файл

Лекция 5 по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»
5. Кривые и поверхности второго порядка, собственные векторы матриц
Кривые второго порядка
http://antselitsky.narod.ru/library.htm
В предыдущих лекциях мы изучали прямые линии и плоскости, они задаются
уравнениями первой степени: ax + by + cz + d = 0. Сегодня мы узнаем, какие линии на
плоскости описываются уравнением второго порядка
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0.
(1)
Для начала мы изучим эллипс, гиперболу и параболу, которые получаются в
результате сечения кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину.
Эллипс получается, если секущая плоскость пересекает все образующие одной полости
конуса (рис. 1, а); гипербола – если секущая плоскость пересекает обе полости конуса
(рис. 1, б); парабола получается, если секущая плоскость параллельна одной из
образующих конуса (рис. 1, в). В конце лекции мы покажем, что этими тремя линиями и
линейными образами (то есть, прямыми) исчерпываются все линии, определяемые
уравнениями второй степени.
1
Эллипс
Определение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости,
для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек этой плоскости,
называемых фокусами, есть величина постоянная.
y
M(x, y)
r1
r2
F1(-с, 0)
0
F2(-с, 0)
x
Рис. 2.
Пусть F1 и F2 – фокусы. Выберем начало координат в середине отрезка F1F2. Ось
Ox направим по отрезку F1F2, а Oy перпендикулярно вверх. Пусть 2c – длина отрезка F1F2,
если c = 0, то F1 совпадает с F2 и мы получаем окружность. В этой системе координат
фокусы имеют координаты F1(-с, 0), F2(с, 0). Обозначим через r1 и r2 расстояния от
фокусов F1 и F2 до точки M на эллипсе, а через 2a постоянную сумму этих расстояний.
Тогда условием того, что точка M принадлежит эллипсу, будет равенство
r1 + r2 = 2a.
(2)
Нас будет интересовать случай, когда 2a > 2c, так как если 2a = 2c, то эллипс вырождается
в отрезок F1F2. Найдем значения r1 и r2:
r1  F1 M  ( x  c) 2  y 2 , r2  F2 M  ( x  c) 2  y 2 .
Тогда условие (2) примет следующий вид:
( x  c ) 2  y 2  ( x  c ) 2  y 2  2a .
Перенесем первый корень в правую часть:
( x  c ) 2  y 2  2a  ( x  c ) 2  y 2
и возведем обе части полученного равенства в квадрат:
( x  c ) 2  y 2  4a 2  4a ( x  c ) 2  y 2  ( x  c ) 2  y 2 .
Выразим из последнего равенства корень:
4a ( x  c ) 2  y 2  4a 2  ( x  c ) 2  ( x  c ) 2 ,
4a ( x  c) 2  y 2  4a 2  x 2  2 xc  c 2  ( x 2  2 xc  c 2 ),
2
( x  c) 2  y 2  a 
c
x.
a
Возведем обе части последнего равенства в квадрат:
( x  c) 2  y 2  a 2  2cx 
c2 2
x .
a2
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
c2 2
x  2cx  c  y  a  2cx  2 x ,
a
2 2
2 2
4
2 2
2 2
a x a y  a a c c x ,
2
2
2
2
(a 2  c 2 ) x 2  a 2 y 2  a 2 (a 2  c 2 ).
Так как 2a  2c  0 , то разность a2 – c2 > 0, обозначим ее через b2 = a2 – c2. Последнее
равенство примет вид
b2 x2 + a2 y2 = a2 b2.
Разделив на a2b2, получим каноническое уравнение эллипса:
x2 y2

 1.
a2 b2
(3)
Замечание 1. Мы взяли точку на эллипсе и показали, что ее координаты
удовлетворяют уравнению (3). Но при возведении в квадрат уравнение могло приобрести
лишние корни. Можно проверить, что любая точка плоскости, координаты которой
удовлетворяют уравнению (3), лежит на эллипсе.
y
b
При x = 0 y  b , при y = 0 x   a .
Определение 2. Величины a и b называют
большой
и
малой
полуосями
эллипса
соответственно.
-a
0
a
x
-b
Рис. 3.
Гипербола
Определение 3. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости,
для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек
этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Как и в случае эллипса, обозначим фокусы F1 и F2. Расстояние между ними через
2c, а постоянную абсолютную величину разности расстояний r1 и r2 от фокусов до
гиперболы через 2a. Но в этом случае 2a < 2c, так как разность двух сторон треугольника
3
меньше его третьей стороны. Условием того, что точка M принадлежит гиперболе, будет
равенство
|r1 – r2| = 2a.
(4)
Или в координатной записи:
( x  c ) 2  y 2  ( x  c ) 2  y 2  2a .
Избавляясь от корней, так же как в случае эллипса, получим каноническое уравнение
гиперболы:
x2 y2
(5)

