подготовки бакалавров 090900.62 Информационная

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«МАЙКОПСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Факультет
Инженерно-экономический
Кафедра
Высшей математики и системного анализа
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
____________Л.И. Задорожная
«_____»____________ 20____г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине
В.В.2.2. Математическая логика и теория алгоритмов
по направлению
подготовки бакалавров
090900.62 Информационная безопасность
по профилю подготовки Организация и технология защиты информации
Квалификация (степень)
выпускника
Бакалавр
МАЙКОП
Рабочая программа составлена на основе ФГОС ВПО и учебного плана МГТУ по направлению 090900.62 Информационная безопасность.
Составитель рабочей программы:
доцент, кандидат экономических наук
(должность, ученое звание, степень)
_____________
(подпись)
Кузьменко Н.А.
(Ф.И.О.)
Рабочая программа утверждена на заседании кафедры
высшей математики и системного анализа
(наименование кафедры)
Заведующий кафедрой
«___»________20___г.
_____________
(подпись)
Одобрено научно-методической комиссией факультета
(где осуществляется обучение)
Председатель
научно-методического
совета направления (специальности)
(где осуществляется обучение)
Декан факультета
(где осуществляется обучение)
«___»________20___г.
СОГЛАСОВАНО:
Начальник УМУ
«___»________20___г.
Зав. выпускающей кафедрой
по направлению (специальности)
ДёминаТ.И.
(Ф.И.О.)
«___»_______20__г.
_____________ _______________
(подпись)
(Ф.И.О.)
_____________ _______________
(подпись)
(Ф.И.О.)
__________
(подпись)
___________
(подпись)
Гук Г.А.
(Ф.И.О.)
_____________
(Ф.И.О.)
1. Цели и задачи освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Математическая логика и теория алгоритмов» является
формирование личности студентов, развитие их интеллекта и способностей к логическому и
алгоритмическому мышлению, обучение основным математическим понятиям и методам математического анализа, , необходимым для анализа и моделирования устройств, процессов и
явлений при поиске оптимальных решений практических задач, методам обработки и анализа результатов численных и натурных экспериментов.
Дисциплина является одной из важнейших теоретических и прикладных математических дисциплин, определяющих уровень профессиональной подготовки современного инженера.
Цель преподавания прикладных разделов дисциплины состоит в том, чтобы, используя
теорию и методы научного познания овладеть основными понятиями, определениями и методами теории вероятностей и математической статистики, необходимыми для решения задач в области авиаперевозок; обучить студентов математическим методам принятия решений, необходимым при решении задач оптимизации, возникающих во всех областях человеческой деятельности, математическим методам организации транспортного процесса, в частности - при планировании и управлении процессами перевозок и организации авиаперевозок.
Преподавание дисциплины состоит в том, чтобы на примерах математических понятий
и методов продемонстрировать сущность научного подхода, специфику математики и её
роль как способ познания мира, общности её понятий и представлений в решении возникающих проблем. При этом решаются следующие задачи:
- раскрыть роль и значение математических методов исследования при решении задач;
- ознакомить с основными понятиями и методами классической и современной математики;
- научить студентов применять методы математического анализа для построения математических моделей реальных процессов и явлений;
2. Место дисциплины в структуре ОП по направлению подготовки
Дисциплина «Математическая логика и теория алгоритмов» относится к вариативной
части математического и естественнонаучного цикла дисциплин (Б2.В.3). Для изучения дисциплины «Математическая логика и теория алгоритмов» необходимы начальные знания по
алгебре, математическому анализу, дискретной математике и базовые знания по математическим дисциплинам за курс средней общеобразовательной школы. Понятия и методы дисциплины используются при изучении других дисциплин математического и естественнонаучного и профессионального циклов.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
Освоение дисциплины обеспечивает формирование у студентов общекультурных и
профессиональных компетенций, предусмотренных федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению подготовки 090900.62 Информационная безопасность.
- способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и
выбору путей ее достижения, владеть культурой мышления (ОК-8);
- способностью логически верно, аргументированно и ясно строить устную и письменную речь, публично представлять собственные и известные научные результаты, вести
дискуссии (ОК-9);
- способностью к саморазвитию, самореализации, приобретению новых знаний, повышению своей квалификации и мастерства (ОК-11);
- способностью использовать основные естественнонаучные законы, применять математический аппарат в профессиональной деятельности, выявлять сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности (ПК-1);
- способностью понимать сущность и значение информации в развитии современного
общества, применять достижения информатики и вычислительной техники, перерабатывать
большие объемы информации проводить целенаправленный поиск в различных источниках
информации по профилю деятельности, в том числе в глобальных компьютерных системах
(ПК-2);
- способностью применять методы анализа изучаемых явлений, процессов и проектных
решений (ПК-20);
- способностью осуществлять подбор, изучение и обобщение научно-технической литературы, нормативных и методических материалов по вопросам обеспечения информационной безопасности (ПК-24);
В результате изучения дисциплины «Математическая логика и теория алгоритмов»
студенты должны:
Знать:
 основные понятия и методы математики;
 методику математического исследования прикладных задач.
Уметь:
 при решении задач выбирать и использовать необходимые вычислительные методы в
зависимости от поставленной задачи;
 логически правильно строить рассуждения при решении задач;
Владеть:
 навыками составления оптимизационных моделей;
 логикой высказываний и предикатов; теорией сложности и алгоритмов;
4. Объем дисциплины и виды учебной работы
4.1. Объем дисциплины и виды учебной работы по очной форме обучения.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единицы (144 часа).
Вид учебной работы
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа студентов (СРС) (всего)
В том числе:
Курсовой проект (работа)
Расчетно-графические работы
Реферат
Другие виды СРС (если предусматриваются, приводится перечень видов СРС)
1. Составление плана-конспекта
2. Подготовка к текущим занятиям
3. Подбор и анализ примеров
Форма промежуточной аттестации:
экзамен
Общая трудоемкость
Всего
часов/з.е.
Семестры
4
64/1,78
64/1,78
32/0,89
32/0,89
32/0,89
32/0,89
80/2,22
80/2,22
8/0,22
8/0,22
10/0,28
14/0,39
12/0,33
10/0,28
14/0,39
12/0,33
36/1
36/1
144/4
144/4
4.2. Объем дисциплины и виды учебной работы по заочной форме обучения.
Заочная форма обучения не предусмотрена
5. Структура и содержание дисциплины
5.1. Структура дисциплины для очной формы обучения
1 семестр:
№
п/п
Раздел дисциплины
1.
Множества и
отображения.
Исчисление высказываний
Исчисление предикатов
Элементы теории
алгоритмов
Промежуточная
аттестация.
ИТОГО:
2.
3.
4.
Неделя семестра
Виды учебной работы, включая самостоятельную и трудоемкость
(в часах)
Л
С/ПЗ
ЛР
СРС
1-2
4
4
8
3-6
8
8
10
7-10
8
8
10
Формы текущего контроля
успеваемости
(по неделям семестра)
Форма промежуточной аттестации
(по семестрам)
Контрольная
работа
Контрольная
работа
Контрольная
работа
11-16
12
12
16
Тестирование
36
Экзамен
32
32
5.2. Структура дисциплины для заочной формы обучения
Заочная форма обучения не предусмотрена
80
5.3. Содержание разделов дисциплины «Математическая логика», образовательные технологии
Лекционный курс
№ п/п
Наименование темы
дисциплины
Трудоемкость
(часы/
зач. ед.)
4/0,12
Тема 1.
Множества и отображения.
Тема 2.
Исчисление высказываний
8/0,22
Тема 3.
Исчисление предикатов
8/0,22
Содержание
Алгебра множеств. Операции над
множествами. Число элементов подмножеств конечных множеств.
Счетные и несчетные множества.
Мощность. Теорема Кантора о множестве подмножеств.
Функции и отображения. Образ и
прообраз. Композиции и обратные
отображения. Отношения эквивалентности и порядка. Упорядоченные
множества.
Высказывания, операции над высказываниями. Формулы алгебры высказываний. Тавтологии и эквивалентность.
Нормальные формы высказываний.
Релейно-контактные схемы.
Булевы функции. Функции алгебры
логики. Многочлены Жегалкина. Критерий полноты (теорема Поста).
Исчисление высказываний. Аксиомы и правило Modus ponens. Полнота
и непротиворечивость исчисления высказываний.
Предикаты. Кванторы. Логические
операции над предикатами Выразимые предикаты. Арифметические
предикаты.
Формируемые
компетенции
Результаты освоения
(знать, уметь, владеть)
Знать: основные научные принципы и базовые понятия теории
множеств и отображений
Уметь: устанавливать отношения
эквивалентности и порядка; проводить операции над множествами;
Владеть: культурой постановки,
анализа и решения задач, требующих для своего решения использования математических подходов
и методов.
