теория вероятностей часть 1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ГОУ ВПО «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Часть I
Методические указания к практическим занятиям
Волгоград
2011
УДК 519.2(07)
Т 33
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: методические указания к практическим занятиям. Ч. I / Сост. С. В. Мягкова, Е. В. Морозова; Волгоград. гос. техн. ун-т.
– Волгоград, 2011. – 35 с.
Содержат теоретический материал, необходимый для решения задач,
примеры решения задач, а также задачи для аудиторных занятий и домашних заданий.
Адресованы студентам направления 230100.62 «Информатика и вычислительная техника», а также студентам других направлений и специальностей, изучающим курс теории вероятностей.
Ил. 6.
Табл. 3.
Библиогр.: 5 назв.
Рецензент: Л. А. Крапивина
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета
Составители: Светлана Васильевна Мягкова, Елена Васильевна Морозова
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЧАСТЬ I
Методические указания к практическим занятиям
Под редакцией авторов
Темплан 2011 г., поз. № 57К.
Подписано в печать 15. 03. 2011 г. Формат 60×84 1/16.
Бумага листовая. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 2,09. Уч.-изд. л. 2,31.
Тираж 70 экз. Заказ №
Волгоградский государственный технический университет
400131, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, корп. 1.
Отпечатано в КТИ
403874, г. Камышин, ул. Ленина, 5, каб. 4.5

2
Волгоградский
государственный
технический
университет, 2011
КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Вероятность – мера возможности события. Классическое определение вероятности позволяет подсчитывать вероятность в тех случаях, когда общее число всех возможных исходов опыта конечно, они взаимоисключают друг друга и эти исходы равновозможны.
m
P( A)  ,
n
где n общее число исходов опыта, m- число благоприятных исходов,
влекущих появление рассматриваемого события A.
1. Число различных упорядоченных подмножеств (размещений) из
m элементов без повторений для множества, содержащего n элементов,
определяется по формуле:
n!
 «порядок есть, повторений нет».
Am
n 
(n  m)!
Если n=m, то размещения называются перестановками. Количество
таких перестановок из n элементов определяется по формуле:
P n  n!
2. Число различных подмножеств (сочетаний) из m элементов без
повторений для множества, содержащего n элементов, определяется по
формуле:
C nm 
n!
(n  m)! m!
 «порядка нет, повторений нет»
3. Число различных размещений из n элементов по m элементов (на
m местах) с повторениями равно:
Аnm  n m
 «порядок есть, повторения есть».
4. Число различных сочетаний из n элементов по m элементов с повторениями равно:
C nm  C nm m1 
(n  m  1)!
 «порядка нет, повторения есть».
m!(n  1)!
Если общее число всех возможных исходов не конечно, то используют формулу геометрической вероятности
mesd
P( A) 
,
mesD
где mes D – геометрическая мера всей области, а mes d – геометрическая мера благоприятной области.
3
Пример 1. Какова вероятность того, что при бросании игрального
кубика выпадет больше четырех очков?
Решение. При одном броске может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков.
Благоприятные, то есть влекущие появление рассматриваемого события,
исходы 5 и 6. Поэтому n = 6, m = 2, p = 2/6 = 1/3.
Пример 2. Какова вероятность того, что взяв две карты из прикупа,
получим два туза?
Решение. Будем считать, что в колоде 32 карты. Взять две из них
2
можно C32
способами. Двух тузов можно взять C 42 способами. Поэтому
4!
2
C
2 !2 !
3
p  24 

.  0,012 .
32 !
248
C 32
2 ! 30 !
Пример 3: Какова вероятность угадать пароль из четырех цифр, если
известно только, что все цифры пароля различны?
Решение. Событие А – пароль отгадан.
Количество благоприятствующих исходов m=1 (есть только один
правильный набор цифр).
Общее число равновозможных исходов n= А10 (так как для состав4
ления определенной комбинации цифр порядок выбора значение имеет,
то по формуле размещений выбираем 4 цифры из 10)
m
1
P( A) 
 4 , где
n A10
10!
10!

