Доказательство

Конспект урока
Тема:
«Теорема Виета»
8 класс.
Цель урока:
Ввести теорему Виета для решения приведённых квадратных уравнений, закрепить навыки
решения квадратных уравнений , способствовать выработке умений при решении задач.
Ход урока:
1.Организационный момент.
2.Устная работа.
а)Какие уравнения называются приведёнными?
x 2  3x  4  0 ,
x 2  5x  6  0 ,
7х2 + 8х + 1=0,
x 2  5 x  14  0 , 4х2 - 4х + 1 = 0
x 2  5x  6  0 ,
5х2 + 14х - 3 = 0,
б) Найдите дискриминант квадратного уравнения:
7х2 + 8х + 1=0.
5х2 + 14х - 3 = 0,
4х2 - 4х + 1 = 0
3.Объяснение нового материала
Решим квадратное уравнение:
х2 -7х + 10 = 0
Это уравнение имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10.Видим, что .
Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а
произведение корней равно свободному члену.
Если уравнение x 2  px  q  0 имеет корни, то
x1  x2   p, x1  x2  q.
Теперь эту гипотезу надо доказать!
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть x1 и x 2 – корни квадратного уравнения x 2  px  q  0 .
Надо получить: x1  x2   p, x1  x2  q.
Что значит x1 и x 2 корни уравнения?
x12  px1  q  0,
(1)
x22  px2  q  0,
(2)
Вычтем из (1) уравнения (2), получим:
x12  x22  px1  px2  q  q  0,
x
2
1

 x22  px1  x2   0,
x1  x2 x1  x2   px1  x2   0,
x1  x2 x1  x2  p  0,
x1  x2  0
или
x1  x2  p  0,
докажем этот случай x1  x2   p,
p  x1  x2 
на консультации
Подставим найденной значение для p в (1) уравнение:
x12  x1  x2 x1  q  0,
x12  x12  x1 x2  q  0,
 x1 x2  q  0,
x1 x2  q.
Получили: x1  x2   p,
x1  x2  q.
Мы открыли, потом доказали теорему Виета.
Верна и обратная теорема.
Дано: m, n – числа,
m  n   p,
m  n  q.
Доказать: m, n – корни уравнения x 2  px  q  0 .
Доказательство:
x 2  m  nx  mn  0,
m 2  m  nm  mn  0,
n 2  m  nn  mn  0,
m 2  m 2  mn  mn  0,
n 2  n 2  mn  mn  0,
0 = 0 (верно)
0 = 0 (верно)
m – корень
n – корень.
ч.т.д.
Где использовать теорему Виета?
1). Можно, не находя корни, найти сумму и произведение корней квадратного уравнения вида
 x1  x2   p,
x 2  px  q  0 : 
 x1  x2  q.
2). Не решая уравнение x 2  2 x  1  0 , найти x12  x22 .
x12  x 22  x1  x 2   2 x1 x 2   2  2   1  6.
2
2
Итак, x12  x22  6.
Где использовать теорему, обратную теореме Виета?
а). Можно проверить правильность решения квадратного уравнения.
x 2  3x  40  0,
D  169,
x1  8, x2  5.
Покажем, что корни уравнения найдены правильно:
x1  x2  3,
x1  x2  40,
– 8 + 5 = – 3.
– 8  5 = – 40.
Значит, по теореме, обратной теореме Виета, числа – 8 и 5 являются корнями уравнения
x 2  3 x  40  0.
б). Найти подбором корни квадратного уравнения (устно):
x 2  9 x  20  0,
x 2  8x  15  0,
x 2  x  6  0,
3x 2  6 x  2
2
2
 0. 3 x 2  6 x  2  0.
3
3
Как быть, если уравнение имеет вид ax 2  bx  c  0, где a  0.
Стихотворение «Теорема Виета», поэт Александр Гуревич:
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова:
В числителе c , в знаменателе a,
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта, что за беда –
В числителе b , в знаменателе a.
x2 
x1  x 2 
Итак, 3 x 2  6 x  2
x 2  2x 
x1 
2
,
3
2
 0,
3
8
 0,
9
x2 
4
.
3
b
c
x   0,
a
a
c
,
a
b
x1  x 2   .
a
Итак, мы научились применять теорему Виета и обратную ей для уравнений вида
x 2  px  q  0 и ax 2  bx  c  0.
Угадайте корни уравнений:
2 x 2  196 x  194  0,
x 2  271x  272  0.
4.Работа по закреплению нового материала:
x 2  x  2  0,
x 2  2 x  3  0,
x 2  3x  2  0,
x1  2, x2  1.
x1  3, x2  1.
x1  2, x2  1.
Что вы заметили? (Один из корней равен 1).
Теорему Виета применяют для решения квадратных уравнений, где a  b  c  0
или a  b  c  0 . Это дает значительное преимущество для быстрого получения ответа.
Если в уравнении ax 2  bx  c  0 a  b  c  0 , то один из его корней 1, а другой
c
.
a
Если в уравнении ax 2  bx  c  0 a  b  c  0 , то один из его корней – 1, а другой
c
 .
a
Решим уравнения:
2 x 2  196 x  194  0, x 2  271x  272  0.
5.Итог урока:
1.Сформулируйте теорему Виета. Чему равны сумма и произведение корней квадратного
уравнения .
2. Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.
6. Задание на дом:
п.23, № 574(а); №587 (а, б, в); №654.