Аттестат 2000 - Институт математики и компьютерных наук ДВГУ

Министерство образования Российской Федерации
Дальневосточный государственный университет
Институт математики и компьютерных наук
Г. К. Пак
ГОТОВИМСЯ К ТЕСТИРОВАНИЮ
ПО МАТЕМАТИКЕ
Для старшеклассников, учителей
и абитуриентов
Владивосток
Издательство Дальневосточного университета
2003
ББК 22.10
П 13
Рецензенты: главный методист кафедры естественных наук и математики
ПИППКРО Махиня Раиса Ивановна,
директор Института математики и компьютерных наук ДВГУ,
профессор Осипов Василий Борисович
Пак Г.К.
П 13
ГОТОВИМСЯ К ТЕСТИРОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ.
Владивосток: Изд-во Дальневост. Ун-та, 2003, 24 с.
Анализируются ошибки, допущенные выпускниками при выполнении
аттестационных работ и поступающими при тестировании. Даются
рекомендации по тактике успешного тестирования по математике. Это заблуждение, что тестирование – облегченный экзамен. Многие выпускники
убедились, что для успеха в тестировании надо не просто уметь решать задачи,
но надо довести до автоматизма умение решать типовые задачи. Недостаточно
знать формулы и теоремы, а надо уметь видеть их с разных сторон, знать их
возможности, надо иметь достаточно большую практику работы с ними.
Для учащихся старших классов, абитуриентов и учителей математики.
П
1702010000
без объявл.
180(03)  2003
ББК 22.10
© Пак Г.К.,
© Издательство
Дальневосточного
Университета, 2003
Предисловие
Выпускные экзамены по алгебре и началам анализа проводятся в виде
письменной работы из десяти заданий. Все задания взяты из «Сборника заданий
для подготовки и проведения письменного экзамена по математике (курс А) и
алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы. 11 класс» (Г.В.
Дорофеев, Г.К. Муравин, Е.А. Седова), т. е. опубликованы в открытой печати.
Появились книги с решениями всех этих заданий. Но все ошибки прошлых лет
проявились и в этом году, хотя казалось бы возможностей избежать их было
неизмеримо больше. Речь идет о логических ошибках, о глубине понимания
произносимых слов и выполняемых действий. Зачем пишутся фразы: «Функция
определена на отрезке, а следовательно, непрерывна». Не надо писать того, чего
не понимаешь. Ведь, если убрать все такие несуразности, то за работу можно
ставить пять, ничего не добавляя. Вновь возникла проблема неправильного
понимания понятия области допустимых значений. Вновь выпускники не
считают важным союз или, опуская его там, где его отсутствие – ошибка.
Вступительные испытания проводились по тестам Центра тестирования
Министерства образования РФ. В ряде регионов проводился единый
государственный экзамен (тесты Математика-0), переход к которому всей
страны планируется в ближайшие годы. По тестам Математика-1 проводились
вступительные испытания для поступающих на специальности, на которых не
предусматривается изучение большого курса высшей математики. По тестам
Математика-2 проводились вступительные испытания для поступающих на
специальности с большим конкурсом и большим объемом математических
дисциплин в учебном плане. Для успешного прохождения теста Математика-0
достаточно хорошо освоить школьный материал. Для успешного прохождения
теста Математика-1 надо знать основные факты и теоремы курса алгебры и
геометрии и иметь прочные навыки математических вычислений и
преобразований алгебраических выражений. Успешное прохождение тестов
Математика-2 гарантируется отличным владением математическими фактами и
теоремами, глубоким пониманием сути выполняемых действий; нередко надо
придумать нестандартный ход для того, чтобы в условиях жесткой нехватки
времени быстро и правильно решить задачу.
Тесты опубликованы в открытой печати и выставлены в Интернете. А после