ОКЗнать: основные понятия и опре8,9,11
деления исчисления высказываПКний;
1,2,20,24 Уметь: применять формулы алгебры высказываний; приводить к
нормальным формам, многочленам Жегалкина; выяснять полноту и непротиворечивость высказываний;
Владеть: предметным языком
математики и навыками грамотного решения задач и представления
полученных результатов.
Знать: методы практического поОКстроения и анализа исчисления
8,9,11
предикатов;
ПКУметь: проводить логические
1,2,20,24
ОК8,9,11
ПК1,2,20,24
Образовательные технологии
Слайд - лекции
Лекция - визуализация
Лекции в традиционной
форме
Синтаксис и семантика языка предикатов. Общезначимые формулы.
Аксиомы и правила вывода.
Непротиворечивость и полнота исчисления предикатов (теорема Геделя).
Тема 4.
Элементы теории алгоритмов
12/0,33
Итого
32/0,89
Вычислимые функции. Разрешимые
и перечислимые множества. Универсальные функции и неразрешимость.
Нумерации и операции. Главные
универсальные функции и множества.
Свойства главных нумераций и перечислимые свойства функций. Теорема
о неподвижной точке (теорема Клини).
Машины Тьюринга. Понятие алгоритма по Тьюрингу. Алгоритмически
разрешимые и неразрешимые проблемы.
Арифметичность
вычислимых
функций. Теоремы Гёделя и Тарского.
Рекурсивные функции. Примитивно
и частично рекурсивные функции. Тезис Чёрча. Оценки скорости роста и
сложность алгоритмов.
операции над предикатами; выяснять полноту и непротиворечивость предикатов;
Владеть: навыками освоения
большого объема информации и
решения сложных и нестандартных задач.
Знать: основные научные прин- Лекции в траОКципы и базовые понятия элемен- диционной
8,9,11
тов теории алгоритмов; свойства
ПКглавных нумераций и перечисли- форме
1,2,20,24 мые свойства функций;
Уметь: работать с вычислимыми
функциями, главными универсальными функциями и множествами; вычислять рекурсии
функций;
Владеть: предметным языком
математики и навыками грамотного решения задач и представления
полученных результатов.
5.4. Практические и семинарские занятия, их наименование, содержание и объем в часах
№ № раздела дисциплины Наименование практических и семиОбъем в чап/п
нарских занятий
сах/трудоемкость в з.е.
1. Множества
1
и отображения. Алгебра множеств. Операции над мно4/0,11
жествами. Мощность множества.
2. Исчисление высказываний Алгебра высказываний. Таблицы истин8/0,22
ности. Тавтологии и эквивалентность.
3. Исчисление предикатов
Логические операции над предикатами.
8/0,22
Действия с кванторами.
4. Элементы теории алгоВычислимые
функции.
Машины
12/0,34
ритмов
Тьюринга.
Итого
32/0,89
5.5. Лабораторные занятия, их наименование и объем в часах
№
п/п
-
№ раздела дисциплины
Наименование лабораторных работ
-
-
Объем в часах/трудоемкость в з.е.
-
5.6. Примерная тематика курсовых проектов (работ)
Курсовой проект (работа) учебным планом не предусмотрен.
5.7. Самостоятельная работа студентов ОФО
Разделы и темы рабочей программы саПеречень домашних заданий и
мостоятельного изучения
других вопросов для самостоятельного изучения
Раздел 1. Функции: композиции обратные, Подготовка к текущим занятиям,
Подбор и анализ примеров,
образ и прообраз.
Работа с учебной литературой.
Раздел 2. Нормальные формы. РелейноПодготовка к текущим занятиям,
контактные схемы. Булевы функции. Мно- Составление плана-конспекта.
гочлены Жегалкина. Полнота систем функ- Работа с учебной литературой.
ций. Исчисление высказываний. Аксиомы и Выполнение и анализ письменных
правило Modus ponens. Полнота и непроти- графо-аналитических работ по теме.
воречивость исчисления высказываний.
Раздел 3. Непротиворечивость и полнота Подготовка к текущим занятиям,
исчисления предикатов (теорема Геделя). Работа с учебной литературой.
Синтаксис и семантика языка предикатов. Подбор задач.
