx  1x  2 dx  7  x  7  x  1  7  x  2  7 ln x  7 ln x  1  7 ln x  2
4) Определенный интеграл
Определение 1. Пусть дана функция y  f x. Фигура, ограниченная графиком
функции y  f x, вертикальными прямыми х=а, y=b и осью ОХ, называется
криволинейной трапецией.
Сформулируем ряд свойств определенного интеграла:
1.
 f xdx  0
2.
 dx  b  a
3.
 f xdx   f xdx
a
a
b
a
b
a
a
b
f x dx   f x dx   f x dx
b
c
b
a
c
4.

5.
 kf xdx  k  f xdx
6.
a  f x  g xdx  a f xdx  a g xdx
a
b
b
a
a
b
b
b
5) Вычисление определенного интеграла
Теорема (формула Ньтона-Лейбница).
Пусть F(x) – первообразная для f(x), тогда
Пример 1.
 x
1
0
2
 f t dt  F x
x
a
b
a
 F b  F a 
 x3 x 2

1
 x  1 dx     x  10  
2
6
3


Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y  x 2  1, y   x 2  2 x  3
Найдем точки пересечения этих двух линий:
 y  x 2  1

 y   x 2  2 x  3
х1=1, х2=-2.
1
S
2
 x
2
1
 2 x3

31
 2 x  3  x 2  1 dx   2 x 2  2 x  4 dx   
 x 2  4 x  12 
2
3
 3

 



34
Теорема. (Подстановка в определенном интеграле).
Пусть f(x) непрерывна на [а; b], (х) имеет производную на промежутке [а; b],
причем     а,     b и для любого t  a; b,  t  a; b. Тогда

 f xdx  f  t   t dt  F  a  F  b , где F(x) – первообразная для f(x).
b
a
Пример.
x  sin t
1

0
1  x 2 dx 
x0t 0
x 1 t   / 2
 /2

0
cos 2 tdt 
1  /2
1  sin 2t   / 2 

1  cos 2t dt   t 
0 

2 0
2
2 
4
dx  cos tdt
Методические указания по выполнению контрольных работ
1. Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради
школьного формата. Следует пронумеровать страницы и оставить на
них поля для замечаний преподавателя.
2. На обложке тетради должен быть приклеен титульный лист
утвержденного образца или аккуратно записаны все данные титульного
листа.
3. Работа должна быть выполнена чернилами (пастой) одного цвета,
аккуратно и разборчиво.
4. Вариант контрольной работы должен соответствовать последней цифре
номера зачетной книжки.
5. Перед решением задачи необходимо привести ее условие.
6. Решение задач должны сопровождаться краткими, но достаточно
обоснованными
пояснениями,
используемые
формулы
нужно
выписывать.
7. Решение каждой задачи необходимо начинать с новой страницы.
8. В конце работы следует указать список литературы, которую
использовали.
Задания к контрольной работе № 1 (I семестр)
35
Задание 1.
Даны две системы векторов a , b , c , u, k , e , p . Определить, какая из этих
систем образует базис и разложить вектор х в этом базисе.
Вариант 1. а(3;4;1) , b(2;1;0) , с(2;3;1) , к (2;3;4) , е(1;1;2) , р(3;7;4) , х(4;7;1)
Вариант 2. а(5;1;4) , b(1;2;3) , с(4;2;1) , к (1;1;2) , е(2;1;1) , р(4;1;5) , х(1;4;3)
Вариант 3. а(5;7;4) , b(1;3;1) , с(2;1;1) , к (5;2;3) , е(1;0;5) , р (2;1;1) , х(0;3;8)
Вариант 4. а(1;2;1) , b(3;4;1) , с(2;6;2) , к (2;2;3) , е(1;0;5) , р (2;1;1) , х(3;0;2)
Вариант 5. а (1;0;1) , b(1;1;2) , с(3;5;1) , к (2;1;3) , е(1;1;4) , р(4;1;5) , х(2;1;2)
Вариант 6. а (3;3;3) , b(1;3;2) , с(5;9;7) , к (4;1;2) , е(2;3;0) , р(3;1;2) , х(7;1;3)
Вариант 7. а(1;1;7) , b(2;3;1) , с(3;7;9) , к (2;1;4) , е(1;3;8) , р(5;0;3) , х(0;3;1)
Вариант 8. а (0;3;0) , b(1;4;2) , с(2;3;2) , к (1;2;3) , е(4;4;3) , р(5;0;3) , х(3;5;1)
Вариант 9. а (3;3;8) , b(1;2;5) , с(1;1;2) , к (2;1;0) , е(2;4;3) , р(1;2;0) , х(6;0;5)
Вариант 10. а(3;2;2) , b(1;0;1) , с(4;1;3) , к (1;3;4) , е(1;2;3) , р(1;4;11) , х(13;3;2)
Задание 2.
Найти базис пространства решений системы уравнений.
Вариант 1.
3х1  х2  8 х3  2 х4  х5  0

2 х1  2 х2  3х3  7 х4  2 х5  0
 х  11х  12 х  34 х  5 х  0
2
3
4
5
 1
2 х1  х2  2 х3  х4  х5  0
Вариант 3.  х1  10 х2  3х3  2 х4  х5  0
4 х  193х  4 х  5 х  х  0
2
3
4
5
 1
 х1  х2  10 х3  х4  х5  0
Вариант 2. 5 х1  х2  8 х3  2 х4  2 х5  0
3х  3х  12 х  4 х  4 х  0
2
3
4
5
 1
Вариант 4.
12 х1  х2  7 х3  11х4  х5  0

24 х1  2 х2  14 х3  22 х4  2 х5  0
х  х  х  х  х  0
2
3
4
5
 1
36
2 х1  х2  3х3  х4  х5  0
Вариант 5.  х1  5х2  8 х3  х4  2 х5  0
 х  16 х  6 х  4 х  7 х  0
2
3
4
5
 1
 х1  2 х2  3х3  10 х4  х5  0
Вариант 6.  х1  2 х2  3хх  10 х4  х5  0
 х  6 х  9 х  30 х  3х  0
2
3
4
5
 1
 х1  3х2  х3  12 х4  х5  0
Вариант 7. 2 х1  2 х2  х3  10 х4  х5  0
3х  3х  2 х  0
2
4
 1
 х1  2 х2  3х3  2 х4  х5  0
Вариант 8.  х1  2 х2  7 х3  4 х4  х5  0
 х  2 х  11х  6 х  х  0
2
3
4
5
 1
2 х1  х2  х3  7 х4  5 х5  0
Вариант 9.  х1  2 х2  3х3  5 х4  7 х5  0
3х  х  2 х  2 х  2 х  0
2
3
4
5
 1
 х1  х2  3х3  2 х4  3х5  0
Вариант 10. 2 х1  2 х2  4 х3  х4  3х5  0
х  х  5х  5х  6 х  0
2
3
4
5
 1
Задание 3.
Найти определитель матрицы А и решите матричное уравнение АХ=В
№ варианта
Матрица А
Матрица В
Вариант 1
 2 1 2 


