ПРИМЕНЕНИЕ ЛЕНТЫ МЁБИУСА

ПРИМЕНЕНИЕ ЛЕНТЫ МЁБИУСА
В.А. Коренев
Филиал КГПУ им. В.П. Астафьева в г. Канске, Красноярский край
Научный руководитель А.М. Кондрашов
В наше время актуально изучение различных свойств нестандартных явлений. Я хотел бы
исследовать необычные свойства удивительного изобретения, так называемого «листа Мёбиуса», или
«ленты Мёбиуса». Эта весьма простая и в то же время весьма странная конструкция была открыта
немецким математиком Августом Фердинандом Мебиусом во второй половине 19 века и была названа в
его честь.
Лист Мёбиуса (ле́нта Мёбиуса, петля́ Мёбиуса) - топологический объект, простейшая
неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное Евклидово
пространство R 3 (см. рисунок). Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не
пересекая края.
Лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом
Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году. Модель ленты Мёбиуса может легко быть
сделана: для этого надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски,
предварительно перевернув один из них. В Евклидовом пространстве существуют два типа полос
Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые (топологически они, однако,
неразличимы).
Лента Мебиуса - один из объектов области математики под названием «топология». Топология (по
другому – « геометрия положения») является одним из самых «молодых» разделов современной
геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях.
Основными свойствами ленты Мебиуса являются:
 односторонность,
 непрерывность,
 связность,
 ориентированность,
 “хроматический номер”.
Приведем краткие характеристики этих свойств.
Односторонность. Лента Мебиуса имеет одностороннюю поверхность. Проверить это можно
закрашиванием поверхности ленты. Проводя данную операцию мы получим целиком закрашенную
ленту, но мы ее не переворачивали.
Непрерывность. Можно как угодно деформировать фигуру, лишь бы точки, ранее бывшие
соседями, оставались одна подле другой и дальше. А, значит, с топологической точки зрения круг
неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая
непрерывности. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при
этом ни разу не придётся переползать через край“ленты”. Разрывов нет – непрерывность полная.
Связность. Если квадрат разрезать от стороны к стороне, то он, естественно, распадётся на два
отдельных куска. Но вот чтобы разделить кольцо на две части, нужно уже два разреза. Поэтому квадрат–
односвязен, кольцо – двусвязны, а всяческие решётки и подобные сложные фигуры – многосвязны. А
лист Мёбиуса двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в
одну целую ленту.
Ориентированность – свойство, отсутствующее у ленты Мёбиуса. Так, если бы человек смог
путешествовать по всем изгибам ленты Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он
превратился бы в своё зеркальное отражение.
“Хроматический номер” равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на
поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую
область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Так вот, на листе
бумаги, даже если его склеить в кольцо, ещё никому не удалось расположить пять цветных пятен любой
формы, которые имели бы всеобщую границу. И на сфере, и на цилиндре их может быть не более
четырёх. Это и значит что хроматический номер этих поверхностей – четыре. А на бублике число
соответствующих цветов равняется семи. Каков же хроматический номер ленты Мёбиуса? Он, как ни
поразительно, равен шести.
Одним из способов представления листа Мёбиуса как подмножества R 3 является
параметризация:
u
 
x(u , )  1  cos  cos u ,
2
2

u
 
y (u , )  1  cos  sin u ,
2
2


u
z (u , )  cos ,
2
2
где 0  u  2 и  1    1. Эти формулы задают ленту Мёбиуса ширины 1, чей центральный
круг имеет радиус 1, лежит в плоскости x  y с центром в (0, 0, 0). Параметр u пробегает вдоль ленты,
в то время как  задает расстояние от края.
В цилиндрических координатах ( r , , z ) , неограниченная версия листа Мёбиуса может быть
представлена уравнением:
log r sin(  / 2)  z cos( / 2),
где функция логарифма имеет произвольное основание.
Удивительные свойства ленты Мёбиуса используются в самых различных изобретениях. Многие
ученые в своих изобретениях использовали принцип ленты Мебиуса. В разных странах за последние
годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты.
В виде парадоксальной геометрической фигуры можно, оказывается, изготовить лопасти
бетономешалки или обычного бытового миксера - энергозатраты снизятся на одну пятую, а качество
бетона (или кондитерского крема) улучшится.
Есть авторское свидетельство на магнитофон с лентой Мёбиуса. Магнитофонная пленка,
соединенная таким образом, записывает звук на обеих сторонах. Магнитофон прокручивает пленку в
виде ленты Мебиуса вдвое дольше, чем обычную.
Скольких людей приводили в восторг аттракционы “Американские горки”. Лента Мебиуса вполне
благополучно наблюдается в форме абразивных ремней для заточки инструмента, красящей лентой для
печатающих устройств.
Мёбиусовая лента понравилась не только математикам, но и фокусникам. Более 100 лет лист
Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа
демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса.
Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая
была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а
вторую - в две ленты, продетая одна в другую.
Чудесные ее свойства тут же породили множество научных трудов, изобретений, а также
многочисленных фантастических рассказов. Лист Мёбиуса был эмблемой известной серии научнопопулярных книг «Библиотечка „Квант“». Он также постоянно встречается в научной фантастике,
например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты».
Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса.
Целую серию скульптур в виде листа Мебиуса создал скульптор Макс Билл. Довольно много
разнообразных рисунков оставил Мауриц Эшер. Особенно интересна гравюра с изображением муравья,
ползающего по Ленте Мебиуса. Мотив Ленты Мебиуса встречается в названиях художественных
произведений, общественных заведений, логотипах.
Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только
поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура
вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на
себя и происходит самоуничтожение.
Лента Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности, т.к. находясь на
поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Это не соответствует
действительности, так как символ использовался для обозначения бесконечности в течение двух
столетий до открытия ленты Мёбиуса.
Физики-теоретики пришли к выводу, что наша Вселенная вполне вероятна, замкнута в ленту
Мебиуса.
У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная
лента, закрученная на полвитка. В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный
математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На
ней была изображена лента Мёбиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка –
своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу,
профессору Лейпцигского университета.
Лента Мебиуса – первая односторонняя поверхность, которую открыли ученые. Позже
математики открыли еще целый ряд односторонних поверхностей. Но эта – самая первая положила
начало целому направлению в геометрии «топологии». Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё
удивительное открытие давно, оно очень популярно и в наши дни.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Библиографический список
Гарднер М. Математические досуги. М. Мир,1972.
Гарднер М. Математические чудеса и тайны. Наука, 1978.
Барр С. Россыпи головоломок. Москва, Мир, 1987.
Левитин К. Геометрическая рапсодия. Издательство «Знание», Москва,1984
Смирнова Е.С. «Курс наглядной геометрии» 6 класс.
Энциклопедия для детей «Математика». «Аванта+»2001г., стр. 111-112.