Решение целых уравнений - Сайт Гимназии им. А.С. Пушкина
реклама
Муниципальное общеобразовательное учреждение гимназия имени А.С. Пушкина Научно-методическая разработка «ШКОЛА БУДУЩЕГО АБИТУРИЕНТА» Составитель Калошина О.Г. учитель математики Сыктывкар 2010 Пояснительная записка Перед учителями математики стоит сложная задача – подготовить обучающихся к сдаче экзамена по математике. Для этого необходимы дополнительные часы для отработки практических умений и навыков. Работая в учебном заведении с гуманитарным направлением, мною разработан курс «Школа будущего абитуриента». Занятия «Школы Будущего Абитуриента» рассчитаны на 136 часов (68 часов в 10-м классе и 68 часов в 11-м классе), в данный курс входит методическая разработка по решению целых уравнений. На занятиях рассматриваются задачи от самых простых до самых сложных, решение которых позволит выпускникам подготовиться к сдаче ЕГЭ. Занятия способствуют повторению, обобщению и углублению школьного курса математики. Задачи подобраны таким образом, чтобы ученики осознали степень своего интереса к предмету, оценили свой потенциал с точки зрения дальнейшей перспективы. На занятиях рассматриваются задачи от самых простых до самых сложных, решение которых позволит выпускникам подготовиться к сдаче ЕГЭ. Занятия способствуют повторению, обобщению и углублению школьного курса математики. Задачи подобраны таким образом, чтобы ученики осознали степень своего интереса к предмету, оценили свой потенциал с точки зрения дальнейшей перспективы. В данной работе представлены: 1. Календарно-тематический план проведения занятий 2. Методическая разработка «Решение целых уравнений» КАЛЕНДАРНО - ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН «Школа будущего абитуриента» 10 КЛАСС 2 часа в неделю, всего 68 часов III четверть II четверть II четверть I четверть ПОРЯДКОВ ЧЕТВЕР ЫЙ НОМЕР НЕДЕЛИ ТЬ 1. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5. 6. 6. 7. 7. 8. 8. 9. 9. 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5. 6. 6. 7. 7. 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5. 6. 6. 7. ТЕМА ЗАНЯТИЙ Линейная функция Дробно-линейная функция Дробно-линейная функция Квадратный трехчлен, парабола Иррациональная функция, иррациональные Формулы выражениясокращенного умножения Целые уравнения. Линейные, квадратные и Целые уравнения. Определение и основные ббиббиквадратные Формулы свойства Виета для уравнений высших степеней Целые уравнения. Метод разложения на Целые уравнения. Метод введения новой ммммммммммножителимножители Целые уравнения. Возвратные уравнения переменной Целые уравнения. Однородные уравнения Целые уравнения. Теорема Безу. Схема Горнера Целые уравнения. Практикум Целые уравнения. Практикум Прямые и многоугольники на координатной Окружности плоскости на координатной плоскости Медиана и высота треугольника Прямоугольный треугольник Натуральные, рациональные числа Действительные числа Элементы теории множеств Элементы комбинаторики Текстовые задачи, понятие процентного Текстовые отношения задачи, понятие процентного Работа, производительность труда отношения Текстовые задачи, движение Текстовые задачи экономического содержания Текстовые задачи экономического содержания Линейные и квадратные неравенства Алгебраические неравенства с целыми Иррациональные уравнения и неравенства степенями Иррациональные уравнения и неравенства Биссектриса треугольника Окружность, круг и части круга. Теорема Определение тригонометрических функций синусов Основные формулы тригонометрии Тригонометрические формулы Тригонометрические формулы Графики тригонометрических функций Множества значений тригонометрических Определение обратных тригонометрических функций функций МЕСЯЦ Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь Январь Февраль IV четверть 7. 8. 8. 9. 9. 10. 10. 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5. 6. 6. 7. 7. 8. 8. Свойства и графики обратных Элементарные тригонометрические уравнения тригонометрических функций Тригонометрические неравенства Квадратные тригонометрические уравнения Тригонометрические уравнения, разложение на Уравнения множители обратными тригонометрическими Уравнения функциями обратными тригонометрическими Многоугольники. Прямоугольник, функциями Вписанные и описанные многоугольники параллелограмм, трапеция Подобные фигуры Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия Бесконечная убывающая геометрическая Производные прогрессия простейших функций Уравнение касательной к графику функции Построение графиков функций с помощью Производные производной тригонометрических функций Применение производных к решению задач Изображение на плоскости фигур Решение планиметрических задач с помощью ур-й и нер-в Уравнения векторов и неравенства с параметром Уравнения и неравенства с параметром Системы с параметром Март Апрель Май КАЛЕНДАРНО - ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ «Школа Будущего Абитуриента» 11 КЛАСС 2 часа в неделю, всего 68 часов I четверть ПОРЯДКОВ ЧЕТВЕР ЫЙ НОМЕР НЕДЕЛИ ТЬ 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5. 6. 6. 7. 7. 8. 