Российская Академия естественных наук Правительство Российской Федерации Государственный университет Высшая школа экономики Кафедра высшей математики Е.В.Коваленко (ekovalenko@hse.ru) Высшая математика для экономических специальностей Учебно-методическое пособие Москва 2010 Содержание Предисловие …………………………………………………… 3 Г л а в а 1. Тематические тесты ……………………………… 4 Часть I § 1.1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии (специальность «Менеджмент») …………… 4 § 1.2. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных (специальность «Менеджмент») …………………………………….......... 10 Часть II § 1.3. Математический анализ. Функции одной переменной (специальность «Экономика») …………… 20 § 1.4. Интегральное исчисление. Ряды (специальность «Менеджмент») ………………………………………….. 36 Г л а в а 2. Итоговые тесты ……………………………........... 46 Часть III § 2.1. Алгебра, анализ, основы обыкновенных дифференциальных уравнений (специальность «Менеджмент») …………………………………………. 46 § 2.2. Математический анализ (специальность «Мировая экономика») …………………………………. 55 Часть IV § 2.3. Математический анализ (специальность «Экономика») …………………………………………… 71 § 2.4. Линейная алгебра и элементы аналитической геометрии. Математический анализ (специальность «Государственное и муниципальное управление») …………………………. 92 -2- Предисловие В данное учебно-методическое пособие вошли тесты, предлагаемые автором студентам различных факультетов ГУ-ВШЭ для проверки знаний по высшей математике в промежуточной и итоговой формах контроля. Материал пособия составлен в соответствии с требованиями Государственных образовательных стандартов по высшей математике и включает в себя следующие разделы: линейную алгебру с элементами аналитической геометрии, математический анализ и основы обыкновенных дифференциальных уравнений. Достаточное количество вариантов дает возможность эффективно использовать их в процессе аудиторной и самостоятельной работы студентов, при компьютерном тестировании. Это учебно-методическое пособие можно также рассматривать как дополнительный материал к основным учебникам, предлагаемым студентам и слушателям. -3- Глава 1. Т е м а т и ч е с к и е т е с т ы Часть I § 1.1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии (специальность «Менеджмент») Вариант №1 1. Укажите неверное утверждение. A) Любые две матрицы можно складывать; B) Если сумма двух матриц равна A B , то A B B A ; C) Любую матрицу можно умножить на число; D) Любую матрицу можно транспонировать; E) Если A квадратная матрица порядка n , то det pA p n det A , где p любое число. 2 2. Наибольшим целым решением неравенства A) 0; B) 2 ; C) 2; D) 1; 5 1 3 x 2 1 8 0 является число 3 E) 3 . 3. Матрица X , удовлетворяющая уравнению 7 10 1 2 X , равна 2 3 1 3 5 7 A) ; 17 24 7 24 B) ; 17 5 7 17 C) ; 24 5 7 5 D) ; 24 17 24 7 E) . 17 5 0 0 1 4. Обратной по отношению к матрице 2 6 2 является матрица 1 10 4 0 0 1 A) 0,5 1 1,5 ; 3,5 2,5 1,5 0 0 0 0 0 0 1 1 1 B) 0,5 1 1,5 ; C) 1,5 1 0,5 ; D) 1,5 1 0,5 ; 2,5 3,5 1,5 3,5 2,5 1,5 2,5 3,5 1,5 0 0 1 E) 1,5 1 0,5 . 3,5 2,5 0,5 -4- 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 5. Ранг матрицы A 3 3 3 3 3 равен 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 A) 1; B) 2; C) 3; D) 4; E) 5. 6. Укажите неверное утверждение. A) Неоднородная система линейных уравнений совместна, если ранг ее матрицы равен рангу расширенной матрицы; B) Неоднородная система линейных уравнений с квадратной вырожденной матрицей имеет бесконечно много решений; C) Если система линейных уравнений несовместна, то она не имеет решений; D) Однородная система линейных уравнений с квадратной вырожденной матрицей имеет ненулевые решения; E) Однородная система линейных уравнений всегда имеет решения. 7. Угол между векторами a 1;2;2 и b 3;0; 3 равен A) / 4 ; B) / 2 ; C) 3 / 4 ; D) 2 / 3 ; E) / 3 . 8. Даны векторы a 1;2;1 , b 3;2; 1 , c 1;2;3 . Длина вектора p 2a 3b c равна А) 14 ; B) 2 14 ; C) 3 14 ; D) 4 14 ; E) 5 14 . 9. Уравнение прямой, проходящей через точку M 2;1 , перпендикулярно прямой 3 y 2 x 13 0 имеет вид A) 3x 2 y 8 0 ; B) 2 x 3 y 8 0 ; C) 2 x 3 y 8 0 ; D) 3x 2 y 8 0 ; E) 2 x 3 y 8 0 . 10. Расстояние между плоскостями 16 x 12 y 15z 29 0 и 16 x 12 y 15z 4 0 равно A) 1; B) 2; C) 3; D) 4; E) 5. 11. Уравнение 4 x 2 25 y 2 16 x 50 y 109 0 определяет: A) эллипс; B) гиперболу; C) параболу; D) пару прямых; -5- E) мнимую кривую. 12. Уравнение прямой, проходящей через точку M (1;1;1) перпендикулярно плоскости 16 x 12 y 15z 12 0 имеет вид x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 ; B) ; C) ; 16 12 15 16 12 15 15 12 16 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 D) ; E) . 16 12 15 16 12 15 A) 13. Если у произведения комплексных чисел x 3i и 1 2i действительная часть равна 4 , то это произведение равно A) 4 7i ; B) 4 5i ; C) 4 5i ; D) 4 3i ; E) 4 7i . 14. Корень уравнения z 3 8 0 , имеющий наименьшую вещественную часть, равен A) 2 ; B) 1 i 3 ; C) 1 i 3 ; D) 3 i ; E) 3 i . 15. Число элементов фундаментальной системы решений однородной системы x1 2 x 2 3x3 0, линейных уравнений 3x1 2 x 2 x3 0, равно x 2 x 5x 0 2 3 1 A) 0; B) 1; C) 2; D) 3; E) . 16. Решите систему линейных уравнений методом Крамера 9, 3x1 x2 x1 2 x2 x3 5, 3x 4 x 2 x 13. 2 3 1 17. Найдите общее решение неоднородной системы линейных уравнений 2 x1 x 2 x3 x 4 1, x 2 x3 2 x 4 2, 2x 2x 3x 4 3. 2 1 18. Даны векторы a 3;1;3, b 1; 2;4 , c 0; 1; 2 и d 9;5;13 в некотором базисе. Покажите, что векторы a, b, d образуют базис. Найдите координаты вектора d в этом базисе. 19. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, 7 0 0 заданного матрицей A 0 3 2 . 0 2 3 -6- x x 2 x 3 a, 20. Найдите общее решение системы линейных уравнений 1 при тех x1 x 2 ax3 1 значениях параметра a , при которых она совместна. Вариант №2 1. Укажите неверное утверждение. Если A квадратная матрица и det A 0, то: A) det A det AT ; B) существует обратная матрица A 1 ; C) AA1 A1 A E ; D) det A1 det A ; E) det A1 det A 1 . 2 3 2 2. Решением уравнения 5 x 1 8 A) 0; B) 2 ; C) 2; D) 1; 1 0 является число 3 E) 3 . 3. Матрица X , удовлетворяющая уравнению 3 10 2 3 X , равна 2 7 1 1 8 11 A) ; 5 7 11 8 B) ; 7 5 8 11 C) ; 5 7 5 7 D) ; 8 11 7 11 E) . 8 5 2 0 0 4. Обратной по отношению к матрице 3 2 1 является матрица 7 5 3 1 3 1 0 ; A) 0,5 0 0,5 5 2 0 0,5 0 0,5 1 0,5 0,5 0,5 1 3 5 ; D) 5 0 3 ; B) 1 3 1 ; C) 0 0,5 5 2 0,5 1 2 2 0 1 0,5 5 2 0 . E) 0,5 0 1 3 1 -7- 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5. Ранг матрицы A 1 2 3 4 5 равен 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 A) 0; B) 1; C) 2; D) 3; E) 4. 6. Укажите неверное утверждение. A) Однородная система линейных уравнений всегда совместна; B) Неоднородная система линейных уравнений совместна, если ранг ее матрицы равен рангу расширенной матрицы; C) Неоднородная система линейных уравнений с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение; D) Если система линейных уравнений несовместна, то она имеет бесконечно много решений; E) Однородная система линейных уравнений с квадратной вырожденной матрицей имеет ненулевые решения. 7. Угол между векторами a 1;2;2 и b 3;0;3 равен A) / 6 ; B) / 3 ; C) / 2 ; D) 2 / 3 ; E) / 4 . 8. Даны векторы a 3;2;1 , b 1;2;3 , c 1;2;1 . Длина вектора q 3a b 2c равна А) 5 14 ; B) 4 14 ; C) 3 14 ; D) 2 14 ; E) 14 . 9. Уравнение прямой, проходящей через точку M 1;2 , перпендикулярно прямой 2 y 3x 11 0 имеет вид A) 3x 2 y 8 0 ; B) 2 x 3 y 8 0 ; C) 2 x 3 y 8 0 ; D) 3x 2 y 8 0 ; E) 2 x 3 y 8 0 . 10. Расстояние между плоскостями 16 x 12 y 15z 29 0 и 16 x 12 y 15z 21 0 равно A) 5; B) 4; C) 3; D) 2; E) 1. 11. Уравнение 4 x 2 25 y 2 16 x 50 y 109 0 определяет: A) эллипс; B) гиперболу; C) параболу; D) пару прямых; -8- E) мнимую кривую. 12. Уравнение прямой, проходящей через точку M (1;1;1) перпендикулярно плоскости 15 x 12 y 16 z 16 0 имеет вид x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 ; B) ; C) ; 16 12 15 15 12 16 15 12 16 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 D) ; E) . 15 12 16 16 12 15 A) 13. Если у произведения комплексных чисел 2 3i и 1 xi мнимая часть равна 7, то это произведение равно A) 4 7i ; B) 3 7i ; C) 4 7i ; D) 3 7i ; E) 7 7i . 14. Корень уравнения z 3 8 0 , имеющий наименьшую мнимую часть, равен A) 2 ; B) 1 i 3 ; C) 1 i 3 ; D) 1 2i ; E) 1 2i 15. Число элементов фундаментальной системы решений однородной системы линей- 2 x1 x 2 x3 x 4 0, ных уравнений 2 x1 x3 2 x 4 0, x 2x 3x 4 0 2 1 равно A) ; B) 3; C) 2; D) 1; E) 0. 16. Решите систему линейных уравнений методом Крамера 2 x1 2 x 2 x3 6, 3x 2 4 x3 6, x x3 1. 1 17. Найдите общее решение неоднородной системы линейных уравнений x1 x 2 x 3 x 4 0, x 2 x 2 x x 5, 1 2 3 4 2 x1 x 2 3x 3 2 x 4 1, x1 2 x 2 3x 3 6 x 4 10. 18. Даны векторы a 2;0;1, b 2;3;0 , c 1;4;1 и d 6;6;1 в некотором базисе. Покажите, что векторы a, b, d образуют базис. Найдите координаты вектора d в этом базисе. -9- 19. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, 4 0 1 заданного матрицей A 0 5 0 . 1 0 4 x x 2 x 3 a, 20. Найдите общее решение системы линейных уравнений 1 при тех x1 ax 2 x 3 1 значениях параметра a , при которых она совместна. § 1.2. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных (специальность «Менеджмент») Вариант №1 1. Укажите верное утверждение. Функция f (x ) задана в окрестности точки a . Число b не является пределом f (x ) при x a , если: A) 0 : 0 x : 0 x a и f ( x) b ; B) 0, 0 x : 0 x a f ( x) b ; C) 0 0, x : 0 x a и f ( x) b ; D) 0, 0 x : 0 x a и f ( x) b ; E) 0 : 0 x : 0 x a и f ( x) b . 2. Предел lim 6 x 9 18 равен arctg x A) 0; C) 2; x 0 B) 1; D) 3; 3. Предел lim cos 2 x x 0 1/ x E) 4. равен A) 0; B) e 1 / 2 ; C) e 1 ; D) e 2 ; E) e 4 . 4. Предел lim x a x равен нулю тогда и только тогда, когда x A) a 0 ; B) a 0 и 1 ; C) a 0 и 0 ; E) a 1 и 1 a 1 и 0 . - 10 - D) a 1 a 1и 0 ; 5. Все утверждения данного задания относятся к одной точке x 0 . Укажите верное утверждение. A) Если f (x ) имеет производную, а g ( x ) не имеет производной, то f ( x ) g ( x ) не имеет производной; B) Если f (x ) и g ( x ) не имеют производной, то f ( x ) g ( x ) не имеет производной; C) Если f (x ) имеет производную, а g ( x ) не имеет производной, то f ( x ) g ( x ) не имеет производной; D) Если f (x ) и g ( x ) не имеют производной, то f ( x ) g ( x ) не имеет производной; E) Если f (x ) имеет производную, а g ( x ) не имеет производной, то f ( x ) / g ( x ) не имеет производной. 6. Производная функции f ( x ) arcsin A) 2 ; B) 1 ; C) 0; x 1 x2 при x 0 равна D) 1; E) 2. 7. Производная функции f ( x ) x x при x e равна А) 2e e ; B) e ; C) e e ; D) 2 e 2 e ; E) e 2 e . 8. Укажите функцию, эластичность которой постоянна. А) Ax B ; C) A ln 1 Bx ; B) Ae Bx ; 9. Функция f ( x ) D) 1/ Ax B ; E) Ax B . xe1 / x , x 0, f (0) 0 имеет: x2 1 A) три точки разрыва первого рода; B) три точки разрыва второго рода; C) одну точку разрыва первого рода и две точки разрыва второго рода; D) две точки разрыва первого рода и одну точку разрыва второго рода; E) две точки разрыва второго рода. 10. Укажите функцию, для которой точка x0 0 не является точкой перегиба. A) x 3 ; B) sin x ; C) arctg x ; D) tg x ; E) cos x . 11. Функция f ( x) e x имеет: 2 A) одну точку экстремума и одну точку перегиба; B) одну точку экстремума и две точки перегиба; C) одну точку экстремума и три точки перегиба; D) две точки экстремума и две точки перегиба; E) две точки экстремума и три точки перегиба. 12. Минимальное значение функции f ( x ) x x в области 0 x равно A) 1 / e ; e B) e e ; C) e 1 / e ; D) e 1 / e ; E) 1. - 11 - 13. Частная производная A) 0; B) 1; u 0,0 функции u( x, y ) 3 x 3 y 3 равна x C) 2; D) 1/3; E) не существует. 14. Укажите функцию, имеющую в точке O0,0 строгий локальный минимум. A) u( x, y ) x 2 y 2 ; B) ux, y x 2 y 2 ; C) u x, y x y ; D) ux, y x 2 y 2 ; 2 E) u x, y x y . 2 15. Наибольшее значение функции u x 2 xy в области 1 x 1, 0 y 3 равно A) 0; B) 1; C) 2; D) 3; E) 4. 16. Вычислите производную y x функции, заданной параметрически x ln 1 t 2 , y t arctg t . Найдите ее значение при t 2 . 17. Вычислите градиент функции u( x, y, z ) 2 / 3z 3 2 zy y 2 4 y 5x 2 10 x 3 в точках M x; y; z , M 1 1;1;1 . 18. Найдите все точки локального экстремума функции ux, y x 2 2 xy 4 y 3 и определите их тип. 19. Найдите производную первого порядка y x неявной функции y y (x ), заданной уравнением y 0,5 cos y x 0 . 20. Исследуйте на условный экстремум: u 2 x 16 y, xy y 2 7 0 . Вариант №2 1. Укажите верное значение предела lim x A) 1 ; B) 1; C) 2; D) 2 ; x 2 x 1 x 2 x 11 . E) 1/2. 1 cos 4 x . x x sin 2 x 2. Укажите верное значение предела lim A) 2 ; B) 2 ; 3. Для функции y A) 6 C) 4 ; D) 8 ; E) 8 . arcsin 1 x 3 значение производной y равно 1 x 4 1 1 1 1 ; B) 4 ; C) 2 ; E) 0. ; D) 4 3 2 3 3 6 6 3 - 12 - x 4. Для функции z arctg 2 значение производной z y в точке M 1;1 равно y A) 1; B) 1 ; C) 2; D) 0; E) 2 . 5. Значение функции z x 1 y 1 4 в точке экстремума равно 2 A) 1; B) 1 ; C) 0; 2 D) 4 ; E) 4. 6. Укажите правильную расшифорвку записи lim f ( x ) 8 . Для 0 x 5 такое, что A) f (x ) 8 , как только x 5 ; B) f (x) 8 , как только 0 x 5 ; C) 8 f ( x ) 8 , как только 0 x 5 ; D) f (x) 8 , как только x 5 ; E) 0 f ( x) 8 , как только 0 x 5 . 7. При значении x 0 функция y xe1 / x А) непрерывна; имеет разрывы: B) устранимый; C) первого рода; D) второго рода; E) не верно ни одно из этих утверждений. 8. Для функции y 1 4 x 2 arccos 2 x А) 1 ; B) 0; C) 1; D) / 4 ; значение y 0 равно E) / 4 . 9. Для функции y ( x ) , заданной уравнением y 1 2 xe y , значение y x в точке M 1/ 2;0 равно A) 0; B) 1 ; C) 1; D) 2; E) 1 / 2 . 10. Для функции, заданной параметрически x (t ) arctg t , t2 y ( t ) , 2 значение y x в точке O0,0 равно A) 1 ; B) / 4 ; C) 2; D) 0; E) 1. - 13 - 11. Найдите экстремумы функции y 2 x 3 3 x 2 . В ответе укажите значение функции в точке экстремума, а если таких значений несколько, то произведение значений функции в точках экстремума. A) 1 ; B) 0; C) 1; D) 2; E) 2 . 12. Укажите верное утверждение. A) Градиент функции направлен по касательной к линии уровня функции двух переменных; B) Градиент – вектор, всегда задающий направление к началу координат; C) Если градиент и вектор, задающий направление, совпадают, то производная по направлению равна нулю; D) Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции; E) Градиент указывает то направление, в котором функция не меняется. 13. Значение градиента в точке M 2;1;1 для функции u x 2 yz 5 arctg y z равно A) 4;3;2 ; B) 4;3;3 ; C) 4;3;3 ; D) 3;3;2 ; E) 4;3;1 . 14. Для функции пункта 13 производная по направлению l 3 j 4k в точке M 2;1;1 равна A) 1; B) 0,6 ; C) 0; D) 1 ; E) 0,6. 15. Скорость наибольшего возрастания функции пункта 13 в точке M 2;1;1 равна A) 5 ; B) 30 ; C) 34 ; D) 6; E) 1. 16. Найдите локальные экстремумы функции z x 4 y 4 x 2 2 xy y 2 . 17. Найдите условные экстремумы функции z 2 x y при x 2 y 2 1 . 18. Найдите наибольшее M и наименьшее m значения функции u на заданном множестве: u x 2 xy y 2 , x y 1. 19. Функция спроса q и предложения s от цены выражаются соответственно уравнениями: q 7 p и s p 1. Найдите: а) равновесную цену; б) эластичность спроса и предложения для этой цены (выпишите соответствующие формулы, сделайте выводы). 20. Для данных пункта 19 найдите изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 5% от равновесной (выпишите формулу, сделайте выводы). - 14 - Вариант №3 1. Укажите верное утверждение. Функция f (x ) задана в окрестности точки a . Число b является пределом f (x ) при x a , если: A) 0 : 0 x : 0 x a и f ( x) b ; B) 0 0, x : 0 x a f ( x) b ; C) 0, 0 x : 0 x a f ( x) b ; D) 0, 0 x : 0 x a и f ( x) b ; E) 0 : 0 x : 0 x a и f ( x) b . 4 5 x 8 равен x 1 sin x 2. Предел lim A) 0; B) 1; C) 2; D) 3; 3. Предел lim cos x x 0 3 / x E) 4. равен A) e 3 / 2 ; B) e 2 / 3 ; C) e D) e 2 / 3 ; E) e 3 / 2 . 4. Предел lim x log a x равен нулю тогда и только тогда, когда x A) 0 и a 0 , и a 1 ; B) 1 и a 0 , и a 1; C) 1 и a 0 , и a 1 ; D) 0 и 0 a 1 ; E) 0 и a 1. 5. Укажите неверное утверждение. Если функция f x дифференцируема в точке x 0 , то: A) f (x ) непрерывна в точке x 0 ; B) f x0 ; C) f x0 ; D) график f x имеет касательную в точке x 0 ; E) f x f x0 – бесконечно малая функция в точке x 0 . 6. Производная функции f ( x ) 2 arctg A) 2 ; B) 1 ; C) 0; x 1 1 x2 D) 1; E) 2. - 15 - при x 0 равна 7. Производная функции f ( x ) x x при x e равна A) 2e e ; B) e e ; C) e e ; D) 2e e ; E) e 2 e . 