 7  8  9  10  5040
(10  4)! 6!
1
P( A) 
 0,0002
5040
4
A10

Значит
Пример 4. На отрезке [0; 1] случайным образом выбираются две точки a и b. Какова вероятность того, что длина отрезка [a; b] окажется
меньше ½?
Решение.
Обозначим координаты точек a и b через x, y. Каждому выбору точек a, b поставим в соответствие точку на плоскости с координатами (x, y).
Множеством всех возможных исходов являются точки квадрата со стороной, равной 1. Множеством благоприятных исходов те точки квадрата,
4
y
1
1
.
2
Считая все точки квадрата равновозможными, применим формулу
mes d 3
P( A) 
 .
mes D 4
для которых x  y 
½
0
½
рис. 1.
1
х
Упражнения.
1.
Найдите среди следующих случайных событий достоверные и
невозможные события:
А1 – появление 10 очков при бросании игральной кости,
А2 – появление 10 очков при бросании трех игральных костей,
А3 – появление 20 очков при бросании трех игральных костей,
А4 – наугад выбранное двузначное число не больше 100,
А5 – появление двух гербов при бросании двух монет.
2.
Являются ли несовместными события А1 и А2:
а) испытание – бросание монеты; события: А1 – появление герба, А2
– появление цифры;
б) испытание – бросание игральной кости; события: А1 – появление
трех очков, А2 – появление нечетного числа очков,
в) испытание – бросание двух монет; события: А1 –появление герба
на одной монете, А2 – появление герба на другой монете?
3. Являются ли равновозможными события А1 и А2:
а) испытание – бросание игральной кости; события: А1 – появление
двух очков, А2 – появление пяти очков;
б) испытание – бросание игральной кости; события: А1 – появление
двух очков, А2 – появление четного числа очков;
в) испытание – два выстрела по мишени; события: А1 –промах при
первом выстреле, А2 – промах при втором выстреле?
4. Образуют ли полную группу события:
а) испытание – бросание монеты; события: А1 – появление герба,
А2 – появление цифры;
б) испытание – два выстрела по мишени; события: А1 – ни одного
попадания, А2 – одно попадание, А3 – два попадания?
5.
Найти сумму событий:
а) испытание – два выстрела по мишени; события: А – попадание
первым выстрелом, В – попадание вторым выстрелом;
5
б) испытание – бросание игральной кости; события: А – появление
одного очка, В – появление двух очков, С – появление трех очков;
в) испытание – приобретение лотерейных билетов; события: А –
выигрыш 10 рублей; В – выигрыш 20 рублей; С – выигрыш 25 рублей.
6. Найти произведение событий:
а) испытание – два выстрела по мишени; события: А – попадание
первым выстрелом, В – попадание вторым выстрелом;
б) испытание – бросание игральной кости; события: А – непоявление трех очков, В – непоявление пяти очков, С – появление нечетного
числа очков.
Задачи
1. Из слова НАУГАД выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что это буква А? Какова вероятность того, что это гласная?
2. Бросают игральную кость. Какова вероятность выпадания номера
4? Какова вероятность выпадания номера большего 4?
3. Подлежат контролю 250 деталей, из которых 5 нестандартных.
Какова вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется:
а) нестандартной;
б) стандартной?
4. На карточках написаны буквы О, К, Т. Карточки наудачу расставлены в ряд. Какова вероятность прочесть слово КОТ?
5. На каждой из шести одинаковых карточек написаны буквы Т, Р,
С, О, А, М. Карточки перемешиваются и из них четыре выкладываются
наудачу в ряд. Какова вероятность появления слова ТРОС?
6.
Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одна за другой
выбираются три и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово ДВА?
7.
Абонент забыл две последние цифры телефона и, набирая номер наугад, помнил лишь, что они различные. Найти вероятность того,
что выбраны нужные цифры.
Решить задачу, если забыты три последние цифры.
8.
В урне 3 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того,
что вынутые наугад два шара окажутся черными?
9.
Подброшены медная и серебряная монеты. Какова вероятность
того, что на обоих монетах появится ГЕРБ?
10. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных.
Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
11. В упаковке на складе 10 смывных бачков, среди них 4 с пластмассовыми поплавками. На удачу взяты 2 бачка. Найти вероятность того,
6
что оба бачка с пластмассовыми поплавками.
12. Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.
13. Для облицовки жилого дома завезена облицовочная плитка. В
ящике находится 300 плиток. Брак продукции составляет 2 %. Найти вероятность того, что первые три взятые плитки не будут бракованными.
14. В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того,
что среди отобранных лиц окажутся три женщины.
15. На складе имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди пяти взятых
наудачу кинескопов окажутся три кинескопа Львовского завода.
16. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку
наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.
17. Десять книг наудачу расставлены на полке. Найти вероятность
того, что три определенные книги окажутся рядом.
18. Оля и Коля договорились встретить Новый год в компании из
10 человек. Они оба хотели сидеть за праздничным столом рядом. Найти
вероятность исполнения их желания, если среди друзей принято места
распределять по жеребьевке.
19. Среди 20 билетов 5 выигрышных. Найти вероятность того, что
среди купленных билетов окажется:
а) все три выигрышные;
б) ни одного выигрышного;
в) 2 выигрышных;
г) 1 выигрышный.
20. На пятиместную скамейку случайным образом садятся 5 человек. Какова вероятность того, что 3 определенных лица окажутся рядом?
21. В команде из 12 спортсменов – 5 мастеров спорта. По жеребьевке из команды выбирают 3-х спортсменов. Какова вероятность того,
что все выбранные являются мастерами спорта?
22. Среди 17 студентов группы, из которых 8 девушек, разыгрывается 7 билетов. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов
окажутся 4 девушки?
23. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5 шаров. Какова вероятность того, что 2 из них белые, а 3 черные?
24. В партии из 60 изделий 5 бракованных. Из партии выбираются
наугад 6 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 6 изделий
2 окажутся бракованными.
7
25. В лотерее n билетов, из которых m выигрышных. Участник лотереи покупает k билетов. Определить вероятность того, что выиграет
хотя бы один билет.
26. Имеется r шаров, которые случайным образом разбрасываются
по n ящикам. В одном и том же ящике могут находиться несколько шаров
и даже все шары. Найти вероятность того, что в первый ящик попадут
ровно r1 шаров, во второй r2 шаров и т.д., в n-ый ящик rn шаров.
27. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека.
Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей,
начиная со второго. Найти вероятности следующих событий:
А={все пассажиры выйдут на четвертом этаже};
В={все пассажиры выйдут одновременно на одном и том же этаже};
С={все пассажиры выйдут на разных этажах}.
28. Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся
на разные месяцы года.
29. В точке С, положение которой на телефонной линии АВ длины
 равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что
точка С удалена от точки А на расстояние, не меньшее, чем l .
30. Точка брошена в круг радиуса R. Найдите вероятность того,
что она попадет внутрь вписанного в этот круг квадрата.
31. Слово составлено из карточек, на каждой из которых написана
одна буква. Карточки смешивают и вынимают без возврата по одной.
Найти вероятность того, что карточки с буквами вынимаются в порядке
следования букв заданного слова: а) «событие»; б) «статистика».
32. Пятитомное собрание сочинений расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что книги стоят слева направо
в порядке нумерации томов (от 1 до 5)?
33. Среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыгрываются
четыре билета, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билета окажутся: а) четыре
девушки; б)четыре юноши; в) три юноши и одна девушка?
34. Из 20 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для обследования случайным образом отобрано 5 сбербанков. Какова вероятность
того, что среди отобранных банков окажется в черте города: а) 3 сбербанка; б) хотя бы один?
35. Из ящика, содержащего 5 пар обуви, из которых три пары мужской, а две пары женской обуви, перекладывают наудачу 2 пары обуви в
другой ящик, содержащий одинаковое количество пар женской и мужской обуви. Какова вероятность того, что во втором ящике после этого
окажется одинаковое количество пар мужской и женской обуви?
36. В магазине имеются 30 телевизоров, причем 20 из них импорт8
ных. Найти вероятность того, что среди 5 проданных в течение дня телевизоров окажется более 3 импортных телевизоров, предполагая, что вероятности покупки телевизоров разных марок одинаковы.
37. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова
вероятность того, что в нем все цифры: а) различные; б) одинаковые; в)
нечетные? Известно, что номер телефона не начинается с цифры ноль.
38. Для проведения соревнований 16 волейбольных команд разбиты по жребию на две подгруппы (по восемь команд в каждой). Найти вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся: а) в разных
подгруппах; б) в одной подгруппе.
39. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается
сданным, если студент ответит не менее чем на три из 4 поставленных в
билете вопросов. Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил,
что он его знает. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст зачет; б)
не сдаст зачет?
40. У сборщика имеются 10 деталей, мало отличающихся друг от
друга, из них четыре – первого, по две – второго, третьего и четвертого
видов. Какова вероятность того, что среди шести взятых одновременно
деталей три окажутся первого вида, два – второго и одна – третьего?
41. Найти вероятность того, что из десяти книг, расположенных в
случайном порядке, 3 определенные книги окажутся рядом.
42. В старинной игре в кости необходимо было для выигрыша получить при бросании трех игральных костей сумму очков, превосходящую 10. Найти вероятности: а) выпадения 11 очков; б) выигрыша.
43. На фирме работают 8 аудиторов, из которых 3 – высокой квалификации, и 5 программистов, из которых 2 – высокой квалификации. В
командировку надо отправить группу из 3 аудиторов и 2 программистов.
Какова вероятность того, что в этой группе окажется по крайней мере 1
аудитор высокой квалификации и хотя бы 1 программист высокой квалификации, если каждый специалист имеет равные возможности поехать
в командировку?
44. Два лица условились встретиться в определенном месте между
18 и 19 часами и договорились, что пришедший первым ждет другого в
течение 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность их встречи, если
приход каждого в течение указанного часа может произойти в любое
время и моменты прихода независимы.
45. Какова вероятность того, что наудачу брошенная в круг точка
окажется внутри вписанного в него квадрата.
46. При приеме партии изделий подвергается проверке половина
изделий. Условие приемки – наличие брака в выборке менее 2 %. Вычислить вероятность того, что партия из 100 изделий, содержащая 5 % брака,
будет принята.
9
Ответы
1
1/3, 1/2
19 б
91/228
33 а
2
1/6, 1/3
19 в
5/38
33 б
3
1/50,
49/50
19 г
35/76
33 в
4
1/6
20
3/10
34 а
5
1/360
21
1/22
34 б
6
1/60
22
0,302
35
7
1/90
23
0,2381
36
8
7/15
24
0,049
37 а
9
1/6
25
1
10
24/91
26
n r  r1! rn !
11
2/15
27 а
1/216
38 а
12
0,3
27 б
1/36
38 б
13
14
15
С 3294
С 3300
½
0,4
29
Cnk
r!
27 в
28
Сnk m
5/54
12!
1212
 0,00005
L
L
4
С15
 0,110
4
С25
4
С10
 0,0166
С 425
1
3
С15
 С10
4
С25
3
2
С10
 С10
5
С 20
 0,142
 0,348
С5
1  10
 0,985
5
С30
С31  С 12
С52
 0,6
3 2
4 1
5
С20
С10  С20
С10  С20
5
С30
1
5
0,9  А10

 0,809
1
 0,0000367
27216
37 б
9
 0,0001
90000
37 в
55
5

 0,0347
90000
144
39 а
39 б
40
10
7
С 12 С14
8
С16

8
 0,533
15
8
6
С14
 С 22 С14
8
С16

2
3
С19
С 51  С19
3
С 24
7
 0,467
15
 0,901
0,099
С 43 С 22 С 12
6
С10
 0,038
16
14/55
30
17
1/15
31 а
18
1/5
19 а
1/114
45
2
.

1/Р7=1/7!=
=0,000198
31 б
32
2
Р2Р3Р2Р2/Р10=2!
3!2!2!/10! =
0,0000132
1/Р5=1/5!=
=,00833

41
Р8 Р3 8!3!

