лекции 1-9

Лекция 1. Уравнения Максвелла и материальные уравнения для сплошных сред. Тензора
диэлектрической, магнитной проницаемостей и тензор проводимости. Понятие о временной
и пространственной дисперсии.
Электромагнитное поле в веществе полностью описывается микроскопическими
уравнениями Максвелла:


1 Bm
rotEm  
,
c t

divBm  0
(1)


1 Em 4 
rotBm 

jm ,
c t
c

divEm  4m
(2)
Первая пара уравнений Максвелла не содержит источников, тогда как вторая пара содержит
источники поля: объемную плотность заряда и объемную плотность тока. Нижние индексы
говорят о том, что это микроскопическое (истинное) значение поля. Плотность заряда и в

плотность тока  m , jm включают все заряды:

 
1
ek  r  rk t 

V 0 V 
rk V
 
  
1
jm r , t   lim
ek vk  r  rk t 

V 0 V 
rk V
 m r , t   lim
(3)
(4)
Система уравнений (1-4) неполная, для полноты следует добавить уравнения движения:


dpk
e  
 ek E m  k vk , Bm
dt
c






(5)
Здесь vk  vk t , pk  pk t  скорость и импульс k -ой частицы. Задача, таким образом,
заключается в самосогласованном решении уравнений (1-5), нахождении полей и траекторий
частиц. При квантовом описании системы уравнения (3-5) должны быть заменены на
соответствующие квантовые уравнения.
Очевидно, что такой подход может быть полезен только для вакуума и для небольшого
числа зарядов. Если же перед нами стоит задача рассмотрения электромагнитных явлений в
веществе, то из-за макроскопического числа частиц (порядка 10 23 см 1 ) задача становится
непреодолимо сложной. Но даже в том случае, если бы мы смогли преодолеть все трудности
описания огромного числа частиц и вычислить микроскопические электрическое и магнитное
поля, эту информацию трудно было бы использовать. Действительно, эти поля настолько быстро
меняются в пространстве и во времени, что измерительные приборы будут давать не истинные
значения поля, а скорее некоторые усредненные значения. Чтобы получить эти усредненные
поля необходимо проделать дополнительные вычисления. Подобную ситуацию мы встречали при
переходе от классической механики к молекулярно-кинетической теории (термодинамике), в
механике сплошных сред. В таких случаях, когда задача кажется невообразимо сложной, физики
отказываются от детального описания, и вводят усредненные величины, которые в
действительности проявляются при измерениях. При этом от уравнений (1-5) следует перейти к
уравнениям для усредненных величин. Термин усреднение в данном случае означает следующее.
В силу того, что мы отказываемся от детального описания системы заряженных частиц,
электрическое и магнитные поля, плотности заряда и плотности тока следует рассматривать как
случайные величины (случайные процессы). С этими терминами мы скоро познакомимся при
изучении теории вероятностей. Процедура усреднения заключается в умножении на функцию
распределения и в последующем интегрировании (так вы определяли среднюю скорость
движения молекул с помощью распределения Максвелла по скоростям). Это усреднение
называют статистическим. Часто его заменяют усреднением по физически бесконечно малым
объемам и промежуткам времени (усреднение Лоренца). Его обозначают угловыми скобками, и
заключается оно в следующем

f r , t  

1
t  V
  f r , t dVdt
(6)
 t V
Почти очевидно (и это нетрудно доказать), что операция (6) коммутирует с операцией
дифференцирования по координатам и времени
f


f ,
xk
xk
f


f
t
t
(7)
Тогда применяя это усреднение к уравнениям (1-5) получаем


1  Bm
rot E m  
,
c t


1  Em
4
rot Bm 

c t
c


d pk
e 
 ek Em  k vk ,
dt
c


jm ,

Bm

div Bm  0
(8)

div E m  4  m
(9)

(10)
При усреднении уравнения (5) мы считали скорость частицы постоянной (что можно делать, если
усреднение идет по малому промежутку времени). Уравнение (10) позволяет интерпретировать


E  E m как напряженность макроскопического электрического поля в среде (она дает силу со


стороны электрического поля обычным умножением на заряд). Точно также B  Bm есть
индукция макроскопического магнитного поля в среде. Далее представим плотности как
m  i   ,

 
jm  ji  j
(11)
где величины с индексом i означают индуцированные, а без индекса сторонние плотности. Тогда
уравнения Максвелла приобретают вид:


1 B
rotE  
,
c t
 1 E 4  
rotB 

ji  j ,
c t
c



divB  0
(12)

divE  4  i   
(13)

Система уравнений (12-13) содержат 4 неизвестные функции  i , ji , поэтому она незамкнута. Но
если добавить материальные уравнения
i  i E, B,
 

   
ji  ji E, B

(14)
то система становится замкнутой. Заметим, что на самом деле неизвестных функций только 3, так
как выполняется уравнение непрерывности

 i
 div ji  0
t
Уравнения (12-14) описывают произвольные электромагнитные процессы в сплошной среде. Это
одна из допустимых форм уравнений Максвелла в среде. Но гораздо чаще встречается другая
форма этих уравнений, с которой мы уже встречались ранее. Для того, чтобы показать каким
образом эта форма уравнений возникает, введем вспомогательный вектор соотношением

 i  divP . Тогда из (13) получаем





div E  4P  4  divD  4
(15)
Далее из (13) имеем






 1  D  4P 4   1 D 4   4 P 4  
rotB 

ji  j 

j  

ji 
c
t
c
c t
c
c

t
c




(16)
Так как дивергенция от выражения в квадратной скобке равна нулю в силу закона сохранения
индуцированного заряда


 4 P 4   4   i
div 

ji  

div
ji   0
c  c  t

 c t
То можно считать, что


 4 P 4  
 c t  c ji   4 rotM



где M новый вспомогательный вектор. Тогда из (15) получаем




 1 D 4 
1 D 4 
rot B  4M 

j  rotH 

j
c t
c
c t
c


(17)
Итак, мы получили уравнения


1 B
rotE  
,
c t

 1 D 4 
rotH 

j,
c t
c

divB  0

divD  4
(18)
Здесь электрическое смещение (индукция электрического поля) и напряженность магнитного
поля равны
 

D  E  4P ,
 

H  B  4M
(19)
А материальные уравнения записываются в виде


 

   
 
D  D E, B  D E ,
Отметим
неоднозначность
  
   
 
B  B E, B  B H
в
определении
 
P, M связаны следующим соотношением
вспомогательных
(20)
 
векторов P, M .

 P

ji  c  rotM 
t
Вектора
(21)
Отсюда видно, что преобразование





 1 X
P  P  rotX , M  M 
c t
(22)
не меняет индуцированные заряды и токи. Поэтому выбор вспомогательных векторов

неоднозначен. Можно показать, что вспомогательный вектор P есть дипольный момент


P
единицы объема. Сложнее обстоит дело с вспомогательным вектором M . При
 0 или при
t



P
вектор M имеет смысл магнитного момента единицы объема. Но в общем это не
c  rotM 
t
так. Эту неоднозначность можно использовать следующим образом (что чаще всего делают при
рассмотрении высокочастотных явлений). Выберем




 P
  
D E
M  0  ji 


 4ji , B  H
t
t
t
(23)
При этом требуется единственное материальное уравнение



     
ji  ji E, B  ji E
(24)
Итак, мы привели два вида уравнений Максвелла и материальных уравнений для
сплошной среды: уравнения (12-14) и уравнения (18,20). Обсудим теперь подробнее конкретный
вид материальных уравнений. Наиболее общий вид линейной формы материальных уравнений
таков (нелинейная форма материальных уравнений - отдельная тема)

 


D r , t      r , r , t , t E  r , t dr dt 

 


j r , t      r , r , t , t E  r , t dr dt 

1  
r , r , t, t B r , t dr dt 
H  r , t    
(25)
В этих формулах учтены пространственная и временная нелокальность, неоднородность, и
1
анизотропия. Отметим следующие свойства ядер этих интегралов   ,   , 
(на примере   ,
другие два ядра обладают теми же свойствами).
 
а)   r , r , t , t   0 при t  t 
(будущее не влияет на прошлое, причинность).

 

б)   r , r , t , t   0 при r  r   c t  t  (конечность скорости распространения взаимодействия).
 

 
 

в)   r , r , t , t     r  r , t , t  для однородных сред (нет выделенной точки).
г)   r , r , t , t     r , r , t  t  для стационарных сред (нет выделенного момента).
То есть для однородной, стационарной среды формулы (25) принимают вид

 


D r , t      r  r , t  t E  r , t dr dt 
Интегральные формулы подобного вида называют свертками, и их удобнее записывать в
представлении Фурье




dk dt
f r , t    f k ,  exp ik r  i t
2 4
  

(26)
Так как фурье-образ от свертки с точностью до коэффициента равен произведению Фурьеобразов, то
 
 
 
   
   
   



D k ,     k ,  E  k , 



j k ,     k ,  E  k , 



1
H  k ,   
k ,  B k , 
(27)
Здесь
 






  k ,       ,  exp  ik   i d d
1
и аналогично для   , 
. Проделать выкладки на семинаре или дома. Тензора   ,   , 
называются тензорами диэлектрической проницаемости, проводимости и магнитной
проницаемости соответственно. Тензора   ,   ,  содержат всю информацию об
электромагнитных свойствах среды. Их вычисление не является предметом электродинамики
сплошных сред. В электродинамике сплошных сред они рассматриваются как данные (известные)
функции, а исследуются различные электромагнитные процессы (распространении волн,
возникновении токов, рассмотрении различных эффектов). Расчет же тензоров – это предмет
теоретической физики твердого тела. В последующем мы будем придерживаться именно такой
точки зрения, иногда поясняя физические соображения приводящие к тем или иными видам
указанных тензоров.
Рассмотрим теперь понятия временной и пространственной дисперсий. Посмотрим на
уравнения (25). Функции в левой части в момент времени t зависят от значений полей в правой
части во все предыдущие моменты времени. Запаздывание реакции среды на действующие в
среде поля называют временной дисперсией. Временная дисперсия приводит к частотной
 

зависимости тензора диэлектрической проницаемости   k ,  . Если, запаздывания нет, то нет и
зависимости от частоты
  t  t       t  t           const
По этой причине временную дисперсию называют также частотной дисперсией. При каких
условиях можно пренебречь временной дисперсией? Ответ почти очевиден: временной
дисперсией можно пренебречь, если характерное время изменения поля много больше
характерного времени установления равновесия в среде T   . Под значением  можно
понимать, например, время свободного пробега электронов. Аналогично, пространственной
дисперсией называют зависимость левых частй (24) в некоторой точке пространства, от значения
полей в других точках пространства. Пространственная дисперсия – это нелокальность тензоров в
координатном пространстве. Пространственная дисперсия приводит к зависимости тензоров

  ,   ,  от волнового вектора k . В случае локальности имеем






  r  r       r  r     k     const
Пространственной дисперсией нельзя пренебрегать, если рассматриваем поля с характерным
пространственным масштабом, сравнимым или с меньшим, чем характерный размер среды
(например, расстояние между атомами, или размер неоднородностей).
Лекция 2. Общие свойства тензоров проницаемостей и проводимости. Принцип симметрии
Онзагера. Связь симметрии среды с видом тензоров проницаемостей и проводимости.
Гиротропные и негиротропные среды. Принцип причинности и соотношение Крамерса-Кронига.
Связь тензоров с обычными диэлектрическими, магнитными проницаемостями, с
проводимостью.
Основным результатом прошлой лекции была следующая, наиболее часто используемая
форма уравнений Максвелла для сплошной среды


1 B
rotE  
,
c t

 1 D 4 
rotH 

j,
c t
c

divB  0
(1)

divD  4
(2)
где индукции электрического и магнитного плей связаны с напряженностями формулами
 

D  E  4P,
 

B  H  4M
(3)
А линейные материальные уравнения в фурье представлении имеют вид
 
 
 
   
   
   



D k ,     k ,   E k , 



1
H  k ,   
k ,   B k , 



j k ,     k ,   E k , 
(4)
(5)
(6)
1
Для краткости будем называть тензора   , 
,   как в координатном, так и в фурье-
представлении материальными тензорами. Рассмотрим их свойства. Рассмотрение начнем с
обсуждения их комплексных свойств. Для краткости будем рассматривать тензор
диэлектрической проницаемости (о магнитной проницаемости и проводимости смотри ниже).
 