8. Укажите функцию, эластичность которой не является постоянной. А) Ax B ; B) Ax ; C) A/ x ; D) Ax 2 ; E) A x . xe1 / x 9. Функция f ( x ) , x 0, f (0) 0 имеет: 1 x2 A) две точки разрыва второго рода; B) две точки разрыва первого рода и одну точку разрыва второго рода; C) три точки разрыва второго рода; D) одну точку разрыва первого рода и две точки разрыва второго рода; E) три точки разрыва первого рода. 10. Укажите функцию, для которой точка x0 0 является точкой перегиба. A) x 2 ; B) x tg x ; C) x sin x ; D) x arctg x ; E) x cos x . 11. Функция f x xe x имеет: A) одну точку экстремума и одну точку перегиба; B) одну точку экстремума и две точки перегиба; C) одну точку экстремума и три точки перегиба; D) две точки экстремума и две точки перегиба; E) две точки экстремума и три точки перегиба. 12. Значение функции f ( x ) x x x 0 в точке локального экстремума равно A) 1 / e ; e B) e 1 / e ; C) e e ; D) e 1 / e ; 13. Частная производная A) 0; B) 1; E) 1. u 0,0 функции u( x, y ) 5 x 5 y 5 равна y C) 2; D) 1/5; E) не существует. 14. Укажите функцию, имеющую в точке O0,0 строгий локальный максимум. A) u( x, y ) x 2 y 2 ; B) ux, y x 2 y 2 ; C) ux, y x 2 y 2 ; D) u x, y x y ; 2 E) u x, y x y . 2 15. Наименьшее значение функции u x 2 xy в области 1 x 1, 0 y 3 равно A) 0; B) 1,25 ; C) 2,25 ; D) 3,25 ; E) 4,25 . - 16 - 16. Вычислите производную y x функции, заданной параметрически x t ln t, y ln t / t . Найдите ее значение при t 1 . 17. Вычислите градиент функции u( x, y, z ) 2 / 3 z 3 2 zy y 2 4 y 5x 2 10 x 3 в точках M x; y; z , M 1 1;4;2 . 18. Найдите все точки локального экстремума функции ux, y x 2 2 xy 2 y 2 2 x и определите их тип. 19. Найдите производную первого порядка y x неявной функции y y (x ), заданной уравнением y 0,5 sin y x 0 . 20. Исследуйте на условный экстремум: u 3x 6 y, y 2 xy 1 0 . Вариант №4 2x x2 1 . 1. Укажите верное значение предела lim 2 x x 2 A) 2 ; B) 1 ; C) 1/2; D) 2; E) 1. 1 cos 3 x . x 0 x tg 2 x 2. Укажите верное значение предела lim A) 1/2; B) 3/4; C) 3 / 2 ; 3. Для функции y D) 1 ; E) 3 / 4 . 1 ln 2 x значение производной y 1 равно x A) 3 / 4 ; B) 1/2; C) 0,75; D) 1 ; E) 0. y 4. Для функции z exp 3 5 y 4 значение производной z x в точке M 1;1 равно x A) 1 ; B) 2; C) 0; D) 3; E) 3 . 5. Значение функции z 3 x 2 y 1 в точке экстремума равно 2 A) 2 ; B) 3; C) 1; 2 D) 3 ; E) 0. - 17 - 6. Укажите правильную расшифорвку записи lim f ( x ) 3 . Для 0 x 2 такое, что A) f x 3 , как только x 2 ; B) 3 f x 3 , как только 2 x 2 ; C) f (x ) 3 , как только x 2 ; D) f (x) 3 , как только 0 x 2 ; E) 0 f ( x) 3 , как только x 2 . 7. При значении x 0 функция y arccos1 / x А) непрерывна; имеет разрывы: B) устранимый; C) первого рода; D) второго рода; E) не верно ни одно из этих утверждений. x 8. Для функции y sin 2 А) 1 ; B) / 3 ; x2 значение y равно C) / 3 ; D) 0; E) 1. 9. Для функции y ( x ) , заданной уравнением y ln x y x 1 , значение y x в точке M 0;1 равно A) 0; B) 1 ; C) 1; D) 1/2; E) 1 / 2 . 10. Для функции, заданной параметрически x(t ) ln 1 t 2 , y (t ) t arctg t , значение y x в точке O0,0 равно A) / 3 ; B) 0; C) 1 ; D) 1; E) 2. 11. Найдите экстремумы функции y 4 x 8 6 3 x 2 . В ответе укажите значение функции в точке экстремума, а если таких значений несколько, то произведение значений функции в точках экстремума. 2 A) 2 ; B) 2; C) 0; D) 1; E) 1 . - 18 - 12. Укажите верное утверждение. A) Линия уровня функции двух переменных всегда проходит через начало координат; B) Линия уровня – это обязательно кривая либо в форме эллипса, либо в форме окружности; C) Градиент и линия уровня функции, вычисленные для конкретной точки на плоскости, всегда ортогональны; D) Градиент направлен по касательной к линии уровня; E) Производная по напрпавлению в данной точке всегда ортогональна линии уровня, проходящей через эту точку. 13. Значение градиента в точке M 0;1;1 для функции u xy y ln 1 x 2 2 arctg z равно A) 1;0;0 ; B) 1;0;1 ; C) 1;1;1 ; D) 1;0;1 ; E) 1;0;1 . 14. Для функции пункта 13 производная по направлению l 2i 2 j k в точке M 0;1;1 равна A) 1 / 3 ; B) 0; C) 1; D) 1/3; E) 0,5 . 15. Скорость наибольшего возрастания функции пункта 13 в точке M 0;1;1 равна A) 3 ; B) 0; C) 5; D) 1; E) 2. 16. Найдите локальные экстремумы функции z 2 x 3 xy 2 5x 2 y 2 . 17. Найдите условные экстремумы функции z 5 3x 4 y при x 2 y 2 25 . 18. Найдите наибольшее M и наименьшее m значения функции u на заданном множестве: u x 2 y 2 xy x y, x y 3, x 0, y 0. 19. Функция спроса q и предложения s от цены выражаются соответственно уравнениями: q 6 p и s p 2. Найдите: а) равновесную цену; б) эластичность спроса и предложения для этой цены (выпишите соответствующие формулы, сделайте выводы). 20. Для данных пункта 19 найдите изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 4% от равновесной (выпишите формулу, сделайте выводы). - 19 - Часть II § 1.3. Математический анализ. Функции одной переменной (специальность «Экономика») Вариант №1 1. Укажите верное утверждение. Функция y f ( x ) задана в окрестности точки a . Число A не является пределом функции f ( x ) при x a , если: x a и f ( x) A ; 1. 0 : 0 x : 2. 0 , 0 x : 0 x a f ( x) A ; 3. 0 , 0 x : 0 x a и f ( x) A ; 4. 0 , 0 x : 0 x a и f ( x) A ; 5. 0 : 0 x : 0 x a и f ( x) A . 2. Укажите все сходящиеся последовательности an . n sin 5n 2 2n 2 1. a n ; 2. a n (n 1) ; 3. an 1 ( 1) n ; n lg n 1 5. a n n ln 1 2 . n 4. a n 2 n ( 2) n ; 3n 3. Предел lim x x 2 3 x равен x 1. ; 2. 3 2 ; 3. 0; 5. . 4. 3 2 ; 3 4. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f ( x ) x в точке с абсциссой x 0 1 . 1. 6 ; 2. 3 ln 3 ; 3. 3 ; 4. 3 ; 5. 3 ln 3 . 5. Вычислите неопределенный интеграл x (1 x) 1 arctg 2 2 1. ln arctg x C ; 2. 2 arctg x C ; 3. 5. arctg x 1 arctg x C . x sin 2 3x равен x 1 cos 4 x 6. Предел lim 1. 0; 2. 3 4 ; 3. 9 8 ; 4. 9 4 ; 5. . - 20 - dx . x C ; 4. arctg 2 x C; 7. Укажите функцию, эластичность которой постоянна (a const, b const) . 1. ax b ; 2. ae bx ; 3. a ln(1 bx ) ; 4. 1 ; ax b 5. ax b . 8. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции f ( x) x 3 12 x 7 на отрезке 0,3 равна 1. 32; 2. 25; 3. 16; 4. 9; 5. 7. 2 9. Предел lim(cos 4 x ) ctg x равен x 0 1. e 8 ; 2. e 8 ; 4. e 4 ; 3. 1; 5. e 4 . 10. Неверными среди приведенных являются утверждения: 1. ln(1 3x ) O( x ) ( x ) ; 2. 10 x 1 o( 3 sin 4 x ) ( x 0) ; 3. (1 x ) 1 O( x ) ( x ; 0) ; 4. arctg x ~ x ( x 1) ; 3 3 ( x 0) . 5. x sin 2 ~ x x x ln x ( x 1)( x 2) 11. Функция f ( x ) 1 ( x 0) ( x 0), имеет: 1. одну точку разрыва первого рода и одну точку разрыва второго рода; 2. одну точку устранимого разрыва и одну точку разрыва второго рода; 3. одну точку разрыва первого рода и две точки разрыва второго рода; 4. две точки разрыва первого рода и одну точку разрыва второго рода; 5. две точки разрыва второго рода и одну точку устранимого разрыва. 12. Значение производной y x функции y y( x) , заданной неявно уравнением y ln( x y ) x 1 , в точке М (0;1) равно 1. 1 ; 2. 1 2 ; 3. 0 ; 4. 1 2 ; 5. 1 . 13. Предел lim x b a x равен нулю тогда и только тогда, когда x 1. a 0 ; 2. a 0 b 1 ; 3. a 0 b 0 ; 5. a 1 b 1 a 1 b 0 . - 21 - 4. a 1 a 1 b 0 ; 14. Укажите неверные утверждения. Если функция y f ( x ) непрерывна на отрезке a; b , то: 1. она дифференцируема в любой точке x a; b ; 2. функции m( x ) inf f ( ) и M ( x) sup f ( ) непрерывны на a; b ; a x a x 3. она интегрируема на a; b , причем b f ( x)dx F (b) F (a) , где F ( x) f ( x) для a x a; b ; 4. она неограничена на a; b ; b 5. имеет место соотношение f ( x)dx f ()(b a), где a; b . a 15. На кривой y x 3 найдите точку, касательная в которой параллельна хорде, соединяющей точки A ( 1;1) и B ( 2;8) . 1. Такой точки не существует; 2. ( 1;1) ; 3. ( 3;3 3 ) ; 4. (0;0) ; 5. (1;1) . 16. Площадь фигуры, ограниченной кривой y xe x 1. e ; 2. 2 ; 3. 1 ; 2 2 и ее асимптотой при x 0 , равна 5. среди приведенных нет верного ответа. 4. 1 2 ; 17. Укажите наиболее точное приближение к значению функции f ( x) e x x 1 x 2 в точке x0 107 . 1. x 2 ; 2. 1 4 x ; 8 3. 1 4 x ; 6 4. 1 3 x ; 3 5. 1 3 x . 6 18. Укажите все расходящиеся несобственные интегралы. 1 dx 1. 2 ; 2. ln xdx ; 3. x x 1 0 0 dx 3 (x 3) 2 ; dx 4. ; 2 2 x ln x 2 19. Функция f ( x) e x имеет: 1. одну точку экстремума и одну точку перегиба; 2. одну точку экстремума и две точки перегиба; 3. одну точку экстремума и не имеет точек перегиба; 4. две точки экстремума и одну точку перегиба; 5. две точки перегиба и не имеет точек экстремума. - 22 - 3 5. dx (x 2) 0 2 . 20. Предполагая, что спрос на некоторую продукцию зависит от цены p следующим образом: 100 D( p) 2, p укажите целое число, наиболее близкое к изменению дохода (в процентах) при увеличении цены на 4,5% от p0 25 . 1. 2 ; 2. 3 ; 3. 5 ; 21. Найдите A B, 4. 7 ; A B, 5. 8 . A C, B C , A B C, ( A B) C и изобразите эти множества на координатной прямой, если A 0;3; B (1;5); C 2;0 . 22. Изобразите схематически график функции y f ( x ) , если известно, что в интервале (a; b) y 0, y 0, y 0 . 23. Определите inf f ( x ) функции f ( x) x x на интервале (0;) . 24. Опишите все асимптоты графика функции xe1 x . 25. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями y 2 4 x 4 , y 0 и x 2 . 26. Для функции f ( x ) x 1 найдите первообразную, график которой проходит x x 1 2 через точку M 0; . 2 3 27. Найдите точки перегиба кривой x t 2 , y 3t t 3 . 28. Функция рыночного спроса на продукцию монополии Q от цены p имеет вид Q( p) 10 p 2 , а общие издержки задаются соотношением C(Q) 4Q . Рассчитайте монопольную цену, выпуск и прибыль. 29. Найдите значение налога, максимизирующее доход государства, если функция спроса и предложения имеют вид ( Q – количество единиц произведенного товара, p –цена на этот товар) D : p 8200 5Q 2 , S : p 700 20Q 2 . 30. Определите дисконтированный доход за 7 лет при процентной ставке 9%, если первоначальные (базовые) капиталовложения составили 21 млн. руб. и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 8 млн. руб. - 23 - Вариант №2 1. Укажите верное утверждение. Число a является пределом последовательности an , если: 1. 0, N n N : an a ; 2. в любой окрестности точки a содержится бесконечно много членов последовательности an ; 3. 0 N , n N : 0 an a ; 4. 0 N , n N : an a ; 5. существует окрестность точки a , в которой содержится бесконечно много членов последовательности an . 2. Укажите неверные утверждения. 1. Верхняя грань – одна из мажорант множества; 2. Верхняя грань – наименьшая из мажорант множества; 3. Ограниченное множество имеет нижнюю и верхнюю грани; 4. Ограниченное множество имеет мажоранту и миноранту; 5. Верхняя грань множества принадлежит этому множеству. 3. Предел lim x x 2 2 x равен x 1. 1 ; 2. 0 ; 3. 1 ; 5. . 4. 2 ; 4. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f ( x) 3 абсциссой x 0 1 . 1. 3 ; 2. 3 ln 3 ; 3. 3 1 ; 4. 3 ; 4. 2 ln( 1 x 2 ) arctg x C ; 2. 5. ( x arctg x) dx . 1 x2 1 arctg x 2 arctg 2 x C ; 2 1 ln( 1 x 2 ) arctg 2 x C . 2 1 cos 3x равен x sin 2 2 x 6. Предел lim 1. 3 2 ; 2. 9 8 ; 3. 0 ; 4. 9 8 ; в точке с 5. 3 ln 3 . 5. Вычислите неопределенный интеграл 1 1. arctg x arctg 2 x C ; 2 x 5. 9 2 . - 24 - 1 3. ln 1 x 2 arctg 2 x C 2 7. Эластичность функции y x ln x при x e равна 1. 1 ; 3. e ; 2. 2 ; 4. e 2 ; 5. 2e . 8. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции f ( x) 3x 5 5x 3 6 на отрезке 0;2 равна 1. 58 ; 2. 56 ; 3. 48 ; 4. 10 ; 5. 2 . 9. Предел lim (tg x) 2 cos x равен x 1. 0 ; 2. 1 ; 2 3. 2 ; 4. 3 ; 5. . 10. Верными среди приведенных являются утверждения: 1. x 4 ln x o(e x ) ( x ) ; 2. e x e x ~ 2 ln( 1 x) ( x 0) ; 3. sin 2 3x O( x 2 ) x ; 2 4. 1 arctg x 12 1 o(3 x ) ( x 0) ; 5. x 3 3x 2 5x ~ 5x ( x ) . 11. Функция x 3 x 1, f ( x) x 2 2 1 x 0 , имеет: e 1 / x x 0 1. одну точку разрыва первого рода и одну точку разрыва второго рода; 2. две точки разрыва первого рода; 3. две точки разрыва второго рода; 4. одну точку разрыва второго рода и одну точку устранимого разрыва; 5. две точки устранимого разрыва. 12. Значение производной y x функции y y( x) , заданной неявно уравнением x ln y arctg , в точке M ( e; e) равно 4 y 1 2 1. 1 ; 2. 1 ; 3. 1 ; 4. ; 5. не существует. 2 2 ln x 13. Вычислите первый дифференциал функции f ( x ) в точке с абсциссой x x 0 e 2 при d x e 5 . 1. 1 ; 2. 1 ; 3. e ; 4. e ; 5. e 1 . - 25 - 14. Укажите неверные утверждения. Если функция y f ( x ) имеет локальный максимум в точке x 0 , 1. то найдется такая окрестность X ( x 0 ) точки x 0 , что x X ( x 0 ) f ( x ) f ( x 0 ) ; 2. и существует lim f ( x ) , то lim f ( x ) f ( x 0 ) ; x x0 x x0 3. и дифференцируема в точке x 0 , то f ( x 0 ) 0 ; 4. то функция g ( x ) f ( x ) имеет локальный минимум в точке x 0 ; 5. то существует lim f ( x ) , причем lim f ( x ) f ( x 0 ) . x x0 x x0 15. Используя формулу конечных приращений для функции f ( x ) 12 cos x на отрезке 6 ; 4 , получите оценки сверху и снизу величины f f 4 f 6 : A f B . В ответе укажите промежуток A; B . 1 3 1. ; ; 2 2 3 1 ; 2. ; 2 2 1 1 3. ; ; 2 2 1 1 4. ; ; 2 2 5. 3;1 . 16. Значение площади фигуры, ограниченной линиями x y 2 4 y 5 и x y 5 , принадлежит промежутку: 1. 25;30 ; 2. 15;20 ; 3. 10;15 ; 4. 5;10 ; 5. 0;5 . 17. Укажите наиболее точное приближение к значению функции f ( x) sin 2 x ln( 1 x 2 ) в точке x0 106 . 1. 2x 2 ; 3. 2. 2x 2 ; 1 3 x ; 6 4. 5 4 x ; 6 5. 1 4 x . 6 18. Укажите все расходящиеся несобственные интегралы. 1. (2 x 3)dx x4 x 1 ; 2. 19. Функция f ( x) sin x 0 x 2 dx ; 3. 4 4 ln x 16 x 2 dx ; 4. (ln x) 2 ln( 1 e 2 ) имеет: x 1. ни одной точки экстремума и одну точку перегиба; 2. одну точку экстремума и ни одной точки перегиба; 3. одну точку экстремума и одну точку перегиба; 4. две точки экстремума и одну точку перегиба; 5. две точки экстремума и две точки перегиба. - 26 - e2x 0 x 3 4 dx ; 5. 1 ln x dx . x 0 20. Предполагая, что спрос на некоторую продукцию зависит от цены p следующим образом: 500 1 D( p ) , 4 p 2 укажите целое число, наиболее близкое к изменению дохода (в процентах) при увеличении цены на 4% от p0 16 . 1. 1 ; 2. 2 ; 3. 3 ; 4. 4 ; 5. 5 . 21. Найдите A B, A B, A C ,B C , A B C ,( A B) C и изобразите эти множества на координатной прямой, если A ;1 ; B 1; ; C (0;1) . 22. Изобразите схематически график функции y f ( x ) , если известно, что в интервале (a; b) y 0, y 0, y 0 . 3 23. Для последовательности a n ( 1) n 1 2 : n 1 определите n inf an , sup an , lim an и lim a n . n n 24. Опишите все асимптоты графика функции y x ex . x2 1 25. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной параболами y x 2 и y x . 26. Для функции f ( x) x3 найдите первообразную, график которой проходит x x2 2 2 через точку M (1; ln 2) . 3 27. Найдите точки перегиба кривой x 3t 2 , y 3t t 3 . 28. Функция рыночного спроса на продукцию монополии Q от цены p имеет вид Q( p) 17 p 4 , а общие издержки задаются соотношением C(Q) 4Q . Рассчитайте монопольную цену, выпуск и прибыль. 29. Найдите значение налога, максимизирующее доход государства, если функция спроса и предложения имеют вид ( Q – количество единиц произведенного товара, p – цена на этот товар) D : p 800 0,5Q, S : p 700 2Q . 30. Определите дисконтированный доход за 5 лет при процентной ставке 10%, если первоначальные (базовые) капиталовложения составили 17 млн. руб. и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 3 млн. руб - 27 - Вариант №3 1. Укажите верное утверждение. Функция y f ( x ) задана в окрестности точки a . Число A является пределом функции f ( x ) при x a , если: 1. 0: 0 x : 0 x a и f ( x) A ; 2. 0 0 x : 0 x a f ( x) A ; 3. 0 , 0 x : 0 x a f ( x) A ; 4. 0 , 0 x : 0 x a 5. 0 : 0 x : xa f ( x) A ; и f ( x) A . и 2. Укажите все сходящиеся последовательности an . 1. a n 2 n 2n 2 n 4. a n n lg 1 n ; n 1 2. a n ; 2 ; 3. a n n sin lg n / n 2 ; 5. a n 1 n 1/ n . 2 3. Предел lim 4 x 2 2 x 1 2 x равен x 1. ; 2. 1 / 2 ; 3. 0 ; 4. 1 / 2 ; 5. . 4. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f ( x) 16 5 x в точке с абсциссой x0 32 . 1. 5 ; 2. 5 2 ; 3. 1 5 ; 4. 1 ; 5. 1 5 . 5. Вычислите неопределенный интеграл e sin 2 1. e sin x C ; 6. Предел lim x1 1. 3 5 ; sin 2 5x 2. 9 50 ; x sin 2 xdx . 2 3. 2e sin x C ; 2. e sin 2 x C ; cos 3x 1 2 2 1 4. e cos x C ; 2 5. e cos 2 x C . равен 3. 9 50 ; 4. 2 ; 5. . 7. Укажите функцию, эластичность которой не является постоянной ( a const, b const) . 1. ax b ; 2. ax ; 3. a / x ; 4. ax 2 ; 5. a x . - 28 - 8. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции f ( x) 3x 4 16 x 3 2 на отрезке 3;1 равна 1. 931; 2. 