 0,067
Р10
10!
42
а) 0,125; б) 0,5
43
3

1  С5

С83

2

1  С3

С52

0,4375
44
46
11

  0,329


С 50
95
50
С100
 0,0281
ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СУММЫ СОБЫТИЙ И ПОЯВЛЕНИЯ ХОТЯ БЫ ОДНОГО СОБЫТИЯ
1. Два события А и В называются независимыми, если вероятность
одного из них не зависит от того, произошло или не произошло другое.
Если события А и В независимые, то
P(AB) = P(A)P(B)
Пример 1. Два стрелка стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,9, для второго- 0,8.
Найти вероятность того, что оба стрелка попадут в цель.
Решение. Обозначим события:
А – попадание в цель первым стрелком,
В – попадание в цель вторым стрелком.
Так как события А и В независимы, то
P(AB) = P(A)P(B) = 0,90,8 = 0,72.
2. Два события А и В называются зависимыми, если вероятность
одного из них зависит от того, произошло или не произошло другое.
Пример 2. В ящике имеется 90 стандартных деталей и 10 нестандартных. Из ящика наудачу берут одну за другой две детали. Вероятность
появления стандартной детали при первом испытании (событие А) равна
P(A) = 90/100 = 0,9. Вероятность появления стандартной детали при втором
испытании (событие В) зависит от результата первого испытания: если в
первом испытании событие А произошло, то P(B) = 89/99, если же событие
В не произошло, то P(B) = 90/99 = 10/11. Следовательно, события А и В – зависимые.
3. Вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В
произошло, называется условной вероятностью события А при условии,
что событие В произошло и обозначается P(A | B).
Пример 3. В урне a белых и b черных шаров. Из урны наудачу последовательно вынимают два шара. Найти вероятность того, что второй
шар окажется черным при условии, что первый шар был черным.
Решение. Обозначим события:
А – первый шар черный;
В – второй шар черный.
Если произошло событие А, то в урне осталось всего a + b - 1 шаров,
из них b - 1 черных. Поэтому условная вероятность события В при условии, что произошло событие А, есть:
b 1
P( B | A) 
.
a  b 1
Если события А и В зависимые, то P(AB)=P(A)P(B|A) или P(AB)= (B)P(A|B).
12
Пример 4. В ящике находится 7 деталей первого сорта, 5 второго
сорта и 3 третьего сорта. Из ящика последовательно вынимают три детали. Найти вероятность того, что первая наугад вынутая деталь окажется
первого сорта (событие А1), вторая деталь – второго сорта (событие А2) и
третья деталь – третьего сорта (событие А3).
Решение.
7
5
3
P( A1 )  , P( A2 | A1 )  , P( A3 | A1 A2 )  .
15
14
13
7 5 3
1
P( A1 A2 A3 )  P( A1 )  P( A2 | A1 )  P( A3 | A1 A2 )    
.
15 14 13 26
Вероятность суммы двух совместных событий:
P(A + B) = P(A  B) = P(A) + P(B) - P(AB).
Если события А и В несовместны, то
P(A+B) = P(A) + P(B).
Вероятность появления хотя бы одного события равна
P(A1A2...An) = 1 - P(Ā1)P(Ā2)...P(Ān),
где вероятность противоположного события равна P(Ā) = 1 - P(A).
Задачи
1.
Три стрелка произвели залп по цели. Вероятность поражения
цели первым стрелком равна 0,8, вторым 0,8, третьим 0,9. Найти вероятность того, что все три стрелка поразят цель.
2.
Экспедиция издательства отправляет газеты в два почтовых отделения. Вероятность доставки газет вовремя в каждое почтовое отделение равна 0,9. Найти вероятность того, что:
а) оба отделения почты получат газеты вовремя;
б) оба отделения почты получат газеты с опозданием;
в) хотя бы одно почтовое отделение получит газеты вовремя.
3.
Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течении
1 часа станок не потребует внимания рабочего равна для первого станка
0,9, для второго станка 0,8, для третьего станка 0,85. Найти вероятность
того, что в течение некоторого часа ни один станок не потребует внимания рабочего.
4.
В двух ящиках находятся детали. В первом 10 деталей, из них
три стандартные, во втором 15 деталей, из них 6 стандартных. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того,
что обе детали окажутся стандартными? Обе бракованными? Хотя бы
одна стандартная?
5.
В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц. Вынимаются наудачу 2
пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы будут одноцветными?
13
6.
В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, в другом ящике 10 белых и 5 красных шаров. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика
будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.
7.
12 служащих военного подразделения имеют профессию слесарей-сантехников, 9 из них имеют наивысший шестой разряд. Для монтажа оборудования на объект надо направить четырех высококвалифицированных слесарей, чтобы закончить работу в срок и качественно. Выбраны первые четверо военнослужащих по алфавитному списку. Какова
вероятность того, что все четверо имеют шестой разряд?
8.
В цехе 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наугад
выбрали 3 человека. Какова вероятность того, что выбраны мужчины?
9.
Из двух колод карт наудачу вынули по карте. Какова вероятность того, что обе карты пиковые?
10. Определить надежность двух дублирующих друг друга приборов. Надежность каждого равна p. При выходе из строя одного из них
происходит мгновенное переключение на второй.
11. Экзаменующему преподавателю подан список группы из 26 человек. Известно, что 8 студентов в группе занимаются на “хорошо”.
Наудачу из списка вызваны 2 студента. Найти вероятность того, что эти 2
студента хорошисты.
12. В барабане револьвера 7 гнезд, из них в 5 заложены патроны, а
2 оставлены пустыми. Барабан приводится во вращение, в результате чего против ствола случайным образом оказывается одно из гнезд. После
этого нажимается спусковой крючок; если ячейка была пустая, то выстрела не происходит. Найти: а) вероятность того, что повторив такой
опыт два раза подряд, мы оба раза не выстрелим, б) вероятность того, что
оба раза выстрел произойдет.
13. Два стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Известно,
что вероятность попадания в мишень для одного из стрелков равна 0,6, а
для другого 0,7. Найдите вероятность того, что: а) только один из стрелков попадет в мишень; б) оба стрелка попадут в мишень; в) ни один из
стрелков не попадет в мишень; г) хотя бы один из стрелков попадет в
мишень.
14. Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число
будет кратным либо 2, либо 5, либо тому и другому вместе.
15. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле
равна 0,15, во вторую зону 0,2, в третью 0,3. Найти вероятность промаха.
16. Стрелок выбивает 10 очков с вероятностью 0,1, а 9 очков с вероятностью 0,3. Найти вероятность выбить не менее 9 очков.
17. Три стрелка попадают в мишень соответственно с вероятностью 0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность того, что при одном выстреле хотя
бы один из них попадет в мишень?
14
18. Производится огневой налет на склады боеприпасов. Вероятность попадания в первый склад равна 0,05, во второй 0,08, в третий 0,15.
При попадании хотя бы в один из складов происходит взрыв всех трех
складов. Определить вероятность уничтожения всех трех складов.
19. Для оштукатуривания клуба было предложено использовать
два насоса, один из которых имеет 60 % износа, второй 30 %. Насколько
можно быть уверенным, что хотя бы один из насосов всегда будет в действии?
20. Два стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,7, вторым 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один стрелок попал в мишень.
21. Три электролампочки последовательно включены в сеть. Вероятность того, что одна (любая) лампочка перегорит, если напряжение в
сети превысит номинальное, равна 0,6. Найти вероятность того, что при
повышении напряжения тока в цепи не будет.
22. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того,
что будет принят первый вызов, равна 0,2, второй 0,3, третий 0,4. События, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы.
Найти вероятность того, что корреспондент услышит вызов радиста.
23. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на
него сбросить 4 бомбы, вероятности попадания которых равны 0,3, 0,4;
0,6; 0,7.
24. На стройке 4 автокрана. Для каждого автокрана вероятность
того, что он работает в данный момент равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы один автокран.
25. Пусть вероятность того, что покупателю женской обуви потребуется обувь 37 размера равна 0,25. Найти вероятность того, что из четырех первых покупателей обувь этого размера:
а) никому не понадобится;
б) понадобится хотя бы одному.
26. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта.
Вероятность того, что наудачу выбранное изделие окажется высшего
сорта равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только два высшего сорта.
27. Вероятность попадания в цель при одном залпе из двух орудий
равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле из
первого орудия, если вероятность поражения цели из второго оружия
равна 0,8.
