13_2920_010101AspMAAbstrHarmAn (новое окно)

П
риложение к приказу первого проректора по
учебной и научной работе
от________________№_______________
Правительство Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный университет
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
учебной дисциплины
Абстрактный гармонический анализ
Abstract Harmonic Analysis
Язык(и) обучения
русский
Трудоёмкость (границы трудоёмкости) в зачетных единицах: ________
Регистрационный номер рабочей программы: ______________
Санкт-Петербург
2013
Раздел 1.
1.1.
Характеристики учебных занятий
Цели и задачи учебных занятий
Усвоение основных идей, понятий и фактов в области абстрактного гармонического
анализа. Формирование у обучающихся навыков научной работы.
1.2. Требования к подготовленности обучающегося к освоению содержания
учебных занятий (пререквизиты)
Обучающиеся должны обладать знаниями по математическому и функциональному
анализу в объеме стандартного университетского курса по программе подготовки магистра
по математическим специальностям.
1.3.
Перечень результатов обучения (learning outcomes)
Знать содержание программы курса и иметь навыки самостоятельной работы.
Перечень активных и интерактивных форм учебных занятий
4..
Промежуточная аттестация (зачет).
Раздел 2.
2.1.
Организация, структура и содержание учебных занятий
Организация учебных занятий
2.1.1 Факультативный курс
Трудоёмкость, объёмы учебной работы и наполняемость групп обучающихся
Период
обучения
(модуль)
Контактная работа обучающихся с преподавателем
Самостоятельная работа
Объём Трудоё
активн мкость
ых и
интера
ктивны
х
форм
учебны
х
заняти
й
лекци семи консул практ лабо контр коллок
и нары ьтации ичес ратор ольны виумы
кие ные
е
занят работ работ
ия
ы
ы
теку проме итого под
в
текущ проме итогова
щий жуточн вая руков прис
ий жуточ
я
конт
ая аттес одств утств сам.ра контро ная аттеста
роль аттеста таци ом ии
ль аттест ция
б. с
ция
я преп преп испол (сам.р ация
одава одава ьзован аб.) (сам.р (сам.ра
б.)
теля теля ием
аб.)
метод
ическ
их
матер
иалов
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
1 год обучения
18
2 год обучения 18
ИТОГО
36
18
2
18
2
36
Формы текущего контроля успеваемости, виды промежуточной и итоговой аттестации
Период обучения (модуль)
Формы текущего
контроля
успеваемости
Виды промежуточной
аттестации
Виды итоговой аттестации
(только для программ итоговой
аттестации и дополнительных
образовательных программ)
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
2 год обучения
зачет
2.2. Структура и содержание учебных занятий
Факультативный курс
Основная траектория
Очная форма обучения
Период обучения (модуль): 1 год обучения
Тема 1. Основные понятия, связанные с топологическими группами. Подгруппы и
факторгруппы. Произведение групп. Проективные пределы. Важнейшие примеры
локально компактных абелевых групп.
Тема 2. Интегрирование на локально компактных пространствах. Интеграл по
комплексному заряду. Интегрирование на произведении пространств. Интеграл как
функционал. Инвариантные функционалы. Мера Хаара на локально компактной абелевой
группе.
Тема 3. Анализ Фурье на группах. Свёртка функций и мер на локально компактной
абелевой группе. Характеры. Двойственная группа. Преобразование Фурье. Положительно
определённые функции. Теорема Планшереля. Теорема двойственности Понтрягина.
Компактификация по Бору.
Тема 4. Структура локально компактных абелевых групп. Двойственность между
подгруппами и факторгруппами. Прямые суммы. Монотетические группы. Основная
структурная теорема. Преобразование Фурье на подгруппах и факторгруппах.
Тема 5. Идемпотентные меры. Тривиальные случаи. Сведение к случаю компактных
групп. Разложение на неприводимые меры. Характеризация неприводимых
идемпотентных мер. Нормы идемпотентных мер.
Период обучения (модуль): 2 год обучения
Тема 6. Меры и преобразования Фурье на тонких множествах. Независимые
множества и множества Кронекера. Существование совершенных множеств Кронекера.
Множества Хелсона. Множества Сидона.
Тема 7. Замкнутые идеалы в пространстве суммируемых функций на группе.
Тауберова теорема Винера. Пример Шварца отсутствия спектрального синтеза. Примеры
Герца множеств, допускающих спектральный синтез. Теорема Мальявэна. Идеалы,
которые не замкнуты относительно комплексного сопряжения.
Тема 8. Анализ Фурье на линейно упорядоченных группах. Упорядоченные локально
компактные абелевы группы. Теорема братьев Рисс. Классы Харди на упорядоченной
локально компактной абелевой группе. О факторизации функций классов Харди.
Инвариантные подпространства.
Тема 9. Замкнутые подалгебры в пространстве суммируемых функций. Случай
компактных групп. Максимальные подалгебры. Свойство Стоуна-Вейерштрасса.
Раздел 3.
3.1.
Обеспечение учебных занятий
Методическое обеспечение
3.1.1 Методические указания по освоению дисциплины
Посещение лекций
3.1.2 Методическое обеспечение самостоятельной работы
Основная и дополнительная литература
3.1.3 Методика проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации и критерии оценивания
Методика проведения экзамена
Методика проведения зачета
Зачет проводится в устной форме. Билет содержит 2 вопроса. На подготовку к ответу
отводится не менее 1 академического часа. После ответа на основные вопросы билета,
преподаватель вправе задать дополнительные вопросы по любой теме из списка вопросов,
вынесенных зачет. В качестве дополнительных, используются вопросы, не требующие
длительного вывода и трудоемких вычислений, в том числе определения, основные
формулы.