 5 3 3 
 1 0  2


 4  5 2


 5  7 3
 6  9 4


Вариант 2
 0 1 0


  4 4 0
  2 1 2


 1 3 3 


  2  6 13 
 1  4 9 


Вариант 3
 4  5 2


 5  7 3
 6  9 4


1  3 4


4  7 8
6  7 7


Вариант 4
 1 3 3 


  2  6 13 
 1  4 9 


6
 7 12


10  19 10 
12  24 13 


Вариант 5
1  3 4


4  7 8
6  7 7


 4  3 7


 1  4 9
  4 0 3


37
Вариант 6
 7  12 6 


10  19 10 
12  24 13 


 0 1 0


  4 4 0
  2 1 2


Вариант 7
 4  3 7


 1  4 9
  4 0 3


 4  5 2


 5  7 3
 6  9 4


Вариант 8
1

5
0

1

0 0 8

3 0 0
6 2 0

4 0 1 
Вариант 9
1

0
1

0

0 0 0

0 0 0
0 0 0

0 0 1 
3 1

1 0
3 0

4 1

Вариант 10
1

0
1

0

0 0 0

0 0 0
0 0 0

0 0 1 
3 1

1 0
3 0

4 1

 1

0 0 
5  3

3  1 
1

5
0

1

0
6 

0 0 
5  3

3  1 
0
0 0 7

3 0 0
6 2 0

4 0 1 
Задание 4.
Найдите
собственные
значения
и
собственные
векторы
преобразования, заданного в векторном базисе матрицей А.
№ варианта
Матрица А
Вариант 1
 2 1 2 


 5 3 3 
 1 0  2


Вариант 2
 0 1 0


  4 4 0
  2 1 2


Вариант 3
 4  5 2


 5  7 3
 6  9 4


38
линейного
Вариант 4
 1  3  2


  2 0  2
 1  4  5


Вариант 5
1  3 4


4  7 8
6  7 7


Вариант 6
 7  12 6 


10  19 10 
12  24 13 


Вариант 7
 4  3 0


 1  4 0
  4 0 0


Вариант 8
1

0
0

1

0 0 0

0 0 0
0 0 0

0 0 2 
Вариант 9
1

0
1

0

0 0 0

0 0 0
0 0 0

0 0 1 
3 1

1 0
3 0

4 1

Вариант 10
0 

0 0 
5  3

3  1 
0
Задание 5.
Решите систему уравнений методом Гаусса, методом Крамера и методом
обратной матрицы.
Вариант 1.
 х1  х2  х3  2
Вариант 2. 2 х1  х2  6 х3  1
3х  х  8
2
 1
3 х1  х2  х3  4

2 х1  5 х2  3 х3  17
х  х  х  0
2
3
 1
39
2 х1  х2  3х3  3
Вариант 3. 3х1  4 х2  5 х3  8
2 х  7 х  17
3
 2
Вариант 5.
 х1  х2  3х3  6
Вариант 4. 2 х1  х2  х3  3
х  х  2х  5
2
3
 1
 х1  х2  х3  2
Вариант 6. 2 х1  3х2  4 х3  4
3х  2 х  2 х  7
2
3
 1
2 х1  х2  3 х3  7

 х1  2 х2  х3  4
3 х  х  2 х  1
2
3
 1
3х1  х2  5
Вариант 7.  2 х1  х2  х3  0
2 х  х  4 х  15
2
3
 1
Вариант 8.
4 х1  3х2  9 х3  9
Вариант 9. 2 х1  3х2  5 х3  7
 х  8 х  7 х  12
2
3
 1
2 х1  х2  х3  8

 х1  3 х2  5 х3  6
3 х  х  7 х  4
2
3
 1
Вариант 10.
3 х1  2 х2  х3  0

2 х1  3 х2  х3  2
2 х  х  3 х  2
2
3
 1
Задания к контрольной работе №2 (II семестр)
Элементы геометрии
Задание 1.
Найдите точку пересечения прямой и плоскости, заданных уравнениями:
№ варианта
Уравнение прямой
Уравнение плоскости
Вариант 1
х5 у 3 2


1
1
0
3 х  у  5  1  0
Вариант 2
х 1 у  3  1


3
4
5
3х  у    12  0
Вариант 3
х 1 у   3
 
1
0
2
2 х  у  4  0
Вариант 4
х 1 у  5  1


1
4
2
х  3 у  7   24  0
Вариант 5
х 1 у  3  1


3
4
5
х  2 у  5  20  0
40
Вариант 6
х  2 у  3  1


1
1
4
х  2 у  3  17  0
Вариант 7
х5 у 3 2


1
1
0
х  2 у  3  10  0
Вариант 8
х 1 у  2   3


1
2
3
х  3 у  2  10  0
Вариант 9
х 1 у  2   3


4
3
2
5 х  4 у  3  1  0
Вариант 10
х 1 у 1   3


1
2
2
х  2 у  3  5  0
Задание 2.
Вычислите объем тетраэдра АВСD с вершинами в точках и его высоту,
опущенную из вершины D на грань АВС.
№ варианта
Координаты
Координаты
Координаты
Координаты
А
В
С
D
Вариант 1
(7; 2; 4)
(7; -1; -2)
(3; 3; 1)
(-1; 2; 1)
Вариант 2
(2; 1; 4)
(-1; 5; -2)
(-7; -3; 2)
(-6; -3; 6)
Вариант 3
(-1; -5; 2)
(-6; 0; -3)
(3; 6; -3)
(-10; 6; 7)
Вариант 4
(1; 3; 6)
(2; 2; 1)
(-1; 0; 1)
(-4; 6; -3)
Вариант 5
(-4; 2; 6)
(2; -3; 0)
(-10; 5; 8)
(-5; 2; -4)
Вариант 6
(3; 3; 1)
(-1; 2; 1)
(7; 2; 4)
(7; -1; -2)
Вариант 7
(-6; 0; -3)
(3; 6; -3)
(-1; -5; 2)
(-10; 6; 7)
Вариант 8
(4; -2; -6)
(-2; 3; 0)
(10; -5; -8)
(5; -2; 4)
Вариант 9
(2; 2; 1)
(-1; 0; 1)
(-4; 6; -3)
(1; 3; 6)
Вариант 10
(-10; 5; 8)
(-5; 2; -4)
(2; -3; 0)
(-4; 2; 6)
Задание 3.
Найти угол между плоскостями  и 
41
№ Варианта Уравнение плоскости 
4 х  5 у  3  0
Вариант 1
Уравнение плоскости 
х  4у    9  0
Вариант 2
3х  у  2  15  0
5 х  9 у  3  1  0
Вариант 3
6 х  2 у  4  17  0
9 х  3 у  6  4  0
Вариант 4
х  3у  5  0
2 х  у  5  16  0
Вариант 5
х  3у   1  0
х   1  0
Вариант 6
4 х  5 у  3  1  0
х  4у    9  0
Вариант 7
3х  2 у  2  1  0
х  у  3  10  0
Вариант 8
х  у  5  16  0
9х  у    4  0
Вариант 9
5 х  у  3  1  0
х  у  2  1  0
Вариант 10
9 х  у  6  4  0
3х  у    15  0
Задание 4.
Найдите расстояние от точки М до плоскости, проходящей через точки А, В,
С.
№
Координаты
Варианта
М
Координаты А Координаты В Координаты С
Вариант 1
(-12; 7; -1)
(1; 5; -4)
(3; 4; -7)
(-5; -2; 0)
Вариант 2
(1; -6; -5)
(4; -1; 0)
(-1; 2; -3)
(2; -6; -5)
Вариант 3
(4; -2; -6)
(10; -5; -8)
(-2; 3; 0)
(5; -2; 4)
Вариант 4
(2; 2; 1)
(-4; 6; -3)
(-1; 0; 1)
(1; 3; 6)
Вариант 5
(-10; 5; 8)
(2; -3; 0)
(-5; 2; -4)
(-4; 2; 6)
Вариант 6
(-1; -5; 2)
(3; 6; -3)
(-6; 0; -3)
(-10; 6; 7)
Вариант 7
(1; 3; 6)
(-1; 0; 1)
(2; 2; 1)
(-4; 6; -3)
Вариант 8
(-4; 2; 6)
(-10; 5; 8)
(2; -3; 0)
(-5; 2; -4)
Вариант 9
(3; 3; 1)
(7; 2; 4)
(-1; 2; 1)
(7; -1; -2)
(-6; 0; -3)
(-1; -5; 2)
(3; 6; -3)
(-10; 6; 7)
Вариант
10
42
Задание 5.
Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
Вариант 1.
а).
lim
в).
lim
х
x0
3х 2  х  1
х2  5
б).
lim
2 sin 3 x
4 sin x
г).
lim
4x 3  2x  3
x  2x 3
б).
lim
2x
sin 3x
г).
lim
5 x 4  2 x 3  3x
2x 4  2x 2  1
б).
lim
2 sin 3x
4sin x
г).
lim
6x5  2x 4  2x
3x 5  2 x 4  7
б).
lim
г).
lim
x 1
x
x 1
x 1
 1 x 