28. Вероятность выигрыша по одному билету равна 1/7. Какова вероятность, купив 5 билетов, выиграть: а) по всем 5 билетам; б) ни по одному билету; в) хотя бы по одному билету.
15
29. В урне 5 белых, 7 черных шаров и 3 красных шара. Из этой урны один за другим вынимают все шары без возвращения и записывают
их цвета. Найдите вероятность того, что в этом списке белый шар встретится раньше черного.
30. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние
цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры нечетные и
разные. Найти вероятность того, что номер набран правильно.
31. Студент успел подготовить к экзамену 20 вопросов из 25. Какова вероятность того, что из трех наудачу выбранных вопросов студент
знает не менее двух?
32. Для одной торпеды вероятность попасть в корабль равна ½. Какова вероятность того, что 4 торпеды потопят корабль, если для его потопления достаточно одного попадания торпеды в цель.
33. Ящик содержит 90 годных и 10 дефектных деталей. Сборщик
последовательно без возвращения достает из ящика 10 деталей. Найти
вероятность того, что среди взятых деталей: а) нет дефектных; б) менее 3
дефектных.
34. В урне 2 белых и 4 черных шара. Два игрока достают из этой
урны поочередно по одному шару, возвращая каждый раз извлеченный
шар. Игра продолжается до появления белого шара. Определите вероятность того, что первым достанет белый шар начинающий игрок.
35. Решить предыдущую задачу в предположении, что шары не
возвращаются в урну.
36. В урне 10 шаров. Вероятность того, что 2 извлеченных шара
окажутся белыми, равна 2/15. Сколько в урне белых шаров?
37. В двух урнах находятся шары, причем в первой урне 5 белых
шаров, 11 черных и 2 красных, а во второй соответственно 10, 8, 6. Из
обеих урн наудачу извлекаются по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара одного цвета.
38. Экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Вероятность того,
что студент ответит на первый и второй вопросы билета, одинакова и
равна 0,9; на третий 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить: а) на все 3 вопроса; б) хотя бы
на 2 вопроса.
39. По результатам проверки контрольных работ оказалось, что в
первой группе получили положительную оценку 20 студентов из 30, а во
второй 15 из 25. Найти вероятность того, что наудачу выбранная работа,
имеющая положительную оценку, написана студентом первой группы.
40. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение
равна 0,95, во второе 0,9 и в третье 0,8. Найти вероятность следующих
событий: а) только одно отделение получит газеты вовремя; б)хотя бы
16
одно отделение получит газеты с опозданием.
41. Прибор, работающий в течение времени t, состоит из трех узлов, каждый из которых независимо от других может за это время выйти
из строя. Неисправность хотя бы одного узла выводит прибор из строя
целиком. Вероятность безотказной работы в течение времени t первого
узла равна 0,9, второго 0,95, третьего 0,8. Найти вероятность того, что в
течение времени t прибор выйдет из строя.
42. Студент разыскивает нужную формулу в трех справочниках.
Вероятность того, что формула содержится в первом, втором и третьем
справочниках, равна соответственно 0,6, 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что эта формула содержится не менее, чем в двух справочниках.
43. Произведено три выстрела по цели из орудия. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,75; при втором 0,8; при третьем
0,9. Определить вероятность того, что будет: а) три попадания; б) хотя бы
одно попадание.
44. Вероятность своевременного выполнения студентом контрольной работы по каждой из трех дисциплин равна соответственно 0,6, 0,5 и
0,8. Найти вероятность своевременного выполнения контрольной работы
студентом: а) по двум дисциплинам; б) хотя бы по двум дисциплинам.
45. Мастер обслуживает 4 станка, работающих независимо друг от
друга. Вероятность того, что первый станок в течение смены потребует
внимания рабочего, равна 0,3, второй 0,6, третий 0,25. Найти вероятность
того, что в течение смены хотя бы один станок не потребует внимания
мастера.
46. Контролер ОТК, проверив качество сшитых 20 пальто, установил, что 16 из них первого сорта, а остальные – второго. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу их этой партии трех пальто одно
будет второго сорта.
47. Среди 20 поступающих в ремонт часов 8 нуждаются в общей
чистке механизма. Какова вероятность того, что среди взятых одновременно наудачу 8 часов по крайней мере двое нуждаются в общей чистке
механизма.
48. Среди 15 лампочек 4 стандартных. Одновременно берут наудачу 2 лампочки. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них нестандартная.
49. В коробке смешаны электролампы одинакового размера и формы: по 100 Вт 7 штук, по 75 Вт 13 штук. Вытянуты наудачу 3 лампы. Какова вероятность того, что: а) они одинаковой мощности; б) хотя две из
них по 100 Вт?
50. В коробке 10 красных, 3 синих и 7желтых карандашей. Наудачу
вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что они все: а) разных
цветов; б) одного цвета?
17
51. Брак в продукции завода вследствие дефекта А составляет 4 %,
а вследствие дефекта В 3,5 %. Годная продукция завода составляет 95 %.
Найти вероятность того, что: а) среди продукции, не обладающей дефектом А, встретится дефект В; б) среди забракованной по признаку А продукции встретится дефект В.
52. Пакеты акций, имеющихся на рынке ценных бумаг, могут дать
доход с вероятностью 0,5 (для каждого пакета). Сколько пакетов акций
различных фирм нужно приобрести, чтобы с вероятностью, не меньшей
0,96875, можно было ожидать доход хотя бы по одному пакету акций?
53. Сколько раз нужно провести испытание, чтобы с вероятностью,
не меньшей Р, можно было бы утверждать, что по крайней мере один раз
произойдет событие, вероятность которого в каждом испытании равна р?
Дать ответ при р = 0,4 и Р = 0,8704.
54. На полке стоят 10 книг, среди которых 3 книги по теории вероятностей. Наудачу берутся три книги. Какова вероятность, что среди отобранных хотя бы одна книга по теории вероятностей?
55. На связке 5 ключей. К замку подходит только один ключ.
Найти вероятность того, что потребуется не более двух попыток открыть
замок, если опробованный ключ в дальнейших испытаниях не участвует.
56. В магазине продаются 10 телевизоров, 3 из них имеют дефекты.
Какова вероятность того, что посетитель купит телевизор, если для выбора телевизора без дефектов понадобится не более трех попыток?
Ответы
1
2а
2б
2в
3
4а
4б
4в
72/125 12 а
0,81
12 б
0,01
13 а
0,99
13 б
0,612 13 в
3/25
13 г
21/50
14
29/50
15
1/21
10/21
0,46
0,42
0,12
0,88
0,6
0,204
23
24
25 а
25 б
26
27
28 а
28 б
0,95
0,9984
0,36
0,64
0,384
0,7
1/75
(6/7)5
36
37
38
39 а
39 б
40
41
42 а
6
0,347
0,636
0,032
0,316
0,316
0,788
0,54
48 а
48 б
49 а
49 б
50 а
50 б
51
52
5
6
7
8
9
10
11
0,5
7/9
14/55
7/24
1/16
(1-p)2
28/325
0,4
0,994
0,126
0,72
0,88
0,936
0,664
29
30
31
32
33
34
35
5/12
42 б
43 а
43 б
44
45
46
47
0,995
0,46
0,7
0,982
0,421
0,344
0,476
53
54
55
16
17
18
19
20
21
22
15/16
3/5
2/3
18
0,282
0,270
0,184
0,137
0,0104
0,625
Не < 5 пакетов
lg  1 P 
n
 0 ,110;
lg  1 p 
при р=0,4,
р=0.8704, n4
0,708
0,4
0,992
ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА. ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ. ФОРМУЛЫ БЕРНУЛЛИ, МУАВРА-ЛАПЛАСА
И ПУАССОНА. НАИВЕРОЯТНЕЙШЕЕ ЧИСЛО УСПЕХОВ.
Если событие А может наступить только при появлении одного из
несовместных событий (гипотез) Н1, Н2 , ... , Нn, то вероятность события А
может быть вычислена по формуле полной вероятности:
n
p( A )   p( H i )  p( A \ H i ) ,
i 1
n
где p(Hi) – вероятность гипотезы Нi,  p( H i )  1 ,
i 1
p(A\Hi) – условная вероятность события А при этой гипотезе.
С формулой полной вероятности тесно связана формула Байеса. Если до опыта вероятности гипотез были p( H1 ), p( H 2 ), , p( H n ), а в результате опыта появилось событие А то, с учетом появления этого события, «новые», т. е. условные вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса:
n
p( H i ) p( A | H i )
p( H i | A) 
, i  1,2,  , n, где р( A)   p( H i ) p( A | H i ).
p( A)
i 1
Формулы Байеса дают возможность «пересмотреть» вероятности гипотез с учетом наблюдавшегося результата опыта.
Пример. В продажу поступили электрические лампочки, причем
партия лампочек в 1000 штук поступила с одного предприятия, а партия в
500 штук – с другого. Известно, что на первом предприятии брак составляет 5 % продукции, а на втором 3 %. Какова вероятность приобрести нестандартную лампочку? Какова вероятность того, что куплена лампочка
из первой партии, если она оказалась стандартной?
Решение. Выдвинем следующие гипотезы: Н1 – купленная лампочка
принадлежит первой партии, Н2 – купленная лампочка принадлежит второй партии. Тогда
p(H1 )  2 , p(H 2 )  1 , p(A | H1 )  0,05; p( A | H 2 )  0,03 ;
3
3
p(A) 
2
1
0,13
 0,05   0,03 
 0,04(3).
3
3
3
Для получения ответа на второй вопрос воспользуемся формулой
Байеса. Вероятность
p ( A)  1 
0,13 2,87