Диэлектрическая проницаемость в координатном представлении   r  r , t  t  действительна,
так как связывает две действительных величины. Следовательно,
 






  k ,       ,  exp  ik   i d d
(7)
является комплексной функцией и должна удовлетворять условию
 



*
 
k ,      k ,

(8)
Если в тензоре диэлектрической проницаемости выделить действительную и мнимую части
 

 
 


 k ,   i 
 k , 
  k ,    
то получим соотношения
 




 



 k ,    
  k , ,  
 k ,    
  k ,
 

(9)
В частности, при отсутствии пространственной дисперсии (отсутствует зависимость от волнового

вектора k ), то действительная часть должна быть четной функцией частоты, а мнимая часть
   


1
нечетной. Аналогичными свойствами должны обладать тензора 
k ,  ,   k ,  .
Другим важным тензорным свойством является следующее свойство симметрии тензора
диэлектрической проницаемости, которое следует из симметрии уравнений движения
относительно обращения времени,
 



  k ,      k , 

(10)
Это соотношение называют принципом симметрии Онсагера. При наличии магнитного поля
принцип симметрии Онзагера выражается соотношением







  k , , B     k , , B

(11)
Важным вопросом является вопрос: как симметрия кристалла сказывается на симметрии
физических свойств кристалла (в частности на виде материальных тензоров). Ключом к этому
вопросу является фундаментальный принцип кристаллофизики, известный как принцип Неймана:
Элементы симметрии любого физического свойства кристалла должны включать элементы
симметрии кристалла. Подчеркнем, что принцип Неймана не утверждает, что симметрия
структуры кристалла и симметрия его физических свойств совпадают (на самом деле симметрия
физических свойств может быть шире, чем группа симметрии структуры кристалла. Например, для
кристалла с кубической симметрией, тензора второго ранга, описывающие физические свойства,
должны иметь вид
     
то есть не должен меняться при любых преобразованиях системы координат, а не только при
преобразованиях симметрии куба.
Рассмотренные свойства симметрии могут комбинироваться и при водить к новым
свойствам и понятиям. Например рассмотрим среду, которая имеет центр симметрии (то есть


преобразование
r  r является преобразованием симметрии). Это означает, что
 
k ,k эквивалентны, то есть
 



  k ,      k , 

(12)
что вместе с (10) дает
 

 

  k ,     k , 
(13)
Такая среда называется негиротропной средой. Если же в среде есть хотя бы одно направление


k , не эквивалентное  k , то вместо (13), получим
 

 

  k ,     k , 
(14)
Такая среда называется гиротропной. Заметим также, что условие (13) следует из принципа
симметрии Онзагера, при отсутствии пространственной дисперсии. Это означает, что
гиротропными могут быть только среды с пространственной дисперсией. Все сказанное о тензоре
 

   


1
  k ,  , относится и к материальным тензорам 
k ,  ,   k ,  .
Перейдем к выводу свойства, которое является следствием принципа причинности
(соотношений Крамерса-Кронига). На первой лекции, когда мы записывали наиболее общее
линейное соотношение между напряженностью и индукцией электрического поля, мы упоминали
принцип причинности: значения индукции в момент времени t могут зависеть от значения
напряженности только в более ранние моменты времени. На самом деле принцип причинности
вместе с конечностью скорости распространения взаимодействия приводит к еще более сильному
утверждению (для однородных сред)
 
 
 r  r , t  t   0, t  t   0 or t  t   0, r  r   ct  t 
(15)
Рассмотрим среду без пространственной дисперсии, то есть зависимость от координат локальная
 
  r  r  . Тогда уравнение (15) вместе с определением (7) дает

          exp i d
(16)
0
Эта формула отличается от обычного преобразования Фурье отсутствием множителя 1 2 и
интегрированием только по положительным временам. Далее для простоты будем опускать
индексы (можно сказать, что рассматриваем изотропный случай) и запишем (16) в виде


0
0
    1         exp i d  1  4    exp i d
где функция    
(17)
      
описывает поляризуемость среды
4




D t   E t 
P t  
   t  t E t dt 
4
t t 
(18)
Поляризуемость, по сравнению с диэлектрической проницаемостью, обладает тем
преимуществом, что она конечна и непрерывна (это следует из физических соображений) для
любых  . Тогда как    содержит особый вклад    . Для функции    из (17) имеем

        exp i d
(19)
0
Еще одно важное свойство    состоит в том, что     0 при    . Действительно,
значение поляризации в данный момент не должно зависеть от того, что происходило бесконечно
“давно”, так как время релаксации среды конечно. Выразим перечисленные свойства    через
свойства фурье-образа    :


0
0
        i  ,        cos  d ,        sin  d
(20)

 0      d  ,  0  0
(21)
0
    0,
    0
(22)
(объясните каждое из этих равенств). Отметим также, что (21) для проводников не выполняется.
Теперь рассмотрим функцию  z  как функцию комплексной переменной z  x  iy . Из
свойства причинности (смотри (19)) следует, что эта функция аналитическая в верхней
полуплоскости y  0 . Представим ее в виде суммы действительной и мнимой частей


 z      exp iz d     exp ix exp  y d  u  iv
0
0


ux, y       cosx  exp  y d , vx, y      sin x  exp  y d
0
(23)
0
Проверьте условия Коши –Римана (интегрировать можно сходящиеся интегралы, а это следствие
причинности). Поэтому и аналитичность есть следствие причинности. Итак,  z  аналитична, и
кроме того
 z   0 при z  0 .
Вычислим интеграл (далее действуем как при выводе
интегральной формулы Коши в ТФКП):
 z 
 z   dz 
 r

R
 x 
 x 
 z 
 z 
dx  
dx  
dz  
dz  0 
x 
x 
z 
z 
r
CR
cr
R
 x 
   rei  i
1
 x 
dx  lim 
re id      v. p. 
dx
i

r0
x


re
i

x







0
0  v. p. 
(24)
Буквы перед интегралом v. p. означают , что этого интеграл в смысле главного значения. А из (24)
имеем
 x 
    v. p. 
dx,

x 

1

 x 
     v. p. 
dx

x 

1

(25)
Эти соотношения называют соотношениями Крамерса-Кронига: они связывают действительную и
мнимую части поялиризуемости. Запишем их в следующем виде
    1 
1

 x 
dx,
x 


v. p. 
    
1

 x   1
dx
x 


v. p. 
(26)
Соотношения (25 или 26) называют соотношениями Крамерса-Кронига. Как отмечалось выше
условия (21) для металлов не выполняются. Действительно, для металла диэлектрическая
проницаемость вводится следующим образом


 

 
D
D

 4j  iD k ,   4j k , 
t
t
 
    
 
 

 
 
4 i  
4 i
D k ,   k , E k , 
E k ,   ~   

(27)

где ~ называется обобщенной проницаемостью (имеет полюс при   0 ). Учитывая (27) и (26)
получаем форму соотношений Крамерса –Кронига, применимую для металлов (при наличии
проводимости):
 x 
    1  v. p. 
dx,

x 

1

    
1

 x   1
4
dx 
x 



v. p. 
Из обобщенной проницаемости выделяем особую мнимую часть
4 i
(26), а затем возвращаем особую часть (часть с полюсом при   0 ).

и для остатка получаем
Лекция 3. Энергия электромагнитного поля в среде с дисперсией. Нормальные
электромагнитные волны в среде с дисперсией, дисперсионное уравнение. Правые и левые
среды. Электрические свойства диэлектриков. Положительный знак статической
электрической восприимчивости диэлектриков. Микроскопические модели диэлектриков.
Вопрос об энергии и импульсе электромагнитного поля в среде не является тривиальным.
Дело в том, что в среде постоянно происходит обмен энергией и импульсом между
микроскопическим электромагнитным полем и частицами среды, и вопрос фактически
заключается в том, что отнести к макроскопическому полю, а что к среде. Итак, электромагнитное
поле может передавать энергию частицам среды, а те, в свою очередь, порождать поле, то есть
возвращать энергию полю. Провести границу здесь очень сложно. Но часть энергии поля,
полученная частицами может переходить другим степеням свободы, от которых она полю не
возвращается. Так энергия может превращаться в тепло (хаотическое движение частиц среды), то
есть диссипировать. Эта часть электромагнитному полю не возвращается. Поэтому вычисление
диссипируемой энергии достаточно просто. Покажем как она может быть вычислена. Работа,
совершаемая электромагнитным полем в единице объема и в единицу времени равна
   

d2A  
dA
 j0 E 
  j0 r , t E r , t dr
dVdt
dt
(1)
Вся эта работа работа превращается в тепло, если амплитуды полей поддерживатся постоянными
(а на это указывает индекс ноль у плотности тока). Следовательно, для усредненной по периоду
потери энергии имеем
   
   


dW
dA
dW

   j0 r , t E r , t dr  Q 
   j0 r , t E r , t  dr
t
dt
dt
dt
(2)
где
T
... t 
1
...dt
T 0
Подставим в (2) выражение для плотности тока

 1 D 

c 
 rotH 

j0 
4 
c t 
и получим

 1  D
 
c
Q
dr E  rotH  E
4 
c t

t


  1  D
 
c
Q
dr H  rotE  div EH  E

4 
c t t


 1

 D  1
 B 
Q   div EH dS 
E
dr 
H
dr


t
4


t
4


t
S
V
V
t
t
 
 
Все три слагаемых в формуле (3) имеют ясную интерпретаци: какую? Рассмотрим часть
1
QE 
4

V

  Dr, t  
E r , t 
dr
t
t
Считая поле монохроматическим, получаем
(3)



 
 
 
 
1  
1  
E r , t   E r ,  e i t  E  r ,  e i t , D r , t   D r ,  e i t  D  r ,  e i t
2
2