8. ТЕМА ЗАНЯТИЙ Арифметические преобразования Арифметические преобразования Алгебраические преобразования Алгебраические преобразования – Алгебраические преобразования степени и алгебраические дроби Алгебраические преобразования степени и радикалы Рациональные уравнения радикалы Рациональные уравнения Системы рациональных уравнений Системы рациональных уравнений Уравнения и системы уравнений, содержащие Уравнения и системы уравнений, содержащие модуль Иррациональные уравнения и системы модуль Иррациональные уравнения и системы уравнений Задачи на составление уравнений уравнений Задачи на составление уравнений МЕСЯЦ Сентябрь Октябрь II четверть III четверть IV четверть 9. 9. 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5. 6. 6. 7. 7. 1. 1. 2. 2.. 3. 3. 4. 4. 5. 5. 6. 6. 7. 7. 8. 8. 9. 9. 10. 10. 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5. 6. 6. 7. 7. 8. 8. Логарифмы Логарифмы Показательные уравнения и системы уравнений Показательные уравнения и системы уравнений Логарифмы уравнения и системы уравнений Логарифмы уравнения и системы уравнений Рациональные неравенства и системы Рациональные неравенства неравенства и системы Неравенства, неравенства содержащие модуль Неравенства, содержащие модуль Иррациональные неравенства Иррациональные неравенства Показательные неравенства Показательные неравенства Логарифмические неравенства Логарифмические неравенства Арифметическая прогрессия Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия Тригонометрические преобразования Тригонометрические преобразования Тригонометрические уравнения Тригонометрические уравнения Углы, прямые, треугольники Углы, прямые, треугольники Четырехугольники, многоугольники Четырехугольники, многоугольники Окружность и круг, вписанные углы Окружность и круги, вписанные углы Треугольники и окружность Треугольники и окружность Многогранники Многогранники Пирамида Пирамида Фигуры вращения Фигуры вращения Уравнения с параметрами Уравнения с параметрами Уравнения с параметрами Неравенства с параметрами Неравенства с параметрами Решение вариантов ЕГЭ Решение вариантов ЕГЭ Решение вариантов ЕГЭ Решение вариантов ЕГЭ Решение вариантов ЕГЭ Решение вариантов экзаменационных работ Решение вариантов экзаменационных работ Решение вариантов экзаменационных работ Решение вариантов экзаменационных работ Ноябрь Декабрь Декабрь Январь Февраль Март Апрель Май Методическая разработка: «Решение целых уравнений» Структура программы Программа является обучающей и содержит: 1. Пояснительную записку. 2. Цели курса. 3. Содержание курса. 4. Примерное тематическое планирование. 5. Требования к умениям и навыкам. 6. Методические рекомендации. 7. Дидактические материалы для учителя. 8. Дидактические материалы для учащихся. 9. Литературу. Пояснительная записка Данный курс «Решение целых уравнений» поддерживает изучение основного курса математики и способствует лучшему усвоению базового курса математики. Материал курса, может использоваться учителем как на уроках математики в 9-11 классах, так и на занятиях кружка. В примерный объем знаний, умений и навыков, которыми должны овладеть школьники, входят те обязательные приобретения которые предусмотрены требованиями программы общеобразовательной школы, однако предполагается более высокое качество их сформированности. Учащиеся должны научиться решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне их свободного использования. Предлагаемый курс освещает намеченные, но совершенно не проработанные, а также не включенные в программу общеобразовательной школы методы решения целых уравнений. Познавательный материал курса будет способствовать не только выработке умений и закреплению навыков, но и формированию устойчивого интереса учащихся к процессу и содержанию деятельности, а также познавательной и социальной активностью. Цели курса: - восполнить некоторые содержательные пробелы основного курса, придающие ему необходимую целостность; показать новые методы решения уравнений; помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы; формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые человеку для жизни в современном обществе. Задачи курса: - научить учащихся решать задачи более высокой, по сравнению с обязательным уровнем, сложности; овладеть новыми методами решения целых уравнений; приобрести определенную математическую культуру; помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы. Данный курс рассчитан на 11 часов, предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса, решение типовых задач, самостоятельную работу. В программе приводится примерное распределение учебного времени, включающее план занятий. каждое занятие состоит из трех частей: - повторение или знакомство с новым материалом - задачи, решаемые с учителем - задачи для самостоятельного (или домашнего) решения. Основные формы организации учебных знаний: объяснение, практическая работа. Курс является открытым в него можно добавлять новые фрагменты, развивать тематику. Содержание курса Тема 1. Целое уравнение – 3ч. Определения, основные свойства, линейное, квадратное, биквадратное Формулы Виета. Тема 2. Методы решения целых уравнений – 6ч. Тема 3. Решение задач по всему курсу. – 2ч. Форма занятий: объяснение, практическая работа. Метод обучения: выполнение тренировочных упражнений. Форма контроля: проверка самостоятельно решенных задач, итоговая проверочная работа. уравнение. Тематическое планирование. 