МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Томский государственный университет

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
Томский государственный университет
Факультет прикладной математики и кибернетики
УТВЕРЖДАЮ
Декан факультета
прикладной математики и
кибернетики, профессор
_________А.М. Горцев
" "
2011 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
«Дискретная математика»
Направление подготовки: 010400 – Прикладная математика и информатика
Квалификация выпускника: Бакалавр
Форма обучения: очная
Томск
2011 г.
1
1. Цели освоения дисциплины:
Целью дисциплины является ознакомление студентов с основными понятиями
дискретной математики, доказательствами важнейших теорем, с тем чтобы развить их
логическое мышление и подготовить к освоению современных информационных
технологий, а также курсов, связанных с анализом и синтезом дискретных систем.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина базовой части профессионального цикла Б.3 для студентов 1-го года
обучения, читается в 1, 2-м семестрах.
Для успешного освоения дисциплины студент должен иметь предварительную
подготовку в рамках общеобразовательной школы.
Данная дисциплина необходима для изучения следующих дисциплин: основы
информатики, дополнительные главы дискретной математики, диагностика дискретных
устройств, формальная верификация программного обеспечения.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
Способность владеть культурой мышления, умение аргументировано и ясно строить
устную и письменную речь (ОК-1).
Способность и готовность к письменной и устной коммуникации на родном языке
(ОК-10).
Способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук,
математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов теорий,
связанных с прикладной математикой и информатикой (ПК-1).
Способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности
современный математический аппарат (ПК-3).
Способность решать задачи производственной и технологической деятельности на
профессиональном уровне, включая: разработку алгоритмических и программных решений в
области системного и прикладного программирования (ПК-9).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
• Знать: основные понятия дискретной математики, основные алгоритмы.
• Уметь: использовать полученные знания при решении практических задач.
• Владеть: математическим аппаратом дискретной математики.
4. Структура и содержание дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 6,8 зачетных единиц, 244 часа.
2
4.1. Распределение часов курса по темам и видам работ
1.
2.
Функции алгебры логики
Принцип двойственности
1
3
2
4
Форма
промежуточной
аттестации
Тест
4
4-8
10
6
5
Минимизация ДНФ
Комбинационные
дискретные устройства
Формы текущего
контроля
успеваемости
Самостояте
льная
работа
4
Тест,
контрольная работа
Тест,
1
5.
6
Полнота и замкнутость
1
4.
4
Тест
1
3.
1-2
(в часах)
Практическ
ие занятия
Семестр
п/п
Виды учебной работы
Лекции
Раздел дисциплины
Неделя семестра
№
№
9-14
12
14
5
контрольная работа
Экзамен
1
15-16
4
2
4
Элементы теории
автоматов
2
1-3
6
8
6
Элементы теории
кодирования
2
8.
Основные понятия теории
графов
2
7
2
4
6
Тест
9.
Типы графов, раскраска
вершин графов
2
8-12
8
10
10
Тест
10.
Сети
2
12
2
2
4
Тест,
6.
7.
Тест,
контрольная работа
4-6
6
6
6
Тест,
контрольная работа
контрольная работа
11.
Исчисление высказываний
2
13-14
4
4
3
Тест
12.
Исчисление предикатов
2
15
2
2
3
Экзамен
62
62
60
60
ИТОГО
4.2. Перечень разделов курса
Тема 1. Функции алгебры логики (Булевы функции). Табличное представление. Число
функций от n переменных. Элементарные функции. Индуктивное определение формулы над
множеством булевых функций. Формулы над множеством элементарных функций. Соседние
наборы. Существенные и фиктивные переменные. Добавление и исключение фиктивных
переменных. Равенство функций и эквивалентность формул. Основные тождества алгебры
логики. Операции поглощения и склеивания.
3
Тема 2. Принцип двойственности. Теорема о двойственной функции. Разложение
функции по подмножеству переменных. Теорема о разложении по m переменным. Частные
случаи разложения по одной и всем переменным. Вывод формул СДНФ и СКНФ.
Тема 3. Полнота и замкнутость. Определение полной системы. Теорема о полной
системе. Примеры полных систем. Определение замыкания. Свойства замыканий.
Определение полной системы через замыкание. Определение замкнутого класса. Свойства
замкнутых классов, сохраняющих константы. Замкнутый класс самодвойственных функций
и его свойства. Лемма о не самодвойственной функции. Сравнимые наборы. Замкнутый
класс монотонных функций и его свойства. Лемма о немонотонной функции. Полином
Жегалкина. Теорема о единственности полинома для функции. Линейный полином.
