РАЗРАБОТКА Упражнения для организации итогового повторения по теме «Степени и корни» ГБОУ НПО Профессиональный лицей метростроя преподаватель математики Реготова Наталия Викторовна СОДЕРЖАНИЕ 1. Введение 2. Основные определения и теоремы 3. Система упражнений для организации итогового повторения по теме « Степени и корни» 1 1. Введение В данной разработке сделана попытка обобщить и систематизировать материал, касающийся степеней и корней. Даны основные определения, сформулированы свойства. Приведены примеры заданий различной сложности: арифметические задания на вычисление значений выражений с корнями и степенями, алгебраические задания на преобразование выражений, решение уравнений и неравенств. Рассматриваемые вопросы широко применяются в алгебре и часто используются в заданиях ЕГЭ. Данная тема не является самой сложной в курсе алгебры 10 – 11 классов. Однако при выполнении заданий встречается много ошибок. Использование данных упражнений поможет закрепить умения и углубить знания по данной теме. 2 2. Основные определения и теоремы. Пусть дано положительное число а и произвольное действительное число п. Число ап называется степенью, число а – основанием степени, число п – показателем степени. По определению полагают: а1 = а, а0 = 1, а-п = 𝟏 ап , п∈ R 𝒎 𝒏 Если а – положительное число, т – целое число, а п – натуральное число и п ≥ 2, то а 𝒏 = √𝒂𝒎 . Свойства степени. Если а и в – положительные числа, х и у – любые действительные числа, то справедливы следующие свойства: ах ау = а х + у, ах : ау = а х - у, (а х) у = а х у, ах в х = (а в) х, ах вх а = ( )х. в Пусть п – натуральное число, отличное от единицы, а – неотрицательное число. Арифметическим корнем п –й степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, п – я степень которого равна а. п Для арифметического корня п- й степени из неотрицательного числа а используется обозначение √а. Если п=2, 3 п пишут √а. По определению ( √а )п = а. 