 



i
QE 
dr E r ,  D r ,    E  r ,  Dr ,   

16 V

QE 


    
i
r , r ,      r, r,  E r,  E r,  
dr dr  

16 V
(4)
Аналогично для магнитной части диссипации получаем
QH 
    
i
r , r ,     r, r,  H r,  H  r,  
dr dr 

16 V
(5)
Из (4,5) видно, что диссипация обусловлена неэрмитовой частью тензоров проницаемостей.
Частные случаи этих соотношений рассмотрим на семинаре. Вывод выражения для плотности
энергии электромагнитного поля значительно сложнее. Если он нам потребуется в будущем, то
мы рассмотрим этот вывод подробно. А пока перейдем к рассмотрению вопроса о волнах в
материальной среде.
Хорошо известно, что в вакууме возможно существование свободных (то есть без
источников) электромагнитных волн. Такие свободные волны могут существовать и в сплошных
средах. Их называют собственными или нормальными электромагнитными волнами. Благодаря
взаимодействию со средой свойства таких волн могут сильно отличаться от свойств волн в
вакууме (и речь идет не только о том отличии, которое мы уже рассматривали: другая скорость,
затухание).
Более того в средах могут существовать принципиально новые типы
электромагнитных волн, аналогов которых в вакууме нет. При рассмотрении вопроса о
нормальных электромагнитных волнах удобно использовать указанную в первой лекции
 

неоднозначность введения вспомогательных векторов P, M . А именно положим M  0 .
уравнения (11,12) лекции 1 дают


1 B
rotE  
,
c t

 1 D
rotH 
,
c t

divB  0
(6)

divD  0
Считая звисимость от времени и координат гармонической



   
E , H , D, B  exp ik r  i t ,
получаем уравнения для амплитуд
kE   c B, kB   0, kH    c D , kD   0
(7)
И материальные уравнения в операторном виде
D    E  , B   H 
Из (7) получаем (получить на семинаре)
Тогда
(8)


2
 k k   k 2   2     E  0
c


(9)
Условие существования ненулевого решения есть


2
det  k k   k 2  2      0
c


(10)
В другой форме аналогичное условие принимает вид (получить его заметно проще)
 
 

2
 k k   k 2  2 ~ k ,   E  0
c


 

2
det  k k   k 2  2 ~ k ,    0
c


(11)
 
(12)
 

где ~ k ,  - обобщенная диэлектрическая проницаемость. Задача нахождения волн различных
типов сводится к решению алгебраического уравнения (10 или 12) относительно  , затем к
решению систем (9 или 11). Обычный путь нахождения собственных значений и собственных


векторов. Зависимость  k

или k   называется законом дисперсии плоских нормальных
электромагнитных волн. В силу этого уравнения (10 или 11) называют дисперсионным
уравнением.
Для изотропной среды решения есть k 2 
2
c2
 
2
c2
n и только поперечные волны
(покажите это на семинаре или дома). Из данного простого закона дисперсии видно, что
одновременная замена знаков  ,  не показателя преломления. То есть в среде с   0 и   0
могут распространяться плоские незатухающие волны как и в среде с положительными
проницаемостями.
В чем же тогда отличия сред с одновременно отрицательными
диэалектрическими и магнитными проницаемостями? А различия заключатся в следующем. Вопервых, посмотрите на уравнение (одно из уравнений Максвелла для амплитуд)
kE   c B  c H
  
Из него видно, что для   0,   0 тройка векторов k , E , H -правая, а для   0,   0 она левая.
По этой причине среды с   0,   0 называют левыми средами. В природе естественных
материалов с   0,   0 вероятно не существует (пока не найдено). Но искуственно такие
материалы (диэлектрики с включением металлических частиц определенной форму) были
получены.
Важность и весьма необычные приложения левых сред можно увидеть из следующей
задачи. Рассмотрим прохождение плоской волны из одной среды в другую (с резкой границей).
Как вы знаете должны выполняться граничные условия
E 1  E 2 ,
H 1  H 2
(13)
1En1   2 En 2 ,
1H n1  2 H n 2
(14)
Из этих равенств следует, что при прохождении волны из правой среды в левую закон
преломления должен отличаться от обычного (луч идет в другой половине вертикальной
полуплоскости).
Такой закон преломления дает возможность для создания плоскуих собирающих линз (без всяких
недостатков, свойственных сферическим линзам):
Какие необычные физические явления с участием левых сред Вы придумаете сами?
 

Теперь рассмотрим свойства решений уравнения (12). Так как ~ k , 

чаще всего
 
величина комплексная, то и решения уравнения  k , k   будут комплексными. Существует два
вида экспериментальных ситуаций. В первой из них действительным является волновой вектор

k . Например рассматривается электромагнитное поле в резонаторе и используются
периодические граничные условия. Тогда, комплексное решение уравнения (12) записываем в
виде     i . Это означает, что зависимость амплитуд от времени имеет вид
 exp  it  t  . Так как для равновесной среды нарастание поля невозможно, то следует
отбирать корни с   0 . Если же среда неравновесна, то поле может поглощать энергию
предварительно сообщенную среде, и нарастать. Этому соответствует решения с   0 . Другая
типичная ситуация, характерна для оптики. В этой ситуации, постоянной и вещественной является
частота (например волна, падающая на среду). Тогда комплексным является волновой вектор


k   ik  . Тогда зависимость от координат имеет вид  exp ik z  k z  . Действительная часть
волнового вектора определяет длину волны  
проникновения L 
2
, а мнимая часть определяет глубину
k
1
. Заметим также, что комплексные волновые вектора могут получиться и
k 
при действительной диэлектрической проницаемости.

 ~

n , где s c
В оптике часто вводят показатель преломления соотношением k  s
единичный вектор в направлении волнового вектора. Подставив это в уравнение (12), получаем



det     s s n~ 2  ~ s n~,     0 
 c





n~l , s   nl , s   i l , s , l  1,2...
(15)
Отсюда нетрудно получить, что

c
c
v phase  s , L 
n

То есть решения уравнения (15) определяют фазовые скорости и глубину затухания
электромагнитных волн. Амплитуды волн для каждого решения (15) могут быть найдены
решением системы (11), которая через показатель преломления записывается так

 

2
   s s  n    s c n,    E  0



(16)
Итак, мы рассмотрели уравнения электромагнитного поля в сплошной среде, общие
свойства материальных уравнений, а также вопросы диссипации энергии и распространения волн.
Заметим, что общие свойства материальных уравнений (или материальных тензоров) конечно
сужают их возможный вид, но не определяют его однозначно. Для лпределения конкретного вида
материальных тензоров необходимо сделать некоторые предположения о структуре
рассматриваемого вещества. Как говорят надо выбрать модель вещества. Следующий большой
блок вопросов, который мы рассмотрим будет связан с конкретными моделями
электромагнитных свойств различных веществ и рассмотрением конкретных электромагнитных
явлений в рамках этх моделей. При этом, как я уже отмечал раньше, материальные тензора
вычисляются на основе квантовомеханических, статистических моделей, и это задача
теоретической физики твердого тела. Но для начала мы, там где это будет возможно, ограничимся
классическими моделями.
Рассмотрение начнем с класса веществ, которые называют диэлектриками.
Диэлектриками называют вещества, которые не проводят электрический ток. Их разбивают на два
вида полярные (молекулы имеют дипольный момент в отсутствии внешнего электрического поля)
и неполярные (молекулы приобретают дипольный момент, только под действием внешнего
электрического поля). Сначала рассмотрим случай неполярных диэлектриков. То, что диэлектрики
не проводят электрический ток, означает, что все заряженные частицы связаны друг с другом,
причем для неполярных диэлектриков центры распределения положительных и отрицательных
зарядов совпадают друг с другом. Модель таких связанных зарядов описывается уравнением
mr  eE  kr   r
(17)
Это уравнение Ньютона для пары разноименно заряженных частиц, связанных гармоническим
потенциалом. Последнее слагаемое в правой части, учитывает релаксацию колебаний частиц друг
относительно друга. Если внешнее поле гармонически зависит от времени E  t   E0eit , то
решение уравнения (17) равно
r  t   
E t 
e
 2 2
m   0  i
(18)
Отсюда имеем

4 Ne2 / m 
P  Ner  D     E  E  4 P  1  2
 E 
2
   0  i 
 p2
4 Ne 2 / m
4 Ne 2
k
2
    1  2
 1 2
, p 
, 02 
2
2
  0  i
  0  i
m
m
(19)
С этим выражением мы уже встречались. Но его можно несколько обобщить, учитывая тот факт,
что каждой молекуле можно поставить несколько осцилляторов с своими частотами и
затуханиями
    1  
i
 p2 f i
,
 2  02i  i i
fi 
Ni
N
(20)
 p2
Выделите и постройте графики действительной и мнимой частей     1  2
.
  02  i
Найдите комплексный показатель преломления n       .
Если вы внимательно следили за выводом формул (19,20), то наверное обратили
внимание на то, что поле действующее на молекулу считалось равнам макроскопическому полю
(то есть усредненному по Лоренцу микроскопическому полю). Это справедливо, если молекулы
достаточно удалены друг от друга (как в газах). Но в жидкостях и твердых телах расстояния между
молекулами порядка их размеров, и в силу этого, эффективное поле, действующее на молекулу,
отнюдь не равно усредненному полю. Действительно, поляризованные молекулы должны также
давать вклад в это локальное поле. Для кристаллов с кубической симметрией или для изотропной
среды (жидкости) результат сводится к уравнению
Eloc  E 
4
P
3
(21)
Второй член в правой части называется поправкой Лоренц-Лоренца. Вводя поляризуемость
   
    1
4
(22)
получаем
4 

P     Eloc      E 
P 
3 

P
  
E   LL   E 
1   4 / 3   
 LL    1  4 LL    1 
4  
1   4 / 3   
Из (23) легко получаем формулу Лоренц-Лоренца
(23)
 p2 f i
 LL  1 4
1