 x 2
x
Вариант 2.
а).
lim
в).
lim
x
x0
x3
x
1 x  2
x3
2 x


 x 1 
2x
Вариант 3.
а).
lim
в).
lim
x
x0
x 1
x
x 1
x 1
 1 x 


 x 2
x
Вариант 4.
а).
lim
в).
lim
x
x0
1  cos 2 x
3x 2
x5
3 4 x
x5
4
Вариант 5.
43
x 1
 x  1  x 1
1 

2 

а).
lim
в).
lim
x
x0
2 x 4  3x 3  x
 5x 4  2 x 2  1
б).
lim
1  cos 4 x
5x 2
г).
lim
 x3  2x 2  7x
4x3  2x  5
б).
lim
x sin x  2
7 x 2  2x
г).
lim
 7 x 4  3x 3  2 x
2x 4  2x  3
б).
lim
5tg 2 x
x2  x
г).
lim
9x  2
3 x
б).
lim
г).
lim
3x 2  2 x  1
 x 2  5x  5
б).
lim
3x 2
1  cos x
г).
lim
x5
x
4  11  x
x5
 x  2


 x3
4x
Вариант 6.
а).
lim
в).
lim
x
x2


x5
x
2  x 1
x5
 x  2


 x 1 
3x
Вариант 7.
а).
lim
в).
lim
x
x0
x4
x
3  2x  1
x4
1

1  
x

x 1
Вариант 8.
а).
lim
в).
lim
x
x0
2 x
2

 x ctg 2 x
x2
x
1 3  x
2 x
 1 x 


2 x
x 1
Вариант 9.
а).
lim
в).
lim
x
x0
Вариант 10.
44
x 1
x
4x  5  3
1 x
 2x  5 


 2x  3 
x 1
а).
lim
в).
lim
2 x 5  3x 4  1
 3x 5  x  3
x
 5x 3  5x 2
1  cos 4 x
x0
б).
lim
г).
lim
x 1
x
3  2x  1
x 1
 2x  1 


 2x 
2 x 1
Контрольная работа №3. (III семестр).
Тема «Дифференциальное и интегральное исчисление»
Задание 1.
Провести полное исследование функции и построить график.
Вариант 1. у 
17  х 2
4х  5
4х 2  9
Вариант 3. у 
4х  8
Вариант 5. у 
х 3  5х
5  3х 2
х 2  11
Вариант 7. у 
4х  3
Вариант 9. у 
21  х 2
7х  9
Вариант 2. у 
х3  4х
3х 2  4
2х 2  6
Вариант 4. у 
х2
Вариант 6. у 
3х 2  7
2х  1
3х 2  10
Вариант 8. у 
3  2х
Вариант 10. у 
4 х 3  3х
4х 2  1
Задание 2.
Найти неопределенные интегралы а), б), в). Вычислить определенный
интеграл г).
Вариант 1.
б).  xe2 x dx
dx
а).
 arcsin x 
в).
x
3
3
1 x2
dx
 x2
г).
45

3
1
2x 2  x
x2
Вариант 2.
а).  е1 2 х dx
в).

dx
2
x  x2
б).  x cos 3 xdx
г).
II
2
0

cos x sin dx
Вариант 3.
б).  x ln xdx
sin x
dx
2
x
а).
 cos
в).
 2x
2
xdx
 3x  1
г).

4
1
1 y
y2
dy
Вариант 4.
x 2 dx
а).  3
x 1
в).
 2x
2
xdx
 3x  1
б).  ln xdx

г).  20cos 2 5 x  10dx
2
0
Вариант 5.
ln x m dx
б).  arccos xdx
2x  3
dx
2
4
г).
а).

в).
x
x

2
1
4 x
dx
x
Вариант 6.
а).
e x dx
 ex 1
б).  ln x 2  1dx
46
в).
x
2
dx
 x2
г).

33
ln 3 x
dx
x
1
Вариант 7.
а).  e 2 sin x cos xdx
в).
x
2
б).  x 2 ln xdx
2x  3
 3 x  10
г).
2

  x
2
1

1 
dx
x4 
Вариант 8.
6x  5
а).
2
в).
x 4 dx
 1 x
3x 2  5 x  1
б).  x 3 arctgxdx
dx
12dx
4
г).

б).
 x
1
x 1  ln x
Вариант 9.
1 x2
а).

в).
32 xdx
 2 x  1 4 x 2  16 x  15
x x
dx

2

 2 ln xdx
1
2

г).  18e 3 x  1dx
0
Вариант 10.
б).  ln 3xdx
x  x 3e x  x 2
dx
x3
а).

в).
7x3  9
 x 4  5x 3  6 x 2
г).