,
3
3
2
0,95
190
p ( H 1 | A)  3

.
2,87
287
3
19
Повторение испытаний. Формулы Бернулли, Муавра-Лапласа и
Пуассона. Наивероятнейшее число успехов.
Пусть некоторое испытание повторяется практически в одинаковых
условиях несколько раз, причем вероятность интересующего нас события
в каждом испытании и результаты разных опытов независимы. Подобные
условия опыта называются схемой Бернулли. Обозначим число испытаний через n, вероятность успеха в одном опыте p, а q = 1-p – вероятность
неуспеха. Общее число успехов может быть целым числом от 0 до n. Вероятность того, что в серии из n независимых испытаний успех наступит
ровно k раз выражается формулой Бернулли
pn (k)  Ckn pkqn k .
Пример: Опыт заключается в трехкратном подбрасывании игральной
кости. Нас интересует появление 6 очков. Вероятность выпадения 6 очков равна 1/6 и все броски независимы в совокупности. Поэтому применима формула Бернулли. Здесь число опытов n = 3, успехом будем считать выпадение 6 очков. Вероятность успеха в одном опыте p = 1/6, вероятность неуспеха q = 5/6. Число успехов может быть любым от 0 до 3.
1 5
125
75
P3 (k )  C3k ( ) k ( )3 k . p3 (0) 
, p3 (1) 
,
6 6
126
216
15
1
p3 (2) 
, p3 (3) 
.
216
216
Для проверки желательно убедиться в том, что сумма всех вероятностей равна 1.
Часто на практике необходимо решать задачу: какое из возможных
значений успеха имеет самую большую вероятность? В рассмотренном
примере это 0 успехов.
В общем случае наибольшая вероятность приходится на значения k,
заключенные на отрезке [np-q, np+p]. Длина этого отрезка равна единице,
поэтому если np + p не является целым числом, то наиболее вероятное k
единственно и равно целой части от np + p. Если же np + p целое, то
наивероятнейших значений два np – q и np + p. В рассмотренном примере
np + p равно 4/6 и его целая часть равна 0.
Схема Бернулли. Приближенные формулы
При больших n формула Бернулли практически не применима из-за
большого объема вычислений. Однако в этом случае существуют сравнительно простые приближенные формулы.
20
Локальная теорема Муавра – Лапласа.
Вероятность того, что в n независимых испытаниях успех наступит
ровно к раз, равна
k  np
1
Pn (k ) 
(
),   x    x  .
npq
npq
где p вероятность появления успеха в каждом испытании,
q = 1  p, ( x ) 
1

x2
2
e .
2
Интегральная теорема Муавра – Лапласа.
Вероятность того, что в n независимых испытаниях число успехов k
находится между k1 и k2, равна
k  np
k  np
P(k1  k  k 2 )  ( 2
)  ( 1
),
npq
npq
где p – вероятность появления успеха в каждом испытании,
t2
1 x 2
q = 1 - p, а ( x) 
dt - функция Лапласа.
e
2 0
Отметим некоторые основные свойства функции Лапласа. (0)  0,
1
()  , ( x)  ( x). Функция Лапласа монотонно возрастает.
2
Формула Пуассона
В случае, когда n велико, а p мало (обычно p  0,1; npq  9 ) вместо
формулы Бернулли применяют приближенную формулу Пуассона
k e  
, при   np.
k!
Формула Пуассона используется в задачах, относящихся к редким
событиям.
Pn (k ) 
Пример 1. Монета брошена 2N раз. Найти вероятность того, что
герб выпадет ровно N раз.
Решение. Имеем схему Бернулли, в которой количество испытаний
n=2N. Вероятность успеха (выпадение «герба») в одном испытании p=0,5.
Тогда вероятность неуспеха (выпадение «решки») в одном испытании
q=1-p=0,5. По условию количество успехов (количество выпадений герба) k=N.
При этом возможны два случая:
21
1 случай. Небольшое количество опытов. Тогда используем формулу Бернулли
p n (k)  Ckn p k  q nk .
Например, N=3, тогда
6!
45 6 6
p 6 (3)  C36 0,53  0,53 
0,56 
0,5  0,3125 .
3!3!
23
2 случай. Большое количество опытов (при большой вероятности
успеха). Тогда используем локальную формулу Муавра-Лапласа.
1
k  np
p n (k ) 
 (
).
npq
npq
В нашем случае, имеем
N(1  2  0,5)
1
N  2 N  0,5
1
p 2 N ( N) 
 (
)
 (
)
2 N  0,5  0,5
2 N  0,5  0,5
0,5 2 N
2 N  0,5  0,5