      2
 LL  2 3
3 i   02i  i i
(24)
Найти сдвиг резонансной частоты из-за наличия поправки Лоренц-Лоренца.
Рассмотрим теперь полярный диэлектрик. Каждая молекула обладает исходным
дипольным моментом p0 , которые в отсутствие поля хаотически ориентированы, и дипольный
момент единицы объема равен нулю. При наличии внешнего поля возникает преимущественное
направление и дипольный момент единицы объема равен (при достаточно высокой температуре)
P0  0 E0 , 0 
Np02
3k BT
(25)
Пусть поле приложено в момент t  0 . Простейшее уравнение, которое описывает приближение
к состоянию с поляризацией (25) имеет вид
dP  t 
P  P0

dt

где  некоторый параметр. Отсюда находим уравнение Дебаевской релаксации
P  t   1  e  t /  P0
(26)
Так как
t
P  t      t  E0dt    t  
0

     dteit  t 
0
1 dP 0  t /
 e 
E0 dt

0
40
     1 
1  i
1  i
(27)
Последняя формула называется формулой Дебая. Построить действительную и мнимую части
диэлектрической проницаемости Дебая. Вывести формулу (25).
Лекция 4. Электрические свойства проводников. Закон Ома, модель Друде-Лоренца. Зонная
структура металлов, полуметаллов, полупроводников диэлектриков. Оптические свойства
проводников.
На прjшлой лекции мы начали рассмотрение микроскопических моделей
электромагнитных свойств сплошных сред. Были рассмотрены модели неполярных и полярных
диэлектриков. Для модели неполярного диэлектрика мы вывели выражение для диэлектрической
проницаемости (без поправки для локального поля)
    1  
i
 p2 f i
,
 2  02i  i i
fi 
Ni
N
(1)
где  p -плазменная частота, f i -силы осцилляторов, 0i ,  i -собственныя частоты и затухания
осцилляторов. С учетом поправки к локальному полю диэлектрическая проницаемость может
быть определена из формулы Лоренц-Лорентца:
 p2 fi
 LL    1
1
  2
 LL    2
3 i   02i  i i
(2)
В рамках модели полярного диэлектрика для диэлектрической проницаемости была получена
формула Дебая
    1 
4 0
1  i
(3)
Np02
Где  0 
, p0 - дипольный момент молекулы,  - время Дебаевской релаксации. Отметим,
3k BT
что в рамках нашего подхода параметры fi , 0i ,  i , рассматриваются как феноменологические.
Поэтому рассмотренные модели являются полуфеноменологическими. В настоящей
микроскопической модели они должны быть рассчитана, через фундаментальные константы.
Тема настоящей лекции электричекие свойства и микроскопические модели проводников.
Главной отличительной особенностью проводников является наличие подвижных носителей
заряда, которые и обеспечивают проводимость в большинстве проводников такими носителями
являются электроны (проводники первого рода). Далее мы ограничимся рассмотрением
проводников первого рода. Будем считать, что все электроны движутся независимо друг от друга
(модель свободных электронов) и их движение описывается классической механикой (квантовые
эффекты обсудим чуть позже). Так как все проводники (за исключением сверхпроводников)
обладают конечным сопротивлением, то мы также должны предположиить наличие
тормозящейсилы сопротивления. Эта силы возникает и-за потери импульса при рассеянии на
примесях, на фононах и друг на друге (последний механизм имеет место т.к. электроны обладают
не импульсом, а квазимпульсом). Учитывая сказанное модель можно описать уравнением
mr  eE   r
Как обычно, подставляем в (4) E  t   E  t   E0eit и получаем
eE  t 
Ne2 E  t 
r  t   
 P  t   Ner  t   
m 2  i
m 2  i
(4)
Отсюда получаем выражение

4 Ne2
D  E  4 P      1 
 1 2 p
2
m  i
  i
2
где  p 
(5)
4 Ne2

. Мы видим, что диэлектрическая проницаемость зависит от частоты,
,  
m
m
то есть иеет место частотная или временная дисперсия. На самом деле часть этой зависимости
связана не совсем с удачной величиной, которая характеризует реакцию проводника на внешнее
электрическое поле. Дело в том, что отклик проводника на внешнее электрическое поле боле
правильно характеризовать возникающим током.ю а не поляризацией.
j t  
t
   t  t E t dt  j     E

t
где        ei d . Так как j  t   Ner  t  

0
Ne2i
   

m  2  i 
Здесь параметр  
1

Ne2i
Ne2 / m   0 


1  i
 i  1  i
m 1  
 

(6)
имеет размерность времени и имеет смысл времени свободного пробега.
Рассмотренная модель еазывается мделью Друде-Лоренца, соотвественно формула (6) (а иногда
и (5)) также называься формулами Друде-Лоренца. Из (6) видно, что проводимость при
  0 стремится к кончному пределу (к статической проводимости
 0    0 
Ne2
m
(7)
Зависимость диэлектрической проницаемости от частоты возникает, по той простой причине, что
при постоянном токе заряд накпливается на границах проводника. Сравнивая (5,6) , получаем
    1 
4 i
(8)

то есть дает выражение для обобщенной проницаемости (смотри лекция 1). Если в проводнике,
помимо свободных электронов есть еще и связанные, то формула (8) заменится на следующую
       
4 i

(9)
Рассмотрим вопрос о характерных значениях параметров модели. В качестве проводника
(или металла) рассмотрим медь. В гауссовой системе единиц статическая проводимость меди при
комнатной температуре (посмотрите таблицу в любом справочнике физических свойств) равна
 0  5  1017 c 1 . Если считать, что каждый атом меди дает один свободный электрон
проводимости, то N 
N A  6  1023  8.94

 8.5  1022 cm 3 . Тогда из формулы (7) получаем
m
64
оценку   2  1014 c . С пронижением температуры время свободного пробега увеличивается При
низких температурах длина свободного пробега электронов в меди может достигать 105 и
больше межатомных расстояний. И здесь мы сталкиваемся с одной из проблем классической
модели Друде-Лоренца: почему свободные электроны так редко взаимодействуют с атомами
решетки!?
Перейдем к обсуждению полупроводников. Проводимость различных полупроводников и
даже одного и того же полупроводника может сильно меняться в зависимостим от температуры и
наличия
определенных
примесей.
Типичные
пределы
изменения
 0  1014  103 c 1 .
Экспоненциальное уменьшение проводимости с понижением температуры является характерным
свойством полупроводников, отличающих их от металлов. Эти особенности полупроводников,
также как и отмеченный выше удивительный факт слабого взаимодействия электронов с атомной
решеткой металламогут быть объяснены только в рамках квантовй теории. Согласно квантовой
механике электроны (как квантовые частицы) в некотором отношении ведут себя как волны. Но
волны могут распространяться по периодической структуре без рассеяния (точнее волны
рассеянные на отдельных элементах периодической структуры интерферируют, что приводит
почти к полному восстановлению волны. Можно сказать, что электрон-волна не замечает
периодической структуры металла, а рассеивается только на отклонениях от периодичности:
примеси, фононы и т.д.
Далее, вышеупомянутая интерференция возможна (в зависимости от типа вещества) при
определенных условиях. Эти условия выражатся в том, что энергия распространяющихся волн
может принимать определенные разрешенные значения: зоны разрешенных значения. Далее
коротко описать зонную структуру металлов, полуметаллы,полупрводников и диэлектриков. Часто
зависимость энергии от квазиимпульса можно представить в виде (так как часто важен вид
 
зависимости  k вблизи экстремумов):
 
1  2

m p 2
2 2
k
p2
 k 

,
2m 2m
(10)
Величина m называется эффективной массой (может быть положительной или отрицательной).
Более того в анизотропном случае эффективная масса это тензор второго ранга
 1 
p p ,
 
 m 
  p  
 2
 1 

 
 m  p p
Число состояний в элементе фазового объема (одно состояние на  2
dxdydzdpx dp y dpz
 2 
3

dVd 3 p
 2 
3
(11)

3
):
(12)
Состояния заполняются по мере возрастания энергии. Подсчитаем число заполненных состояний
внутри сферы и введем понятие импульса Ферми (Ферми-сферы, Ферми поверхности):
dN  2V
4 p 2dp
 2 
3
n
pF3
3
2 3
 pF   3 2 3n 
1/3
(13)
Число состояний можно выразить и через энергию
dN
p 2dp  2m  
 2 3 
Vd  
2 3
3
1/2
 D  
(14)
Эта величина носит название плотности состояний. Она позволяет быстро рассчитать число
состояний в любом интервале энергий. В общем случае, когда температура не равна нулю следует
использовать выражение

n   D    f   d  ,
f   
0
1
   F
exp 
 kT
(15)

 1

Вычислить эти выражения в различных приближениях. В Больцмановском приближении
   F 
exp 
  1 получаем выражения
 kT 
   F
n  n0 exp   c
kT


,

  p 
p  n0 exp   F
,
kT 

1/2
n0 
1  2mn kT 


2
2 2 


2
1/2
1  2m kT 
p0  2  n2 
2 


2
(16)
(17)
Лекция 5. Нормальные электромагнитные волны в диэлектриках, поляритоны. Оптические
свойства проводников. Ленгмюровская экранировка. Нормальные электромагнитные волны в
проводниках. Плазменные волны. Скин эффект, поверхностный импеданс.
На прошлых лекциях мы рассмотрели простейшие модели диэлектриков, проводников и
полупроводников, вычислили их диэлектрические проницаемости и проводимости. На этой
лекции, используя эти результаты, мы рассмотрим распространение нормальных
электромагнитных волн в этих средах, отражение и поглощение волн. Начнем с рассмотрения
нормальных электромагнитных волн в диэлектриках.
Рассмотрим область частот вблизи одной из резонансных частот и предположим, что
затухание мало. Тогда диэлектрическую проницаемость можно апроксимировать следующим
выражением
 p2 f i
 p2 f
02
    1   2

1


1



1


0
2
 2  02
02   2
i   0i  i i
(1)
 p2 f
. Ясно, что    0   0 - статическая диэлектрическая проницаемость. Можно
02
считать, что резонансная частота 0 учитывает поправку Лоренц-Лорентца. Уравнение для
где  0  1 
амплитуд нормальных волн (уравнение (11) из лекции 3) в изотропном случае принимает вид


2
2
k
k

k


  k ,   E  0

  
2 
c


Направим ось z вдоль вектора k . Тогда имеем


2
 k k   k 


 2
2
 2  k
c
2
 

 2    k ,    
0
c
 

0




(2)
0
2
c
2
  k2
0

0 


0 

2 

c 2 
А уравнения (2) дадут систему уравнений для амплитуд продольной и поперечной волн
2
c2
   El  0
(3)
 2
2
 2     k  Et  0
c

(4)
Решение (относительно частоты) уравнения (3) дает
    1   0  1
02
 0  l2   002
02   2
Это решение не зависит от волнового вектора, то есть все электроны смещаются
продольной волне. Для поперечных волн уравнение (5) преобразуем к виду
(5)
синхронно в
k2 
2 
02 
 l2   2
1



1

0

k





0
c2 
02   2 
c 02   2
(6)
Откуда видно, что при 0    l волновой вектор чисто мнимый, что означает затухание волны
(это окно непрозрачности). Решение уравнения (6) относительно  несложно и графически
изображено на рисунке (проделать вычисления и построение на семинаре):
Рис.1. Дисперсионные кривые нормальных электромагнитных волн в неполярном диэлектрике.
Частота поперечной волны типа 1 при малых волновых векторах (длинноволновый предел)
стремится к частоте продольной волны, в коротоковолновом пределе стремится к   ck . Частота
поперечной волны второго типа при больших длинах волн стремится к  
c
0
k . Если бы
Электромагнитные волны и упругие диполи не взаимодействовали, то мы имели бы две
непересекающиеся частоты   ck ,   0 . Из-за взаимодействия электромагнитной волны и
диполей среды эти две частоты модифицируются, как показано на рисунке. Поэтому
изображенные частоты соответствуют связанным колебаниями частиц среды и электромагнитного
поля. Такие волны называются поляритонами (на рисунке изображен их спектр). Можно сказать,
что мы получили спектр квазичастиц: поляритонов.
Задача: объяснить почему в ионных кристаллах поляритоны существуют при значительно более
низких частотах, чем в неполярных диэлектриках.
Перейдем теперь к рассмотрению проводников. Начнем с оптических свойств
проводников. Напомню результаты предыдущей лекции: в рамках модели Друде-Лоренца мы
получили формулы для проводимости и диэлектрической проницаемости
   