8
0

2 x  3 x dx
Задание 3.
Найти область определения функции   f x; y 
Вариант 1.  
arccos x  y 
x
Вариант 2.  
47
arccosx  y 
y
Вариант 3.   2 x 2  y 2
Вариант 5.  
Вариант 4.   9  x 2  y 2  4  y 2
1
 x2  9
x2  y2  5
Вариант 6.   ln x 2  y 2  4  8  y 2
Вариант 7.   ln xy  4 1  x 2  y 2
Вариант 8.   xy  1  x 2  4  y 2
Вариант 9.   y 2  4  2  x 2
Вариант 10.   arcsin xy
Задание 4.
Проверить удовлетворят ли указанному уравнению данная функция.
Вариант 1. x 2
2
 2u
 2u
2 y
u
2  u
;

2
xy

y


0
y

 1  y ln x  ;
Вариант
2.
2
2
xy
x
y
xy
x
U  xy
y
x
U 
 2u  2 y
Вариант 3. 2  2  0 ;
x
y

2
 2u
2  u
Вариант 4. x 2  y
 0;
x
y 2
2
U  ln x 2   y  1
2

2
 2u
2  u
Вариант 5. x 2  y
 0;
x
y 2
 2u  2u
Вариант 6. a  2  2 ;
x
y
2
2
U  sin 2x  ay 
U  e xy
Вариант 7. a 2
 2u  2u
;

x 2 y 2
Вариант 8.
 2u  2u

 0;
x 2 y 2

U  l  cos x  ay 

U  ln x 2  y 2  2 x  1
 2u  2u
Вариант 9. 2  2  0 ;
x
y
U  arctg
y
x
Uy
 2u  2u
Вариант 10. 2  2  0 ;
x
y

U  ln x 2  y 2
y
x
48

Задание 5.
Исследовать функцию двух переменных на экстремум.
Вариант 1.   x 3  8 y 3  6 xy  5
Вариант 2.
  x 3  y 2  6 xy  39 x  18 y  20
Вариант 3.   2 x 2  2 y 3  6 xy  5
Вариант 4.   3x 3  3 y 3  9 xy  10
Вариант 5.   x 3  y 3  3xy
Вариант 6.   x 3  8 y 3  6 xy  1
Вариант 7.   x 2  xy  y 2  6 x  9 y
Вариант 8.   x 2  xy  y 2  9 x  6 y  20
Вариант 9.   1  15x  2 x 2  xy  2 y 2
Вариант 10.   1  6 x  x 2  xy  y 2
Задание 6.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (сделать рисунок).
Вариант 1.
1
y
1 x2
x2
и y
2
Вариант 2. y  e x , y  e  x , x  1
Вариант 3. y  x 2 , y  3  x
Вариант 4. y  x 2 и y 2  x
Вариант 5. y  x 2  4 x ,  y  x  4  0
Вариант 6. y  6 , 4 y  x 3  0
Вариант 7. y  x 2 , y  2  x 2
Вариант 8. x 2  4 y , y 
Вариант 9. xy  6 , x  y  7  0
Вариант 10. y  x , y  x 3
8
x 4
2
Задания к контрольной работе №4 (3 семестр)
Задание 1
Вариант1
В ящике 10 белых и 8 красных шаров. На удачу берутся два шара. Какова
вероятность, что
А). они одного цвета
Б). разных цветов
49
Вариант2
Производится три выстрела по мишени. Вероятность попадания в цель при
первом выстреле 0,75, при втором – 0,8, при третьем – 0,9.
А). Три попадания в цель
Б). только одно попадание в цель
В). хотя бы одно попадание
Вариант3
Бригада состоящая из 12 юношей и 18 девушек, выбирает случайным
образом делегацию из трех человек. Какова вероятность того, что в
делегацию войдут:
А). Только девушки
Б). только юноши
В). двое юношей и одна девушка
Вариант4
Студент знает 15 вопросов из 25. Какова вероятность того, что из заданных
ему трех вопросов программы он не знает:
А).все три
Б). только один вопрос
В). ходя бы один
Вариант5
Два спортсмена должны выполнить норму мастера спорта. Вероятность того,
что первый выполнит норму равную 0,95, второй – 0,9. Какая вероятность
того, что норма выполнена:
А). обоими спортсменами
Б). только одним
В). хотя бы одним спортсменом
Вариант6
В ящике 5 деталей стандартных и 3 нестандартных. Какова вероятность того,
что:
А). все извлеченные детали стандартные
50
Б). среди извлеченных деталей хотя бы одна нестандартная
В). три нестандартных
Вариант7
Вероятность того, что саженец примется, равна 0,7. найти вероятность того,
что из 9 посаженных саженцев примется
А). больше 7
Б). хотя бы один
В). не больше 3
Вариант8
В студии телевещания имеется 4 телевизионных камеры. Для каждой
вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти
вероятность того, что в данный момент включена:
А). только одна камера
Б). хотя бы две камеры
В). не меньше трех камер
Вариант9
В цехе 6 станков. Для каждого станка вероятность того, что в данный момент
включен равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент:
А). включено 4 станка
Б). включены все станки
В). выключены все станки
Вариант10
В ящике 10 красных, 5 синих и 15 белых шаров. На удачу из ящика
извлекают 4 шара. Какова вероятность того, что:
А). все шары одного цвета
Б). среди шаров два красных
Задание № 2
Вариант1
51
На первом заводе производится в среднем 80% электрических лампочек
повышенной надобности, а на втором 70% объема продукции, поставляемой
этими заводами в магазин относится как 3:2. Найти вероятность того, что
приобретенная в магазине лампочка готова к надобности.
Вариант2
Противник использует самолеты трех типов, количество которых одинакова.
Вероятность сбить самолет первого типа 0,5, второго 0,3 , третьего 0,2.
Самолет был сбит. Какова вероятность того, что это был самолет второго
типа.
Вариант3
Радио лампа, поставленная в телевизор, может принадлежать к одной из трех
партий с вероятностями А). 0,25
Б). 0,5
В). 0,25. Вероятность того, что
лампа проработает гарантийный срок, для этих партий равна соответственно
0,9; 0,8; 0,95. Определить вероятность того, что лампа проработает
гарантийный срок.
Вариант4
По станку поступает однотипные изделия из двух цехов. Вероятность брака в
каждом из цехов равны 0,04 и 0,03. Первый цех поставил 30 изделий, а
второй 70. на сборку поступило бракованных изделий. Какова вероятность
того, что это изделие поступило из второго цеха.
Вариант5
В первом ящике 10 белых и 4 красных шаров, во
втором 5 белых и 7
красных. Из первого ящика во второй переложили 2 шара и после этого из
второго ящика достали один шар. Какова вероятность того, что он белый.
Вариант6
В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна.
Вероятность выполнить в соревнованиях норму мастера спорта такова: для
лыжников – 0,9; для бегуна – 0,75; для велосипедиста – 0,8. Найти
52
вероятность того, что спортсмен выполнит на удачу, выполнит норму
мастера.
Вариант7
80% приборов собирается из высококачественных деталей и 20% их деталей
обычного качества. Если прибор собран из высококачественных деталей, то
его вероятность безотказной работы в течении времени Т равна 0,9 из
обычных 0,5. При испытании в течении времени Т прибор работал
безотказно.
Определить
вероятность
того,
что
прибор
собран
из
высококачественных деталей.
Вариант8
В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содержится 12 ламп из
них 3 нестандартные, во втором 10 ламп, из них 2 нестандартные. Из первого
ящика взяли две лампы и переложили во второй. Найти вероятность того, что
наудачу извлечения из второго ящика лампа будет нестандартная.
Вариант9
В цехе 3 автоматических станков производит одни и те же детали. Известно,
что станки первого типа производят 90% деталей отличного качества,
второго 85% и третьего 80%. Все произведенные за смену детали без
сортировки сложены на складе. Определить вероятность того, что взятая
наудачу со склада деталь окажется отличного качества, если станков первого
типа 10 штук, второго 8 штук и третьего 2 станка.
Вариант10
Три станка-автомата обрабатывают одинаковые детали. Вероятность брака
для первого станка равна 0,02 для второго и третьего 0,04. Все детали
складываются в один ящик. Производительность первого станка в 2 раза
больше чем у второго, а третьего такая же как и второго. Наудачу берется
одна деталь. Какова вероятность того, что она стандартная.
Задание №3
Вариант1
53
Случайная величина X и Y распределены по закону x (03,2 04,5 05,3),
y (01,3 02,6 03,1). Составить закон распределения случайной величины Z = X
+ Y.
Найти MZ, DZ, σ функцию распределения величины
Z и построить ее
график.
Вариант2
В партии из 30 деталей 3 нестандартные, из которых наудачу берут 3 детали.
Составить закон распределения случайной величина X – числа стандартных
деталей среди отобранных найти MX, DX, σ. Составить функцию
распределения и построить ее график.
Вариант3
В некотором цехе брак составляет 5 % всех деталей. Составить закон
распределения числа бракованных деталей в случайно отобранной партии из
трех изделий. Найти DX, MX σ. Составить функцию распределения и ее
график.
Вариант4
Случайные величины X и Y распределены по закону x(01,3 02,4 03,3), у(00,3
01,2 02,5). Составить закон распределения случайной величины Z = X-Y.
Найти MZ, DZ σ. Составить функцию распределения случайной величины Z
и построить ее график.
Вариант5
На сборку поступило 30 деталей из 25 стандартных. Сборщик наудачу берет
три детали. Составить закон распределения случайной величины Х – числа
стандартных деталей
среди отобранных. Найти МХ, DX, σ. Составить
функцию распределения F(x) и построить ее график.
Вариант6
Некоторые предприятия в среднем выпускает 90% изделий высшего сорта.
Составить закон распределения случайной величины Х – числа изделий
54
высшего сорта из взятых наудачу четырех изделий. Найти МХ, DX, σ.
Составить функцию распределения и построить ее график.
Вариант7
Случайные величины Х;Y распределение по закону х( 00,1; 01,6; 03,3)
у(00,2; 02 ,5; 04,3). Составить закон распределения случайной величины Z =
XY. Найти МХ, DX, σ Составить функцию распределения F(x) построить ее
график.
Вариант8
В семье морских свинок в среднем 25% детенышей рождаются коричневыми.
Составь закон распределения случайной величины Х - числа коричневых
детенышей среди трех рожденных. Найти МХ, DX, σ. Составь функцию F(x)
распределения и построить график.
Вариант9
Всхожесть семян гороха составляет 90%. Составить закон распределения
случайной величины Х – числа взошедших семян из 4 посеянных. Найти МХ,
DX, σ. Составить функцию распределения F(x) и построить график.
Вариант10
Случайные величины X и Y распределили по закону х(0-4,4 00,3 04,3) у(0-2,2
02,7 04,1). Составить закон распределения случайной величины Z = X+Y.
Найти МХ, DX, σ. Составить функцию распределения F (x) и построить ее
график.
Задание №4
Случайная величина Х задана функцией распределения (х). Требуется найти:
1. Функцию плотности вероятности f (x)
2. МХ; DX; σ
55
3. Вычислить вероятность того, что Х примет значения принадлежащее
интервалу (α; β)
4. Построить графики F(x) и f(x)
при x  1
0
 x 1
Вариант 1. F (x)= 
 2
1
при 1  x  3
0

