Методы математического моделирования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»
Радиофизический факультет
Кафедра математики
Кафедра общей физики
УТВЕРЖДАЮ
Декан радиофизического факультета
____________________Якимов А.В.
«18» мая 2011 г.
Учебная программа
Дисциплины С2.Б9 «Методы математического моделирования»
по специальности 090302 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем»
Нижний Новгород
2011 г.
1. Цели и задачи дисциплины
Цель изучения дисциплины «Методы математического моделирования» состоит в освоении
студентами методологии и технологии моделирования (в первую очередь компьютерного)
информационных процессов (ИП) в различных системах. Также содержание дисциплины
направлено на обучение студентов основам решения задач линейной алгебры, решения
нелинейных алгебраических уравнений, вычисления интегралов и решения задачи Коши для
обыкновенных дифференциальных уравнений на ЭВМ.
Задачи курса:
- изучение типовых математических схем моделирования ИП;
- рассмотрение вопросов формализации и алгоритмизации ИП;
- изучение статистического моделирования ИП на ЭВМ;
- ознакомление с основными языками имитационного моделирования ИП;
- изучение современных способов моделирования сложных ИП.
2. Место дисциплины в структуре программы специалиста
Дисциплина «Методы математического моделирования» относится к дисциплинам базовой
части математического и естественнонаучного цикла основной образовательной программы по
специальности 090302 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем»,
преподается в 3, 4 семестрах.
Преподавание курса строится с учетом знаний, полученных студентами при изучении
дисциплин «Дискретная математика» и «Информатика» и получаемых при параллельном
изучении «Языков программирования».
Знания, приобретённые в процессе изучения дисциплины «Методы математического
моделирования», используются при изучении и преподавании дисциплин, связанных с
моделированием процессов в системах массового обслуживания, в управляющих и
информационных системах, в системах, использующих сетевые решения, с вопросами
планирования эксперимента.
3. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
Изучение дисциплины «Методы математического моделирования» обеспечивает овладение
следующими общекультурными компетенциями:
 способностью к логически правильному мышлению, обобщению, анализу, критическому
осмыслению
информации,
систематизации,
прогнозированию,
постановке
исследовательских задач и выбору путей их решения на основании принципов научного
познания (ОК-9);
 способностью самостоятельно применять методы и средства познания, обучения и
самоконтроля для приобретения новых знаний и умений, в том числе в новых областях,
непосредственно не связанных со сферой деятельности, развития социальных и
профессиональных компетенций, изменения вида своей профессиональной деятельности
(ОК-10).
Изучение дисциплины «Методы математического моделирования» обеспечивает овладение
следующими профессиональными компетенциями:
 способностью выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе
профессиональной деятельности, и применять соответствующий физико-математический
аппарат для их формализации, анализа и выработки решения (ПК-1);
 способностью применять математический аппарат, в том числе с использованием
вычислительной техники, для решения профессиональных задач (ПК-2);
 способностью понимать сущность и значение информации в развитии современного
общества, применять достижения современных информационных технологий для поиска и
обработки больших объемов информации по профилю деятельности в глобальных
компьютерных системах, сетях, в библиотечных фондах и в иных источниках информации
(ПК-3);
 способностью
использовать
языки,
системы
и
инструментальные
средства
программирования в профессиональной деятельности (ПК-4);
2

способностью применять методологию научных исследований в профессиональной
деятельности, в том числе в работе над междисциплинарными и инновационными
проектами (ПК-5);
 способностью к эксплуатации современного телекоммуникационного оборудования и
приборов (ПК-9);
 способностью применять основные методы, способы и средства получения, хранения,
переработки и передачи информации (ПК-10);
 способностью использовать и реализовывать алгоритмы обработки информации и сигналов
в подвижных цифровых защищенных телекоммуникационных системах связи (ПСК-8.1).