 0
,
1  i
     0 
4 i

 0 
4 i   0 
 1  i
где  0 учитывает поляризацию благодаря связанным электронам.
Оптические свойства удобно описывать комплексным показателем преломления
(7)
n      n    i  
(8)
Из формул (7,8) получаем
n       0 
2
2
2n    
Здесь  p 
4 0
1   
4 0
1
 1   2
2
 0 
 p2
2   2
 p
 2   2
(9)
2

(10)
4 Ne2

,   (определялись ранее). В принципе, уравнения (9,10) можно решить
m
m
и проанализировать зависимость параметров n   ,    от частоты. То есть полностью
исследовать поведение плоской волны (оптических свойств). К сожалению, сделать это в общем
виде довольно сложно.Мы разобьем область частот на три диапазона, и в каждом из них будем
использовать свое приближение. Разбиение проводим следующим образом. Заметим, что в
формулы (9, 10) входят два параметра размерности частоты:  ,  p 
p
. Заметим, что при
0
   p правая часть (9) меняет знак (при  2   2 ). Рассмотрим три интервала частот
(предполагая  p   ):
   ,     p ,   p
(11)
В первом, низкочастотном, диапазоне частот    . Для меди или германия при комнатной
температуре этот интервал: инфракрасные частоты и ниже. В этом диапазоне уравнения (9,10)
превращаются в следующие
 p2
n    2 ,

2
 p2
2n 

2
(12)
Пренебрегая членами порядка  /   1 , из (12) находим
n  
 p2
2 Ne2
2 0


2
m

n  n  i 
2 0

1  i 
(13)
(14)
Мы получили,
что длина волны

2 c
c
и глубина затухания L 
оказываются одного
n

порядка (длина волны в 2 раз больше). Таким образом на длине волны поле волны убывает
больше, чем в 100 раз. Отсюда ввывод: волна не распространяется в глубь проводника, а затухает
в поверхностном слое. Явление проникновения электромагнитного поля только в тонкий
поверхностный слой проводника глубиной
 L
c


c
(15)
2 0
называется скин-эффектом (  -называют глубиной скин слоя). Для хороших проводников типа
меди в сантиметровом диапазоне

3  1010
 5  105 cm
2 5  10  10
17
11
Мы предполагали выполнение условия  p   , что имеет место для хороших металлов и
полупроводников
с
высокой
концентрацией
носителей.
При
обратном
соотношении
 p   вместо (12) получаем
n    0,
2
2
При этом, если
 p2
2n 

(16)
 p2
 p2
 1 , то получаем те же результаты, что и (13,14,15). Если же
 1 , то
 0
 0
результаты иные
n  0 ,

2 0
 0
,
L  
c


c 0
2 0
(17)
Область низких частот    называют таже областью классического поглощения (поле
ослабевает из-за классического поглощения энергии электромагнитного поля). Задание: получить
формулы (17), рассчитать диссипацию энергии в скин-слое.
Промежуточные частоты
     p (ленгмюровская экранировка). В этом случае уравнения
(9,10) дают
n2   2  
 p2
,
2
2n 
 p
 2
2
(18)
Поделив второе на первое, и учитывая (18), получим


2n

  1    n    p , n   p2
2
n 


2
2
(19)
Снова электро магнитное поле не проникает в проводник, убывая на расстояниях меньше длины
волны
L  rL 
c


c
(20)
p
Кажется полная аналогия с предыдущим случаем, но физика совсем другая. Обратите внимание,
что теперь глубина проникновения никак не связана с параметром  (или  ), то есть она не
зависит от самого факта столкновений. Она будет конечна, даже в том случае, если столкновений
вообще нет    . Причина этого состоит в том, что при условии       1 поле
успевает измениться много раз за время свободного пробега. Под действием поля электроны
двигаются так, что создают отраженную волну и поле внурь не проникает (хотя диссипации нет!).
Это явление носит название Ленгмюровской экранировки. Для типичных металлов
rL  105  106 cm и не зависит от частоты при    p . При приближении частоты к плазменной,
такая зависимость конечно появится.
Высокочастотная
область
  p
(нормальные
электромагнитные
волны).
В
двух
рассмотренных частотных диапазонах, волн в проводнике нет: они затухают вглубь проводника
либо из-за скин-эффекта, либо из-за ленгмюровской экранировки. Иначе обстоит дело в
высокочастотной области. Заметим, что как правило еще выполняется условие  p   . Тогда
уравнения (9,10) дают
2
  p2 
 p2
 p
n     0  2   0  1  2  , 2n 

 2
  
2
2
(21)
Поделим вторе на первое и получим
2n
 p 1

 1
n 2   2   2   p2  0
2
Следовательно, одна из двух величин n,  должна быть много больше другой. Должно быть
n   (почему?). А если это так, то получаем
 2 
n 2   0  1  p2  ,   n    0
  
(22)
(мнимой частью пренебрегаем согласно условиям диапазона частот). Итак, мы получили, что
показатель преломления вещественный, то есть будут распространяться незатухающие волны.
Если мы посмотрим на уравнение для амплитуд поперечной волны (смотри уравнение (4)), то
получим закон дисперсии поперечных волн в этом частотном диапазоне
 2


2
     n  
 2     k  Et  0  k 
c
c
c

(23)
Задача: Вычислить фазовую и групповую скорости vф   / k ,
vгр  d  / dk .
Рис.2. Закон дисперсии поперечных волн (высокочастотный диапазон).
Итак, волны в проводник проникают, только при    p . Поясним сам термин: плазменная
частота. Согласно уравнению (3), условием существования продольных волн является условие
  p2 
   El  0       0  1  2   0   2   p2
2
c
  
2
(24)
Эта частота не зависит от волнового вектора, следовательно
vгр  d  / dk  0 и это не
распространяющиеся продольные волны, а колебания однородного электрического поля,
возникающие при колебаниях электронного облака как целого, относительно положительного
фона. В плазме это колебания отрицательных зарядов (как целого) относительно положительных
зарядов (как целого). Такие колебания получили название плазменных колебаний, а
соответствующая частота: плазменной частоты.
Для металлов p  1015  1016 s 1
(ультрафиолетовая область) , а для полупроводников
p  1012  1014 s 1
(инфракрасная
область).
Оптические свойства часто характеризуются также коэффициентом отражения (отношение
отраженной энергии к падающей). Как известно, коэффициент отражения связан с показателем
преломления (формулы Френеля):
1  n    2
1 n
R

2
1 n
1  n    2
2
2
(25)
Испльзуя наши результаты, мы получаем для низкочастотной области
n    1  R 
2n 2  2n
2

 1  1
2
2n  2n
n
2 0
Это формула Хагена-Рубенса. При низких частотах проводники хорошо отражают.
Для промежуточной области
(26)
1  n   2

n    R 
2
1  n    2
2
1
(27)
То есть проводник хорошо отражает (ленгмюровская экранировка).
Наконец в высокочастотной области
1  n    2 1  n 

n    R 

2
2
1  n    2 1  n 
2
2
  0  1   p2 /  

  0  1   p2 /  


(28)
В заключение заметим, что исследованнные оптические свойств в реальности искажаются
оптическими переходами между уровнями зонной структуры. И реальные экспериментальные
результаты оптических экспериментов могут сильно отличаться от рассмотренных.
Лекция 6. Нормальный и аномальный скин-эффект. Поверхностный импеданс. Плазма,
нормальные электромагнитные волны в плазме, затухание плазменных волн. Экранировка
Заряда в плазме, дебаевский радиус.
На прошлой лекции мы показали, что при выполнении условия 
 (именно так его
следует формулировать) комплексный показатель преломления дается выражением
n  n  i 
2 0

1  i 
(1)
Откуда, получили для длины волны и глубины затухания выражения

2 c
c
,  

n

c
2 0
,

 2

(2)
то есть поле проникает в проводник на глубину, меньшую, чем длина волны. Это явление
называется скин-эффектом. Затухание электромагнитной волны связано с джоулевыми потерями
(электромагнитное поле совершает работу по перемещению зарядов, которая затем
превращается в тепло). Формула (1) означает, что если электромагнитная волна с линейной
поляризацией вдоль оси y падает нормально на поверхность металла, то ее координатная
зависимость определяется выражением
k
n
c

 2 0
z
z
1  i   E y  z   E0 exp ikz   E0 exp    exp  i 
c

 
 
Для выполнения формул (1-3) помимо условия 
еще одно условие, а именно 
условие означает

l
c
2
(3)
 , на самом деле было неявно испльзовано
l , где l - длина свободного пробега электронов. Это второе
l 0
(4)
С ростом длины свободного пробега правая часть этого неравенства растет и неравенство может
e 2nl
нарушиться (напомним, что  0 
. Длина свободного пробега растет с уменьшением
mvF
концентрации дефектов, с понижением температуры. Таким образом в чистых образцах и при
низкой температуре условие (4) может нарушиться. В этом случае приведенное на прошлой
лекции рассмотрение, основанное на локальной связи между током и электрическим полем
ji  r ,     ik   Ek  r ,  
теряет силу. Численный пример: в меди при температуре
T  300K условие (4) выполняется 
l  5  105
l  106
обратное к (4) условие 
тока следует испльзовать нелокальное
104 . В этом случае вместо локального выражения для
ji  r ,      ik  r , r,   Ek  r,   dr
106 (в см), а при T  4,2 K выполняется
(5)
Можно показать, что и в этом случае поле проникает только в поверхностный слой проводника
малой толщины. То есть имеет место скин-эффект, но с некоторыми особенностями: по этой
причине его называют аномальным скин-эффектом. Соотвествующее рассмотрение требует
знания функции  ik  r , r,   , то есть рассмотрения новой микроскопической модели (и эта
модель довольно сложна). Но, неплохой результат можно получить, если воспользоваться
концепцие неэффективности. Разделим электроны на две группы: первая группа состоит из
электронов, которые после рассеяния остаются в скин-слое, а вторая группа состоит из
электронов, которые после рассеяния покидают скин-слой.
Первую группу назовем
эффективными электронами, а вторую неэффективными. Ясно, что влиянием неэффективных
электронов можно пренебречь, а для эффективных использовать ранее полученные результаты.
Концентрация эффективных электронов neff 
 eff 
a
l
 0  a 
c
2 eff 
c

2 0 a
l
a
l

n . Тогда имеем
l
a
  a 
1/3
3
l
  l  a    
 
2
(6)
Из этой формулы видно, что нелокальность увеличивает толщину скин-слоя, меняет зависимость
толщины от частоты
 a 
3
  l  a 
2
c 2/3
 2 0 
1/3
l
1/3
1/3
 l 


