Задача 4.15. Частица массы , обладающая энергией , падает на

Задача 4.15.
Частица массы m 0 , обладающая энергией E , падает на прямоугольный потенциальный
барьер высотой U 0 и шириной a . Энергия частицы E  U 0 . Найдите значения энергии
частицы E , при которых она будет беспрепятственно проходить через этот барьер.
Вычислите первые два значения E для электрона при U 0  10 ,0 эВ и a  0,50 нм.
Решение:
Потенциальный барьер имеет вид, представленный на рисунке 1:
Рисунок 1
Потенциальная энергия имеет вид:
0, x  0

U ( x)  U 0 , 0  x  a
0, x  a

Составим уравнение Шредингера:
 2 1 2m
 2 E 1  0
x 2
 2 2 2m
 2 ( E  U 0 ) 2  0
x 2
 2 3 2m
 2 E 3  0
x 2
Для области 1 ( x  0 ):
Для области 2 ( 0  x  a ):
Для области 3 ( x  a ):
Обозначим k12 
2m
2
E и k22 
2m
2
(1)
(2)
(3)
( E  U 0 ) и перепишем дифференциальные уравнения (1),
(2), (3) в виде:
 2 1
 k12 1  0
x 2
(4)
 2 2
 k22 2  0
x 2
(5)
 2 3
 k12 3  0
2
x
(6)
Решения дифференциальных уравнений (4), (5), (6) имеют вид:
 1 ( x)  A1eik x  B1e ik x
(7)
 2 ( x)  A2eik x  B2e ik x
2
(8)
 3 ( x)  A3eik x  B3e  ik x
(9)
1
1
2
1
1
Каждое уравнение соответствует сумме дебройлевских волн, распространяющихся в
данной области пространства. Будем считать, что частица движется слева направо, тогда
 1 ( x) - сумма падающей A1eik1x и отражённой B1eik1x дебройлевских волн. Из этого можем
заключить, что так как A1eik1x соответствует падающей волне, то коэффициент A1  1 .
Волновая функция  3 ( x) соответствует прошедшей волне де Бройля, поэтому волна в
области 3, распространяющаяся в отрицательном направлении оси x отсутствует, поэтому
коэффициент B3  0 . С учётом вышеизложенного перепишем уравнения (7), (8), (9) в
следующем виде:
 1 ( x)  eik x  B1eik x
1
1
 2 ( x)  A2eik x  B2eik x
2
 3 ( x)  A3e
(10)
2
ik1 x
Теперь воспользуемся граничными условиями, накладываемыми на волновую функцию, а
именно непрерывностью и гладкостью. Исходя из условия непрерывности волновой
функции в точках x  0 и x  a , имеем:
 1 (0)   2 (0)  1  B1  A2  B2
 2 (a)   3 (a)  A2eik a  B2e ik a  A3eik a
2
2
(11)
(12)
1
Первые производные  1 ( x) ,  2 ( x) ,  3 ( x) имеют вид:
 1 '( x)  ik1eik x  ik1B1e ik x
1
1
 2 '( x)  ik2 A2eik x  ik2 B2e ik x
2
(13)
2
 3 '( x)  ik1 A3eik x
1
Из условия непрерывности в точках x  0 и x  a :
 1 '(0)   2 '(0)  ik1  ik1B1  ik2 A2  ik2 B2
 2 '(a)   3 '(a)  ik2 A2eik a  ik2 B2e ik a  ik1 A3eik a
2
2
1
(14)
(15)
Получим систему 4 уравнений (11),(12),(14),(15):
1  B1  A2  B2
 ik2a
 ik a
ik a
 A2 e  B2 e 2  A3e 1

ik1  ik1 B1  ik2 A2  ik2 B2
ik A eik2a  ik B e ik2a  ik A eik1a
2 2
1 3
 2 2
или
1  B1  A2  B2
 ik2a
 ik a
ik a
 A2 e  B2e 2  A3e 1

k1  k1 B1  k2 A2  k2 B2
k A eik2a  k B e ik2a  k A eik1a
2 2
1 3
 2 2
(16)
Из системы уравнений (16) определим A3 :
4k1k2eik1a
A3 
(k1  k2 )2 eik2a  (k1  k2 ) 2 eik2a
(17)
Коэффициент прохождения частицы через потенциальный барьер определяется
отношением потоков плотностей вероятности прошедшей и падающей волн де Бройля:
D
 ''

(18)
Поток плотности вероятности 
2
k A , соответственно для падающей волны де Бройля
 k A  k1 1  k1 , для прошедшей  '' k1 A3 , тогда коэффициент прохождения частицы
через потенциальный барьер равняется:
2
2
2
 '' k1 A3
2
D

 A3 

k1
1
(k  k )
1
sin 2 (k2 a)
4k k
2
1
2 2
2
2 2
1 2
(19)
Соответственно, коэффициент прохождения частицы через потенциальный барьер
равняется 1, если:
sin 2 (k2 a)  0  sin(k2 a)  k2 a   n, n  1, 2,3,...
Учитывая, что k2 
1
2m( E  U 0 ) , получим:
(20)
a
2m( E  U 0 )   n
E U0 
2
2
2ma
n2
2
Откуда получим, значения энергии, при которых частица может беспрепятственно
проходить потенциальный барьер:
En  U 0 
2
2
2ma
2
n2 , n  1, 2,3,...
(21)
Найдём первых два значения для электрона:
E1  1.6 1018 
3.142  (1.054 1034 )2
 1.84 1018 Дж  12 эВ
31
20
2  9.110  25 10
E2  1.6 1018 
3.142  4  (1.054 1034 ) 2
 2.56 1018 Дж  16 эВ
2  9.11031  25 1020
Ответ: значения энергии, при которых частица будет беспрепятственно преодолевать
потенциальный барьер данного вида:
En  U 0 
2
2
2ma 2
n2 , n  1, 2,3,...
E1  1.84 1018 Дж  12 эВ
E2  2.56 1018 Дж  16 эВ