решение задач по дисциплине «метрология и радиоизмерения

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МЕТРОЛОГИЯ И РАДИОИЗМЕРЕНИЯ»
Теория воспроизведения единиц физических величин
Задача 1
Определить электрическую емкость и заряд кабеля, радиус центральной жилы которого равенr
=1,5 см, радиус оболочки R=3,0 см, относительная диэлектрическая проницаемость материала
изоляции ε=3,6 а разность потенциалов между центральной жилой и оболочкой 2,5 кВ.
Решение: Емкость кабеля определяем по формуле
,
Где L-длина кабеля, R - радиус оболочки, r -радиус центральной жилы,
-диэлектрическая
проницаемость материала изоляции,
-электрическая постоянная(абсолютная
диэлектрическая проницаемость вакуума).
Переведем данные задачи в единицы СИ:
Подсчитаем емкость единицы длины кабеля
Найдем теперь заряд, приходящийся также на единицу длины кабеля. Для этого воспользуемся
формулой
,откуда
,
где q -электрический заряд, приходящийся на единицу длины кабеля;U -разность потенциалов между центральной жилой и оболочкой, которая в СИ равна
В.
Подставляем значения:
Задача 2.
Найти относительную магнитную проницаемость железного сердечникасоленоида , если
площадь поперечного сечения последнего 12
; число витков на каждый метр длины n
=400
;ток, проходящий через соленоид 6 А; магнитный поток , пронизывающий соленоид
с сердечником
Вб.
Решение:Относительная магнитная проницаемость сердечника определяем по формуле
,
где
(*)
-магнитная постоянная в единицах СИ
Н-напряженность магнитного поля внутри соленоида
Из формулы(*) находим
Переведем данные задачи в единицы СИ:
Подставляем:
Пример обработки ряда прямых измерений
Задача
При измерении напряжения источника питания получены следующие результаты, В: 9,78; 9,65;
9,83; 9,69; 9,74; 9,80; 9,68: 9,71; 9,81. Найти результат и погрешность измерения напряжения и
записать в стандартной форме, если систематическая погрешность отсутствует, а случайная
распределена по нормальному закону.
Решение:
1.Находят среднее арифметическое и принимают его за результат измерения:
_
x
1 n
 xi  9,7433B
n i 1
2. Определяют СКО погрешности результата измерения:
x 
_
n
1
2
(
x
i

