Перечень примеров для решения при подготовке к экзамену по курсу «Математика»

Перечень примеров для решения при подготовке к экзамену по
курсу «Математика»
IРешить систему линейных уравнений алгебраических
уравнений методом Гаусса
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
 x1  2 x2  3 x3  7,

 4 x1  x2  x3  4,
3 x  3 x  2 x  12.
2
3
 1
 x1  x2  x3  0,

3x1  2 x2  x3  4,
4 x  3x  5 x  1.
2
3
 1
2 x1  4 x2  2 x3  1,

4 x1  6 x2  2 x3  2,
3x  3x  6 x  4.
2
3
 1
 x1  x2  x3  3,

2 x1  3x2  2 x3  7,
3x  x  x  5.
 1 2 3
2 x1  5 x2  6 x3  1,

4 x1  x2  5 x3  3,
2 x  6 x  x  4.
2
3
 1
 x1  2 x2  x3  7,

2 x1  3x2  x3  3,
4 x  x  x  4.
 1 2 3
2 x1  x2  3x3  0,

 x1  x2  5 x3  4,
 x  3x  11x  7.
2
3
 1
2 x1  7 x2  x3  10,

3x1  13x2  3x3  0,
7 x  x  x  11.
 1 2 3
 x1  2 x2  x3  13,

2 x1  3x2  5 x3  7,
 x  5 x  3x  9.
2
3
 1
1.10.
 2 x1  x2  3 x3  5 x4  1,
 x  x  5 x  x  2,
 1 2
3
4

3 x1  2 x2  2 x3  5 x4  3,
7 x1  5 x2  9 x3  10 x4  8.
 x1  2 x2  5 x3  4,
1.11. 2 x1  x2  2 x3  2,
4 x  2 x  2 x  5.
2
3
 1
5 x1  2 x2  x3  17,
1.21.  x1  x2  7 x3  4,
4 x  5 x  3x  10.
2
3
 1
Методом
обратной
3x1  x2  2 x3  6,
матрицы
1.22. 5x1  3x2  2 x3  4,
4 x  2 x  3x  2.
 x1  2 x2  x3  1,
2
3
 1

1.12. 3x1  x2  5 x3  1,
2 x1  7 x2  13x3  0,
2 x  3x  x  3.
2
3
 1
1.23. 3x1  14 x2  12 x3  18,
5 x  25 x  16 x  39.
3x1  x2  2 x3  6,
2
3
 1

1.13. 5x1  3x2  2 x3  4,
Методом
обратной
4 x  2 x  3x  2.
матрицы
2
3
 1
2 x1  3x2  4 x3  5,
1.24.
1.14. 2 x1  4 x2  x3  1,
4 x  6 x  2 x  8.
 x1  x2  2 x3  x 4  3,
2
3
 1

4
 2 x1  3 x2  5 x3  3 x  9,
 x1  2 x2  x3  2,

4
1.15. 2 x1  3x2  x3  1,
 x1  x2  2 x3  x  3,
 2 x  2 x  6 x  4 x 4  8.
 x  x  2 x  5.
2
3
 1
3
 1 2
 x1  x2  2 x3  3 x 4  6,
 x1  2 x2  x3  1,

4
1.16. 2 x1  3x2  x3  2,
3 x1  x2  x3  2 x  3,
1.25. 
 x  2 x  3x  3.
4
2
3
 1
 x1  2 x2  3 x3  x  4,
 2 x  3 x  x  x 4  8.
 x1  2 x2  x3  4,
2
3
 1