В результате изучения студенты должны
знать:
 принципы моделирования, классификацию способов представления моделей ИП;
 приемы, методы, способы формализации объектов, процессов, явлений и реализации их на
компьютере;
 достоинства и недостатки различных способов представления моделей ИП;
 алгоритмы фиксации и обработки результатов моделирования ИП;
 способы планирования машинных экспериментов с моделями;
 основные понятия теории алгоритмов решения линейных алгебраических уравнений и
нелинейных алгебраических уравнений;
 алгоритмы построения квадратурных формул и алгоритмы построения разностных схем
решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений;
уметь:
 владеть технологией моделирования;
 представить модель в математическом и алгоритмическом виде;
 оценить качество модели;
 показать теоретические основания модели;
 проводить статистическое моделирование ИП;
 моделировать процессы, протекающие в информационных системах и сетях;
 исследовать итерационные алгоритмы на сходимость и разностные схемы на аппроксимацию
и устойчивость;
приобрести навыки:
 построения имитационных моделей ИП;
 получения концептуальных моделей ИП;
 построения моделирующих алгоритмов;
 программирования в системе моделирования GPSS.
4.Объем дисциплины и виды учебной работы
Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетных единиц, 216 часов.
Виды учебной работы
Общая трудоемкость дисциплины
Аудиторные занятия
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Другие виды аудиторных занятий
Самостоятельная работа
Курсовой проект (работа)
Расчетно-графическая работа
Реферат
Другие виды самостоятельной работы
Вид итогового контроля (зачет, экзамен)
Всего часов
120
68
34
–
–
34
–
52
–
–
–
–
зачет
Семестры
4
68
34
–
–
34
–
52
–
–
–
–
зачет
3
Виды учебной работы
Общая трудоемкость дисциплины
Аудиторные занятия
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Другие виды аудиторных занятий
Самостоятельная работа
Курсовой проект (работа)
Расчетно-графическая работа
Реферат
Другие виды самостоятельной работы
Вид итогового контроля (зачет, экзамен)
Всего часов
216
102
68
–
–
34
–
78
–
–
–
–
экзамен (36)
Семестры
3
34
34
–
–
–
–
26
–
–
–
–
зачет
4
68
34
–
–
34
–
52
–
–
–
–
экзамен (36)
5. Содержание дисциплины
5.1. Разделы дисциплины и виды занятий
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Раздел дисциплины
Лекции
ПЗ (или С)
ЛР
Теория моделирования
Статистическое моделирование на ЭВМ
Инструментальные средства моделирования ИП
Введение в методы вычислений
Численные методы линейной алгебры
Численные методы решения нелинейных
уравнений
Элементы теории приближений
Численное интегрирование
Численные методы решения обыкновенных
дифференциальных уравнений
16
10
8
2
8
6
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
8
8
4
6
8
–
–
–
–
8
10
5.2. Содержание разделов дисциплины
Часть I
Раздел 1. Теория моделирования
1.1. Основные понятия теории моделирования, современное состояние и общая характеристика
проблемы моделирования ИП. Методологическая основа моделирования. Моделирование как
познавательный процесс. Использование моделирования при исследовании и проектировании
информационных систем.
1.2. Классификация видов моделирования систем. Классический (индуктивный) подход.
Системный подход. Возможности и эффективность моделирования систем на ЭВМ.
Детерминированное, стохастическое, статическое, динамическое, дискретное, дискретнонепрерывное, мысленное, наглядное, гипотетическое, аналоговое, знаковое, языковое и
символическое моделирование. Аналитическое и имитационное моделирование.
1.3. Математическая модель объекта. Непрерывно - детерминированные модели. Система
4
автоматического управления. Дискретно - детерминированные модели. Теория автоматов.
1.4. Дискретно-стохастические модели. Непрерывно-стохастические модели
Вероятностные автоматы. Системы массового обслуживания. Однородный и неоднородный
поток событий. Прибор обслуживания заявок как элементарный блок в моделировании
информационно-вычислительных процессов.
1.5. Сетевые модели. Сети Петри. Синхронизация событий в сетевых моделях. Пример
имитационного моделирования функционирования асинхронной ЭВМ с конвейерным типом
обработки данных. Формальное описание систем с помощью комбинированных моделей.
Понятие агрегата и его параметры.
1.6. Построение концептуальной модели информационной системы и ее формализация.
Логическая структура моделей. Алгоритмизация модели. Принципы построения
моделирующих алгоритмов. Обобщенная, детальная и логическая схема алгоритма.
1.7. Методы теории планирования экспериментов. Этапы стратегического планирования.
Структурная модель. Функциональная модель. Оптимальное планирование эксперимента. Цель
тактического планирования. Влияние начальных условий. Обеспечение точности и
достоверности результатов моделирования. Снижение дисперсии оценок. Выбор правил
остановки имитационного эксперимента с моделью.