Вариант 5. F (x) =  x  2
1


0


Вариант 6. F (x) = cos x

1


α = 1;
β = 10
при x  2
при 2  x  3
при x  3
0

2
( x  1)
1

0
Вариант 4. F(x) = ( x  1)
1

β=2
при x  3
0

Вариант 2. F (x)= ( x  2) 2
1

Вариант 3. F (x) =
α = -10;
при x  1
при 1  x  2
α = 0;
β=π
при x  2
при x  1
при 1  x  2
 5
  1
при x  2
при x  2
при 2  x  3
  2,25
 4
при x  3
при x  
при 


2
x0
2
при x  0
 
56
 

4
при x  0
0
 2
x
Вариант 7. F (x) = 
 81
1
при 0  x  9
 1
при x  9
 4
при x  0
0
 2
x
Вариант 8. F (x) = 
4
1
при 0  x  2
 4
при x  2
при x  1
0

Вариант 9. F(x) =  1  x 2
1

 
 1
при  1  x  0
  2
при x  0
1
2
при x  0
0
Вариант 10. F (x) = 
1  e
2 x
при x  0
  1
 2
Задание №5
Заданы математическое ожидание МХ и дисперсия DX нормально
распределенной случайной величины Х. Требуется:
1. Записать функцию плотности вероятности и построить ее график
2. Найти вероятность того, что Х примет значение принадлежащее
интервалу ( α; β )
3. Найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения Х – МХ
окажется меньше Е.
Вариант1 МХ = 10;
DX = 4;
α = 10; β = 12; Е = 3
57
Вариант2 МХ = 12;
DX = 9;
α = 10; β = 14; Е = 2
Вариант3 МХ = 14;
DX = 9;
α = 9;
β = 12; Е = 1
Вариант4 МХ = 10;
DX = 16;
α = 8;
β = 13; Е = 5
Вариант5 МХ = 11;
DX = 25;
α = 9;
β = 14; Е = 10
Вариант6 МХ = 9;
DX = 36;
α = 5;
β = 10; Е = 3
Вариант7 МХ = 7;
DX = 4;
α = 6;
β = 8; Е = 0,9
Вариант8 МХ = 8;
DX = 9;
α = 7;
β = 11; Е = 1
Вариант9 МХ = 5;
DX = 16;
α = 3;
β = 8; Е = 0,5
Вариант10 МХ = 4;
DX = 1;
α = 1;
β = 5; Е = 0,3
10. Текущий и итоговый контроль по дисциплине
10.1 Формы и методы для текущего контроля
Самостоятельная
работа
студентов
осуществляется
на
основе
проработки отдельных вопросов курса в рамках индивидуальных домашних
заданий, а также выполнения типовых расчетов. Контроль осуществляется в
форме контрольных опросов, семинарских занятий, а также при проверке
типовых расчетов.
Индивидуальные домашние задания
Задание 1.
Исследовать методами дифференциального исчисления функции и на основе
результатов исследования построить их графики
Задание 2.
Даны координаты вершин А1, А2, А3, А4 пирамиды.
Найти:
1) длину ребра А1А3;
2) угол между ребрами А1А3 и А1А4;
3) угол между ребром А1А3 и гранью А1А2А4;
4) площадь грани А1А2А4;
5) объем пирамиды;
6) уравнение прямой А1А4;
58
7) уравнение плоскости А1А2А4;
8) уравнение высоты, опущенной из вершины А3 на грань А1А2А4
Задание 3.
Найти наибольшее и наименьшее значения данных функций в указанных
областях
Задание 4.
Составить конспект ответа по теме «Кривые второго порядка» (эллипс,
гипербола, парабола), поверхности второго порядка
10.2 Контрольные тесты для определения минимального уровня
освоения программы дисциплины.
Тест «Определители и матрицы»
1. Изучите, как вычисляются определители второго порядка и решите
уравнения
а)
1
1
1 3
х
2 1
4
б)
1
х х 1
4
5