688; 3. 675; 4. 666; 5. 423. 18 9. Предел lim (cos 2 x) tg 2 6 x x 0 1. e 6 ; 2. e 2 ; 3. 1 ; равен 4. e 1 ; 5. e 2 . 10. Верными среди приведенных являются утверждения: 1. n 2 7n 1 o(2 n ) (n ) ; 2. ln( 1 sin x) ~ x ( x ) ; 3. e x 1 x O( x 2 ) 4. arcsin( x 2 x) ~ x 5. (1 tg x )1 2 1 o(1) ( x 0) ; ( x 0) ; ( x 1) . xe1 x 2 1 x 11. Функция f ( x) 0 ( x 0), имеет: ( x 0) 1. две точки разрыва второго рода; 2. две точки разрыва первого рода и одну точку разрыва второго рода; 3. три точки разрыва второго рода; 4. одну точку разрыва первого рода и две точки разрыва второго рода; 5. три точки разрыва первого рода. 12. Значение производной y x функции y y( x) , заданной неявно уравнением x y e y arctg x 0 , в точке M (0;0) равно 1. 1 ; 2. 0 ; 3. 1 ; 4. 2 ; 5. не существует. 13. Предел lim xb a x равен тогда и только тогда, когда x 1. 2. 3. 4. 5. a 1 a 1 b 0 ; a 1 b 0; a 1 b 0 a 1 b 1; a 1 b 1; a 1. - 29 - 14. Укажите верные утверждения. Если функция y f ( x ) непрерывна на отрезке a; b , то: 1. график кривой y f (x) имеет касательную в любой точке x0 a; b ; 2. sup f ( x) max f ( x) , inf f ( x) min f ( x) ( x a; b) ; 3. существует по крайней мере одна точка c a; b такая, что f (c) 0 ; 4. она интегрируема на a; b и имеет место формула Ньютона-Лейбница; 5. lim f ( x) f ( x0 ) (x0 (a; b)), lim f ( x) f (a), lim f ( x) f (b) . x x0 xa 0 15. На кривой y x 3 xb0 найдите точку, касательная в которой параллельна хорде, соединяющей точки A (1;1) и B ( 2;8) . 1. Такой точки не существует; 2. ( 7 3; 7 7 27) ; 3. ( 3;3 3 ) ; 4. (0;0) ; 5. (1;1) . 16. Значение площади фигуры, ограниченной линиями y 2 2 x и y 2 3 x , принадлежит промежутку 1. 1;2 ; 2. 2 ; 3 ; 3. 3 ; 4 ; 4. 4 ; 5 ; 5. среди приведенных нет верного ответа. 17. Укажите наиболее точное приближение к значению функции x2 f ( x) ln( 1 x 2 ) 1. 2 x 2 ; 1 x2 1 2. x 2 ; 2 в точке x0 10 5 . 1 3. x 4 ; 2 4. x 4 ; 5. x 4 . 18. Укажите все сходящиеся несобственные интегралы. 3 1. ln( 2 x 3)dx ; 2 arctg x 2. 0 x2 ln x 1 dx dx ; 5. e x sin xdx . ; 4. dx ; 3. x 2 x 0 e cos x 19. Функция f ( x) x 2 e x имеет: 1. одну точку экстремума и одну точку перегиба; 2. одну точку экстремума и две точки перегиба; 3. одну точку экстремума и не имеет точек перегиба; 4. две точки экстремума и одну точку перегиба; 5. две точки перегиба и две точки экстремума. - 30 - 20. Предполагая, что спрос на некоторую продукцию зависит от цены p следующим образом: 1000 1 D( p ) , 5 p 2 укажите целое число, наиболее близкое к изменению дохода (в процентах) при увеличении цены на 10% от p0 32 . 1. 6 ; 2. 7 ; 3. 8 ; 4. 9 ; 5. 10 . 21. Найдите A B, A B, A C, B C, A B C, ( A B) C и изобразите эти множества на координатной прямой, если A 0;2; B (1;4) ; C 1;0 . 22. Изобразите схематически график функции y f ( x ) , если известно, что в интервале (a; b) y 0, y 0, y 0 . 23. Определите sup f ( x) функции f ( x) x x на интервале (0;2) . 24. Опишите все асимптоты графика функции y 2 x arctg x . 25. Найдите объем тела, образованного вращением кривой y xe x 2 вокруг ее асимптоты при x 0 . 26. Для функции f ( x) x 2 x 4x 5 найдите первообразную, график которой проходит через точку M (1;1) . 27. Найдите точки перегиба кривой x 2t 2 , y t 5 240t . 28. Функция рыночного спроса на продукцию монополии Q от цены p имеет вид Q( p) 15 p 3 , а общие издержки задаются соотношением C (Q) 3Q . Рассчитайте монопольную цену, выпуск и прибыль. 29. Найдите значение налога, максимизирующее доход государства, если функция спроса и предложения имеют вид ( Q – количество единиц произведенного товара, p – цена на этот товар) D : p 250 2Q 2 , S : p 70 3Q . 30. Определите дисконтированный доход за 3 года при процентной ставке 12%, если первоначальные (базовые) капиталовложения составили 19 млн. руб. и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 5 млн. руб. - 31 - Вариант №4 1. Укажите верные утверждения. 1. Ограниченная последовательность сходится; 2. Неограниченная последовательность является бесконечно большой; 3. Сходящаяся последовательность ограничена; 4. Сумма бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью; 5. Если две последовательности имеют по одной предельной точке, то их сумма имеет две предельные точки. 2. Укажите функции f (x) , имеющие конечный предел при x 0 . 1 1. f x x sin ; x ln 1 x ln 1 x 2. f x ; arctg x 2 / 3 3. f x 1 x 1/ x 4. f x ; 1 sin x 3 / 2 2 ; x e 1 5. f x . 1 cos 2 x x 3. Предел lim n 1. 1 ; 2. 1 2 ; n n 5 n 4 равен 3. 1 3 ; 4. 0 ; 5. . 4. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции y ln x 1 в точке с абсциссой x0 2 . 1. 1 ; 2. 1 3 ; 3. 1 3 ; 4. 1 ; 5. угловой коэффициент неопределен. 5. Вычислите неопределенный интеграл 1. 4. 3 4 ln x 2 / 3 C ; 2 3 3 4 ln x 4 C ; 4 5. 3 4 ln x dx . x 2. 3 4 ln x 4 C ; ln x 3 4 ln x C. - 32 - 3. 4 3 4 ln x 4 C ; 3 6. Предел lim 1 cos 2x x 1 1. 2 3 ; sin 2 3x 2. 2 9 ; равен 3. 0 ; 4. 2 3 ; 5. 2 9 . 7. Эластичность функции y x arctg x 1. 2 ; 2. 1 ; 4. ; 3. 1/2; 2 / при x 1 равна 5. 1 / . 8. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции f ( x) x 4 4 x на отрезке 2;2 равна 1. 32; 2. 27; 3. 21; 9. Предел lim e x x x 1. e 2 ; 2. e 1 ; 4. 16; 1/ x 3. 1 ; 5. 11. равен 4. e ; 5. e 2 . 10. Неверными среди приведенных являются утверждения: 1. x 2 x ln 100 x ~ x 2 ( x ) ; 1 2. arctg o1 ( x 0) ; x 3. x 3 3x 2 ~ 3( x 1) 2 4. x 1 ; 1 1 3 sin O ( x ) ; x x x2 5. e x e 2 o x 2 ( x 2) . cos x ( x 0), 11. Функция f ( x ) x 2 1 0 x 1, 51 / 1 x ( x 1) имеет: 1. одну точку устранимого разрыва 2. одну точку разрыва первого рода; 3. одну точку разрыва второго рода; 4. одну точку устранимого разрыва и одну точку разрыва второго рода; 5. одну точку устранимого разрыва и одну точку разрыва первого рода. 12. Значение производной y x функции y y( x) , заданной неявно уравнением y sin x cosx y , в точке M ;0 равно 2 1. 1 ; 2. 1 2 ; 3. 0 ; 4. 1 2 ; 5. 1 . - 33 - 13. Вычислите первый дифференциал функции f ( x) x в точке с абсциссой 2 ln x x0 e 1 при d x e 1 . 1. 1 ; 2. 1 ; 3. e ; 4. e 1 ; 5. e 1 . 14. Укажите неверные утверждения. Если функция y f ( x ) имеет локальный минимум в точке x 0 , 1. то функция g ( x) f ( x) имеет локальный максимум в точке x0 ; 2. и дифференцируема в точке x0 , то f x0 0 ; 3. то найдется такая окрестность точки x0 , в которой f ( x) f x0 0 ; 4. то существует lim f x , причем lim f x f x0 ; x x0 x x0 5. и существует lim f ( x ) , то lim f ( x) f ( x0 ) . x x0 x x0 12 sin x на отрезке 4 ; 3 , получите оценки сверху и снизу величины f f 4 f 3 : A f B . В ответе укажите промежуток A; B . 15. Используя формулу конечных приращений для функции f ( x) 1 1 1. ; ; 2 2 3 1 3. ; ; 2 2 1 1 2. ; ; 2 2 1 3 4. ; ; 2 2 5. 1; 3 . 16. Значение площади фигуры, ограниченной линиями x 2 4 y и y 8 x2 4 , принадлежит промежутку 1. 0;1 ; 2. 1;2 ; 3. 2;3; 4. 3;4; 5. 4;5 . 17. Укажите наиболее точное приближение к значению функции f ( x) e x 1 2 1 x2 в точке x0 104 . 1. 2x 2 ; 2. 2x 2 ; 3. 3 4 x ; 2 3 4. x 4 ; 4 1 5. x 4 . 2 18. Укажите все сходящиеся несобственные интегралы. 1 arctg x dx ; x xe 1. sin x 2. 0 x dx ; 3. cos x 7/5 0 / 2 x - 34 - dx ; dx ; 3 x ln x 4. 5. 2 ex x2 4 dx . 19. Функция y arctg x ln 1 x 2 имеет: 1. одну точку экстремума и ни одной точки перегиба; 2. одну точку экстремума и одну точку перегиба; 3. одну точку экстремума и две точки перегиба; 4. две точки экстремума и ни одной точки перегиба; 5. две точки экстремума и две точки перегиба. 20. Предполагая, что спрос на некоторую продукцию зависит от цены p следующим образом: 750 1 D( p ) , 3 p 3 укажите целое число, наиболее близкое к изменению дохода (в процентах) при увеличении цены на 3% от p0 27 . 1. 1 ; 2. 2 ; 3. 3 ; 4. 4 ; 5. 5 . 21. Найдите A B, A B, A C ,B C , A B C ,( A B) C и изобразите эти множества на координатной прямой, если A 3;1; B 2;; C (;2) . 22. Изобразите схематически график функции y f ( x ) , если известно, что в интервале (a; b) y 0, y 0, y 0 . 1n 1 1n 23. Для последовательности a n : n 1 определите n 2 inf a n , sup a n , lim a n и lim a n . n n 24. Опишите все асимптоты графика функции y 3x 2e x x2 4 . 25. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, 3 ограниченной линиями x 2 y 2 1 , y 2 x , y 0 . 2 26. Для функции f ( x) через точку M (1; ln 2) . x4 x 2 5x 6 найдите первообразную, график которой проходит 27. Найдите точки перегиба кривой x 5t , y t 4 10t 3 36t 2 . 28. Функция рыночного спроса на продукцию монополии Q от цены p имеет вид Q( p) 13 p / 5 , а общие издержки задаются соотношением C (Q ) 5Q . Рассчитайте монопольную цену, выпуск и прибыль. - 35 - 29. Найдите значение налога, максимизирующее доход государства, если функции спроса и предложения имеют вид ( Q – количество единиц произведенного товара, p – цена на этот товар) D : p 3Q 124, S : p 2Q 14 . 30. Определите дисконтированный доход за 4 года при процентной ставке 13%, если первоначальные (базовые) капиталовложения составили 23 млн. руб. и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 6 млн. руб. § 1.4. Интегральное исчисление. Ряды (специальность «Менеджмент») Вариант №1 sin x e sin 2 xdx . 2 1. Вычислите неопределенный интеграл A) e sin x C ; B) e sin 2 x C ; C) e cos x C ; D) e cos 2 x C ; E) Другой ответ. 2 2 /2 xe 2. Вычислите определенный интеграл x2 sin x 2 dx . /2 A) 0,5e 2 /4 ; B) 0,5e 2 /4 C) 0,5e ; 2 /4 3. Вычислите определенный интеграл 0 A) ; B) ; C) 2 ; ; D) 0; E) Другой ответ. 1 sin 2 x dx . cos x D) 0; E) Другой ответ. 4. Площадь фигуры, ограниченной кривыми y 3x 2 1, A) 11,5; B) 12,5; C) 13,5; D) 14,5; y 3x 7 равна E) другой ответ. 5. Объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной кривыми y e x , y 0 , x 0 , x 1 , вокруг оси Ox равен A) e 2 1; B) 0,5 e 2 1 ; D) 0,5 1 e 2 ; C) e 2 1 ; E) другой ответ. 6. Укажите несобственный интеграл, который сходится при 1. A) 1 1 x dx ; B) dx ; C) x 1 1 1 2 x dx ; D) x dx ; E) - 36 - dx x 2 . 7. Укажите неверное утверждение. Если ряд a n 1 n , где a n 0 n , сходится, то: N A) последовательность S N a n сходится; n 1 N B) последовательность S N a n является бесконечно малой; n 1 C) последовательность rk a n k 1 является бесконечно малой; n D) lim a n 0 ; n E) ряд a n k n сходится для k 1 . 8. Сумма ряда n 1 A) 1; 1 2 B) 2/3; n равна C) 3/2; D) 3/4; E) 1/2. 9. Укажите сходящийся ряд. n2 n2 1 A) 1 ; B) n n 1 n 1 1 2 ; n n 1 n 1 C) 1 ; D) n n 1 n 1 1 2 ; n n 1 1 E) 1 . n n 1 10. Укажите ряд, который сходится только при p 1 . A) 1 ; p n 1 n B) 2n ; C) p n 1 n 1 ; n p n 1 2 n D) np ; n 1 E) np . n n 1 2 11. Укажите все значения параметра p , при которых ряд 1 n n p сходится. n 1 A) p 1 ; B) 1 p 0 ; C) p 0 ; D) p 0 ; E) 0 p 1 . 2n 1 x 1n с учетом граничных точек 2 2 3n 12. Область сходимости степенного ряда n 1 имеет вид A) 0 x 2 ; B) 0 x 2 ; C) 0 x 2 ; D) 0 x 2 ; - 37 - E) 0 x 1 . 13. Используя ряд Маклорена для f x , вычислите 1 f x dx с точностью до 0,001, 0 sin x если f x . x A) 0,946; B) 0,945; C) 0,944; D) 0,943; E) 0,942. 14. Укажите число членов ряда Фурье для функции f x sin x / 4. A) 1; B) 2; C) 3; D) 4; E) . 15. Вычислите 5-й коэффициент ряда Фурье по косинусам для функции f x x на x . A) 0,4; B) 0,4 ; C) 0,08 / ; D) 0,08 / ; E) Другой ответ. 16. Вычислите неопределенный интеграл x sin x cos xdx . 17. Вычислите неопределенный интеграл x 2 x 1 dx . x 1 18. Найдите среднее время, затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от 100 до 121 изделий, если функция изменения затрат времени на изготовление изделий t x 210 x 0,5 , где 210 мин. – затраты времени на первое изделие, 0,5 – показатель производственного процесса. 19. Определите дисконтированный доход за 5 лет при процентной ставке 5%, если первоначальные (базовые) капиталовложения составили 5 млн. руб. и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 5 млн. руб. 20. Вычислите x y dxdy , где G – треугольник с вершинами (1;1), (1;4), (4;4). G Вариант №2 dx cos x3tgx 1 . 1. Вычислите неопределенный интеграл A) ln 3 tg x 1 C ; B) 2 1 1 ln 3 tg x 1 C ; C) 3 ln 3 tg x 1 C ; D) ln 3 tg x 1 C ; 3 3 E) Другой ответ. 2. Вычислите определенный интеграл xe x2 cos x 2 dx . A) 0,5e ; 2 B) 0,5e ; 2 C) 0; D) 0,5e ; 2 E) Другой ответ. - 38 - /2 1 cos 2 x dx . sin x 3. Вычислите определенный интеграл / 2 A) ; B) ; C) / 2 ; D) 0; E) Другой ответ. 4. Площадь фигуры, ограниченной кривыми y 4 x 2 , A) 9 ; B) 9; D) 8 ; C) 8; y x 2 2 x , равна E) другой ответ. 5. Объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной кривыми y x 3 , y 1 , x 0 , вокруг оси Oy равен A) / 2 ; B) / 3 ; D) / 7 ; C) / 5 ; E) другой ответ. 6. Укажите несобственный интеграл, который сходится при 1. 1 A) x 1 dx ; B) 0 0 dx ; C) x 1 x 2 1 dx ; D) 0 x 1 dx ; E) 0 a n 1 A) последовательность rk B) ряд a n k n 2 . 0 7. Укажите неверное утверждение. Если ряд dx x n , где a n 0 n , сходится, то: a n k 1 n является бесконечно малой; сходится для k 1 ; N C) последовательность S N a n является бесконечно малой; n 1 D) lim a n 0 ; n N E) последовательность S N a n ограничена. n 1 8. Сумма ряда A) 1; 1n n 0 2n B) 2/3; C) 3/2; равна D) 3/4; E) 1/2. 9. Укажите сходящийся ряд. n 1 A) 1 2 ; n n 1 n2 1 B) 1 ; C) n n 1 n 1 1 ; D) n n 1 - 39 - n2 1 1 ; E) n n 1 n 1 1 . n n 1 10. Укажите ряд, который сходится только при p 1 . A) 1 ; p n 1 n B) 2n ; C) p n 1 n 1 ; n p n 1 2 n D) np ; E) n 1 np . n n 1 2 11. Укажите все значения параметра p , при которых ряд 1 n n p сходится условно. n 1 A) p 1 ; B) 1 p 0 ; C) p 0 ; D) p 0 ; E) 0 p 1 . 2n 1 n 12. Область сходимости степенного ряда x 2 сучетом граничных 3 n 2 n 1 точек имеет вид n A) 3,5 x 0,5 ; E) 1,5 x 1,5 . B) 3,5 x 0,5 ; C) 3,5 x 0,5 ; 13. Используя ряд Маклорена для f x , вычислите D) 3,5 x 0,5 ; 1 f x dx с точностью до 0,01, если 0 f x e . x2 A) 1,42; B) 1,43; C) 1,44; D) 1,45; E) 1,46. 14. Укажите число членов ряда Фурье для функции f x cos 2 7 x . A) 1; B) 2; C) 3; D) 4; E) . 15. Вычислите 5-й коэффициент ряда Фурье по синусам для функции f x x на x . A) 0,4; B) 0,4 ; C) 0,08 / ; D) 0,08 / ; E) Другой ответ. 16. Вычислите неопределенный интеграл x 2 ln xdx . 17. Вычислите неопределенный интеграл x 1 dx . x 3x 3 2 18. Найдите среднее время, затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от 81 до 10 изделий, если функция изменения затрат времени на изготовление изделий t x 190 x 0,5 , где 190 мин. – затраты времени на первое изделие, 0,5 – показатель производственного процесса. 19. Определите дисконтированный доход за 7 лет при процентной ставке 7%, если первоначальные (базовые) капиталовложения составили 7 млн. руб. и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 7 млн. руб. 20. Вычислите x y dxdy , где G – область, ограниченная кривыми 2 G - 40 - y x, y x 2 . Вариант №3 1. Вычислите неопределенный интеграл A) ln 4 sin 3x C ; cos 3 x 4 sin 3x dx . B) 3 ln 4 sin 3x C ; C) 1 ln 4 sin 3x C ; 3 D) 4 ln 4 sin 3x C ; E) Другой ответ. 2. Вычислите определенный интеграл x 2 xe sin x dx . 2 A) 0,5e ; 2 C) 0,5e ; D) 0,5e ; 2 B) 0; 2 3. Вычислите определенный интеграл 0 A) ; B) ; C) 0; E) Другой ответ. cos x 1 sin 2 x dx . D) 2 ; E) Другой ответ. 4. Площадь фигуры, ограниченной кривыми y x , A) 7/6; B) 6/7; C) 6,7; D) 7,6; y 2 x, y 0 , равна E) другой ответ. 5. Объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной кривыми y x 3 , y 1 , x 0 , вокруг оси Ox равен A) / 2 ; B) / 3 ; D) / 7 ; C) / 5 ; E) другой ответ. 6. Укажите несобственный интеграл, который сходится при 1. A) x dx ; B) 1 1 dx ; C) x x 2 dx ; 1 D) x dx ; E) 1 2 . 1 7. Укажите неверное утверждение. Если ряд dx x a n 1 n , где a n 0 n , сходится, то N A) последовательность S N a n сходится; n 1 N B) последовательность S N a n ограничена; C) последовательность rk n 1 a n k 1 n является бесконечно малой; N D) последовательность S N a n является бесконечно малой; n 1 E) lim a n 0 . n - 41 - 8. Сумма ряда 1 3 n 0 A) 1; B) 2/3; n равна C) 3/2; D) 3/4; E) 1/2. 9. Укажите сходящийся ряд. n n2 1 B) 1 ; C) n n 1 1 A) 1 ; n n 1 n2 1 1 ; D) n n 1 n 1 1 2 ; E) n n 1 n 1 1 2 . n n 1 10. Укажите ряд, который сходится при любых p . A) 1 ; p n 1 n B) 2n ; C) p n 1 n 1 ; n p n 1 2 n D) np ; E) n 1 np . n n 1 2 11. Укажите все значения параметра p , при которых ряд 1 n n p сходится n 1 абсолютно. A) p 1 ; B) 1 p 0 ; C) p 0 ; D) p 0 ; E) 0 p 1 . 1 x 1 12. Область сходимости степенного ряда 3 сучетом граничных точек n 3 n 1 имеет вид n A) 2 x 4 ; B) 2 x 4 ; C) 2 x 4 ; D) 2 x 4 ; 13. Используя ряд Маклорена для f x , вычислите B) 0,74; 1 f x dx с точностью до 0,01, если 0 f x cos x . A) 0,73; E) 3 x 3 . C) 0,75; D) 0,76; E) 0,77. 