Замкнутый класс линейных функций и его свойства. Лемма о нелинейной функции. Теорема
о необходимых и достаточных условиях полноты систем булевых функций. Теорема о числе
функций полных систем. Функции к-значной логики (определение, табличное задание).
Тема 4. Минимизация ДНФ. Теорема о числе ДНФ функций n переменных.
Определения минимальной и кратчайшей ДНФ. Тривиальный алгоритм их построения.
Геометрическая интерпретация булевой функции (n-мерный куб, матрица в коде Грея).
Определение интервала. Свойства интервала. Допустимый и максимальный интервалы.
Покрытие множества единичных наборов функции интервалами. Кратчайшее и минимальное
покрытия. Импликанта, простая импликанта, их свойства. Сокращенная ДНФ. Теорема
Квайна о сокращенной ДНФ. Троичный векторы и операции над ними. Алгоритм КвайнаМакКласки построения сокращенной ДНФ. Таблица Квайна и ее кратчайшие и минимальные
покрытия. Теорема Блейка. Алгоритм Блейка построения сокращенной ДНФ. Общая схема
построения минимальных и кратчайших ДНФ. Теорема о сокращенной ДНФ монотонной
функции. Ортогональные конъюнкции. Ортогональные ДНФ. Теорема о поглощении
конъюнкции дизъюнктивной нормальной формой. Использование теоремы для построения
безызбыточной ДНФ. Объединение и пересечение безызбыточных (тупиковых ДНФ). Ядро
ДНФ. Теорем Квайна о ядре и ее следствие. Упрощение ДНФ. Минимизация частичных
булевых функций. Реализация частичной функции. Допустимый и максимальный интервалы
частичной функции. Сокращенная ДНФ и ее построение. Построение минимальной и
кратчайшей реализации частичной функции по таблице Квайна. ROBDD, Free BDD-графы.
Тема5. Комбинационные дискретные устройства. Представление о дискретном
устройстве. Комбинационные и последовательностные дискретные устройства. Структура и
поведение комбинационных дискретных устройств. Задача анализа. Задачи синтеза: синтез в
базисе ДНФ, в базисах НЕ И, НЕ ИЛИ.
Тема 6. Элементы теории автоматов. Определение автомата. Его представление
таблицами переходов-выходов. Диаграммы переходов. Полностью определенные и
частичные автоматы. Автономные автоматы, автоматы без выходов, комбинационные
автоматы, автоматы Мили, Мура. Триггеры. Канонические уравнения и их получение.
Формальные языки и настроенные диаграммы. Конечно-автоматные языки и операции над
ними. Замкнутость конечно-автоматных языков.
Тема 7. Элементы теории кодирования. Алфавитное кодирование. Префикс и
окончание Свойство префикса. Теорема. Нетривиальное разложение элементарных кодов в
схеме кодирования. Алгоритм проверки однозначности кодирования. Неравенство Мак
Милана (теорема). Свойство взаимно-однозначных кодов. Теорема. Коды с минимальной
избыточностью. Дерево однозначного кодирования. Операции на нем. Насыщенное и
приведенное деревья. Алгоритм построения кода с минимальной избыточностью.
Тема 8. Основные понятия теории графов. Определения простого, общего,
ориентированного графов. Смежность вершин и ребер. Степень вершины. Лемма о
рукопожатиях и ее следствие. Матрицы смежности и инциденций. Связность графов.
Операции объединения и соединения графов. Простейшие типы графов. Пустой и полный
4
графы. Регулярные графы. Двудольные графы. Полные двудольные графы. Циклические
графы. Колесо. Реберный граф.
Тема 9. Маршрут, цепь, простая цепь, цикл. Определение связности графов с
использованием понятия простой цепи. Диаметр и обхват графа. Радиус и центры графа.
Разделяющее множество, разрез, мост. Лемма о существовании цикла в графе. Определение
Эйлерова графа, примеры. Теорема о необходимых и достаточных условиях графа быть
Эйлеровым. Алгоритм Флери построения Эйлерового цикла. Ормаршрут, орцепь, простая
орцепь, орцикл. Эйлеров орграф. Необходимые и достаточные условия орграфа быть
Эйлеровым. Гамильтоновы графы. Теорема Дирака. Деревья и их свойства. Остовное дерево.