1. Линейное, квадратное и биквадратное уравнение - 1ч. 2. Определение целого уравнения, основные свойства -1 ч. 3. Формулы Виета для уравнений высших степеней -1ч. 4. Метод разложения на множители -1ч. 5. Метод введения новой переменной -1ч. 6. Возвратные уравнения -1. 7. Однородные уравнения -1ч. 8. Теорема Безу -1ч. 9. Схема Горнера при решении целых уравнений -1ч. 10. Проверочная работа -1ч. 11. Практикум решения целых уравнений -1ч. Требования к умениям и навыкам. В результате изучения курса учащиеся должны уметь: - уверенно владеть системой определений, теорем и алгоритмов; решать целые уравнения, выбирая при этом рациональные способы решения. Методические рекомендации. Так как предлагаемый курс включает вопросы, не входящие в общеобразовательную программу по математике, то следует отметить, что требования к знаниям и умениям не должны быть завышены. Чрезмерность требований порождает перегрузку и ведет к у угасанию интереса. Вводя учащихся в тематику курса, необходимо сказать, что решение целых уравнений высших степеней позволяет расширить математические возможности каждого слушателя курса. На занятиях можно использовать фронтальный опрос, который охватывает большую часть учащихся. Эта форма работы развивает точную речь, способность работать в быстром темпе. При закреплении материала можно использовать комментированные решения уравнений, при этом ученики приучаются к вниманию, сосредоточенности в работе. Домашнее задание может быть индивидуальным и групповым. Проверка осуществляется на занятии путем обсуждения решения. Дидактический материал для учителя Тема 1. Целое уравнение – 3 ч Занятие 1 Тема: Линейное, квадратное и биквадратное уравнение. Цель: Обобщить и систематизировать знания учащихся по заданной теме, закрепить изученный материал в ходе выполнения упражнений. Ход занятия I. 1. Лекция «Линейное, квадратное и биквадратное уравнение» Линейным уравнением или уравнением первой степени называется уравнение вида ах + в = 0, где а 0, в 0, которое имеет корень х = - в а Пример: 0,3х + 8 = 2; 0,3х = 2 – 8; 0,3х = -6; х=- 6 ; 0,3 Ответ: -20. - если в уравнении ах + в = 0 а 0, а в = 0, то ах = 0; х = 0 - если а = 0 и в = 0, то уравнение принимает вид 0х = 0 и имеет бесконечно много решений Пример: 7х – (х + 3) = 3(2х – 1) 7х – х – 3 = 6х - 3 6х – 3 = 6х – 3 0х = 0 - если а = 0, а в 0, то получим 0х + в = 0: 0х = - в, уравнение, которое не имеет решений. Пример: 0х = 5 2. Квадратным уравнением (второй степени) называется уравнением вида ах 2 + вх + с = 0, где а, в, с, - некоторые числа, причем а 0, х – переменная. Неполные квадратные уравнения а 0 , в 0,с 0. ах2 + вх = 0 - решается вынесением общего множителя за скобки х ( ах + в ) = 0 х = 0 или ах + в = 0 х=- в а Пример: 2х2 – 3х = 0 2х (х – 1,5) = 0 2х = 0 или х – 1,5 = 0 х=0 х = 1,5 Ответ: 0; 1,5. Уравнение такого вида всегда имеет два корня, причем один из них ноль. а 0, в=0, с ах2 + с = 0 ах2 = - с х2 = - 0. с а если - с > о , то х = а если - с < 0, то уравнение решений не имеет. а - с а Пример 1: Пример 2: 3х2 + 4 = 0 3х2 = - 4 1,5х2 – 9 = 0 1,5х2 = 9 х2 = - 4 4 ; <0 3 3 х2 = 9 : 1,5 Ответ: решений нет. х2 = 6 х= Ответ : 6 6 а 0,в=0,с=0 ах2 = 0 х2 = 0 х=0 Уравнение имеет один корень, равный нулю. 1 2 х =0 3 х2 = 0 х=0 Ответ : 0. Формула корней квадратного уравнения. ах2 + вх + с = 0 , а D = в2 – 4ас D<0 0. D>0 D=0 Решений нет х1,2 = в D 2а х1,2 = - в 2а т.е. если D < 0 ; то уравнение не имеет действительных корней, если D > 0 ; уравнение имеет два различных действительных корня; если D = 0 , то уравнение имеет действительные и равные между собой корни. Пример: 1. х2 – 15х + 6 = 0 D = ( -15)2 – 4 · 1,6 = 225 – 24 = 201 D>0 х1,2 = 15 201 2 Ответ : 2. 15 201 2 х2 – х – 6 = 0 D = ( -1)2 – 4· 1· (-6) = 1+ 24 = 25 D>0 1 25 ; 2 1 5 х1 = = -2 ; 2 1 5 х2 = -2 ; 2 х1,2 = Ответ : - 2; 3 3) х2 + 8х + 16 = 0 D = 64 – 4 · 1 · 16 = 0 D=0 х= 8 =-4 2 Ответ : - 4 4) 3х2 + х + 7 = 0 D = 12 – 4 · 3 · 7 = 1 – 84 = - 83 D<0 Ответ : решении нет. Если в = 2к , то D/ 4 = к2 – ас D/ 4 < 0 Нет решении D/ 4 > 0 х1,2 = к D/4 а Пример: 7х2 – 20х + 14 = 0 к= - 10 D/4 = (-10)2 – 7 · 14 = 100 – 98 = 2 D/4 > 0 х1,2 = 10 2 7 D/ 4 = 0 х= к а 10 2 7 Ответ: Зависимость коэффициентов квадратного уравнения и их корней: 1. если С > 0 , то корни имеют одинаковые знаки, противоположные знаку второго коэффициента В; 2. если С < 0, то корни имеют разные знаки, причем по абсолютной величине будет большим тот из них, знак которого противоположен знаку второго коэффициента В. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена Пример: х2 + 2х – 63 = 0 В левой части уравнения выделим полный квадрат ( х2 + 2 ·1 ·х +1) – 1 – 63 = 0 (х + 1)2 – 64 = 0 (х + 1)2 = 64 х+1=х+1=-8 х=-9 или 64 х+1= х+1=8 х=7 64 Ответ : - 9; 7 . Частичные случаи решения квадратных уравнений. ах2 + вх + с = 0 , а 0 1. если а + в + с = 0 , то х1 = 1 ; х2 = с а 2х2 + 3х – 5 = 0 т.к. 2 + 3 - 5 = 0 , то х1 = 1 ; х2 = Ответ : 1 ; 2. если 5 = - 2,5 2 -2,5. а – в + с = 0 , то х1 = - 1 , х2 = - 2х2 + 3х + 1 = 0 т.к. 2 – 3 + 1 = 0 , то Ответ : 1 ; -1. 2 х1 = - 1, х2 = 1 2 3. Уравнение вида ах4 + вх2 + с = 0 , где а Пример 1: с а Биквадратное уравнение. 