𝟐п Для любых, в том числе отрицательных, значений а справедлива формула √а𝟐п = /а/, в частности, и √а𝟐 = /а/ √(а − в )2 = /а – в/. Свойства арифметического корня. Если а и в – неотрицательные числа, п и к – натуральные числа, отличные от единицы, т –целое число, то имеют место следующие соотношения: √𝒂𝒎 = ( √𝒂𝒎 ), 𝒏 𝒌 𝒏 𝒏 п 𝒏 𝒏 𝒏 𝒏 √𝒂 𝒃 = √𝒂 √𝒃, √ √𝒂 = 𝒌𝒏√𝒂, 𝒂 √𝒃 = 𝒏𝒌 𝒌 √𝒂 √𝒂 = √𝒂𝒌+𝒏 , 𝒏 𝒏 √𝒂 √𝒃 𝒏 , b неравно 0, 𝒏𝒌 𝒌 √𝒂 : √𝒂 = √𝒂𝒌−𝒏 . Степень с дробным показателем. Если а – положительное число, т – целое число, а п – натуральное число и п ≥ 2, то 𝒎 𝒏 𝒏 𝒂 𝒏 = √𝒂𝒎 = ( √𝒂)m. 4 3.Система упражнений: 1) Вычислите: 𝟔− 𝟒 𝟔− 𝟒 𝟔 𝟐 ∙ 𝟔− 𝟗 , − 𝟏𝟐 , −𝟒 √𝟖√𝟔 √𝟏𝟓 , √𝟐𝟒 √𝟔√𝟏𝟎 (𝟑√𝟓)𝟐 , 𝟏𝟓 𝟔 , 2√𝟓 - √𝟒𝟓 + √𝟑 , √𝟐𝟕 ∙ √𝟔 ∙ √𝟐 − 𝟖, 1,70+ 32:3-1 – 251/2 , 163/4 – 71,7:7-0,3 + 430, 𝟓 𝟏 𝟕 𝟑 (𝟐√𝟑)𝟐 , ( )2 ∙1,4 + 1251/3 – ( )-1, - 0,43∙0,4-2∙52 +160,5, 811/4∙9-1/2 + 13,40 –(52)-1 , 641/3:90,5 – 35,2∙ 3- 6,2 +5,20, (641/3 ∙ 272/3 ∙ 2432/5 ∙ 128 3/7 )1/2, (62,5 ∙ 36 -1)4 - ( 51/4∙253/8) sin П/ 2. 𝟔 𝟔 𝟔 𝟑 2) Найдите значение выражения: √𝟑𝟕 ∙ √𝟒𝟓 ∙ √𝟒 ∙ 𝟑𝟓 , 𝟑 √𝟓𝟒 𝟑 √𝟐𝟓𝟎 ∙ √𝟏𝟔, − 𝟔√ 𝟗 𝟏 𝟒 + √𝟑𝟐𝟒 𝟐 𝟑 , √𝟏𝟖𝟗 𝟑 𝟑 √𝟕 𝟑 √𝟔𝟐𝟓 + √𝟏𝟔 - √𝟒𝟎 - √𝟐𝟓, 𝟐 , 𝟑 𝟓 :√ 𝟏 𝟎,𝟎𝟗 ∙ 𝟏 √𝟐𝟓 , 𝟖√𝟓 𝟎,𝟒√𝟎,𝟐 0,3∙ √𝟏𝟎 ∙ √𝟔 ∙ √𝟏𝟓 -0,1, 𝟖 𝟐𝟕 𝟑 ∙𝟑√ , 𝟐,𝟓 . 𝟑 𝟑) Найдите значение выражения: х𝟑/𝟒 − 𝟐𝟓х𝟏/𝟒 х𝟏/𝟐 +𝟓х𝟏/𝟒 х−у х𝟏/𝟐 −у𝟏/𝟐 𝟏 + а𝟏/𝟒 − в𝟏/𝟒 −𝟕 𝒏𝟓 у𝟏/𝟐 − у у𝟏/𝟐 р𝟎,𝟓 + 𝟓 + 𝟓р𝟎,𝟓 р−𝟐𝟓 𝟏 𝟒 𝟐 , при р = 49, 𝒙√𝒙+ 𝟐𝟕 , 𝒙−𝟑√𝒙+𝟗 𝟏/𝟐 р𝟏/𝟐 − 𝒒 𝟐𝒑𝟏/𝟐 𝒑−𝒒 - √𝒙 , при х = 7, , при р =16, q = 9, 𝟏 х−у , при х = 16, у = 25, 𝟏 + 46Р∙4 -4Р , при р = , при п = 8, 𝒑𝟎,𝟓 , при х =16, 𝟏 а𝟐 − в𝟐 𝒏𝟓 𝟏 𝟑 а𝟐 − а𝟒 а𝟏/𝟒 х𝟏/𝟐 + у𝟏/𝟐 а−в , при а = 625, в = 16, 4) Решите уравнения: 75х+6 = 49, 𝟏 2-х = ( )1-х, 𝟐 3х2 -5х+1 = 81, 𝟏 𝟖 𝟏 3 х = ( )1 + х , 𝟑 𝟔𝟒 𝟐х+𝟑 = 0,125 х-7 , 6 𝟏 , при х = 9, у = 49, х𝟐 в−𝟏/𝟐 -2 𝟏/𝟐 а𝟏/𝟐 − в ( )0,5х – 1 = 4, - х𝟐 + х в−𝟏 ( 𝟏 𝟐𝟕 , при а = 9, в =16. )1 – 3х = 9, 10-х = 𝟏 𝟏𝟎𝟏−х , 53х-1∙23х-1 = ∛0,1 , 2 х+2 – 2 х = 96, 5∙7 х-1 + 4∙3 х + 3 х+1 - 2∙7 х = 0, 9 х – 3 х-1 = 6, 4 х + 3 ∙ 6 х – 4 ∙ 9 х = 0, 5) Решите неравенства: 16 ≤ 2 х+3, 4 х - 10∙2 х-1 = 24, 2 х-1 + 2 –х-1 = 1. 𝟏 2 5х+7 ≥ 8 х, 2х >- , 5х ≤ , 2∙4 х+1 > 2 –х -1 , 3∙9 х+1 < 3 – х – 1 , 9 х - 9∙3 –х ≥ 0, 7 х - 7∙7 – х -2 < 0, ( ) х - 8∙2 – х > 0, 𝟏 𝟓 𝟐𝟓𝟑х−𝟏 (𝟎,𝟐)х−𝟑 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝟖 > √𝟏𝟐𝟓х+1, ( ) х+2+4/ х ≤ , 9 х – 3 х+1 > 4, 2 х – 2 1-х ≥ 1, 7 𝟏 𝟒 2 х+1 + 3∙2 х < 10, 9 х - 5∙ 6х - 6∙ 4 х ≤ 0.