14. Укажите число членов ряда Фурье для функции f x cos 2 x sin 3x . A) 1; B) 2; C) 3; D) 4; E) 15. Вычислите 5-й коэффициент ряда Фурье по косинусам для функции f x x на / 2 x / 2. A) 0,4; B) 0,4 ; C) 0,08 / ; D) 0,08 / ; 16. Вычислите неопределенный интеграл E) Другой ответ. x ln 1 x dx . 2 - 42 - 17. Вычислите неопределенный интеграл x 2 x3 dx . 2x 4 18. Найдите среднее время, затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от 121 до 144 изделий, если функция изменения затрат времени на изготовление изделий t x 230 x 0,5 , где 230 мин. – затраты времени на первое изделие, 0,5 – показатель производственного процесса. 19. Определите дисконтированный доход за 9 лет при процентной ставке 9%, если первоначальные (базовые) капиталовложения составили 9 млн. руб. и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 9 млн. руб. x dxdy , где G – область, ограниченная кривыми 20. Вычислите y 3x 2 , y 6 3x . G Вариант №4 1. Вычислите неопределенный интеграл arctg x dx . x 1 x 2 1 x arctg x C ; B) ln x 1 C ; C) 1 x 1 x 1 D) arctg 2 x C ; E) Другой ответ. 2 x arctg x C ; A) /2 2. Вычислите определенный интеграл x 2 xe cos x dx . 2 / 2 A) 0; B) 0,5e 2 /4 ; C) 0,5e 2 /4 ; D) 0,5e /2 3. Вычислите определенный интеграл /2 A) ; B) 0; C) ; 2 /4 ; E) Другой ответ. sin x 1 cos2 x dx . D) / 2 ; E) Другой ответ. 4. Площадь фигуры, ограниченной кривыми y x 2 2 x 3, A) 2/9 B) 9/2; C) 2,9; D) 9,2; y 3x 1 , равна E) другой ответ. 5. Объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной кривыми y 4 x 2 , y 0 , x 0 , x 0 , вокруг оси Oy равен A) 4 ; B) 3 ; C) 2 ; D) ; E) другой ответ. - 43 - 6. Укажите несобственный интеграл, который сходится при 1. 1 A) x 1 dx ; B) 0 0 dx ; C) x 1 x 2 1 x dx ; D) 0 1 dx ; E) 0 a n 1 a n k 1 n 2 . 0 7. Укажите неверное утверждение. Если ряд A) последовательность rk dx x n , где a n 0 n , сходится, то: является бесконечно малой; B) lim a n 0 ; n N C) последовательность S N a n ограничена; n 1 N D) последовательность S N a n сходится; n 1 N E) последовательность S N a n является бесконечно малой. n 1 8. Сумма ряда A) 1; B) 2/3; 1n n 0 3n C) 3/2; равна D) 3/4; E) 1/2. 9. Укажите сходящийся ряд. n 1 A) 1 ; B) n n 1 n2 1 1 ; C) n n 1 n 1 1 2 ; D) n n 1 n 1 1 2 ; n n 1 E) n 1 1 . n n 1 10. Укажите ряд, который сходится при любых p . A) 1 ; p n 1 n B) 2n ; C) p n 1 n 1 ; n p n 1 2 n D) np ; E) n 1 np . n n 1 2 11. Укажите все значения параметра p , при которых ряд 1 n n p расходится. n 1 A) p 1 ; B) 1 p 0 ; C) p 0 ; D) 0 p 1 ; x 1n n 1 n n 12. Область сходимости степенного ряда E) p 0 . с учетом граничных точек имеет вид A) 0 x 2 ; B) 0 x 2 ; C) 0 x 2 ; D) 0 x 2 ; - 44 - E) 1 x 1. 13. Используя ряд Маклорена для f x , вычислите 1 f x dx с точностью до 0,01, если 0 f x e A) 0,73; x2 . B) 0,74; C) 0,75; D) 0,76; E) 0,77. 14. Укажите число членов ряда Фурье для функции f x sin 3x sin 4 x . A) 1; B) 2; C) 3; D) 4; E) . 15. Вычислите 5-й коэффициент ряда Фурье по синусам для функции f x x на / 2 x / 2. A) 0,8; B) 0,8 ; C) 0,16 / ; D) 0,16 / ; 16. Вычислите неопределенный интеграл x e 17. Вычислите неопределенный интеграл x 3 2 E) Другой ответ. x2 dx . 4x 3 dx . 2x 6 18. Найдите среднее время, затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от 144 до 169 изделий, если функция изменения затрат времени на изготовление изделий t x 250 x 0,5 , где 250 мин. – затраты времени на первое изделие, 0,5 – показатель производственного процесса. 19. Определите дисконтированный доход за 11 лет при процентной ставке 11%, если первоначальные (базовые) капиталовложения составили 11 млн. руб. и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 11 млн. руб. 20. Вычислите x 2 y 2 dxdy , где G x, y : 1 x 1, x G - 45 - 2 y 1 . Глава 2. И т о г о в ы е т е с т ы Часть III § 2.1. Алгебра, анализ, основы обыкновенных дифференциальных уравнений (специальность «Менеджмент») Вариант №1 1. Матрица X , удовлетворяющая уравнению 7 10 1 2 X , равна 2 3 1 3 5 7 A) ; 17 24 7 24 B) ; 17 5 7 17 C) ; 24 5 7 5 D) ; 24 17 24 7 E) . 17 5 2. Координаты вектора d 6;6;1 в базисе из векторов a 2;0;1 , b 2;3;0 , c 1;4;1 равны A) (1;2;0); B) (0;1;2); C) (2;1;0); D) (2;0;1) ; E) (1;0;2). 6 x 9 18 равен x 0 arctg x 3. Предел lim A) 0; B) 1; C) 2; D) 3; E) 4. 4. Производная функции f ( x ) arcsin A) 2 ; B) 1 ; C) 0; D) 1; x 1 x2 при x 0 равна E) 2. 5. Укажите функцию, эластичность которой постоянна. A) Ax B ; C) Aln 1 Bx ; B) Ae Bx ; D) 1/ Ax B ; 6. Функция f ( x) e x имеет: 2 A) одну точку экстремума и одну точку перегиба; B) одну точку экстремума и две точки перегиба; C) одну точку экстремума и три точки перегиба; D) две точки экстремума и две точки перегиба; E) две точки экстремума и три точки перегиба. - 46 - E) Ax B . 7. Наибольшее значение функции u x 2 xy в области 1 x 1, 0 y 3 равно A) 0; B) 1; C) 2; D) 3; E) 4. x 12 y 2 z 2 8. Производная функции u Ox равна A) 2 ; B) 1 ; C) 0; D) 1; в точке O0;0;0 по направлению оси E) 2. 9. Найдите неопределенный интеграл e sin x sin 2 xdx . 2 A) e sin x C ; 2 B) e sin 2 x C ; C) e cos x C ; 2 D) e cos 2 x C ; 10. Площадь фигуры, ограниченной кривыми y 3x 2 1, A) 11,5; B) 12,5; C) 13,5; E) Другой ответ. y 3x 7 , равна E) другой ответ. D) 14,5; 11. Область сходимости степенного ряда 2n 1 x 1n с учетом граничных точек 2 2 3n n 1 имеет вид: A) 0 x 2 ; B) 0 x 2 ; C) 0 x 2 ; D) 0 x 2 ; E) 0 x 1 . 12. Решением задачи Коши 2 xyy y 2 , y1 1 является функция A) y x ; B) y 1 ; x C) y x x ; D) y 1 x x ; E) y 0,5 x x . 13. Решением задачи Коши 2 xy y 2 x x, y1 0 является функция A) y x 1 x ; B) y x 1 ; x C) y x x 1 ; D) y 1 x ; x E) y x 1 . x 14. Решением задачи Коши 2 xy y y , y1 0 , y (1) 1 является функция 2 E) y 2x x / 3 . A) y 2 1 x x / 3 ; B) y 3 1 x x / 2 ; C) y 2 x x 1 / 3 ; D) y 3 x x 1 / 2 ; 15. Общим интегралом дифференциального уравнения x y dx x y dy 0 является A) x 2 y 2 2 xy C ; B) x 2 y 2 2 xy C ; C) x 2 y 2 2 xy C ; D) x 2 y 2 2 xy C ; E) x 2 y 2 x y C . - 47 - 16. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, 7 0 0 заданного матрицей A 0 3 2 . 0 2 3 17. Исследуйте на условный экстремум: u 2 x 16 y , xy y 2 7 0 . 18. Найдите выручку потребителей и поставщиков товара, законы спроса и предложения на который имеют следующий вид: p 89 x 2 , 10 x 7 p 210 0. 19. Найдите общее решение дифференциального уравнения y 6 y 9 y e 3 x . 20. Найдите общее решение дифференциального уравнения y y 4 sin x . Вариант №2 1. Матрица X , удовлетворяющая уравнению 3 10 2 3 X , равна 2 7 1 1 8 11 A) ; 5 7 11 8 B) ; 7 5 8 11 C) ; 5 7 5 7 D) ; 8 11 7 11 E) . 8 5 2. Координаты вектора d 9;5;13 в базисе из векторов a 3;1;3 , b 1;2;4 , c 0;1;2 равны A) (3; 2 ;0); B) (3;0; 2 ); C) ( 2 ;0;3); D) ( 2 ;3;0) ; E) (0;3; 2 ). 4 5 x 8 равен x 1 sin x 3. Предел lim A) 0; B) 1; C) 2; D) 3; E) 4. 4. Производная функции f ( x ) x x при x e равна A) 2e e ; B) e ; C) e e ; D) 2 e 2 e ; E) e 2 e . 5. Укажите функцию, эластичность которой не является постоянной. A) Ax B ; B) Ax ; C) A/ x ; D) Ax 2 ; E) A x . - 48 - 6. Функция f ( x ) xe x имеет: A) одну точку экстремума и одну точку перегиба; B) одну точку экстремума и две точки перегиба; C) одну точку экстремума и три точки перегиба; D) две точки экстремума и две точки перегиба; E) две точки экстремума и три точки перегиба. 7. Наименьшее значение функции u x 2 xy в области 1 x 1, 0 y 3 равно A) 0; B) 1 ; D) 3 ; C) 2 ; E) 4 . 8. Производная функции u x 2 y 2 z 1 в точке O0;0;0 по направлению оси Oy равна 2 A) 2 ; B) 1 ; C) 0; D) 1; E) 2. 9. Найдите неопределенный интеграл A) ln 3 tg x 1 C ; B) dx cos x3 tg x 1 . 1 ln 3 tg x 1 C ; 3 2 C) 3ln 3 tg x 1 C ; 1 D) ln 3 tg x 1 C ; 3 E) Другой ответ. 10. Объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной кривыми y e x , y 0, x 0, x 1 , вокруг оси Ox равен A) e 2 1 ; B) 0,5 e 2 1 ; C) e 2 1 ; D) 0,5 1 e 2 ; E) другой ответ. 2n 1 n 11. Область сходимости степенного ряда x 2 с учетом граничных n 1 3n 2 точек имеет вид: n A) 3,5 x 0,5 ; E) 1,5 x 1,5 . B) 3,5 x 0,5 ; C) 3,5 x 0,5 ; D) 3,5 x 0,5 ; 12. Решением задачи Коши 2 xyy y 2 0 , y1 1 является функция A) y x ; B) y 1 ; x C) y x x ; D) y - 49 - 1 x x ; E) y 0,5 x x . 13. Решением задачи Коши 2 xy y 2 y 2 x x, y1 1 является функция B) y A) y x x ; x ; x D) y C) y x ; 1 x x ; x . x E) y 14. Решением задачи Коши 2 xy y y 0 , y1 0 , y (1) 1 является функция 2 A) y 2 1 x ; B) y 2 x 1 ; C) y x 1 / 2 ; D) y x 1 / 2 ; E) y x 1 15. Общим интегралом дифференциального уравнения x y dy x y dx 0 является A) x 2 y 2 2 xy C ; B) x 2 y 2 2 xy C ; C) x 2 y 2 2 xy C ; D) x 2 y 2 2 xy C ; E) x 2 y 2 x y C . 16. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, 4 0 1 заданного матрицей A 0 5 0 . 1 0 4 17. Исследуйте на условный экстремум: u 3x 6 y , y 2 xy 1 0 . 18. Найдите выручку потребителей и поставщиков товара, законы спроса и предложения на который имеют следующий вид: 5 p 2 x 50, 5 p 6 x 10. 19. Найдите общее решение дифференциального уравнения y 14 y 49 y e 7 x . 20. Найдите общее решение дифференциального уравнения y y 4 cos x . Вариант №3 1. Матрица X , удовлетворяющая уравнению 3 2 3 1 X , равна 10 7 1 2 11 3 A) ; 13 4 11 13 B) ; 3 4 11 3 C) ; 13 4 - 50 - 11 4 D) ; 3 13 3 11 E) . 4 13 2. Координаты вектора d 2;0;1 в базисе из векторов a 6;6;1 , b 1;4;1 , c 2;3;0 равны A) (1; 2 ;0); B) (0;1; 2 ); C) ( 2 ;1;0); D) ( 2 ;0;1) ; E) (1;0; 2 ). x2 1 3. Предел lim 2 x x 2 A) 2 ; B) 1 ; 2x равен C) 0,5; D) 2; E) 1. 4. Производная функции f ( x ) 2 arctg A) 2 ; B) 1 ; C) 0; D) 1; x 1 1 x2 при x 0 равна E) 2. 5. Укажите функцию, эластичность которой постоянна и равна 2. A) 2 x 2 ; C) 2 ln 1 2 x ; B) 2e 2 x ; D) 1/ 2 x 2 ; E) 2x 2 . 6. Функция f ( x) e x имеет: 2 A) одну точку экстремума и одну точку перегиба; B) одну точку экстремума и две точки перегиба; C) одну точку экстремума и три точки перегиба; D) две точки экстремума и две точки перегиба; E) две точки экстремума и три точки перегиба. 7. Наибольшее значение функции u x 2 y 2 xy x y в области x y 3, x 0, y 0 равно A) 7; B) 6; C) 5; D) 4; E) 3. 8. Производная функции u x 2 y 2 z 1 в точке O0;0;0 по направлению оси Oz равна 2 A) 2 ; B) 1 ; C) 0; D) 1; E) 2. 9. Найдите неопределенный интеграл A) ln 4 sin 3x C ; D) 4 ln 4 sin 3x C ; cos 3x 4 sin 3x dx . B) 3ln 4 sin 3x C ; C) 1 ln 4 sin 3x C ; 3 E) Другой ответ. 10. Площадь фигуры, ограниченной кривыми y 4 x 2 , A) 9 ; B) 9; C) 8; D) 8 ; E) другой ответ. - 51 - y x 2 2 x, равна 1 x 1 11. Область сходимости степенного ряда 3 с учетом граничных точек n 3 n 1 имеет вид: n A) 2 x 4 ; B) 2 x 4 ; C) 2 x 4 ; D) 2 x 4 ; E) 3 x 3 . 12. Решением задачи Коши 2 xy y 0 , y1 1 является функция A) y x ; B) y 1 ; x C) y x x ; D) y 1 x x ; E) y 0,5 x x . 13. Решением задачи Коши 2 xy y 2 y 2 x, y1 1 является функция A) y x ; B) y x ; x 1 ; x C) y D) y 1 x x E) y ; x . x 14. Решением задачи Коши 2 xy y 0 , y1 0 , y (1) 1 является функция E) y 2x x / 3 . A) y 2 1 x x / 3 ; B) y 3 1 x x / 2 ; C) y 3 x x 1 / 2 ; D) y 2 x x 1 / 3 ; 15. Общим интегралом дифференциального уравнения x y dx x y dy 0 является A) x 2 y 2 2 xy C ; B) x 2 y 2 2 xy C ; C) x 2 y 2 2 xy C ; D) x 2 y 2 2 xy C ; E) x 2 y 2 x y C . 16. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, 1 0 1 заданного матрицей A 0 1 0 . 1 0 1 17. Исследуйте на условный экстремум: u 2 x y , y 2 x 2 1 0 . 18. Найдите выручку потребителей и поставщиков товара, законы спроса и предложения на который имеют следующий вид: p 44 x 2 , p x 2 2 x 20. 19. Найдите общее решение дифференциального уравнения y 6 y 9 y e 3 x . 20. Найдите общее решение дифференциального уравнения y y 4 sin x . - 52 - Вариант №4 1. Матрица X , удовлетворяющая уравнению 2 3 1 2 X , равна 7 10 3 1 1 12 A) ; 1 17 1 12 B) ; 1 17 17 1 C) ; 12 1 1 17 D) ; 12 1 1 17 E) . 1 12 2. Координаты вектора d 4;0;2 в базисе из векторов a 2;3;0 , b 1;4;11 , c 6;6;1 равны A) (4;0;2); B) (2;0;4); C) ( 2 ;0; 4 ); D) ( 4 ;0; 2 ) ; E) (0;2; 4 ). 3. Предел lim x A) 2 ; x B) 1 ; 2 x 1 x 2 x 11 равен C) 0,5; D) 2; E) 1. 4. Производная функции f ( x ) 2 arctg A) 2 ; B) 1 ; C) 0; D) 1; x 1 1 x2 при x 0 равна E) 2. 5. Укажите функцию, эластичность которой постоянна и равна 0,5. A) 0,5x 0,5 ; B) 0,5x ; C) 0,5 / x ; D) 0,5x 2 ; E) 0,5 x . 6. Функция f ( x ) xe x имеет: A) одну точку экстремума и одну точку перегиба; B) одну точку экстремума и две точки перегиба; C) одну точку экстремума и три точки перегиба; D) две точки экстремума и две точки перегиба; E) две точки экстремума и три точки перегиба. 7. Наименьшее значение функции u x 2 y 2 xy x y в области x y 3, x 0, y 0 равно A) 1 ; B) 2 ; C) 3 ; D) 4 ; E) 5 . - 53 - 8. Производная функции u x 2 y 1 z 2 в точке O0;0;0 по направлению оси Ox равна 2 A) 2 ; B) 1 ; C) 0; D) 1; E) 2. 9. Найдите неопределенный интеграл arctg x x (1 x ) 2 1 x arctg x C ; B) ln x 1 C ; 1 x 1 x 1 D) arctg 2 x C ; E) Другой ответ. 2 A) dx . x arctg x C ; C) 10. Объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной кривыми y x 3 , y 1, x 0 , вокруг оси Oy равен A) ; B) 2 / 3 ; C) 2 / 5 ; D) 2 / 7 ; 11. Область сходимости степенного ряда E) другой ответ. x 1n n 1 n n с учетом граничных точек имеет вид: A) 0 x 2 ; B) 0 x 2 ; C) 0 x 2 ; D) 0 x 2 ; E) 1 x 1 . 12. Решением задачи Коши 2 xy y 0 , y1 1 является функция A) y x ; B) y 1 ; x C) y x x ; D) y 1 x x ; E) y 0,5 x x . 13. Решением задачи Коши 2 xy y 2 x, y1 0 является функция A) y x 1 x ; B) y 1 x ; x C) y x 1 ; D) y 1 x ; x E) y x 1 . x 14. Решением задачи Коши 2 xy y 0 , y1 0 , y(1) 1 является функция E) y 2 x 1 . A) y 2 1 x ; B) y x 1 / 2 ; C) y x 1 / 2 ; D) y x 1 ; 15. Общим интегралом дифференциального уравнения y x dy x y dx 0 является A) x 2 y 2 2 xy C ; B) x 2 y 2 2 xy C ; C) x 2 y 2 2 xy C ; D) x 2 y 2 2 xy C ; E) x 2 y 2 x y C . - 54 - 16. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, 2 1 1 заданного матрицей A 0 1 0 . 0 2 1 17. Исследуйте на условный экстремум: u 5 3x 4 y , y 2 x 2 25 0 . 18. Найдите выручку потребителей и поставщиков товара, законы спроса и предложения на который имеют следующий вид: p 120 /x 2, p 2,5x 10 . 19. Найдите общее решение дифференциального уравнения y 14 y 49 y e 7 x . 20. Найдите общее решение дифференциального уравнения y y 4 cos x . § 2.2. Математический анализ (специальность «Мировая экономика») Вариант №1 1[2]. Укажите верные утверждения. Функция u f M M R m задана в окрестности точки M 0 . Число А не является пределом функции f M при M M 0 , если: 1. 0 , 0 : M : 0 M , M 0 2. 0 , 0 M : 0 M , M 0 3. 0 , 0 : M : 0 M , M 0 M , M 0 f (M ) A ; f (M ) A ; 4. 0 : 0 M : 0 M , M 0 5. 0 : 0 M : f (M ) A ; f (M ) A ; f (M ) A . 2[2]. Предел lim x x 2 3 x равен x 1. ; 2. 3 2 ; 3. 0; 5. . 4. 3 2 ; 3[2]. Производная функции f ( x, y ) (1 x ) 2 y 2 в точке О(0;0) по направлению оси Ox равна 1. 2 ; 2. 1 ; 3. 1 / 2 ; 4. 1 ; 5. 2 . 4[2]. Вычислите неопределенный интеграл arctg x x (1 x) 1 arctg 2 2 1. ln arctg x C ; 2. 2 arctg x C ; 3. 5. 1 arctg x C . x - 55 - dx . x C ; 4. arctg 2 x C; 5[2]. Значение функции f ( x) x x 1. e e ; 2. e 1 e ; 3. e e ; ( x 0) в точке локального экстремума равно 4. e 1 / e ; 5. 1. 6[2]. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции f ( x) x 3 12 x 7 на отрезке 0;3 равна 1. 32; 2. 25; 3. 16; 4. 9; 5. 7. x ln x ( x 1)( x 2) 7[2]. Функция f ( x) 1 ( x 0) ( x 0), имеет: 1. одну точку разрыва первого рода и одну точку разрыва второго рода; 2. одну точку устранимого разрыва и одну точку разрыва второго рода; 3. одну точку разрыва первого рода и две точки разрыва второго рода; 4. две точки разрыва первого рода и одну точку разрыва второго рода; 5. две точки разрыва второго рода и одну точку устранимого разрыва. 8[3]. На кривой y x 3 найдите точку, касательная в которой параллельна хорде, соединяющей точки A( 1;1) и B ( 2;8) . 1. Такой точки не существует; 2. ( 1;1) ; 3. ( 3;3 3 ) ; 4. (0;0) ; 5. (1;1) . 9[3]. Значение производной y x функции y y( x) , заданной неявно уравнением y ln( x y ) x 1 , в точке M (0;1) равно 1. 1 ; 2. 1 2 ; 3. 0 ; 4. 1 2 ; 5. 1 . 10[3]. Предполагая, что спрос на некоторую продукцию зависит от цены p следующим образом: 100 D( p) 2, p найдите, заменяя приближенно приращение соответствующей функции ее дифференциалом, изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 4,5% от p0 25 . 1. 2 ; 2. 3 ; 3. 5 ; 4. 7 ; 5. 