1/3 
 2    0 
c 2/3
1/3
 m


v
1/3 
2 F 
 2   ne 
c 2/3
(7)
Из формулы (7) видно, что толщина скин-слоя при аномальном скин-эффекте не зависит от
температуры (пояснить почему? Пояснить смысл скорости Ферми). Экспериментально, исследуя
аномальный скин-эффект, можно вычислить значение фермиевской скорости.
Итак, при наличии скин-эффекта электрическое (и конечно магнитное) поле спадают
экспоненциально вглубь металла. Ясно, что непосредственно измерить эту зависимость очень
сложно. Можно, однако, исключить рассмотрение детальной координатной зависимости полей
от координат и ввести понятие поверхностного импеданса. Поверхностным импедансом называют
величину
Z
E y  z  0
Jy

E y  z  0

 j  z  dz
 X  iY
(8)
y
0
то есть поверхностный импеданс есть отношение поля на поверхности проводника, к полному
току поверхностного слоя (на единицу ширины полосы). Записав это выражение в виде
Jy 
1
1
E y  z  0  , мы видим
имеет смысл поверхностной проводимости. Еще один смысл
Z
Z
поверхностного импеданса может быть получен следующим образом. Запишем уравнение
Максвелла (пренебрегая током смещения, рассмотреть при каком условии это можно сделать):

rotB 
4
c
j  J y   j y  z  dz 
c
4
0




rotB dz 
z
0
c Bx
c
dz  
Bx  0 

4 0 z
4
(9)
Из (8,9) получаем (граничное условие Леонтовича):
Z 
4 E y  z  0 
c Bx  z  0 
(10)
то есть поверхностный импеданс связывает значение напряженности электрического поля и
индукции магнитного поля на поверхности проводника.
Задача.
Используя (8), получить выражения для Z в случае нормального и аномального скин-эффектов.
Ответ: Z n 
2
2
1  i  , Z a  2 a 1  i 
2
c
c
Перейдем теперь к изучению нового объекта: плазмы. Плазмой называется система
состоящая
из положительно и
отрицательно заряженных частиц, обладающая
квазинейтральностью (полный заряд равен нулю, но локально нейтральность может нарушаться).
Часто плазму называют четвертым состоянием вещества. Плазму можно встретиь в звездах, в
верхних слоях отмосферы, в установках по получению термоядерного синтеза, газоразрядных
лампах, в твердых телах. Фактически плазмоподобную модель мы уже использовали при
рассмотрении проводников и полупроводников: газ электронов и неподвижный положительный
фон. Изучая такую модель мы делали два приближения: положительные частицы превратили в
однородно заряженный неподвижный фон, пренебрегли пространственной дисперсией. Сейчас,
приступая к изучению плазмы мы откажемся от этих двух предположений. Почему
пространственная дисперсия важна при изучении плазмы? Дело в том, что при наличии
положительных и отрицательных частиц они будут перераспределяться в пространстве таким
образом, что вблизи отрицательных частиц будет повышена концентрация положительных и
наооборот. В результате взаимодействие между заряженными частицами буде экранировано
(ограничено) на некотором характерном расстоянии. Существование этого характерногол размера
и приводит к пространственной дисперсии. Рассчитаем диэлектрическую проницаемость плазмы.
Исходим из материального уравнения для изотропной среды



 

Di k ,    ij k ,  E j k ,   D   l  k 2 ,   El   t  k 2 ,   Et
(11)
и определения индукции электрического поля
D E

 4 j
t
t
(12)
Плотность тока равна (учитываем только вклад электронов):
j  r , t   eN  r , t  v  r , t 
(13)
Проблема заключается в том, что далее продвинуться очень сложно. Дело в том, что мы не можем
писать уравнения движения для отдельных электронов, так как наша цель состоит именно в учете
взаимодействия электронов друг с другом с ионами. Ясно, что задача описания всех
взаимодействующих заряженных частиц становится невообразимо сложной. Обычно в таких
случаях переходят к статистическому описаню системы. Но и это описание не самое простое.
Следующее приближение переход к гидродинамическому описанию: будем описывать плазму
как сполошную среду (жидкость). Из механики сплошной среды вам должно быть известно, что
жидкость описывается уравнением Эйлера (следствие закона сохранения мпульса):
1
 v



mN    v   v   p  eN  E  v , B  
c
 t



Здесь mN
(14)
- плотность массы, m масса электрона, N -концентрация электронов, p давление, и
добавлена сила Лоренца (так как жидкость зарояжена и действует дополнительная сила).
еще добавить уравнение непрерывности, которое имеет вид
N  r , t 
 div  N  r , t  v  r , t    0
t
Надо
(15)
(пояснить как получается это уравнение). В уравнения входит неизвестная функция p  r , t  .
Запишем ее в самомо общем виде как некоторое уравнение состояния
p  r , t   p  N  r , t 
(16)
Уравнения (14,15,16) представляют гидродинамическую модель плазмы. Система уравнений
довольно сложная, и прежде всего из-за нелинейного характера уравнений. Плотность тока
входит в уравнение (12), из которого видно, что нас интересует только линейный по
электрическому полю вклад. Следовательно.ю плотность тока можно записать как
j  r , t   eN0  r , t  v  r , t 
(17)
так как скорость уже пропорциональна электрическому полю. Более того, саму скорость следует
определить в линейном по полю приближении, для чего получаем уравнения в виде
mN 0
v
 p 
      N   eN 0 E ,
t
 n 0
  N 
 N 0divv  0
t
Так как уравнения теперь линейные, то ищем решения вида




(18)

E  E0 exp it  ikr , v  v0 exp it  ikr ,  N   N 0 exp it  ikr

Для такой зависимости от времени и от координат уравнения (18) дадут
 p 
imN 0v  ik    N  eN 0 E ,
 n 0
Исключая  N , находим
 
 p  ik kv
i mv  eE   
 n 0 
- i  N   ikN 0v  0
(19)
(20)
Из этого уравнения находим
kv 
 
e kE
im   p N 0  ik 2 /  

(21)
 
 p N 0  ik 2 / m  k kE 
e 
E  2

v
im 
   p N 0  k 2 / m  k 2 


Тогда ток можно представить в виде
j 

e2 N 0 
2
E
 Et  2
l
2
im 



p

N
k
/
m





0

(22)
С учетом (11,12) имеем ( p2  4 N0e2 / m ):


  p2 
 p2
4
E
DE
j  1  2  Et  1  2
    p N   k 2 / m   l
i
  
0


(23)
Диэлектрические проводимости равны
  p2 
 t  k ,    1  2 
  
2
l k ,   1 
2
(24)
 p2
 2   p N 0  k 2 / m 
Теперь у нас есть все для исследования нормальных электромагнитных волн в плазме. Согласно
уравнеиям (3,4) предыдущей лекции частоты нормальных волн определяются уравнениями
2
 2
2
2


E

0,


l
 2     k  Et  0   l  k ,    0,
2
c
c


2
c2
2
 p  k

 N 0 m
t   p2  c 2k 2 ,
l   p2  
 k 2,   k 2  0 
(25)
Мы получили очень важный результат: учет пространственной дисперсии приводит к
существованию нового типа волн – продольных волн (плазменные волны или плазмоны). Без
пространственной дисперсии существовали только однородные (бездисперсионные) колебания
поля l   p .
Соответствующие квазичастицы называют плазмонами. Рассмотрим важную
 p 
 . Так как частоты довольно высоки, то возникающие изменения являются
 N 0
величину 
адиабатическими. Следовательно,
 p   p 

 
   kT ,
 N 0  N  ад
   p 1  3  krD  ,
2
 
rD 
l2
,
l
kT

m p2
l  3, l  1 
kT
4 N 0e 2
(26)
Лекция 7. Экранировка заряда в плазме, дебаевский радиус. Затухание волн в плазме.
Сверхпроводимость незатухающие токи и эффект Мейснера. Уравнения Лондонов, объяснение
эффекта Мейснера. Квантование и сохранение магнитного потока. Сверхпроводники I-го и IIго рода. Высокотемпературные проводники.
На прошлой лекции мы закончили рассмотрением гидродинамической модели плазмы, в
рамках которой поперечная и продольная проницаемости даются выражениями

 t  k 2 ,    1 

l k 2 ,   1 
 p2 

2 
(1)
 p2
 2   p N 0  k 2 / m 
Мы также получили законы дисперсии поперечных и продольных нормальных волн в плазме
2
 p  k

 N 0 m
t   p2  c 2k 2 ,
l   p2  
(2)
Особый интерес представляет новый (которого нет без пространственной дисперсии) тип волн:
продольные волны или плазмоны. Дополним наше рассмотрение исследованием величины
 p 

 . Так как частоты довольно высоки, то возникающие изменения плотности являются
 N 0
адиабатическими. Следовательно,
 p   p 

 
   kT ,
 N 0  N ад

l 2
,
l
l  3, l  1
(3)
Формулы (3) следуют из термодинамики, если электронный газ рассматривать как идеальный
(однако число степеней свободы надо взять равным единице, это связано с особенностями
передачи импульса в бесстолкновительной плазме). Тогда мы получаем
   p 1  3  krD  ,
2
rD 
kT
kT

2
m p
4 N 0e2
(4)
Величина rD , имеющая размерность длины называется дебаевским радиусом (очень часто
встречается в различных задачах физики). Например, рассмотрим статическое поле точечного
заряда в плазме. Имеем уравнения электростатики
divD  4 q  r  , rotE  0,
 
 
Di  r     ij  r  r Ei  r dr 
(5)
ik , E k   0, D   l  k 2  El   t  k 2  Et
k


Из второго (во второй строке) уравнения следует, что Et  0 . Как обычно вводим потенциал
ikD k  4 q,
 
E   grad  El  ik  k
(6)
Подставляя это в (5), получаем
 
m p2
4 q
2
,

k

1

  p / N  k 2 
l 
k 2 l  k 2 
0
 
 r 
4 q
4 q
4 q
q

 2 2    r   exp   
2
2
m p
m p k  rD
r
 rD 
k2 
k2 
kT
 p / N 0
 k 
 k 
(7)
Именно благодаря этому результату rD называют радиусом экранировки заряда в плазме
(обратную величину часто обозначают как rD1   ).
До сих пор мы рассматривали волны в плазме без затухания. Затухание волн в плазме возникает
по двум причинами. Во-первых, заряженные частицы могут сталкиваться с нейтральными
атомами (внешняя по отношению к плазме система), и эти столкновения приводят к потере
импульса плазмой. Такие столкновения можно учесть добавлением в уравнение Эйлера
столкновительного члена
1
v
 v



mN    v   v   p  eN  E  v , B    mN
c

 t



(8)
Покажите, что в этом случае вместо формул (1), получаются формулы
t k ,   1 
2
 p2
i
    