Циклический ранг графа. Алгоритм Краскала. Плоские и планарные графы. Примеры
непланарных графов. Гомеоморфные графы. Операция стягивания вершин в графе. Две
теоремы о необходимых и достаточных условиях непланарности графов. Толщина графа.
Теорема об укладке графа в трехмерном пространстве. Жорданова кривая. Определение
грани плоского графа. Теорема Эйлера о соотношении вершин, ребер и граней в плоском
графе. Обобщение теоремы на несвязные графы. Теорем о числе ребер в плоском графе.
Теорема о степени вершины в плоском графе. Двойственные графы. Теорема. Раскраска
вершин графов. Правильная раскраска. Хроматическое число. Хроматические числа для
простейших типов графов. Теоремы о раскраске произвольного графа. Теорема о раскраске
плоского графа в 6 цветов. Теорема о 5 красках. Алгоритм минимальной раскраски. Понятие
соцветного подмножества. Поиск всех максимальных соцветных подмножеств. Сведение
задачи нахождения хроматического числа к покрытию столбцов булевой матрицы.
Построение всех безызбыточных покрытий. Определение кратчайшего покрытия.
Тема 10. Сети. Определение сети. Изоморфизм сетей. Исток и сток в сети.
Последовательное и параллельное соединение сетей. Алгоритм Дейкстры. Потоки в сетях.
Определение потока. Величина потока. Сечение и простое сечение. Пропускная способность
простого сечения. Теорема Форда-Фалкерсона. Алгоритм Форда-Фалкерсона поиска
максимального потока в сети.
Тема 11. Исчисление высказываний. Алфавит, синтаксис и семантика исчисления
высказываний. Проблема вывода. Дерево частичных интерпретаций и его построение.
Анализ КНФ на невыполнимость методом частичного обхода Free BDD-графа и
резольвентным методом. Связь метода Блейка и резольвентного метода.
Тема 12. Исчисление предикатов. Алфавит, синтаксис и семантика исчисления
предикатов. Предваренная нормальная форма. Проблема вывода. Хорновские дизъюнкты.
4.3. Лабораторный практикум на ЭВМ
Лабораторный практикум не предусмотрен.
4.4. Практические занятия
Тема 1. Булевы функции. Существенные и фиктивные переменные.
Тема 2. Элементарные булевы функции. Формульное представление булевых функций.
Тема 3. СДНФ и СКНФ.
Тема 4. Полином Жегалкина.
Тема 5. Двойственные функции.
Тема 6. Полнота и замкнутость систем булевых функций.
Тема 7. Минимизация ДНФ.
Тема 8. Синтез в базисе ДНФ, в базисах НЕ И, НЕ ИЛИ.
Тема 9. Элементы теории автоматов.
Тема10. Элементы теории кодирования.
5
Тема11.Определения и основные понятия теории графов.
Тема 12. Цепи и циклы. Эйлеровы и Гамильтоновы графы.
Тема13. Деревья.
Тема14. Планарные графы.
Те ма15. Раскрашивание графов.
Тема16. Поиск кратчайшего пути в ориентированном графе.
Тема 17. Нахождение максимального потока в сети.
Тема18. Исчисление высказываний.
Тема19. Исчисление предикатов.
4.5. Курсовой проект (курсовая работа)
Курсовой проект не предусмотрен.
5. Образовательные технологии
В рамках данного курса предусмотрены активные и интерактивные формы проведения
занятий (компьютерные симуляции, деловые и ролевые игры, разбор конкретных ситуаций)
Также предусмотрены встречи с представителями российских и зарубежных компаний,
государственных и общественных организаций, мастер-классы экспертов и специалистов.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины
Все необходимое учебно-методическое обеспечение по дисциплине представлено в
печатном или электронном виде в библиотеке ТГУ, а также в электронном виде в сети
Интернет на сайте кафедры программирования или ИДО ТГУ.
В качестве текущего контроля успеваемости в конце каждой темы проводиться
тестирование по материалам темы. В середине первого семестра (8 неделя) и в конце
семестра (14 неделя) проводятся письменные контрольные работы. В конце 1 семестра
сдается экзамен. Во втором семестре (3,6,12 недели) проводятся контрольные работы, в
конце второго семестра сдается экзамен.
6.1. Примерный перечень вопросов к экзамену в первом семестре:
1. Определение булевой функции табличное задание, число функций от n переменных.