8 . - 56 - 11[3]. При заданной производственной функции Кобба-Дугласа Q AK 0,9 L0,5 ( A const ) установите, как изменится объем выпуска продукции Q (в процентах) при увеличении затрат капитала K и уменьшении трудовых ресурсов L соответственно на 5% и 7%. 1. Увеличится на 2%; 2. Уменьшится на 2%; 3. Увеличится на 1%; 4. Уменьшится на 1%. 5. Не изменится. 12[4]. На рисунке изображены линии уровня функции z f x, y . Отметьте верные утверждения. 1. В точках C и D функция f x, y принимает максимальные значения; 2. В точках C и D функция f x, y принимает минимальные значения; 3. В точке B функция f x, y принимает максимальное значение; 4. В точке B функция f x, y принимает минимальное значение; 5. В окрестности точки A поверхность z f x, y имеет вид седла; на линии EF функция f x, y сохраняет постоянное значение. y -1 0 -4 B -3 -1 -2 5 3 2 1 0 1 2 x 3 -2 -1 C 4 3 4 3 2 1 D 1 F E 0 1 2 A -1 3 0 -2 -3 13[4]. Площадь фигуры, ограниченной кривой y xe x равна 1. e ; 2. 2 ; 3. 1 ; 4. 1 2 ; 2 2 и ее асимптотой при x 0 , 5. среди приведенных нет верного ответа. - 57 - 14[4]. Укажите наиболее точное приближение к значению функции f ( x) e x x 1 x 2 в точке x 0 10 7 . 1. x 2 ; 2. 1 4 x ; 8 3. 1 4 x ; 6 1 3 x ; 3 4. 5. 1 3 x . 6 2 15[4]. Функция f ( x) e x имеет: 1. одну точку экстремума и одну точку перегиба; 2. одну точку экстремума и две точки перегиба; 3. одну точку экстремума и не имеет точек перегиба; 4. две точки экстремума и одну точку перегиба; 5. две точки перегиба и не имеет точек экстремума. 16[4]. Найдите A B, A B, A C, B C , A B C, ( A B) C и изобразите эти множества на координатной прямой, если A 0;3; B (1;5); C 2;0 . 17[4]. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой x sin t , y 2 t в точке, для которой t 0 . 18[5]. Опишите все асимптоты графика функции xe1 x . x 19[5]. Известно, что F ( x) e t t 2 7t 3 6t 2 dt . Найдите абсциссы точек, в которых 2 функция F (x) принимает экстремальные значения, и опишите характер этих экстремумов. 20[6]. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость: 0 0 а) 3 x e 3x dx ; б) 3 dx 5 x 1 . 3 21[6]. Дана функция z ln( 5x 2 3 y 2 ) , точка А(1;1) и вектор l 3i 2 j . Найдите: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора l . 22[8]. По графику функции y f x , изображенному на рисунке, выясните вид графиков ее первой и второй производных. y y=f(x) 0 a b - 58 - x 23[10]. Найдите все точки локального экстремума функции f ( x, y) x 2 2 xy 2 y 2 2 x и определите их тип. 24[10]. Исследуйте на условный экстремум функцию f ( x, y ) 2 x 16 y при условии связи xy y 2 7 0 . 25[10]. Найдите функцию спроса, если известны: 1) значение цены p=90 в некоторой x 100 (0 x 100). точке x=10; 2) эластичность E x ( p ) x Вариант №2 1[2]. Укажите верные утверждения. Первый дифференциал дифференцируемой функции z f x, y в точке M 0 x0 , y 0 это то же самое, что f f dx dy ; x y f x0 x, y 0 f x0 , y 0 f x0 , y 0 y f x0 , y 0 2. dx lim , где dx и dy lim x0 y 0 x y dy бесконечно малые приращения x и y ; 3. a x x0 b y y 0 , где z ax by – уравнение касательной плоскости к графику 1. функции z f x, y в точке M 0 ; 4. главная (линейная) часть приращения функции в точке M 0 ; 5. a x x0 b y y 0 при условии, что f x0 x, y0 y f x0 , y0 ax x0 b y y0 o x x0 2 y y 0 2 . 2[2]. Предел lim x x 2 2 x равен x 1. 1 ; 2. 0 ; 3. 1 ; 4. 2 ; 5. . 3[2]. Производная функции f ( x, y) e x равна 1. 2 ; 2. 1 ; 3. 0; 4. 1 2 ( 2 y ) в точке M(1;2) по направлению оси Oy 2 ; 5. 1 . 4[2]. Вычислите неопределенный интеграл ( x arctg x) dx . 1 x2 1 1 1 1. arctg x arctg 2 x C ; 2. arctg x 2 arctg 2 x C ; 3. ln 1 x 2 arctg 2 x C ; 2 2 2 4. 2 ln( 1 x 2 ) arctg x C ; 5. 1 ln( 1 x 2 ) arctg 2 x C . 2 - 59 - 5[2]. Значение функции f ( x) x x 1. e e ; 2. e 1 / e ; 3. ( x 0) в точке локального экстремума равно e e ; 4. e 1 / e ; 5. 1. 6[2]. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции f ( x) 3x 5 5x 3 6 на отрезке 0;2 равна 1. 58 ; 2. 56 ; 3. 48 ; 4. 10 ; 5. 2 . x 3 ( x 1), 7[2]. Функция f ( x ) x 2 2 ( 1 x 0), имеет: e 1 x ( x 0) 1. одну точку разрыва первого рода и одну точку разрыва второго рода; 2. две точки разрыва первого рода; 3. две точки разрыва второго рода; 4. одну точку разрыва второго рода и одну точку устранимого разрыва; 5. две точки устранимого разрыва. 8[3]. Используя формулу конечных приращений для функции f ( x ) 12 cos x на отрезке ; , получите оценки сверху и снизу величины f f f : 4 6 6 4 A f B . В ответе укажите промежуток A; B . 1 3 3 1 1 1 1 1 ; 3. ; 1. ; ; 2. ; ; ; 5. 3;1 . ; 4. 2 2 2 2 2 2 2 2 9[3]. Значение производной y x функции y y( x) , заданной неявно уравнением x ln y arctg , в точке M (e; e) равно 4 y 1 1. 1 ; 2. 2 1 2 ; 3. 1 ; 4. 2 ; 5. не существует. 10[3]. Предполагая, что спрос на некоторую продукцию зависит от цены p следующим образом: 500 1 D( p ) , 4 p 2 укажите, приближенно заменяя приращение соответствующей функции ее дифференциалом, целое число, наиболее близкое к изменению дохода (в процентах) при увеличении цены на 4% от p0 16 . 1. 1 ; 2. 2 ; 3. 3 ; 4. 4 ; 5. 5 . - 60 - 11[3]. При заданной производственной функции Кобба-Дугласа Q AK 0,5 L0,7 ( A const ) установите, как изменится объем выпуска продукции Q (в процентах) при уменьшении затрат капитала K и увеличении трудовых ресурсов L соответственно на 8% и 10%. 1. Уменьшится на 2%. 2. Увеличится на 2%. 3. Уменьшится на 3%. 4. Увеличится на 3%. 5. Не изменится. 12[4]. На рисунке изображены линии уровня функции z f x, y . Отметьте неверные утверждения. 1. В точках C и D функция f x, y принимает максимальные значения; 2. В точкe D функция f x, y принимает минимальное значение, а в точке C – максимальное; 3. В точке C функция f x, y принимает максимальное значение, а в точке D – минимальное; 4. В точке A функция f x, y принимает минимальное значение; 5. В окрестности точки B поверхность z f x, y имеет вид седла; на линии EF функция f x, y сохраняет постоянное значение. E -3 -2 2 1 y -1 -1 0 5 B -2 -3 0 C 0 3 2 1 A -4 -3 D -1 -2 0 1 2 -1 2 1 x 3 -2 3 4 1 3 2 2 1 F -1 1 13[4]. Значение площади фигуры, ограниченной линиями x y 2 4 y 5 и x y 5 , принадлежит промежутку 1. [25;30]; 2. [15;20); 3. [10;15); 4. [5;10); 5. (0;5). - 61 - 14[4]. Укажите наиболее точное приближение к значению функции f ( x) sin 2 x ln( 1 x 2 ) в точке x 0 10 6 . 1 5 1 1. 2 x 2 ; 2. 2x 2 ; 3. x 3 ; 4. x 4 ; 5. x 4 . 6 6 6 15[4]. Функция f ( x) (ln x) 2 ln( 1 e 2 ) имеет: x 1. ни одной точки экстремума и одну точку перегиба; 2. одну точку экстремума и ни одной точки перегиба; 3. одну точку экстремума и одну точку перегиба; 4. две точки экстремума и одну точку перегиба; 5. две точки экстремума и две точки перегиба. 16[4]. Найдите A B, A B, A C ,B C , A B C ,( A B) C и изобразите эти множества на координатной прямой, если A (;1]; B [1;); C (0;1) . 17[4]. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой x arctg t , y ln( 1 t 2 ) в точке, для которой t 3 . 18[5]. Опишите все асимптоты графика функции y x ex . x2 1 x 4 3x 3 2 x 2 dx C . Найдите абсциссы точек, в которых cos x 3 функция F (x) принимает экстремальные значения, и опишите характер этих экстремумов. 19[5]. Известно, что F ( x) 20[6]. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость: а) x 2 4 x e dx ; 2 б) 0 dx (x 1) 2 0 . 21[6]. Дана функция z arctg ( xy 2 ) , точка А(2;3) и вектор l 4i 3 j . Найдите: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора l . 22[8]. Выясните вид графика функции y f x по графику ее первой производной, изображенному на рисунке. y a b 0 y'=f'(x) - 62 - x 23[10]. Найдите все точки локального экстремума функции f ( x, y) 4 x 2 2 xy y 2 10 x 4 y и определите их тип. 24[10]. Исследуйте на условный экстремум функцию f ( x, y ) 3x 6 y при условии связи y 2 xy 1 0 . 25[10]. Найдите функцию спроса, если известны : 1) значение цены p=18 в некоторой p точке x=1; 2) эластичность E p ( x) (0 p 20). p 20 Вариант №3 1[2]. Укажите верные утверждения. Функция u f M M R m задана в окрестности точки M 0 . Число А является пределом функции f M при M M 0 , если: M : 0 M , M 0 1. 0 , 0 f (M ) A ; 2. 0 , 0 : M : 0 M , M 0 f (M ) A ; 3. 0 , f (M ) A ; 4. 0 , 0, M : 0 M , M 0 0 : M : 0 M , M 0 M , M 0 5. 0 : 0 M : 2[2]. Предел lim x 4x f (M ) A ; f (M ) A . 2 x 1 2 x равен 2 1. ; 2. 1 2 ; 3. 0; 4. 1 2 ; 5. . 3[2]. Производная функции f ( x, y ) 2 x 2 (1 y ) 2 в точке О(0;0) по направлению оси Oy равна 1. – 2; 2. 1 ; 3. 1 2 ; 4. 1 ; 5. 2 . 2 4[2]. Вычислите неопределенный интеграл e sin x sin 2 x dx . 1. e sin 2x C ; 2. e sin 2 x C ; 3. 2e sin 5[2]. Значение функции f ( x) x x 1. e ; e 2. e 1 e ; 3. 2x C; 4. 1 2 e cos 2x C ; 5. e cos 2 x C . ( x 0) в точке локального экстремума равно 2 e e ; 4. e - 63 - 1 e ; 5. 1. 6[2]. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции f ( x) 3x 4 16 x 3 2 на отрезке 3;1 равна 1. 931; 2. 688; 3. 675; 4. 666; 5. 423. xe 1 x ( x 0), 2 ( 1 x ) 7[2]. Функция f ( x ) имеет: 0 ( x 0) 1. две точки разрыва второго рода; 2. две точки разрыва первого рода и одну точку разрыва второго рода; 3. три точки разрыва второго рода; 4. одну точку разрыва первого рода и две точки разрыва второго рода; 5. три точки разрыва первого рода. 8[3]. На кривой y x найдите точку, касательная в которой параллельна хорде, соединяющей точки A (1;1) и B ( 2;8) . 3 1. Такой точки не существует; 2. ( 7 3 ; 7 7 27) ; 3. ( 3;3 3 ) ; 4. (0;0) ; 5. (1;1) . 9[3]. Значение производной y x функции y y( x) , заданной неявно уравнением x y e y arctg x 0 , в точке М (0;0) равно 1. 1 ; 2. 0; 3. 1; 4. 2; 5. не существует. 10[3]. Предполагая, что спрос на некоторую продукцию зависит от цены p следующим образом: 100 1 D( p ) , 5 p 2 укажите, заменяя приближенно приращение соответствующей функции ее дифференциалом, целое число, наиболее близкое к изменению дохода (в процентах) при увеличении цены на 10% от p0 32 . 1. 6; 2. 7; 3. 8; 4. 9; 5. 10. 11[3]. При заданной производственной функции Кобба-Дугласа Q AK 0, 4 L0,8 ( A const ) установите, как изменится объем выпуска продукции Q (в процентах) при увеличении затрат капитала K и уменьшении трудовых ресурсов L соответственно на 10% и 5%. 1. Увеличится на 5%; 2. Уменьшится на 5%; 3. Увеличится на 2%; 4. Уменьшится на 2%; 5. Не изменится. - 64 - 12[4]. На рисунке изображены линии уровня функции z f x, y . Отметьте верные утверждения. 1. В точке B функция f x, y принимает максимальное значение; 2. В точке B функция f x, y принимает минимальное значение; 3. В точках A и C функция f x, y принимает максимальные значения; 4. В точках A и C функция f x, y принимает минимальные значения; 5. В окрестности точки D поверхность z f x, y имеет вид седла; на линии EF функция f x, y сохраняет постоянное значение. 5 y 4 3 B 2 1 0 -1 2 F 6 2 -1 0 4 3 C 3 2 6 A 4 3 2 6 1 16 1 0 5 1 2 32 D 64 1/2 2 x 3 E 1 0 -1 -1 0 4 6 16 32 64 13[4]. Значение площади фигуры, ограниченной линиями y 2 2 x и y 2 3 x , принадлежит промежутку 1. 1;2 ; 2. 2 ; 3 ; 3. 3 ; 4 ; 4. 4 ; 5 ; 5. среди приведенных нет верного ответа. 14[4]. Укажите наиболее точное приближение к значению функции f ( x) ln( 1 x 2 ) x2 1 x 1. 2 x 2 ; 1 2. x 2 ; 2 2 в точке x 0 10 5 . 1 3. x 4 ; 2 4. x 4 ; 5. x 4 . 15[4]. Функция f ( x) x 2 e x имеет: 1. одну точку экстремума и одну точку перегиба; 2. одну точку экстремума и две точки перегиба; 3. одну точку экстремума и не имеет точек перегиба; 4. две точки экстремума и одну точку перегиба; 5. две точки экстремума и две точки перегиба. - 65 - 16[4]. Найдите A B, A B, A C, B C, A B C, ( A B) C и изобразите эти множества на координатной прямой, если A 0;2; B (1;4) ; C 1;0. 17[4]. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой x t ln t , y для которой t 1 . ln t в точке, t 18[5]. Опишите все асимптоты графика функции y 2 x arctg x . 3t 2 3t 3 t 4 19[5]. Известно, что F ( x) dt . Найдите абсциссы точек, в которых ln( t 2 2) функция F (x) принимает экстремальные значения, и опишите характер этих экстремумов. x 20[6]. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость: 1 0 а) xe dx ; 2x б) 0 dx xx 2 . 21[6]. Дана функция z arcsin x 2 y , точка А(1;2) и вектор l 5i 12 j . Найдите: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора l . 22[8]. По графику функции y f x , изображенному на рисунке, выясните вид графиков ее первой и второй производных. y y=f (x) 0 a b x 23[10]. Найдите все точки локального экстремума функции f ( x, y) x 2 xy 5 y 2 5x 12 y и определите их тип. 24[10]. Исследуйте на условный экстремум функцию f ( x, y ) x y при условии связи x2 y2 8 . - 66 - 25[10]. Найдите функцию спроса, если известны: 1) значение цены p=36 в некоторой x 300 (0 x 300). точке x=12; 2) эластичность E x ( p) x Вариант №4 1[2]. Укажите неверные утверждения. Для того, чтобы непрерывная в точке M 0 функция f x, y была дифференцируемой в этой точке, достаточно потребовать, чтобы: 1. A, B : f x, y f x0 , y 0 A x x0 B y y 0 o , где x x0 2 y y 0 2 ; 2. существовали частные производные f x M 0 и f y M 0 ; 3. для любого направления l существовала производная вдоль этого направления в точке M 0 ; 4. частные производные f x, y и f x, y существовали в некоторой окрестности x y точки M 0 и были бы непрерывны в точке M 0 ; 5. существовали все частные производные первого порядка f x, y в некоторой окрестности точки M 0 . 2[2]. Предел lim n 1. 1 ; 2. 1 2 ; n n 5 n 4 равен 3. 1 3 ; 4. 0 ; 5. . 3[2]. Производная функции f ( x, y ) 3 x 3 y 3 в точке M(–1;0) по направлению оси Ox равна 1. 1 ; 2. 1 3 ; 3. 0; 4. 1; 5. 2. 4[2]. Вычислите неопределенный интеграл 1. 4. 3 4 ln x 2 / 3 C ; 2 3 3 4 ln x 4 C ; 4 5. e ; e 2. e 1 e ; 4 ln x dx . x 2. 3 4 ln x 4 C ; ln x 3 4 ln x 5[2]. Значение функции f ( x) x x 1. 3 3. 3. 4 3 4 ln x 4 C ; 3 C. ( x 0) в точке локального экстремума равно 2 e e ; 4. e - 67 - 1 e ; 5. 1. 6[2]. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции f ( x) x 4 4 x на отрезке 2;2 равна 1. 32; 2. 27; 3. 21; 4. 16; 5.11. cos x ( x 0), 7[2]. Функция f ( x ) x 2 1 (0 x 1), 51 / 1 x ( x 1) имеет: 1. одну точку устранимого разрыва; 2. одну точку разрыва первого рода; 3. одну точку разрыва второго рода; 4. одну точку устранимого разрыва и одну точку разрыва второго рода; 5. одну точку устранимого разрыва и одну точку разрыва первого рода. 8[3]. Используя формулу конечных приращений для функции f ( x) f f ; , получите оценки сверху и снизу величины 4 3 4 ответе укажите промежуток A; B . 1 1 1. ; ; 2 2 1 1 2. ; ; 2 2 3 1 3. ; ; 2 2 1 3 4. ; ; 2 2 12 sin x на отрезке f : A f B . В 3 5. 1; 3 . 9[3]. Значение производной y x функции y y( x) , заданной неявно уравнением y sin x cosx y , в точке M ;0 равно 2 1. 1 ; 2. 1 2 ; 3. 0 ; 4. 1 2 ; 5. 1 . 10[3]. Предполагая, что спрос на некоторую продукцию зависит от цены p следующим образом: 750 1 D( p ) , 3 p 3 укажите, приближенно заменяя приращение соответствующей функции ее дифференциалом, целое число, наиболее близкое к изменению дохода (в процентах) при увеличении цены на 3% от p0 27 . 1. 1 ; 2. 2 ; 3. 3 ; 4. 4 ; 5. 5 . - 68 - 11[3]. При заданной производственной функции Кобба-Дугласа Q AK 0,8 L0,5 ( A const ) установите, как изменится объем выпуска продукции Q (в процентах) при уменьшении затрат капитала K и увеличении трудовых ресурсов L соответственно на 10% и 8%. 1. Уменьшится на 2%; 2. Увеличится на 2%; 3. Уменьшится на 4%; 4. Увеличится на 4%; 5. Не изменится. 12[4]. На рисунке изображены линии уровня функции z f x, y . Отметьте неверные утверждения. 1. В точках C и D функция f x, y принимает максимальные значения; 2. В точках A и D функция f x, y принимает максимальные значения; 3. В точке B функция f x, y принимает максимальное значение; 4. В точке B функция f x, y принимает минимальное значение; 5. В окрестности точки C поверхность z f x, y имеет вид седла; на линии EF функция f x, y сохраняет постоянное значение. 6 y 0 5 0 -1 1 6 -2 -3 2 5 3 3 2 B 4 1 4 3 0 2 1 2 A -1 -2 -3 x 3 -2 C -1 0 15 -5 E 10 0 -1 -4 D -3 -2 -1 принадлежит промежутку 2. (1;2]; 3. (2;3]; 4. (3;4]; 5. (4;5]. - 69 - 2 0 13[4]. Значение площади фигуры, ограниченной линиями x 2 4 y и y 1. (0;1]; 1 F 8 , x 4 2 14[4]. Укажите наиболее точное приближение к значению функции 2 1 f ( x) e x в точке x 0 10 4 . 2 1 x 1. 2x 2 ; 2. 2x 2 ; 3. 3 4 x ; 2 3 4. x 4 ; 4 1 5. x 4 . 2 15[4]. Функция y arctg x ln 1 x 2 имеет: 1. одну точку экстремума и ни одной точки перегиба; 2. одну точку экстремума и одну точку перегиба; 3. одну точку экстремума и две точки перегиба; 4. две точки экстремума и ни одной точки перегиба; 5. две точки экстремума и две точки перегиба. 