, l k ,   1 
 p2
2
i
   



2
   p N 0  k / m 

(9)
Найдите комплексные собственные частоты, каков смысл действительных и мнимых частей этих
частот? Это одна из задач на зачете (экзамене). Имеется и второй, механизм затухания (механизм
Ландау). Это затухание можно получить, рассматривая процесс обмена энергией между
электромагнитной волной и частицами. Я не буду приводить довольно громоздких формул, а
поясню только сам физический механизм такого затухания. При распространении волны в плазме
происходит обмен энергией между волной и частицами. Наиболее интенсивно обмениваются
частицы, которые двигаются приблизительно с фазовой скоростью волны. При этом частицы,
которые двигаются чуть быстрее фазовой скорости, отдают энергию, а чуть медленнее
приобретают энергию. Вторых, в силу равновесной функции распределения больше. Поэтому
энергия волны в целом поглощается частицами плазмы. Интересно, рассмотреть, что будет, если в
плазму направить пучок частиц с определенной скоростью (чуть выше фазовой скорости).
Теперь перейдем к новой теме, новому классу сред, к новому удивительному явлению,
которое называется сверхпроводимостью. Много раз, встречаясь с явлением переноса заряда в
средах, мы упоминали закон Ома, который определяет линейную зависимость скорости частиц
(тока) от напряженности электрического поля (силы). Мы объясняли эту зависимость наличием
рассеяния заряженных частиц на дефектах и передачей приобретенного у поля импульса
дефектам. В этом состоял механизм возникновения сопротивления. Казалось бы, этот механизм и
закон Ома присущ всем веществам и всем моделям. Однако, в 1911 году голландским физиком
Камерлинг-Оннесом было открыто удивительное явление: обращение сопротивления ртути в
ноль при температуре Tc  4.15K . В последствии аналогичное явления было обнаружено у
других металлов, сплавов и даже у органических проводников (критическая температура у
каждого вещества своя). Этот переход назвали сверхпроводящим, а явление исчезновения
сопротивления назвали сверхпроводимостью. Исчезновение сопротивления особенно явно
можно продемонстрировать в следующем эксперименте. Создадим ток в сверхпроводящем
кольце (неважно каким способом). Ток в кольце создает магнитное поле, величину которого
можно измерять очень точно, исследуя ЯМР в этом поле (спектроскопические измерения дают
очень высокую точность измерения поля). Эксперименты показали, что действительно можно
говорить об отсутствии затухания тока в сверхпроводящем кольце (оценка времени затухания
превосходит все разумные времена). Но с явлением сверхпроводимости связано не только
идеальная проводимости (отсутствие сопротивления), но еще один удивительный факт:
выталкивание магнитного поля из сверхпроводника (эффект Мейснера). Возьмем сверхпроводник
при температуре ниже критической (то есть в сверхпроводящем состоянии) и внесем его в
магнитное поле. Оказывается, магнитное поле внутри сверхпроводника будет отсутствовать.
Казалось бы, этот факт тривиально объясняется идеальной проводимостью: на поверхности
сверхпроводника возникают поверхностные незатухающие токи (переменное магнитное поле
создает вихревое электрическое, а последнее создает токи), которые полностью зануляют поле
внутри сверхпроводника. Рассмотрим теперь сверхпроводник при температуре выше критической
в магнитном поле. При этом внутри его магнитное поле присутствует. Будем охлаждать
сверхпроводник до температур ниже критической. Если бы сверхпроводник был просто
идеальным проводником, то магнитное поле внутри его не исчезло бы (нет поверхностных токов).
Но оказывается, и это на самом деле новое свойство сверхпроводника, которое не сводится к
простой идеальной проводимости, магнитное поле в объеме сверхпроводника и в этом случае
обратится в ноль. Магнитное поле выталкивается из сверхпроводника: именно это явление и
называется эффектом Мейснера.
В 1935 году Ф. и Х. Лондоны предложили уравнения для описания электродинамики
сверхпроводников:
E

m
j , H  c  rot j ,   2
t
e ns
 
(10)
Происхождение этих уравнений можно понять следующим образом:
d
d
d

v  eE  m ens v  e 2ns E  j  E  j  E
dt
dt
dt
t



1 H
j  E  rot j  rotE  rot j  

t
t
t
c t

1 
1
 rot j  H   0  rot j  H  0
t 
c 
c
m
 
 
 
 
Посмотрим, как с помощью уравнений Лондонов, можно объяснить эффект Мейснера:
4
4
4
j  rot  rotH 
rotj  H   2 H 
c
c
c
2
2
1
c
mc
 z
H  2 H  0,  2 

 H  z   H  0  exp   
2

4
4 ns e
 
rotH 
(11)
Последнее уравнение означает, что статическое магнитное поле проникает в сверхпроводник на
глубину
mc 2
4 ns e 2

(12)
называемую глубиной проникновения. Предполагается, что параметр
ns , называемый
плотностью сверхпроводящих электронов мал при T  Tc и равен ns  n при T
Tc . Итак,
уравнения Лондонов качественно правильно описывают эффект Мейснера. Второму из уравнений
(10) можно придать следующий вид
A
e 2 ns A
H  c  rot j  rotA  c  rot j  j  
 j 
c
mc
(13)
При этом мы опустили член типа grad  f  . Обосновать это не так просто, и на самом деле
уравнение (13) лучше выводить из теоремы Блоха (основному состоянию системы соответствует
равный нулю обобщенный импульс). Интересно отметить, что вместо двух уравнений Лондонов,
можно потребовать выполнения следующих уравнений (они эквивалентны (10)):
j 
e 2 ns A
,
mc
divA  0
(14)
(Куперовские пары, энергетическая щель, отсутствие рассеяния. Об этом вам будут рассказывать
более подробно и не один раз в соответствующих курсах). Рассмотрим квантово-механическое
обобщение уравнения Лондонов. Введем волновую функцию сверхпроводящих электронов
 r  
ns
exp i  r  
2
(15)
так чтобы модуль в квадрате давал плотность сверхпроводящих электронов. Но тогда имеем
j
ns
2e
2e
2ev  ns ev  p  2mv 
A  i   2mv 
A
2
c
c
Применим этот оператор к волновой функции (15)
2e 
2e

i        2mv 
A    2mv   
A
c 
c

j  ens v  j 
ns e2  c

   A 
mc  2e

(16)
Мы получили квантово-механическое обобщение уравнения Лондонов. Оно приводит сразу к
важным физическим следствиям. Пусть имеется замкнутый сверхпроводник. Интегрируя по
контуру, получим
c
c
  A  0    dl 
2e
2e
C
c
 Adl  2e   
(17)
C
Но так как волновая функция не должна меняться при обходе контура, то
c
c
hc
  2 m     
m
2e
2e
2e
То есть магнитный поток квантуется в единицах кванта потока
(18)
0 
hc
. На самом деле мы
2e
получили также и теорему о сохранении магнитного потока. Действительно, проинтегрируем
уравнение Максвелла по плоскости, опирающейся на контур
1 
1 
t
 rotE  ds   c t  B  ds   c
SC
SC
Но в сверхпроводнике электрическое поле равно нулю, следовательно

 0    const
t
(19)
то есть магнитный поток через сверхпроводящий контур сохраняется. Равенство (19) можно
записать и так

1
LJ   внеш  const
c
(20)
Если внешний поток меняется, то в сверхпроводящем кольце возникает сверхпроводящий ток,
который полностью компенсирует уменьшение внешнего потока.
Мы рассмотрели довольно простой и частный случай (без пространственной дисперсии). Но
уравнение Лондонов можно обобщить и на случай с пространственной дисперсией
j 
e 2 ns
K  r  r A  r dr
mc 
(21)
Сверхпроводники, для которых
следует использовать нелокальную связь (21) называют




пипардовскими сверхпроводниками, тогда как при локальной связи K r  r    r  r  их
называют лондоновскими. В общем случае функция
 
K r  r  вычисляется в рамках
микроскопической теории.
Однако в предельном случае, когда    0 , где  0 - характерный размер спадания
функции
 
K r  r  (эту величину называют длиной когерентности) оценку глубины
проникновения можно получить с помощью соображений аналогичных концепции
неэффективности (смотри теорию аномального скин-эффекта). Предположим, что и в этом
предельном случае магнитное поле проникает на глубину    0 . Разделим все электронные
пары на две группы: группа 1- пары с двумя электронами в переходном слое, группа 2 - с одним
электроном в слое. Качественно можно предположить, что эффект Мейснера обеспечивается
парами группы 1, для которых справедливо проведенное выше рассмотрение (перешли к
концентрациям пар, а их в два раза меньше)

где n s1  n s

mc 2
2 e 2 n s1
(22)

. Следовательно, имеем
0
mc 2

2 e ns
0
2

3/ 2

 
mc 2 0
    0  0 
2
2 e ns
0 
1/ 3
(23)
Лондоновский случай имеет место только очень близко к Tc (в малой области). А почти вся
сверхпроводящая область относится к пипардовскому случаю.
Итак, мы рассмотрели поведение сверхпроводников в постоянном магнитном поле.
Можно было бы еще добавить, что, к сожалению (к сожалению, так как это ограничивает область
применения сверхпроводников), магнитное поле разрушает сверхпроводимость. Так критическая
температура понижается с ростом магнитного поля. С ростом магнитного поля сверхпроводник
может перейти из сверхпроводящего в нормальное состояние. В некоторых сверхпроводниках
существует область магнитных полей, при которых магнитное поле проникает в сверхпроводник
только в некоторых областях (которые имею вид трубок). Такие сверхпроводники называются
сверхпроводниками II-го рода, в отличии от обычных сверхпроводников, которые называют
сверхпроводниками I- го рода.
Лекция 8. Парамагнетики, модель магнитополяризующейся среды, магнитная воспримчивость
в переменном поле. Магнитный резонанс, волны в магнитных средах. Ферромагнетизм,
молекулярное поле Вейса, физическая причина магнитного упорядочения. Магнитная
воспримчивость ферромагнетиков, спиновые волны.
Рассмотрим материальную среду, состоящую из частиц, обладающих магнитными
моментами. Магнитные моменты взаимодействуют с магнитным полем, в результате чего
возникает намагниченность. Выражением этого механизма является материальное уравнение,
связывающее намагниченность и магнитное поле
t
Mi r , t  
 dt dr  r , r, t, t H  r, t
ij
j
(1)

Это наиболее общее линейное соотношение, учиьывающее анизотропию, временную и
пространственную дисперсии (обычно с этого мы и начинаем рассмотрение электромагнитное
модели среды). Для однородных сред восприимчивость зависит только от разности аргументов
ij  r , r, t, t  ij   ,  
(2)
и фурье преобразование свертки дает следующую форму материального уравнения