1.8. Алгоритм фиксации и обработки результатов моделирования систем. Методы оценки.
Несмещенность оценки. Эффективность оценки. Состоятельность оценки.
1.9. Анализ и интерпретация результатов моделирования на ЭВМ. Назначение корреляционного
анализа. Коэффициент корреляции. Область применения регрессионного анализа. Метод
наименьших квадратов. Построение линейной регрессионной модели. Дисперсионный анализ
результатов моделирования. Однородность статистического материала.
Раздел 2. Статистическое моделирование на ЭВМ
2.1. Основные предельные теоремы теории вероятностей и их использование в статистическом
моделировании. Закон больших чисел. Псевдослучайные числа и процедуры их машинной
генерации.
2.2. Оценка точности и достоверности результатов моделирования. Проверка качества
последовательностей псевдослучайных чисел. Характеристики качества генераторов: длина
периода, длина отрезка апериодичности. Моделирование случайных величин.
2.3. Примеры применения статистического моделирования. Вычисление определённых
интегралов, решение системы алгебраических уравнений и дифференциальных уравнений.
2.4. Теория случайных блужданий. Теория перколяции. Регулярные фракталы и самоподобие.
Фрактальная размерность. Теория клеточных автоматов.
2.5. Моделирование дифракции электромагнитных волн. Вычисление энтропии в
макроскопических системах. Моделирование микроканонического ансамбля. Модель Изинга.
Раздел 3. Инструментальные средства моделирования ИП
3.1. Языки моделирования (MIMIC, DYNAMO, GASP, FORSIM, SIMULA, SIMSCRIPT) и их
классификация. Дерево решений выбора языка для моделирования системы. Моделирующие
комплексы. Сравнение характеристик языков имитационного моделирования. Область
применения системы моделирования GPSS.
3.2. Имитационное моделирование информационных систем и сетей. Транзакты в системах
моделирования информационных процессов. Блоки в системе моделирования GPSS,
реализующие процедуры уничтожения, продвижения и задержки транзактов. Синхронизация и
циклическое повторение событий в моделирующих системах.
3.3. Структура моделей информационно-вычислительных процессов. Моделирование каналов
связи. Задача об опросе датчиков. Очереди. Накопители. Гистограммы.
Часть II
Раздел 4. Введение в методы вычислений.
Общие сведения о предмете. Представление действительных чисел в ЭВМ. Целые числа,
действительные числа, характеристики машинного множества чисел. Источники погрешностей
5
в вычислительном процесс. Устойчивость вычислительного алгоритма.
Раздел 5. Численные методы линейной алгебры.
5.1. Прямые методы Компактная схема Гаусса. Метод квадратного корня. Метод прогонки.
Достаточные условия устойчивости алгоритма прогонки. Нормированные пространства. Норма
оператора. Норма матриц. Согласованность норм. Нахождение границ спектра положительных
матриц.
5.2. Итерационные методы решения линейных систем алгебраических уравнений. Метод
простой итерации. Метод Зейделя. Метод релаксации. Метод наискорейшего спуска и
минимальной невязки. Достаточные условия сходимости итерационных методов. Теорема о
достаточных условиях сходимости. Сравнение скорости сходимости метода простой итерации и
метода Зейделя. Практическое правило оценки погрешности решения линейных систем
итерационными методами.
5.3. Линейные системы с приближенно заданными матрицами и правой частью. Мера
обусловленности линейных систем. Погрешность приближенного решения линейных систем.
Регуляризирующие алгоритмы. Построение регуляризирующего алгоритма для плохо
обусловленных линейных систем.
Раздел 6. Численные методы решения нелинейных уравнений.
Метод простой итерации для решения нелинейного уравнения. Достаточные условия
сходимости метода постой итерации. Практическое правило оценки погрешности решения.
Метод простой итерации для решения систем нелинейных уравнений. Достаточные условия
сходимости метода постой итерации для систем нелинейных уравнений. Практическое правило
оценки погрешности. Метод Ньютона для решения нелинейного уравнения. Скорость
сходимости. Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.
Раздел 7. Элементы теории приближений.
Задача интерполяции и аппроксимации. Интерполяционная формула Лагранжа. Остаточный
член. Cплайн-интерполяция. Построение сплайна 1-го и 3-го порядков.
