ТАБЛИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Задания к уроку 15.01.2013.
План работы:
1. Выучить и знать наизусть таблицу значений. Быть готовым к контролю по пройденной теме.
2. Ознакомиться с табличным методом решения задач (читать лекцию ниже).
3. Написать кратко конспект в тетрадь (примеры решения задач 1, 2 и 3).
4. Решить задачи 4 и 5 табличным методом (можно в тетради, можно в электронной таблице Excel).
ТАБЛИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Высказывания принято обозначать прописными буквами, например, А, В, С, а их истинностные
значения — цифрами (1 — для истины и 0 — для лжи).
Тот факт, что истинностное значение высказывания А есть 1, обозначают так: А = 1
Значения сложных высказываний (формул алгебры высказываний) при различных значениях
простых высказываний, их составляющих, можно определить, пользуясь таблицами истинности.
Сначала рассмотрим применение табличного метода к решению задач из серии «Кто виноват?»
(«Где спрятан клад?»), в которых подразумевается истинность только одного из нескольких простых
высказываний об одном из участников, описывающих все возможные варианты.
Задача 1.
Один из четырех мальчиков испортил выключатель. На вопрос «Кто это сделался» были получены такие ответы:
(1) «Это сделал или Миша, или Коля»;
(2) «Это сделал или Витя, или Коля»;
(3) «Это не могли сделать ни Толя, ни Миша»,
(4) «Это сделал или Витя, или Миша».
Можно ли по этим данным установить, кто виновен в поломке выключателя, если известно, что
из четырех высказываний три истинными,
Решение.
Обозначим через М высказывание «Виноват Миша»,
В — «Виноват Витя»,
К — «Виноват Коля»,
Т — «Виноват Толя».
Тогда ответы на вопрос о виновнике поломки описываются следующими формулами алгебры
высказываний:
В первые четыре столбца таблицы поместим значения высказываний М, В, К и Т, в столбцы с 5ro по 8-й поместим значения высказываний (1) — (4). Так как виноват только один из четырех мальчиков, количество строк в таблице равно 4, причем первые четыре столбца таблицы содержат только по
одному
значению «истина» (единицу), а остальные — «ложь» (нуль). Значения в столбцах с 5-го по 8-й
вычисляем в соответствии с записанными формулами.
Из таблицы видно, что возможны два варианта одновременной истинности трех ответов: из четырех строк таблицы две (2-я и 3-я) содержат по три единицы. Но эти строки соответствуют значениям
истинности для высказываний В и К. Следовательно, виноват или Витя, или Коля, т. е. однозначно ответить на вопрос «Кто виноват» при заданных условиях нельзя.
Ответ. По ответам, данным мальчиками, определить виновника нельзя.
Задача 2.
Один из трех братьев — Витя, Толя или Коля — разбил окно. В разговоре участвуют еще два
брата — Андрей и Дима.
(1) — Это мог сделать только или Витя, или Толя, — сказал Андрей.
(2) — Я окно не разбивал, — возразил Витя, — и Коля тоже.
(3) — Вы оба говорите неправду, — заявил Толя.
(4) — Нет, Толя, один из них сказал правду, а другой сказал неправду, — возразил Дима.
(5) — Ты, Дима, не прав, — вмешался Коля.
Их отец, которому, конечно, можно доверять, уверен, что трое из пяти братьев сказали правду.
Кто же разбил окно?
Решение.
Обозначим через В высказывание «Окно разбил Витя», Т — «Окно разбил Толя», К — «Окно
разбил Коля». Тогда высказывания участников разговора опишутся формулами:
Составим таблицу, поместив в первые три столбца значения высказываний В, Т, К, а в столбцы с
4-го по 8-й — значения высказываний (1) — (5). Так как только один из братьев может быть виновником неприятного события, то возможны только три варианта значений для В, Т, К, поэтому таблица содержит три строки, в каждой из которых в первых трех столбцах одна единица и два нуля. Значения в
остальных столбцах таблицы вычисляем в соответствии с записанными формулами.
Теперь воспользуемся истинностью утверждения отца о том, что правду сказали трое из пяти
братьев. В соответствии с таблицей это возможно, только если окно разбил Толя (2-я строка).
Ответ. Окно разбил Толя.
Задача 3
Ключ от знака спрятан в одной из трех шкатулок — черной, белой или красной, — на крышках
которых сделаны надписи:
(1) на черной шкатулке: «Ключ не в белой шкатулке»;
(2) на белой шкатулке: «Ключ не в этой шкатулке»;
(3) на красной шкатулке: «Ключ в этой шкатулке».
В какой шкатулке спрятан ключ, если известно, что из трех надписей на крышках по крайней мере одна истинна и по крайней мере одна ложная.
Решение.
Обозначим через Ч высказывание «Ключ в черной шкатулке», Б — «Ключ в белой шкатулке», К
— «Ключ в красной шкатулке». Тогда надписи на шкатулках опишутся формулами:
Составим таблицу из шести столбцов, в первых трех из которых опишем все возможности
нахождения ключа в одной из шкатулок, а в остальных— соответствующие значения надписей.
Теперь, пользуясь дополнительной информацией о том, что по крайней мере одна надпись истинна и по крайней мере одна ложна, проанализируем 4-й, 5-й и 6-й столбцы таблицы. Условиям задачи
удовлетворяет только первая строка таблицы. Следовательно, ключ спрятан в черной шкатулке.
Ответ. Ключ спрятан в черной шкатулке.
Рассмотрим два подхода применения табличного метода к решению задач из серии «Кто где живет?» («Кто кем работает?», «Как составить расписание?» и т. д.). В задачах такого рода надо найти
только одно истинное сложное конъюнктивное высказывание из всех подобных высказываний, описывающих
возможные варианты. Первый подход основан на так называемом «тупом» переборе, второй —
на переборе со стратегией.
Задача 4.
Три друга — Антонов, Вехов и Сомов — решили провести свой отпуск в трех различных городах
— Москве, Санкт-Петербурге и Киеве. Можно ли определить, в какой город должен поехать каждый из
них, если имеются следующие ограничения:
(1) или Антонов не едет в Москву, или Сомов едет в Санкт-Петербург;
(2) или Антонов едет в Москву и Вехов не едет в Киев, или Сомов едет в Санкт-Петербург;
(3) если Антонов едет в Киев, то Сомов едет в Москву. При этом Вехов не едет в СанктПетербург;
(4) если Вехов едет в Москву, то Антонов едет в Санкт-Петербург
Рассмотреть варианты, когда из этих ограничений:
а) верны все;
б) верны только два;
в) верны только три.
Задача 5.
При составлении расписания уроков на один день учителя математики, истории и литературы
высказали следующие пожелания:
(1) учитель математики просил поставить его урок в расписании или первым, или вторым;
(2) учитель истории — или первым, или третьим;
(3) учитель литературы — или вторым, или третьим.
Как составить расписание уроков, чтобы учесть пожелания учителей?