Домашнее задание к 23.10.2012. Б.Печёрская, вторник. 1. В

Домашнее задание к 23.10.2012. Б.Печёрская, вторник.
1. В треугольнике ABC на сторонах AC и BC взяты точки X и Y такие, что угол ABX
равен углу YAC, угол AYB равен углу BXC, XC=YB. Найдите углы треугольника
ABC. (Московская городская олимпиада, 2003 год)
2. Все углы пятиугольника ABCDE равны. Докажите, что серединные
перпендикуляры к отрезкам AB и CD пересекаются на … (метод «идеального»
построения)
3. Внутри остроугольного ∆АВС отмечена такая точка H, что ABH=ACH и
BAH=BCH. Докажите, что Н – ортоцентр ∆АВС. (другим способом)
4. Найдите какое-нибудь натуральное число, состоящее только из нечётных цифр и
делящееся на 2011.
5. Можно ли обойти хромым королем (король не может ходить по диагоналям) все
клетки шахматной доски, начав в левом нижнем углу и закончив в правом верхнем
углу?
6. В однокруговом шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым по одной
партии. Докажите, что участников можно так занумеровать, что ни один не
проиграл непосредственно следующему за ним по номеру.
7. Последовательность из 36 нулей и единиц начинается с 5 нулей. Среди пятёрок
подряд стоящих цифр встречаются все 32 возможные комбинации. Найдите пять
последних цифр последовательности.
8. Сколько существует целых чисел от 1 до 33000, которые не делятся ни на 3, ни на
5, но делятся на 11?
9. Сколько существует натуральных чисел, меньших тысячи, которые не делятся ни
на 5, ни на 7?