1.17. 2 x1  5 x2  x3  3,
 x  3x  4 x  6.
2
3
 1
2 x1  3x2  2 x3  9,
 x1  2 x2  3x3  4,
1.26.  x1  2 x2  3x3  14,
3x  4 x  x  16.
1.18. 2 x1  3x2  4 x3  1,
2
3
 1
3x  4 x  x  2.
2
3
 1
2 x1  x2  x3  2,
1.19. 3x1  2 x2  2 x3  2,
 x  2 x  x  1.
2
3
 1
Методом
матрицы
обратной
 x1  3x2  4 x3  2,
1.20.  x1  2 x2  3x3  1,
2 x  3x  4 x  3.
2
3
 1
IIПостроить график и найти область определения
логарифмической функции
2.1. y= log2 (4  5x)
2.11. y  log 1 x
2.21. y  log2  x  1
2
2.2.
y  log3 (2 x  1)
2.12. y  log 2 (6  4 x)
2.13. y  log 1 (4 x  5)
2.3. y  log3 (x  6)
2.4. y  log x
1
2.6. y  log ( x  3)
1
2.14. y  log 1 (2 x  6)
2.8. y  log 1 x
4
2.9. y  log9 ( x  3)
2.10.
y  log 2 ( x  2)
2.23. y  log3  x  2
2.24. y  log3  x  4
3
2.15. y  log4 (8  2 x)
2.16. y  log 1  3  2x 
3
6
2.7. y  log5 ( x  1)
2
5
2
2.5. y  log 4 ( x  2)
2.22. y  log 1  4  2x 
2.17. y  log4  x  5
2.18. y  log3 3  x 
2.19. y  log2  x  4
2.20. y  log 1  4  x 
2
2.25. y  log8  4  5x 
2.26. y  log 1  2 x  3
5
IIIвекторная алгебра и аналитическая геометрия
3.1. Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку M (9,8), если асимптоты
гиперболы имеют уравнения y  
2 2
x
3
3.2. Доказать, что четыре (4) точки лежат в плоскости, если даны координаты точек:
А(0;1;0); В(-1;-2;-3); С(-4;5;2); D(-10;11;-2)
3.3 Привести уравнение к каноническому виду, изобразить заданную уравнением кривую:
x2  4 y 2  4 x  8 y  8  0
3.4.
На прямой x-2y-4=0 найти точку, равноудаленную от точек А(5;-1),В(2;-4).
3.5.
На прямой 2x+y-6=0 найти точку М(x;y), равноудаленную от точек А(3;5) и В(2;6).
3.6 Через точку М(0;1) и правую вершину гиперболы 3x 2  4 y 2  12 проведена прямая.
Найти вторую точку пересечения прямой и гиперболы.
3.7 На прямой 3 x  4 y  20  0 найти точку, равноудаленную от точек А(-8;-3) и В(-5;-6).
3.8 Составить уравнение прямой, проходящей через две (2) точки А и В с координатами:
А(2;-3); В(-1;4).
3.9 Дана прямая l: 2x-y+3=0.Составит уравнение прямой, проходящей через начало