16[4]. Найдите A B, A B, A C ,B C , A B C ,( A B) C и изобразите эти множества на координатной прямой, если A 3;1; B 2;; C (;2) . 17[4]. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой x arccos t , y 1 t 2 в точке, для которой t 2 . 2 18[5]. Опишите все асимптоты графика функции y 3x 2e x . x2 4 10 x 2 3x 3 x 4 dx C . Найдите абсциссы точек, в arctg 1 x 2 которых функция F (x) принимает экстремальные значения, и опишите характер этих экстремумов. 19[5]. Известно, что F ( x ) 20[6]. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость: а) x 2 10 2 x e x dx ; б) 0 dx 3 x 2. 0 21[6]. Дана функция z 3x 4 2 x 2 y 3 , точка А(–1;2) и вектор l 4i 3 j . Найдите: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора l . - 70 - 22[8]. Выясните вид графика функции y f x по графику ее первой производной, изображенному на рисунке. y y'=f ' (x) 0 b a x 23[10]. Найдите все точки локального экстремума функции f ( x, y) x 2 xy y 2 3x 3 y и определите их тип. 24[10]. Исследуйте на условный экстремум функцию f ( x, y ) x 2 y при условии связи x 2 y 2 5 0 . 25[10]. Найдите функцию спроса, если известны : 1) значение цены p=10 в некоторой p точке x 3 ; 2) эластичность E p ( x) (0 p 40). p 40 Часть IV § 2.3. Математический анализ (специальность «Экономика») Вариант №1 1. Укажите верные утверждения. Если функция f M дифференцируема в точке M 0 R m , то: 1. найдется такая окрестность точки M 0 , в которой f M непрерывна; 2. f M f M 0 - бесконечно малая функция в точке M 0 ; 3. найдется такая окрестность точки M 0 , в которой f M ограничена; 4. существует такая линейная функция g M , что в некоторой окрестности точки M 0 будет иметь место равенство f M g M oM , M 0 ; 5. при m 2 график z f x, y имеет касательную плоскость в точке M 0 . 2. Пусть M , M 0 . Утверждение f M o при M M 0 эквивалентно следующему утверждению: 1. lim f M M , M 0 0 ; M M 0 2. lim f M 0 ; M M 0 3. A, 0 : M : M , M 0 f M A ; f M 0; M M 0 M , M 0 4. lim 5. A, 0 : M : M , M 0 f M A M , M 0 . - 71 - 3. Двойной предел lim x y x y 1. e 1 ; 2. 2e 2 ; 3. 0; 2 2 e x y равен 4. 2; 5. . 4. Укажите все сходящиеся числовые ряды 1. n 1 n2 ln 3 n ; 2. n1 sin n n2 1 ; 3. 4n n!2 n1 ; 4. 1 tg ; 5. 3n n1 n n 1 1 n . n 1 2 5. Площадь треугольника, образованного асимптотами графика функции y касательной к этому графику, проходящей через точку M 1;1 , равна 1. 2; 2. 3; 3. 4; 4. 6; 3x 4 и x2 5. 8. 6. На рисунке изображены линии уровня функции z f x, y . Отметьте верные утверждения. 1. В точках C и D функция f x, y принимает максимальные значения; 2. В точках C и D функция f x, y принимает минимальные значения; 3. В точке B функция f x, y принимает максимальное значение; 4. В точке B функция f x, y принимает минимальное значение; 5. В окрестности точки A поверхность z f x, y имеет вид седла; на линии EF функция f x, y сохраняет постоянное значение. y -1 0 -4 B -3 -1 -2 5 3 2 1 0 1 2 x 3 -2 -1 C 4 3 4 3 2 1 E 0 1 2 A -1 F -2 -3 - 72 - 1 D 0 3 7. При заданной производственной функции Кобба-Дугласа Q AK 0,9 L0,5 ( A const ) установите, как изменится объем выпуска продукции Q (в процентах) при увеличении затрат капитала K и уменьшении трудовых ресурсов L соответственно на 5% и 7%. 1. Увеличится на 2%; 2. Уменьшится на 2%; 3. Увеличится на 1%; 4. Уменьшится на 1%; 5. Не изменится. 8. Производная функции u x 2 y 3 z xyz в точке M 1;1;2 по направлению вектора l 2;1;2 равна 1. 2 ; 2. 1 ; 3. –0,(3); 4. 0,(3); 5. 1. 9. Определите промежуток, которому принадлежит значение полной производной t функции z ln x y exp x t 2 1, y sin t при t 0 . x 1. 2;1 ; 2. 1;0 ; 3. 0;1 ; 4. 1;2 ; 10. Область сходимости степенного ряда 5. 2;3 . x 42n 25 n 1 n n2 с учетом граничных точек совпадает с множеством 1. 5;5 ; 2. 5,5 ; 3. 9,1 ; 4. 9,1 ; 5. 9;1 . 11. Укажите целое число, к которому наиболее близко значение интеграла 2 x y dxdy , где область D ограничена линиями: y 2 x , y 2 . D 1. 4 ; 2. 0; 3. 4; 4. 5; 5. 6. - 73 - dz dt 12. По предложенным графикам линий уровня функции двух переменных f x, y и условия связи g x, y 0 (более толстая линия на рисунке) определите наличие или отсутствие у функции f x, y условного локального экстремума в точке: a) M1 ; b) M 2 ; c) M 3 ; d) M 4 ; e) M 5 . 1. В точке имеется условный минимум; 2. В точке имеется условный максимум; 3. В точке отсутствует условный экстремум; 4. В точке имеется нестрогий условный минимум; 5. В точке имеется нестрогий условный максимум. -2 M5 -6 M3 M1 -4 M4 -5 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 M2 -4 -3 -2 -1 13. Используя ряд Маклорена для функции f x , вычислите 0,001, если f x x ln 1 x 1. 0,008; 2. 0,012; 2 f x dx с точностью до 0 . 3. 0,014; 1/ 2 4. 0,016; 5. 0,018. 14. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции z 4 x 2 2 xy y 2 10 x 4 y в области, ограниченной линиями: x 3, y 3, x y 4 , равна 1. 94; 2. 224; 3. 225; 4. 228; 5. 232. 15. Вычислите с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением x 2 y 2 координатах. 3/ 2 1. 2 ; 2. 4 ; 3. 8 ; 4. 12 5. 16 . - 74 - 8 xy в декартовых 16. Оцените ошибку, получаемую при замене суммы ряда sin n 2 n 1 2n суммой первых его 10-ти слагаемых. 17. Опишите все асимптоты графика функции y xe2 / x 1 . 18. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой x sin t , y 2 t в точке, для которой t 0 . 19. По графику функции y f x , изображенному на рисунке, выясните вид графиков ее первой и второй производных. y y=f(x) 0 a b x 20. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость: 0 0 а) 3 x e 3x dx ; б) 3 21. Найдите значение предела lim e x sin x x1 x x0 22. Для функции f x 2x 5 x 12 x 2 проходит через точку M 3;1 4 ln 2 . x3 dx 5 x 13 . . найдите первообразную, график которой 23. Подсчитайте выручку потребителей и поставщиков товара, законы спроса и предложения на который имеют следующий вид: p 89 x 2 , 10 x 7 p 210 0 . Здесь x – количество товара, p – цена на этот товар. - 75 - 24. На рисунке изображены линии уровня функции z f x, y . Постройте график функции z f ( 5, y ) . 5 y 4 3 2 1 0 1 6 2 2 1 2 4 3 2 6 4 3 8 1 16 1 0 5 2 2 3 1 x 32 64 1/2 2 1 0 1 1 2 4 8 16 25. Укажите точки разрыва функции z 32 x y x y3 3 64 . 26. Вычислите приближенно при помощи дифференциала первого порядка 3,962 3,022 . 27. Применяя правило нахождения частных производных сложной функции, определите z и z , если z ln u 2 v 2 , u e x tgy , v e x . x y 28. Пусть z z x, y – неявная функция, определяемая уравнением z 3 2 xz y 0 , которая при x 1 и y 1 принимает значение z 1 . Напишите разложение функции z по возрастающим степеням биномов x 1 и y 1 до второго порядка включительно. 29. Определите локальные экстремумы функции трех переменных f x, y, z x 3 y 2 z 2 12 xy 2 z . 30. Найдите условные локальные экстремумы функции z x 2 y 2 xy при x2 y2 2 . Вариант №2 1. Укажите неверные утверждения. Если функция f M непрерывна в точке M 0 R m , то: 1. найдется такая окрестность точки M 0 , в которой f M ограничена; 2. 0 0 : M : 0 M , M 0 f M f M 0 ; 3. при m 2 график z f x, y имеет касательную плоскость в точке M 0 ; 4. f M f M 0 – бесконечно малая функция при M M 0 ; 5. lim f M f M 0 . M M 0 - 76 - 2. Укажите верные утверждения. Первый дифференциал дифференцируемой функции z f x, y в точке M 0 x0 , y 0 – это то же самое, что f f dx dy ; x y f x0 x, y 0 f x0 , y 0 f x0 , y 0 y f x0 , y 0 2. dx lim , dy lim x0 y 0 x y где dx и dy — бесконечно малые приращения x и y ; 3. a x x0 b y y 0 , где z ax by – уравнение касательной плоскости к графику 1. функции z f x, y в точке M 0 ; 4. главная (линейная) часть приращения функции в точке M 0 ; 5. a x x0 b y y 0 при условии, что f x0 x, y 0 y f x0 , y 0 a x x0 b y y 0 o x x0 2 y y 0 2 . x 0 3. Двойной предел lim x 2 y 2 x y 2 2 равен y 0 1. e ; 2. e 1 ; 3. 0; 4. 1; 5. . 4. Укажите все расходящиеся числовые ряды. 1. 1n n 2 1 5n 2 ; 2. n 1 n 1 1 n1 cos ; 3. n 1 n 1 ln n n5 n ; 4. n 1 1 n n 2 3 2n ; 5. 5. Площадь треугольника, образованного асимптотами графика функции y касательной к этому графику, проходящей через точку M 4;3 , равна 1. 4; 2. 6; 3. 8; 4. 10; 5. 12. - 77 - 7n n! . n 1 2x 1 и x 1 6. На рисунке изображены линии уровня функции z f x, y . Отметьте неверные утверждения. 1. В точках C и D функция f x, y принимает максимальные значения; 2. В точкe D функция f x, y принимает минимальные значения; 3. В точке C функция f x, y принимает максимальное значение; 4. В точке A функция f x, y принимает минимальное значение; 5. В окрестности точки B поверхность z f x, y имеет вид седла; на линии EF функция f x, y сохраняет постоянное значение. 2 1 E -3 -2 y -2 -3 -1 -1 0 C B 0 3 2 1 A -4 -3 D 5 -1 -2 0 1 2 -1 2 1 x 3 -2 3 4 1 3 2 2 1 0 1 F -1 7. При заданной производственной функции Кобба-Дугласа Q AK 0,5 L0,7 ( A const ) установите, как изменится объем выпуска продукции Q (в процентах) при уменьшении затрат капитала K и увеличении трудовых ресурсов L соответственно на 8% и 10%. 1. Уменьшится на 2%; 2. Увеличится на 2%; 3. Уменьшится на 3%; 4. Увеличится на 3%; 5. Не изменится. 8. Производная функции u xy 2 xyz z 2 в точке M 2;1;1 по направлению вектора l 2;1;2 равна 1. 3; 2. 6; 3. 10; 4. 15; 5. 18. 9. Определите промежуток, которому принадлежит значение полной производной функции z tg t x 2 y 2 1. 2;3 ; 2. 3;4 ; x e , y ln t при t 1. 3. 4;5 ; t 4. 5;6 ; 5. 6;7 . - 78 - dz dt 10. Область сходимости степенного ряда x 7 2n 9 n 1 n n 2 с учетом граничных точек совпадает с множеством 2. 3;3 ; 1. 3;3 ; 3. 3;3; 4. 4;10 ; 5. 4;10 . 11. Укажите целое число, к которому наиболее близко значение интеграла 2 x y dxdy , где область D ограничена линиями: y x , y 3x , x 2 . D 1. 3; 2. 6; 3. 12; 4. 18; 5. 24. 12. По предложенным графикам линий уровня функции двух переменных f x, y и условия связи g x, y 0 (более толстая линия на рисунке) определите наличие или отсутствие у функции f x, y условного локального экстремума в точке: a) M1 ; b) M 2 ; c) M 3 ; d) M 4 ; e) M 5 . 1. В точке имеется условный минимум; 2. В точке имеется условный максимум; 3. В точке отсутствует условный экстремум; 4. В точке имеется нестрогий условный минимум; 5. В точке имеется нестрогий условный максимум. M1 M4 5 M5 3 1 4 -1 -3 M3 -5 5 M2 -4 -2 0 1 2 3 13. Используя ряд Маклорена для функции f x , вычислите 4 1/ 2 f x dx 0 2 x2 0,001, если f x x e 1. 0,035; 2. 0,042; . 3. 0,048; 4. 0,053; 5. 0,056. - 79 - с точностью до 14. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции z 2x 2 xy 2 y 2 x 4 y в области, ограниченной линиями: x 1, y 2, x 4, y 2 , равна 1. 23; 2. 28,125; 3. 30; 4. 36,125; 5. 38. 15. Вычислите с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением x 2 y 2 3 y 4 в декартовых координатах. 1. ; 4 2. 3 ; 8 3. 3 ; 4. ; 4 2 5. . 3 16. Оцените ошибку, получаемую при замене суммы ряда n 1 7 первых его 5-ти слагаемых. 17. Опишите все асимптоты графика функции y 2n cos n 3 суммой 2 x 2 sin x . x 18. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой x arctg t , y ln 1 t 2 в точке, для которой t 3 . 19. Выясните вид графика функции y f x по графику ее первой производной, изображенному на рисунке. y a b 0 x y'=f ' (x) 20. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость: а) x 2 e x 2 dx ; 4 б) 0 0 21. Найдите значение предела lim x 3 / 2 x 22. Для функции f x dx x 12 . ex 1 e 2 x 4e x 4 1 проходит через точку M 0; . 6 x 1 x 1 2 x . найдите первообразную, график которой - 80 - 23. Подсчитайте выручку потребителей и поставщиков товара, законы спроса и предложения на который имеют следующий вид: 5 p 2 x 50 , 5 p 6 x 10 . Здесь x – количество товара, p – цена на этот товар. 24. На рисунке изображены линии уровня функции z f x, y . Постройте график функции z f x,0 . 5 y 4 3 2 1 0 1 2 6 2 1 2 4 3 2 6 4 3 2 8 1 16 1 0 5 2 x 32 3 1 64 1/2 2 1 0 1 1 2 4 8 16 32 64 ln 4 x 2 y 2 25. Укажите точки разрыва функции z . xy 26. Вычислите приближенно при помощи дифференциала первого порядка 1,983 . 2,01 2 27. Применяя правило нахождения частных производных сложной функции, uv x определите z x и z y , если z arctg , u x 2 y 2 , v exp . uv y 28. Пусть z z x, y – неявная функция, определяемая уравнением 4 x 3 z 2 3xyz 0 , которая при x 1 и y 1 принимает значение z 4 . Напишите разложение функции z по возрастающим степеням биномов x 1 и y 1 до второго порядка включительно. 29. Определите локальные экстремумы функции трех переменных f x, y, z 2 x 2 xy 2 xz y y 3 z 2 . 30. Найдите условные локальные экстремумы функции z 2 x 3 y при x 2 y 2 13 0 . - 81 - Вариант №3 1. Укажите верные утверждения. Функция u f M M R m задана в окрестности точки M 0 . Число A является пределом функции f M при M M 0 , если: 1. 0 0 M : 0 M , M 0 f M A ; 2. 0 0 : M : 0 M , M 0 f M A ; 3. 0 0, M : 0 M , M 0 f M A ; 4. 0, 0 : M : 0 M , M 0 f M A ; 5. 0 : 0 M : M , M 0 f M A . 2. Укажите неверные утверждения. 1. Второй дифференциал функции z f x, y в точке M 0 x0 , y 0 равен f dx 2 2 f dxdy f dy 2 . x2 y2 xy 2. Направление градиента функции в данной точке совпадает с направлением наибольшей производной по направлению в этой точке; 3. Непрерывная в области функция ограничена в ней; 4. Если функция f M дифференцируема и строго выпукла на множестве D , то она достигает локального экстремума лишь в одной точке множества D ; 5. Для любой функции z f x, y имеет место равенство f x, y f x, y . xy 3. Двойной предел lim x x y 1. -1; 2. 0; 3. 1; 2x y 2 xy y 2 yx равен 5. . 4. 2; 4. Укажите все сходящиеся числовые ряды: 1. n 8 ; 2. n 1 7 n 1 n n3 n 1 ; 3. n 1 1 n n 2 3n ; 4. arctg 2 n ; 5. n 1 n n 5 n 1 5. Площадь треугольника, образованного асимптотами графика функции y касательной к этому графику, проходящей через точку M 1;7 , равна 1. 4; 2. 6; 3. 8; 4. 10; 5. 12. - 82 - n!sin 2 n . 5 x 12 и x2 6. На рисунке изображены линии уровня функции z f x, y . Отметьте верные утверждения. 1. В точке B функция f x, y принимает максимальное значение; 2. В точке B функция f x, y принимает минимальное значение; 3. В точках A и C функция f x, y принимает максимальные значения; 4. В точках A и C функция f x, y принимает минимальные значения; 5. В окрестности точки D поверхность z f x, y имеет вид седла; на линии EF функция f x, y сохраняет постоянное значение. 5 y 4 3 B 2 1 0 -1 2 F 6 2 -1 0 4 3 C 3 2 6 A 4 3 2 6 1 16 1 0 5 1 2 32 D 64 1/2 2 x 3 E 1 0 -1 -1 0 4 6 16 32 64 7. При заданной производственной функции Кобба-Дугласа Q AK 0,4 L0,8 ( A const ) установите, как изменится объем выпуска продукции Q (в процентах) при увеличении затрат капитала K и уменьшении трудовых ресурсов L соответственно на 10% и 5%. 1. Увеличится на 5%; 2. Уменьшится на 5%; 3. Увеличится на 2%; 4. Уменьшится на 2%; 5. Не изменится. 8. Производная функции u xyz 2 zx 2 zy в точке M 1;1;1 по направлению вектора l 1;2;2 равна 1. 7; 2. 6; 3. 4,(3); 4. 3; 5. 2,(3). 9. Определите промежуток, которому принадлежит значение полной производной y функции z x 2 exp x ln t 2 1 , y cos 2t при t . t 1. 1;0 ; 2. 0;1 ; 3. 1;2 ; 4. 2;3 ; 5. 3;4 . - 83 - dz dt 10. Область сходимости степенного ряда n 1 x 52n 4n n с учетом граничных точек совпадает с множеством 1. 7;3 ; 2. 7,3 ; 4. 9;1 ; 3. 9,1 ; 5. 5;2 . 11. Укажите целое число, к которому наиболее близко значение интеграла 2 2 2 2 x y dxdy , где область D ограничена линиями: y x , y x , x 3 . 1. 111; 2. 152; D 3. 297; 4. 305; 5. 456. 12. По предложенным графикам линий уровня функции двух переменных f x, y и условия связи g x, y 0 (более толстая линия на рисунке) определите наличие или отсутствие у функции f x, y условного локального экстремума в точке: a) M1 ; b) M 2 ; c) M 3 ; d) M 4 ; e) M 5 . 1. В точке имеется условный минимум; 2. В точке имеется условный максимум; 3. В точке отсутствует условный экстремум; 4. В точке имеется нестрогий условный минимум; 5. В точке имеется нестрогий условный максимум. -2 M5 M1 -6 -4 -5 -4 M4 -3 M3 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 M2 -2 -1 13. Используя ряд Маклорена для функции f x , вычислите 1/ 2 f x dx 0 0,001, если f x x 2 1 x . 1. 0,026; 2. 0,034; 3. 0,049; 4. 0,052; 5. 0,057. - 84 - с точностью до 14. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции z 2 x 2 xy y 2 5x 3 y в области, ограниченной линиями: x 3, y 2, x y 6 , равна 1. 42; 2. 53; 3. 64; 4. 86; 5. 98. 15. Вычислите с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением x 2 y 2 декартовых координатах. 3/ 2 1. 2 ; 2. 4 ; 3. 8 ; 4x 2 y 2 в 4. 12 ; 5. 16 . 16. Оцените ошибку, получаемую при замене суммы ряда n 1 sin n 3 n n 2 суммой первых его 4-х слагаемых. 