3 2
2
1
Варианты ответов:
1) х=-2,5
2) х=-1
3) х=3/2
4) х   1
3
5) х=-3
6) х=1
2. Изучите правило треугольников (правило Саррюса) вычисления
определителей 3-го порядка и решите уравнения 1) и 2) и неравенство
3)
1
х 0
1) 0 0 х  0
х 1 0
5 2
х
2
2) 0 3  1  1
7
х
3
5
Варианты ответов:
1) х   ;6   4;
3) 1
5) х  4;6
59
х2
1
3
1
 2 0
х
2) х=-2
6) х=2
3) х   6;4
7) х  0; х  1
4) х  2
8) х=0; х=1
3. Изучите правило Лапласа вычисление определителей. Вычислите
определители 1) и 2) разлагая их соответственно, по первой строке и второму
столбцу:
a
b
c
1) 1  2 0
3
1
a 2
3
2)  4 b
2
1
0
2
c
Варианты ответов:
1) -4a+2b-5c;
2) -6a+5b-14c;
3) -2a-2b-2c;
4) 2a+2b+2c;
5) -4a-2b+7c;
6) -5a+b-5c
2 х  5 у  1
решите методом Крамера.
ах  5 у  2а  5
4. Систему уравнений 
Ответ должен состоять из чисел: ( х; у;  х   у )
Варианты ответов:
1) (2; 1; 15a+3b);
2) (-1; -2; -15a30);
3) (-2; -1; -15a-30);
4) (1; 2; 15+30a)
2 1 


1  2 3 
5. Даны матрицы А  
, В   3
 1
2
0 1
 1 1 


Найдите матрицы С=АВ и D=ВА
Ответ должен состоять из пары чисел (С12d12) являющихся элементами
матриц С и D соответственно.
Варианты ответов:
60
1) (-4; 2)
3) (-7; 2)
2) (0; -1)
4) (1; -3)
 4  3
 , если
1 
6. Найдите значение многочлена f(А) от матрицы А  
2
f x   x 2  2 x  5
Варианты ответов:
 7  4

11  2 
1) 
2  9

6  7
3) 
7  9

 6  2
2) 
7. Изучите метод нахождения обратной матрицы с помощью присоединенной
матрицы. Найдите матрицу, обратную матрице А.
 1 0 1


А   0 0 2
 1 3 1


Ответ должен состоять из тройки чисел  ;  ;   , каждое из которых равно
сумме элементов, соответственно первой, второй и третьей строк обратной
матрицы.
Варианты ответов:
1) (-3; -2; -3)
1 1 1
3)  ; ; 
2 3 2
2) (3; 2; -3)
1 1 1
4)   ;  ; 
 3
2 3 
Итоговый тест 1
1. С помощью теоремы Кронекера-Капелли доказать совместимость системы
линейных уравнений и решить ее двумя способами:
1) пользуясь правилом Крамера;
2) Средствами матричного исчисления:
61
а)
3 х1  2 х2  х3  5

2 х1  3 х2  х3  1
2 х  х  3 х  11
2
3
 1
 х1  х2  2 х3  1
в) 2 х1  х2  2 х3  4
4 х  х  4 х  2
2
3
 1
б)
 х1  2 х2  3 х3  6

2 х1  3 х2  4 х3  20
3 х  2 х  5 х  6
2
3
 1
3х1  4 х2  2 х3  8
г) 2 х1  х2  3х3  4
х  5х  х  0
2
3
 1
2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
2 х1  х2  х3  х4  1
 2 х  х  3 х  3

4
1)  1 2
3 х1  х3  х4  3
2 х1  2 х2  2 х3  5 х4  6
 х1  2 х2  3 х3  4 х4  4
 х  х  х  3

2)  2 3 4
 х1  3 х2  3 х4  1
 7 х1  3 х3  х4  3
3. Даны три точки А1, А2, А3. Найдите:
1) длину отрезка А1А2
2) уравнение прямой А1А2
3) уравнение прямой, проходящей через точку А3 параллельно прямой А1А2
4) уравнения прямой, проходящей через точку А3 перпендикулярно прямой
А1А2
5) угол между прямыми А1А2 и А2А3
Варианты ответа:
1) А1 (-8; 4) А2 (4; -1) А3
4) А1 (2; -3) А2 (1; -4) А3
(7; 3)
(-1; 7)
2) А1 (3; -3) А2 (-1; -6) А3
5) А1 (2; -2) А2 (7; -3) А3
(6; 6)
(5; -4)
3) А1 (-6; 5) А2 (6; 0) А3 (9; 6) А1 (3; -4) А2 (-3; 4) А3
4)
(-2; 2)
4. Даны координаты вершин А1; А2; А3; А4 пирамиды. Найти:
1) длину ребра А1А3
2) угол между ребрами А1А3 и А1А4
3) угол между ребром А1А3 и гранью А1А2А4
4) площадь грани А1А2А4
62
5) объем пирамиды
6) уравнение прямой А1А4
7) уравнение плоскости А1А2А4
8) уравнение высоты, опущенной из вершины А3 на грань А1А2А4
Варианты ответов:
1) А1 (1; 2; 0); А2 (3; 0; 3); А3 (5; 2; 6); А4 (1; 1; -1)
2) А1 (1; -1; 2); А2 (5; -6; 2); А3 (1; -1; 1); А4 (1; 3; -1)
3) А1 (2; -1; 3); А2 (1; 2; -4); А3 (1; 0; 1); А4 (3; -1; -2)
4) А1 (2; -1; -3); А2 (3; 2; -1); А3 (-4; 1; 3); А4 (-1; 4; -2)
5) А1 (-1; -2; 4); А2 (-4; -2; 0); А3 (0; 2; 0); А4 (3;-2; 1)
6) А1 (3; 2; -3); А2 (5; -1; 1); А3 (1; 0; 1); А4 (1; -2; 1)
Итоговый тест 2
1. Найти указанные пределы:
4 x
1) lim

x
 x5
6
x  3x 2  1
cos 2 x  cos 3x
7) lim
2
x0
2) lim
x3
x2  9
3x 2  8 x  3
8) lim 1  2 
x
3) lim
x5
x2  6x  5
2 x 2  11x  5
x2  1  x
4) lim
x 3
5) lim
x
6
x2  1  x
sin x 2
sin x 3
1  cos3 x
6) lim
x0 x sin 2 x
x