координат и составляющей с данной прямой угол .
4
3.10. Найти площадь треугольника по координатам его вершин: А(2;-3;4); В(1;2;-1); С(3;2;1).
3.11. Найти векторное произведение векторов a и b : a  3i  2 j  5k ; b  2i  j  3k
3.12. Найти периметр треугольника АВС, если известны параметры угловых точек
треугольника: А(0;0;1); В(2;-1;3); С(3;-2;4).
3.13. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (-2;
)
перпендикулярной данному вектору n (4;5).
3.14. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (-2;-3)
перпендикулярной данному вектору AB ;координаты точек вектора А (2;1) и В (1;5)
3.15. Даны вершины треугольника. Найти точку пересечения высоты: А (2;1); В (-1;-1);
С (3;2).
3.16. Найти объем параллепипеда, построенного на векторах: a  2i  3 j  k ;
b  i  2 j  2k ; c  i  5 j  3k
3.17. Привести уравнение к каноническому виду, изобразить задаваемую уравнением
2
2
кривую: x  y  8 x  6 y  0
3.18. Даны вершины углов треугольника: А(1;2;3); В(2;3;4); С(-1;0;-3). Найти косинус
угла АВС.
3.19. Даны три точки: М(-8;12); В(2;-3); С(-5;1). Найти расстояние от точки М до прямой
ВС.
3.20. Даны параметры вершин треугольника: А(1;1;0); В(1;0;1); С(0;1;1). Найти площадь
треугольника.
3.21. Треугольник задан вершинами АВС с координатами: А(-3;4); В(-4;3); С(8;1).
Составить уравнение медианы.
3.22. Составь уравнение прямой, проходящей через данной точку M 0 (-2;-3) и
перпендикулярной вектору А (-5;2); В(-1;4)
3.23. Даны уравнения сторон треугольника: x+3y-3=0; 3x-11y-29=0; 3x-y+11=0. Найти
координаты вершин треугольника.
3.24. Составь уравнение прямой, перпендикулярной вектору n   4; 3 и проходящей
через точку пересечения прямых: x+11y-27=0 и 6x-7y-16=0
3.25. Составь уравнение прямой, перпендикулярной вектору n   3; 2  и проходящей
через точку пересечения прямых: 2x+3y-17=0 и x+6-6=0
3.26. Дан треугольник с вершинами А, В, и С с координатами: А (-6;1); В (4;6); С (2;1).
Найти внутренние углы этого треугольника.
IVПредел функции
4.1.
4.2.
4.3.
lim
9 x 3
x2  x
lim
x 3
4x  3  3
lim
2 x  x
x2
x 0
x 3
x 2
4.4.
lim
x 1
x 1
4.5.
lim
1
6x 1  5
4.6.
lim
x 0
4 x  x3  2
4.7.
lim
x  13  2 x  1
x2  2 x  3
4.8.
 2 x2  4 
lim  2

x  2 x  1


4.9.
lim
4.10.
lim
4.11.
 2
lim 1  
x 
x

4.12.
3  x2  3
lim
x 0
x2
4.13.
lim
4.14.
lim
4.15.
lim
4.16.
1  3x 2  1
lim
x 0
x 2  x3
4.17.
lim
4.18.
lim
1  3x  1  2 x
x  x2
4.19.
lim
3x  10  4
x2
x 1
x 4
x3
x 3
3 4 x
9  2x  5
x  x  4 x  32
2
x 1
x 1
x 
x
2 x 3
x 7
x 2  49
5 x  5
x2  x
x 0
x 
x 
x 0
x2


3x  2  x

x2  5x  6  x

x  2  16  x
x7
4.20.
lim
4.21.
x 2  14 x  32
lim 2
x 2 x  6 x  8
4.22.
lim
3x
5 x  5 x
4.23.
lim
x 1  2
x5
4.24.
 3x  4 
lim 

x 
 3x 
4.25.
lim
4.26.
lim
x 7
x 0
x 5
3x
cos 3 x  cos 5 x
x 0
x2
x 3
4x  3  3
x 3
VПроизводная функции
2
5.1. y  x 3
5.2.
y
1
x
5.3.
y  e x *cos3x
5.4.
y  ln(sin 2 2 x)
5.5.
y
5.6.
y
5.7.
y  e3 x *( x *cosx  sinx)
5.8.
y
x2
* e2 x
cos 2 5 x
5.9.
y
x2
*ln 5 x
cos3x
5.10.
y  x *3 x
1
4
x3
1
5
x

1
x3
5.11.
y  x 2 *ecos x
5.12.
y  tg 2 x *sin 2 2 x
5.13.
y  sin x
5.14.
y  x 2  4 *  x 2  3
5.15.
x2
y
cos 2 x
5.16.
y  tg 2 x *sin 5 x
5.17.
y
5.18.
y
5.19.
x3
y 4
x 1
5.20.
y x
5.21.
y
5.22.
y  x 2 *ln x3
5.23.
y  arcsin x
5.24.
y
5.25.
y  cos4 2 x
5.26.
y
3
3x 2
x3  1
3
x
1
x
1
x
ln  2 x  1
tg 2 x
x2
cos 2 x
x
x3
2
 1
2
Зав. кафедрой математики и информатики д.т.н.,
Профессор
Горелов В.И.