 1,
a2 b2
где b2 = c2 – a2.
При y = 0 x   a , а при x = 0 y   ib , то есть оси Oy гипербола не пересекает.
Определение 4. Величина a называется действительной полуосью гиперболы, а
b – мнимой.
b
x являются асимптотами гиперболы, то есть такими прямыми, что
a
расстояние от гиперболы до них стремится к нулю, при возрастании x.
Прямые y  
y
b
-a
a
x
0
-b
Рис. 4.
Если в уравнении (5) справа стоит -1,
то есть
y
x2 y2

 1 ,
a2 b2
b
то, переписав его в виде
-a
a
x
0
y2 x2

 1,
b2 a2
-b
мы видим, что координаты как бы меняются
местами. Это уравнение сопряженной
гиперболы (рис. 5).
4
Рис. 5.
Парабола
Определение 5. Параболой называется геометрическое место точек плоскости,
для которых расстояние до некоторой фиксированной точки этой плоскости равно
расстоянию до некоторой фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости.
Указанная точка называется фокусом, а прямая – директрисой параболы.
Мы будем рассматривать случай, когда фокус
не лежит на директрисе, иначе, парабола выродилась
бы в прямую перпендикулярную директрисе.
Обозначим через p расстояние от фокуса F до
директрисы. Выберем начало координат в середине
отрезка FD, представляющего собой перпендикуляр,
опущенный из фокуса F на директрису. Ось Ox
направим по отрезку DF, а ось Oy перпендикулярно
вверх. Тогда фокус F будет иметь координаты
p 
 , 0  , и расстояние r от фокуса до произвольной
2 
точки на плоскости M(x, y) будет равняться
y
d
M(x, y)
r
0
D
p
2
2
p 
F , 0
2 
x
p

r   x    y 2 , а расстояние d от точки M(x, y)
2
Рис. 6.

p
до директрисы d   x . Условие принадлежности точки M(x, y) параболе запишется в
2
виде
r = d.
(6)
Или в координатной форме:
2
p
p

2
x    y   x.
2
2

Избавляясь от корня, получим каноническое уравнение параболы:
y2 = 2px.
(7)
Число p называется параметром параболы. Если p < 0, то парабола лежит слева от
директрисы (x переходит в -x).
Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах
Для точки параболы отношение расстояния до
фокуса к расстоянию до директрисы равно единице.
Для эллипса отличного от окружности и гиперболы
можно
указать
такие
прямые,
называемые
директрисами, что отношение расстояний до фокуса к
расстоянию до директрисы, соответствующей
фокусу, есть постоянная величина, которую мы
обозначим через e. Выберем начало полярной
системы координат (ρ, φ) в фокусе F. Обозначим
через p расстояние от фокуса до директрисы.
N
K
ρ
φ
Q
p
F
Рис. 7.
5
M
Отношение
FM
MK
 e , FM   , а MK  p   cos  . Отсюда получаем, что

pe
.
1  e cos 
(8)
c
b2
 1  2  1 , а для параболы e = 1. Таким образом, уравнение (8)
a
a
является уравнением эллипса при e < 1 и уравнением параболы при e = 1 в полярных
Для эллипса e 
c
b2
координатах. Для гиперболы e   1  2  1 , но она имеет две ветви, так что ее
a
a
уравнение в полярных координатах имеет вид:
pe

1  e cos 
, e > 1.