3x
x
 3x  4 


9) lim
x  3 x  2  


x 1
3
ln 2  x   ln 2
10) lim
x0
x
ln x  1
11) lim
x
xl
sin 3 x
12) lim
x
sin 2 x
2. Найти производные:
1) y  3
1
12
4
9x  4
x  10
2) y  3 tg 2 3x
7) y  ln 5
10
ex 1
x 1
2
  x 1
 x 1
8) y  
63
1
7
3) y  arccos 
9) y  sin 6 10 x  cos6 10 x
4) y  1 ln x  1 / x 2  2 x
10) y  arcsin x
 x
7
3
e
5) y  arctg
6) y  5

x
 e x
2
2

11) y  4  x 2  ln 1  e2 x  e4 x
12) y  l sin xcos x  sin x  cos x 
1
sin2 x
3. Найти неопределенные интегралы:
1)

cos x
3
dx
2
sin x
dx
2)

3)
 arctg x dx
4 x
2
4)  x 2 cos 2 xdx
x
5)
 xx 1dx
6)

7)
x
8)
 2 x  14 x
dx
1 ex
xdx
 4x
3
32 xdx
2
 16 x  15

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
1) y 
1
x2
и
y

;
1  x2
2
2) y  e x и y  e-x ; x  1
5. Найти общие решения и частные решения дифференциальных уравнений,
удовлетворяющих данным начальным условиям, если начальные условия
заданы:
1) y  x 2  xy  y 2 / x 2
2) x3 y  yy 2  x 2 
3) y  e2 x  e x y
Итоговый тест 3
1. Уравнение прямой, параллельной у=-4х+1 является:
1) 4х-у=0
3) х+у+4=0
2) 4х+у-3=0
4) х-у-3=0
64
4 5  3а
2. Определитель
1) 1
1
2
2) 0
 0 при а=
3) -8
4) 3
3. Смешанное произведение abc векторов а=(2; 5; 7) b=(1; 1; 1) с=(1; -2; 2)
равно:
1) -28
2) -26
3) -18
4) 6
4. На числовой прямой дана точка х=8,7 тогда ее «-окрестностью» может
являться интервал
1) (8,7; 8,9)
2) (8,6; 8,9)
3) (8,5; 8,9)
4) (8,5; 8,7)
5. Образом отрезка [-2; 3] при отображении 7=6х-5 является
1) [-12; 18]
2) [-18; 12]
3) [-13; 17]
6. Если уравнение гиперболы имеет вид:
4) [-17; 13]
х2 у 2
  1,
4 9
то длина ее
действительной полуоси равна:
1) 3;
2) 2;
3) 9;
4) 4
с 2  a 2  b 2  13
c   13
7. Прямая x  1  y  4  z  2 параллельна плоскости 2 x  y  3z  0 при а равном
a
1) -4;
8.
6
2
2) -10;
В
системе
3) 4;
уравнений
4) 10
 x1  3x2  5 x3  2 x4  2 x5  0

независимыми
 x2  3x3  4 x4  5 x5  0
 3x  x  3x  0
3
4
5

(свободными) переменными можно считать:
1) х4;
2) х1, х2, х3;
1
4
3) х5,
4) х4х5
 2
, В    , тогда матрица С  А  В имеет вид
9. Если А  
 1 0
1
  2