2
 (0) 
2
 0,3989 
0,56413
2N
N
N
По таблице приложения 1 (стр.63) находим, что φ(0)=0,3989.
0,56413
Например, при N=100, имеем p 200 (100 ) 
 0,056413 .
100
Пример 2. Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность
отказа одного элемента в течение года равна 0,002. Какова вероятность
отказа: а) двух элементов за год? б) не менее двух элементов за год?
Решение. Будем рассматривать работу каждого элемента как отдельное испытание. Обозначим А – «Отказ элемента за год».
P(A)=p=0,002; np=1000*0,002=2 < 9
а) Значит, вероятность отказа двух элементов за год найдем по формуле Пуассона: так как   n  p  2 , k  2 (количество отказавших элементов). Тогда по таблице приложения 3 (стр. 65) находим
p1000 (2)  0,2707 .
б) Обозначим через p1000 (k  2) – вероятность отказа не менее двух
элементов за год. Вычислим p1000 (k  2) , как вероятность противоположного события к событию p1000 (k  2) , то есть:
p1000 (k  2)  1  p1000 (0)  p1000 (1)  1  0,1353  0,2707  0,594
Так как p1000 (0)  0,1353 (   n  p  2 , k  0 ),
p1000 (1)  0,2707 (   n  p  2 , k  1 ).
22
Задачи
1.
Имеется 2 одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 2 белых и 1 черный шар, во втором 1 белый и 4 черных шара. Наудачу выбирают один ящик и вынимают из него шар. Какова вероятность того, что
вынутый шар окажется белым?
2.
Из урны, в которой находилось 5 белых и 6 черных шаров, потерялся один шар неизвестного цвета. Из урны извлечен наудачу один
шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?
3.
В цехе работают 20 станков. Из них 10 марки А, 6 марки В и 4
арки С. Вероятность того, что качество детали окажется отличным равна
0,9; 0,8; 0,7 соответственно. Какой процент отличных деталей выпускает
цех в целом?
4.
С первого станка-автомата на сборку поступают 40 %, со второго 30 %, а с третьего 20 %, с четвертого 10 % деталей. Среди деталей,
выпущенных первым станком 2 % бракованных, вторым 1 %, третьим 0,5
%, четвертым 0,2 %. Найдите вероятность того, что поступившая на
сборку деталь не бракованная.
5. Имеются 2 урны: в первой 3 белых шара и 2 черных; во второй 4
белых и 4 черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, 2
шара. После этого из второй урны берут один шар. Какова вероятность
того, что он белый?
6. Предположим, что 5 % всех мужчин и 0,25 % женщин – дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина?
7. На некоторой фабрике машина А производит 40 % всей продукции, а машина В 60 %. В среднем 9 единиц из 1000 единиц продукции,
произведенной машиной А, оказывается браком, а у машины В брак 2
единицы из 500. Некоторая единица продукции, выбранная случайным
образом из дневной продукции, оказалась браком. Какова вероятность
того, что она произведена на машине В?
8. В первой урне находится один белый и 9 черных шаров, а во
второй – 1 черный и 5 белых шаров. Из каждой урны удалили случайным
образом по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью (свободную) урну. Найти вероятность вынуть белый шар из третьей урны.
9. Имеется две партии изделий по 10 и 12 штук, причем в каждой
партии одно бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй
партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из
второй партии.
10. Для контроля продукции из трех партий деталей взята для испытания одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной
23
продукции, если в одной партии 2/3 деталей бракованные, а в двух других все доброкачественные.
11. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй
урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих шаров наудачу взят один шар. Найдите вероятность того, что взят белый шар.
12. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первого
стрелка 0,8; для второго 0,4. Найдите вероятность того, что в мишень попал первый стрелок, если в мишени обнаружена одна пробоина.
13. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит
25 %, вторая 35 % и третья 40 % всех изделий. В их продукции брак составляет 5, 4 и 2 % соответственно. а) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт будет дефективным? б) Если болт дефективный,
то какова вероятность того, что он изготовлен первой, второй или третьей машиной?
14. Туристы вышли из пункта О, выбирая наугад на разветвлении
дорог один из возможных путей. Какова вероятность того, что они попадут в пункт А?
О
О
А
А
Рисунок 2.
Рисунок 3.
15. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 с вероятностью 0,7; 4 с вероятностью 0,6 и 2 с вероятностью 0,5. Наудачу
выбранный стрелок не попал в цель. К какой группе вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
16. На трех дочерей – Алису, Марину и Елену в семье возложена
обязанность мыть посуду. Поскольку Алиса старшая, ей приходится выполнять 40 % всей работы. Остальные 60 % работы Марина и Елена делят поровну. Когда Алиса моет посуду, вероятность для нее разбить чтолибо равна 0,02. Для Марины и Елены эта вероятность равна соответственно 0,03 и 0,04. Родители не знают, кто мыл посуду вечером, но они
слышали звон разбитой тарелки. Какова вероятность того, что посуду
мыла Алиса? Марина? Елена?
17. В каждой из трех урн по 6 черных и 4 белых шара. Из первой
24
урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую, после чего из
второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третьюу. Найти
вероятность того, что шар, извлеченный затем из третьей урны, окажется
белым.
18. В группе из 20 стрелков имеется 4 отличных, 10 хороших и 6
непосредственных стрелков. Вероятность попадания в цель при одном
выстреле для отличного стрелка равна 0,9; для хорошего 0,7; для посредственного 0,5. Найдите вероятность того, что: а) наудачу выбранный
стрелок попадет в цель; б) 2 наудачу выбранных стрелка попадут в цель.
19. Четыре стрелка независимо друг от друга стреляют по одной
мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятности попадания для
данных стрелков равны 0,4; 0,6; 0,7; 0,8. После стрельбы в мишени обнаружены 3 пробоины. Найдите вероятность того, что промахнулся четвертый стрелок.
20. Три автомата изготавливают детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность автоматов относятся 2 : 3 : 5. Вероятность того, что деталь изготовлена на первом автомате отличного качества, равна 0,9, для второго 0,8, для третьего 0,7. Найти вероятность того,
что наудачу взятая с конвейера деталь окажется отличного качества.
21. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе мимо бензоколонки относится к числу легковых машин этого же направления как
3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна
0,1; легковая 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти
вероятность того, что это грузовая машина.
22. У рыбака есть три излюбленных места рыбалки, которые он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность клева на первом месте
равна 1/4, на втором 1/3, на третьем 1/2. Рыбак забросил удочку, и рыба
клюнула. Найти вероятность того, что он удил на первом месте.
23. У рыбака есть три излюбленных места рыбалки, которые он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность клева на первом месте
1/3, на втором месте 1/2, на третьем месте равна 1/4. Рыбак забросил
удочку 3 раза, и рыба клюнула 1 раз. Найти вероятность того, что он удил
рыбу на первом месте.
24. Для прядения смешаны поровну белый и окрашенный хлопок.
Какова вероятность среди пяти случайно выбранных волокон смеси обнаружить менее двух окрашенных?
25. Изделия некоторого производства содержат 5 % брака. Найти
вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий: а) нет ни одного
испорченного; б) будут два испорченных.
26. Вероятность получения удачного результата при производстве
сложного химического опыта равна 2/3. Найти наивероятнейшее число
удачных опытов, если общее их количество равно 7.
25
27. Батарея дала четырнадцать выстрелов по объекту, вероятность
попадания в который равна 0,2. Найти наивероятнейшее число попаданий
и вероятность этого числа попаданий.
28. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника: 1) три
партии из четырех или пять из восьми; 2) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми?
29. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из орудия
равна 0,8. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы наивероятнейшее
число попаданий было равно 20?
30. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается с вероятностью, равной 0,8. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырех?
31. Вероятность того, что лампа останется исправной после 1000
часов работы, равна 0,2. Какова вероятность того, что хотя бы одна из
трех ламп останется исправной после 1000 часов работы?
32. Контрольное задание состоит из 5 вопросов, на каждый из которых дается 4 варианта ответа, причем один из них правильный, а остальные неправильные. Найдите вероятность того, что учащийся, не знающий
ни одного вопроса, дает: а) 3 правильных ответа, б) не менее 3 правильных ответов (предполагается, что ответы учащийся выбирает наудачу).
33. Проведено 5 независимых испытаний, каждое из которых состоит в одновременном подбрасывании 2 монет. Найдите вероятность того, что ровно в трех испытаниях появилось по два герба.
34. Вероятность рождения мальчика равна 0,515, девочки – 0,485. В
некоторой семье шестеро детей. Найти вероятность того, что среди них
не больше двух девочек?
35. На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найдите вероятность нормальной работы
автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии
не менее 8 автомашин.
36. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения
изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено изделий а) ровно 3, б) менее 3, в) более 3.
37. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность
того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти
вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно 2; б)
менее 2; в) более 2.
38. Вероятность рождения мальчика 0,51. Найти вероятность того,
что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.
39. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в
400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.
26
40. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле
p = 0,75. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит
мишень 8 раз.
41. Найти вероятность того, что при 400 испытаниях событие
наступит 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании
равна 0,2.
42. Прядильщик обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва
нити на одном веретене в течение одной минуты 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет в 5 веретенах.
43. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммутатор,
равна 0,02. Какое из двух событий вероятнее в течение одной минуты:
позвонит 3 абонента, позвонит 4 абонента ?
44. Вероятность рождения мальчика равна 0,5. Найдите вероятность
того, что среди 200 новорожденных детей будет: а) 100 мальчиков; б) 90
мальчиков; в) 110 мальчиков; г) от 90 до 110 мальчиков.
45. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 41 размера, равна 0,2. Найдите вероятность того, что из 100 покупателей потребует обувь 41 размера: а) 25 человек; б) от 10 до 30 человек; в) не более 30
человек; г) не менее 35 человек.