0 называется биквадратным х2 = t , t 0 . х4 – 13х2 + 36 = 0 пусть х2 = t , t 0 , тогда t2 – 13t + 36 = 0 D = (- 13)2 – 4 ·1 ·36 = 169 – 144 = 25 D>0 t1,2 = Значит 13 25 13 5 = 2 2 t1 = 4 t2 = 9 , х2 = 4 или х= 4 х= 2 х2 = 9 х= х = 3 9 Ответ : 2 ; 3. Пример 2 : х4 + 9х2 + 8 = 0 пусть х2 =t , t 0, тогда t2 + 9t + 8 = 0 D = 92 – 4 · 1 ·8 = 81 – 32 = 49 D>0 t1,2 = 97 2 t1 = - 8 ; t2 = - 1 оба значения t меньше нуля. Ответ : решений нет. II. закрепление материала. №1 – №6 (а) III. домашнее задание. №1 – №2 (д, е) №3 - №6 (в,г). Занятие 2 Тема: Цель: Определение целого уравнения. Основные свойства. Ввести определение целого уравнения; познакомить со свойствами коэффициентов и показать их применение при решении уравнении. Ход занятий. I. II. Проверка домашнего задания. Объяснение новой темы. Уравнение вида Р(х) = 0 , где Р (х) = а0n + а1хn-1 +……+ аn-1 х + аn , Многочлен стандартного вида, называют целым рациональным уравнением n-ой степени. Если а0 = 1, то уравнение имеет вид: хn + а1 хn-1 + ….. аn-1х + аn = 0 и его называют приведенным целым уравнением. Свойства коэффициентов. 1. уравнение с положительными коэффициентами не может иметь положительных корней. 8х4 + х3 + 64х + 8 = 0 (8х4 + х3) + (64х + 8) = 0 х3(8х + 1) + 8 (8х + 1) = 0 (8х + 1) (х3 + 8) = 0 8х + 1 = 0 8х = - 1 х=- или х3 + 8 = 0 х3 = - 8 1 8 х=3 8 х=-2 Ответ: -2; 2. 1 . 8 Число 1 является корнем уравнения тогда и только тогда, когда сумма коэффициентов равна нулю. 2х2 + 3х – 5 = 0 т.к. 2 + 3 – 5 = 0 , то х1 = 1 – корень уравнения. х2 = - 3. 5 = -2,5 2 Ответ : -2,5 ; 1. Число –1 является корнем уравнения тогда и только тогда, когда сумма коэффициентов, стоящих на четных местах равна сумме коэффициентов, стоящих на нечетных числах. 2х3 + 4х2 – 7х – 9 = 0 т.к. 2 – 7 = - 5 и 4 – 9 = - 5, то х1 = - 1 , а х2,3 = Ответ: -1; 4. 1 19 2 1 19 . 2 Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делительным его свободного члена. 8х4 + х3 + 64х +8 = 0 х = - 2 – делитель свободного члена 8. 5. Если старший коэффициент а0 равен 1, то все рациональные корни уравнения, если они существуют – целые. х4 +2х3 – 4х2 – 8х = 0 (х4 + 2х3) – (4х2 + 8х) = 0 х3(х + 2) – 4х (х + 2) = 0 х (х + 2) (х2 – 4) = 0 х=0 х + 2 = 0 или х2 – 4 = 0 х = -2 х2 = 4 х= 2 Ответ: 2 ; 0 . 6. или Если несократимая дробь р является корнем целого уравнения с целыми q коэффициентами то число р является делителем свободного члена коэффициента аn, а q - делителем старшего а0. 2х3 – 7х2 + 5х – 1 = 0 1 – не являются корнями уравнения. Ищем корень уравнения среди несократимых дробей вида р 1 q 2 р( 1 1 1 1 1 1 5 1 7 10 1 0 , ) = 2 · ( )3 – 7 · ( )2 + 5 · 1 2 7 1 2 2 2 2 8 4 2 4 4 4 т.е. 1 2 корень уравнения III. IV. Закрепление материала. №7 (а,в,q) Домашнее задание №7 (б,г,е) Занятие 3 Тема: Цель: Формулы Виета для уравнений высших степеней. Повторить формулы для квадратного уравнения, ввести формулы для уравнений высших степеней и показать их применение при решении задач. Ход занятий. I. II. 1. Проверка домашнего задания. Объяснение новой темы. формулы Виста для уравнения ах2 + вх + с = 0, где а 0. х1 + х 2 = х1х2 = в а с . а Следствие: пусть х1 и х2 корни квадратного уравнения х2 + рх + q = 0 , тогда х21 +х22 = (х1 + х2)2 – 2х1х2 = р2 – 2q х31 + х32 = (х1 + х2) (х21 + х22 - х1х2) = - р (р2 – 3q) = - р3 + 3 рq х41 + х42 = (х21 + х22)2 – 2х21х22 = ( р2-2q)2- 2 q2 = р4 – 4р2 q + 4q2 – 2q2 = р4 – 4р2q + 2q2 Обратная теорема Виета. Если числа х1 и х2 таковы, что х1 + х2 = - р; х2 + рх + q = 0 . х1х2 = q, то х1 и х2 корни приведенного квадратного уравнения Следует отметить, что обратная теория Виета применима лишь для приведенного квадратного уравнения. 2. Формулы Виета для кубического уравнения ах3 + вх2 + сх + d = 0, где а ≠ 0 х1 + х 2 + х 3 = - в , а х1х2 + х1х3 +х2х3 = х1х2х3 = d а с , а . 3. Формулы Виета для уравнения 4_й степени х1 + х 2 + х 3 + х 4 = - е , а х1х2 + х1х3 + х1х4 + х2х3 + х2х4 + х3х4 = х1х2х3 + х1х2х4 + х1х3х4 + х2х3х4 = х1х2х3х4 = 4. ах 4 + вх 3 + сх 2 + dх +е = 0 , где а 0 с а d а е а Формулы Виета для целого уравнения n - ой степени. а0 х1 + х2 +…… + хn = - а1 а0 х1х2 + х1х3 + …… + хn-1хn = хn+а1 хn-1+…+an-1 x+an= =0 , а2 а0 , x1x2x3 + x1x2x4 + … +xn-2 xn-1 xn = а3 а0 …………………………………………….. х1х2х3 ….. хn = (-1)n an a0 Примеры: 1. х1 и х2 - корни квадратного уравнения х2 + 6х + q = 0 удовлетворяют условию х2 = 2х1. Найдите q, х1, х2. Из теоремы Виета следует, что х1 + х2 = х1 +2х1 = 3х1 = - 6, т.е. х1 = - 2, х2 = 2 · (-2) = - 4 , а q = х1х2 = - 2 ∙ (-4) = 8 Ответ: х1 = - 2 ; х2 = - 4 ; q = 8 . 2. Найдите х2 х 1 , где х1 и х2 корни квадратного уравнения 2х2 – 3х – 9 = 0 . 1 х1 1 х2 Преобразуем выражение 2 2 х2 х1 х2 (1 х2 ) х1 (1 х1 ) х2 х2 х1 х1 ( х1 х2 ) ( х1 х2 ) 2 2 х1 х2 1 х1 1 х2 (1 х1 )(1 х2 ) 1 х2 х1 х1 х2 1 ( х1 х2 ) х1 х2 по теореме Виета х1 х2 3 9 , х1 х2 , 2 2 3 3 2 9 3 9 ( ) 2( ) 9 х2 х 51 2 2 4 Поэтому получим 1 2 2 3 9 1 х1 1 х2 2 8 1 2 2 51 Ответ: 8 3. Решите уравнение 1998х2 - 907х - 1091 = 0 т.к.1998 – 907 - 1091 = 0 , то х1 = 1 , по теореме 1091 1091 , значит х2 = по теореме Виета х1 х2 1998 1998 1091 . 1998 4. Найдём с в уравнении х 2 12 х с 0 , если известно, что разность квадратов корней равна 288. Ответ : 1; Пусть х1 и х2 - корни уравнения. По условию задачи х1 х2 288 . По теореме Виета х1 х2 12 . Решим систему уравнения. 