Раздел 8. Численное интегрирование.
Квадратурные формулы. Квадратурные формулы интерполяционного типа: квадратурная
формула трапеций и ее погрешность, квадратурная формула Симпсона и ее погрешность.
Усложненные квадратурные формулы интерполяционного типа: трапеций и ее погрешность,
Симпсона и ее погрешность. Сплайн квадратура. Правило Рунге и уточнение решения по
Ричардсону. Квадратурные формулы Филона.
Раздел 9. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Понятие разностной схемы. Методы, основанные на разложении в ряд Тейлора. Метод Эйлера,
метод предиктор-корректор, методы Рунге-Кутта. Многошаговые методы типа Адамса.
Погрешность аппроксимации и устойчивость разностной схемы. Устойчивость и сходимость.
Обоснование метода Эйлера и его вычислительной устойчивости. Жесткие дифференциальные
уравнения. Неявные разностные схемы.
6. Лабораторный практикум
№
п/п
5
6
8
№ раздела
дисциплины
2
3
5
9
6
Наименование лабораторной работы
Численные методы решения линейных алгебраических систем.
Численные методы нахождения безусловного экстремума.
Квадратурная формула.
Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений.
7. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
6
7.1 Рекомендуемая литература.
а) основная литература:
1. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. - М.: Наука, 1978.- 400 с.
2. Вендров А.М. CASE-технологии. Современные методы и средства проектирования
информационных систем. - М.: Финансы и статистика, 1998.-176 с.
3. Киндлер Е. Языки моделирования. - М.: Энергия, 1985.- 288 с.
4. Марков А.А. Моделирование информационно-вычислительных процессов. - М.: Изд-во
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999.-360 с.
5. Математическая теория планирования эксперимента / Под ред. С.М. Ермакова. - М.: Наука,
1983.- 392 с.
6. Питерсон Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем. - М.: Мир, 1984.- 264 с.
7. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. Практикум. - М.: Высшая школа, 1999.224 с.
8. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. Учебник для ВУЗов. - М.: Высшая
школа, 1985.-320 с.
9. Шрайбер Т.Дж. Моделирование на GPSS. - М.: Машиностроение, 1980.- 592 с.
10. А.А. Cамарcкий. Введение в численные методы. - М.: Наука, 1982, 1988 –272с.
11. Н.C. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. Численные методы. - М.: Наука. Гл. ред.
физ.-мат. лит., 1987 – 631с.
б) дополнительная литература:
1. Армстронг Дж. Р. Моделирование цифровых систем. - М.: Мир, 1992.- 174 с.
2. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. - М.: Мир, 1989.- 540 с.
3. Калянов Г.Н. CASE структурный системный анализ (автоматизация и применение). М.:
Издательство "ЛОРИ", 1996.- 242 с.
4. Математическое моделирование: Методы, описания и исследования сложных систем / Под
ред. А.А. Самарского. - М.: Наука, 1989.- 128 с.
5. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем - Искусство и наука. - М.: Мир, 1978.- 418
с.
6. А.А. Самаpский, Теория разностных схем. - М.: Наука, 1978 – 654с.
7. Дж. Форcайт, М. Маллькольм, К. Моулер. Машинные методы математических вычислений.
- М.: Мир, 1980 – 278с.
8. С.М. Никольский, Квадратурные формулы. - М.: Наука, 1988 – 256с.
9. К.И. Бабенко, Основы численного анализа. - М.: Наука, 1986 – 744с.
10. Ю.В. Ракитский, С.М. Устинов, И.Г. Чеpноpуцкий, Численные методы решения жестких
систем. - М.: Наука, 1979 – 208с.
11. Г.И. Маpчук, Методы вычислительной математики. - М.: Наука, 1977 – 436с.
8. Вопросы для контроля
1. Основные понятия моделирования ИП.
2. Основные виды математических моделей.
3. Методы составления математического описания объекта.
4. Непрерывно-детерминированные модели (D – схемы).
5. Дискретно-детерминированные модели (F - схемы).
6. Дискретно-стохастические модели (P - схемы).
7. Непрерывно-стохастические модели (Q - схемы).
8. Сетевые модели (N - схемы).
9. Комбинированные модели (А - схемы).
10. Построение концептуальных моделей ИП и их формализация.