Элементарные функции. Существенные переменные. Равенство функций.
2. Понятие формулы, эквивалентные формулы. Основные тождества алгебры логики.
3. Двойственные функции и способы их получения. Теорема о двойственной функции.
4. Определение полной системы, примеры полных систем. Теорема о полных системах.
5. Замыкание. Свойство замыканий. Замкнутые классы. Свойства классов T0, T1.
6. Класс самодвойственных функций и его свойство.
7. Лемма о несамодвойственной функции.
8. Класс монотонных функций, его замкнутость.
9. Лемма о немонотонной функции.
10. Полином Жегалкина. Теорема о единственности полинома.
11. Линейные функции. Лемма о нелинейной функции.
12. Теорема о необходимых и достаточных условиях полноты систем булевых функций.
13. Теорема о числе функций полных систем.
14. Определение ДНФ. Понятие минимальной и кратчайшей ДНФ булевой функции.
Тривиальный способ их нахождения.
6
15. Геометрическое представление булевых функций. Интервал, допустимый интервал,
максимальный интервал. Покрытие множества единичных наборов булевой функции
интервалами. Кратчайшее и минимальное покрытия. Сокращенная ДНФ.
16. Импликанта, простая импликанта, их свойства.
17. Матричное представление булевой функции в коде Грея. Визуально-матричный
метод минимизации булевых функций
18. Теорема Квайна о построении сокращенной ДНФ. Троичные векторы. Алгоритм
Квайна, Мак Класки.
19. Булева матрица и ее покрытия. Нахождение всех безызбыточных покрытий.
20. Теорема Блейка о построении сокращенной ДНФ булевой функции. Алгоритм
Блейка.
21. Общая схема получения минимальных и кратчайших ДНФ
22. Ортогональные конъюнкции и ортогональные ДНФ. Теорема о поглощении
конъюнкции дизъюнктивной нормальной формой.
23. Теорема о сокращенной ДНФ монотонной функции.
24. Объединение и пересечение тупиковых и минимальных ДНФ.
25. Ядро ДНФ. Теорема Квайна о ядре и ее следствие.
26. Частичные булевы функции и их представления.
27. Реализация частичной функции. Импликанта и простая импликанта частичной
функции. Сокращенная ДНФ.
28. Построение сокращенной ДНФ. Использование таблицы Квайна для получения
кратчайших и минимальных ДНФ.
29. Визуально-матричный метод минимизации частичной функции.
30. Графовое представление булевых функций. ROBDD, Free BDD графы.
31. Понятие о дискретном устройстве, комбинационном и последовательностном.
32. Анализ и синтез дискретных устройств.
33. Элементарные комбинационные устройства.
34. Синтез комбинационных устройств в базисе ДНФ
35. Синтез комбинационных устройств в базисе НЕ И.
36. Синтез комбинационных устройств в базисе НЕ ИЛИ.
Примерный перечень вопросов к экзамену во втором семестре:
37. Определение автомата. Классификация автоматов.
38. Таблицы переходов-выходов и диаграммы переходов.
39. Триггеры.
40. Канонические уравнения и их получение из таблиц переходов-выходов.
41. Формальные языки и настроенные диаграммы.
42. Конечно-автоматные языки и их свойства.
43. Алфавитное кодирование. Однозначность кодирования.
44. Свойство префикса. Теорема.
45. Нетривиальное разложение кодов в схеме кодирования. Алгоритм проверки
кодирования на однозначность.
46. Неравенство Макмилана. Теорема.
47. Теорема о существовании взаимно однозначного кодирования, обладающего
свойством префикса.
48. Понятие о кодах с минимальной избыточностью.
49. Дерево взаимно однозначного кодирования и операции на нем.
50. Насыщенное и приведенное кодовые деревья.
51. Алгоритм построения кода с минимальной избыточностью.
52. Определения графов, их представления. Матрицы смежности и инциденций.
Изоморфизм графов.
53. Простейшие типы графов: полные, двудольные, регулярные и др.
54. Операции объединения, соединения, дополнения. Реберные графы.
7
55. Маршруты, цепи, простые цепи, циклы, диаметр, радиус и центр. Связность графа.
56. Теорема о числе ребер в графе и ее следствие.
57. Эйлеровы графы. Лемма о существовании цикла в графе.
58. Теорема о необходимых и достаточных условиях графа быть эйлеровым.
59. Построение эйлерова цикла (алгоритм Флери).