 pe

1  e cos 
(9)
Наиболее просто в полярных координатах выглядит уравнение окружности:
ρ = R.
Уравнения директрис для эллипса и гиперболы имеют вид x  
(10)
a
. То есть, эллипс
e
директрисы пересекают, а гиперболу – нет.
Кривые второго порядка. Классификация кривых второго порядка
Теорема 1. Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат линия
задается алгебраическим уравнением степени n, то в любой другой декартовой
прямоугольной системе координат уравнение линии будет иметь такой же вид и
порядок.
Преобразованиями, которые переводят декартову прямоугольную систему
координат xOy в другую декартову прямоугольную систему координат x′Oy′, являются
поворот осей и перенос начала координат. Рассмотрим уравнение (1), при A2 + B2 + C2 ≠ 0,
и попробуем привести его к наиболее простому виду.
Предположим, что B ≠ 0. Покажем, что при помощи поворота всегда можно
избавиться от члена, содержащего смешанное произведение координат Bxy. После
поворота осей на угол φ старые координаты связаны с новыми формулами
x = x′ cos φ – y′ sin φ,
y = x′ sin φ + y′ cos φ.
Перепишем уравнение (1) в новых координатах:
Ax 2  Bxy  Cy 2  Dx  Ey  F  Ax  2 cos 2   2 Ax y  sin  cos   Ay  2 sin 2  
 Bx  2 sin  cos   Bx y  sin 2   Bx y  cos 2   By  2 sin  cos  
 Cx  2 sin 2   2Cx y  sin  cos   Cy  2 cos 2   
6
Приравняем нулю получившийся коэффициент перед x′y′:
– 2A sin φ cos φ – Bsin2φ + Bcos2φ + 2Csin φ cos φ = 0.
Или
(C – A) sin 2φ + B cos 2φ = 0.
Если A = C, так как B ≠ 0, то cos 2φ = 0, то есть  

4
. Если же A ≠ C, поделив на cos 2φ,
B
B
1
B

, то есть   arctg
. Итак, в новой
C  A AC
2
AC
повернутой системе координат уравнение (1) примет вид
мы получим, что tg 2  
Ax 2  C y  2  Dx  E y   F  0 .
Теперь B = 0. Покажем, что переносом начала координат можно избавиться от
членов первого порядка Dx и Ey в уравнении (1), которое будет иметь вид
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0.
(1′)
Если система координат xOy получается из системы координат x′Oy′ переносом на
вектор (x0, y0), то связь координат в этих системах задается следующими равенствами:
x = x′ + x0,
y = y′ + y0,
Перепишем уравнение (1′) в новых координатах:
Ax 2  Cy 2  Dx  Ey  F  Ax 2  2 Axx0  Ax02  Cy  2  2Cy y0  Cy02 
 Dx  Dx 0  Ey   Ey0  F  0.
Обозначим через F′ свободный член: F   Ax02  Cy02  Dx 0  Ey0  F . Приравняем нулю
коэффициенты при x′ и y′:
2Ax0 + D = 0,
2Cy0 + E = 0,
Если A = 0, то D = 0, если C = 0, то E = 0, и уравнение (1′) не содержит членов первого
порядка. Поэтому предположим, что A ≠ 0 и C ≠ 0. Тогда для координат вектора (x0, y0) мы
получим следующие выражения:
D
E
x0  
, y0  
.
2A
2C
В новых координатах уравнение (1′) примет вид
Ax 2  Cy  2  F   0 .
Мы показали, что всегда найдется такая система координат, в которой уравнение (1)
линии второго порядка будет иметь вид
Ax 2  By  2  1 , если F′ ≠ 0,
или Ax 2  By  2  0 , если F′ = 0.
7
Теорема 2. Пусть в декартовой прямоугольной системе координат линия задается
уравнением (1). Тогда существует система координат, в которой уравнение (1) линии
второго порядка принимает один из следующих девяти канонических видов:
x2 y2
1. 2  2  1 – уравнение эллипса;
a
b
2.
x2 y2

 1 – уравнение мнимого эллипса;
a2 b2
3.
x2 y2

 1 – уравнение гиперболы;
a2 b2
4. y2 = 2px – уравнение параболы;
x2 y2
5. 2  2  0 – уравнение пары пересекающихся прямых;
a
b
6.
x2 y2

 0 – уравнение пары мнимых пересекающихся прямых;
a2 b2
7. y2 – b2 = 0 – уравнение пары параллельных прямых;
8. y2 + b2 = 0 – уравнение пары мнимых параллельных прямых;
9. y2 = 0 – уравнение пары совпадающих прямых.
8