46. 100 станков работают независимо друг от друга, причем вероятность бесперебойной работы каждого из них в течении смены равна 0,8.
Найдите вероятность того, что в течении смены бесперебойно проработают: а) 85 станков; б) от 75 до 85 станков.
47. Вероятность выхода из строя за время t одного конденсатора
равна 0,2. Найдите вероятность того, что за время t из 100 независимо работающих конденсаторов выйдут из строя: а) не менее 20 конденсаторов;
б) менее 28 конденсаторов; в) от 14 до 26 конденсаторов.
48. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность повреждения каждого изделия в пути равна 0,0002. Найдите вероятность того, что среди 5000 изделий в пути будет повреждено:
а) 3 изделия; б) 1 изделие; в) не более 3 изделий; г) более 3 изделий.
49. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых
испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а)
не менее 75 раз и не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.
50. Какова вероятность того, что в столбике из 100 наугад отобранных монет число монет, лежащих «гербом» вверх, будет от 45 до 55.
51. Испытывается каждый из 15 элементов некоторого устройства.
Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти
наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытание.
52. Товаровед осматривает 24 образца товаров. Вероятность того,
что каждый из образцов будет признан годным, равна 0,6. Найти наиве27
роятнейшее число образцов, которое товаровед признает годными.
53. Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятность
попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка 0,8, а для
второго 0,6. Найти наивероятнейшее число залпов, при которых оба
стрелка попадут в мишень, если будет проведено 15 залпов.
54. Вероятность появления события в каждом из испытаний равна
0,3. Найти число испытаний n, при котором наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях будет равно 30.
55. Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска: I класс – малый риск, II класс – средний, III класс – большой риск.
Среди этих клиентов 50 % первого класса риска, 30 % второго и 20 %
третьего. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для первого класса риска равна 0,01, второго 0,03, третьего 0,08.
Какова вероятность того, что: а) застрахованный получит денежное вознаграждение за период страхования; б) получивший денежное вознаграждение застрахованный относится к группе малого риска?
56. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5 : 8 : 7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия
составляют 90 %, второй 85 %, третьей 75 %. Найти вероятность того, что
приобретенное изделие окажется: а) нестандартным; б) стандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой?
57. Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, а для второго
0,3. В мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что она
принадлежала первому стрелку.
58. Вся продукция цеха проверяется двумя контролерами, причем
первый контролер проверяет 55 % изделий, а второй остальные. Вероятность того, что первый контролер пропустил нестандартное изделие, равна 0,01, второй 0,02. Взятое наудачу изделие, маркированное как стандартное, оказалось нестандартным. Найти вероятность того, что изделие
проверялось вторым контролером.
59. Вероятность изготовления изделия с браком на данном предприятии равна 0,04. Перед выпуском изделие подвергается упрощенной
проверке, которая в случае бездефектного изделия пропускает его с вероятность 0,96, а в случае изделия с дефектом с вероятностью 0,05. Определить: а) какая часть изготовленных изделий выходит с предприятия? б)
какова вероятность того, что изделие, выдержавшее упрощенную проверку, бракованное?
60. В одной урне 5 белых и 6 черных шаров, а в другой 4 белых и 8
черных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 3 шара и
опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно
вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из
28
второй урны, белые.
61. Из п экзаменационных билетов студент А подготовил только т
(т < n). В каком случае вероятность вытащить на экзамене «хороший»
для него билет выше: когда он берет наудачу первым или вторым, …, или
k – м (k < n) по счету среди сдающих экзамен?
62. Вероятность малому предприятию быть банкротом за время t
равна 0,2. Найти вероятность того, что из восьми малых предприятий за
время t сохраняться: а) два; б) более двух.
63. В среднем пятая часть поступающих в продажу автомобилей
некомплектны. Найти вероятность того, что среди десяти автомобилей
имеют некомплектность: а) три автомобиля; б) менее трех.
64. Производится залп из 6 орудий по объекту. Вероятность попадания в объект из каждого орудия равна 0,6. Найти вероятность ликвидации объекта, если для этого необходимо не менее четырех попаданий.
65. В среднем по 15 % договора страхования компания выплачивает
сумму. Найти вероятность того, что из десяти договоров с наступлением
страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы: а) три договора; б) менее двух договоров.
66. Предполагается, что 10 % открывающихся малых предприятий
прекращают свою деятельность в течение года. Какова вероятность того,
что из шести малых предприятий не более двух в течение года прекратят
свою деятельность?
67. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и
девочки равными между собой, определить вероятность того, что в данной семье: а) не менее трех мальчиков; б) не более трех мальчиков.
68. Два равносильных противника играют в шахматы. Что более
вероятно: а) выиграть 2 партии из 4 или 3 партии из 6? б) не менее 2 партий из 6 или не менее 3 партий из 6? (Ничья в расчет не принимается).
69. В банк отправлено 4000 пакетов денежных знаков. Вероятность
того, что пакете недостаточное или избыточное число денежных знаков,
равна 0,0001. Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено: а) 3 ошибочно укомплектованных пакета; б) не более трех пакетов.
70. Строительная фирма, занимающаяся сборкой летних коттеджей, раскладывает рекламные листки по почтовым ящикам. Опыт работы компании показывает, что примерно в одном случае из двух тысяч
следует заказ. Найти вероятность того, что при размещении 100 тыс.
листков число заказов будет: а) равно 48; б) находиться в границах от 45
до 55.
71. В вузе обучаются 3650 студентов. Вероятность того, что день
рождения студента приходится на определенный день года, равна 1/365.
Найти а) наиболее вероятное число студентов, родившихся 1 мая, и вероятность такого события; б) вероятность того, что, по крайней мере, 3 сту29
дента имеют один и тот же день рождения.
72. Учебник издан тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того,
что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти
вероятность того, что а) тираж содержит 5 бракованных книг; б) по крайней мере 9998 книг сброшюрованы правильно.
73. Два баскетболиста делают по 3 броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча в корзину при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что: а) у обоих будет одинаковое количество попаданий; б) у первого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго.
74. Известно, что в среднем 60 % всего числа изготовляемых заводом телефонных аппаратов является продукцией первого сорта. Чему
равна вероятность того, что в изготовленной партии окажется: а) 6 аппаратов первого сорта, если партия содержит 10 аппаратов; б) 120 аппаратов первого сорта, если партия содержит 200 аппаратов?
75. Вероятность того, что перфокарта набита оператором неверно,
равна 0,1. Найти вероятность того, что: а) из 200 перфокарт правильно
набитых будет не меньше 180; б) у того же оператора из десяти перфокарт будет неверно набитых не более двух.
76. Аудиторную работу по теории вероятностей с первого раза
успешно выполняют 50 % студентов. Найти вероятность того, что из 400
студентов работу успешно выполнят: а) 180 студентов, б) не менее 180
студентов.
77. При обследовании уставных фондов банков установлено, что
пятая часть банков имеют уставный фонд свыше 100 млн. руб. найти вероятность того, что среди 1800 банков имеют уставный фонд свыше 100
млн. руб.: а) не менее 300; б) от 300 до 400 включительно.
78. Сколько нужно взять деталей, чтобы наивероятнейшее число
годных деталей было равно 50, если вероятность того, что наудачу взятая
деталь будет бракованной, равна 0,1?
79. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 800 пассажиров и вероятность такого числа опоздавших.
80. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Найти: а) с
вероятностью 0,9545 границы, в которых заключена доля стандартных
среди проверенных 900 деталей; б) вероятность того, что доля стандартных деталей среди них заключена в пределах от 0,8 до 0,11.
81. В результате проверки качества приготовленных для посева
семян гороха установлено, что в среднем 90 % всхожи. Сколько нужно
посеять семян, чтобы с вероятностью 0,991 можно было ожидать, что доля взошедших семян отклонится от вероятности взойти каждому семени
не более, чем на 0,03 (по абсолютной величине)?
30
82. Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами,
продаст их, равна 0,7. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно
было утверждать с вероятностью 0,996, что доля проданных среди них
отклонится от 0,7 не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине)?
83. У страховой компании имеются 10000 клиентов. Каждый из
них, страхуясь от несчастного случая, вносит 500 руб. Вероятность
несчастного случая 0,0055, а страховая сумма, выплачиваемая пострадавшему, составляет 50000 руб. Какова вероятность того, что: а) страховая компания потерпит убыток; б) на выплату страховых сумм уйдет более половины всех средств, поступивших от клиентов?
Ответы
1
2
3
13/30
N
NM
0,83
14
15
27
ко второй
28
24, 25
37 а
0,224
48
37 б
0,1992
49 а
0,89
16
29
37 в
0,5769
49 б
0,89
17
30
38
0,0782
49 в
0,11
5
0,52
18
31
39
0,0498
50
0,68
6
20/21
19
0,088
32 а
0,088
40
0,273
51
14
20
0,77
32 б
0,104
41
0,0006
52
14, 15
21
3/7
33
0,088
42
0,1562
53
7
9
22
3/13
34
43
первое
54
100, 101
10
23
256/715
35
44
4
7
8
38/105
11
12
13
6/17
24
36 а
0,0613
45
25
36 б
0,9197
46
36 в
0,019
47
26
5
31
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Таблица значений локальной функции Лапласа
 ( x) 
х
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
0
0,3989
0,3970
0,3910
0,3814
0,3683
0,3521
0,3332
0,3123
0,2897
0,2661
0,2420
0,2179
0,1942
0,1714
0,1497
0,1295
0,1109
0,0940
0,0790
0,0656
0,0540
0,0440
0,0355
0,0283
0,0224
0,0175
0,0136
0,0104
0,0079
0,0060
0,0044
0,01
0,3989
0,3965
0,3902
0,3802
0,3668
0,3503
0,3312
0,3101
0,2874
0,2637
0,2396
0,2155
0,1919
0,1691
0,1476
0,1276
0,1092
0,0925
0,0775
0,0644
0,0529
0,0431
0,0347
0,0277
0,0219
0,0171
0,0132
0,0101
0,0077
0,0058
0,0043
0,02
0,3989
0,3961
0,3894
0,3790
0,3653
0,3485
0,3292
0,3079
0,2850
0,2613
0,2371
0,2131
0,1895
0,1669
0,1456
0,1257
0,1074
0,0909
0,0761
0,0632
0,0519
0,0422
0,0339
0,0270
0,0213
0,0167
0,0129
0,0099
0,0075
0,0056
0,0042
0,03
0,3988
0,3956
0,3885
0,3778
0,3637
0,3467
0,3271
0,3056
0,2827
0,2589
0,2347
0,2107
0,1872
0,1647
0,1435
0,1238
0,1057
0,0893
0,0748
0,0620
0,0508
0,0413
0,0332
0,0264
0,0208
0,0163
0,0126
0,0096
0,0073
0,0055
0,0040