17. Опишите все асимптоты графика функции y 2 x arctg x . 2 18. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой x tg 3t , y cos 2t в точке, для которой t . 4 19. По графику функции y f x , изображенному на рисунке, выясните вид графиков ее первой и второй производных. y y=f(x) 0 a x b 20. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость: 1 0 а) xe 2x dx ; б) 0 21. Найдите значение предела lim x 0 cos x e x2 2 x4 - 85 - . dx x x2 . 22. Для функции f x x x 1 3 найдите первообразную, график которой проходит через 3 . точку M 1; 18 23. Подсчитайте выручку потребителей и поставщиков товара, законы спроса и предложения на который имеют следующий вид: p 44 x 2 , p x 2 2 x 20 . Здесь x – количество товара, p – цена на этот товар. 24. На рисунке изображены линии уровня функции z f x, y . Постройте график функции z f 1, y . 5 y 4 3 2 1 0 1 6 2 2 1 2 4 3 2 6 4 3 0 5 2 8 1 16 1 2 3 1 64 1/2 2 1 0 1 1 2 4 8 16 32 64 x 2 y 2 sin x y 25. Укажите точки разрыва функции z . x y y 2 x 26. Вычислите приближенно при помощи дифференциала первого порядка ln 3,022 1,993 . x 32 27. Применяя правило нахождения частных производных сложной функции, uv определите z x и z y , если z ctg , u e xy , v x 2 y 2 . uv 28. Пусть z z x, y - неявная функция, определяемая уравнением x 2 2 y 2 z 2 y 2 z 1 0 , которая при x 2 и y 1 принимает значение z 2 . Напишите разложение функции z по возрастающим степеням биномов x 2 и y 1 до второго порядка включительно. - 86 - 29. Определите локальные экстремумы функции трех переменных f x, y, z x 3 xy y 2 2 zx 2 z 2 3 y 1. 30. Найдите условные локальные экстремумы функции z x 2 y 2 4 xy при x2 y2 2 0. Вариант №4 1. Укажите неверные утверждения. Для того, чтобы непрерывная в точке M 0 функция f x, y была дифференцируемой в этой точке, достаточно потребовать, чтобы: 1. A, B : f x, y f x0 , y 0 A x x0 B y y 0 o , где x x0 2 y y 0 2 ; 2. Существовали частные производные f x M 0 и f y M 0 ; 3. Для любого направления l существовала производная вдоль этого направления в точке M 0 ; 4. Частные производные f x, y и f x, y существовали в некоторой окрестности x y точки M 0 и были бы непрерывны в точке M 0 ; 5. Существовали все частные производные первого порядка f x, y в некоторой окрестности точки M 0 . 2. Укажите верные утверждения. Функция u f M M R m задана в окрестности точки M 0 . Число A не является пределом функции f M при M M 0 , если: 1. 0 0 : M : 0 M , M 0 f M A ; 2. 0, 0 M : 0 M , M 0 f M A ; 3. 0, 0 : M : 0 M , M 0 f M A ; 4. 0 : 0 M : 0 M , M 0 f M A ; 5. 0 : 0 M : M , M 0 f M A . x2 1 x y 3. Двойной предел lim 1 равен x x y a 1. e ; 2. e 1 / a ; 3. ln a ; 5. . 4. 1; 4. Укажите все расходящиеся числовые ряды. 1. n 1 3n n n 11 5 ; 2. 1 n n 2 n ln n ; 3. n 1 n 1 ; 100 - 87 - 13 4. n e n 1 ; n 1 5. sin 2 2 n n 1 n3 . 5. Площадь треугольника, образованного асимптотами графика функции y касательной к этому графику, проходящей через точку M 4;2 , равна 3x 6 и x 1 1. 3; 2. 4; 3. 6; 4. 9; 5. 12. 6. На рисунке изображены линии уровня функции z f x, y . Отметьте неверные утверждения. 1. В точках C и D функция f x, y принимает максимальные значения; 2. В точках A и D функция f x, y принимает максимальные значения; 3. В точке B функция f x, y принимает максимальное значение; 4. В точке B функция f x, y принимает минимальное значение; 5. В окрестности точки C поверхность z f x, y имеет вид седла; на линии EF функция f x, y сохраняет постоянное значение. 6 y 0 5 0 -1 1 6 -2 -3 2 5 3 3 2 B 4 1 4 3 0 2 1 2 A -1 -2 -3 x 3 -2 C D 15 -5 E 10 0 -1 -4 F -3 -2 -1 0 7. При заданной производственной функции Кобба-Дугласа Q AK 0,8 L0,5 ( A const ) установите, как изменится объем выпуска продукции Q (в процентах) при уменьшении затрат капитала K и увеличении трудовых ресурсов L соответственно на 10% и 8%. 1. Уменьшится на 2%; 2. Увеличится на 2%; 3. Уменьшится на 4%; 4. Увеличится на 4%; 5. Не изменится. 8. Производная функции u x 2 z y 2 z z 2 y в точке M 1;2;2 по направлению вектора l 2;1;2 равна 1. 2; 2. 4; 3. 6; -1 0 4. 8; 5. 10. - 88 - 1 2 9. Определите промежуток, которому принадлежит значение полной производной функции z arcsin 2 x x cos t , y e t при t . 2 yt 1. 6;3 ; 2. 3;0 ; 3. 0;3 ; 4. 3;6 ; 10. Область сходимости степенного ряда dz dt 5. 6;9 . x 3 3n n 1 8n n с учетом граничных точек совпадает с множеством 1. 2;2 ; 2. 2;2 ; 4. 1;5 ; 3. (1;5); 5. 1;5 . 11. Укажите целое число, к которому наиболее близко значение интеграла D где область D ограничена линиями: y 0 , y x , y 2 x . 1. 2 ; 2. 1 ; 3. 0; xydxdy , 4. 1; 5. 2. 12. По предложенным графикам линий уровня функции двух переменных f x, y и условия связи g x, y 0 (более толстая линия на рисунке) определите наличие или отсутствие у функции f x, y условного локального экстремума в точке: a) M1 ; b) M 2 ; c) M 3 ; d) M 4 ; e) M 5 . 1. В точке имеется условный минимум; 2. В точке имеется условный максимум; 3. В точке отсутствует условный экстремум; 4. В точке имеется нестрогий условный минимум; 5. В точке имеется нестрогий условный максимум. M1 M4 5 M5 3 1 4 -1 -3 M3 -5 5 M2 -4 -2 0 - 89 - 1 2 3 4 13. Используя ряд Маклорена для функции f x , вычислите 1/ 2 f x dx с точностью до 0 0,001, если f x x 2 cos x . 1. 0,055; 2. 0,049; 3. 0,042; 4. 0,038; 5. 0,034. 14. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции z 4x 2 xy y 2 2 x 4 y в области, ограниченной линиями: x 2 , y 2 , x 2 , y 3 , равна 1. 15; 2. 19; 3. 24; 4. 40; 5. 56. 15. Вычислите с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением x 2 y 2 3 2x 4 в декартовых координатах. 1. 3 ; 2. ; 8 4 3. ; 2 4. 3 ; 4 5. . 16. Оцените ошибку, получаемую при замене суммы ряда cos 3 n 5n n 1 суммой первых n его 7-ми слагаемых. 1 17. Опишите все асимптоты графика функции y x ln e . x 18. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой x arccos t , y 1 t 2 в точке, для которой t 2 . 2 19. Выясните вид графика функции y f x по графику ее первой производной, изображенному на рисунке. y y'=f ' (x) 0 b a - 90 - x 20. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость: а) x 2 2x e x 10 б) dx ; 0 dx 3 x 2. 0 1 x x 3 2 21. Найдите значение предела lim x x e x 6 1 . x 2 22. Для функции f x e 2x e x e 2 x 6e x 8 3 проходит через точку M 0; ln 5 . 2 найдите первообразную, график которой 23. Подсчитайте выручку потребителей и поставщиков товара, законы спроса и 120 предложения на который имеют следующий вид: p , p 2,5 x 10 . Здесь x – x2 количество товара, p – цена на этот товар. 24. На рисунке изображены линии уровня функции z f x, y . Постройте график функции z f x,4 . 5 y 4 3 2 1 6 0 1 2 2 1 2 4 3 2 6 4 3 0 5 2 8 1 16 1 2 3 1 64 1/2 2 1 0 1 1 2 4 8 16 25. Укажите точки разрыва функции z x 32 32 64 ln 1 x y . sin x sin y 26. Вычислите приближенно при помощи дифференциала первого порядка 0,99 2 0,983 . - 91 - 27. Применяя правило нахождения частных производных сложной функции, v определите z x и z y , если z sin , u ln x 3 y 4 , v e xy . 2 u 28. Пусть z z x, y - неявная функция, определяемая уравнением z 3 6 z xy 0 , которая при x 2 и y 2 принимает значение z 2 . Напишите разложение функции z по возрастающим степеням биномов x 2 и y 2 до второго порядка включительно. 29. Определите локальные экстремумы функции трех переменных f x, y, z x 2 y 2 z 2 2x 4 y 6z . 30. Найдите условные локальные экстремумы функции z x y при x2 y2 5. 4 § 2.4. Линейная алгебра и элементы аналитической геометрии. Математический анализ (специальность «Государственное и муниципальное управление») Вариант №1 1[2]. Укажите верные утверждения. Первый дифференциал дифференцируемой функции z f x, y в точке M 0 x0 , y 0 – это то же самое, что f f dx dy ; x y f x0 x, y 0 f x0 , y 0 f x0 , y 0 y f x0 , y 0 2. dx lim , где dx и dy lim x0 y 0 x y dy – бесконечно малые приращения x и y ; 3. a x x0 b y y 0 , где z ax by – уравнение касательной плоскости к графику 1. функции z f x, y в точке M 0 ; 4. главная (линейная) часть приращения функции в точке M 0 ; 5. a x x0 b y y 0 при условии, что f x0 x, y0 y f x0 , y0 ax x0 b y y0 o x x0 2 y y0 2 . 2[2]. Матрица X , удовлетворяющая уравнению 7 5 2 1 , равна X 4 3 1 1 11 8 10 17 2 3 1 2 ; 3. ; 4. ; ; 2. 1. 12 7 1 2 1 3 15 11 - 92 - 2 1 . 5. 3 2 3[2]. Производная функции f ( x, y) e x равна 1. 2 ; 2. 1 ; 3. 0; 4. 1 2; 2 ( 2 y ) в точке M(1;2) по направлению оси Oy 5. 1 . 4[2]. Вычислите неопределенный интеграл ( x arctg x) dx . 1 x2 1 1 1 1. arctg x arctg 2 x C ; 2. arctg x 2 arctg 2 x C ; 3. ln 1 x 2 arctg 2 x C ; 2 2 2 1 4. 2 ln( 1 x 2 ) arctg x C ; 5. ln( 1 x 2 ) arctg 2 x C . 2 5[2]. На рисунке изображены линии уровня функции z f x, y . Отметьте неверные утверждения. 1. В точках C и D функция f x, y принимает максимальные значения; 2. В точкe D функция f x, y принимает минимальное значение, а в точке C — максимальное; 3. В точке D функция f x, y принимает максимальное значение, а в точке C — минимальное; 4. В точке A функция f x, y принимает минимальное значение; 5. В окрестности точки B поверхность z f x, y имеет вид седла; на линии EF функция f x, y сохраняет постоянное значение. E -3 -2 2 1 y -1 -1 0 5 B -2 -3 0 C 0 3 2 1 A -4 -3 D -1 -2 0 1 -1 2 1 2 x 3 -2 3 4 1 3 2 2 1 1 6[2]. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции f ( x) 3x 5 5x 3 6 на отрезке 0;2 равна - 93 - F -1 1. 58 ; 2. 56 ; 3. 48 ; 4. 10 ; 5. 2 . x 3 ( x 1), 7[2]. Функция f ( x ) x 2 2 ( 1 x 0), имеет: e 1 x ( x 0) 1. одну точку разрыва первого рода и одну точку разрыва второго рода; 2. две точки разрыва первого рода; 3. две точки разрыва второго рода; 4. одну точку разрыва второго рода и одну точку устранимого разрыва; 5. две точки устранимого разрыва. 8[2]. Используя формулу конечных приращений для функции f ( x ) 12 cos x на отрезке ; , получите оценки сверху и снизу величины f f f : 4 6 6 4 A f B . В ответе укажите промежуток A; B . 1 3 1. ; ; 2 2 3 1 ; 2. ; 2 2 1 1 3. ; ; 2 2 1 1 4. ; ; 2 2 5. 3;1 . 9[2]. Значение производной y x функции y y( x) , заданной неявно уравнением x ln y arctg , в точке М (e; e) равно 4 y 1 1. 1 ; 2 2. 1 2 ; 3. 1 ; 4. 2 ; 5. не существует. 10[2]. Предполагая, что спрос на некоторую продукцию зависит от цены p следующим образом: 500 1 D( p ) , 4 p 2 укажите, приближенно заменяя приращение соответствующей функции ее дифференциалом, целое число, наиболее близкое к изменению дохода (в процентах) при увеличении цены на 4% от p0 16 . 1. 1 ; 2. 2 ; 3. 3 ; 4. 4 ; 5. 5 . 1 2 dz y функции z x exp при dt e t t 2 , где x g (t ) , y h(t ) , а g (2) 6 , g (2) 1 , h(2) 2 , h(2) 1 2 . 11[3]. Определите значение полной производной 1. 30 ; 2. 12; 3. 3 ; 4. 18 ; 5. 21 . - 94 - 12[5]. По предложенным графикам линий уровня функции двух переменных f x, y и условия связи g x, y 0 (более толстая линия на рисунке) определите наличие или отсутствие у функции f x, y условного локального экстремума в точке: a) M1 ; b) M 2 ; c) M 3 ; d) M 4 ; e) M 5 . 1. В точке имеется условный минимум; 2. В точке имеется условный максимум; 3. В точке отсутствует условный экстремум; 4. В точке имеется нестрогий условный минимум; 5. В точке имеется нестрогий условный максимум. -2 M5 -6 M3 M1 -4 M4 -5 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 M2 -4 -3 -2 -1 13[3]. Значение площади фигуры, ограниченной линиями x y 2 4 y 5 и x y 5 , принадлежит промежутку 1. [25;30]; 2. [15;20); 3. [10;15); 4. [5;10); 5. (0;5). 14[3]. Укажите наиболее точное приближение к значению функции f ( x) sin 2 x ln( 1 x 2 ) в точке x 0 10 6 . 1 3 5 1 x ; 4. x 4 ; 5. x 4 . 6 6 6 2 (ln x) 15[3]. Функция f ( x) ln( 1 e 2 ) имеет: x 1. ни одной точки экстремума и одну точку перегиба; 2. одну точку экстремума и ни одной точки перегиба; 3. одну точку экстремума и одну точку перегиба; 4. две точки экстремума и одну точку перегиба; 5. две точки экстремума и две точки перегиба. - 95 - 1. 2 x 2 ; 2. 2x 2 ; 3. 16[3]. Найдите фундаментальный набор решений однородной системы линейных алгебраических уравнений x1 x2 3x3 6 x4 0, 7 x1 3x2 7 x3 18 x4 0, 4 x x 5 x 12 x 0 2 3 4 1 и запишите общее решение этой системы в векторной форме. 17[3]. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой x arctg t , y ln( 1 t 2 ) в точке, для которой t 3 . 18[3]. Опишите все асимптоты графика функции y x ex . x2 1 x 4 3x 3 2 x 2 dx C . Найдите абсциссы точек, в которых cos x 3 функция F (x) принимает экстремальные значения, и опишите характер этих экстремумов. 19[3]. Известно, что F ( x) 20[4]. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость: x 4 а) x 2 e 2 dx ; б) 0 0 dx . (x 1) 2 21[4]. Дана функция z arctg ( xy 2 ) , точка А(2;3) и вектор l 4i 3 j . Найдите: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора l . 22[4]. При заданной производственной функции Кобба-Дугласа Q AK 0,5 L0,7 ( A const ) установите, как изменится объем выпуска продукции Q (в процентах) при уменьшении затрат капитала K и увеличении трудовых ресурсов L соответственно на 8% и 10%. f ( x) f ( x) dx F ( x; a) C , 23[4]. Найдите неопределенный интеграл 2 dx , если xa x x6 где F ( x; a ) – заданная функция переменных x и a, C const . 24[5]. Выясните вид графика непрерывной функции y f x по графику ее первой производной, изображенному на рисунке. y 0 a b b x x y=f'(x) - 96 - 25[5]. Найдите функцию спроса, если известны : 1) значение цены p=18 в некоторой p точке x=1; 2) эластичность E p ( x) (0 p 20). p 20 26[5]. Вычислите tg , где – угол между линейно независимыми собственными векторами матрицы 4 2 . A 1 3 27[5]. Найдите все точки локального экстремума функции f ( x, y) 4 x 2 2 xy y 2 10 x 4 y и определите их тип. 28[5]. Исследуйте на условный экстремум функцию f ( x, y ) 3x 6 y при условии связи y 2 xy 1 0 29[5]. Предполагая, что у дифференцируемой функции двух переменных f ( M ) f ( x, y ) известны значения f ( A) 2 , f ( B) 2,05 , f (C ) 1,93 в точках A(5;3) , B (5,01;3) , C (5;3,07) , определите приближенно ее частные производные f x ( A), f y ( A) и дифференциал df ( A). 30[5]. Найдите общее решение дифференциального уравнения y 6 y 9 y 10e 3x и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y (0) 3 , y (0) 2 . Вариант №2 1[2]. Укажите верные утверждения. Функция u f M M R m задана в окрестности точки M 0 . Число А не является пределом функции f M при M M 0 , если: 1. 0 , 0 : M : 0 M , M 0 2. 0 , 0 M : 0 M , M 0 3. 0 , 0 : M : 0 M , M 0 4. 0 : 0 M : 0 M , M 0 5. 0 : 0 M : M , M 0 f (M ) A ; f (M ) A ; f (M ) A ; f (M ) A ; f (M ) A . 2[2]. Матрица X , удовлетворяющая уравнению 1 1 1 1 X , равна 4 3 2 3 7 0 ; 1. 18 5 7 0 1 0 ; 3. ; 2. 18 5 2 1 1 0 ; 4. 2 1 - 97 - 7 18 . 5. 5 0 3[2]. Производная функции f ( x, y) (1 x) 2 y 2 в точке О(0;0) по направлению оси Ox равна 1. 2 ; 2. 1 ; 3. 1 2; 4. 1 ; 5. 2 . 4[2]. Вычислите неопределенный интеграл 1. ln arctg x C ; 2. 2 arctg x C ; 3. 5. arctg x x (1 x) 1 arctg 2 2 dx . x C ; 4. arctg 2 x C; 1 arctg x C . x 5[2]. На рисунке изображены линии уровня функции z f x, y . Отметьте верные утверждения. 1. В точках C и D функция f x, y принимает максимальные значения; 2. В точках C и D функция f x, y принимает минимальные значения; 3. В точке B функция f x, y принимает максимальное значение; 4. В точке B функция f x, y принимает минимальное значение; 5. В окрестности точки A поверхность z f x, y имеет вид седла; на линии EF функция f x, y сохраняет постоянное значение. y -1 0 -4 B -3 -1 -2 5 3 2 1 0 1 2 x 3 -2 -1 C 4 3 4 3 2 1 D 1 0 1 2 A -1 F E 3 0 -2 -3 6[2]. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции f ( x) x 3 12 x 7 на отрезке 0;3 равна 1. 32; 2. 25; 3. 16; 4. 9; 5. 7. - 98 - x ln x ( x 1)( x 2) 7[2]. Функция f ( x ) 1 ( x 0) ( x 0), имеет: 1. одну точку разрыва первого рода и одну точку разрыва второго рода; 2. одну точку устранимого разрыва и одну точку разрыва второго рода; 3. одну точку разрыва первого рода и две точки разрыва второго рода; 4. две точки разрыва первого рода и одну точку разрыва второго рода; 5. две точки разрыва второго рода и одну точку устранимого разрыва. 8[2]. На кривой y x 3 найдите точку, касательная в которой параллельна хорде, соединяющей точки A ( 1;1) и B ( 2;8) . 1. Такой точки не существует; 2. ( 1;1) ; 3. ( 3;3 3 ) ; 4. (0;0) ; 5. (1;1) . 9[2]. Значение производной y x функции y y( x) , заданной неявно уравнением y ln( x y ) x 1 , в точке M (0;1) равно 1. 1 ; 2. 1 2 ; 3. 0 ; 4. 1 2 ; 5. 1 . 