Общезначимые формулы. Аксиомы и пра- Выполнение и анализ письменных
вила вывода
графо-аналитических работ по теме.
Раздел 4. Теорема о неподвижной точке
Подготовка к текущим занятиям,
(теорема Клини). Арифметичность вычис- Составление плана-конспекта.
лимых функций. Теоремы Гёделя. РекурРабота с учебной литературой.
сивные функции. Примитивно и частично Выполнение и анализ письменных
рекурсивные функции. Тезис Чёрча.Оценки графо-аналитических работ по теме.
скорости роста и сложности алгоритмов
Подбор и анализ примеров.
Промежуточная аттестация.
Итого
Заочная форма обучения не предусмотрена
Сро Объем в
ки
чавы- сах/трудо
пол емкость в
нез.е.
ния
1-2
8/0,22
неделя
3-6 10/0,28
неделя
7-10
неделя
10/0,28
1116
неделя
16/0,44
36/1
80/2,22
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения
6.1. Контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля для студентов ОФО
Примерный вариант контрольной работы по теме: «Множества и отображения».
1. Для следующих отображений f  g  найти композиции f g , g f .
1  x  x 2 при x1
(1  ) x при x  0
f ( x)  
g ( x)  
при x  0
при x  1
 1  x
 2x
1
2. Для следующего отображения f  найти обратное f и проверить, что композиции
f f 1 , f 1 f дают тождественное отображение:
f ( x) 
  x
2 x  
1
1
3. Для следующего отображения f  найти f ([010]) , f ([10 2]) , f ([010]) , f ([10 2]) :
f ( x)  x 2       x  
Ответ пояснить графиком.
3
3
1
4. Для следующего отображения f   найти f и b f (0) :
   x
 x  1
  

f  y     
1  y
 z     1 0   1 z
  

5. Пусть C () — множество всех вещественных непрерывных функций. Проверить, является ли
следующее отображение F  C ()  C () инъективным, сюръективным, биективным. Найти обратное к нему с соответствующей стороны:
F ( f )( x)  (1  ( x  x 2 )) f 2 (x  1)
Примерный вариант контрольной работы по теме: «Исчисление высказываний».
Задание 1. Запишите логической формулой следующие умозаключения, и уточнить их справедливость тремя методами:
а) Вы обязаны что-то сделать, значит, вы делаете это.
б) Если закон всемирного тяготения верен, с его помощью можно открыть другие законы. Закон всемирного тяготения верен, поэтому с его помощью могут быть открыты другие законы.
в) Если к телу, движущемуся равномерно и прямолинейно, не подводится сила, оно движется
без ускорения; тело движется без ускорения; значит, к нему не подводится сила.
Задание 2. Выявите структуру приведенного сложного высказывания, укажите, из каких простых высказываний оно образованно и с помощью каких логических связок:
«Между тем как в моей повозке запрягали лошадей, приехала еще кибитка, тройкою запряженная».
Задание 3. Сформулируйте высказывание, если: А- «Логика является разделом математики»,
В- «Логика- это раздел философии», С- «Логика изучается на юридическом факультете»
a  b  c
Задание 4. Запишите с помощью символов высказывание и определите его тип. Составьте
оставшиеся три компоненты логического квадрата. Выделите пары противных, подчиненных,
подпротивных, противоречащих.
а) «Всякий моряк умеет плавать»,
б) «На всякого мудреца довольно простоты».
Задание 5. Определите с помощью таблиц истинности, какие из приведенных формул являются тавтологиями:
а  в   в  а ;
б) а  в   с  в   в  с  .
а)
Примерный вариант контрольной работы по теме: «Исчисление предикатов».
Задание 1. Формализуйте высказывание. Получите ДНФ, СДНФ, КНФ, СКНФ, СПНФ. Представьте высказывание в виде суперпозиции только следующих операций: 1) «штрих Шеффера, 2)
«стрелка Пирса», 3) «импликация» и «отрицание», 4) «импликация» и «константа нуля».
1.
«Если я замолчу- возопиют камни и реки потекут вспять».


b  ca
2.
Задание 2. Докажите или опровергните общезначимость формулы, используя законы алгебры
логики и формулы равносильных преобразований: X  Y   Z  X  Y   Z
6.2. Контрольные вопросы и задания для проведения промежуточной аттестации.
Примерный перечень вопросов к экзамену по дисциплине «Математическая логика»
1. Множества, операции над множествами. Подмножества. Основные свойства.