2 2 х1 х2 288 2 2 х1 х2 12 ( х1 х2 )( х1 х2 ) 288 х1 х2 12 12( х1 х2 ) 288 х1 х2 12 х1 х2 24 х1 х2 12 х1 18 х2 6 По теории Виета Ответ: с = - 108 с х1х2 108 5. Составить приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа х1 7 3 х2 2 3 и Вычислим сумму и произведение чисел. х1 х2 7 3 2 3 9 х1 х2 (7 3 )( 2 3 ) 14 7 3 2 3 3 11 5 3 По теореме обратной теореме Виета получаем, что указанные корни имеет приведенное квадратное уравнение х 2 9 х 11 5 3 0 Ответ: х 2 9 х 11 5 3 0 6. Составьте приведенное кубическое уравнение. у 3 в1 у 2 в2 у в3 0 , корни которого обратны корням уравнения х3 3х 2 7 х 5 0 . Обозначим корни заданного уравнения х1 , х2 , х3 , х1 х2 х3 3, тогда по формулам Виета имеет х1 х2 х1 х3 х2 х3 7, х1 х2 х3 5 Обозначим корни искомого уравнения у1, у2 , у3. 1 1 1 у2 ; у3 ; По условию у1 ; х1 х2 х3 1 1 1 хх хх хх 7 7 , Поэтому : в1 ( у1 у2 у3 ) ( ) 1 2 1 3 1 2 х1 х2 х3 х1 х2 х3 (5) 5 1 1 1 х х2 х3 3 3 в2 у1 у2 у1 у3 у2 у3 1 , х1 х2 х1 х3 х2 х3 х1 х2 х3 5 5 1 1 1 в3 у1 у2 у3 , значит искомое уравнение имеет вид: х1 х2 х3 5 5 7 3 1 у3 у 2 у 0 или 5 у 3 7 у 2 3 у 1 0. 5 5 5 7 3 1 Ответ: у 3 у 2 у 0. 5 5 5 III. Закрепление темы № 8 (а,в) № 12, № 14. IV. Домашнее задание: Повторить изученный материал № 8 (б,г), № 9 (в), № 11, 15. Занятие 4 Тема: Метод разложения на множители. Цель: Повторить и обобщить знания по заданной теме. Ход занятий. I. Беседа по теме: «Метод разложения на множители в решении уравнений». Этот метод позволяет свести решение целого уравнения первой степени к решению целых уравнений меньшей степени. Для этого используются: - формула разложения квадратного трехчлена на множители; - формулы сокращенного умножения; - способ группировки; - вынесение общего множителя за скобки. Таким образом уравнения первой степени сводится к уравнению вида f ( x) g ( x) 0 , f ( x) 0 которое равносильно совокупности двух уравнений g ( x) 0 Пример: 1. х3 4 х 2 9 х 36 0 ( х 3 4 х 2 ) (9 х 36) 0 х 2 ( х 4) 9( х 4) 0 ( х 4)( х 2 9) 0 ( х 4)( х 3)( х 3) 0 х 4 0 или х 3 0 или x=4 х=3 х3 0 х = -3 Ответ: 3 ; 4. Пример: 2. 4 х 3 3х 1 0 4 х3 4 х х 1 0 (4 х 3 4 х) ( х 1) 0 4 х( х 2 1) ( х 1) 0 4 х( х 1)( х 1) ( х 1) 0 ( х 1)( 4 х( х 1) 1) 0 ( х 1)( 4 х 2 4 х 1) 0 ( х 1)( 2 х 1) 2 0. или (2 х 1)2 0 2х 1 0 2 х 1 1 х 2 х 1 0 х=1 1 ; 1. 2 Пример 3. ( х 1)3 (2 х 3)3 27 х3 8 Ответ: - ( х 1 2 х 3)(( х 1) 2 ( х 1)( 2 х 3) (2 х 3) 2 ) 27 х3 8. (3х 2)( х 2 2 х 1 2 х 2 х 3 4 х 2 12 х 9) (3х 2)(9 х 2 6 х 4) (3х 2)(3х 2 9 х 13) (3х 2)(9 х 2 6 х 4) 0 (3х 2)(3х 2 9 х 13 9 х 2 6 х 4) 0 (3х 2)( 6 х 2 15 х 9) 0 3х 2 0 3х 2 или 6 х 2 15 х 9 0 2 х2 5х 3 0 х 2 3 D 25 24 49 5 49 5 7 4 4 1 х1 ; х2 3. 2 х1 ,2 2 1 Ответ: - ; - ; 3. 3 2 II. Закрепление: № 19 (а, в, д, ж, и). III. Домашнее задание. №19 (г, е, з, к) Занятие 5 Тема: Метод введения новой переменной Цель: Обобщить изученный материал по теме и показать более сложные примеры. Ход занятия. I. II. Проверка домашнего задания. Обобщение материала. Одним из основных способов решения управлений высших степеней является метод введения новой переменной, позволяющий преобразовать данное уравнение к более простому. Пример: 1. х 6 5 х 3 24 0 пусть х 3 t ,тогда t 2 5t 24 0 D b 2 4ac D 25 96 121 5 121 t1, 2 2 5 11 t1 3 2 5 11 8 2 x3 8 t2 значит, x 3 3 x 3 или x 8 x2 Ответ: - 3, 2. Пример: 2. ( х 2 2 х 1)2 3х 2 6 х 13 0 ( х 2 2 х 1)2 3( х 2 2 х 1) 10 0 пусть х 2 2 х 1 t , тогда t 2 3t 10 0 D 9 4 10 49 3 49 3 7 5 2 2 3 49 3 7 t2 2 2 2 х 2 2 х 1 5 или 2 х 2х 4 0 D / 4 1 4 3 D/4 < 0 t1 значит, х2 2х 1 2 х2 2х 3 0 D/ 4 1 3 4 1 4 1 2 1 1 1 4 х2 1 2 3 1 х1 корней нет Ответ: -1; 3. Пример: 3. х 4 2 х 3 х 132 0 Выделим полный квадрат ( х 4 2 х3 х 2 ) х 2 х 132 0 ( х 2 х) 2 ( х 2 х) 132 0 пусть х 2 х t , тогда t 2 t 132 0 D 1 528 529 1 529 1 23 11 2 2 1 529 1 23 t2 12 2 2 х 2 х 12 Значит , х 2 х 11 или х 2 х 11 0 х 2 х 12 0 D 1 44 43 D 1 48 49 t1 корней нет Ответ: -3 ; 4. 1 49 1 7 3 2 2 1 49 1 7 х2 4 2 2 х1 Пример: 4. ( х 2)( х 4)( х 6)( х 8) 2925 (( х 2)( х 6))(( х 4)( х 8)) 2925 ( х 2 4 х 12)( х 2 4 х 32) 2925 пусть х 2 4 х 12 t , тогда t (t 20) 2925 t 2 20t 2925 0 D / 4 k 2 ac D / 4 100 2925 3025 k D/4 a 10 3025 t1, 2 10 55 1 t1 45 t2 65 , значит. t1, 2 x 2 4 x 12 45 x 2 4 x 33 0 D / 4 4 33 29 D/4 < 0 Ответ; -7 ; x 2 4 x 12 65 x 2 4 x 77 0 по теореме, обратной теореме Виета x1 11 ; х 7 или 11. III. закрепление. №20 (а, в, д, ж) IV. Домашнее задание №20 (б, г, е) Занятие 6 Тема: Возвратные уравнения. Цель: Ввести понятие возвратного уравнения, показать способы их решения. Ход занятия. I. II. Проверка домашнего задания. Объяснение нового материала. 1. Возвратные уравнения. Уравнения вида. а0 х n a1 x n 1 .......an 1 x an 0 , где a0 0 называется возвратным, если a0 an ; a1 an 1 и.т.д. Рассмотрим возвратное уравнение четвертой степени вида ax 4 bx 3 cx 2 bx a 0 , a0 Его удобно решать с помощью следующего алгоритма: а. разделить левую и правую части уравнений на х 2 , т.к. х 0 не является корнем исходного уравнения б. группировкой привести полученное уравнение к виду 1 1 1 ) d ( x ) c 0 ввести новую переменную t x , тогда выполнено 2 х x x 1 1 t 2 x 2 2 2 , т.