1
2
0,04
0,3986
0,3951
0,3876
0,3765
0,3621
0,3448
0,3251
0,3034
0,2803
0,2565
0,2323
0,2083
0,1849
0,1626
0,1415
0,1219
0,1040
0,0878
0,0734
0,0608
0,0498
0,0404
0,0325
0,0258
0,0203
0,0158
0,0122
0,0093
0,0071
0,0053
0,0039
32
e
x2
2
0,05
0,3984
0,3945
0,3867
0,3752
0,3605
0,3429
0,3230
0,3011
0,2780
0,2541
0,2299
0,2059
0,1826
0,1604
0,1394
0,1200
0,1023
0,0863
0,0721
0,0596
0,0488
0,0396
0,0317
0,0252
0,0198
0,0154
0,0119
0,0091
0,0069
0,0051
0,0038
0,06
0,3982
0,3939
0,3857
0,3739
0,3589
0,3410
0,3209
0,2989
0,2756
0,2516
0,2275
0,2036
0,1804
0,1582
0,1374
0,1182
0,1006
0,0848
0,0707
0,0584
0,0478
0,0387
0,0310
0,0246
0,0194
0,0151
0,0116
0,0088
0,0067
0,0050
0,0037
0,07
0,3980
0,3932
0,3847
0,3725
0,3572
0,3391
0,3187
0,2966
0,2732
0,2492
0,2251
0,2012
0,1781
0,1561
0,1354
0,1163
0,0989
0,0833
0,0694
0,0573
0,0468
0,0379
0,0303
0,0241
0,0189
0,0147
0,0113
0,0086
0,0065
0,0048
0,0036
0,08
0,3977
0,3925
0,3836
0,3712
0,3555
0,3372
0,3166
0,2943
0,2709
0,2468
0,2227
0,1989
0,1758
0,1539
0,1334
0,1145
0,0973
0,0818
0,0681
0,0562
0,0459
0,0371
0,0297
0,0235
0,0184
0,0143
0,0110
0,0084
0,0063
0,0047
0,0035
0,09
0,3973
0,3918
0,3825
0,3697
0,3538
0,3352
0,3144
0,2920
0,2685
0,2444
0,2203
0,1965
0,1736
0,1518
0,1315
0,1127
0,0957
0,0804
0,0669
0,0551
0,0449
0,0363
0,0290
0,0229
0,0180
0,0139
0,0107
0,0081
0,0061
0,0046
0,0034
Приложение 2
Таблица значений интегральной функции Лапласа
t2
Ф( x ) 
х
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
0
0,0000
0,0398
0,0793
0,1179
0,1554
0,1915
0,2257
0,2580
0,2881
0,3159
0,3413
0,3643
0,3849
0,4032
0,4192
0,4332
0,4452
0,4554
0,4641
0,4713
0,4772
0,4821
0,4861
0,4893
0,4918
0,4938
0,4953
0,4965
0,4974
0,4981
0,4987
0,01
0,0040
0,0438
0,0832
0,1217
0,1591
0,1950
0,2291
0,2611
0,2910
0,3186
0,3438
0,3665
0,3869
0,4049
0,4207
0,4345
0,4463
0,4564
0,4649
0,4719
0,4778
0,4826
0,4864
0,4896
0,4920
0,4940
0,4955
0,4966
0,4975
0,4982
0,4987
0,02
0,0080
0,0478
0,0871
0,1255
0,1628
0,1985
0,2324
0,2642
0,2939
0,3212
0,3461
0,3686
0,3888
0,4066
0,4222
0,4357
0,4474
0,4573
0,4656
0,4726
0,4783
0,4830
0,4868
0,4898
0,4922
0,4941
0,4956
0,4967
0,4976
0,4982
0,4987
0,03
0,0120
0,0517
0,0910
0,1293
0,1664
0,2019
0,2357
0,2673
0,2967
0,3238
0,3485
0,3708
0,3907
0,4082
0,4236
0,4270
0,4484
0,4582
0,4664
0,4732
0,4788
0,4834
0,4871
0,4901
0,4925
0,4943
0,4957
0,4968
0,4977
0,4983
0,4988
1 x 2
dt
e
2 0
0,04
0,0160
0,0557
0,0948
0,1331
0,1700
0,2054
0,2389
0,2704
0,2995
0,3264
0,3508
0,3729
0,3925
0,4099
0,4251
0,4382
0,4495
0,4591
0,4671
0,4738
0,4793
0,4839
0,4875
0,4904
0,4927
0,4945
0,4959
0,4969
0,4977
0,4984
0,4988
33
0,05
0,0199
0,0596
0,0987
0,1368
0,1736
0,2088
0,2422
0,2734
0,3023
0,3289
0,3531
0,3749
0,3944
0,4115
0,4265
0,4394
0,4505
0,4599
0,4678
0,4744
0,4798
0,4842
0,4878
0,4906
0,4929
0,4946
0,4960
0,4970
0,4978
0,4984
0,4989
0,06
0,0239
0,0636
0,1026
0,1406
0,1772
0,2123
0,2454
0,2764
0,3051
0,3315
0,3554
0,3770
0,3962
0,4131
0,4279
0,4406
0,4515
0,4608
0,4686
0,4750
0,4803
0,4846
0,4881
0,4909
0,4931
0,4948
0,4961
0,4971
0,4979
0,4985
0,4989
0,07
0,0279
0,0675
0,01064
0,1443
0,1808
0,2157
0,2486
0,2794
0,3078
0,3340
0,3577
0,3790
0,3980
0,4147
0,4292
0,4418
0,4525
0,4616
0,4693
0,4756
0,4808
0,4850
0,4884
0,4911
0,4932
0,4949
0,4962
0,4972
0,4979
0,4985
0,4989
0,08
0,0319
0,0714
0,1103
0,1480
0,1844
0,2190
0,2517
0,2823
0,3106
0,3365
0,3599
0,3810
0,3997
0,4162
0,4306
0,4429
0,4535
0,4625
0,4699
0,4761
0,4812
0,4854
0,4887
0,4913
0,4934
0,4951
0,4963
0,4973
0,4980
0,4986
0,4990
0,09
0,0359
0,0753
0,1141
0,1517
0,1879
0,2224
0,2549
0,2852
0,3133
0,3389
0,3621
0,3830
0,4015
0,4177
0,4319
0,4441
0,4545
0,4633
0,4706
0,4767
0,4817
0,4857
0,4890
0,4916
0,4936
0,4952
0,4964
0,4974
0,4981
0,4986
0,4990
Приложение 3
Таблица значений функции p(k ) 
k\
0
1
2
3
4
5
6
0,1
0,9048
0,0905
0,0045
0,0002
0,2
0,8187
0,1637
0,0164
0,0011
0,0000
0,3
0,7408
0,2222
0,0333
0,0033
0,0003
0,4
0,6703
0,2681
0,0536
0,0072
0,0007
0,0000
k\
1
2
3
4
0,5
0,6065
0,3033
0,0758
0,0126
0,0016
0,0002
5
0,6
0,5488
0,3293
0,0988
0,0198
0,0030
0,0004
6
7
k 
e
k!
0,7
0,4966
0,3476
0,1217
0,0284
0,0050
0,0007
0,0000
8
0,8
0,4493
0,3595
0,1438
0,0383
0,0077
0,0012
0,0002
0,9
0,4066
0,3659
0,1647
0,0494
0,0111
0,0020
0,0003
9
10
0
0,3679 0,1353
0,0498
0,0183 0,0067 0,0025 0,0009 0,0003
0,0001
0,0000
1
0,3679 0,2707
0,1494
0,0733 0,0337 0,0149 0,0064 0,0027
0,0011
0,0005
2
0,1839 0,2707
0,2240
0,1465 0,0842 0,0446 0,0223 0,0107
0,0050
0,0023
3
0,0613 0,1804
0,2240
0,1954 0,1404 0,0892 0,0521 0,0286
0,0150
0,0076
4
0,0153 0,0902
0,1680
0,1954 0,1755 0,1339 0,0912 0,0573
0,0337
0,0189
5
0,0031 0,0361
0,1008
0,1563 0,1755 0,1606 0,1277 0,0916
0,0607
0,0378
6
0,0005 0,0120
0,0504
0,1042 0,1462 0,1606 0,1490 0,1221
0,0911
0,0631
7
0,0034
0,0216
0,0595 0,1044 0,1377 0,1490 0,1396
0,1171
0,0901
8
0,0009
0,0081
0,0298 0,0653 0,1033 0,1304 0,1396
0,1318
0,1126
9
0,0002
0,0027
0,0132 0,0363 0,0688 0,1014 0,1241
0,1318
0,1251
10
0,0008
0,0053 0,0181 0,0413 0,0710 0,0993
0,1186
0,1251
11
0,0002
0,0019 0,0082 0,0225 0,0452 0,0722
0,0970
0,1137
12
0,0006 0,0034 0,0113 0,0263 0,0481
0,0728
0,0948
13
0,0002 0,0013 0,0052 0,0142 0,0296
0,0504
0,0729
14
0,0005 0,0022 0,0071 0,0169
0,0324
0,0521
15
0,0002 0,0009 0,0033 0,0090
0,0194
0,0347
16
0,0003 0,0014 0,0045
0,0109
0,0217
17
0,0001 0,0006 0,0021
0,0058
0,0128
18
0,0002 0,0009
0,0029
0,0071
19
0,0004
0,0014
0,0037
20
0,0002
0,0006
0,0019
34
ЛИТЕРАТУРА
1.
Агаров Г. И. Задачник по теории вероятностей: Учебное пособие для
вузов. – М.: Высшая школа, 1994. – 354 с.
2.
Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистики:
Учебное пособие для вузов М.: Высшая школа, 1999. – 480 с.
Гмурман В. Е. Руководство по решению задач по теории вероятностей и математической статистики. - М.: Высшая школа, 1999. – 400с.
Мацкевич И. П., Свирид Г. П. Высшая математика: Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. – М.: Высшая
школа, 1993. – 453 с.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. – М.: Айрис-Пресс,
2008. – 288 с.
3.
4.
5.
СОДЕРЖАНИЕ
Классическое определение вероятности. Геометрическая вероятность. ……………………..……………………..……………………..
Вероятность произведения и суммы событий и появления хотя бы
одного события……………………..…………………………………
Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторение
испытаний. Формулы Бернулли, Муавра-Лапласа и Пуассона.
Наивероятнейшее число успехов……………………………………
Приложения……………………..……………………..………………
Литература……………………..……………………………………..
35
3
12
19
32
35