10[2]. Предполагая, что спрос на некоторую продукцию зависит от цены p следующим образом: D( p) 100 2, p укажите, приближенно заменяя приращение соответствующей функции ее дифференциалом, целое число, наиболее близкое к изменению дохода (в процентах) при увеличении цены на 4,5% от p0 25 . 1. 2 ; 2. 3 ; 3. 5 ; 4. 7 ; 5. 8 . x dz функции z 4 arcsin при dt yt t 1, где x g (t ) , y h(t ) , а g (1) 3 , g (1) 11 , h(1) 5 , h(1) 10 . 11[3]. Определите значение полной производной 1. 0,4 ; 2. 5; 3. 2,6 ; 4. 2; 5. 4. - 99 - 12[5]. По предложенным графикам линий уровня функции двух переменных f x, y и условия связи g x, y 0 (более толстая линия на рисунке) определите наличие или отсутствие у функции f x, y условного локального экстремума в точке: a) M1 ; b) M 2 ; c) M 3 ; d) M 4 ; e) M 5 . 1. В точке имеется условный минимум; 2. В точке имеется условный максимум; 3. В точке отсутствует условный экстремум; 4. В точке имеется нестрогий условный минимум; 5. В точке имеется нестрогий условный максимум. -2 M5 M1 -6 -4 -5 M4 -4 -3 M3 M2 -2 -1 13[3]. Площадь фигуры, ограниченной кривой y xe x равна 1. e ; 2. 2 ; 3. 1 ; 4. 1 2 ; 2 2 и ее асимптотой при x 0 , 5. среди приведенных нет верного ответа. 14[3]. Укажите наиболее точное приближение к значению функции f ( x) e x x 1 x 2 в точке x 0 10 7 . 1. x 2 ; 2. 1 4 x ; 8 3. 1 4 x ; 6 4. 1 3 x ; 3 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 5. 1 3 x . 6 2 15[3]. Функция f ( x) e x имеет: 1. одну точку экстремума и одну точку перегиба; 2. одну точку экстремума и две точки перегиба; 3. одну точку экстремума и не имеет точек перегиба; 4. две точки экстремума и одну точку перегиба; 5. две точки перегиба и не имеет точек экстремума. - 100 - 16[3]. Найдите фундаментальный набор решений однородной системы линейных алгебраических уравнений x1 3x2 4 x3 x4 0, 5 x1 7 x2 2 x3 5 x4 0, 3x 2 x x 3x 0 2 3 4 1 и запишите общее решение этой системы в векторной форме. 17[3]. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой x sin t , y 2 t в точке, для которой t 0 . 18[3]. Опишите все асимптоты графика функции y xe1 x . x 19[3]. Известно, что F ( x ) e t t 4 7t 3 6t 2 dt . Найдите абсциссы точек, в которых 2 функция F (x) принимает экстремальные значения, и опишите характер этих экстремумов. 20[4]. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость: 0 0 а) 3x 3 x e dx ; б) 3 dx 5 x 1 3 . 21[4]. Дана функция z ln( 5x 2 3 y 2 ) , точка А(1;1) и вектор l 3i 2 j . Найдите: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора l . 22[4]. При заданной производственной функции Кобба-Дугласа Q AK 0,9 L0,5 (A = const) установите, как изменится объем выпуска продукции Q (в процентах) при увеличении затрат капитала K и уменьшении трудовых ресурсов L соответственно на 5% и 7%. 23[4]. Найдите неопределенный интеграл f ( x) f ( x) x 2 2 x 3 dx , если x a dx F ( x; a) C , где F ( x; a ) – заданная функция переменных x и a, C=const. 24[5]. По графику функции y f x , изображенному на рисунке, выясните вид графиков ее первой и второй производных. y y=f(x) 0 a - 101 - b x 25[5]. Найдите функцию спроса, если известны: 1) значение цены p=90 в некоторой x 100 (0 x 100). точке x=10; 2) эластичность E p ( x) x 26[5]. Вычислите tg , где – угол между линейно независимыми собственными векторами матрицы 4 4 . A 2 5 27[5]. Найдите все точки локального экстремума функции f ( x, y) x 2 2 xy 2 y 2 2 x и определите их тип. 28[5]. Исследуйте на условный экстремум функцию f ( x, y ) 2 x 16 y при условии связи xy y 2 7 0 . 29[5]. Предполагая, что у дифференцируемой функции двух переменных f ( M ) f ( x, y ) известны значения f ( A) 7 , f ( B) 7,02 , f (C ) 7,03 в точках A(6;4) , B(6,02;3,98) , C (6,01;4,01) , определите приближенно ее частные производные f x ( A), f y ( A) и дифференциал df ( A). 30[5]. Найдите общее решение дифференциального уравнения y y 4 sin x и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y (0) 0 , y (0) 1 . Вариант №3 1[2]. Укажите неверные утверждения. Для того, чтобы непрерывная в точке M 0 функция f x, y была дифференцируемой в этой точке, достаточно потребовать, чтобы: 1. A, B : f x, y f x0 , y 0 A x x0 B y y 0 o , где x x0 2 y y 0 2 ; 2. существовали частные производные f x M 0 и f y M 0 ; 3. для любого направления l существовала производная вдоль этого направления в точке M 0 ; 4. частные производные f x, y и f x, y существовали в некоторой окрестности x y точки M 0 и были бы непрерывны в точке M 0 ; 5. существовали все частные производные первого порядка f x, y в некоторой окрестности точки M 0 . 2[2]. Матрица X , удовлетворяющая уравнению 3 2 1 2 , равна X 5 4 5 6 - 102 - 3 2 ; 1. 5 4 3 2 ; 2. 5 4 5 3 ; 3. 2 4 3 5 ; 4. 4 2 4 2 . 5. 5 3 3[2]. Производная функции f ( x, y ) 3 x 3 y 3 в точке M(–1;0) по направлению оси Ox равна 1. 1 ; 2. 1 3 ; 3. 0; 4. 1; 5. 2. 4[2]. Вычислите неопределенный интеграл 1. 4. 3 4 ln x dx . x 3 4 ln x 2 / 3 C ; 2. 3 4 ln x 4 C ; 3. 4 3 4 ln x 4 C ; 2 3 ln x 3 3 4 ln x 4 C ; 5. C. 3 4 4 ln x 5[2]. На рисунке изображены линии уровня функции z f x, y . Отметьте неверные утверждения. 1. В точках C и D функция f x, y принимает максимальные значения; 2. В точках A и D функция f x, y принимает максимальные значения; 3. В точке B функция f x, y принимает максимальное значение; 4. В точке B функция f x, y принимает минимальное значение; 5. В окрестности точки C поверхность z f x, y имеет вид седла; на линии EF функция f x, y сохраняет постоянное значение. 6 y 0 5 0 -1 1 6 -2 -3 2 5 3 3 2 B 4 1 4 3 0 2 1 2 A -1 -2 -3 x 3 -2 C -1 0 15 -5 E 10 0 -1 -4 D F -3 -2 - 103 - -1 0 1 2 6[2]. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции f ( x) x 4 4 x на отрезке 2;2 равна 1. 32; 2. 27; 3. 21; 4. 16; 5.11. cos x ( x 0), 7[2]. Функция f ( x ) x 2 1 (0 x 1), 51 / 1 x ( x 1) имеет: 1. одну точку устранимого разрыва; 2. одну точку разрыва первого рода; 3. одну точку разрыва второго рода; 4. одну точку устранимого разрыва и одну точку разрыва второго рода; 5. одну точку устранимого разрыва и одну точку разрыва первого рода. 8[2]. Используя формулу конечных приращений для функции f ( x) 12 sin x на отрезке 4 ; 3 , получите оценки сверху и снизу величины f f 4 f 3 : A f B . В ответе укажите промежуток A; B . 1 1 1. ; ; 2 2 3 1 3. ; ; 2 2 1 1 2. ; ; 2 2 1 3 4. ; ; 5. 1; 3 . 2 2 9[2]. Значение производной y x функции y y( x) , заданной неявно уравнением y sin x cosx y , в точке M ;0 равно 2 1. 1 ; 2. 1 2 ; 3. 0 ; 4. 1 2 ; 5. 1 . 10[2]. Предполагая, что спрос на некоторую продукцию зависит от цены p следующим 750 1 образом: D( p) , укажите, приближенно заменяя приращение 3 p 3 соответствующей функции ее дифференциалом, целое число, наиболее близкое к изменению дохода (в процентах) при увеличении цены на 3% от p0 27 . 1. 1 ; 2. 2 ; 3. 3 ; 4. 4 ; 5. 5 . y2 t dz при 11[3]. Определите значение полной производной функции z 2 ln x dt t 8 , где x g (t ) , y h(t ) , а g (8) 2 , g (8) 6 , h(8) 3 , h(8) 2 . 1. 13; 2. 20 ; 3. 11; 4. 18; 5. 5,5. - 104 - 12[5]. По предложенным графикам линий уровня функции двух переменных f x, y и условия связи g x, y 0 (более толстая линия на рисунке) определите наличие или отсутствие у функции f x, y условного локального экстремума в точке: a) M1 ; b) M 2 ; c) M 3 ; d) M 4 ; e) M 5 . 1. В точке имеется условный минимум; 2. В точке имеется условный максимум; 3. В точке отсутствует условный экстремум; 4. В точке имеется нестрогий условный минимум; 5. В точке имеется нестрогий условный максимум. 2 3 M1 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 M2 M5 4 M4 M3 4 5 5 1 2 3 4 1 2 3 4 13[3]. Значение площади фигуры, ограниченной линиями x 2 4 y и y принадлежит промежутку 1. (0;1]; 2. (1;2]; 3. (2;3]; 4. (3;4]; 5. (4;5]. 14[3]. Укажите наиболее точное приближение к значению функции 2 1 f ( x) e x в точке x 0 10 4 . 2 1 x 1. 2x 2 ; 2. 2x 2 ; 3. 3 4 x ; 2 3 4. x 4 ; 4 1 5. x 4 . 2 15[3]. Функция y arctg x ln 1 x 2 имеет: 1. одну точку экстремума и ни одной точки перегиба; 2. одну точку экстремума и одну точку перегиба; 3. одну точку экстремума и две точки перегиба; 4. две точки экстремума и ни одной точки перегиба; 5. две точки экстремума и две точки перегиба. - 105 - 8 , x 4 2 16[3]. Найдите фундаментальный набор решений однородной системы линейных алгебраических уравнений 2 x1 2 x2 x3 x4 0, 2 x1 3x2 5 x3 4 x4 0, 2 x x 3x 6 x 0 1 2 3 4 и запишите общее решение этой системы в векторной форме. 17[3]. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой x arccos t , y 1 t 2 в 2 . 2 точке, для которой t 2e x . x2 4 18[3]. Опишите все асимптоты графика функции y 3x 19[3]. Известно, что F ( x) 10 x 2 3x 3 x 4 dx C . Найдите абсциссы точек, в arctg (1 x 2 ) которых функция F (x) принимает экстремальные значения, и опишите характер этих экстремумов. 20[4]. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость: а) x 2 10 x 2 x e dx ; б) 0 dx 3 x 2. 0 21[4]. Дана функция z 3x 4 2 x 2 y 3 , точка А(–1;2) и вектор l 4i 3 j . Найдите: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора l . 22[4]. При заданной производственной функции Кобба-Дугласа Q AK 0,8 L0,5 ( A const ) установите, как изменится объем выпуска продукции Q (в процентах) при уменьшении затрат капитала K и увеличении трудовых ресурсов L соответственно на 10% и 8%. 23[4]. Найдите неопределенный интеграл f ( x) x 2 13x 42 dx , если f ( x) x a dx F ( x; a) C , где F ( x; a ) – заданная функция переменных x и a, C const . 24[5]. Выясните вид графика непрерывной функции y f x по графику ее первой производной, изображенному на рисунке. y y=f ' (x) 0 b a - 106 - x 25[5]. Найдите функцию спроса, если известны : 1) значение цены p=10 в некоторой p точке x=3; 2) эластичность E p ( x) (0 p 40). p 40 26[5]. Вычислите tg , где – угол между линейно независимыми собственными векторами матрицы 2 1 . A 3 4 27[5]. Найдите все точки локального экстремума функции f ( x, y) x 2 xy y 2 3x 3 y и определите их тип. 28[5]. Исследуйте на условный экстремум функцию f ( x, y ) x 2 y при условии связи x 2 y 2 5 0 . 29[5]. Предполагая, что у дифференцируемой функции двух переменных f ( M ) f ( x, y ) известны значения f ( A) 5 , f ( B) 5,04 , f (C ) 4,95 в точках A( 2;1) , B(2;1,02) , C (2,01;1) , определите приближенно ее частные производные f x ( A), f y ( A) и дифференциал df ( A). 30[5]. Найдите общее решение дифференциального уравнения y 5 y 6 y 12 cos 2 x и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y (0) 1 , y (0) 3 . Вариант №4 1[2]. Укажите верные утверждения. Функция u f M M R m задана в окрестности точки M 0 . Число А является пределом функции f M при M M 0 , если: 1. 0 , 0 : M : 0 M , M 0 2. 0 , 0 : M : 0 M , M 0 3. 0 , 0, M : 0 M , M 0 4. 0 : 0 M : 0 M , M 0 5. 0 : 0 M : M , M 0 f (M ) A ; f (M ) A ; f (M ) A ; f (M ) A ; f (M ) A . 2[2]. Матрица X , удовлетворяющая уравнению 1 2 4 6 X , равна 2 5 2 1 16 6 1. ; 32 13 16 6 16 32 2. ; 3. ; 32 13 6 13 - 107 - 16 32 4. ; 13 6 13 32 5. . 6 16 3[2]. Производная функции f ( x, y ) 2 x 2 1 y в точке О(0;0) по направлению оси Oy равна 2 2. 1 ; 3. 1 / 2 ; 1. 2 ; 4. 1 ; 5. 2 . 4[2]. Вычислите неопределенный интеграл 1. e sin x C ; 2 2. e sin2 x C ; e 3. 2e sin x C ; sin2 x sin 2 xdx . 4. 1 / 2e cos x C ; 2 5. e cos 2 x C . 2 5[2]. На рисунке изображены линии уровня функции z f x, y . Отметьте верные утверждения. 1. В точке B функция f x, y принимает максимальное значение; 2. В точке B функция f x, y принимает минимальное значение; 3. В точках A и C функция f x, y принимает максимальные значения; 4. В точке A и C функция f x, y принимает минимальные значения; 5. В окрестности точки D поверхность z f x, y имеет вид седла; на линии EF функция f x, y сохраняет постоянное значение. 5 y 4 3 B 2 1 0 F 6 -1 2 2 -1 0 4 3 C 3 2 6 A 4 3 0 5 1 2 6 1 16 1 2 32 D 64 1/2 2 E 1 0 -1 -1 0 4 6 16 32 64 6[2]. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции f ( x ) 3x 4 16 x 3 2 на отрезке 3;1 равна 1. 931; 2. 688; 3. 675; 4. 666; x 3 5. 423. - 108 - xe 1 / x (1 x 2 ) ( x 0), 7[2]. Функция f ( x ) 0 ( x 0) имеет: 1. две точки разрыва второго рода; 2. две точки разрыва первого рода и одну точку разрыва второго рода; 3. три точки разрыва второго рода; 4. одну точку разрыва первого рода и две точки разрыва второго рода; 5. три точки разрыва первого рода. 8[2]. На кривой y x найдите точку, касательная в которой параллельна хорде, 3 соединяющей точки A (1;1) и B ( 2;8) . 1. Такой точки не существует; 2. ( 7 / 3;7 7 / 27) ; 3. ( 3;3 3 ) ; 4. (0;0) ; 5. (1;1) . 9[2]. Значение производной y x функции y y( x) , заданной неявно уравнением x y e y arctg x 0 , в точке М (0;0) равно 1. 1 ; 2. 0; 3. 1; 4. 2; 5. не существует. 10[2]. Предполагая, что спрос на некоторую продукцию зависит от цены p следующим образом: D( p ) 5 100 p 1 , 2 укажите, заменяя приближенно приращение соответствующей функции ее дифференциалом, целое число, наиболее близкое к изменению дохода (в процентах) при увеличении цены на 10% от p0 32 . 1. 6; 2. 7; 3. 8; 4. 9; 5. 10. y t2 dz функции z 2 tg 1 при dt x t 3 , где x g (t ) , y h(t ) , а g (3) 2 , g (3) 3 , h (3) 11 , h (3) 5 . 11[3]. Определите значение полной производной 1.0; 2. 6 ; 3. 4 ; 4. 2; 5. 6. - 109 - 12[5]. По предложенным графикам линий уровня функции двух переменных f x, y и условия связи g x, y 0 (более толстая линия на рисунке) определите наличие или отсутствие у функции f x, y условного локального экстремума в точке: a) M1 ; b) M 2 ; c) M 3 ; d) M 4 ; e) M 5 . 1. В точке имеется условный минимум; 2. В точке имеется условный максимум; 3. В точке отсутствует условный экстремум; 4. В точке имеется нестрогий условный минимум; 5. В точке имеется нестрогий условный максимум. M1 M4 5 M5 3 1 4 -1 -3 M3 -5 5 M2 -4 -2 0 1 2 3 4 13[3]. Значение площади фигуры, ограниченной линиями y 2 2 x и y 2 3 x, принадлежит промежутку 1. [1;2); 2. [2;3]; 3. (3;4); 4.(4;5]; 5. среди приведенных нет верного ответа. 14[3]. Укажите наиболее точное приближение к значению функции x2 f ( x ) ln 1 x 2 в точке x 0 10 5 . 2 1 x 1 1 1. 2 x 2 ; 2. x 2 ; 3. x 4 ; 4. x 4 ; 5. x 4 . 2 2 15[3]. Функция f ( x ) x 2 e x имеет: 1. одну точку экстремума и одну точку перегиба; 2. одну точку экстремума и две точки перегиба; 3. одну точку экстремума и не имеет точек перегиба; 4. две точки экстремума и одну точку перегиба; 5. две точки перегиба и две точки перегиба. - 110 - 16[3]. Найдите фундаментальный набор решений однородной системы линейных алгебраических уравнений 2 x1 2 x 2 3x 3 x 4 0, 5x1 2 x 2 4 x 3 4 x 4 0, x 2x 2x 6x 0 2 3 4 1 и запишите общее решение этой системы в векторной форме. 17[3]. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой x t ln t , y для которой t 1 . ln t в точке, t 18[3]. Опишите все асимптоты графика функции y 2 x arctg x . 3t 2 2t 3 t 4 19[3]. Известно, что F ( x ) dt . Найдите абсциссы точек, в которых ln t 2 2 x функция F (x) принимает экстремальные значения, и опишите характер этих экстремумов. 20[4]. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость: 0 а) xe 1 2x dx ; б) 0 dx x x2 . 21[4]. Дана функция z arcsin( x 2 / y ) , точка А(1;2) и вектор l 5i 12 j . Найдите: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора l . 22[4]. При заданной производственной функции Кобба-Дугласа Q AK 0,4 L0,8 (A =const) установите, как изменится объем выпуска продукции Q (в процентах) при увеличении затрат капитала K и уменьшении трудовых ресурсов L соответственно на 10% и 5%. f ( x) dx , если 2 x 15 где F ( x; a ) – заданная функция переменных x и a, C=const. 23[4]. Найдите неопределенный интеграл x 2 f ( x) x a dx F ( x; a) C , 24[5]. По графику функции y f x , изображенному на рисунке, выясните вид графиков ее первой и второй производных. y y=f(x) 0 a b - 111 - x 25[5]. Найдите функцию спроса, если известны: 1) значение цены p=36 в некоторой x 300 (0 x 300). точке x=12; 2) эластичность E p ( x ) x 26[5]. Вычислите tg , где – угол между линейно независимыми собственными векторами матрицы 3 4 A . 2 1 27[5]. Найдите все точки локального экстремума функции f ( x, y ) x 2 xy 5 y 2 5x 12 y и определите их тип. 28[5]. Исследуйте на условный экстремум функцию f ( x, y ) x y при условии связи x2 y2 8. 29[5]. Предполагая, что у дифференцируемой функции двух переменных f ( M ) f ( x, y ) известны значения f ( A) 1 , f ( B ) 1,05 , f (C ) 0,92 в точках A(5;6) , B(5, ;6,01) , C (5,02;6) , определите приближенно ее частные производные f x ( A), f y ( A) и дифференциал df ( A). 30[5]. Найдите общее решение дифференциального уравнения y 4 y 6 x 2 1 и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y (0) 2 , y (0) 3 . - 112 -