е. x 2 2 t 2 2 x x в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным at 2 bt c 2a 0 в. решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной. а( х 2 Замечание 1: Возвратное уравнение четной степени сводиться к уравнению вдвое 1 меньше степени подставной t x . x Замечание 2: Возвратное уравнение нечетной степени обязательно имеет корень х 1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на двучлен ( х 1) , приводиться к возвратному уравнению четной степени Пример: 1. х 4 5 х3 6 х 2 5 х 1 0 Разделим обе части уравнения на х2, т.к. х=0 не является корнем уравнения 1 1 Получим х 2 5 х 6 5 2 0 х х 1 1 ( х 2 2 ) 5( х ) 6 0 х х 1 1 пусть х t , тогда х 2 2 t 2 2 х х 2 т.е. t 2 5t 6 0 t 2 5t 4 0 т.к. 1 – 5 = 4 , то t1 1, t2 4 1 1 x 4 значит x 1 или x x 2 2 x x 1 0 x 4x 1 0 D 1 4 3 D / 4 4 1 3 D <0 D/4 > 0 корней нет x1, 2 2 3 2 3 1 Ответ: х 2 3 . х3 3х 2 3х 1 0 х = -1 - корень уравнения разделим многочлен х 3 3х 2 3х 1 на двучлен ( х 1) Пример: 2. х+1 _ х 3 3х 2 3х 1 3 2 х +х х2- 4х + 1 _-4х2 – 3х -4х2 – 4х _х + 1 х+1 0 2 ( х 1)( х 4 х 1) 0 , решим уравнение х2 4х 1 0 D / 4 4 1 3 2 3 2 3 1 2 3 x2 2 3 1 x1 Ответ: x 2 3 ; -1. Пример: 3. x 7 2 x 6 5 x5 13x 4 13x3 5 x 2 2 x 1 0 х = - 1 – корень уравнения Следовательно уравнение представляется в виде ( х 1)( х6 х5 6 х 4 7 х3 6 х 2 х 1) 0 решим уравнение х6 х5 6 х 4 7 х3 6 х 2 х 1 0 х3 т.к. х = 0 не является корнем уравнения получим 6 1 1 х3 х 2 6 х 7 2 3 0 х х х 1 3 1 2 1 х 3 х 2 6 х 7 0 х х х 1 1 1 пусть х t , тогда x 2 2 t 2 2 , а x 3 3 t 3 3t , т.е. x х x 3 2 t t 9t 9 0 t 2 (t 1) 9(t 1) 0 (t 1)(t 2 9) 0 t 1 0 t=-1 Значит 1 х 1 х 2 х х 1 0 или или t2 9 0 t=±3 1 3 х х 2 3х 1 0 х или 1 3 х х 2 3х 1 0 х D 1 4 3 D < 0 Корней нет D 94 5 D > 0 х1, 2 3 5 2 х1, 2 3 5 2 х1, 2 Ответ: -1 ; D 94 5 D > 0 3 5 2 х1, 2 ; 3 5 2 Пример: 4. х 4 х 3 10 х 2 2 х 4 0 Это уравнение не является возвратным, но метод его решения такой же. После деления на х2 получим ( х2 4 2 ) ( х ) 10 0 . 2 х х 2 t , тогда х 2 t 2 ( x )2 x 4 t 2 x2 4 2 x пусть х 4 t 2 4 , т.е. получим 2 x 2 t 4 t 10 0 x2 t2 t 6 0 по теореме, обратной теореме Виета. t1 2 t2 3 , значит x 2 2 x х или 2 3 х х2 2х 2 0 D/ 4 1 2 3 x1, 2 х 2 3х 2 0 D 9 8 17 1 3 1 3 1 Ответ: 1 3 ; x1, 2 3 17 2 3 17 2 III. заключение № 21 (а, в, е ) IV домашнее задание № 21 (б, г, ж) Занятие 7 Тема: Однородные уравнения Цель: Ввести понятие однородных уравнений и научить их решать. Ход занятия Объяснение нового материал. I. Однородным уравнением от неизвестных х и у называется уравнение вида an x n an 1 x n 1 y ....... a1 xyn 1 a0 y n 0 x Пологая z ( y 0) получим уравнение y an z n an 1 z n 1 ...... a1 z a 0 относительно переменной Z Пример: 1. 6 х 2 ( х 2 1)2 5х( х 2 1) При у х 2 1 получим однородное уравнение относительно неизвестных X и Y. Делим данное уравнение на ( х 2 1)2 0 , 6х2 5х получим 1 2 2 2 ( х 1) х 1 x z 2 пусть , x 1 6 z 2 5z 1 0 тогда D 25 24 1 z1, 2 5 1 12 1 z1 ; 3 1 z2 2 x 1 т.е. 2 или x 1 3 x 2 1 3x x 2 3x 1 0 D 94 5 x1, 2 3 5 2 x 1 x 1 2 x2 1 2x x2 2x 1 0 ( x 1) 2 0 2 x 1 0 x 1 3 5 ; 1. 2 Пример: 2. х 4 5х 2 ( х 1) 6( х 1)2 ( х 1)2 0 Однородное уравнение относительно X и Y, полагая, что у х 1 Ответ: х4 5х2 6 ( х 1) 2 х 1 пусть z x2 , тогда x 1 z 2 5z 6 т.к. z 2 5z 6 0 1 5 6 0 , то z1 1 ; z2 6 . x2 x2 или 1 6 x 1 x 1 x2 x 1 x 2 6( x 1) x2 x 1 0 х2 6х 6 0 D 1 4 5 D/ 4 9 6 3 1 5 3 3 x1, 2 x1, 2 3 3 2 1 1 5 Ответ: 3 3 ; . 2 Пример : 3. ( х 2 х 1)3 2 х 4 ( х 2 х 1) 3х6 0 Однородное уравнение на у 3 х 6 , т.к. х = 0 корнем уравнения не является. значит 3 х2 х 1 х2 х 1 3 0 2 Получим х2 х2 2 х х 1 Пусть z , тогда решим уравнение х2 z3 2z 3 0 т.к. 1 2 3 0 , то z =1 – корень уравнения ( z 1)( z 2 z 3) 0 z2 z 3 0 D 1 12 11 D < 0 , корней нет х2 х 1 т.е. 1 х2 х2 х 1 х2 х 1 х 1 Ответ: 1. II. закрепление: № 22 ( а, в, д ) III. Домашнее задание № 22 ( б, г, е ) Занятие 8. Тема: теорема Безу при решении уравнений высших степеней. Цель: научить учащихся решать уравнения высших степеней, используя теорему Безу. Ход занятия. I. II. Проверка домашнего задания. Объяснение материала. Уравнение вида P 0 , где P - многочлен стандартного вида, называют целым алгебраическим уравнением. С отдельными способами решения вы уже знакомы. Рассмотрим другие способы решения. Для этого докажем следующую теорему: Если число а является корнем многочлена Р а0 а1 n n 1 .... аn 1 a n , то этот Р а Р1 , где Р - многочлен, степень которого на единицу меньше степени многочлена P . многочлен можно представить в виде Доказательство: пусть а- корень многочлена Р Ра а0 х а1 х 4 n 1 1 аn 1 х а4 а0а а 4 41 +…. P , тогда Ра 0 . Рассмотрим разность ..... an 1a an a0 x 4 a 4 a1 ( x n 1 a n 1 ) ....... an 1 ( x a) ( x a) ( x a) p1 ( x) где р1 ( х) - многочлен, степень которого на единицу меньше многочлена р (х ) , т.е. р( х) ( х а) р1 ( х) , т.