Учебная практика - Основные образовательные программы ТюмГУ

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
«УТВЕРЖДАЮ»
Проректор по учебной работе
__________________ /Волосникова Л.М./
____ _____________ 2011 г.
УЧЕБНАЯ ПРАКТИКА
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 011000.62 – Механика. Прикладная математика
«ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ»:
Автор работы __________________ /Мачулис В.В./
«____» _____________ 2011 г.
Рассмотрено на заседании кафедры математического моделирования 11 февраля 2011 г.,
протокол №7.
Соответствует требованиям к содержанию, структуре и оформлению.
«РЕКОМЕНДОВАНО К ЭЛЕКТРОННОМУ ИЗДАНИЮ»:
Объем 6 стр.
И.о. зав. кафедрой __________________ /Бутакова Н.Н./
«____» _____________ 2011 г.
Рассмотрено на заседании УМК Института математики и компьютерных наук 23 марта
2011 г., протокол №6.
Соответствует ФГОС ВПО и учебному плану образовательной программы.
«СОГЛАСОВАНО»:
Председатель УМК __________________ /Гаврилова Н.М./
«____» _____________ 2011 г.
«СОГЛАСОВАНО»:
Зав. методическим отделом УМУ __________________ /Федорова С.А./
«____» _____________ 2011 г.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК
КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
В.В. Мачулис
УЧЕБНАЯ ПРАКТИКА
Учебно-методический комплекс
Рабочая учебная программа для студентов
направления 011000.62 – Механика. Прикладная математика
Тюменский государственный университет
2011
В.В. Мачулис. Учебная практика. Учебно-методический комплекс. Рабочая учебная
программа для студентов направления «Механика. Прикладная математика» Института
математики и компьютерных наук. Тюмень, 2011, 6 стр.
Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Учебная практика [электронный
ресурс] / Режим доступа: http://www.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено
проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР:
Н.Н. Бутакова, к.ф.-м.н., доцент, и.о. зав. кафедрой
математического моделирования
© ГОУ ВПО Тюменский государственный университет, 2011
Цели и задачи:
1) углубление и совершенствование знаний и умений, полученных студентами в
процессе обучения;
2) изучение и применение одного из приближенных вычислительных методов для
решения исследовательской задачи с помощью одного из языков программирования
(Maple, Matlab, Python, Fortran);
3) формирование навыка самостоятельной работы с литературой, в том числе
имеющейся в Сети Интернет.
Содержание
работы:
каждый
студент
получает
индивидуальное
задание
исследовательского характера, которое предусматривает применение приближенных
аналитических
методов,
методов
исследования
динамических
систем,
а
также
программирования на одном из указанных выше языков.
Требования к оформлению: Работа представляется в печатном виде (формат А4),
листинги программ и рисунки оформляются как приложения.
Контроль выполнения: работа считается успешно выполненной, если студент
решил поставленную задачу, оформил и защитил отчёт по практике.
Литература:
1. Андронов А. А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. – М.: Наука, 1981. 568 с.
2. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования
динамических систем на плоскости. - М.: Наука, 1976. - 496 с.
3. Найфэ А. Х. Введение в методы возмущений. – М.: Мир, 1984 .-535 c.
4. Федорюк
М.
В.
Асимптотические
методы
для
линейных
дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1983 .-352 c.
Примерные задания (задачи меняются ежегодно):
Задача №1
(а) Исследовать неподвижные точки системы


 x  y 16  2 x 2  2 y 2  x   1

.

2
2

y

x

2
x

2
y

x
16
x

4





3
обыкновенных
Определить тип неподвижных точек. Существуют ли здесь гомоклинические
траектории?
(б) Рассмотреть систему с параметром


 x  y 16  2 x 2  2 y 2  x   1

.

2
2

y


x

2
x

2
y

x
16
x

4





Исследовать поведение системы при изменении параметра в промежутке  2;2 .
Задача №2
Исследовать уравнение
1


x   x2  x 2  x 4    x  x  x 3  0
2


при  
1
. Найти равновесные точки и определить их тип.
2
Задача №3
Провести полное исследование системы
2

 x  a  x
, aR.

2

 y   y  ( x  a)(1  2 x)
Найти неподвижные точки, их тип, особые траектории. Имеются ли в системе
бифуркации?
Задача №4
Исследовать уравнение
x    x  1 x  x  0 .
Доказать существование предельного цикла и найти приближенно его амплитуду и
период.
Задача №5
Исследовать уравнение
x  x   x3  0,   0
на наличие периодических решений. Методом гармонического баланса определить
зависимость между частотой и амплитудой периодических решений. Найти нижнюю
границу амплитуды.
4
Задача №6
С помощью метода Линдштедта получить приближенные аналитические решения
уравнений
x   xx  x  0 и (1   x) x  x  0
с начальными условиями x(0)  a, x(0)  0 .
Задача №7
Исследовать равновесные точки уравнения
x    x 4    x  x  x3  0,     0, 0    1 .
Применить прямой метод разложения по малому параметру и найти приближенное
отношение

на гомоклинической траектории.

Задача №8
Показать, что система
 x  x  y  x ( x 2  y 2 )

2
2
 y   x  y  y ( x  y ) .
 z   z

Имеет предельный цикл. Найти его уравнение и исследовать устойчивость.
Задача №9
Применить метод Лайтхилла для получения равномерного приближения к
решению уравнения
(t   x) x  x  0, x( ,1)  1, 0  x  1 .
Задача №10

 1 
Найти аналитическое приближение порядка   для t  O    решения уравнения
  

x  2 x  x  0
методом многих масштабов с переменными t и    t .
5
Задача №11
Найти уравнения фазовых траекторий для системы
 x  y( x  1)
.

2
 y  x(1  y )
Определить устойчивые и неустойчивые многообразия для всех равновесных точек
системы.
6