 6 
1) 
6
2)  
2
 
3) (6; -2)
 6 

  2
4) 
10. Нормальный вектор плоскости 3х+2у+z-10=0 имеет координаты:
1) (3; 2; 1)
2) (3; 1; -10)
3) (-3; -2; -1)
65
4) (2; 1; -10)
10.3 Перечень типовых экзаменационных вопросов
Вопросы к экзамену
1. Векторы: основные понятия, действия над векторами.
2. Скалярное произведение, векторное и смешанное. Основные свойства.
3. Производная и дифференциал высших порядков.
4. Основные производные элементарных функций. Таблица производных.
5. Матрицы: основные понятия, действия над ними.
6. Понятие множества, способы задания. Числовые промежутки.
7. Определение функции, способы задания. Элементарные функции их
свойства, графики.
8. Понятие предела функции.
9. Бесконечно малые и бесконечно большие величины, их свойства.
10.Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные
пределы.
11.Непрерывность функции в точке. Точки разрыва.
12.Определители и их основные свойства.
13.Обратная
матрица.
Решение
линейных
уравнений
матричным
способом.
14.Геометрический смысл производной. Физический смысл.
15.Понятие неопределенного интеграла.
16.Основные методы интегрирования.
17.3Определенный интеграл. Геометрический смысл интеграла. Формула
Ньютона – Лейбница.
18.Решение систем линейных уравнений. Формула Крамера, метод числа.
19.Производная сложной и обратной функций.
20.понятие производных и дифференциала высших порядков.
21.Основные теоремы дифференциального исчисления.
22.Правило Лопиталя.
23.Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Необходимые
и достаточные условия экстремума.
66
24.Наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке.
25.Понятие дифференциала функции.
Применение дифференциала в
приближенных вычислениях.
26.Евклидово пространство. Линейные операторы.
27.Уравнение прямой. Условия параллельности и перпендикулярности
прямых.
28.Окружность и эллипс.
29.Гипербола и парабола.
30.Понятие об уравнении плоскости и прямой в пространстве.
31.Параметрическое задание функции. Дифференцирование функции,
частные заданной параметрические.
32.производные
и
полный
дифференциал.
Функции
нескольких
переменных.
33.Функции двух переменных.
34. Несобственные интегралы.
35.Комплексные числа.
36.Дифференцирование сложных и неявных функций.
37.Методы вычисления определенного интеграла.
38.Сравнение бесконечно малых. Эквивалентность.
39.Линейное преобразование и его матрица.
40.Собственные векторы матриц.
41.Векторы: основные понятия, действия над векторами.
42.Скалярное произведение, свойства.
43.Линейное пространство. Евклидово пространство. Линейно
независимые векторы.
44.Определители второго, третьего порядка.
45.Определители n-го порядка. Вычисление разложением по строке
(столбцу). Теорема Лапласа.
46.Системы линейных уравнений с n – неизвестными. Правило Крамера.
67
47.Обратная матрица. Матричная запись линейных уравнений и систем
линейных уравнений.
48.Матрицы: виды матриц, действия над матрицами.
49.Однородные системы уравнений, метод Гаусса.
50.Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц. Исследование
системы линейных уравнений. Теорема Кронокера - Копелли.
51.Собственные значения и собственные векторы матрицы.
52.Базис линейного пространства. Разложение векторов по заданному
базису.
53.Прямая на плоскости. Уравнения прямой.
54.Прямая в пространстве. Уравнения прямой.
55.Плоскость. Общее уравнение плоскости.
56.Декартова система координат в пространстве. Координаты точки
радиус - вектор.
57.Взаимное расположение прямых на плоскости и в пространстве.
Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
58.Кривые второго порядка. Окружность, эллипс, гипербола, парабола.
59.Виды уравнений плоскостей и взаимное их расположение в
пространстве.
60.Действия над векторами, заданными координатами. Условие
коллинеарности и компланарности.
61.Векторное произведение векторов. Вычисление площади, свойства
треугольника.
62.Смешанное произведение. Свойства. Вычисление объема
параллелепипеда.
63.Понятие события и соотношение между ними.
64.Классическое определение вероятности. Следствие из классического
определения.
65.Частота случайного события. Статистическая вероятность.
66.Теорема сложения вероятностей.
68
67.Независимые события. Условная вероятность. Теорема умножения
вероятностей.
68.Формула полной вероятности.
69.Формула Байеса.
70.Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли.
71.Предельная теорема Пуассона.
72.Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
73.Наивероятнейшее число наступлений в схеме Бернулли.
74.Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной
вероятности в независимых испытаниях.
75.Случайная величина и закон ее распределения.
76.Функция распределения и ее свойства.
77.Плотность распределения и ее свойства.
78.Математическое ожидание и его свойства.
79.Дисперсия, квадратическое отклонение и их свойства.
80.Равномерное, биномиальное, показательное распределение случайных
величин.
81.Нормальный закон распределения и его параметры.
82.Дискретная случайная величина.
83.Генеральная и выборочная совокупность. Эмпирическая функция
распределения.
84.Статистический ряд. Гистограмма. Полигон частот.
11. Рейтинговая оценка по дисциплине
Распределение баллов по видам учебных работ
№
Наименование работ
п/п
Распределение
баллов
1
Теоретический материал:
40
2
Практические занятия
20
3
Индивидуальные домашние задания (РГЗ, рефераты и т.д.)
10
69
4
Посещаемость
5
Экзамен
30
ИТОГО
100+
Перевод баллов в пятибалльную шкалу
Отлично
85-100
Хорошо
71-84
Удовлетворительно
60-70
Неудовлетворительно
менее 60
Глоссарий
Алгоритм - (по лат. форме имени среднеазиатского математика аль-Хорезми
Algorithmi) система операций (напр. вычислений), применяемых по строго
определенным правилам, которая после последовательного их выполнения
приводит к решению поставленной задачи.
Вероятность
-
мера
достоверности
случайного
события
(число,
характеризующее степень возможности появления события).
Выборка - выборочной совокупностью (выборкой) называют совокупность
случайно отобранных объектов.
Высказывание - это языковое образование, в отношении которого имеет
смысл говорить о его истинности или ложности (Аристотель).
Гистограмма частот - ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников,
основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты
равны отношению ni / h (плотность частоты).
Генеральная (основная) совокупность - совокупность, объектов из которых
производится выборка.
Дискретная (прерывная) величина - случайная величина, которая принимает
отдельные возможные значения с определенными вероятностями.
70
Дизъюнкция (лат. disjunctio разобщение, различие) - логическое сложение.
Дискретная математика (конечная математика) - раздел математики,
занимающийся изучением свойств объектов конечного характера. К их числу
могут быть отнесены, например, конечные группы, конечные графы,
некоторые математические модели преобразователей информации.
Дискретный
вариационный
ряд
распределения
-
ранжированная
совокупность вариантов xi с соответствующими им частотами ni или
относительными частотами wi.
Дисперсия - наиболее употребительная мера рассеивания, т.е. отклонения от
среднего.
Закон
распределения.
Законом
распределения
случайной
величины
называется соотношение, устанавливающее связь между возможными
значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Импликация (логическое следование) (лат. implico
тесно связываю) -
высказывание, составленное из двух высказываний при помощи связки «если
..., то ...».
Инверсия (лат. inversio
переворачивание; перестановка) - нарушение
нормального порядка двух элементов в перестановке.
Интервальный вариационный ряд - упорядоченная совокупность интервалов
варьирования значений случайной величины с соответствующими частотами
или относительными частотами попаданий в каждый из них значений
величины.
Испытание -
наблюдение явления, опыт, эксперимент, которые можно
провести многократно.
Конъюнкция (лат. conjunctio союз, связь) - логическое умножение.
Комбинаторика - раздел математики, изучающий дискретные объекты,
множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисление элементов)
и отношения на них (например, частичного порядка).
71
Кортеж - конечная последовательность (допускающая повторения) элементов
какого-нибудь множества.
Логическая функция - это функция, в которой переменные принимают только
два значения: логическая единица или логический ноль.
Логическое выражение - это символическая запись высказывания, состоящая
из
логических
величин
(констант
или
переменных),
объединенных
логическими операциями (связками).
Математическое ожидание
дискретной случайной величины - сумма
произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Математическая логика - изучает вопросы применения математических
методов для решения логических задач и построения логических схем,
которые лежат в основе работы любого компьютера.
Множество - под множеством понимают объединение в одно целое объектов,
связанных между собой неким свойством.
Непрерывная величина - случайная величина, которая может принимать все
значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Объем совокупности (выборочная или генеральная) - число объектов этой
совокупности.
Перестановка — это упорядоченный набор чисел обычно трактуемый как
биекция на множестве , которая числу i ставит соответствие i-й элемент из
набора. Число n при этом называется порядком перестановки. Число всех
перестановок порядка n равно факториалу
Понятие - это форма мышления, которая выделяет существенные признаки
предмета или класса предметов, отличающие его от других. Например,
компьютер, человек, студенты.
Простое высказывание - повествовательное предложение, относительно
которого имеет смысл говорить, истинно оно или ложно.
Равновозможные события - события называются равновозможными, если
есть основания считать, что не одно из них не является более возможным,
чем другое.
72
Размещения - размещениями из n элементов по m элементов (m < n)
называются комбинации, составленные из данных n элементов по m
элементов, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком
элементов.
Система счисления - (гр. systema (целое) составленное из частей; соединение)
это способ представления чисел и соответствующие ему правила действий
над числами.
Сложные (составные) высказывания - представляют собой набор простых
высказываний (по крайней мере двух) связанных логическими операциями.
Случайная величина - величина, которая в результате испытания примет
случайно одно и только одно значение из множества возможных значений.
Случайное событие - подмножество исходов случайного эксперимента; при
многократном повторении случайного эксперимента частота наступления
события служит оценкой его вероятности.
Событие - результат, исход испытания.
Совокупность - cочетание, соединение, общий итог чего-нибудь.
Сочетания - сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных
из данных n элементов.
Способы выборки - При составлении выборки можно поступать двумя
способами: после того как объект отобран и над ним произведено
наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную
совокупность. В соответствии со сказанным выборки подразделяют на
повторные и бесповторные.
Статистические данные - данные, полученные в результате обследования
большого числа объектов или явлений.
Статистическое
распределение
выборки
-
перечень
соответствующих им частот или относительных частот.
73
вариантов
и
Суждения - это форма мышления, в которой утверждается или отрицается
связь между предметом и его признаком, отношения между предметами или
факт существования предмета и которая может быть либо истинной, либо
ложной.
Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности
случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и
операции над ними.
Теория множеств - занимается изучением свойств как произвольных
множеств, так и множеств специального вида независимо от природы
образующих их элементов.
Умозаключение - прием мышления, позволяющий на основе одного или
нескольких суждений-посылок получить новое суждение (знание или вывод).
Формальная логика - наука о формах и законах мышления. Законы логики
отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов
окружающего мира. Логика как наука позволяет строить формальные модели
окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны.
Эквивалентность
-
логическое
тождество,
равнозначность,
взаимная
обусловленность.
ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ В РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ
за ____________/____________ учебный год
В рабочую программу вносятся следующие дополнения и изменения:
74