к. р (а ) 0. Верна и обратная теорема: если многочлен р (х ) можно представить в виде р( х) ( х а) р1 ( х) , то а – корень многочлена. Обычно эту теорему формулируют так: для того, чтобы многочлен делился без остатка на двучлен (х - а), необходимо и достаточно, чтобы число а было корнем многочлена. Эту теорему называют теоремой Безу. (Этьенн Безу – французский математик XVIIIв., основные труды связанны с высшей алгеброй) Решение упражнений х5 3х 4 9 х3 21х 2 10 х 24 0 р( х) х5 3х 4 9 х3 21х 2 10 х 24 ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12; ±24. р (1) 1 3 9 21 10 24 0 р (1) 1 3 9 21 10 24 0 p (2) 32 48 72 84 20 24 0 p (2) 32 48 72 84 20 24 0 х = - 2 – корень уравнения _ х5 3х 4 9 х3 21х 2 10 х 24 х5 2х 4 _ х 4 9х 3 х 4 2х 3 _ 11х3 21х 2 11х3 22 х 2 _ х 2 10 х х2 2х _ 12х 24 12 х 24 х2 х 4 х 3 11х 2 х 12 0 получим ( х 2)( х х 11х 2 х 12) 0 решим уравнение х 4 х 3 11х 2 х 12 0 р( х) х 4 х 3 11х 2 х 12 ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12;- делители свободного члена 4 3 р (1) 1 1 11 1 12 0 р (1) 1 1 11 1 12 0 р (2) 16 8 44 2 2 2 0 р (2) 16 8 44 2 12 0 р (3) 81 27 99 3 12 0 х = 3 – корень уравнения _ х 4 х3 11х 2 х 12 х 3 х 4 3х 3 х3 4 х 2 х 4 _ 4 х3 11х 2 4 х 3 12 х 2 _ х2 х х 2 3х _ 4 х 12 4 х 12 0 3 получим ( х 3)( х 4 х 2 х 4) 0 решим уравнение х3 4 х 2 х 4 0 х 2 ( х 4) ( х 4) 0 ( х 4)( х 2 1) 0 х+4=0 х=-4 или х2 1 0 корней нет Ответ: -4 ; -2 ; 3. III. Закрепление № 23 ( а, в, и) IV. Домашнее задание №23 ( б, е, л). Занятие 9 Тема: Схема Горнера Цель: Показать использование схемы сокращенного деления многочлена на двучлен при решении уравнений высших степеней. Ход занятий. I. объяснение нового материала Как уже отмечалрсь ранее, понижение степени уравнения р ( х) 0 в случае, когда известен его корень α , сводиться к нахождению частного от деления р (х ) на ( х α ). Деление многочлена р( х) а0 х 4 а1 х n 1 ...... an на двучлен (х -α) удобно выполнять по так называемой схеме Горнера. Обозначим неполное частное при делении р (х ) на ( х α) через р1 ( х) в0 х n 1 в1 х n 2 ....... вn 1 , а остаток – через вn , то имеет место тождество а0 х 4 а1 х n 1 ...... an (в0 х n 1 в1 х n 2 ...... вn 1 )( x α) + вn. Раскроем в правой части этого равенства скобки и сравним коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа. Получим, что а0 в0 и при 1 ≤ k ≤ n имеют место соотношения ak вk α вk - 1. Отсюда следует, что в0 = а0 и вk = ak + ? вk-1 при 1≤ k ≤ n. Запишем в виде таблицы вычисление коэффициентов. α а0 a1 a2 …. an-1 в0 =а0 в1=а1+α в0 в2=а2+α в1 …. вn-1=an-1+α вn = an + вn-2 α вn-1 Она называется схемой Горнера. II. Практические упражнения . Рассмотрим примеры. 1) 4 х 4 11х 2 9 х 2 0 р( х) 4 х 4 11х 2 9 х 2 р(1) 4 11 9 2 0 an т.е. 1 по схеме Горнера 4 1 4 0 4 0+1· 4 -11 -7 -11+1· 4 9 2 9+1· (-7) -2 0 -2+1 · 2 Получим ( х 1)(4 х3 4 х 2 7 х 2) 0 Решим уравнение 4 х3 4 х 2 7 х 2 0 р ( х) 4 х 3 4 х 2 7 х 2 р(2) 0 4 4 -2 4 -4 4 + (-2) · 4 -7 1 -7 + (-2) · (-4) 2 0 2 + (-2) · 1 ( х 1)( х 2)( 4 х 2 4 х 1) 0 решим уравнение 4 х 2 4 х 1 0 (2 х 1) 2 0 2х 1 0 х Ответ: 1; -2 ; 1 2 1 . 2 2) 4 х 3 18 х 2 27 х 158 0 х = 2 – корень уравнения, по схеме Горнера 2 4 4 18 26 18 + 2 · 4 27 79 27 + 2 · 26 значит ( х 2)(4 х 2 26 х 79) 0 решим уравнение 4 х 2 26 х 79 0 D / 4 169 316 147 D / 4 < 0 , корней нет Ответ: 2 . III. Закрепление № 23 (б, г, е) IV. Домашнее задание № 23 (в, е, д, к). -158 0 -158 + 2 · 79 Занятие 10 Тема: Проверочная работа. Цель: Проверить степень усвоения изученного материала. Ход занятий. I. Проверочная работа Решите уравнение. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. (х2 – 2х -1)2 + 3х2 – 6х – 13 = 0 х 2 3х 6 8х 2 2 х х 3х 6 (х – 1)(х – 7)(х + 4)(х – 2) = 0 6х4 + 5х3 – 38х2 + 5х + 6 = 0 (2х-1)2 + (2х – 1)(х + 2) = 2(х + 2)2 х3 – 5х2 + 3х + 1 = 0 х5 -5х3 – 36х = 0 II. Домашнее задание № 24 III. Ответы к проверочной работе. №. 1. -1; 3. № 2. -3; -1; 2; 6. 5 89 5 89 ; 2; 3; ; 1; 2; -4; 7. 2 2 1 1 № 4. –3; ; ; 2. 3 2 3 № 5. - ; 3. 4 № 6. 2 5 ; 1; 2 5 № 3. № 7. -3 ; 0; 3 . Занятие 11 Тема: Практикум решения целых уравнений Цель: Закрепить навык решения целых уравнений Ход занятия. I.Анализ проверочной работы II.Проверка домашнего заданий III.Решение упражнений № 1. х2 х х2 х 2 1 х2 х 1 х2 х 2 пусть х 2 х t , тогда t t2 1 t 1 t 2 t (t 2) (t 1)(t 2) 1 (t 1)(t 2) · (t 1)(t 2) 0 ; t 1 ; t 2 . t (t 2) (t 1)(t 2) (t 1)(t 2) t 2 2t t 2 3t 2 t 2 t 2 t 2 4t 0 t 2 4t 0 t (t 4) 0 t = 0 или t+4 = 0 t=-4, значит х 2 х 0 х( х 1) 0 х 0 или х 1 0 х 1 х 2 х 4 х2 х 4 0 D 1 16 15 D < 0, решений нет. или Ответ: 0; 1. № 2. х 2 12 х 15 4х т.к. х = 0 корнем уравнение не является , то 2 2 х 6 х 15 х 10 х 15 х 2 12 х 15 4х х х х х х 2 6 х 15 х 2 10 х 15 х х х х х х 15 12 4 х 15 15 х 6 х 10 х х х пусть х 15 t , тогда х t 12 4 t 6 t 10 · (t 6)(t 10) 0 t 6; t 10. (t 12)(t 10) 4(t 6) t 2 22t 120 4t 24 t 2 26t 144 0 D / 4 169 144 25 t1, 2 t1 13 25 1 13 5 8; 1 t2 13 5 18 , 1 15 8 x x 2 8 x 15 0 15 18 x x 2 18 x 15 0 D / 4 81 15 66 9 66 x1, 2 1 x1, 2 9 66. значит x или по теореме обратной теореме Виета x1 3 ; x2 5 . Ответ: 3 ; 5 ; 9 x 66 . № 3 . х х 3х 3х 2 х 2 0 5 4 3 2 р( х) х 5 х 4 3х 3 3х 2 2 х 2 р(1) 0 по схеме Горнера 1 1 -1 1 0 3 3 2 2 3 0 2 0 ( х 1)( х 4 3х 2 2) 0 4 2 решим уравнение х 3 х 2 0 х2 t , t 0 , пусть t 2 3t 2 0 тогда D 9 4 1 2 1 получим t1, 2 3 1 3 1 2 2 t1 2 посторонний корень t2 1 посторонний корень Ответ: -1. IV Подведение итогов. Дидактический материал для учащихся . Решите уравнения. 1. а) 4 х 1 4х б) 7 2( х 3) 9 6 х в) 4( х 0,5) 2( х 0,3) 2,6 0,9 х 1 0,2 х 6 1 1 ( х 6) 3 х д) 2 3 е) 4 1 (11х 5) ж) 0,5(8 х 3) 4(2,5 х) г) 2. а) 4 х 25 0 2 б) 2 х 3х 2 в) 2 7 х 2 г) (2 х 1)( х 4) ( х 2)( х 2) 2 1 2 1 х х0 3 9 2 е) (2 х 1) 1 4 х д) ж) 3 (4 х 1)(3 х) х 2 3. а) х 5 х 84 0 2 б) 8 х 2 4 х 0,5 0 5( х 2 4) 10 х 1 2 г) х 1 х 7 в) 4. а) 5 y2 6 y 1 0 4 y 2 28 y 49 0 2 в) x 14 x 48 0 2 г) x 6 x 55 0 б) Решите уравнения, выделяя квадрат двучлена. 