60. Орграфы. Ормаршруты , орцепи, орциклы. Связность орграфов. Теорема для
эйлеровых орграфов.
61. Гамильтоновы графы. Теорема Дирака.
62. Деревья и их свойства. Остовное дерево, циклический ранг графа.
63. Разделяющее множество, разрез, мост. Алгоритм Краскала.
64. Плоские и планарные графы. Гомеоморфность графов. Операция совмещения
вершин в графе. Теоремы о необходимых и достаточных условиях планарности
графов.
65. Теорема об укладке графов в трехмерном пространстве.
66. Жорданова кривая; точки, дизъюнктные к графу; понятие грани в графе.
67. Теорема Эйлера о соотношении числа граней, ребер и вершин в графе. Ее обобщение
на несвязные графы.
68. Теоремы о свойствах планарных графов: числе ребер, степени вершин.
69. Раскраска вершин в графе. Хроматическое число. Раскраска простейших типов
графов.
70. Теорема о раскраске произвольного графа. Теорема о раскраске планарного графа в 6
цветов.
71. Теорема о 5 красках.
72. Нахождение хроматического числа для произвольного графа.
73. Сети. Изоморфизм сетей. Параллельно-последовательные сети.
74. Алгоритм Дейкстры.
75. Определение потока в сети. Простое сечение и величина его потока. Теорема Форда,
Фалкерсона.
76. Алгоритм нахождения максимального потока в сети.
77. Алфавит исчисления высказываний
78. Синтаксис исчисления высказываний
79. Семантика исчисления высказываний.
80. Общезначимые, невыполнимые и нейтральные формулы.
81. Полная и частичная интерпретация. Модель. Дерево интерпретаций.
82. Проблема вывода. Ее сведение к анализу КНФ на невыполнимость.
83. Анализ КНФ на невыполнимость методом сокращенного обхода Free BDD графа.
84. Резольвентный метод анализа КНФ на невыполнимость. Метод Блейка.
85. Алфавит исчисления предикатов.
86. Синтаксис исчисления предикатов.
87. Семантика исчисления предикатов.
88. Проблема вывода.
89. Предваренная нормальная форма.
90. Сколемова форма.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а)
Основная литература:
1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. -М.:Наука, 1979.-279с.
2. Агибалов Г.П., Оранов А.М. Лекции по теории конечных автоматов. Изд-во
Томского госуниверситета, Томск, 1984.
8
3. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. -СПБ:Питер,
2000.-304.
4. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. М: Наука, 1977. -268 с.
5. Останин С.А. Матросова А.Ю. Функции алгебры логики (учебное пособие).
Из-во ТГУ. -2004. – 36с.
6. Останин С.А. Элементы теории графов (учебное пособие). Из-во ТГУ. -2005.
– 38с.
б)
Дополнительная литература:
1. 1. Судоплатов С.В, Овчинникова Е.В.Элементы дискретной математики. Москва
ИНФРА-М, Новосибирск, НГТУ, 2002.
2. R.Murgai, R.Brayton, A.Sangiovani-Vincetelli. Logic Synthesis for Field Programmable
Gate Arrays. Cluver Academic Publisher,1995,425 p.
в)
Перечень иных информационных источников:
1. С.А.Останин, А.Ю. Матросова, Дискретная математика. Методические указания для
педагогов. 2007 (http://ido.tsu.ru/iop_res/diskretmatem/)
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
8.1. Требования к аудиториям (помещениям, местам) для проведения занятий
Стандартно оборудованные лекционные аудитории, а также аудитории для проведения
интерактивных лекций: видеопроектор, экран настенный, др. оборудование.
8.2. Требования к специализированному оборудованию
Специализированное оборудование не требуется.
8.3. Требования к специализированному программному обеспечению
При использовании электронных учебных пособий каждый обучающийся во время
занятий и самостоятельной подготовки должен быть обеспечен рабочим местом в
компьютерном классе с выходом в Интернет и корпоративную сеть факультета. Лаборатории
(компьютерные классы) должны быть обеспечены необходимым комплектом лицензионного
программного обеспечения.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП
ВПО по направлению подготовки 010400 – Прикладная математика и информатика
Автор: д.т.н., профессор А.Ю. Матросова.
Рецензент: к.т.н., доцент С.А. Останин.
Программа одобрена на заседании Ученого совета ФПМК
от «___»____________ 2011 г., протокол № ____.
9