2. Сочетания, размещения и перестановки в конечных множествах. Число подмножеств.
3. Счетные множества. Примеры. Несчетность точек интервала (0;1)
4. Равномощность бесконечных множеств. Теорема Кантора о множестве подмножеств
5. Отображения. Композиции отображений. Образ и прообраз. Инъективность, сюръективность и биективность.
6. Бинарные отношения. Функция как отношение.
7. Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности
8. Отношение порядка. Упорядоченные и вполне упорядоченные множества.
9. Высказывания, операции над высказываниями. Равносильные высказывания.
10. Формулы алгебры высказываний.
11. Существование и единственность КНФ и ДНФ. Связь КНФ и ДНФ
12. Релейно-контактные схемы: анализ и синтез. Конструирование при помощи элемента «и-не»
13. Исчисление высказываний: алфавит, формулы, аксиомы.
14. Теорема о непротиворечивости исчисления высказываний
15. Теорема о полноте исчисления высказываний
16. Предикаты. Логические операции над предикатами. Основные свойства
17. Кванторы. Основные равносильности с кванторами
18. Многочлены Жегалкина. Существование и единственность представления функции алгебры
логики многочленом Жегалкина
19. Невыразимые предикаты. Изоморфизмы. Примеры
20. Исчисление предикатов: алфавит, формулы, аксиомы, правила вывода.
21. Связанные и свободные вхождения переменных в предикат. Правила подстановки
22. Общезначимые формулы. Теорема о полноте и непротиворечивости исчисления предикатов
23. Существование главной универсальной функции.
24. Привести пример универсальной вычислимой функции, не являющейся главной.
25. Теорема о неподвижной точке.
26. Программа, печатающая собственный текст.
27. Машина Тьюринга, переписывающая слово задом наперед.
28. Алгоритм умножения в языке с конечным числом переменных.
29. Алгоритм возведения в квадрат в языке с конечным числом переменных.
30. Алгоритм b:=a[i] в языке с конечным числом переменных (массив а кодируется числом по
основной теореме арифметики) .
31. Арифметические формулы для всех типов команд в языке с
конечным числом переменных.
32. Теорема Тарского о невыразимости арифметики
33. Теорема Гёделя о неполноте арифметики
6.3. Тематика контрольных работ для студентов ЗФО
Заочная форма обучения не предусмотрена
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература
1. ЭБС «Znanium.com» Игошин, В. И. Математическая логика: учебное пособие / В.И. Игошин. - М.: ИНФРА-М, 2012. - 399 с.: - Режим доступа: http://znanium.com/
2. Лавров, И.А. Математическая логика : учеб. пособие для студентов вузов / И.А. Лавров ;
под ред. Л.Л. Максимовой. - М. : Академия, 2006. - 240 с.
б) дополнительная литература
3. ЭБС «Znanium.com» Игошин, В. И. Теория алгоритмов: учебное пособие / В.И. Игошин. М.: ИНФРА-М, 2012. - 318 с.: - Режим доступа: http://znanium.com/
4. Игошин, В.И. Математическая логика и теория алгоритмов : учеб. пособие для студентов
вузов / В.И. Игошин. - М. : Академия, 2008. - 448 с.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы
1. http://www.exponenta.ru – Образовательный математический сайт Exponenta.ru.
2. http://www.matclub.ru – Лекции, примеры решения задач. Электронные учебники.
3. http://www. math.ru – Образовательный математический сайт Math.ru.
4. http://www. mathelp.spb.ru – Лекции по высшей математике: математический анализ; дифференциальные уравнения; аналитическая геометрия, теория вероятностей и др.
5. Калькулятор с функциями.
6. Компьютер с программным обеспечением.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Материально-техническое обеспечение дисциплины включает:
1) библиотечный фонд ФГБОУ ВПО «МГТУ»;
2) мультимедийное оборудование для чтения лекций-презентаций.
Дополнения и изменения в рабочей программе
за ________/________ учебный год
В рабочую программу ____________________________________________________
(наименование дисциплины)
для направления (специальности) ___________________________________________________
(номер направления (специальности)
вносятся следующие дополнения и изменения:
Дополнения и изменения внес _______________________________________________
(должность, Ф.И.О., подпись)
Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры
_____________________________________________________________________________
(наименование кафедры)
«____»___________________20___г.
Заведующий кафедрой
__________________
(подпись)
_____________
(Ф.И.О.)