x
)
 0,0215B

n(n  1) i 1
3. Определяют доверительный интервал погрешности измерения. Поскольку в
рассматриваемой задаче число измерений n<20, то доверительный интервал определяется
коэффициентом Стьюдента t(n,p). Задавшись вероятностью 0,95
(n=9},по табл1 находим
значение коэффициента Стьюдента: t=2,306. Границы доверительного интервала: =
tx=0,0215.2,306=0,04960,05 В.
Записывают результат измерения согласно первой формеГОСТ 8.011-72:
9,74 В; от -0,05 до 0,05 В; Р = 0,95.
Обработка результатов косвенных измерений
При косвенных измерениях, когда измеряется не сама величина непосредственно, а другие
величины, связанные определенной зависимостью с величиной, подлежащей измерению,
погрешность результата зависит от погрешностей каждого из прямых измерений, входящих в
косвенное измерение.
Предположим, что следует определить величину У прямыми измерениями других
величин x1, x2 …..,x, с которыми она связана зависимостью y = f(x1,x2….,xm). Пусть для каждой из
величин xiизвестен результат, систематическая погрешностьci, CKO случайной погрешности
xi. Требуется найти результат и оценить погрешность определения.
Задача решается следующим образом.
1. Значение величины y находят, подставляя в зависимостьy=f(x1, x2,…, xm)известные значения
xi .
2. Систематическую погрешность измерения У определяют по формуле
m
cy  
i 1
df
ci ,
dxi
_
df
где частные производные
вычисляют при xi  xi .
dxi
3. СКО случайной погрешности для y находят по выражению:
m
_
m
df
m
df df _ _
 x i x izij ,
i dxj
 ( dx x )   dx
y
2
i
i 1
i 1 j 1
i
гдеrij - коэффициент корреляции между i-й и j-й погрешностями.
Если погрешности коррелированы ri= ± 1, выражение для y примет вид:
m
y   ( 
i 1
df
xi )
dxi
При независимых погрешностях rij=0, и выражение для СКО можно записать как:
y 
m
df
 ( dx x )
i
i 1
2
i
Задача.
Определить результат и погрешность косвенного измерения мощности по результатам
прямых измерений тока и сопротивления с независимыми случайными погрешностями,
распределенными по нормальному закону: I=(15,00,02) А;
P=0,99; R=(10,00,8) Ом;
P=0,9.
Результат записать в стандартной форме для P= 0,96.
Решение:
1. Определяют результат косвенного измерения мощности по формуле
Р=I2R= 5,02*10,0 = 250 Вт.
2. Определяют СКО случайной погрешности косвенного измерения. Для этого сначала находят
СКО погрешности прямых измерений I и R.
I
,
ZI
где I= 0,01 А - половина доверительного интервала случайной
погрешности измерения тока, ZI- значение аргумента Z для функции Лапласа (Z) при
PI
(Z ) 
 0,495
2
3. По табл. 2 для (Z)= 0,495 находят, что ZI= 2,58. Отсюда I= 0,01/2,58 = 0,0039 А.
PR
 0,9 / 2  0,45 . По табл. 2 для (Z)=
Аналогично для нахождения Rопределяют  ( Z ) 
2
0,45 находят ZR= 1,65 и R=R/ZR=0,8/1,65 = 0,485 Ом.
I 
Вычисляют частные производные:
_ _
dP
 2 I R  2 * 5,0 * 10,0  100
dI
2
dP _
 I  5,0 2  25
dI
Окончательно определяют СКО косвенного измерения:
P  (
dP _ 2
dP _
 I )  (  R ) 2  (0,0039 *100) 2  (0,485 * 25) 2  12,19 Bt
dI
dR
4. Определяют доверительный интервал для погрешности косвенного измерения мощности с
доверительной вероятностью P=0,96. Для (Z)=PP/2=0,96/2 = 0,48 по табл. 3 находят ZP = 2,04
и вычисляют доверительный интервал:
P  ZP * P  2,04 *12,19  24,87 Bt .
Записывают результат в стандартной форме:
Р=25024,9 Вт, Р=0,96. .
ПРИДЛОЖЕНИЕ
Коэффициент t можно определить из таблицы 1 по заданному числу наблюдений n и
заданной /выбранной/ доверительной вероятности P.
Таблица 1
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
14
16
18
20
0,5
2
1,00
0,82
0,77
0,74
0,73
0,72
0,71
0,71
0,70
0,70
0,69
0,69
0,69
0,69
0,6
3
1,38
1,06
0,98
0,94
0,92
0,90
0,90
0,90
0,88
0,87
0,87
0,87
0,86
0,86
0,7
4
2,0
1,3
1,3
1,2
1,2
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
P
0,8
5
3,1
1,9
1,6
1,5
1,5
1,4
1,4
1,4
1,4
1,4
1,4
1,3
1,3
1,3
0,9
6
6,3
2,9
2,4
2,1
2,0
1,9
1,9
1,9
1,8
1,8
1,8
1,8
1,7
1,7
0,95
7
12,7
4,3
3,2
2,8
2,6
2,4
2,4
2,3
2,3
2,2
2,2
2,1
2,1
2,1
0,99
8
63,7
9,9
5,8
4,6
4,0
3,7
3,5
3,4
3,3
3,1
3,0
2,9
2,9
2,9
При нормальном законе распределения погрешностей границы доверительного интервала
определяются функцией Лапласа:
P(1     2)  (r1)  (r 2) ,
где Ф(z)- нормированная функция Лапласа:
( z ) 
1
2
z
e

z2
z
dz Значения Ф(z)- взяты из таблицы 2.
0
Таблица 1
Z
Ф(z)
Z
Ф(z)
1
2
3
4
0,0
0,00000
2,1
0,48214
0,1
0,03983
2,2
0,48610
0,2
0,77926
2,3
0,48928
0,3
0,11791
2,4
0,49180
0,4
0,15542
2,5
0,49379
0,5
0,19146
2,6
0,49534
0,6
0,22575
2,7
0,49653
0,7
0,25804
2,8
0,49744
0,8
0,28814
2,9
0,49813
0,9
0.31594
3,0
0,49865
1,0
0,34131
3,1
0,49903
1,1
0,36433
3,2
0,49931
Z
Ф(z)
Z
Ф(z)
1
2
3
4
1,2
0,38493
3,3
0,49952
1,3
0,40320
3,4
0,49966
1,4
0,41924
3.5
0,49977
1,5
0,43319
3,6
0,49984
1,6
0,44520
3,7
0,49989
1,7
0,45543
3,8
0,49993
1,8
0,46407
3,9
0,49995
1,9
0,47128
4,0
0,499968
2,0
0,47725
4,5
0,499999