МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Череповецкий государственный университет» ВСТУПИТЕЛЬНОЕ ИСПЫТАНИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 21 задание. Часть 1 содержит 9 заданий базового уровня сложности с кратким ответом. Часть 2 содержит 5 заданий повышенного уровня сложности с кратким ответом и 7 заданий высокого уровня сложности с развёрнутым ответом. На каждое из заданий 1–14 требуется дать краткий ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Запишите его напротив номера задания в таблицу в конце бланка. Задания 15–21 с развёрнутым ответом. При выполнении заданий 15–21 нужно привести полное решение. Запишите его на листе-вкладыше Вашей работы. Обязательно укажите номер задания, которое Вы решаете. Часть 1. 1. Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 3%. Книга стоит 300 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу? Ответ:__________________ 2. На диаграмме показана средняя температура воздуха (в градусах Цельсия) в СанктПетербурге за каждый месяц 2014 года. Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда среднемесячная температура была от -10 до +10 градусов. Ответ:__________________ 3. Семья из трех человек едет из Москвы в Чебоксары. Можно ехать поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 930 рублей. Автомобиль расходует 11 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 18,5 рублей за литр. Сколько рублей придется заплатить за наиболее дешевую поездку на троих? Ответ:__________________ 4. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ:__________________ 5. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет больше 2, но меньше 7? Ответ:__________________ 6. Найдите корень уравнения 3 Ответ:__________________ 7. x4 27. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC 20 , tgA 0,75 . Найдите BC. Ответ:__________________ 8. На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0. Ответ:__________________ 9. От треугольной призмы, объем которой равен 15, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части. Часть 2 . 10. Найдите значение выражения 4 3 sin 780 11. Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной l км с постоянным ускорением a км/ч2, вычисляется по формуле v 2la . Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,7 километра, приобрести скорость не менее 105 км/ч. Ответ выразите в км/ч2. 12. Диагональ куба равна 243 . Найдите объем куба. 13. Моторная лодка прошла против течения реки 99 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч. 14. Найдите наибольшее значение функции у х 2 х 2 . 15. Решите уравнение: 2 cos x cos x 2 11tgx 0 . 16. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины рёбер AB и BC и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 5, а сторона основания равна 4. x 54 3 3 x 29 17. Решить систему: log x3 x 1 0 4 18. Дан треугольник со сторонами 115, 115 и 184. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей. 19. В конце года вкладчику на его сбережения банк начислил проценты, что составило 15 евро. Добавив ещё 85 евро, вкладчик оставил деньги ещё на год. По истечении года вновь были начислены проценты, и вклад вместе с процентами составил 420 евро. Какая сумма первоначально была положена в банк? 20. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение на промежутке 0; имеет более двух корней. 6 5 ax 1 x 21. Найдите все такие пары натуральных чисел a и b, что если к десятичной записи числа a приписать справа десятичную запись числа b, то получится число, большее произведения чисел a и b на 32. Ответы на задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 x 3 291 8 1424,5 21 0,4 -1 15 4 10 6 7875 729 10 -1 2k , x k , k 38 1; log3 2 3 20 или 23 300 5 3 a ; 6 2 (12; 8) и (23; 9)