11. Алгоритмизация моделей ИП и их машинная реализация.
12. Получение и интерпретация результатов моделирования ИП.
13. Генерация случайных чисел. Генерация последовательностей псевдослучайных чисел.
14. Моделирование случайных величин (метод обратных преобразований, показательный
закон, нормальный закон распределения).
15. Вычисление определённого интеграла методом Монте-Карло.
7
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
Решение системы алгебраических уравнений методом Монте-Карло.
Решение дифференциальных уравнений Пуассона и Лапласа методом Монте-Карло.
Теория случайных блужданий. Примеры применения.
Перколяция. Порог перколяции.
Фрактальная размерность. Регулярные фракталы и самоподобие.
Теория клеточных автоматов. Примеры применения.
Моделирование дифракции методом Монте-Карло.
Вычисление энтропии методом Монте-Карло.
Моделирование микроканонического ансамбля методом Монте-Карло. Модель Изинга.
Основные понятия теории СМО. Потоки событий. Математическая модель потока событий.
Математическая модель простейшего пуассоновского потока. Свойства простейшего
пуассоновского потока: ординарность, отсутствие последействия, стационарность.
Моделирование СМО, в которых протекают марковские процессы с дискретным
состоянием и непрерывным временем.
Планирование машинных экспериментов с имитационными моделями СМО. Основные
понятия теории планирования экспериментов. Этапы планирования и проведения
эксперимента.
Основные объекты GPSS. Блоки GENERATE и TERMINATE, RELEASE и SEIZE,
ADVANCE, GATE и TEST, TRANSFER. Примеры использования.
Основные объекты GPSS. Блоки для описания очередей, блоки для описания накопителя.
Примеры использования.
Определение устойчивого вычислительного процесса.
Понятие нормированного пространства и нормы.
Норма оператора, кубическая, октаэдрическая и сферическая нормы матриц.
Достаточные условия сходимости метода простой итерации для решения линейных
алгебраических систем.
Критерий окончания итерационных процессов.
Основная идея метода Зейделя для решения линейных алгебраических систем.
Число обусловленности.
Регуляризирующий алгоритм.
Метод простой итерации и метод Ньютона решения систем нелинейных алгебраических
уравнений. Геометрическая интерпретация для скалярного уравнения.
Сплайн, сплайн-интерполяция.
Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.
Правило Рунге и уточнение решения по Ричардсону.
Понятие разностной схемы. Явная и неявная схема Эйлера решения задачи Коши для
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Схемы предиктор-корректор решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Схемы Адамса решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Погрешность аппроксимации разностной схемы.
Устойчивость разностной схемы.
9. Критерии оценок
Зачтено
Не зачтено
Превосходно
Отлично
Оценку заслуживает студент, обнаруживший знание основных положений
теории моделирования, умение практического моделирования, знакомый с
основной литературой, рекомендованной программой.
Оценка выставляется студенту, обнаружившему большие пробелы в
понимании основных положений теории моделирования, допустившему
принципиальные ошибки в практическом моделировании.
Превосходная подготовка с очень незначительными погрешностями.
Подготовка, уровень которой существенно выше среднего, с
незначительными ошибками
8
Очень хорошо
Хорошо
Удовлетворительно
Неудовлетворительно
Плохо
Хорошая подготовка с некоторыми ошибками
Хорошая подготовка с рядом заметных ошибок
Подготовка, удовлетворяющая минимальным требованиям
Необходима дополнительная подготовка
Подготовка совершенно недостаточная
10. Примерная тематика курсовых работ и критерии их оценки
Не предусмотрены.
9
Программа составлена в соответствии с Федеральным государственным образовательным
стандартом по специальности 090302 «Информационная безопасность телекоммуникационных
систем».
Авторы программы: ___________ Кулинич В.В.
___________ Жуков С.Н.
Программа рассмотрена на заседании кафедры математики 18 марта 2011 г.
протокол № 10-11-04
Заведующий кафедрой математики _________________ Дубков А.А.
Программа рассмотрена на заседании кафедры общей физики 29 марта 2011 года
протокол № 04-10/11
Заведующий кафедрой общей физики ___________________ Бакунов М.И.
Программа одобрена методической комиссией факультета 11 апреля 2011 года
протокол № 05/10
Председатель методической комиссии_________________ Мануилов В.Н.
10