Использование конспектов может быть разрешено при согласии преподавателя.
Использование учебников, а также электронных устройств хранения, обработки или
передачи информации при подготовке и ответе на вопросы экзамена категорически
запрещено. В случае обнаружения факта использования недозволенных материалов
(устройств) составляется акт и студент удаляется с экзамена.
Критерии выставления оценок за зачет.
Оценка «зачтено» выставляется, если выполняются оба условия:
1. обучающимся дан полный ответ на один вопрос билета, по второму вопросу
написаны определения, основные формулы и графики (в случае наличия);
2. обучающийся отвечает более чем на половину дополнительных вопросов.
Оценка «не зачтено» выставляется, если не выполняется условие для получения оценки
«зачтено».
3.1.4 Методические материалы для проведения текущего контроля успеваемости и
промежуточной аттестации (контрольно-измерительные материалы, оценочные
средства)
Список вопросов к зачету:
1. Подгруппы и факторгруппы. Произведение групп. Проективные пределы.
2. Важнейшие примеры локально компактных абелевых групп.
3. Интеграл по комплексному заряду. Интегрирование на произведении пространств.
Интеграл как функционал.
4. Инвариантные функционалы. Мера Хаара на локально компактной абелевой группе.
5. Свёртка функций и мер на локально компактной абелевой группе.
6. Характеры. Двойственная группа. Преобразование Фурье. Положительно определённые
функции.
7. Теорема Планшереля.
8. Теорема двойственности Понтрягина. Компактификация по Бору.
9. Двойственность между
Монотетические группы.
подгруппами
и
факторгруппами.
Прямые
суммы.
10. Основная структурная теорема.
11. Преобразование Фурье на подгруппах и факторгруппах.
12. Идемпотентные меры. Тривиальные случаи. Сведение к случаю компактных групп.
13. Разложение на неприводимые меры. Характеризация неприводимых идемпотентных
мер. Нормы идемпотентных мер.
14. Независимые множества и множества Кронекера. Существование совершенных
множеств Кронекера.
15. Множества Хелсона. Множества Сидона.
16. Тауберова теорема Винера.
17. Пример Шварца отсутствия спектрального синтеза.
18. Примеры Герца множеств, допускающих спектральный синтез.
19. Теорема Мальявэна. Идеалы, которые не замкнуты относительно комплексного
сопряжения.
20. Упорядоченные локально компактные абелевы группы.
21. Теорема братьев Рисс.
22. Классы Харди на упорядоченной локально компактной абелевой группе. О
факторизации функций классов Харди.
23. Инвариантные подпространства.
24. Замкнутые подалгебры в пространстве суммируемых функций. Свойство СтоунаВейерштрасса.
3.1.5 Методические материалы для оценки обучающимися содержания и качества
учебного процесса
3.2.
Кадровое обеспечение
3.2.1 Образование и (или) квалификация штатных преподавателей и иных лиц,
допущенных к проведению учебных занятий
К чтению лекций должны привлекаться преподаватели, имеющие ученую степень доктора
или кандидата наук (в том числе степень PhD, прошедшую установленную процедуру
признания и установления эквивалентности) и/или ученое звание профессора или доцента.
3.2.2 Обеспечение учебно-вспомогательным и (или) иным персоналом
не требуется
3.3.
Материально-техническое обеспечение
3.3.1 Характеристики аудиторий (помещений, мест) для проведения занятий
Стандартно оборудованные лекционные аудитории с возможностью электронной
презентации курса, должна вмещать поток в соответствии со списком студентов
3.3.2 Характеристики
аудиторного
оборудования,
в
том
числе
неспециализированного компьютерного оборудования и программного обеспечения
общего пользования
доска для письма мелом или фломастером, мультимедийный проектор
3.3.3 Характеристики специализированного оборудования
не требуется
3.3.4 Характеристики специализированного программного обеспечения
не требуется
3.3.5 Перечень и объёмы требуемых расходных материалов
Мел — не менее 1 куска на час лекционных занятий, фломастеры для доски, губка
3.4.
Информационное обеспечение
3.4.1 Список обязательной литературы
Список согласован с библиотекой
1. Рудин У. Функциональный анализ. СПб: Лань, 2005. 40 экз.
3.4.2 Список дополнительной литературы
1. Хьюитт Э., Росс К., Абстрактный гармонический анализ, том 1. Москва, "Наука",
1975. 4 экз.
2. Хьюитт Э., Росс К., Абстрактный гармонический анализ, том 2. Москва, "Наука",
1975. 3 экз.
3. Моррис С., Двойственность Понтрягина и строение локально компактных абелевых
групп. Москва, "Мир", 1980. 5 экз.
4. Понтрягин П.С., Непрерывные группы. Москва, "Наука", 1984. 6 экз.
5. Кахан Ж.-П., Абсолютно сходящиеся ряды Фурье. Москва, "Мир", 1976. 5 экз.
6. Иосида К., Функциональный анализ. Москва, "Мир", 1967-2007.
20 экз.
7. Наймарк М.А., Нормированные кольца. Москва, "Наука", 1968. 6 экз.
3.4.3 Перечень иных информационных источников
Раздел 4. Разработчики программы
Александров Алексей Борисович, доктор
математического анализа, alex@pdmi.ras.ru
физ.-мат.
наук,
профессор
кафедры