5. а) х 18 х 80 0 2 б) х 22 х 117 0 2 в) х 5 х 24 0 2 г) х 17 х 42 0 Решите биквадратное уравнение. 2 6. а) х 5 х 36 0 4 2 б) 4 х 15 х 4 0 4 2 в) х 18 х 32 0 4 2 г) х х 12 0 4 2 Решите уравнения, используя свойства коэффициентов 7. а) х 6 х 5 0 3 б) 2 х х 9 х 4 х 4 0 4 3 2 в) х х 5 х 3 х 2 0 4 3 2 г) 115 х 223 х 108 0 2 д) 2 х 9 х 6 х 1 0 3 2 е) х 5 х 3 х 1 0 3 2 Решите уравнение и выполните проверку, используя теорему, обратную теорему Виета 8. а) 6 х 27 х 12 0 2 б) 64 х 16 х 1 0 2 в) 0,08х 2 0,2 х 1 0 г) 1,6 х 12,4 х 3 0 2 Решите уравнение 9. а) х 7 х 12 0 2 б) х 5 х 6 0 2 в) 516 х 511х 5 0 2 г) 127 х 123 х 250 0 2 10. Один из корней уравнения 2 х 2 х с 0 равен 7,5. Найдите с. 11. Один из корней уравнения 49 х 2 4 х р 0 в 3 раза больше другого . Найдите р. 12. При каком значении которых на а уравнение 3х 2 (2а 1) х 2 0 имеет два корня, один из 1 больше другого. 3 13. Известно, что х1 и х2 корни уравнения 5 х 18 х k 0 , 2 причем 2 х1 5х2 12 Найдите k. 14. Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если один из корней уравнения равен 4 7 15. Для уравнения 2 х (в 6) х 8 0 найдите значение в, при котором: а) один из корней равен 1; б) один из корней на 5 больше другого; в) корнями являются противоположные числа. 2 16. Составьте квадратное уравнение, имеющее корни: а) 1 3 и 1 ; 6 б) 5 1 7 и 1 5 ; 7 в) 1 3 и 1 3 . 17. Составьте квадратное уравнение, корни которого являются числами, обратными корнями уравнения. х2 6х с 0 . 18. Составьте кубическое уравнение, корни которого обратны корням уравнения х3 6 х 2 12 х 18 0, а коэффициент при х2 равен 2. 8 х3 98 28 2 х х 0 9 9 9 19. Решите уравнение, используя метод разложения на множители. а) 9 х 27 х 0 3 2 б) х 64 х 0 3 0,8 х 0 2 г) х 4 х 9 х 36 0 6 4 2 д) х 3 х х 3 0 3 2 е) y 2 y y 2 3 2 ж) 6 x 13 x 9 х 2 0 4 3 2 з) х 5 х 4 х 24 х 24 0 4 2 и) 4 х 5 х 4 х 3 0 3 2 к) х 3х х 3 0 в) х 3 3 20. Решите уравнения, используя метод введения новой переменной. а) ( х 2 х)2 2( х 2 2 х) 3 0 2 х 3)( х 2 х 2) 12 в) ( х 1) х( х 1)( х 2) 24 8 4 г) х 17 х 16 0 4 3 д) х 2 х х 30 0 2 2 2 е) ( х х 1)( 2 х 2 х 3) 3(1 х х ) б) ( х 2 ж) ( х 7 х 13)2 ( х 3)( х 4) 1 2 21. Решите возвратные уравнения. а) х 7 х 6 х 7 х 1 0 4 3 2 б) х 5 х 2 х 5 х 1 0 4 3 2 в) 6 х 5 х 38 х 5 х 6 0 4 3 2 г) 3 х 7 х 7 х 3 0 3 2 д) 4 х 3х 14 х 3х 4 0 4 3 2 е) х 3 х 2 х 9 х 9 0 4 3 2 ж) 4 х 2 х 12 х 3х 9 0 4 3 2 22. Решите однородные уравнения а)2 ( х 2 х 1) 2 7( х 1) 2 13( х 3 1) б) ( х 2 6 х 9) 2 х 3 6 х 2 9 х в) ( х 2 х 1) 2 х 2 (3х 2 х 1) г) ( х 2 х 4) 2 3х( х 2 х 4) 2 х 2 0 д) ( х 2 5) 4 13х 2 ( х 2 5) 2 36 х 4 0 е) ( х 1) 4 9( х 1) 4 10( х 2 1) 2 23. Решите уравнения. а) 2 х 6 х 7 х 1 0 3 2 б) х 2 х 5 х 6 0 3 2 в) х 3х х 3х 2 0 4 3 2 г) х 3 х х 3 х 6 0 4 3 2 д) х 4 х х 16 х 12 0 4 3 2 е) 3х 5 х 9 х 9 х 10 0 4 3 2 ж) 7 х 21х 4 х 24 0 3 2 з) 3 х 8 х 2 х 7 х 2 0 4 3 2 и) х 2 х 13 х 26 х 36 х 72 0 5 4 3 2 к) 2 х 7 х 3 х 5 х 1 0 4 3 2 л) 2 х 5 х 5 х 2 0 4 3 2 24. Решите уравнения, используя различные способы. а) х 5 х 15 х 27 0 3 б) ( х 2 2 5х 7) 2 ( х 3)( х 2) 1 х 2 ( х 2) 3( х 2) 2 3 г) х 7 х 6 0 в) 2 х 4 Ответы 1. а) 0,6 б) 2 2. а) ±2,5 . б) 0; 1,5. 3. а) -7 ; 12. б) -0,25. в) 0 г) -10 в) 0 . г) 0; 7. в) 1 5 г) нет решений д) 36 д) е) 0 е) 0. ж) нет решений ж) 0 ; 1 ; 0. 3 11 3 4. а) 0,2 ; 1. б) 3,5 5. а) 8 ; 10. б) -13 ; -9. 6. а) -2 ; 2. б) -0,5 ; 0,5. в) - 8 ; -6. в) -3 ; 8. в) -4 ; - г) -11; 5. г) 17 457 ; 2 17 457 2 7. 8. 1 21 1 21 ; 1; . 2 1 б) 2 . а) в) -2 ; е) б) -1 ; 6. 5 516 250 г) 1 ; 127 в) 1 ; в) -2,5 ; 5. 108 . 115 д) 2 3 ; 0,5 ; 2 3 . г) -2 ; 2. а) 3 ; 4. б) 0,125. г) -1 ; 2 ; 4. 9. а) 0,5 ; 4. 1 2 ; 1; 1 2 . 2; г) 0,25 ; 7,5. 2 5 ; 1; 2 5 . 10. 11. -120 5 49 15. а) 13 б) 0 ;12 . в) 6. 19. а) 0 ; 3. 12. 13. 1 28 1 28 ; . 2 2 16. 17. а) 18 х 3 х 1 0 2 16 5 х 2 8х 9 0 18. сх 2 6 х 1 0 1296 49 2 в) х 2 х 2 0 б) х 2 20. а) -3 ; -1; 1. 14. 21. а) 4 15 8 х3 98 2 28 2 х х 0 9 9 9 5 21 2 1 1 в) -3 ; ; ; 2. 3 2 1 г) -1 ; ; 3. 3 11 57 д) ; 1. 8 б) -8 ; 0 ; 8. б) -2 ; 3. в) 0. в) -3 ; 2 . г) -3 ; 3 ; 4 . г) -2 ; -1 ; 1 ; 2. д) -1 ; 1 . д) -3 ; 2. е) 0 ; 2 . е) -1 ; 0. е) 1 ; 3 . ж) 3 ; 4 . ж) -1,5 ; ж) 1 2 ; ; 1. 2 3 б) 3 ; 2 3 ;1. 2 з) -1 ; 2 . и) -1 ; 2. к) -1 ; 1 ; 3. 22. 1 а) -1 ; - ; 2 ; 4 . 2 7 85 б) 3 3 2 ; . 2 1 5 в) . 2 г) решений нет д) решений нет е) -2 ; - 1 ; 0. 2 23. а) 24. 2 3; 1 ; 2 3 . б) -2 ; 1 ; 3 . а) 4 7; 3. б) 2 ; 3 . в) -1 ; 1 ; 2 . в) -2 ; 1 . г) -1 ; 2 . д) -3 ; -2 ; 1 ; 2 . г) -2 ; -1 ; 3. 2 ; 1. 3 ж) 7 7 ; 1 ; 7 7 . е) -2 ; 1 з) -1 ; 2 3 5 ; . 3 2 и) -3 ; -2 ; 2 ; 3 . к) -1 ; л) 1 ; 3 3 . 2 1 ; 1. 2 Литература 1. Ю.Н. Макарычев, И.Г. Миндюк Дополнительные главы к школьному учебнику Алгебра – 8, Алгебра – 9. 2. Ю.Н. Макарычев, И.Г. Миндюк Дидактические материалы по алгебре для 8 класса, для 9 класса. 3. А.П. Ершова, А.С. Ершова, В.В. Голобородько Математика. Самостоятельные и контрольные работы. Алгебра, Геометрия 9 класс. 4. Алгебра – 9. учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики под редакцией Н.Я. Виленкина. 5. Л.М. Галицкий, М.М. Мордкович, С.И. Шварцбург. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. 6. Решебник всех конкурсных задач по математики сборника по редакцией М.И. Сканави, Выпуск 2. 7. О.Ю. Черкасов, А.Г. Якушев Математика для поступающих в ВУЗы. 8. М. Шабунин Математика для поступающих в ВУЗы.