 
M i k ,   ij k ,  H j k , 

(3)
где тензор магниной восприимчивости в фурье-представлении равен




ij k ,    ij   ,  exp ik   i d  d
(4)
(пока полная аналогия с электрополяризующимися средами).
Ясно, что для определения ij  r  r, t  t надо рассмотреть уравнения движения
магнитных моментов, найти их как функции времени. Тем самым мы найдем намагнитченность
как функцию времени и восприимчивость. Начнем с уравнения механического движения
отдельного момента
dL
 B
dt  
(5)
где L - механический момент частицы (функция времени),  - магнитный момент частицы (также
функция времени), B магнитная индукция. Магнитный и механический магнитные моменты
пропорциональны друг другу
   L
(6)
где 
называается магнито-механическим отношением. Для электрона  
e
, для различных
mc
частиц может иметь разное значение и даже разный знак. Из (5,6) получаем уравнение для
магнитного момента
d
    B 
dt
(7)
Отсюда для намагниченности (простым суммированием и с усчетом B  H  4 M ) получаем
dM
   MH 
dt
(8)
Решив это уравнение, мы фактически найдем материальное уравнение. Решим его сначала для
постоянного магнитного поля H 0 . Направим ось z вдоль магнитного поля. Тогда уравнение (8)
дает (проделать выкладки самостоятельно):
M x  M  cos  H0t  0  , M y  M  sin  H 0t  0  , M z  const
(9)
Здесь 0   H 0 - ларморовская частота, M  ,0 - постоянные интегрирования. В реальных
магнетиках имеется затухание, прецессия длится конечное время, и в конечном состоянии
намагниченность будет направлена по внешнему магнитному полю. Это элементарное
рассмотрение показывает, что в системе имеется некоторая характерная частота. Как мы знаем,
наличие такой частоты должно приводить к временной дисперсии.
Поместим теперь магнетик в постоянное магнитное поле, которое даст намагниченность
M 0  0 H 0
(10)
и в слабое переменное поле h  t   h exp  it  . Итак, подставляем в уравнение (8) следующие
выражения
H  H 0  h exp  it  , M  M 0  m, M 0  0 H 0
В результате получаем в линейном приближении
dm
   mH 0    0  H 0h  exp  it  
dt
im   mH 0   0  H 0h    2m   im, H 0   i 0  H 0h 
(11)
Из двух последних уравнений получаем для поперечных компонент намагниченности

2
 02  m   002h  i0  H 0h 
(12)
Для добавочной (переменной намагниченности получаем выражение
m  0

02
i  H
h  0 2 0 2  0 , h 
2
2 
0  
0    H 0

(13)
Мы видим, что намагниченность ведет себя резонансными образом, резко возрастает при
приближении частоты слабого магнитного поля к частоте прецессии. Такое явление называют
магнитным резонансом. В зависимости от конкретного тапа среды он может называться
парамагнитным, электронным парамагнитным, ядерный магнитный, ферромагнитный резонанс и
так далее. Оценим частоту резонанса для некоторых частных случаев. Для электронов, как уже
отмечалось
  e / mc  107 СГСЕ. Отсюда получаем 0  107 H 0 . Для магнитного поля
получаем 0  1010  1011 с-1 (сантиметровые и дециметровые волны). Для
H 0  103  104 Э
ядерного магнитного резонанса   e / Mc  104 , частоты на три порядка ниже 0  107  108 с-1.
Вернемся к уравнению (12) и введем следующие величины соотношениеми
G     0
0 H 0
02
,



0
02   2 H 0
02   2
(14)
Тогда с учетом (12) выражение для тензора магнитной воспримчивости имеет вид
  iG 0 
 ij   iG  0 
 0
0 0 

(15)
Анизотропия появляется благодаря наличию постоянного сильного магнитного поля (напомним,
что оно направлено по оси с Диссипативные процессы в уравнение (8) вводятся обычным
оьразорм (феноменологически):
dM
M  M0
   MH  
dt

(16)
Рассмотрим электромагнитные волны в магнетиках. Пусть в среде есть только магнитная
поляризация
 ij   ij ,
ij   ij  4ij
(17)
где тензор магнитной восприимчивости имеет вид (15). Тогда дисперсионное уравнение (лекция
3) дает


2 
2 
2
2
k
k

k



h

0

det
k
k

k


ij   0
ij
ij  j
ij
 i j
 i j
c2
c2




(18)
Сначала рассмотри продольные волны k
H 0 оси z . Последовательно и аккуратно выписываем

2 
2
матрицу  ki k j  k  ij  2 ij  :
c


 2 2

2
4 iG
0
  k  2 1  4 

2
c
c


2
2



 2 4 iG
k 2  2 1  4 
0


c
c


2

0
0
1  4  
2 

c


(19)
Равенство нулю детерминанта дает уравнение
2
2
 2 2
 2

2
2
2
 k  c 2 1  4    c 2 4 G   0   k  c 2 1  4  c 2 4 G  0 

 

k2 
2
c
2
1  4  
G    v 
c
1  4  
G
(20)
Подставляя это в уравнение для амплитуд (18) находим, что h3  0, hy  ihx . Это означает волна
имеет поляризацию
 h1 
1
 h   h  i 
 2 0 
h 
0
 3
 
(21)
причем знаки выставлены одинаково в (20,21). Поляризация (21) есть круговая (право и лево
вращающаяся, проверить на семинаре). Они обладают разной фазовой скоростью (двойное
лучепреломление или эффект Фарадея). Рассмотрим теперь поперечные волны, направим вектор
k вдоль оси x . Снова выписываем матрицу, и решаем дисперсионное уравнение. Выкладки
непростые, но позволяют выявить интересные физические эффекты, связанные с изменением
поляризации.
Перейдем теперь к рассмотрению ферромагнитных сред. Ферромагнетики это такие
вещества, в которых магнитные моменты взаимодействуют друг с другом Модель
ферромагнетика описывается гамильтонианом (энергия системы магнитных моментов)
H


J
 Si  S j , J  0
2 i j
(22)
Такой гамильтониан называется гамильтонианом Гейзенберга. Взаимодействие между
спиновыми моментами вызвано обменным взаимодействием (зависимостью энергии системы от
смметрии волновой функции). Из (22) видно, что спинам (и соответственно магнитным моментам
выгодно выстроиться в одном направлении, то есть в ситстеме существует неравная нулю
намагниченность. Это происходит при нулевой и не слишком высокой температуре. При
повышении температуры, при некоторой критической температуре (температура Кюри)
намагниченность исчезает. Это явление называется фазовым переходом (в данном случае этот
переход называется фазовым переходом второго рода). Несмотря на кажущуюся простоту
гамильтониана Гейзенберга, рассчитать
поведение намагниченности из первых принципов
точно не удается. Приходится применять приближенные методы. Один из них называется
методом молекулярного (среднего, самосогласованного, молекулярного поля Вейса) поля.
Рассмотрим магнитное поле всех остальных спинов, которое действует на выделенный спин,
обозначим его как H mol   M (это предположение Вейса). Считая это поле известным найдем
магнитные моменты спинов, используя статистическую физику), и рассчитаем намагниченность
как функцию молекулярного поля. Тогда получим уравнение самосогласования, решение
которого определит намагниченность



M  F H mol  F  M

(23)
Это то, что касается фазового перехода. Рассмотрение электромагнитных волн также можно
начать с уравнения для магнитного момента


dM
   M , H  H mol     M , H 
dt
(24)
И кажется, что молекулярное поле Вейса никак на магнитные свойства не влияет. Однако это не
совсем так. Дело в том, учет обменного взаимодействия приволит к нелокальной связи
H mol  r      r  r M  r dr
Лекция 9. Молекулярное поле Вейса, отличие ферромагнетиков от парамагнетиков. Уравнение
для намагниченности, в намагниченности в ферромагнетиках, спиновые волны.
Несмотря на кажущуюся простоту гамильтониана Гейзенберга, рассчитать
поведение
намагниченности из первых принципов точно не удается. Приходится применять приближенные
методы. Один из них называется методом молекулярного (среднего, самосогласованного,
молекулярного поля Вейса) поля. Рассмотрим магнитное поле всех остальных спинов, которое
действует на выделенный спин, обозначим его как H mol   M (это предположение Вейса).
Считая это поле известным, найдем магнитные моменты спинов, используя статистическую
физику), и рассчитаем намагниченность как функцию молекулярного поля. Тогда получим
уравнение самосогласования, решение которого определит намагниченность



M  F H mol  F  M

(1)
Это то, что касается фазового перехода. Рассмотрение электромагнитных волн также можно
начать с уравнения для магнитного момента


dM
   M , H  H mol     M , H 
dt
(2)
И кажется, что молекулярное поле Вейса никак на магнитные свойства не влияет. Однако это не
совсем так. Дело в том, учет обменного взаимодействия приволит к нелокальной связи
H mol  r      r  r M  r dr
(3)
Функция   r  r конечно отличается от дельта-функции, она отлична от нуля и при ненулевых
значениях аргумента. Однако ясно, что радиус ее носителя как-то связан с радиусом действия
обменного взаимодействия. Последнее является короткодействующим: порядка межатомного
расстояния a . В то же время характерный размер изменения намагниченности гораздо больше:
он порядка так называемой корреляционной длины. Поэтому в (3) намагниченность плавная
функция и ее можно разложить в окрестности точки r :
M  r  M  r  
M
2M

r

r



 r  r   r  r 
r
r r
(4)
Подставим это выражение в интеграл (3) и введем обозначения
W     r  r dr
1
  r  r r  r i dr
a
1
ij  2    r  r r  r i  r  r  j dr
2a
i 
Тогда вместо уравнения (3) мы получим
(5)
Hmol  r   W M  r   i ai M  r   ij a 2i  j M  r 
(6)
При подстановке этого выражения в (2) первое слогаемое выпадает. В кристаллах с достаточной
симметрией (кубических, например) можно также положить i  0,  ij   ij . В результате
получаем уравнение движения для намагниченности ферромагнетика
dM
   M , H    a 2  M , M 
dt
(7)
Также как и раньше найдем восприимчивость. Для этого приложим магнитное поле вида

H  H 0  h exp ikr  it

(8)
где первое слагаемое постоянно и много больше второго слагаемого. Намагниченность
представляем в аналогичном виде

M  M 0  m exp ikr  it

(9)
Подстановка (8,9) в уравнение (7)
im   m, H 0  1  0 a 2k 2   0  H 0 , h 
(10)
где статическая восприимчивость определяется соотношением M 0   0 H 0 . Сравним уравнение
(10) с ранее использованным уравнением
im   mH 0   0  H 0h 
Аналогия очевидна и ее можно было бы использовать для решения. Но млжно решить и прямо. В
компонентах уравнение (10) принимает вид
imx  k m y   00hy
k mx  im y   00hx
(11)


k   H 0 1  0a 2 k 2    H 0  H E  ka  , H E   M 0
2
Система (11) легко решается и решение есть
k0

h  i  0 2 0 2 hy
2
2 x
k  
k  


m y   0 2 k 0 2 h y  i  0 2 0 2 hx
k  
k  
mx   0
(12)
Отсюда получаеми компоненты тензора воспримчивости
mi  ij h j
k0
k2   2

 xy    yx  i  0 2 0 2
k  
 xz   yz   zz  0
 xx   yy   0
(13)
Величина k - частота неоднородного резонанса (или резонанса спиновых волн).
Как мы уже знаем обменное взаимодействие приводит к упорядоченному состоянию и
ненулевой намагниченности. Этот факт вы знали и раньше. Но оказывается, что обменное
взаимодействие приводит к наличию особых волн намагниченности (спиновых волн). Уравнения
спиновых волн можно получить из дисперсионного уравнения, но кажется проще получить их
непосредственно из уравнений Максвелла (без тока смещения):
roth  0, divh  4 divm  0, mi  ij h j 

h
hi

 4ij j  0, hi  
xi
xi
xi
 2hi
 2
 4 ij
 0    r , t    0 exp ikr  it
xi xi
xi x j


k x2  k y2 k0
 k  4 ki k j  ij k ,   0  1  4 0
0
k 2 k2   2
2
1  4 0 sin 2  k


k0
0
k2   2
(14)