проведения вступительных экзаменов по этим тестам появилась возможность
обсудить полученный опыт. Обсуждаются особенности тактики и стратегии
успешного тестирования. Тем, кто готовится к тестированию по Математике-0,
тоже надо попытаться разобраться с решениями задач Математики-1 и
Математики-2. На легких задачах мало чему можно научиться, а школа трудных
задач – гарантия того, что с легкими задачами Вы справитесь.
Главная задача учителя – внушать ученикам уверенность в своих силах.
Учитель передает свой опыт и свои знания ученику и тем самым создает основу
этой уверенности, уверенности, что ученик справится с задачами, которые
ставит перед ним практическая деятельность. Цель данного пособия вселить
уверенность, что при достаточной настойчивости, упорстве можно освоить
учебный материал и успешно пройти тестирование.
Выпускной экзамен по алгебре и началам анализа
Министерство образования Российской Федерации
№ 10- 01
А – 11
Вариант 1
Вариант 10; 4.17; 4.135; 5.41; 6,199; 6.274.
2 x  8x2
 0.
2x  1
2. Решите неравенство log 7 ( x  1)  log 7 2  log 7 3.
1. Решите неравенство
3. Найдите корни уравнения 2 cos x  2  0, принадлежащие отрезку 0;2 .
4. Функция y  f (x) задана своим графиком
Укажите:
а) область определения функции;
б) нули функции;
в) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;
г) наибольшее и наименьшее значения функции;
д) в каких точках графика касательная к нему параллельна оси абсцисс.
5. Найдите промежутки возрастания функции y  2 x3  3x 2  36 x.
6. Решите уравнение cos 2x  8sin x  3.
27 x  9 y ,
7. Решите систему уравнений  x
81  3 y 1.
8. Решите уравнение 6  4 x  x 2  x  4.
9. Решите неравенство 2 x  1  x  4.
10. Найдите все значения х, при которых меньшее из чисел 1 2x и 2  x
больше -1.
Вариант 2
Вариант 34; 4.18; 4.136; 5.42; 6.200; 6.275.
x2  5x
1. Решите неравенство
 0.
2  8x
1
2. Решите уравнение log 3 (2 x  1)  1.
3
3. Найдите корни уравнения 2 sin x  2  0, принадлежащие отрезку 0;2 .
4. Функция y  f (x) задана своим графиком
Укажите:
а) область определения функции;
б) при каких значениях х f ( x)  0, f ( x)  0 ;
в) в каких точках графика касательная к нему параллельна оси абсцисс;
г) при каких значениях х f ( x)  2;
д) наибольшее и наименьшее значения функции.
5. Найдите функции, производной которых является функция f ( x)  2 x  x 2 .
6.
7.
Решите уравнение cos 2x  1  4 cos x.
x
y
16  64 ,
Решите систему упавнений  x 1
27  81y 1.
8. Решите уравнение 1  4 x  x 2  x  1.
9. Решите неравенство 3 x  1  x  3.
10. Найдите все значения х, при которых меньшее из чисел 3  2x и 1  x
меньше 1.
Для получения отметки «3» (удовлетворительно) выпускник должен правильно
выполнить любые пять заданий. Отметка «4» (хорошо) выставляется при
выполнении любых семи заданий. Отметка “5” (отлично) ставится за девять
верно выполненных заданий.
Решения
Вариант 1
2 x  8x2
1. Решите неравенство
 0.
2x  1
Решение. Перепишем неравенство в виде
x(4 x  1)
 0.
2x  1
Решим это неравенство методом интервалов. Функция
f ( x) 
x(4 x  1)
.
2x  1
1
1
1
определена на множестве (; )  ( ;) и f ( x)  0 при x   или х = 0. На
2
2
4
1
1
1
1
интервалах (; ), ( ;0), (0; ) и ( ;) функция непрерывна и сохраняет
4
4
2
2
знаки своих значений. Для определения знака значений функции на интервале
достаточно выяснить его для произвольного числа из этого интервала:
1
1
1
 0, f (1)  1.
f (1)  5  0, f ( )  1  0, f ( ) 
4
8
12
1
1
Ответ: (; )  (0; ).
4
2
2. Решите неравенство log 7 ( x  1)  log 7 2  log 7 3.
log 7 ( x  1)  log 7 6.
Решение.
Логарифмическая функция y  log 7 t возрастающая, так как ее основание 7
больше 1. Ее область определения t > 0. Поэтому неравенство равносильно
системе
 x  1  6,
 x  7,
 1  x  7.
 

 x  1;
 x  1  0;
Ответ: (1; 7].
3. Найдите корни уравнения 2 cos x  2  0, принадлежащие отрезку 0;2 .
Решение.
2 cos x   2 ,
cos x  
2
,
2
2
)  2k , k  Z ;
2
2
x  (  arccos
)  2k , k  Z ;
2
x   arccos( 
x  ( 
x

4
)  2k , k  Z ;
3
 2k , k  Z .
4
Получили две серии корней уравнения. Запишем условие задачи для первой
серии корней
3
0
 2k  2 , k  Z .
4
0  3  8k  8, k  Z .
3
  k  0, k  Z .
8
Следовательно, k  0 . Для второй серии корней условие задачи означает
0
3
 2k  2 , k  Z .
4
0  3  8k  8, k  Z .
3
11
 k  , k  Z.
8
8
3 5
;
.
4
4
Замечание. Многие выпускники ограничились проверкой того, что для
значений 0 и 1 параметра k корни уравнения удовлетворяют условию задачи.
Некоторые справедливо решили, что проверки только для двух значений мало,
и проверили для трех, четырех, пяти и даже семи значений. Независимо от
количества проверенных значений исследование неполно, если нет
доказательства того, что для других значений условие задачи не выполняется.
Следовательно, k  1.
3. Функция y  f (x) задана своим графиком
Ответ:
Укажите:
а) область определения функции;
б) нули функции;
в) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;
г) наибольшее и наименьшее значения функции;
д) в каких точках графика касательная к нему параллельна оси абсцисс.
Решение. а) D ( f )  [3; 5,5] ;
б) 0,7 и 4,3;
в) функция возрастает на промежутках [1,5;0,5] и [2; 5,5] ;
функция убывает на промежутках [3;1,5] и [0,5; 2].
Замечание. Запись: «функция возрастает для x  [1,5;0,5] и [2; 5,5] »
ошибочна, так как не может х одновременно находиться в двух непесекающихся
множествах. Запись «область возрастания [1,5;0,5]  [2; 5,5] » ошибочна.
Функция может возрастать на двух множествах, но это вовсе не означает, что
она возрастает на их объединении.
г) наибольшее значение функции равно 5,5,
наименьшее значение функции равно -2,5;
д) касательная параллельна оси абсцисс в точках (-1,5; 3) и (2; -2,5).
Замечание. Многие пишут: «Касательная параллельна в точках -1,5 и 2».
Необходимо уточнить: «в точках с абсциссами -1,5 и 2». Речь идет о точках
плоскости, а не числовой прямой.
5. Найдите промежутки возрастания функции y  2 x3  3x 2  36 x.
Решение. y  2 x3  3x 2  36 x.
y  6 x 2  6 x  36
6 x 2  6 x  36  0
x2  x  6  0
( x  2)( x  3)  0
Квадратный трехчлен от переменной х, у которого старший коэффициент
положительный, принимает отрицательные значения, если переменная х
пробегает значения между корнями, и принимает положительные значения,
если переменная х принимает значения меньше меньшего корня или больше
большего корня. Следовательно, ( x  2)( x  3)  0  x  2 или x  3.
Ответ: функция возрастает на промежутках (;2] и на [3;) .
З а м е ч а н и е. Квадратичные неравенства не обязательно решать по полной
схеме метода интервалов. Можно сослаться на свойства квадратного трехчлена.
6. Решите уравнение cos 2x  8sin x  3.
Решение.
cos 2x  8sin x  3  0.
1  2 sin 2 x  8 sin x  3  0;
sin 2 x  4 sin x  1  0
sin x  2  3 или sin x  2  3
Во втором случае получили противоречие с тем, что sin x  1. Следовательно,
sin x  2  3 ;
x  (1) arcsin( 2  3 )  k , k  Z .
k
Ответ: (1) k arcsin( 2  3 )  k ; k  Z .
З а м е ч а н и е. Утверждение, что уравнение sin x  2  3 не имеет
смысла, неверно. Уравнение полностью удовлетворяет определению
уравнения, поэтому смысл имеет, но не имеет корней.
27 x  9 y ,
7. Решите систему уравнений  x
81  3 y 1.
Решение.
33 x  32 y ,
 4x
3  3 y 1;
2 x  3 y ,

4 x  y  1;
3x  8 x  2,

 y  4 x  1;

 x 

y 

2
,
5
3
5.
Ответ: (
23
).
5; 5
8. Решите уравнение
6  4 x  x 2  x  4.
Решение.
6  4 x  x 2  x  4;
6  4 x  x 2  x 2  8 x  16;
2 x 2  12 x  10  0;
x 2  6 x  5  0;
( x  1)( x  5)  0;
x1  1; x2  5.
Проверка показывает, что первое значение удовлетворяет уравнению, а второе
нет.
Ответ: -1.
З а м е ч а н и е. Ошибка 1, сделанная во многих работах, заключается в
неверном понимании области допустимых значений переменной уравнения
(ОДЗ). Многие написали ОДЗ: 6  4 x  x 2  0, x  4  0 . Понятны соображения,
по которым выписано второе условие: арифметический корень левой части
уравнения принимает значения  0, поэтому выражение справа тоже должно
принимать неотрицательные значения. Второе условие выписано из условия
равенства выражений. Но из этого условия следует много других утверждений,
например, х  -7, х -8. Почему выписывается одно? Полностью этому
условию удовлетворяет только ответ, его и надо выписывать в ОДЗ при такой
трактовке этого понятия. Некоторые выписывали эти два условия под
названием область определения уравнения. Есть область определения функции,
но области определения уравнения в учебниках нет.
Область допустимых значений переменной уравнения – это
множество всех тех значений переменной, для которых и левая и правая части
уравнения имеют смысл. Область допустимых значений переменной уравнения
6  4 x  x 2  0.
Ошибка 2 заключается в распространенном мнении, что при решении
уравнений необходимо обязательно находить ОДЗ. Рассмотрим уравнение
6  4 x  x2  4. Зачем в этом уравнении находить ОДЗ, если очевидно, что
уравнение не имеет корней. Не следует делать вывод о том, что вообще не надо
находить ОДЗ. Если ОДЗ уравнения пустое множество, то можно сразу
записывать ответ: корней нет, не решая уравнения. Если ОДЗ состоит из одногодвух чисел, то можно опять не решать уравнение, а непосредственными
вычислениями проверить корни эти числа или нет. При решении уравнения с
параметрами, как правило, требуется находить ОДЗ.
Ошибка 3 заключается в распространенном заблуждении, что если
находил ОДЗ, то проверку можно не делать. Некоторые поступили в точном
соответствии с этим. Нашли ОДЗ; затем проверили входят ли полученные
значения корней в ОДЗ. Увидели, что оба входят в ОДЗ и, не делая проверки, в
ответ выписали только один корень. Такое решение нельзя считать правильным:
“лишние корни” в нашем случае возникают не за счет расширения ОДЗ, а за
счет того, что это корни постороннего уравнения
6  4 x  x2   x  4.
Проверка обязательна. То, что корни уравнения 6  4 x  x 2  x 2  8 x  16 входят
в ОДЗ переменной уравнения
6  4 x  x2  x  4 ясно без проверки.
9. Решите неравенство 2 x  1  x  4.
Решение.
2 x  1  x  4.
 x  1  0,

2 x  2  x  4
 x  1  0,
или 
 2 x  2  x  4.
 x  1,
В первом случае 
т. е. x  2. Во втором случае
 x  2;
Ответ: (;2)  (2;).
 x  1,
т. е. x  2.

 x  2;
10. Найдите все значения х, при которых меньшее из чисел 1 2x и 2  x
больше -1.
Решение. По условию min( 1  2 x,2  x)  1. Следовательно, надо решить
систему
1  2 x  1,

2  x  1;
 x  1,

 x  3;
x  1.
Ответ: ( 1;).
З а м е ч а н и е. Оценка не снижалась, если давался ответ (1;1)  (1;) , т. е.
когда в случае равных чисел выпускник считал, что меньшего нет.